mathieu brévilliers, laboratoire mia, uha partition élémentaire d’un ensemble de segments du...

Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA

Partition élémentaire d’un ensemble de segments du planJournées de Géométrie Algorithmique 2007

Triangulations d’un ensemble de points et de segments du plan

Triangulations contraintes et triangulations de Delaunay contraintes

Lee et Lin, Generalized Delaunay Triangulation for Planar Graphs, 1986

Chew, Constrained Delaunay Triangulations, 1987

Partition élémentaire d’un ensemble de sites Algorithme de construction d’une partition

élémentaire Partition élémentaire de Delaunay d’un

ensemble de sites Illégalité d’une arête d’une partition

élémentaire

Partition élémentaire

Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.

Forme des arêtes

Diagramme topologique

Nombres de faces et d’arêtes

3n – n’ – 3 arêtes

2n – n’ – 2 faces

n : nombre de sites n’ : nombre de côtés de conv(S) qui ne sont pas

des sites

Algorithme de construction

Dans une triangulation contrainte, les faces dont les sommets sont sur trois sites distincts correspondent aux faces d’une partition élémentaire

Adaptation d’un algorithme de construction par balayage d’une triangulation contrainte quelconque Edelsbrunner, Triangulations and Meshes in computational

geometry, 2000

L’algorithme construit une partition élémentaire de S en temps O(nlogn) où n est le nombre de sites de S

Partition élémentaire de Delaunay

Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

Unicité d’une partition élémentaire de Delaunay Si les sites sont en position générale, c’est-à-

dire s’il n’existe pas de cercle tangent à plus de trois sites

Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï

La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï La partition élémentaire de Delaunay

correspond exactement à la « triangulation de Delaunay de segments » qui a été définie par dualité Chew et Kedem, Placing the Largest Similar Copy

of a Convex Polygon Among Polygonal Obstacles, 1989

Illégalité d’une arête d’une triangulation d’un ensemble de points

Arête légale: Arête illégale:

Sous ensemble E de partitions élémentaires de S Les cercles circonscrits aux faces sont tangents aux

sites qui définissent les faces.

Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E

Arête légale Arête illégale

Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales

La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque Pour une arête topologique donnée, on

calcule la représentation géométrique de l’arête et des deux faces adjacentes telle que les cercles circonscrits aux faces soient tangents aux sites.

Une arête topologique est illégale si la représentation géométrique calculée satisfait l’une des deux conditions suivantes :

Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque1. L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est

pas le même que dans le diagramme topologique.

Représentation géométrique initiale

Représentation géométrique calculée

Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque2. L’arête est un segment de droite et la zone

hachurée du disque coupe le quatrième site

La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire sans arête illégale Preuve

Devillers et al., Checking the convexity of polytopes and the planarity of subdivisions, 1998

Algorithme qui vérifie si une partition élémentaire quelconque a la même topologie que la partition élémentaire de Delaunay, en temps O(n). Si on dispose d’un algorithme qui est censé calculer la

partition élémentaire de Delaunay, cela permet de vérifier en temps linéaire que la partition élémentaire calculée est bien celle de Delaunay.

Conclusions et perspectives

Généralisation de la notion de triangulation à un ensemble de points et de segments: Partition élémentaire Partition élémentaire de Delaunay Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire

Algorithme de flip

Propriété équivalente à l’équiangularité

Extension aux segments non disjoints et à la dimension 3

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