matrica admitansi i matrica impedansi

8/11/2019 Matrica Admitansi i Matrica Impedansi

1/23

1. MATRICA ADMITANSI I MATRICA IMPEDANSI

1.5 MATRICA ADMITANSI VOROVA MREE

1.5.1 FORMIRANJE MATRICE ADMITANSI

. Postupak za formiranje matrice admitansi moe se dobiti polazei odsl.1.14. Sa ove slike je oigledno da je struja injektriranja u vor i:

=

=N

k

iki II

1

. (1.22)

Sl. 1.14 Ilustracija struje injektiranja u elektroenergetskoj mrei

Za struju u svakom od vodova moe se napisati sledea relacija:

( )kiikik UUyI = , (1.23)

gde je:

ki UU , - naponi u vorovima ii k,


2/23

6 Analiza elektroenergetskih mrea i sistema

iky - admitansa voda i-k, odnosno povezna (fizika) admitansa voda

izmeu vorova i i k. Zamenom relacije (1.23) u (1.22) dobija se:

( )=

=N

k

kiikiUUyI

1

. (1.24)

Ovakve relacije se mogu napisati za svih N vorova. Ukoliko uovim vorovima postoje i grane prema zemlji dolazi se do sledeegsistema jednaina:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) NN

kNkNNN

NN

N

kk

NN

N

kk

UyUyUyI

UyUyUyI

UyUyUyI

+++=

++

+=

+++

=

=

=

=

02211

220

21212

121210

11

L

M

L

L

(1.25)

gde je 0iy oto na admitansa, odnosno admitansa prema zemlji u voru i.

U zamenskoj emi to su admitanse elemenata prikljuenih u vor i, kao iadmitanse vodova u zamenskoj emi.

Relacija (1.25) moe se napisati u matrinoj formi datoj relacijom(1.20), koja se radi preglednosti izlaganja ovde opet navodi:

[ ] UYIrr

v= . (1.26)

Vektori struja injektiranja Ir i napona vorova Ur su:

[ ]

[ ] TN

T

N

UUU

III

Lr

Lr

21

21

=

=

U

I, (1.27)

dok je [ ]vY kvadratna matrica reda NxNi oblika:


3/23


4/23


Da bi se sagledala pravila koja treba koristiti za modifikaciju matriceadmitansi, ovde e se razmatrati karakteristini sluajevi koji dovode dopromene konfiguracije mree, kao to su ispad grane i ispad (eliminacija)vora. Pored toga, sagledae se i kako promena referentnog vora utie na

promene u matrici [ ]vY .

Ispad grane

Ispad grane koja povezuje vorove i i k a ija je admitansaik

y ,

moe se, u zamenskoj emi, modelovati dodavanjem nove graneadmitanse

iky paralelno grani koja je ispala. Paralelna veza ove dve

grane daje rezultantnu admitansu jednaku nuli, tj. otvorenu granu.

Poto je ispad grane algoritamski identi

an dodavanju grane saadmitansomik

y to se onda procedura modi kacije matrice admitansi

svodi na to da se elementima na glavnoj dijagonali na pozicijama i,i i k,kdoda

iky . Takoe, elementima van glavne dijagonale na pozicijama i,ki

k,i dodaje seik

y (tj.ik

y ), tako da se na ovim pozicijama javlja

vrednost nula.

Eliminacija vora

Za potrebe ove analize se pretpostavlja da je u sistemu sa Nvorova, M vorova od manjeg znaaja (M


5/23

Topologija i matrini pristup proraunu elektroenergetskih mrea 9

Sada se relacija (1.26) moe napisati u sledeem obliku:

[ ] [ ][ ] [ ]

=

b

a

bbba

abaa

b

a

U

U

YY

YY

I

Ir

r

r

r

, (1.34)

gde su [ ]aaY , [ ]abY , [ ]baY , [ ]bbY submatrice (particije, blokovi) matriceadmitansi vorova, koje odgovaraju particijama vektora struja i napona.

Submatrice[ ]aaY i [ ]bbY su kvadratog tipa, dok su submatrice [ ]abY i

[ ]baY u optem slu aju pravougaone.Iz relacije (1.34) slede sledee dve matrine relacije:

[ ] [ ] babaaaa UYUYIrrr

+= , (1.35)

[ ] [ ] bbbabab UYUYIrrr

+= . (1.36)

Poto je ve re eno da su struje injektiranja u vorovima odmanjeg interesa (potroaki i razvodni vorovi) jednake nuli, to je:

0Irr

=b . (1.37)

Pomou relacija (1.37) i (1.36) dobija se:

[ ] [ ] ababbb UYYUrr

1= , (1.38)

to posle zamene dobijenog izraza za bUr

u (1.35) dovodi do slede e

relacije:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] ababbabaaa YY UYYIrr

1= , (1.39)

odnosno

[ ] aeqva Y UIrr

= , (1.40)

gde je:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]babbabaaeqv YYY YY

1= . (1.41)


6/23


Dobijena matrica [ ]eqvY je reda (N-M)x(N-M). Ovde se samo istie

da je relacija (1.41) poznata kao Kronova redukciona formula i ona je odsutinskog znaaja za eliminisanje M promenljivih iz sistema sa Nsimultanih jednaina.

Promena referentnog vora

Ako se menja referentni vor, a kon guracija mree ostaje ista,tada treba formirati matricu admitansi dimenzije (N+1)(N+1), koja usebi sadri i vor nultog potencijala. Ova matrica je po svojoj prirodisingularna. Zatim se u njoj obriu ona vrstu i kolonu koje odgovarajunovom referentnom voru. Na ovaj nain je izvrena promena referentnogvora.

1.6. MATRICA IMPEDANSI VOROVA MREE

1.6.1 OPTA RAZMATRANJA O MATRICI IMPEDANSI

Matrica impedansi nezavisnih vorova mree [ ]vZ daje vezu

izmeu napona vorova mree Ur

i struja injektiranja u te voroveIr

:

[ ] IZU rrv= . (1.42)

Imajui u vidu relaciju (1.20) lako se konstatuje da je:

[ ] [ ] 1= vv YZ , (1.43)

odnosno, da matrica impedansi vorova predstavlja inverznu matricuadmitansi vorova.

Ako se matrina relacija (1.42) napie u razvijenom obliku:

=

NNNNN

N

N

N I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

U

U

U

M

L

MMM

L

L

M

2

1

21

22221

11211

2

1

, (1.44)

i stavi da su sve struje injektiranja kI , osim struje iI koja se injektira uvor i, jednake nuli dolazi se do sledee relacije:


7/23


=

0

0

0

011

1

1

1

111

M

M

M

M

M

L

L

L

L

M

M

M

L

L

L

L

M

M

M

M

M

M

i

NN

kN

iN

N

Ni

ki

ii

i

N

k

i

N

k

i

I

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

U

U

U

U

. (1.45)

Iz relacije (1.45) direktno sledi da je za element u matrici

impedansi na mestu ii:

NiikII

UZ k

i

iii ,,1,1,,2,1,0za, LL +=== , (1.46)

dok je za element na mestu ki:

NiikII

U

Z ki

k

ki ,,1,1,,2,1,0za, LL +===

. (1.47)

Na ovaj nain mogu se odrediti elementi jedne kolone matriceimpedansi vorova stavljajui da je struja injektiranja u dati vor jednaka1 A (u ostalim vorovima je nula) i raunajui napone svih vorovamree. Kompletna matrica impedansi dobija se kada se obiu svi vorovimree, sa aspekta strujnog injektiranja. Iako jednostavan, ovakav nain jenepodesan za mreu velikih dimenzija, pa se praktino i ne koristi.

Na osnovu relacije (1.46) moe se zakljuiti da element iiZ , namestu ii, u matrici impedansi predstavlja impedansu Theveninovogekvivalenta, gledano iz vora i. Pored toga, imajui u vidu relacije (1.46) i(1.47), pomou kojih su definisani elementi matrice impedansi, lako se

konstatuje da je matrica [ ]vZ puna matrica, za razliku od matice

admitansi [ ]vY koja pripada kategoriji retkih matrica.

Matrica impedansi je, kao i matrica admitansi, simetrina. Dokazza ovo je relativno jednostavan, imajui u vidu da proizvod matrica

impedansi i admitansi daje jedininu matricu [ ]I , tj.:


8/23


[ ][ ] [ ]I=vv YZ , (1.48)

Transponovanjem matrine relacije (1.48) dobija se:

[ ] [ ] [ ]I=TvTv ZY , (1.49)

odnosno

[ ][ ] [ ]I=Tvv ZY , (1.50)

pri emu je uvaena injenica da je matrica admitansi [ ]vY simetri na.

Mnoenjem leve i desne strane relacije (1.50) sa [ ] 1vY dolazi se do

relacije:

[ ] [ ] 1= v

T

v YZ . (1.51)

Iz relacija (1.43) i (1.50) sledi da je:

[ ] [ ]v

T

v ZZ = , (1.52)

to zna

i da je matrica [ ]vZ simetri

na.

1.6.3 FORMIRANJE MATRICE IMPEDANSI ALGORITMOMKORAK PO KORAK

Da bi se pojednostavio postupak dobijanja matrice impedansirazvijen je algoritam tipa korak po korak. Ovaj algoritam omoguava dase matrica impedansi postepeno formira (building algoritam) polazei od

najjednostavnije strukture mree, odnosno od jedne grane i postupnimuvoenjem svake naredne grane. Algoritam zadovoljava i uslov da malepromene u strukturi mree ne zahtevaju ponovno formiranje matriceimpedansi, ve se nova matrica admitansi formira jednostavnimmodifikacijama postojee matrice.

Da bi se objasnila sutina ovog algoritma pretpostavie se da je zaodreen deo mree ve formirana matrica impedansi, koja e se oznaitisa [ ]staroZ . Ako se sada uvede nova grana, postavlja se pitanje kakomodifikovati postojeu matricu [ ]staroZ . Modifikacija matrice [ ]staroZ idobijanje nove matrice [ ]novoZ zavisi od vrste vorova izmeu kojih sedodaje nova grana. Ovde se razlikuju: stari vorovi (obuhvaeni matricom


9/23


[ ]staroZ ), novi vorovi (nastaju dodavanjem grane) i referentni vor (vornultog potencijala). Dodavanjem grane impedanse grz mogu se uo iti

etiri netrivijalna sluaja:- dodavanje grane impedanse grz izme u novog i referentnog vora,

- dodavanje grane impedanse grz izme u novog i starog vora,

- dodavanje grane impedanse grz izme u starog i referentnog vora,

- dodavanje grane impedanse grz izme u dva stara vora.

Ova etiri netrivijalna sluaja definiu etiri tipa modifikacije matrice[ ]staroZ , koji e se ovde analizirati. Pored toga, ramotrie se i peti tipmodifikacije, gde se dodaju dve grane izmeu kojih postoji meusobnaelektromagnetna sprega.

Prvi tip modifikacije

Pod prvim tipom modifikacije podrazumevae se dodavanje graneimpedanse grz izme u novog i referentnog vora. Ovaj sluaj je prikazan

na slici 1.15. Linearan pasivan viekrajnik na ovoj slici predstavlja mreubez izvora (naponski kratko spojeni, a strujni prekinuti). Brojevima 1, 2,,N obeleeni su stari vorovi mree. Sa r je obeleen referentni vor,odnosno vor nultog potencijala. Novi vor, koji se pojavljuje uvoenjem

grane obeleen je sa k.

Sl.1.15 Dodavanje grane impedanse grz izmeu

novog i referentnog vora

Na osnovu slike 1.15 moe se za napon vora k napisati slede arelacija:

kgrk IzU = . (1.66)


10/23


Treba primetiti da struja kI ne uti e na vrednosti napona uostalim vorovima. S obzirom da za posmatrani linearni pasivniviekrajnik sa n vorova postoji n jedna ina koje daju vezu izmeu

napona vorova i struja injektiranja u te vorove, to se relacija (1.66)moe smatrati kao jednaina broj (N+1). To znai da e nova matricaimpedansi [ ]novoZ biti dimenzija (N+1)x(N+1).

Ako se svih (N+1) jedna ina napiu u matrinoj formi, lako sezakljuuje da je impedansa grane grz jedini nenulti element koji se javlja

u koloni, odnosno vrsti broj (N+1). Prema tome nova matrica impedansije:

[ ]

[ ]

=

gr

staro

novo

z|00

_|___

|

0| 0|

L

M

Z

Z . (1.67)

Drugi tip modifikacije

Drugi tip modifikacije karakterie dodavanje grane impedanse grz

izmeu novog i starog vora, kao to je prikazano na slici 1.16. Na ovojslici sa kje obeleen novi, a sa jstari vor.

Napon vora k, na osnovu oznaka na slici 1.16, je:

jkgrk UIzU += . (1.68)

Imajui u vidu vezu izmeu napona voraj i struja injektiranja usvim ostalim vorovima, kao i injenicu da iz vora j u linearni pasivniviekrajnik ulazi struja kj II + dobija se:

) NjNkjjjjjkgrk IZIIZIZIZIzU +++++++= LL2211 , (1.69)

odnosno,

( ) kgrjjNjNjjjjjk IzZIZIZIZIZU +++++++= LL2211 . (1.70)


11/23



novog i starog vora

Relacija (1.70) moe se tretirati kao jednaina (N+1) u sistemujednaina koje povezuju napone vorova i struje injektiranja.Uvaavanjem injenice da iz vora j u linearni pasivni viekrajnik ulazistruja kj II + , za napon i-tog vora se dobija:

kijNiNjijiii IZIZIZIZIZU ++++++= LL2211 . (1.71)

Imajui u vidu relacije (1.70) i (1.71) lako se konstatuje da je nova

matrica impedansi:

[ ][ ]

+

=

grjjjj

jstaro

j

novo

zZZZ

Z

Z

|

______|___

|

|

|

L

M

21

2

1

Z

Z . (1.72)

Dobijena matrica je dimenzija (N+1)x(N+1). Na osnovu ova dvatipa modifikacije moe se konstatovati da svako uvoenje novog vora,pri dodavanju grane, dovodi do poveanja dimenzije matrice.

Trei tip modifikacije

Trei tip modifikacije, koji je prikazan na slici 1.17, sastoji se u

dodavanju grane impedanse grz izme u starog vora j i referentnogvora.


12/23



starog i referentnogvora

Imajui u vidu oznake na slici 1.17, napon vorajje:

grgrj IzU = . (1.73)

Poto iz vora j u linearni pasivni viekarajnik ulazi struja

grj II + , to je napon vora i:

( ) NiNgrjijiii IZIIZIZIZU ++++++= LL2211 , (1.74)

odnosno,

grijNiNjijiii IZIZIZIZIZU ++++++= LL2211 . (1.75)

Za napon voraj, pored relacije (1.73) moe se napisati i sledearelacija.

grjjNjNjjjjjj IZIZIZIZIZU ++++++= LL2211 (1.76)

Pomou relacija (1.73) i (1.76) dolazi se do sledee jednaine:

( ) 02211 =+++++++ grgrjjNjNjjjjj IzZIZIZIZIZ LL , (1.77)

odakle se odreuje struja grane grI :


13/23


( )NjNjjjjjgrjj

gr IZIZIZIZzZ

I ++++++

= LL22111

. (1.78)

Zamenom dobijenog izraza za struju grI u relaciji (1.75), za

napon vora i dobija se slede a relacija:

N

grjj

jNij

iNj

grjj

jjij

ij

grjj

jij

i

grjj

jij

ii

IzZ

ZZZI

zZ

ZZZ

IzZ

ZZZI

zZ

ZZZU

+++

++

++

++

+=

L

L22

211

1

. (1.79)

Na osnovu relacije (1.79), mogu se napisati izrazi za napone svihvorova, stavljajui umesto indeksa i indeks odgovaraju eg vora. Kadase napie takav sistem jednaina lako se konstatuje da je nova matricaimpedansi:

[ ] [ ] [ ]jNjj

jN

j

j

grjj

staronovo ZZZ

Z

Z

Z

zZL

M21

2

1

1

+= ZZ . (1.80)

Do relacije (1.80) moe se doi i primenom postupka Kronoveredukcije, koji je ve pomenut kod modifikacije matrice admitansi.Imajui u vidu relacije oblika (1.75), odnosno (1.76), kao i relaciju (1.77)moe se sistem jednaina napisati u sledeem matrinom obliku:

[ ]

+

=

gr

N

grjjjj

jstaro

j

N

I

I

I

I

zZZZ

Z

Z

U

U

U

M

L

MM

2

1

21

2

1

2

1

0 |

|

||

|

Z

. (1.81)

Ako se stavi da je:


14/23


;; 2

1

2

1

=

=

NN I

I

I

U

U

U

M

r

M

rIU , (1.82)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]grjjNjjj

jN

j

j

zZZZZ

Z

Z

Z

+==

= CBA ;; 212

1

LM

, (1.83)

matrina relacija (1.81) se svodi na oblik:

=

gr

staro

I

I

CB

AZUrr

0. (1.84)

Iz relacije (1.84) slede dve matrine relacije:

[ ] [ ]AIZU grstaro I+= rr

, (1.85)

[ ] [ ]CIB grI+= r0 . (1.86)

Za struju grane grI , iz (1.86) dobija se:

[ ] [ ]IBCr

1=grI . (1.87)

Relacija (1.85) posle zamene izraza za strujiu grI , dobija sledei

oblik:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] IBCAZUrr

1= staro , (1.88)

odakle se vidi da je nova matrica impedansi:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]BCAZZ 1= staronovo . (1.89)

Poto je matrica [ ]C dimenzije 1x1, to je njena inverzija:


15/23


[ ]grjj zZ +

= 11

C . (1.90)

Na osnovu relacije (1.90) i oblika matrica [ ]A i [ ]B vidi se da serelacija (1.89), koja ima opti oblik, svodi na relaciju (1.80). Trebaprimetiti da je dimenzija nove matrice ista kao i dimenzija stare, jerdodavanjem grane nije uveden novi vor.

etvrti tip modifikacije

Dodavanje grane impedanse grz izme u dva stara vora i i j, kao

to je prikazano na slici 1.18, predstavlja

etvrti tip modifikacije.

Sl.1.18 Dodavanje grane impedanse grz

izmeu dva stara vora

Na osnovu slike 1.18 moe se napisati sledea relacij, koja dajevezu izmeu napona vorova ii j:

igrgrj UIzU += . (1.91)

Napon vora i je:

NiN

grjijgriiiiii

IZ

IIZIIZIZIZU

++

++++++=

L

L2211, (1.92)

odnosno, posle sreivanja relacije (1.92):


16/23


( ) grijiiNiNjijiiiiii

IZZIZ

IZIZIZIZU

++

++++++= LL2211 , (1.93)

dok je napon voraj:

( ) grjjjiNjNjjjijijjj

IZZIZ

IZIZIZIZU

++

++++++= LL2211 . (1.94)

U optem sluaju za napon vora kse moe pisati:

( ) grkjkiNkN

jkjikikkk

IZZIZ

IZIZIZIZU

++

++++++= LL2211 . (1.95)

Uvaavanjem relacija (1.93) i (1.94), relacija (1.91) dobija oblik:

( ) ( ) 0222111

=+++++

+++++

grjiijjjiigrNjNiN

jjjijijiiijiji

IZZZZzIZZ

IZZIZZIZZIZZ

L

L, (1.96)

odakle se izraunava struja grane:

( ) ( )(

( ) ( ) ( ) )NjNiNjjjijijiii

jiji

ijjjiigr

gr

IZZIZZIZZ

IZZIZZZZZz

I

++++

+++++

=

L

L2221112

1

. (1.97)

Zamenom dobijenog izraza za struju grane grI u relaciji (1.95) i

posle sreivanja tako dobijenog izraza, za napon vora kdobija se:

( )( ) ( )( )

( )( ).

2

22 222

2111

1

N

ijjjiigr

jNiNkjki

kN

ijjjiigr

jikjki

k

ijjjiigr

jikjki

kk

IZZZz

ZZZZZ

IZZZz

ZZZZZI

ZZZz

ZZZZZU

++

++

+

++

+

++

=

L

(1.98)

Relacija (1.98) ima opti karakter i na osnovu nje mogu se napisatiizrazi za napone svih vorova, stavljajui umesto indeksa k indeks


17/23


odgovarajueg vora. Kada se napiu odgovarajue relacije za svevorove, relativno lako se konstatuje da je nova matrica impedansi:

[ ] [ ]

[ ]jNiNjijijNiN

ji

ji

ijjjiigr

staronovo

ZZZZZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZz

++=

L

M

2211

22

11

21

ZZ . (1.99)

I ovde se do matrice [ ]novoZ moe, kao i kod tre eg tipamodifikacije, doi primenom Kronovog redukcionog postupka. Na

osnovu relacija (1.93) i (1.95) moe se sistem jednaina napisati usledeem matrinom obliku

[ ]

++

=

gr

N

ijjjiigrjiji

jistaro

ji

N

I

I

I

I

ZZZzZZZZ

ZZ

ZZ

U

U

U

M

L

MM

2

1

2211

22

11

2

1

20 |

|

|

|

|

Z

. (1.100)

Uporeenjem ove relacije sa relacijom (1.84) vidi se da suodgovarajue submatrice sledeeg oblika:

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]ijjjiigr

NjNijiji

jNiN

ji

jj

ZZZz

ZZZZZZ

ZZ

ZZ

ZZ

2

;2211

22

11

++=

=

=

C

B

A

L

M

.(1.101)

Sada se primenom relacije (1.89), uz uvaavanje injenice da jeinverzija matrice [ ]C recipro na vrednost njenog elementa, jer je matrica[ ]C dimenzije 1x1, direktno dobija relacija (1.99). Poto dodavanje granenije uslovilo uvoenje novog vora, to se dimenzija matrice nijepromenila.


18/23


Peti tip modifikacije

Peti tip modifikacije se sastoji u dodavnju dve grane impedansi

1grz i 2grz , respektivno izmeu kojih postoji elektromagnetna sprega koja

se karakterie meusobnom impedansom mz . U optem sluaju, grane sedodaju izmeu dva para starih vorova, kako je prikazano na slici 1.19.

Sl.1.19 Iliustracija petog tipa modifikacije

Za razmatrani sluaj, vezu izmeu napona vorova i i j dajerelacija:

211 grmgrgrji IzIzUU ++= . (1.102)

Ako se ima u vidu da su struje koje iz vorova ii julaze u linearnipasivni viekarajnik 1gri II , odnosno 1grj II + to je napon vora i:

) )( ) ( ) NiNgrqiqgrpip

grjijgriiiiii

IZIIZIIZ

IIZIIZIZIZU

++++

++++++=

L

L

22

112211 , (1.103)

dok je napon voraj:

( ) ( ) NjNgrqjqgrpjpgrjjjgrijijjj

IZIIZIIZ

IIZIIZIZIZU

++++

++++++=

L

L

22

112211 . (1.104)

Pomou relacija (1.102), (1.103) i (1.104) dolazi se do sledee

relacije:


19/23


) )) ( ) 02 21

1111

=++++

+++++

grjqjpiqipmgrijjj

iigrNiNjNij

IZZZZzIZZ

ZzIZZIZZ L . (1.105)

Analogno vezi izmeu napona vorova i i j, moe se napisati irelacija koja daje vezu izmeu napona vorovapi q:

122 grmgrgrqp IzIzUU ++= , (1.106)

to posle zamene odgovarajuih izraza za pU i qU dovodi do slede e

relacije:

) ( ) 02 221111

=++++

++++

grpqqqppgrgrqjqi

pjpimNpNqNpq

IZZZzIZZ

ZZzIZZIZZ L

. (1.107)

Sada se sistem od n jedna ina oblika (1.103), odnosno (1.104) uzdodatak jednaina (1.105) i (1.107) moe napisati u sledeem matrinomobliku:

=

gr

staro

I

I

CB

AZ

0

Ur

r

r

r

(1.108)

gde su odgovarajue submatrice:

=

=

=

=0

0;;;

2

12

1

2

1

0IIUrr

M

r

M

r

gr

gr

gr

NN

I

I

I

I

I

U

U

U

, (1.109)

[ ]

=

pNqNiNjN

pqij

pqij

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

MM

2222

1111

A , (1.110)

=pNqNpq

iNjNij

ZZZZ

ZZZZ

L

L

11

11B , (1.111)


20/23


++++

++++=

pqqqppgrqjpjqipim

jqjpiqipmijjjiigr

ZZZzZZZZz

ZZZZzZZZz

2

2

2

1C . (1.112)

Poto su odreene submatrice [ ]A , [ ]B i [ ]C nova matrica[ ]novoZ odre uje se primenom relacije (1.89).

1.6.4. MODIFIKACIJA MATRICE IMPEDANSI PRI PROMENIKONFIGURACIJE MREE

Ovde e se, kao i kod modifikacije matrice admitansi, razmatrati

promena matrice impedansi pri ispadu grane, eliminisanju vora ipromeni referentnog vora.

Ispad grane

Ispad, odnosno iskljuenje grane koja povezuje vorove i i ka ijaje impedansa ikz , moe se, u zamenskoj emi, modelovati dodavanjem

nove grane impedanse ikz paralelno grani koja je ispala. Paralelna vezaove dve grane daje rezultantnu impedansu koja je beskonana, to

odgovara otvorenoj grani. Poto se grana impedanse ikz dodaje izme udva stara vora, to se u ovom sluaju matrica impedansi modelujekoristei etvrti tip modifikacije iz algoritma korak po korak.

Eliminacija vora

Eliminacija odreenog vora iz razmatranja, na primer vora k,mogua je samo ako je struja injektiranja u taj vor jednaka nuli ( 0=kI )

i ako njegov napon kU nije od interesa. Tada se u matrici impedansi

jednostavno izbriu kolona i vrsta koje odgovaraju voru k.

Promena referentnog vora

Ova modifikacija matrice impedansi praktino se ne vri, jer jekod analize elektroenergetskih mrea referentni vor, vor nultogpotencijala, odnosno vor koji reprezentuje zemlju. Ipak, radi optostiizlaganja, ovde e se samo ukazati na nain kako se vri promenareferentnog vora, bez matematikog dokaza.

Pretpostavie se da se vor kproglaava referentnim umesto vora

nultog potencijala koji je bio obeleen sa 0. Da bi se dobila odgovarajuamatrica impedansi prvo se postojea matrica proiri jednom kolonom i


21/23


jednom vrstom iji su svi elementi jednaki nuli, a koje odgovaraju vorunultog potencijala. Ova matrica, dimenzije (N+1)x(N+1) obelei e se sa

[ ]0vZ , dok e se nova matrica impedansi gde je vor kreferentni obeleiti

sa [ ]k

vZ . Kada je formirana matrica [ ]0

vZ odre

uje se pomo

na matrica[ ]Z , iji su elementi ijZ :

12112100 +=+== NjNiZZZ ikijij ,,,;,,,; LL . (1.113)

Zatim se formira matrica [ ]kvZ , tako to se njeni elementi

k

ijZ

odreuju pomou relacije:

121121 +=+== NjNiZZZ kjijk

ij ,,,;,,,; LL . (1.114)

Kada je formirana matrica [ ]kvZ , svi njeni elementi koji

odgovaraju k-toj vrsti i k-toj koloni jednaki su nuli. Nova matrica

impedansi, gde je vor kreferentni, dobija se iz matrice [ ]kvZ tako to se

izbriu k-ta vrsta i k-ta kolona.

Razdvajanje vora

U elektroenergetskim postrojenjima ponekad se koristi dvostrukisistem sabirnica, koje se po potrebi spajaju ili razdvajaju prekidaem uspojnom polju. U normalnom pogonu obino je prekidau spojnom poljuotvoren, kao to je prikazano na slici 1.20. To znai da se dato postrojenjeu zamenskoj emi predstavlja sa dva vora, koji su na sl.1.20 obeleeni saki l.

Sl.1.20 Sistem razdvojenih sabirnica


22/23


Kada uslovi u mrei zahtevaju zatvaranje prekidaa, onda seumesto dva vora javlja jedan. Ovo je ekvivalentno dodavanju grane nulteimpedanse izmeu pomenuta dva vora k i l, koji pripadaju kategoriji

starih vorova. Primenom etvrtog tipa modifikacije, odnosno relacije(1.99) pokazuje se da su odgovarajui elementi k-te kolone, odnosno vrstejednaki odgovarajuim elementima l-te kolone, odnosno vrste. Ako seelementi u staroj matrici, koji odgovaraju vorovima ki lobelee sa kkZ ,

llZ , klZ i lkZ pokazuje se da za nove elemnte vai:

klllkk

klllkklkklllkk

ZZZ

ZZZZZZZ

2

2

+

==== . (1.115)

Ovo je sve oigledno, jer vorovi ki lsada predstavljaju jedan isivor. Meutim, ako u nekom trenutku doe do otvaranja prekidaa, novamatrica impedansi ne moe se dobiti iz prethodne, koja je odgovaralazatvorenom prekidau, dodavanjem grane impedanse -0. Ovo iz razlogato su odgovarajui elementi k-te kolone, odnosno vrste jednakiodgovarajuim elementima l-te kolone, te bi prema relaciji (1.99) njihoverazlike bile jednake nuli.

Zbog toga se u ovakvim sluajevima uvodi fiktivni vor, koji je nasl.1.21 obeleen sa ti dve grane k-ti l-t. Impedanse uvedenih grana imajukonane vrednosti, koje se biraju proizvoljno, pri emu mora da vaisledea jednakost:

tltk zz = . (1.116)

Sl.1.21 Dodavanje fiktivnog vora


23/23


Poto je zbir impedansi ovih grana jednak nuli, to znai da senjihovim uvoenjem simulira zatvaranje prekidaa. Otvaranje prekidaamodeluje se iskljuenjem jedne od ove dve grane, tj. dodavanjem grane

negativne impedanse paralelno grani koja se isklju

uje.

matrica admitansi i matrica impedansi

Documents