UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE

T.S.U. EN MECATRÓNICA

ASIGNATURA:

SISTEMAS LINEALES PARA LA AUTOMATIZACIÓN.

UNIDAD I.

REPORTE DE PROYECTO.

PRESENTAN:

JHONATAN ALEXANDER HERNANDEZ RODRIGUEZ.

GRADO & GRUPO:

“4º-B”

NOMBRE DEL DOCENTE:

ING. ROBERTO CARLOS CANTO CANUL.

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INTRODUCCIÓN

Este trabajo el profesor nos enseñó a utilizar MATLAB con el fin de hacernos más

fácil el trabajo. Por sistema de ecuaciones lineales se entiende un conjunto de

ecuaciones que deben resolverse simultáneamente Ya habiendo terminado de ver

todos los métodos posibles para la resolución de matrices teníamos que hacer un

programa en MATLAB para poder resolver estas con solo poner el valor de la matriz.

Se debe hacer un programa para los métodos:

Cramer (2x2), (3x3)

Gauss-jordan (2x2), (3x3), (4x4) (5x5)

Matriz inversa (2x2), (3x3)

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METODO DE CRAMER 2x2

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que

cumplan las siguientes condiciones:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Se ingresan los valores de una columna de dimensiones 2x2 seguido de la

columna resultado.

Ya que es una matriz 2x2 se saca la determinante directamente de la matriz original,

la cual se conoce como determinante del sistema

Se sustituye la primera columna por la columna resultado obteniendo una nueva

matriz 2x2 a la cual se le saca la determinante llamada Determinante 1

Se sustituye la columna 2 por la columna resultado para obtener una nueva matriz

2x2, a esta se le encuentra la determinante la cual se llama Determinante 2

Ya teniendo las 3 determinantes proseguimos a buscar el valor de “x1” y “x2”

utilizando la fórmula:

X1= determinante 1 / determinante del sistema

X2= determinante 2 / determinante del sistema

Estos ya son los últimos resultados que encontramos en la matriz.

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METODO DE CRAMER 3X3

Para este método de matriz de 3x3 se siguen los siguientes pasos:

Sacar determinante del sistema utilizando método de pivote en la cual se elige una

fila y columna. Ya elegido se selecciona el primer valor, se elimina su fila y columna

y los 4 valores que quedan se multiplican cruzados siempre respetando los signos

jerárquicos. Esta se llama determinante del sistema.

Se remplaza la columna 1 por la columna resultado y se saca la determinante

utilizando el método ya mencionado. Esta se llama determinante 1.

Se remplaza la columna 2 por la columna resultado y se saca la determinante

utilizando el método ya mencionado, esta se llama determinante 2

Se remplaza la columna 3 por la columna resultado y se saca la determinante

utilizando el método ya mencionado, esta se llama determinante 3

Ya teniendo las 4 determinantes se prosigue a emplear la fórmula:

X1= determinante 1 / determinante de sistema

X2= determinante 2 / determinante del sistema

X3= determinante 3 / determinante del sistema

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Método matriz inversa 2x2

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas

(matriz cuadrada) y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de

cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos). Por

medio de MatLab, la solución del sistema se hace mediante la operación X =

inv(A)*B.

Para este método el primer paso es sacar la determinante de la matriz, ya teniendo

la determinante esta va a dividir a cada elemento de la matriz.

Ya hecho esto se va a multiplicar el primer valor de la columna resultado por la

primera columna. Después de va a multiplicar el segundo valor por la segunda

columna de la matriz.

Cada uno de estos valores nos darán x1 y x2.

EJEMPLO

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Matriz inversa 3x3

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas

(matriz cuadrada) y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de

cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos). Por

medio de MatLab, la solución del sistema se hace mediante la operación X =

inv(A)*B.

Para hacer la matriz inversa de dimensión 3x3 se tiene que utilizar el método de

pivote en cada uno de los elementos de la matriz original, todos los resultados se

podrán en orden para así tener una nueva matriz llamada matriz adjunta(A).

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Ya teniendo la nueva matriz el siguiente paso es intercambiar la fila 1 por columna

1, fila 2 por columna 2, fila 3 por columna 3. A esta nueva matriz se le llamara matriz

adjunta (A)T

Después hay que encontrar la determinante de la matriz original. |A|

Cada uno de los elementos se va a dividir entre la determinante |A|

Ta habiendo hecho la división, se multiplica la columna resultado por las columnas

de la matriz, donde b1 multiplica a cada elemento de la columna 1, b2 multiplica a

cada elemento de la segunda columna y b3 multiplica a cada elemento de la tercera

columna

El paso final es sumar cada renglón y simplificar, dándonos los resultados de x1, x2

y x3

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GAUSS-JORDÁN 2X2

Es una variante del método de Gauss y resulta ser más simple al final del proceso,

ya que no es necesario despejar las variables, pues la solución se obtiene

directamente. Se basa en diagonal izar la matriz de coeficientes, esto es, obtener la

matriz identidad, que consiste en hacer 1 la diagonal principal y 0 los demás

elementos de la matriz (Matriz escalonada) . MatLab calcula la solución del sistema

mediante el comando X=rref([A,B]).

El software MatLab encuentra la solución de ecuaciones algebraicas lineales

simultáneas, mediante el método de eliminación de Gauss usando la forma dada en

el sistema (3.2) mediante la operación: X = A \ B. Es decir, usa el operador aritmético

(División izquierda de la matriz).

Se observa que el método de eliminación de Gauss no puede encontrar la solución

del sistema dado en (4), debido a que es una matriz singular

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CONCLUSIÓN

La aplicación de los métodos de solución numérica para sistemas de ecuaciones

lineales mediante el software de aplicación MATLAB, nos facilita a los alumnos la

mejor comprensión de estos sistemas y de los procesos matemáticos. También

permite una participación constructivista por parte del alumno, ya que puede

conjeturar, experimentar y extraer conclusiones. MatLab es un potente recurso

matemático que acompañará siempre al alumno en su proceso de aprendizaje, ya

que con mínimos conocimientos informáticos ofrece toda una gama de

posibilidades para resolver los problemas de Métodos Numéricos, dando como

resultado un mejor aprendizaje.