matlab-dersi-03-dizilerin matematiksel işlemleri-2a

MATLAB DERS NOTLARIBLM 3DZLER VE MATEMATKSEL LEMLER

Prof. Dr. Asaf Varol

Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar

1

TOPLAMA VE IKARTMA> vektor1=[4 6 2];vektor2=[3 7 7]; >> vektor=vektor1+vektor2 vektor = 7 13 9 >> vek=vektor1-vektor2 vek = 1 -1 -5Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 2

DZ ARPIMLARI


3

MATLAB ile arpmA= 1 4 8 B= 3 2 4 3 6 2 -7 10 12 6 -1 7>> AVV=[3 4 6] AVV = 3 4 6 >> BVV=[2; -1; 5] BVV = 2 -1 5 >> AVV*BVV ans = 32 >> BVV*AVV ans = 6 8 12 -3 -4 -6 15 20 30Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 4

>> A*B ans = 33 45 -12 -27 92 122

zde Matris zde matrisler kare matris olup diyagonal elemanlar 1 ve dier elemanlar ise sfr olan matristir. Byle bir matris MATLABda eye komutu ile elde edilebilir. zde bir matris dier bir matris ile arplrsa, sonu deimez ayn kalr.>> A=[4 3 1;-2 5 7] A= 4 3 1 -2 5 7 >> B=[1 0 0;0 1 0;0 0 1] B= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> A*B ans = 4 3 1 -2 5 75


Eye ile matris arpm>> A A= 4 3 1 -2 5 7 >> B=eye(3) B= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> A*B ans = 4 3 1 -2 5 7 Kare matrislerde AI=IA=A kural geerlidir. Yani bir matrisin sadan veya soldan zde matris ile arpmnn sonucu, gene kendisidir.


6

nvers matrisBir A matrisinin invers matrisi B matrisi ise, A ve B matrisinin arpm, zde matrisi verir. >> A=[1 3 -5;5 7 -1;4 2 8] A= 1 3 -5 5 7 -1 4 2 8 >> inv(A) ans = 3.6250 -2.1250 2.0000 -2.7500 1.7500 -1.5000 -1.1250 0.6250 -0.5000

>> A*inv(A) ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0 0.0000 1.0000>> A*A^-1 ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0 0.0000 1.00007


Determinantlar Determinantlar kare matris ile ilikilidir.>> A=[1 2;3 4] A= 1 2 3 4 >> det(A) ans = -2Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 8

Blme MATLABda iki trl blme ilemi vardr. Bunlar sa ve sol blmedir. Sol Blme: Sol blme AX=B matris denklemlerinin zm iin kullanlr. Bu denklemde X ve B kolon vektrleridir.Bu denklem A invers matrisinin soldan arplmas ile elde edilir. A-1AX=A-1BProf. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 9

Sol Blme A-1AX=IX=X AX=Bnin zm X=A-1B MATLABda sol blme karakteri kullanlarak denklem aadaki gibi yazlr: X=A\BProf. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 10

Sa Blme Sa blme XC=D matris denkleminin zmnde kullanlr. Bu denklemde X ve D satr vektrdr. C matrisinin inversi alnarak, denklemin her iki taraf ile arplmas ile zlr. X.CC-1=D.C-1 X=D. C-1 X=D/C


11

rnek


12

zm>> A=[2 -4 3;1 3 5;5 9 -3]; >> B=[8; 6; -2]; >> X=A\B AX=B eklinde zm X=A\B sol blme kullanlarak yaplan zm

X= 1.1933 -0.4706 1.2437Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 13

nvers kullanlarak zm>> Xb=inv(A)*B A matrisinin inversi kullanlarak X=A-1B eklindeki zm

Xb =1.1933 -0.4706 1.2437Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 14

Sa blme>> C=[2 1 5;-4 3 9;3 5 -3]; >> D=[8 6 -2]; >> Xc=D/C XC=D eklinde zm X=D/C sa blme ile zm

Xc = 1.1933 -0.4706 1.243715


nvers kullanlarak zmC matrisinin inversi kullanlarak X=D.C-1 eklindeki zm

>> Xd=D*inv(C) Xd = 1.1933 -0.4706

1.243716


Elemanlar baznda ilemler ki vektr veya matrisin elemanlar baznda arpma, blme ve s alma ilemleri iin aritmetik operatrn nne nokta konulur.


17

Eleman baznda ilemlera=[a1 a2 a3 a4] ve b=[b1 b2 b3 b4] vektrleri verilsin. arpma: a.*b=[a1b1 a2b2 a3b3 a4b4] Blme: a./b=[a1/b1 a2/b2 a3/b3 a4/b4]

s alma:


18

lemler


19

arpma ve blme>> A=[1 5 7;3 4 2] A= 1 5 7 3 4 2 >> B=[6 8 9;10 12 13] B= 6 8 9 10 12 13 >> A.*B ans = 6 40 63 30 48 26

>> C=A./B C= 0.1667 0.6250 0.3000 0.3333>> B.^2 ans = 36 64 81 100 144 169

0.7778 0.1538


20

rnek>> x=[1:8] x= 1 2 3 >> y=x.^3-3*x y= -2 2 18

4

5

6

7

8

52 110 198 322 488


21

rnek>> z=[1:2:15] z= 1 3 5 7 9 11 13 >> y=(z.^3+5*z)./(4*z.^2-10)

15

y= -1.0000 1.6154 1.6667 2.0323 2.4650 2.9241 3.3964 3.8764 (z vektrnn her bir eleman iin ayr ayr y deerlerinin hesaplanmas)


22

Hazr fonksiyonlarla ilemler>> x=[0:pi/6:pi] x= 0 0.5236 1.0472 1.5708 2.0944 2.6180 3.1416 >> y=cos(x) y= 1.0000 0.8660 0.5000 0.0000 -0.5000 -0.8660 -1.0000 >> d=[1 4 9;16 25 36;49 64 81]; >> h=sqrt(d) h= 1 2 3 4 5 6 7 8 9Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 23

Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarmean(A)A bir vektr ise, elemanlarn ortalamasn bulur.A bir vektr ise, elemanlar iinden en yksek olan bulur. >> A=[4 3 6 7]; >> mean(A) ans = 5 >> A=[ 1 3 5 -2 9 4]; >> C=max(A) C= 9

C=max(A)

[d,n]=max(A)

A bir vektr ise, d >> [d,n]=max(A) elemanlardan en d= bydr ve n ise kanc 9 eleman olduunu saptar. n= 5Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar 24

Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarmin(A)Max(A) ya benzerdir ancak en kk sayy bulur.>> A A= 1 3 5 4 >> min(A) ans = -2

-2

9

[d,n]=min(A)

Dizi iindeki en kk sayy ve kanc srada olduunu belirler.

>> [d,n]=min(A) d= -2 n= 425


Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarsum(A)A bir vektr ise, elemanlarnn toplamn bulur.>> A=[1 -3 6 2]; >> sum(A) ans = 6

sort(A)median(A)Rakamlarn dizililerinin artan srada olduuna dikkat ediniz.

A vektrnn elemanlarn >> sort(A) kkten bye sralar. ans = -3 1 2A bir vektr ise, vektr elemanlarnn medyan deerini bulur. Tek rakaml dizilerde elemanlardan ortadakini bulur. iftlerde ise ortadakilerin toplamnn aritmetik ortalamasn alr.Prof. Dr. Asaf Varol MATLAB Ders Notlar >> A=[-5 13 20]; >> median(A) ans = 13 >> A=[-5 13 17 20]; >> median(A) ans = 15

6

26

Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarstd(A)Standart sapmay bulur.>> A=[5 9 2 4]; >> std(A) ans = 2.9439 >> A=[1 6;-3 7]; >> det(A) ans = 25>> a=[1 3 2]; >> b=[2 4 1]; >> dot(a,b) ans = 1627

det(A)

A kare matrisinin determinantn verir.

dot(a,b)

a ve b den oluan iki vektrn, skalar arpmn hesaplar.


Kros vektr ki vektrn kros arpm, bu iki vektrn dzlemine dik bir nc vektr oluturur.


28

Dizileri analiz eden hazr fonksiyonlarcross(a,b)a ve b vektrlerinin kros arpmn yapar. Her iki vektrn 3 eleman olmaldr.Bir kare matrisin inversini bulur.

>> a=[1 3 2]; >> b=[2 4 1]; >> cross(a,b) ans = -5 3 -2

inv(A)


29

Kaynaklar Gilat, A.: MATLAB, An Introduction With Applications, 2nd Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2005 Celik, Ismail, B., Introductory Numerical Methods for Engineering Applications, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. Numerical Methods, Algorithms and Applications, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., Numerical Methods Using MATLAB Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001


30

matlab-dersi-03-dizilerin matematiksel işlemleri-2a

Documents

upper saddle

bir vektr

numerical

sol blme

eklinde zm

bu denklemde

rnekgt

applications