matrice inversă

5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 1/20

Exercitii



Domenii de utilizare a matricilor



Matrice inversă.

Ecuaţii matriceale



Calculul inversei unei matrici

Definiţie. Fie A . Matricea A senumeşte inversabilă dacă există matriceaB cu proprietatea că ,

fiind matricea unitate.

Matricea B din definiţie se numeşteinversa matricii A şi se notează .

Deci

∈ ( )C n

Μ

∈ ( )C n

Μn

I A B B A =⋅=⋅n I

1−= A B

n I A A A A =⋅=⋅ −− 11



Teoremă. Matricea A esteinversabilă dacă şi numai dacă

O astfel de matrice se numeştenesingulară.

∈ ( )C n

Μ( ) .0det ≠ A



Construcţia lui presupune următorii paşi:

Pasul 1. (Construcţia transpusei)

1− A

Dacă

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

... ... ... ... ...

...

...

21

22221

11211

atunci construim transpusa lui A

=

nnnn

n

n

t

aaa

aaa

aaa

A

...

... ... ... ...

...

...

21

22212

11211

.



Pasul 2. (Construcţia adjunctei)

Matricea

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−−−

−−−

−−−

=

+++

+++

+++

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

D D D

D D D

D D D

A

1 ... 1 1

... ... ... ...

1 ... 1 1

1 ... 1 1

2

2

1

1

2

2

22

22

21

12

1

1

12

21

11

11

*

obţinută din At

, inlocuind fiecare element cu complementulsău algebric se numeşte adjuncta matricii A.



Pasul 3. (Construcţia inversei)

Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că:

,

... 0 0 0

... ... ... ... ...

0 ... 0 0

0 ... 0 0

**

=⋅=⋅

d

d

d

A A A A

.11 **

n I A

d A A A

d =

=

iar de aici

Ultimele egalităţi arată că ( )*1

det

1 A

A A ⋅=−



La ce foloseşte matricea

inversă?

La rezolvarea

ECUAŢIILORMATRICEALE.



Clasificarea ecuaţiilor matriceale

C AX =C XA =C AXB

=

1.

3.

2.

unde A, B, C sunt matrici cunoscute,iar X este matricea de aflat.



Ecuaţii matriciale

C AX

=C XA

=C AXB

=,

unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matriceade aflat se numesc ecuaţii matriciale.

, ,

Astfel de ecuaţii se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrici pătratice inversabile.

Ecuaţiile de forma



Vom prezenta în continuare otehnica de rezolvare a fiecărei

ecuaţii în parte.



C AX =1−

A

( ) ( ) C A X C A IX C A X A AC A AX A111111 −−−−−−

=⇔=⇔=⇔=

C A X

1−

=

1. Pentru rezolvarea ecuaţiei

înmulţim la stânga egalitatea cu

şi avem:

Deci soluţia ecuaţiei date este

.



C XA =1−

A

1−= CA X

2. Pentru determinarea soluţiei ecuaţiei

vom înmulţi la dreapta cu

şi analog vom găsi

soluţia ecuaţiei matriciale.



C AXB =1−

A

1− B

11 −−= CB A X

3. Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei

înmulţim egalitatea la stanga cu

şi la dreapta cu

şi obţinem



Să se rezolve ecuaţia:

0

1

1

1

= x x

x x

x x



⇔=+−⇔=−⋅+−⋅+−⋅ +++ 0

1

1 1

10

1 )1(

1 )1(

1

1)1(1 312111

x x

x x

x

x x x

x

x

x x

x x

x

x x x

x

x

x x x x x x x x −⇔=−+−−−⇔ 10)()(1 222 ⇔=+−⇔=−++− 01320 2323322 x x x x x x

⇒=+−−−⇔=−−−⇔=+−−⇔ 0)1)(1()1(20)1()1(20122 222223 x x x x x x x x x x

10)1(0)12)(1( 1

2=⇒=−⇒=−−−⇒ x x x x x

21

1981012

3

2

2

−=⇒

=⇒=+=∆⇒=−−⇒

x

x x x

−∈ 1,2

1 x

Deci

.



Să se rezolve ecuaţia:

0

011

1 0 1

1 1 0

1 1 0

=

x

x

x

x



⇔=−⋅+−⋅+−⋅+−⋅ ++++ 0

1 1

0 1

1 0

)1(

0 1 1

1 1

1 0

)1(1

0 1

1 0 1

1 1

)1(1

0 1

1 0

1 1 0

)1(0 41312111

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

⇔=−+−⇔ 0

1 1

0 1

1 0

0 1 1

1 1

1 0

0 1

1 0 1

1 1

0

x

x

x

x x

x

x

x

[ ] [ ] −⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⇔ )1001111(1111100)1101101()1111100(0 x x x x x x x x

[ ] ⇔=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅− 0)010111()111100( x x x x x x x

⇔=−+−−+−+−⇔ 0)1()21()1( 32 x x x x x x

⇔=+−−+−−−⇔ 0121242

x x x x x x⇔=+−⇔=−+−⇔ 042042 2424

x x x x x

042

00)42(

3

1

3

=+−⇒

=⇒=+−⇔

x x

x x x x

matrice inversă

Documents