matlab cw zlozenie v02 -...

Matlab - �wiczenia HM str. 1 M A T L A B

Z A C H O D N I O P O M O R S K I U N I W E R S Y T E T T E C H N O L O G I C Z N Y

I n s t y t u t T e c h n o l o g i i M e c h a n i c z n e j

MATLAB

Z E S T A W P O D S T A W O W Y C H �WICZE�

wraz z wprowadzeniem do ich wykonania

(Edycja druga)

dr in�. Henryk Ma�kowiak

Szczecin, 2009

str. 2 HM Matlab - �wiczenia

M A T L A B


Z a w a r t o � � z e s z y t u

WST�P 5 �WICZENIE 1 - Podstawy interfejsu Matlaba 6 �WICZENIE 2 - Praca w trybie bezpo�rednim 6 �WICZENIE 3 – Macierze – tworzenie - cz�� 1 8 �WICZENIE 4 – Macierze – tworzenie - cz�� 2 10 �WICZENIE 5 – Zapis i odczyt danych 12 �WICZENIE 6 – Odwołania do elementów i fragmentów macierzy 13 �WICZENIE 7 – Operacje na macierzach 16 �WICZENIE 8 – Funkcje standardowe 19 Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a 20

Praca w trybie bezpo�rednim - działania na macierzach �WICZENIE 9 – Wykresy – podstawowe funkcje kre�l�ce 21 �WICZENIE 10 – Wykresy – podstawy formatowania – opis wykresu 23 �WICZENIE 11 – Wykresy – podstawy formatowania – linie wykresu 24 Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a 27

Wykresy �WICZENIE 12 – Skrypty 28 �WICZENIE 13 – Programowanie 30 �WICZENIE 14 – Funkcje własne 33 Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a 35

M-pliki, skrypty i funkcje własne �WICZENIE 15 – Miejsca zerowe, minima i maksima funkcji 36 �WICZENIE 16 – Pierwiastki wielomianu 36 �WICZENIE 17 – Interpolacja 37 �WICZENIE 18 – Aproksymacja 38 �WICZENIE 19 – Całkowanie numeryczne 40 Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a 42

Obliczenia numeryczne Skorowidz haseł 43 Literatura 45 Skróty operatorskie 46


M A T L A B


WST�P

�wiadomo��, �e komputer jest „urz�dzeniem” do prowadzenia oblicze�, nie jest w�ród jego u�ytkowników powszechna. Zadziwiaj�cy jest fakt, �e wiele osób maj�cych na co dzie� dost�p do komputera, nie potrafi przy jego pomocy przeprowadzi� �adnych, nawet najprostszych oblicze�.

Celem nadrz�dnym niniejszego opracowania jest wypełnienie luki

w tej „zbiorowej nie�wiadomo�ci”. Poniewa� zawarto�� zeszytu przeznaczona jest dla studentów, nie przedstawiam mo�liwo�ci obliczeniowych, jakie tkwi� w samym systemie operacyjnym, czy w pakietach wspomagaj�cych prac� biura. Na wyra�nie zgłoszone zapotrzebowanie kolegów, którzy prowadz� zaj�cia na starszych latach studiów, przedstawiam w skrócie i poprzez wybrane zagadnienia, podstawowe mo�liwo�ci pakietu MATLAB.

Poniewa� pracujemy i studiujemy na Wydziale In�ynierii Mechanicznej

i Mechatroniki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego, wi�kszo�� zada� oparta jest o problemy zrozumiałe (mam nadziej�) dla tzw. mechaników. Przyj�to zało�enie, �e zaj�cia w oparciu o niniejsze opracowanie, prowadzone s� na niskich semestrach studiów. Opis zagadnie�, przykłady i zadania do samodzielnego rozwi�zania oscyluj� wokół wiedzy, któr� student powinien posi�� na 1 lub 2-gim semestrze.

MATLAB jest przyjaznym �rodowiskiem integruj�cym metody

numeryczne, prezentacj� graficzn� i j�zyk programowania. Celem niniejszego opracowania nie jest zaprezentowanie wszystkich elementów tego pakietu, a raczej przedstawienie podstawowych wiadomo�ci wystarczaj�cych do jego efektywnego wykorzystywania. O�mieleni łatwo�ci� podstawowych działa�, powinni�my nie obawia� si� si�gni�cia w razie potrzeby, do bardziej zaawansowanych mo�liwo�ci MATLABA. Mo�liwo�ci te s� ogromne i je�li kto� zach�cony �wiczeniami z tego zeszytu, skorzysta z nich w przyszło�ci, to cel niniejszego opracowania zostanie osi�gni�ty.

Opracowuj�c prezentacj� zawarto�ci merytorycznej poszczególnych

�wicze�, przyj�to zało�enie, �e pod��aj� one w �lad za poprzedzaj�cym je wykładem. St�d krótka, cz�sto „sucha” cz�� wprowadzaj�ca do zada�.

Autor


M A T L A B

�WICZENIE 1 - Podstawy interfejsu Matlaba Wykonaj nast�puj�ce polecenia:

1. Uruchom Matlaba. Jeste� teraz w �rodowisku Matlaba. Masz przed sob� tzw. interfejs Matlaba, którego mo�liwo�ci b�dziesz wykorzystywał do prowadzenia oblicze� w trybie bezpo�rednim, a pó�niej do tworzenia własnych programów w j�zyku Matlaba.

2. Rozci�gnij okno Matlaba tak, by zajmowało cały ekran monitora. 3. Przestrze� robocza Matlaba podzielona jest na kilka okienek. Zmie�

wymiary tych okienek tak, by: • okienko Command Window (okno polece�) zajmowało 75%

szeroko�ci ekranu, • okienko Command History (historia polece�) zajmowało 30%

wysoko�ci ekranu.

4. Wykorzystuj�c przycisk strzałki w gór� na pasku tytułowym okienka Command History spowoduj, �eby okienko przestało by� „przestrzennie” zwi�zane z pozostałymi okienkami i przesu� je w prawy dolny róg okna Matlaba.

5. Sprawd� na dole ekranu zawarto�� paska zada� systemu Windows. 6. Wstaw „do szeregu” okienko Command History u�ywaj�c przycisku

ekranowego strzałki w dół z paska menu tego okienka. 7. Zamknij okienko Command History w tradycyjny sposób. 8. Spowoduj, by w obszarze roboczym Matlaba widoczne były tylko dwa

okienka: Command Window oraz Workspace (przestrze� robocza). Wykorzystaj do tego znane ju� operacje na okienkach i zakładk� Workspace.

9. Wykorzystuj�c opcje menu Desktop / Desktop Layout / Default ustaw przestrze� robocz� Matlaba tak, by ekran przyj�ł ustawienia domy�lne (w starszych wersjach Matlaba w menu, zamiast opcji Desktop jest opcja View).

�WICZENIE 2 – Praca w trybie bezpo�rednim

W oknie polece� Command Window wydaje si� komendy. O gotowo�ci Matlaba do przyj�cia komendy (polecenia) �wiadczy widoczny w wierszu polece� znak zach�ty >> . Wykonanie komendy nast�puje po naci�ni�ciu klawisza [Enter]. Je�li podamy polecenie, bez okre�lenia w jakiej zmiennej przechowany ma by� jego wynik, to Matlab umie�ci go w zmiennej o nazwie ans .

Wykonaj nast�puj�ce zadanie bez u�ywania własnych zmiennych, tj. troch� podobnie jak w tradycyjnym kalkulatorze. Nie wolno tak�e zapisywa� wyników po�rednich w notatniku.

Zadanie 1 Oblicz pole powierzchni figury (rysunek) jaka pozostanie z koła o promieniu 10, po wyci�ciu trójk�ta równoramiennego wpisanego w to koło. Trójk�t ma jeden bok oparty na �rednicy koła. Znajd� te� pole powierzchni odcinka koła oznaczonego symbolem A.

Uwaga: odwołuj si� do wyniku z poprzedniego działania pami�taj�c, �e jest on zawarty w zmiennej ans.


10

A

wyniki:

214,16; pole odcinka A=28,54

Przekonałe� si�, �e „kalkulatorowy” sposób działania przy obliczeniach cho� troch� zło�onych, jest bardzo niewygodny. Od tej pory, prowadz�c obliczenia b�dziesz najcz��ciej stosował zmienne pomocnicze.

Nazwa zmiennej musi zaczyna� si� od litery i mo�e składa� si� z dowolnej liczby liter, cyfr i znaków podkre�lenia, przy czym Matlab uwzgl�dnia tylko 31 pierwszych znaków nazwy. Rozró�niane s� du�e i małe litery. Nie jest wymagane deklarowanie zmiennych, ani okre�lanie ich typu (rozmiaru).

Zwró� uwag�, �e: • je�li obliczenia maj� by� wykonane, ale nie interesuje nas wynik

polecenia, to nale�y na ko�cu polecenia umie�ci� znak �rednika [ ; ] . • je�li polecenie nie mie�ci si� w jednym wierszu, to ko�czymy wiersz

trzema kropkami i kontynuujemy zapis polecenia w wierszu nast�pnym.

• je�li w jednym wierszu chcemy napisa� kilka polece�, to mo�emy: o oddzieli� je �rednikami – je�li nie chcemy ogl�da� wyników, o oddzieli� je przecinkami – je�li chcemy widzie� wyniki.

• znakiem oddzielaj�cym cz�� ułamkow� liczby od cz��ci całkowitej jest kropka.

Wykonaj zadanie stosuj�c zapisywanie wyników po�rednich do własnych (tj. wymy�lonych przez siebie) zmiennych.

Zadanie 2 a) Wykonaj obliczenia wg tre�ci zadania 1 (z pomini�ciem uwagi).

Zastosuj nast�puj�ce (lub podobne) nazwy zmiennych: • promien • pole_kola • srednica • podstawa • wysokosc • pole_trojkata • pole_wynikowe • polowa_kola • pole_odcinka_A

b) Wykonaj te same obliczenia w taki sposób, by na ekranie uzyska� tylko podgl�d wyników ko�cowych (pole_wynikowe, pole_odcinka_A).


M A T L A B

Sprawdzenie wyników po�rednich (np. gdy wyniku ko�cowego nie darzymy zaufaniem) mo�na wykona� po obliczeniach, wpisuj�c nazw� zmiennej przechowuj�cej wynik i naciskaj�c klawisz [Enter]. Przydatne w tym działaniu s� okienka Command History (gdzie mo�emy prze�ledzi� ci�g wydanych polece�) oraz Workspace (pokazuj�ce zagospodarowanie pami�ci w przestrzeni roboczej).

Zadanie 3 Oblicz warto�ci sił reakcji (R1 i R2) w podporach belki przedstawionej na rysunku (mechanika, równania statyki). Uwaga, powiniene� u�y� funkcji:

sin(), cos() (k�t w radianach), pierwiastek kwadratowy: sqrt(), operatora pot�gowania: ^ (np. z^2 ).

a=0,7 b=1,5 c=0,18e1

P1=532

P3=320

P2=270

�=60o

R1=?

R2=?

y

x

Wyniki: R1x= -266,00; R1y= 258,60; R1= 370,98 R2y= 252,13

�WICZENIE 3 – Macierze – tworzenie - cz�� 1

Podstawowym typem zmiennej w Matlabie jest macierz. Mówi�c o wymiarze macierzy zawsze najpierw okre�lamy liczb� wierszy, a potem liczb� kolumn. „Z punktu widzenia Matlaba” szczególnymi odmianami macierzy s�:

• skalar – macierz o wymiarze 1 x 1, • wektor wierszowy – macierz o wymiarze 1 x n (jeden wiersz), • wektor kolumnowy - macierz o wymiarze n x 1 (jedna kolumna).

Przy definiowaniu macierzy trzeba przestrzega� nast�puj�cych reguł: • lista warto�ci elementów musi by� uj�ta w nawiasy kwadratowe [ ], • warto�ci elementów macierzy wpisuje si� wierszami, oddzielaj�c je

spacj� lub przecinkiem, • wiersze ko�czymy znakiem �rednika ; lub naciskaj�c klawisz [Enter].

Liczby całkowite i rzeczywiste zapisuje si� w Matlabie w jednej z dwóch postaci:

• stałopozycyjnej: 123000, -4234.34, +0.0453 ; • zmiennopozycyjnej: 123e3, -0.423434E4, +453e-4 .

Liczby zespolone zapisuje si� z u�yciem znaku „i” lub „j” : 123 + 34i 321 – 43j

Sprawne tworzenie macierzy jest podstawow� umiej�tno�ci� jak� trzeba posi��, by efektywnie działa� w Matlabie.


Zadanie 4

a) Utwórz macierze A i B. Pomnó� je, wynik podaj�c w macierzy C:

��

�

�

��

�

�

−=

633742

531

A ��

�

�

��

�

�

−−=

32312221

1211

B

wynik: C = -81 -82 -111 -112 -156 -162

b) Zmie� kolejno�� macierzy w mno�eniu i sprawd� rezultat. Macierze mo�na składa� z podmacierzy, przestrzegaj�c dokładnie takich samych zasad, jak przy przybudowaniu macierzy z liczb (patrz wy�ej). Trzeba przy tym kontrolowa� wymiary macierzy. Nie mo�e w wyniku takiego składania doj�� do „braków” elementów w wierszach lub kolumnach.

Zadanie 5 Utwórz macierze składowe:

A – wektor wierszowy o 3 elementach, B – macierz o wymiarze 4x3, C – wektor kolumnowy o 3 elementach.

a) zbuduj z nich kilka macierzy D (D1, D2, itd.), b) zbuduj z nich kilka macierzy E, w taki sposób, �eby ka�da z macierzy

składowych wprowadziła elementy 10 razy wi�ksze lub 10 razy mniejsze od warto�ci elementów własnych.

c) zbuduj z nich, wpisuj�c w razie potrzeby dodatkowe liczby oraz wykorzystuj�c mo�liwo�� zagnie�d�ania nawiasów kwadratowych, kilka macierzy F o wymiarze: F1 - 5x4, F2 - 5x5, F3 - 6x5, F4 - 6x6.

Budowanie macierzy z u�yciem dwukropka polega na składaniu w macierz wygenerowanych wektorów wierszowych, przez okre�lenie dla ka�dego z nich:

• minimum i maksimum, według schematu – min : max – gdy kolejne elementy stanowi� arytmetyczny ci�g liczb całkowitych z ró�nic� równ� 1,

• minimum, przyrostu i maksimum, wg schematu – min : krok : max – gdy ci�g arytmetyczny ma dowoln� ró�nic� (niecałkowit� lub ujemn�).

Przykładow� macierz o nazwie dwukropek, wygenerowan� z u�yciem dwukropka pokazuje rysunek (zrzut fragmentu okienka Command Window).

????


M A T L A B

Zwró� uwag� na to, jak powstał ostatni wiersz tej macierzy i jaki jest efekt jego tworzenia. Zapami�taj: clear, clear zmienna1, clear all – usuwa z pami�ci (przestrzeni

roboczej) wszystkie zmienne, wybran� zmienn�, czy�ci cał� przestrze� robocz�;

clc – czy�ci okno polece�

Zadanie 6 Wyczy�� przestrze� robocz� i okno polece�. Utwórz macierz A przedstawion� ni�ej, z u�yciem dwukropka:

�WICZENIE 4 – Macierze – tworzenie - cz�� 2

Macierze mo�na budowa� za pomoc� specjalnych funkcji. Czyni si� to wtedy, gdy i same macierze maj� specjaln� (specyficzn�) posta�. Najcz��ciej stosowane funkcje dzielimy na:

• funkcje generuj�ce macierze, • funkcje przekształcaj�ce macierze.

Funkcje generuj�ce macierze podaje tabela.

eye(n) tworzy macierz jednostkow� o wymiarze n x n (1 na głównej przek�tnej)

zeros(n) tworzy macierz kwadratow� o wymiarze n x n wypełnion� samymi zerami

ones(n) tworzy macierz kwadratow� o wymiarze n x n wypełnion� samymi jedynkami

rand(n) tworzy macierz kwadratow� o wymiarze n x n wypełnion� liczbami pseudolosowymi z przedziału <0, 1> o rozkładzie jednostajnym

randn(n) tworzy macierz kwadratow� o wymiarze n x n wypełnion� liczbami pseudolosowymi o rozkładzie normalnym ze �redni� 0 i wariancj� równ� 1

Je�li argumentami tych funkcji b�d� dwie liczby naturalne, to zostan� wygenerowane macierze prostok�tne.

Funkcje przekształcaj�ce macierze podaje tabela.

A=diag(x) wstawia składniki wektora x na głównej przek�tnej macierzy zerowej A,

x=diag(A) tworzy wektor x z głównej przek�tnej macierzy A inv(A) tworzy macierz odwrotn� do macierzy A

tril(A) tworzy z macierzy A macierz trójk�tn� doln� (zerowanie elementów nad główn� przek�tn�)

triu(A) tworzy z macierzy A macierz trójk�tn� górn� rot90(A) obraca macierzy A o 90o w kierunku � repmat(A,m,n) powiela macierz A m razy w pionie i n razy w poziomie

reshape(A,m,n) tworzy macierz o m wierszach i n kolumnach z elementów macierzy A branych kolejno kolumnami


W kolejnych zadaniach zastosuj przedstawione wy�ej funkcje oraz poznane wcze�niej metody budowania macierzy (nie zapomnij te�, �e jednym z najprostszych działa� jest dodawanie macierzy).

Zadanie 7 Zbuduj macierze uwzgl�dniaj�c okoliczno��, �e do tworzenia kolejnych, mo�esz wykorzysta� macierze ju� istniej�ce.

A = 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7

B =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C = 9 2 2 2 2 9 2 2 2 2 9 2 2 2 2 9

D =

0 0 0 0 0 0 0 0

E =

9 2 2 2 2 9 2 2 2 2 9 2 2 2 2 9 0 0 0 0 0 0 0 0

F = 2 5 8 11

H = 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 8 0 0 0 0 11

K = 9 2 2 2 2 9 2 2 4 2 9 2 2 7 2 9 0 0 8 0 0 0 0 11

L = 2 2 2 9 0 11 2 2 9 2 8 0 2 9 2 7 0 0 9 2 4 2 0 0

M = 48 89 44 214 62 54 157 44 58 138 54 89 105 58 62 48

ME = 48 48 48 48 54 54 54 54 54 54 54 54 48 48 48 48

N = 2 2 2 9 0 11 0 2 9 2 8 0 0 0 2 7 0 0

0 0 0 2 0 0


M A T L A B

P = 2 9 0 2 0 7 0 2 2 0 2 8 0 0 0 0 2 11 9 0 2 0 0 0

R = 2 9 2 9 2 9 0 2 0 2 0 2 0 7 0 7 0 7 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 8 2 8 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 11 2 11 2 11 9 0 9 0 9 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0

�WICZENIE 5 – Zapis i odczyt danych

Istnieje wiele programów, które w rezultacie swych działa� tworz� tabele. S� to np. arkusze kalkulacyjne, bazy danych, edytory tekstów, itp. Matlab mo�e te tabele wczyta� do przestrzeni roboczej i przekształci� w macierze, pod warunkiem, �e wspomniane programy s� w stanie zapisa� swoje tabele w formacie pliku tekstowego. Taka importowana macierz ma nazw� wczytanego pliku (bez rozszerzenia). Funkcja realizuj�ca wczytanie pliku, to:

load nazwa_pliku.rozsz

Zadanie 8

1) Otwórz arkusz kalkulacyjny Excel. 2) Utwórz, poczynaj�c od komórki A1, tablic� liczbow� o 10 wierszach

i 10 kolumnach. Nie dodawaj �adnych opisów kolumn i tytułów tablicy. 3) Zapisz plik Excela w folderze roboczym Matlaba ustalaj�c:

� typ zapisywanego pliku z rozszerzeniem .txt , � nazw� pliku bez spacji, polskich liter i innych „dziwnych znaków”. Nie przejmuj si� du�� liczb� pojawiaj�cych si� okienek dialogowych, które utrudniaj� przeprowadzenie zapisu. Konsekwentnie wybieraj opcje prowadz�ce do zapisu.

4) Zamknij program Excel. 5) Przejd� do Matlaba i obejrzyj zawarto�� okienka Current Directory.

Znajd� tam plik przed chwil� zapisany. 6) Wczytaj plik do przestrzeni roboczej Matlaba. 7) Przeł�cz si� na podgl�d okienka Workspace. 8) Z wczytanej macierzy utwórz macierz o nazwie AA. 9) Wykorzystuj�c odpowiedni� funkcj� utwórz wektor xx z elementów

rozmieszczonych na głównej przek�tnej macierzy AA.

Znacznie łatwiej prowadzi� zapis do pliku i odczyt danych z pliku, kiedy operujemy tylko na tablicach (macierzach) z przestrzeni roboczej Matlaba. Funkcje, które obsługuj� te operacje przedstawione s� w tabeli. Trzeba pami�ta�, �e pliki zapisywane przez Matlaba, to tzw. pliki zapisane binarnie, a wi�c nie daj�ce si� przeczyta� w edytorze tekstowym.


save zapisanie wszystkich zmiennych w pliku matlab.mat

save plik zapisanie wszystkich zmiennych w pliku o nazwie plik.mat

save plik zm1 zm2 zapisanie wymienionych zmiennych (zm1, zm2) w pliku o nazwie plik.mat

load wczytanie zmiennych zapisanych w pliku matlab.mat

load plik wczytanie zmiennych zapisanych w pliku plik.mat

Do zapisu i odczytu zmiennych mo�esz tak�e wykorzysta� opcje menu i przyciski narz�dziowe.

Zadanie 9 Pami�taj�c, �e masz w przestrzeni roboczej macierze utworzone w zadaniu 8:

1) zbuduj macierz BB o wymiarze 10x11, składaj�c macierz AA i xx, 2) zapisz macierze AA, xx, BB w pliku AAxxBB.mat w folderze

roboczym, 3) wyczy�� zawarto�� przestrzeni roboczej Matlaba, 4) wczytaj zawarto�� pliku AAxxBB.mat do przestrzeni roboczej.

�WICZENIE 6 – Odwołania do elementów i fragmentów macierzy

Odwołanie do elementu macierzy dwuwymiarowej mo�e by� wykonane na dwa sposoby:

� przez wskazanie numeru wiersza i kolumny, � przez podanie tylko jednego indeksu.

W tym drugim przypadku odliczenie wg indeksu nast�pi w taki sposób, jakby wszystkie kolumny macierzy ustawione były jedna pod drug� i tworzyły jedn� dług� kolumn�. Przykłady odwołania do elementów macierzy podane s� ni�ej.

Z = 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35

� znalezienie warto�ci elementu macierzy przez podanie numeru wiersza i kolumny

>> elementZ=Z(2,4) elementZ = 24

� znalezienie warto�ci elementu macierzy przez podanie tylko jednego indeksu

>> elementZ=Z(11) elementZ = 24


M A T L A B

� wstawienie warto�ci do macierzy przez podanie numeru wiersza i kolumny elementu

>> Z(2,4)=99 Z = 11 12 13 14 15 21 22 23 99 25 31 32 33 34 35

� wstawienie warto�ci do macierzy przez podanie tylko jednego indeksu elementów macierzy

>> Z(7)=88; Z(4)=elementZ (warto�� uzyskana w

poprzednich przykładach) Z = 11 24 88 14 15 21 22 23 99 25 31 32 33 34 35

Odwołanie do fragmentu macierzy wykonywane jest przy pomocy dwukropka. Usuwanie wierszy lub kolumn polega na wstawieniu w ich miejsce macierzy pustej reprezentowanej przez zapis [ ] . Dla przykładu, usuni�cie 2 kolumny macierzy Z przeprowadzimy nast�puj�co

>> Z(: , 2)=[ ] Z = 11 88 14 15 21 23 99 25 31 33 34 35

W tej operacji dwukropek oznacza wszystkie wiersze. Takie znaczenie dwukropka (który nie rozdziela warto�ci skrajnych od : do) b�dzie wielokrotnie wykorzystywane. U�ycie „samotnego” dwukropka oznacza zawsze, �e działanie odbywa si� na wszystkich wierszach lub/i na wszystkich kolumnach macierzy. W ni�ej podanym przykładzie macierze YA, YB i YC utworzone s� z fragmentów macierzy Y.

>> Y=[11:15; 21:25; 31:35; 41:45] Y = 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 41 42 43 44 45 >> YA=Y(: , 3), YB=Y(1:3, :), YC=Y(2:3, 2:4) YA = 13 23 33 43


YB = 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 YC = 22 23 24 32 33 34

Je�li wybierane fragmenty macierzy nie stanowi� „obszaru spójnego”, to nale�y wyszczególni� numery wierszy lub kolumn w specjalnych wektorach. Przeanalizuj przykłady.

>> YD=Y( [1 3] , : ), YE=Y(2:4 , [1 3 5] ) YD = 11 12 13 14 15 31 32 33 34 35 YE = 21 23 25 31 33 35 41 43 45

Zadanie 10 Pami�taj�c, �e masz w przestrzeni roboczej macierze utworzone w zadaniu 7, zbuduj macierze przedstawione ni�ej, wykorzystuj�c umiej�tnie zapisy z dwukropkiem. Pierwsza litera w nazwie macierzy wskazuje na macierz, któr� powiniene� wykorzysta�. EA = 9 2 2 2 2 9 2 2 2 2 9 2

EB = 9 2 2 2 9 2 2 2 9 2 2 2 0 0 0 0 0 0

LA = 2 7 0 0 4 2 0 0

LB = 9 8 4 0

LC = 18 16 8 0

LD = 18.9 16.8 8.4 0

RA = 2 0 2 0 2 0 2 8 2 8 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 11 2 11 2 11 9 0 9 0 9 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0

RB = 2 0 2 0 2 0 2 8 2 8 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 11 2 11 2 11 9 0 9 0 9 0

MA = 0 0 0 0 0 0 0 0 58 138 54 89 105 58 62 48

MB = 48000 89000 44000 214000 62 54 157 44 58000 138000 54000 89000 105 58 62 48

MC = 48 999 44 999 62 999 157 999 58 999 54 999 105 999 62 999


M A T L A B

�WICZENIE 7 – Operacje na macierzach W Matlabie istniej� dwa rodzaje operacji na macierzach:

• zgodne z zasadami algebry macierzy (operatory macierzowe), • operacje tablicowe traktuj�ce macierze jak zwykłe tablice liczbowe.

Operatory tablicowe funkcjonuj� w taki sposób, �e działaniom operatorów podlegaj� odpowiadaj�ce sobie pary elementów obu macierzy (macierze musz� mi�� ten sam wymiar). Operatory tablicowe poprzedzone s� zawsze kropk�.

operator arytmetyczny operator macierzowy operator tablicowy dodawanie A+B A+B odejmowanie A-B A-B mno�enie A*B

B*A nie jest przemienne

A*BB*A

A.*B B.*A

jest przemienne: A.*B=B.*A

dzielenie prawostronne B/A=B*A-1 B./A=A.\B dzielenie lewostronne A\B=A-1*B A.\B=B./A pot�gowanie A^2=A*A A.^2 transpozycja A’ A’ odwracanie A^-1=inv(A) A.^-1

Je�li wyniki działa� w Matlabie przekraczaj� zakres tzw. zakres arytmetyki komputera, to Matlab nie przerywa działania, podaj�c jako rezultaty charakterystyczne zmienne

inf lub Inf (niesko�czono��). Je�li w wyniku działa� operacje s� matematycznie niezdefiniowane (np. 0/0), to jako rezultaty otrzymujemy zmienne

NaN lub nan

Zadanie 11 Zdefiniuj dwie macierze (M1 i M2) o wymiarze 3x3 z u�yciem dwukropka. Zmie� niektóre elementy tych macierzy „zakłócaj�c” rezultaty poprzedniego działania. Druga macierz nie powinna mie� elementów zerowych. Wykonaj nast�puj�ce polecenia:

1. Sprawd�, czy mno�enie macierzy jest przemienne obliczaj�c, ró�nic� wyników obydwu wariantów mno�enia.

2. Sprawd�, czy tablicowe mno�enie macierzy jest przemienne obliczaj�c, ró�nic� wyników obydwu wariantów mno�enia.

3. Sprawd�, czy mo�esz bez problemów podnie�� macierz M2 do pot�gi –1. Je�li nie, to oce� dlaczego, zmie� warto�� niektórych elementów i powtórz prób�.

4. Sprawd�, czy mo�esz bez problemów wykona� tablicow� operacj� podniesienia macierzy M2 do pot�gi –1.

Zadanie 12 Zdefiniuj macierz o wymiarze 3x7 z u�yciem dwukropka. Oblicz �redni� warto�� ka�dego wiersza macierzy wykonuj�c wył�cznie operacje macierzowe lub tablicowe. Odpowiednio do potrzeb zdefiniuj macierze pomocnicze. Udowodnij poprawno�� wyników w inny (niemacierzowy) sposób.


Dowolny tekst mo�esz zapisa� w Matlabie zaczynaj�c wiersz od znaku %. Tekst ten nie b�dzie interpretowany jako zapis operacji matematycznych. Takie zapisy stosuje si�, gdy chcemy wprowadzi� komentarz. Mo�na tym sposobem „swobodnego pisania w Matlabie” posłu�y� si� wtedy, gdy niejako „na brudno” zapisujemy przekształcenia wzorów, albo równania. Potem, po wzrokowym sprawdzeniu, mo�na całe sekwencje tych zapisów wykorzysta� i przenie�� do wła�ciwych miejsc w Matlabie (klasyczna operacja kopiuj-wklej). Rozwi�zywanie układu równa� liniowych to zagadnienie, który wyst�puje w wielu zadaniach in�ynierskich. Rozpatrzymy ten problem na przykładzie nast�puj�cego układu równa�.

x1+x2+x3-3=0 x1+2x2+3x3-1=0 x1-x2+x3-2=0

Wykorzystuj�c metody algebry liniowej i znane nam ju� operacje na macierzach, rozwi�zania poszukuje si� w sposób nast�puj�cy:

� przenosi si� wyrazy wolne na praw� stron� znaku równo�ci i porz�dkuje wyrazy wzgl�dem niewiadomych (x),

x1+x2+x3=3 x1+2x2+3x3=1 x1-x2+x3=2

� tworzy si� macierz współczynników przy niewiadomych A, wektor niewiadomych x i wektor wyrazów wolnych B:

A=

111321111

− ; x=

3

2

1

x

x

x

; B=

213

Przy tak zdefiniowanych macierzach równania zapisuje si� w postaci

Ax=B

i mo�na dokona� przekształcenia (lewostronne mno�enie przez A-1).

A-1Ax=A-1B Uwzgl�dniaj�c, �e

A-1A=I

przedstawia macierz jednostkow� (jedynki na głównej przek�tnej) otrzymujemy ko�cowy zapis.

Ix=A-1B x=A-1B

� wykonuje si� przedstawione wy�ej działanie otrzymuj�c poszukiwane rozwi�zanie x.


M A T L A B

Zadanie 13 Znajd� warto�ci sił reakcji w podporach (R1x, R1y, R2y) posługuj�c si� rachunkiem macierzowym.

a=0,7 b=1,5 c=0,18e1

P1=532

P3=320

P2=270

�=60o

R1=?

R2=?

y

x

UWAGA:

1. Równania statyki

R1x +P1x=0 R1y+P1y+P2y+P3y+R2y=0 P1y*a+P2y*(a+b)+P3y*(a+b+c)+R2y*(a+b+c)=0

uporz�dkuj wzgl�dem niewiadomych. 2. Przenie� składniki bez niewiadomych (tzw. wyrazy wolne) na

praw� stron� równania. Zauwa�, �e cały zestaw równa� mo�esz zapisa� macierzowo

A*R=W

gdzie: A – macierz współczynników przy niewiadomych (R1x, R1y, R2y),

W – macierz wyrazów wolnych, R – macierz szukanych składowych sił reakcji o postaci

��

�

�

��

�

�

=yR

yR

xR

R

21

1

3. Okre�l warto�ci wszystkich elementów macierzy A i W. 4. Dokonuj�c prostego przekształcenia powy�szego wzoru, oblicz

warto�ci elementów wektora R stosuj�c działania na macierzach. Wyniki: R1x= -266,00; R1y= 258,60; R2y= 252,13


�WICZENIE 8 – Funkcje standardowe

Matlab ma w swej bibliotece wiele funkcji. Musisz pami�ta�, �e wszystkie zmienne Matlab traktuje jak macierze, wi�c oczywiste jest, �e argumentem ka�dej funkcji mo�e by� macierz. Odpowiednia operacja zostanie wykonana na ka�dym elemencie macierzy. Wynikiem działania funkcji jest wi�c tak�e macierz. Niektóre z funkcji Matlaba podaje poni�sza tabela.

funkcje podstawowych operacji matematycznych sin(),cos(),tan(), cot()

funkcje trygonometryczne – argumenty w radianach

asin(), acos(), .. funkcje cyklometryczne – wynik w radianach

sqrt() pierwiastek kwadratowy – przy ujemnym argumencie wynik jest liczb� zespolon�

log(), log2(), log10()

logarytm naturalny, logarytm przy podstawie 2, logarytm przy podstawie 10 - przy ujemnym argumencie wynik jest liczb� zespolon�

abs() warto�� absolutna, a dla liczby zespolonej jej moduł

angle() argument liczby zespolonej

real(), imag() cz�� rzeczywista i urojona liczby zespolonej

round() zaokr�glenie do najbli�szej liczby całkowitej

funkcje operuj�ce na wektorach max() zwraca najwi�kszy element wektora (ka�dej kolumny macierzy)

min() zwraca najmniejszy element wektora (ka�dej kolumny macierzy)

sum() zwraca sum� elementów wektora (ka�dej kolumny macierzy)

prod() zwraca iloczyn elementów wektora (ka�dej kolumny macierzy)

mean() zwraca �redni� arytmetyczn� elementów wektora (ka�dej kolumny macierzy)

funkcje okre�laj�ce wymiary macierzy

size() rozmiar macierzy – wynikiem jest macierz dwuelementowa [liczba_wierszy liczba_kolumn ]

length() zwraca wi�kszy z wymiarów macierzy

funkcje �rodowiska Matlaba clear, clear z, clear all usuwa z pami�ci zmienne

clc, clf czy�ci okno polece�, okno rysunku

Zadanie 14 Sporz�d� tabel�, która dla warto�ci k�ta wyra�onej w stopniach, zestawia warto�ci wszystkich czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych. Stopniowanie k�ta co 1, a zakres tabeli od –90 do +90 stopni.


M A T L A B

Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a Praca w trybie bezpo�rednim - działania na macierzach

Zadanie 1. W krajach anglosaskich u�ywa si� jeszcze jednostki długo�ci

1 cal (1”). Wiedz�c, �e 1”=25.4 mm, opracuj tabel� słu��c� do szybkiego odczytu długo�ci w milimetrach, je�li kto� podaje długo�� w calach (calach i jego ułamkach). Przykład: z tabeli powinno si� szybko odczyta�, �e 7 i 3/16 cala to 182,5625 mm. Stopniowanie długo�ci wyra�onej w calach nie powinno by� „g��ciejsze” ni� 1/16 cala, a cały zakres tabeli powinien zawiera� wyniki w granicach od 0 do 1 m. Zastosuj poznane operacje macierzowe.

Zadanie 2. W Stanach Zjednoczonych (i niektórych innych krajach) do okre�lania temperatury stosuje si� skal� Fahrenheita. Wiedz�c, �e skal� temperatur Celsjusza i Fahrenheita wi��e nast�puj�cy wzór

toC=(5/9)*(toF-32)

opracuj tabel� słu��c� do szybkiego odczytu temperatury w oC, gdy kto� podaje informacj� o temperaturze w skali Fahreinheita. Cały zakres tabeli powinien zawiera� si� pomi�dzy –40 oC a 50 oC.

Zadanie 3. W pewnym eksperymencie prowadziłe� pomiary składowych siły F, czyli rejestrowałe� Fx oraz Fy. Zarejestrowałe� 100 takich par (utwórz macierz składowych siły o wymiarze 100x2 z wykorzystaniem funkcji generuj�cej liczby pseudolosowe). Przy pomocy operatorów macierzowych i tablicowych utwórz macierz kolumnow� (wektor o wymiarze 100x1), która zawiera� b�dzie obliczone warto�ci wypadkowej siły F.


�WICZENIE 9 – Wykresy – podstawowe funkcje kre�l�ce

Okno graficzne mo�na utworzy� na kilka sposobów: • poprzez menu – File/New/Figure, • przez wywołanie funkcji generuj�cej okno figure, • przez wywołanie jednej z wielu funkcji generuj�cych wykres.

Jednocze�nie mo�e by� utworzonych wiele okien, przy czym tylko jedno z nich jest aktywne. Ka�de z tych okien ma swój numer.

Oknem zarz�dza si� operuj�c funkcjami: • figure(nr) - uaktywnienie okna o numerze nr ,

• close(nr) - zamkni�cie okna o numerze nr,

• clf - usuni�cie zawarto�ci aktywnego okna,

• subplot(m,n,nr) - podział okna na cz��ci (kilka wykresów w ró�nych cz��ciach okna), tj. m wierszy i n kolumn i uaktywnienie cz��ci numer nr.

W trybie pracy bezpo�redniej najpro�ciej wybra� aktywne okno i jego cz��, po prostu u�ywaj�c myszki.

Funkcje generuj�ce wykresy w Matlabie daj� du�e mo�liwo�ci graficznego przedstawienia zbioru danych lub wyników oblicze�. Prawie zawsze argumentami ich s� macierze lub pojedyncza macierz. Je�li argumentem jest pojedyncza macierz, to traktowana ona jest jak zbiór warto�ci funkcji (warto�ci odmierzane w kierunku osi rz�dnych, tj. Y). Przy dwóch macierzach, pierwsza jest traktowana jako zbiór warto�ci na osi odci�tych, tj. X. Tabela zawiera najcz��ciej stosowane funkcje wraz z krótkim ich opisem.

Nazwa funkcji i sposób u�ycia Sposób działania

area(y) area(x,y)

krzywa (lub krzywe) z zamalowanym obszarem pod krzyw�

plot(y), plot(x,y),

plot(x1,y1,x2,y2)

krzywa na podstawie danych zawartych w wektorach dwie krzywe na jednym wykresie

loglog(x,y) semilogx(x,y) semilogy(x,y)

wykres w skali logarytmicznej w obu osiach wykresy w skali logarytmicznej dla osi X wykresy w skali logarytmicznej dla osi Y

fplot(‘funkcja‘,[x1,x2]) wykres z funkcji o podanej nazwie (koniecznie w apostrofach) i w zdefiniowanym dla niej prze-dziale argumentów, tj. od x1 do x2

polar(alfa,promien) wykres w układzie biegunowym

bar(y), bar(x,y) wykres słupkowy - je�li macierz y nie jest wektorem, to tworzone s� grupy słupków z warto�ci ka�dego wiersza

pie(y), pie(y,n) wykres kołowy o warto�ciach w % obliczonych automatycznie na podstawie warto�ci z wektora y. Zerojedynkowy wektor n okre�la, czy fragment koła jest wysuni�ty (1), tzn. wyeksponowany.


M A T L A B

Zadanie 15

Pewne urz�dzenie steruje procesem produkcyjnym. Dysponuje ono mo�liwo�ci� wł�czenia dwóch funkcji steruj�cych:

1) )cos(t ,

2) 1

1+t

.

Sterowanie mo�e odbywa� si� na 4 sposoby: 1) wł�czona jest tylko funkcja pierwsza, 2) wł�czona jest tylko funkcja druga, 3) wł�czone s� obie funkcje w taki sposób, �e sygnał steruj�cy

jest sum� obu funkcji, 4) wł�czone s� obie funkcje w taki sposób, �e sygnał steruj�cy

jest iloczynem obu funkcji (drugi sygnał okre�la amplitud� pierwszego).

Sporz�d� wykresy przebiegu sterowania dla ka�dego z wymienionych przypadków w przedziale 10-ciu cykli funkcji nr 1. Wykresy umie�� w trzech oknach: okno 1 – wykres przebiegu sterowania sposobem 1, okno 2 – wykres przebiegu sterowania sposobem 2, okno 3 – podziel na 4 cz��ci: w cz��ci 1 i 2 powtórz wykresy z dwóch

poprzednich okien, a w cz��ciach 3 i 4 sporz�d� wykresy przebiegu sterowania odpowiednio sposobem 3 i 4.

Wygl�d okna nr 3 pokazuje rysunek.


�WICZENIE 10 – Wykresy – podstawy formatowania – opis wykresu

Je�li popatrzymy uwa�niej na otrzymane wykresy, to mo�emy si� przekona�, �e wymagaj� one sporej korekty. Korekta ta dotyczy głównie sposobu ich prezentacji. Dla „osób postronnych” wykresy mog� by� mało czytelne. W dalszej cz��ci �wicze� nauczymy si� wpływa� na niektóre parametry wykresów.

Osie współrz�dnych wykresu wymagaj� niekiedy specjalnego potraktowania. W poprzednim zadaniu a� 3 wykresy ró�niły si� zakresem wyskalowania osi odci�tych i rz�dnych, a przecie� wszystkie dotycz� jednego problemu i powinny by� bardziej porównywalne. Do panowania nad osiami układu współrz�dnych słu�y seria funkcji i polece� o nazwie axis. Zestawia razem tabela podaj�c tak�e sposób ich stosowania.

Sposób u�ycia funkcji lub polecenia Działanie

axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) okre�la zakres skalowania osi układu współrz�dnych

axis ij ustawia pocz�tek układu w lewym górnym rogu

axis xy ustawia pocz�tek układu w lewym dolnym rogu

axis vis3d zamra�a własno�ci osi, umo�liwiaj�c obrót 3D

axis equal jednakowa jednostka na wszystkich osiach

axis square jednakowy rozmiar wszystkich osi (wykres w kwadracie)

axis auto domy�lne warto�ci dla wszystkich osi

axis ‘auto x‘ domy�lne warto�ci dla wybranej osi (x)

axis manual wył�cza tryb automatycznego ustawiania zakresu osi, wła�ciwo�� cenna przy wielu wykresach w tym samym okienku

axis off, axis on ukrywa, przywraca osie wraz z opisem

Opisywanie wykresów znacznie ułatwia ich zrozumienie. Tabela podaje funkcje i sposoby post�powania prowadz�ce do opisania wykresów.

Funkcja Opis

title(‘tekst‘) tytuł wykresu - wprowadza ła�cuch znaków tekst

xlabel(‘tekst‘) opis osi X - wprowadza ła�cuch znaków tekst ylabel(‘tekst‘) opis osi Y - wprowadza ła�cuch znaków tekst text(x,y,‘tekst‘) tekst w miejscu okre�lonym przez współrz�dne x,y grid on/off siatka pomocnicza wł�czona / wył�czona

Efekty specjalne (formatowanie)

‘\alpha‘, ‘\beta‘, ‘\phi‘ .. znaki greckie , �, � .. ‘\infty‘ znak ‘^‘, ‘_‘ nast�pny znak, to indeks górny 3, .. indeks dolny 3 ‘\bf‘, ‘\it‘ nast�pny znak pogrubiony, .. pochylony

Je�li w dwóch ostatnich przypadkach opcja formatowania dotyczy� ma ci�gu znaków, to nale�y ten ci�g uj�� w nawias klamrowy { }.


M A T L A B

Zadanie 16

Dla urz�dzenia steruj�cego opisanego w zadaniu 13 sporz�d� wykres według zalece� jak dla okna nr 3. Dodatkowo, wykresy we wszystkich cz��ciach okna powinny mie� tytuł i powinny by� przedstawione w jednakowych układach współrz�dnych. Wszystkie osie powinny by� opisane. W celu dokładniejszej analizy wyników zadania, wykresy z cz��ci 3 i 4 okna, przedstawi� trzeba na tle dodatkowej siatki.

�WICZENIE 11 – Wykresy – podstawy formatowania – linie wykresu

Cz�sto zachodzi potrzeba przedstawienia wielu krzywych w jednym układzie współrz�dnych i to na jednym wykresie. W takim przypadku wymagane jest tak�e, by linie te mogły by� łatwo rozró�niane. Do tego rozró�nienia stosuje si� ró�ne rodzaje, ró�ne kolory i grubo�ci linii. Stosuje si� ró�ne znaczniki (markery) punktów charakterystycznych wykresu, itp. Czytanie wykresu ułatwia legenda opisuj�ca znaczenie linii. Tabele zawieraj� funkcje i polecenia stosowane, gdy trzeba na jednym wykresie umie�ci� wiele linii o ró�nych wła�ciwo�ciach.

hold on/off tryb nakładania wykresów wł�czony/wył�czony

legend(‘tekst1‘,‘tekst2‘...) wstawia legend�: poszczególne pozycje (wykresy) opisane s� kolejnymi ła�cuchami tekstowymi

rodzaj linii kolor linii marker punktu oznaczenie nazwa oznaczenie nazwa oznaczenie nazwa

‘-‘ linia ci�gła ‘y‘ �ółty ‘+‘ krzy�yk

‘--‘ linia kreskowa ‘m‘ karmazynowy ‘*‘ gwiazdka

‘:‘ linia kropkowa ‘c‘ turkusowy ‘.‘ kropka

‘-.‘ kreska-kropka ‘r‘ czerwony ‘o‘ kółko

‘g‘ zielony ‘x‘ iks

‘b‘ niebieski ‘s‘ kwadrat

‘w‘ biały ‘d‘ romb

‘k‘ czarny ‘v‘ trójk�t 1

‘^‘ trójk�t 2

‘<‘ trójk�t 3

‘>’ trójk�t 4

‘LineWidth‘ szeroko�� linii

‘MarkerSize‘ rozmiar markeru

‘MarkerEdgeColor‘ kolor obrysu markeru

‘MarkerFaceColor‘ kolor wypełnienia markeru


Przeanalizuj poni�szy przykład, w którym zastosowano wiele funkcji i polece� zawartych w podanych tabelach. Zwró� uwag�, �e ci�g znaków okre�laj�cy rodzaj i kolor linii oraz rodzaj markera, podaje si� ł�cznie w jednej parze apostrofów (w tym miejscu nie trzeba okre�la� wszystkich tych wła�ciwo�ci – mo�na tylko niektóre). Je�li nie okre�limy tych parametrów, to Matlab przyjmie swoje własne (domy�le).

W jednym oknie wykre�lone s� dwie krzywe. )sin()cos( tety = )sin(t

>> % krzywa nr 1 >> hold on; t=[0:0.2:10]; y=cos(t).*exp(sin(t)); plot(t,y,'r-o','LineWidth',3, 'MarkerEdgeColor','k',... 'MarkerFaceColor','w','MarkerSize',6); >> % krzywa nr 2 fplot('sin',[0,10],'--b'); title('Dwa wykresy'); xlabel('Czas [s]'); legend('cos(t)e^{(sin(t)}','sin(t)')

kolor, rodzaj linii, rodzaj markera

nazwa parametru – szeroko�� linii

warto�� parametru parametru

nazwa parametru – kolor kraw�dzi markera

warto�� parametru –kolor czarny


M A T L A B

Zadanie 17

Masz ci�g okre�lony przez wyra�enie

nnnan −+= 22 gdzie n – to kolejne liczby naturalne. Przy pomocy wykresu:

• udowodnij, �e granic� ci�gu jest liczba 1, • znajd� liczb� wyrazów ci�gu, których warto�� jest mniejsza od 0,9.

Zadanie 18 Masz dane równanie (wygl�da na do�� skomplikowane)

05.0)cos(7.01.0301 )sin(23 =−−−+ tetttt

Wykorzystaj mo�liwo�� rysowania wielu krzywych na jednym wykresie do oszacowania warto�ci trzech pierwiastków tego równania. Uwaga - na podstawie powy�szego równania sporz�d� dwie funkcje i znajd� miejsce ich przeci�cia.

Wynik: x1= -5,2 x2= -1 x3=2,1

Zadanie 19 Trzy firmy giełdowe maj� na pocz�tku roku akcje o tej samej warto�ci równej 100 zł. Sporz�d� macierz o wymiarze 3x4. W ka�dym wierszu macierzy uj�te s� warto�ci akcji jednej firmy po upływie kolejnych kwartałów, według schematu.

firma1 – kw1 firma1 – kw2 firma1 – kw3 firma1 – kw4 firma2 – kw1 firma2 – kw2 firma2 – kw3 firma2 – kw4 firma3 – kw1 firma3 – kw2 firma3 – kw3 firma3 – kw4

Do okre�lenia warto�ci akcji posłu� si� funkcj� generuj�c� warto�ci pseudolosowe. U�yj jej tak, by mie� pewno��, �e �adna warto�� akcji nie b�dzie bardziej odległa od warto�ci pocz�tkowej (100 zł) ni� o 30 zł. Sporz�d� wykres:

� słupkowy, który posłu�y do porównania zmian warto�ci akcji 3 firm w ci�gu roku,

� kołowy, który porówna (w %) warto�ci akcji firm na koniec roku (4 kwartał).


Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a Wykresy

Zadanie 4. Utwórz, przy pomocy generatora liczb pseudolosowych, tabel� o

wymiarze 30x5. Oblicz �redni� arytmetyczn� z liczb w ka�dej kolumnie. Na wykresie słupkowym poka� te �rednie warto�ci kolumn. Wykres sporz�d� tak, by zawierał on wszystkie mo�liwe opisy.

Zadanie 5. Sporz�d� w jednym oknie, w ró�nych jego cz��ciach, wykresy wszystkich 4 podstawowych funkcji trygonometrycznych.

Zadanie 6. Metod� wykre�ln� oszacuj współrz�dne wspólnych punktów

dwóch funkcji:

21

)(1−

=x

xf ; 10)(2 2 ++−= xxxf


M A T L A B

�WICZENIE 12 – Skrypty

W Matlabie mo�na pracowa� w ten sposób, �e wszystkie polecenia potrzebne do rozwi�zania problemu, reguły, funkcje, itp., pisze si� w oknie tekstowego edytora, a potem cały ten tekst zapisuje w pliku z rozszerzeniem „.m”. Tak powstaj� tzw. m-pliki, tak tworzy si� programy/procedury (nazywane skryptami) i funkcje.

Do przechowywania takiej twórczo�ci przeznaczony jest specjalny folder. Matlab wie, �e musi tam szuka� programu (lub funkcji), gdy jest on wywołany (przez wpisanie nazwy pliku bez rozszerzenia „.m”). My powinni�my mie� �wiadomo��, �e tylko tam mo�emy zapisywa� tworzone m-pliki.

Zadanie 19

1. Sprawd� lokalizacj� folderu do przechowywania m-plików. Powinien on by� utworzony na dysku D:, z dala od macierzystych plików Matlaba.

2. Upewnij si� u prowadz�cego zaj�cia, �e dobrze zlokalizowałe� folder. 3. Usu� zawarto�� folderu. Jest to folder, który na potrzeby zaj��

nazywa� b�dziemy naszym folderem roboczym. Praca, któr� zostawili tam koledzy z poprzednich zaj��, nie b�dzie nam potrzebna. Za to na ko�cu zaj��, swoj� prac� przekopiujesz z tego folderu na dyskietk�.

Skrypt najlepiej utworzy� wybieraj�c z menu opcj� File/New/M-File. Otwiera si� nowe puste okienko. Wpisywane tam polecenia nie s� od razu wykonywane. Stanowi� zawarto�� m-pliku rozumian� jako tre�� programu. Zapisanie tej zawarto�ci na dysku odbywa si� w klasyczny sposób: File/Save As... . Pami�ta� trzeba, aby skontrolowa� miejsce zapisu i upewni� si�, �e b�dzie to folder przeznaczony na m-pliki.

Struktura skryptu jest bardzo prosta. Tak naprawd� mo�na powiedzie�, �e w skrajnym przypadku nie ma �adnej struktury. Jest po prostu ci�g polece� i instrukcji. Poleca si� jednak przestrzega� pewnych zasad. Zasady te, to:

� rozpoczynanie skryptu od komentarzy opisuj�cych jego przeznaczenia i metod� stosowan� do oblicze�,

� umieszczenie w tym opisie nazw macierzy i zmiennych, które musz� znale�� si� w przestrzeni roboczej Matlaba, by program, czyli skrypt, mógł na nich operowa�,

� umieszczenie w tym miejscu tak�e opisu macierzy i zmiennych tworzonych przez program,

� opatrywanie sekwencji działa� lub ciekawszych instrukcji odpowiednim komentarzem wyja�niaj�cym, co ułatwi pó�niej ewentualne poprawiane skryptu lub wykorzystanie jego zawarto�ci w innych tworzonych m-plikach (kopiuj/wklej).

Komentarze w skrypcie poprzedza si� znakiem procentu %. Znak ten ma znaczenie tylko do ko�ca wiersza. Tre�� komentarza, który umieszczony jest na pocz�tku skryptu traktowana jest jak tzw. „help” skryptu (obja�nienie). Mo�na ten „help” wywoła� bez uruchamiania skryptu poleceniem

help nazwa_skryptu Polecenia skryptu musz� odnosi� si� do zmiennych, które znajduj� si� w przestrzeni roboczej Matlaba (w pami�ci Matlaba) lub do tych zmiennych, które utworzone s� przez sam skrypt. Te zmienne w wyniku działania skryptu b�d� tak�e znajdowa� si� w przestrzeni roboczej.


Uruchomienie skryptu (zadziałanie programu) osi�ga si� poprzez wpisanie nazwy m-pliku (bez rozszerzenia) w oknie Command Window. Przykład. Utworzy� skrypt, który działa na macierzach A i B. Podaje wynik dodania i

odj�cia tych macierzy. Etap 1 - utworzenie skryptu Dodanie_odjecie w edytorze Matlaba.

Etap 2 – sprawdzenie działania skryptu w oknie Command Window.

Etap 3 – sprawdzenie opisu skryptu, czyli tzw. „helpa”.


M A T L A B

Zadanie 20

Utwórz skrypt słu��cy do analizy zło�enia dwóch funkcji, których warto�ci podane s� w macierzach A1 i A2. Macierze te znajduj� si� w przestrzeni roboczej Matlaba. Skrypt wykonuje wykresy w jednym oknie podzielonym na 4 cz��ci. W cz��ciach tych powinny si� znale��:

cz�� 1 – wykres przebiegu funkcji o warto�ciach z macierzy A1, cz�� 2 – wykres przebiegu funkcji o warto�ciach z macierzy A2, cz�� 3 – wykres sumy tych funkcji, cz�� 4 – wykres ró�nicy tych funkcji.

Do testowania poprawno�ci działania skryptu utwórz w przestrzeni roboczej Matlaba macierze:

A1 – warto�ci funkcji: f(α)=sin(α), w przedziale <0, 8π>, A2 – warto�ci funkcji: g(α)=sin(0.7α), w przedziale <0, 8π>.

Zadanie 21

Utwórz dwie macierze, które zawieraj� warto�ci innych (ni� w zadaniu 18) dwóch funkcji. Wykorzystaj skrypt z poprzedniego zadania do analizy zło�enia tych funkcji.

�WICZENIE 13 – Programowanie

Podczas tworzenia skryptów wykorzystuje si� tak�e j�zyk programowania Matlaba. Na zaj�ciach poznamy i zastosujemy podstawowe jego konstrukcje (typowe dla wielu innych j�zyków).

Zestawienie operatorów relacji i operatorów logicznych stosowanych w wyra�eniach j�zyka podaje tabela.

Operatory relacji Operatory logiczne Operator Relacja Operator Działanie

a==b a=b a | b a lub b a~=b a≠b a & b a i b a<b a<b ~a nie a a>b a>b

a<=b a≤b a>=b a≥b

Poni�ej opisane s� krótko podstawowe instrukcje j�zyka. Zakłada si� przy tym, �e typowe przeznaczenie instrukcji i obrazowy pełny jej opis wraz z przykładami zastosowania, poznał student na zaj�ciach wcze�niejszych kursów informatyki. Nale�y tu zwróci� uwag� przede wszystkim na składni� ka�dej instrukcji, która mo�e nieco ró�ni� si� od tej, któr� zna student z innego j�zyka programowania.


Instrukcje j�zyka Matlab if - instrukcja warunkowa - ma dwie postacie

if wyra�enie_log if wyra�enie_log

polecenie1 polecenie1 polecenie2 polecenie2 . . . . . .

end elseif wyra�enie2 polecenie_m polecenie_m+1 . . . else polecenie_n polecenie_n+1 . . . end

switch - instrukcja wielowariantowego wyboru

switch warto��_wyra�enia case warto��1

polecenia_serii1

case warto��2 polecenia_serii2

...

otherwise polecenia_serii_n

end

for - p�tla iteracyjna

for zamienna=od:krok:do polecenie1

polecenie2

...

end

while - p�tla iteracyjna

while wyra�enia_logiczne polecenie1

polecenie2

...

end

break i return - instrukcje przerwania � break – powoduje przerwanie p�tli iteracyjnej i wyj�cie w działaniach za p�tl�, � return – powoduje przerwanie wykonywania skryptu lub funkcji i powrót za

miejsce wywołania tego skryptu (w innym skrypcie lub oknie Command Window).


M A T L A B

Współdziałanie u�ytkownika ze skryptem mo�na zrealizowa� stosuj�c ni�ej przedstawione instrukcje. Słu�� one do wprowadzania danych liczbowych i tekstowych, pokazywania rezultatów działa� na ekranie i chwilowego zatrzymywania działa� w celu oceny wyników.

x=input(‘tekst‘) wy�wietla tekst , oczekuje na wpisanie liczby i naci�ni�cie klawisza [Enter]

x=input(‘tekst‘,‘s‘) wy�wietla tekst , oczekuje na wpisanie ła�cucha znaków i naci�ni�cie klawisza [Enter]

disp(x) wy�wietla zawarto�� macierzy x bez podawania jej nazwy (x mo�e by� ‘tekstem’ jawnym)

tekst=int2str(liczba) konwersja liczby całkowitej na tekst

tekst=num2str(liczba) konwersja liczby rzeczywistej na tekst

pause zatrzymuje wykonywanie skryptu do momentu naci�ni�cia dowolnego klawisza

pause(s) zatrzymuje wykonywanie skryptu na s sekund

Argumentem funkcji disp mo�e by� tylko jedna zmienna. Dlatego je�li chcemy wy�wietli� informacj� o wielu zmiennych w jednym wierszu, to trzeba umie�ci� je w jednej macierzy i je�li s� one ró�nego typu, to odpowiednio przekonwertowa� do tego samego typu (oczywiste jest przecie�, �e macierz mo�e zawiera� tylko elementy tego samego typu). Przykład:

>> x=input('wprowad� liczb�: ') wprowad� liczb�: 1234 x = 1234 >> disp(['wprowadzona liczba=',int2str(x)]) wprowadzona liczba=1234

Zadanie 22

Obiekt badany, to utwierdzona belka o długo�ci l, obci��ona na ko�cu sił� skupion� P. Sporz�d� skrypt, który słu�y do wykre�lania zale�no�� strzałki ugi�cia f belki, od rodzaju i wielko�ci jej przekroju poprzecznego. Rodzaje przekrojów, to:

� kwadrat – wymiar charakterystyczny – bok a, � koło – wymiar charakterystyczny – �rednica d, � prostok�t – wymiary charakterystyczne – boki prostok�ta a i b, � pier�cie� – wymiary charakterystyczne – �rednica zewn�trzna D,

�rednica wewn�trzna d. Podczas działania, skrypt pyta o rodzaj przekroju, za� ci�g warto�ci wymiarów charakterystycznych przekroju pobierany jest z przestrzeni roboczej Matlaba (a wi�c utworzona jest ju� np. macierz warto�ci �rednic d). Tak�e pozostałe dane do oblicze� (stała długo�� belki l i stała warto�� siły obci��aj�cej P) wprowadza u�ytkownik działaj�c w oknie Command Window.


A-A Przekroje

f l

P

A

A

a

d D d

a

b

12

4aJ =

64

4dJ

π= 12

3abJ = )(

6444 dDJ −= π

Wzór na strzałk� ugi�cia belki ma posta�:

EJPl

f3

3

= ; E=2,1x105 [N/mm2]

Skrypt sporz�dza wykresy od razu w dwóch skalach, tj. zwykłej i logarytmicznej. Dane do testowania skryptu wprowadzaj w nast�puj�cych jednostkach:

siła w [N], wielko�ci geometryczne w [mm].

�WICZENIE 14 – Funkcje własne

W m-plikach mo�na przechowywa� tak�e własne funkcje. Nazwa utworzonej własnej funkcji musi by� taka sama jak nazwa m-pliku (bez rozszerzenia .m). Definicja funkcji ma posta�:

function [wyn1,wyn2,..]=nazwa_fun(param1, param2,..) % Opis „helpowy” działania funkcji polecenie1 polecenie2 ... wyn1=wyra�enie_prowadz�ce_do_wyniku1 wyn2=wyra�enie_prowadz�ce_do_wyniku2 ...

Funkcj� własn� wywołuje si� tak samo jak ka�d� inn� funkcj� Matlaba.


M A T L A B

Przykład: Napisa� funkcj� przeliczaj�c� stopnie na radiany. Definicja funkcji:

function [y]=stop_rad(x) % Przelicza stopnie na radiany a=pi/180; y=x*a; % -------------------------------

Zastosowanie funkcji stop_rad : >> a=[10:10:180] a = 10 20 30 ... 180 >> z=stop_rad(a)

z = Columns 1 through 6 0.1745 0.3491 0.5236 0.6981 0.8727 1.0472

Columns 7 through 12 1.2217 1.3963 1.5708 1.7453 1.9199 2.0944 Columns 13 through 18 2.2689 2.4435 2.6180 2.7925 2.9671 3.1416

Zadanie 23 Opracuj funkcj�, która słu�y do zamiany współrz�dnych kartezja�skich x, y na współrz�dne biegunowe r, �. Współrz�dne x, y umieszczone s� parami w kolejnych wierszach macierzy. Jest to macierz argumentów. Podobnie zbudowana jest macierz wyników, tzn. w ka�dym jej wierszu jest para współrz�dnych r, �. Zało�enia dodatkowe:

� funkcja działa dla współrz�dnych x, y punktu we wszystkich �wiartkach kartezja�skiego układu współrz�dnych,

� k�t (wynik) okre�lany jest w stopniach w zakresie liczb od 0o do 360o


Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a M-pliki, skrypty i funkcje własne

Zadanie 7. Utwórz skrypt, który przegl�da elementy danej macierzy i zeruje

wszystkie te, które przekraczaj� zadan� graniczn� warto��. O granic� pyta sam skrypt po jego uruchomieniu. Przeszukiwana macierz wyj�ciowa wygenerowana jest poza skryptem.

Zadanie 8. Utwórz skrypt, który wybiera z danej macierzy liczby, których warto�� mie�ci si� w zadanym przedziale. Liczby te umieszczane s� wektorze. O granice przedziału pyta sam skrypt po jego uruchomieniu. Przeszukiwana macierz wyj�ciowa wygenerowana jest poza skryptem.

Zadanie 9. Napisz skrypt, który spełnia rol� specjalnego operatora działaj�cego na macierzy. Potrzebuje w przestrzeni roboczej Matlaba macierzy X. Wystawia u�ytkownikowi komunikat o mo�liwych działaniach i stosownie do wprowadzonej odpowiedzi tworzy macierz Y wykonuj�c:

� transponowanie macierzy X, � odwracanie macierzy X, � mno�enie według działania XxXT, � mno�enie według działania XTxX.

Zadanie 10. Opracuj funkcj�, która przelicza pr�dko�� wyra�on� w [km/h] na pr�dko�� wyra�on� w [m/s].

Zadanie 11. Opracuj funkcj�, która na podstawie współrz�dnych dwóch punktów umieszczonych w dwóch macierzach A i B, wyznaczy współczynniki a i b równania prostej przechodz�cej przez te punkty.


M A T L A B

�WICZENIE 15 – Miejsca zerowe, minima i maksima funkcji

Ni�ej przedstawione funkcje Matlaba poszukuj� miejsca zerowego i minimów funkcji jednej zmiennej w pobli�u wskazanej warto�ci.

x1=fzero(‘nazwa_funkcji‘,x0) – zwraca miejsca zerowe x1 funkcji o nazwie nazwa_funkcji poszukuj�c rozwi�zania w pobli�u warto�ci x0. Definicja funkcji musi by� zapisana w m-pliku.

x1=fminbnd(‘nazwa_funkcji‘,xp,xk)- zwraca miejsce x1, w którym funkcja nazwa_funkcji osi�ga minimum. Definicja funkcji musi by� zapisana w m-pliku.

Zawsze zachodzi pytanie, jak okre�li� warto�ci, x0, xp, xk. Przy poszukiwaniu rozwi�za� w zagadnieniach praktycznych, zwykle jest to do�� oczywiste. Np. poszukiwany wymiar lub współczynnik nie mo�e by� ujemny lub z góry wiemy w jakim przedziale warto�ci mo�e si� zawiera�.

Je�li brak nam wiedzy o orientacyjnej warto�ci poszukiwanych zmiennych, to tworzymy najpierw wykres funkcji (fplot) w szerokim przedziale argumentów. Na podstawie analizy wykresu mo�emy ju� w łatwy sposób tak zastosowa� przedstawione funkcje, by uzyska� oczekiwane wyniki.

Zadanie 24

Masz dane równanie jak w zadaniu 18:

05.0)cos(7.01.0301 )sin(23 =−−−+ tetttt

W przedziale argumentów od –6 do 6 znajd� pierwiastki równania. Okre�l miejsca i warto�ci minimów i maksimów funkcji utworzonej z tego równania. Porównaj wyniki z rezultatami zadania 18.

�WICZENIE 16 – Pierwiastki wielomianu

Wielomian, to wyra�enie matematyczne postaci

11

21 ...),( +− ++++= nn

nn axaxaxaaxW

Podstawowym zagadnieniem jest najcz��ciej wyznaczenie pierwiastków wielomianu. Funkcje przydatne w działaniach z wielomianami zestawione s� w tabeli.

r=roots(a) zwraca wektor r pierwiastków wielomianu W(x,a); a – wektor uporz�dkowanych współczynników wielomianu

a=poly(r) zwraca wektor a współczynników wielomianu o pierwiastkach podanych w wektorze r

p=polyval(a,x0) oblicza warto�� w punkcie x0 wielomianu o współczynnikach zawartych w wektorze a . Je�li x0 jest wektorem, to i wynik p jest wektorem.


Zadanie 25 Wyznacz pierwiastki wielomianu

632)( 24 −++= xxxxW

i sprawd� poprawno�� uzyskanych wyników tworz�c wykres odpowied-niej funkcji.

�WICZENIE 17 – Interpolacja

Zagadnienie interpolacji pojawia si� wtedy, gdy funkcja jest zadana sko�czon� ilo�ci� punktów (w�zły interpolacji: xi ,yi) i zachodzi potrzeba obliczenia jej warto�ci pomi�dzy tymi punktami. ��da si� w tym przypadku, by w w�złach funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same warto�ci.

Nie b�dziemy zajmowa� si� postaciami i teori� funkcji interpoluj�cych. Do wyznaczenia warto�ci funkcji mi�dzy w�złami stosuje si� zapis

yy=interp1(x,y,xx,’metoda’) gdzie:

• yy - wektor poszukiwanych warto�ci funkcji w punktach okre�lonych wektorem xx,

• xx – wektor punktów, w których szukamy warto�ci funkcji,

• x,y – wektory okre�laj�ce w�zły interpolacji, ci�g współrz�dnych w wektorze x powinien by� monotoniczny,

• ’metoda’ – tekst okre�laj�cy metod� interpolacji. Stosowane metody interpolacji nazwane s� nast�puj�co:

• ’linear’ – interpolacja liniowa,

• ’spline’ – interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia trzeciego,

• ’cubic’ – interpolacja wielomianami trzeciego stopnia.

Ró�nice mi�dzy metodami interpolacji poznamy rozwi�zuj�c przykład.

Zadanie 26

Jeste� projektantem karoserii samochodu. Masz wiedz� o ogranicze-niach geometrycznych narzuconych przez kolegów projektuj�cych podzespoły nap�dowe i pozostały osprz�t w komorze silnika. Na rysunku ograniczenia te przedstawione s� w postaci punktów z podanymi współrz�dnymi (punkty w�złowe). Metodami interpolacji zaprojektuj lini� nadwozia w przedniej cz��ci samochodu. Musisz przekaza� wyniki do działu projektuj�cego formy tłocz�ce elementy karoserii, podaj�c współrz�dne linii nadwozia z krokiem 1 cm.


M A T L A B

x [cm]

y [cm]

x = 5 25 62 105 165 215 250

y = 165 155 118 105

90 80 23

� Oce� rezultaty działa� analizuj�c odpowiednie wykresy nakładane na siebie.

� Spróbuj wpłyn�� na wyniki zmieniaj�c metody interpolacji, a w przypadku braku zadowalaj�cych rezultatów, zmieniaj�c sensownie poło�enie (współrz�dne) punktów w�złowych.

� Ostateczne rezultaty oblicze� zapisz w pliku. � Nie usuwaj wykresów.

�WICZENIE 18 – Aproksymacja

Aproksymacja stanowi uogólnione zagadnienie interpolacji. Zadanie sformułowane jest podobnie, lecz nie ��da si� w tym przypadku, by w w�złach funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same warto�ci.

Pojawia si� zatem poj�cie bł�du aproksymacji, który okre�la si� jako ró�nic� warto�ci obu funkcji. Zadaniem metod numerycznych jest minimalizacja bł�du aproksymacji. Aproksymacja �redniokwadratowa (zwana metod� najmniej-szych kwadratów) wielomianami wybranego stopnia jest najcz��ciej stosowana. Polega ona na minimalizacji bł�du aproksymacji, zdefiniowanego jako suma kwadratów odchyłek we wszystkich punktach w�złowych:

2

0

)]()([ ii

n

i

xfxF −�=

Do aproksymacji stosuje si� dwie funkcje: p=polyfit(x,y,n) – wyszukuje współczynniki p wielomianu

aproksymuj�cego: x i y - wektory zawieraj�ce współrz�dne punktów w�złowych, n – rz�d wielomianu;

yw=polyval(p,xw) – oblicza warto�ci wielomianu aproksymuj�cego w punktach okre�lonych wektorem xw:

p – wektor współczynników wielomianu, xw – wektor współrz�dnych niezale�nych dla których

wyznacza si� warto�ci wielomianu.


Aproksymacj� stosuje si� najcz��ciej, gdy punkty w�złowe pochodz� z bada� eksperymentalnych. Wyniki zazwyczaj obarczone s� bł�dem i stosowanie interpolacji nie ma sensu. Cz�sto za� zale�y prowadz�cemu eksperyment na opisaniu zale�no�ci� analityczn� charakteru obserwowanych zjawisk.

Jednym z pyta�, na które trzeba odpowiedzie�, to „jakiego rz�du ma by� wielomian opisuj�cy wyniki bada� eksperymentalnych”. My b�dziemy t� warto�� dobiera� intuicyjnie (mała liczba całkowita).

Zadanie 27 Problem analogiczny, jak w zadaniu poprzednim. Ró�nica polega na tym, �e ograniczenia konstrukcyjne nie s� „sztywne”. Mo�na wi�c krzyw� opisuj�c� lini� karoserii poprowadzi� w pobli�u punktów w�złowych. Metod� aproksymacji zaprojektuj lini� nadwozia w przedniej cz��ci samochodu.

1. Utwórz nowe okno wykresów i ustaw rysowanie kilku krzywych w jednym oknie.

2. Oce� rezultaty aproksymacji analizuj�c odpowiednie wykresy. 3. Porównaj:

� rezultaty działa� przy dobieraniu coraz wi�kszego rz�du wielomianu aproksymuj�cego,

� wyniki najlepsze z najlepszymi wynikami z zadania poprzedniego (interpolacja).

4. Pami�taj, �e: � wyniki musisz przekaza� do działu projektuj�cego formy

tłocz�ce elementy karoserii, podaj�c współrz�dne linii nadwozia z krokiem 1 cm,

� wyniki musisz zapisa� w pliku.

Zadanie 28

W zadaniu porównaj wykre�lnie (na jednym rysunku) i liczbowo dwie sytuacje. Sytuacja 1. Wygeneruj n punktów w pobli�u prostej wyj�ciowej

o zadanych współczynnikach a, b w pewnym przedziale argumentów x. Argumenty te zawsze zaczynaj� si� od 0 i przyrastaj� ze stałym krokiem krok_x. Do wygenerowania tych punktów musisz utworzy� funkcj�, która ma argumenty: a, b, n, krok_x, rozrzut_losowania. Prost�

y=ax+b

oraz punkty wokół niej poło�one narysuj na wykresie.

Sytuacja 2. Zapomnij na chwil�, �e istnieje ju� prosta wyj�ciowa. Za to punkty wygenerowane wokół prostej potraktuj jako punkty pochodz�ce z pomiarów pewnego zjawiska, które ma charakter liniowy (daje si� według teorii opisa� równaniem prostej). Maj�c te punkty, poszukaj metod� aproksymacji równania prostej, która do nich „najlepiej pasuje”. Na tym samym wykresie co poprzednio narysuj t� znalezion� prost�.


M A T L A B

Porównaj: � wykresy prostej wyj�ciowej i znalezionej, � warto�ci współczynników równania prostej wyj�ciowej i prostej

znalezionej metod� aproksymacji.

Przykładowy wykres otrzymany przy rozwi�zywaniu tego zadania pokazuje rysunek.

Ju� teraz wiesz dlaczego naukowcy bardzo si� ciesz�, gdy mog� powiedzie�, �e wyniki ich bada� uzyskane s� z dokładno�ci� do 10%.

�WICZENIE 19 – Całkowanie numeryczne

Obliczanie warto�ci całek oznaczonych, to problem do�� powszechny i cz�sto trudny, gdy nie jest znana funkcja pierwotna analizowanej funkcji. Stosuje si� wtedy metody przybli�one, numeryczne. Cała istota tych metod zasadza si� na jak najdokładniejszym obliczeniu pola powierzchni pod krzyw� całkowan�. Istnieje wiele algorytmów prowadz�cych do wyniku z ró�n� dokładno�ci�. Nie wdaj�c si� w rozwa�ania nad tymi algorytmami zapami�taj, �e do całkowania stosujemy jedn� z funkcji:

c=quad(’nazwa_funkcji’,a,b) – metoda Simpsona

c=quadl(’nazwa_funkcji’,a,b) – metoda Lobatto gdzie:

c – warto�� całki, nazwa_funkcji – nazwa funkcji lub m-pliku z jej definicj�, a, b – dolna i górna granica całkowania.

Zadanie 29

Musisz okre�li� jaka b�dzie siła oporu aerodynamicznego projektowanego samochodu w zale�no�ci pr�dko�ci jazdy. Poka�esz to na odpowiednim wykresie.


Siła oporu aerodynamicznego jaki stawia powietrze rozp�dzonemu samochodowi opisana jest wzorem

SV

cP2

2

ρ=

gdzie: c - współczynnik oporu ma stał� warto�� 0,01, ρρρρ - g�sto�� powietrza ma stał� warto�� 1,29 , V - pr�dko�� samochodu, S - pole powierzchni poprzecznego obrysu samochodu.

Podstawowym problemem jest obliczenie pola powierzchni poprzecznego obrysu samochodu. Znane s� funkcje (karosx), które fragmentami opisuj� ten obrys. Pogl�dowo pokazuje to rysunek.

karos1= -8x8+1,2 karos2= -8000(x+0,73)4+0,7 karos3= -8000(x-0,73)4+0,7

Zakładaj�c, �e: � o� odci�tych, to poziom drogi, � zarys karoserii ko�czy si� 0,2 [m] od poziomu drogi, � obrys koła, to kwadrat o boku 0,2 [m]

oblicz pole powierzchni obrysu samochodu, czyli stał� S do wzoru na opór aerodynamiczny. Musisz w tym celu:

� znale�� punkty przeci�cia krzywych zarysu ze sob�, � znale�� punkty przeci�cia krzywych zarysu z prost� „odcinaj�c�”

zarys od dołu, � obliczy� całki w odpowiednich zakresach i innych par� drobiazgów

składaj�cych si� na pole powierzchni obrysu, � zło�y� razem wyniki cz�stkowe.

Na ko�cu, znaj�c ju� parametr S, sporz�d� odpowiedni� funkcj� i narysuj wykres, który zilustruje zale�no�� siły oporu aerodynamicznego samochodu od jego pr�dko�ci. Uwaga. Wszystkie warto�ci liczbowe s� tak dobrane, by nie były potrzebne �adne przeliczenia jednostek, a wynik otrzymasz w [N].

karos1

karos2

karos3


M A T L A B

Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a Obliczenia numeryczne

Zadanie 12. Masz funkcj�

205.0)9(

102.0)3(

1)( 22 −

+−+

+−=

xxxf

Narysuj wykres tej funkcji w przedziale od –5 do 20. W przedziale od 2,5 do 10:

� oblicz wektor warto�ci funkcji z przyrostem argumentu o 0,2 , � znajd� minimum funkcji, � znajd� warto�ci w dwóch najwy�szych punktach wykresu, � znajd� miejsca zerowe.

Zadanie 13. Maj�c funkcj� o postaci )cos()3cos()( xxxy +=

okre�l jej warto�ci w punktach od –10 do 10 z krokiem 0,5. Maj�c te punkty przeprowad� interpolacj� za pomoc� trzech metod. Na jednym wykresie przedstaw w�zły interpolacji i trzy uzyskane przebiegi funkcji interpoluj�cych.

Zadanie 14. Maj�c funkcj� o postaci )cos()3cos()( xxxy +=

okre�l jej warto�ci w punktach od –10 do 10 z krokiem 0,5. Poszukaj funkcji aproksymuj�cych ró�nego stopnia i przedstaw na jednym wykresie punkty w�złowe i rezultaty aproksymacji.

Zadanie 15. Oblicz warto�ci całki w przedziale od –�/2 do �/2 z funkcji )sin(2)( xxxf +=

Zadanie 16. Wyznaczy� pole obszaru ograniczonego krzywymi: xxy 52 2 −= ; xy 3=


S k o r o w i d z h a s e ł abs(), 19 - warto�� absolutna acos(), 19 - arkuscosinus angle(), 19 - argument liczby zespolonej ans, 6 - domy�lna nazwa zmiennej

przechowuj�cej wynik aproksymacja �redniokwadratowa, 38 aproksymacja, 38 area(), 21 – krzywa z zamalowanym obszarem asin(), 19 - arkussinus axis, 23 – osie współrz�dnych bar(y), 21 - wykres słupkowy bł�d aproksymacji, 38 break, 31 - instrukcja przerwania całkowanie numeryczne, 40 clc, 10, 19 – czyszczenie okna polece� clear, 10, 19 – usuwanie z pami�ci clf, 19, 21 - czy�ci okno rysunku close(), 21 – zamkni�cie okna rysunku Command History, 6 – okienko z archiwum

wydanych polece� Command Window, 6 – okienko polece� cos(), 19 cot(), 19 - kotangens cubic, 37 – interp. wielomianami trzeciego

stopnia Current Directory, 12 – folder działania Desktop, 6 – opcja menu do sterowania

wygl�dem okna Matlaba diag(), 10 – operacje z główn� przek�tn� disp(), 32 – wy�wietla zawarto�� macierzy dwukropek, 9 eye(), 10 - tworzy macierz jednostkow� figure(), 21 – okno rysunku (wykresu) File, 21 – opcja menu fminbnd(), 36 – miejsce minimum funkcji for, 31 - p�tla iteracyjna formatowanie wykresu, 23 fplot(), 21 - wykres z funkcji function, 33 – definicja funkcji funkcja własna, 33 fzero(), 36 - miejsca zerowe funkcji grid on/off, 23 – siatka na wykresie help, 28 – obja�nienie hold on/off, 24 – nakładanie wykresów if, 31 - instrukcja warunkowa imag(), 19 - cz�� urojona liczby zespolonej inf, 16 – niesko�czono�� input(), 32 – wpisanie liczby lub ła�cucha

znaków instrukcje j�zyka, 31 int2str(), 32 – konwersja liczby całkowitej na

tekst interfejs, 6 – narz�dzia ekranowej współpracy interp1(), 37 – warto�� interpolacji mi�dzy

w�złami interpolacja, 37 inv(), 10 - odwraca macierz j�zyk programowania, 30 kolor linii, 24

komenda, 6,7 komentarz, 17, 28 legend(), 24 – legenda wykresu legenda wykresu, 24 length(), 19 - wi�kszy z wymiarów liczba całkowita, 8 liczba rzeczywista, 8 liczba zespolona, 8 linear, 37 - interpolacja liniowa LineWidth, 24 – szeroko�� linii linia ci�gła, 24 linia kreska-kropka, 24 linia kreskowa, 24 linia kropkowa, 24 load, 12,13 – odczyt z pliku log(), 19 – logarytm naturalny log10(), 19 – logarytm przy podstawie 10 log2(), 19 – logarytm przy podstawie 2 loglog(), 21 - wykres w skali logarytm. w obu

osiach macierz, 8 maksimum funkcji, 36 marker punktu wykresu, 24 MarkerEdgeColor, 24 – kolor obrysu markeru MarkerFaceColor, 24 – kolor wypełnienia

markeru MarkerSize, 24 – rozmiar markeru max(), 19 - najwi�kszy element mean(), 19 - �rednia arytmetyczna miejsce zerowe funkcji, 36 min(), 19 - najmniejszy element minimum funkcji, 36 m-pliki, 28 – plik z programem, procedur�,

funkcj� nan, 16 - wynik operacji niezdefiniowanych num2str(), 32 – konwersja liczby rzeczywistej na

tekst ones(), 10 - tworzy macierz jedynkow� operacje macierzowe, 16 operacje tablicowe, 16 operatory logiczne, 30 operatory relacji, 30 opisywanie wykresów, 23 osie współrz�dnych, 23 pause(), 32 – zatrzymuje wykonywanie skryptu pie(y), 21 - wykres kołowy pierwiastków wielomianu, 36 plot(), 21 - krzywa na podstawie danych w

wektorach polar(), 21 - wykres w układzie biegunowym poly(), 36 - współczynniki wielomianu polyfit(), 38 - współczynniki wielomianu

aproksymuj�cego polyval(), 36,38 – warto�� wielomianu w punkcie prod(), 19 - iloczyn elementów punkt wykresu, 24 quad(), 40 – całkowanie metod� Simpsona quadl(), 40 - całkowanie metod� Lobatto rand(), 10 - tworzy macierz pseudolosow�


M A T L A B

randn(), 10 - tworzy macierz pseudolosow� o rozkł. norm

real(), 19 - cz�� rzeczywista liczby zespolonej repmat(A), 10 - powiela macierz reshape(), 10 – przekształca macierz return, 31 - instrukcja przerwania rodzaj linii, 24 roots(), 36 - pierwiastki wielomianu rot90(), 10 - obraca macierz round(), 19 - zaokr�gla do najbli�szej liczby

całkowitej save, 13 – zapis semilogx(), 21 - wykres w skali logarytm. w osi x semilogy(), 21 - wykres w skali logarytm. w osi y sin(), 19 size(), 19 - rozmiar macierzy skalar, 8 skrypt, 28 – procedura, program spline, 37 – interp. funkcjami sklejanymi stopnia

trzeciego sqrt(), 19 – pierwiastek kwadratowy stałopozycyjna liczba, 8 subplot(), 21 – podział okna na cz��ci sum(), 19 - sum� elementów switch, 31 - instrukcja wielowariantowego wyboru �rednik, 7 tan(), 19 - tangens text(), 23 – dowolny tekst title(), 23 – tytuł wykresu tril(), 10 - macierz trójk�tna dolna triu(), 10 - macierz trójk�tna górna układ równa� liniowych, 17 usuwanie wierszy lub kolumn, 14 wektor kolumnowy, 8 wektor wierszowy, 8 w�zły interpolacji, 37 while, 31 - p�tla iteracyjna Workspace, 6 – okienko podgl�du przestrzeni

roboczej wykres, 21 wymiar macierzy, 8 xlabel(), 23 – opis osi x ylabel(), 23 – opis osi y zeros(),10 - tworzy macierz zerow� zmienna, 6,7 zmiennopozycyjna liczba, 8 znak zach�ty, 6


L i t e r a t u r a

1. Brzózka J., Dorobczy�ski L.: Programowanie w Matlab, MIKOM, Warszawa 1998 2. Kami�ska A., Pa�czyk B.: �wiczenia z Matlab przykłady i zadania, MIKOM, Warszawa

2002 3. Mrozek B., Mrozek Z.: Matlab i Simulink. Poradnik u�ytkownika, HELION, Gliwice

2004 4. Regel W.: Obliczenia symboliczne i numeryczne w programie Matlab, MIKOM,

Warszawa 2004 5. Regel W.: Statystyka matematyczna w programie Matlab, MIKOM, Warszawa 2003 6. Regel W.: Wykresy i obiekty graficzne w programie Matlab, MIKOM, Warszawa 2003 7. Stachurski M.: Metody numeryczne w programie Matlab,MIKOM, Warszawa 2003


M A T L A B

S k r ó t y o p e r a t o r s k i e [strzałka w gór�] / [strzałka w dół] – w oknie Command Window - przywoływanie

ostatnio u�ytych polece�; [Tab] - wci�ni�cie podczas pisania nazwy ze słownika Matlaba przywołuje list�

podpowiedzi;

matlab cw zlozenie v02 -...

Documents