matricni zapis modela in osnove matriˇ cneˇ ...biometrija 3 pri kvadratnih matrikah (glej 1.3.1)...
TRANSCRIPT
-
Biometrija 1
Poglavje1
MATRI ČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRI ČNEOPERACIJE
1.1 Skalar
Skalar je matrika reda 1 x 1. Skalarji so označeni z malimi ali velikimi navadnimi (neodebeljene)črkamikot npr.yi j (odvisna slǔcajna spremenljivka),ai jk(vpliv živali kot naključni vpliv), βi(eden od nivojev prisistematskemu vplivu),b (regresijski koeficient),xi jk(neodvisna spremenljivka),xi j (element v matrikiX) ali c (konstanta). V oklepaju je omenjena ena od možnosti, ki jih bomo srečali pri biometriji. Oznakaskalarja ni dovolj, da bi vedno prepoznali njegovo vlogo. Pomembno je, da so uporabljene oznakeobrazložene v vsakem primeru posebej,čeprav lahko pri obǐcajnih, pogostih primerih o pomenu skorajzanesljivo sklepamo.
1.2 Vektor
Definicija: Vektor je polje števil ali simbolov urejenih samo v eno vrstico in en stolpec.
Vektorji so matrike, ki imajo eno samo vrstico (vrstični vektorji) oziroma en stolpec (stolpični vektor).Pisali jih bomo z malimi odebeljenimičrkami npr.y, u, a, x ali β. Tako bomo oznǎcili stolpične vektorje.Vrstični vektorji so pravzaprav transponirani stolpični vektorji (glej tudi 1.3.1) in jih bomo označili y′,u′, a′, x′ ali β′ ali yT , uT , aT , xT ali βT . Tam, kjer ne moremo uporabiti odebeljenihčrk, uporabljamolahko navadno pisavo, vektor pa podčrtamo z znakom ~, npr. y
�
.
1.3 Matrika
Definicija: Matrika je polje števil ali simbolov urejenih v vrstice in stolpce.
Oznǎcevali jih bomo z velikimi, odebeljenimǐcrkami kot npr. X (matrika dogodkov za sistematskevplive),Q (matrika kvadratne oblike),A (matrika sorodstva),V fenotipskih matrika varianc in kovarianc.To je le nekaj matrik, ki bodo imele pri biometriji poseben pomen. Z oznakamiA, B ali X pa lahkoenostavno mislimo samo na matrike brey posebnega pomena. Tako kot pri vektorjih je tudi pri matrikahpomemben opis, kaj matrika predstavlja. Tam, kjer ne moremo uporabiti odebeljenihčrk, uporabljamolahko navadno pisavo, oznako za matriko pa podčrtamo z znakom ~.
Matrika A na sliki 1.1 ima dve vrstici in štiri stolpce. Vsebuje torej osem elementov. Matrika ima svojeelemente razvrš̌cene v stolpce in vrstice.
C =
c11 c12 · · · c1cc21 c22 · · · c2c...
.... . .
...
cr1 cr2 · · · crc
B =[
b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24
][1.1]
Matrika C ima r vrstic in c stolpcev (primer 1.1). Število vrstic in stolpcev določatared matrike. RedmatrikeC je r x c. Red matrikeB je 2 x 4.Če želimo red matrike, ga navedemo v indeksu matrike (1.2).
A2x4, Crxc, B2x4 [1.2]
-
2 Biometrija
1
2 3 5 11 1 9 7
é
ë ê
ù
û ú vrstici
stolpci
A =
element matrike
Slika 1.1:Matrika
2
-
Biometrija 3
Pri kvadratnih matrikah (glej 1.3.1) lahko navedemo samo eno vrednost. MatrikaV (1.3) je matrikafenotipskih varianc in kovarianc, zato je kvadratna. Ima 10 vrstic in 10 stolpcev.
V10 [1.3]
Posamezna števila ali simboli soelementimatrike. Elemente matrike bomo poimenovali z malimičrkami(bi j). Indeksai in j določata vrstico in stolpec, katerima element pripada. Prvi indeks označuje vrstico,
drugi stolpec brez ozira nǎcrko.
Pri matrikah dolǒcamo tudirang matrike: število neodvisnih vrstic in stolpcev.
1.3.1 Posebne matrike
a) Kvadratne matrike (primer 1.4) imajo toliko vrstic kot stolpcev.
5 1 23 8 40 2 7
[1.4]b) Simetrične matrike (primer 1.5) so kvadratne matrike, za katere veljaai j = a ji .
5 1 21 8 42 4 7
[1.5]c) Diagonalne matrike (primer 1.6) so simetrične matrike, ki imajo od 0 različne elemente samo nadiagonali. Vsi nediagonalni elementi enake 0.
D =
5 0 00 8 00 0 7
[1.6]Diagonalno matriko lahko zapišemo tudi v obliki iz enačbe 1.7.
D = {dii } [1.7]
č) Identična matrika (primer 1.8) je diagonalna matrika, pri kateri so vsi diagonalni elementi enaki 1.Oznǎcimo jo zI , praviloma moramo omeniti oziroma določiti tudi red matrike.
I =
1 0 00 1 00 0 1
[1.8]d) Ničelna matrika ima vse elemente enake 0. Označimo jo z0, praviloma moramo dolǒciti tudi redmatrike.
0 =[
0 0 0 00 0 0 0
][1.9]
3
-
4 Biometrija
e) Blok-diagonalna matrika je matrika, ki imajo vzdolž diagonale nanizane matrike. Poglejmo si ma-triko R iz enǎcbe 1.10. Na diagonali imamo varianci za dve lastnosti, ki se izmenično izmenjujeta. Věcinanediagonalnih elementov je enaka 0, samo med dvema zaporednima vrsticama je nakazana kovariancaza ostanek med obema lastnostima (σe1e2). V nadaljevanju bomo nekoliko poenostavili poimenovanje zakovarianco (σe12). Obe oznaki jo zadostno opišeta.
R =
σ2e1 σe1e2σe1e2 σ
2e2
σ2e1 σe1e2σe1e2 σ
2e2. . .
σ2e1 σe1e2σe1e2 σ
2e2
= [1.10]
Zamenjajmo torej zaradi enostavnosti oznako in poudarimo diagonalne matrike. Mala diagonalna ma-trika ima dve vrstici in dva stolpca. Je kvadratna in simetrična. Vsebuje 3 komponente kovariance.Matriko bomo poimenovaliR0. Vsebuje varianco za prv0 in drugo lastnost ter kovarianco,če sta meritviopravljeni na isti živali.
=
[σ2e1 σe12σe12 σ
2e2
]R↑0→
[σ2e1 σe12σe12 σ
2e2
]←↓ R0
. . . [σ2e1 σe12σe12 σ
2e2
]
[1.11]
Zaradi preglednosti lahko matriko 1.12 prepišemo tako, da namesto diagonalnih blokov navedemo karmatrikoR0.
=
R0
R0. . .
R0
[1.12]
f) Transponirana matrika A ′ (1.13) ima za stolpce vrstice iz matrikeA. Za oznako transponiranouporabljamo tudǐcrko T v eksponentu (AT).
[2 3 5 11 1 9 7
]T=
2 13 15 91 7
[1.13]
g) Idempotentna matrika M je kvadratna in za njo veljaM2 = M . Idepotentne matrike bomo ome-njali pri kvadratnih oblikah, ki nam predstavlljajo vsote kvadratov.
4
-
Biometrija 5
h) Delne matrike (ang. submatrix). Matriko razcepimo na manjše matrike. Običajno to naredimoglede na strukturo matrik. Kasneje bomo spoznali zanimive matrike, kamor urejujemo informacije izpodatkov in porekla. Delitev matrik lahko nakažemo s pikčastimičrtami.
[A BC D
][1.14]
Kot primer navajamo matriko koeficientov (1.15) iz enačb mešanega modela. V zgornjem levem kotu sozbrane informacije o sistematskem delu modela (X′X), v spodnjem desnem kotu bom našli naključni del(Z′Z + Iσ2eσ
−2a ), nediagonalna dela (X
′Z in Z′X) pa povezujeta sistematski in naključni del. Pri našemdelu bomo ražclenitev opravili predvsem zaradi preglednosti,čeprav je bolj pomembna pri izpeljaviposameznih enačb ali pri dokazih.
[X′X X ′ZZ′X Z ′Z + Iσ2eσ
−2a
][1.15]
i) Trikotna matrika je kvadratna in ima od nič razlǐcne nediagonalne elemente samo nad ali poddiagonalo. Tako lǒcimo spodnjo trikotno matriko (ang. lower triangular matrix, 1.16) in zgornjo trikotnomatriko (ang. upper triangular matrix, 1.17).
21 1−1 2 3
[1.16] 2 1 −11 2
3
[1.17]j) Pozitivno definitne matrike so kvadratne, simetrične in imajo dominantno diagonalo. S Choleskyražclevitvijo (ang. Cholesky decomposition) najdemo tako spodnjo trikotno matrikoL , da je njen pro-dukt s transponirano marikoL ′pozitivno definitna matrikaA (ang. positive definit matrix). Diagonalnielementi v matrikiL so pozitivni in věcji od nič.
A = LL ′ [1.18]
4 2 −22 2 1−2 1 14
= 21 1−1 2 3
2 1 −11 23
[1.19]Vse matrike varianc in kovarianc morajo biti pozitivno definitne. Na diagonali so variance, na nediago-nalnih elementih pa kovariance. Vzemimo, da je matrikaA reda 1 x 1, torej je le skalar. V tem primeruje edini element v matrikiA variancaσ2, element v matrikiL pa standardni odklonσ.
k) Semi-pozitivno definitne matrike so zelo podobne pozitivno definitnim matrikam, le v matrikiLje na diagonali dovoljena tudi vrednost 0.
4 2 −22 2 1−2 1 5
= 21 1−1 2 0
2 1 −11 20
[1.20]5
-
6 Biometrija
1.4 Seštevanje matrik in vektorjev
Definicija:
Apxq+ Bpxq = Cpxq [1.21]
ci j = ai j + bi j [1.22]
Matrike, ki jih seštevamo, morajo imeti isto število vrstic in isto število stolpcev. Vsoto matrik dobimotako, da seštevamo istoležne elemente. Rezultat je istega reda kot matrike, ki jih seštevamo. 1 0−1 2
3 4
+ 4 02 1−2 −1
= 1+ 4 0+ 0−1+ 2 2+ 1
3− 2 4− 1
= 5 01 3
1 3
[1.23]Osnovna pravila
1.5 MNOŽENJE MATRIK
Definicija:
Apxq ∗ Bqxr = Cpxr [1.24]
Matriki A in B iz enǎcbe pomnožimo tako, da pomnožimoi-to vrstico matrikeA z j-ti stolpcem matrikeB ter produkte posameznih parov seštejemo. Tako dobimo vrednost elementa na presečišču i-te vrsticein j-tega stolpca matrikeC.
cik =q∑
j=1
ai j ∗ b jk [1.25]
Prva matrika mora zato imeti toliko v stolpcev kot druga matrika vrstic 1 0−1 23 4
3x2
∗[
2 0 −1 2−1 3 0 2
]2x4
=
2 0 −1 2−4 6 1 22 12 −3 14
3x4
[1.26]
Osnovna pravila
1.6 OPIS MODELA V MATRI ČNI OBLIKI
Modele v matrǐcni obliki bomo srěcali v literaturi, ki opisuje obdelavo podatkov pri selekciji živali inuravnavanju reje. Kot bomo kasneje videli, so zeli splošni in povedo sami zase brez dobrega dodatnegaopisa zelo malo o strukturi podatkov. Lahko so dodatno opremljeni z modelom v skalarni obliki. Ker paso splošni, so zelo primerni za prikaz metod, uporabljenih za reševanje sistemov enačb. Model v matrǐcniobliki si oglejmo najprej kar na primeru.
PRIMER: Vzemimo podatke iz tabele?? in uporabimo naslednja modela v skalarni obliki in sicer zadnevni prirast (1.27) in debelino hrbtne slanine (1.28):
yi jkl = µ + Pi + M j + Fk + ai jkl + ei jkl [1.27]
yi jklm = µ + Pi + M j + Fk + bi(xi jkl − x̄
)+ ai jkl + ei jklm [1.28]
6
-
Biometrija 7
Model za dnevni prirast smo predstavili v enačbah1.29 in 1.30.̌Ce bi obravnavali le eno lastnost, potemje lahko enǎcba povsem brez indeksov. Ker pa sta si modela za dnevni prirast in debelino tako zelopodobna, pa jih moramo ločiti z dodatnimi indeksi. Za indeks lahko uporabimo številko aličrko.
y1 = X1β1 + Z1u1 + e1 [1.29]
yD = XDβD + ZDuD + eD [1.30]
kjer pomeni:
y1, yD - vektor opazovanj ali meritev (ang. observations) za dnevni prirast
X1, XD - matrike dogodkov (ang. incidence matrix) za sistematske vplive (ang. fixed effects)
Z1, ZD - matrika dogodkov za nakljǔcne vplive (ang. random effects)
β1, βD - vektor parametrov za sistematske vplive (ang. vector of parameters)
u1,uD - vektor nakljǔcnih vplivov
e1, eD- vektor ostankov (residual).
Sedaj ne bo težko napisati model še za debelino hrbtne slanine. V enačbi 1.31 smo za indeks uporabilištevilko 2, ki bo opozoril, da gre za drugo lastnost. Da bi se spomnili, da delamo s slanino, pa smo venǎcbi 1.32 raje uporabilǐcrko S.
y2 = X2β2 + Z2u2 + e2 [1.31]
yS = XSβS + ZSuS + eS [1.32]
kjer pomeni:
y2, yS - vektor opazovanj ali meritev za debelino hrbtne slanine
X2, XS - matrike dogodkov za sistematske vplive
Z2, ZS - matrika dogodkov za nakljǔcne vplive
β2, βS - vektor parametrov za sistematskih vplivov
u2,uS - vektor nakljǔcnih vplivov
e2, eS- vektor ostankov.
Do sedaj smo obdelali posebej dnevni prirast in nato še debelino hrbtne slanine. Uporabili smo eno-lastnostno analizo. Kot vir informacij smo uporabili samo moreritve za lastnost in poreklo. Nismo paupoštevali, da sta lastnosti sicer povezani.
Z večlastnostnimi analizami se ne bomo preveč ukvarjali. Omenili jih bomo le toliko, da bomo vedeli,da obstajajo in se predstavljali, kaj se pri njih dogaja. Proces pri reševanju sistemov enačb je povsemenak procesu, ko delamo z eno lastnostjo.
Oba modela lahko sestavimo na način prikazan v (1.33) in zapišemo poenostavljeno kar v obliki prika-zani v (1.34). Slednja oblika je praktična za izpeljavo metode, ne pove pa dosti o poizkusu. Tudi, ko
7
-
8 Biometrija
se odlǒcimo za matrǐcno obliko zapisa modela, moramo navajati skalarno obliko enačb. Prǐcakovanevrednosti, strukturo varianc in kovarianc ter morebitne predpostavke pa prikažemo kar z matrikami.
y =[
y1y2
]=
[X1β1 0
0 X2β2
]+
[Z1u1 0
0 Z2u2
]+
[e1e2
][1.33]
y = Xβ + Zu + e [1.34]
kjer pomeni:
y - vektor opazovanj ali meritev za obe lastnosti
X - matrike dogodkov (ang. incidence matrix) za sistematske vplive (ang. fixed effects)
Z - matrika dogodkov za nakljǔcne vplive (ang. random effects)
β - vektor parametrov za sistematskih vplivov
u - vektor nakljǔcnih vplivov (žival)
e - vektor ostankov (residual)
Seznanimo se najprej z vsebino matrik in vektorjev v modelih.
1.6.1 Vektorji opazovanj in vektorji parametrov
Vektor opazovanj je stolpični vektor, ki ima toliko vrstic, kot smo opravili meritev za opazovano lastnost.
Kot primer bomo obdelali podatke o preizkusu mladic v pogojih reje iz tabele??. V našem primeru smoza dnevni prirast opravili 11 meritev in jih uvrstili v vektory1 (ali yD), pri debelini hrbtne slanine pa22. Vrstni red navajanja podatkov je poljuben, vendar pa, ko ga enkrat izberemo, je sistem definiran inga ne smemo v naslednjih postopkih menjati. Vektorjay2 in y∗2(oziromayS in y∗S) za debelino hrbtneslanine vsebujeta iste meritve razporejene različno. Kljub temu, da vektorja nista enaka, pričakujemo
8
-
Biometrija 9
iste rešitve. Razporeditev rešitev pa bo odvisna od vrstnega reda parametrov.
y1 =
506550532577512499466545549600610
y2 =
12151514192326252122231314161217242427192315
y∗2 =
12131514151614121917232426242527211922232315
y =
50655053257751249946654554960061012151514192326252122231314161217242427192315
y∗ =
50612135501514532151657714125121917499232446626245452527549211960022236102315
[1.35]
Zadnja dva vektorjay in y∗vključujeta vse meritve za obe lastnosti. Oba vektorja imata natanko 33opazovanj, razlikujeta pa se le v vrstnem redu opazovanj.
Vektorji β1, β2, βD, βS in β vključujejo vse sistematske vplive. Ker sta modela za dnevni prirast indebelino hrbtne slanine podobna, je seznam parametrov podoben, le pri slanini je dodana neodvisnaspremenljivka masa in odgovarjajoči regresijski koeficientbi kot parameter.
Vektor parametrov za sistematske vplive pri dnevnem prirastu lahko predstavljata bodisi enačba 1.36bodisi enǎcba 1.37.
β′1 =[µ1... P11 P12 P13
... M11 M12... F11 F12 F13
][1.36]
β′D =[µD
... PD1 PD2 PD3... MD1 MD2
... FD1 FD2 FD3
][1.37]
Sedaj pa sestavimo še vektor parametrov za debelino hrbtne slanine. Tudi tu lahko izberemo varianto, kolastnost oznǎcimo s številko (enǎcba 1.38) alǐcrko (enǎcba 1.39). Praviloma se odločimo samo za enovarianto in se je vseskozi tudi držimo.
β′2 =[µ2... P21 P22 P23
... M21 M22... F21 F22 F23
... b21 b22 b23
][1.38]
9
-
10 Biometrija
β′S =[µS... PS1 PS2 PS3
... MS1 MS2... FS1 FS2 FS3
... bS1 bS2 bS3
][1.39]
Parametri niso isti pri različnih lastnostih, saj pričakujemo pri vsaki lastnosti drugačne rešitve (oceneoz. napovedi). Ne glede na to, ali sta modela enaka ali različna, potrebujemo za vsako lastnost drugeparametre. Vzemimo za primer samo srednjo vrednostµ. Izrǎcunati moramo dve srednji vrednosti: enoza srednjo vrednost za dnevni prirastµD in eno za debelino hrbtne slanineµS. Skupen rezultat ne bi imelnobenega pomena, sicer pa tako in tako ne moramo šestevati vrednosti za dnevni prirast (vg/dan) invrednosti za debelino hrbtne slanine (vmm).
Ponovitve pri debelini slanine smo opravljali le z namenom, da izboljšamo zanesljivost meritev, sajmeritev slanine z ultrazvokom ni dovolj zanesljiva. Ponovitve tako ne vplivajo na število parametrov, kijih želimo oceniti. Seveda pa to velja za ponovitve, ki jih lahko razglasimo kot paralelke.
Drugǎce je v primeru, ko so meritve na isti živali (ali drugi opazovani enoti) opravljene v različnih ča-sovnih razmikih, v̌casih tudi v razlǐcnem okolju. Kot primer naj navedemo analizo vzorcev mleka priposameznih kontrolah, v različnih laktacijah, velikost gnezda pri posameznih kotitvah, tehtanja odra-slih živali v razlǐcnih časovnih razmikih, lahko pa so to tudi rezultati kemičnih analiz, ko proǔcujemozanesljivost metode. Tudi meritve debeline hrbtne slanine, merjene pri različnih masah, bi sodile v tasklop. Meritve niso paralelke in enakovredne. Pri takih meritvah nas zanima ponovljivost, zato v modelvključimo dodatni vpliv, ki ocenjuje skupno okolje, ki je meritvam na eni živali oz. kaki drugi opazovanienoti skupen. Število nivojev pri takem vplivu je običajno veliko, za vsako žival vsaj eno. V primerumeritev lastnosti mleka pa ločimo dve skupni okolji. Najprej je eno okolje, ki je skupno vsem meritvampri samici (kravi, ovci, kozi...), in ga imenujemo kar permanentno okolje, saj traja vse življenje. Drugidel skupnega okolja pa je vezan na eno laktacijo: meritve znotraj laktacije so bolj primerljive, podobne,kot meritve med laktacijami. Imenujemo ga kar skupno okolje (v laktaciji). Nivojev pri tem vplivu pa jecelo věc: pri vsaki živali za vsako laktacijo eden. Torej jih je za eno žival toliko, kot ima žival laktacij.
Pri speciesih z věc mladǐci v gnezdu (drobnica, prašiči, kunci...) predstavlja skupno okolje za velikostgnezda pri samici okolje, ki ga samica nudi vsem svojim potomcem. Lastnosti, ki bi podrobno opisovaleto okolje, praviloma ne moremo zmeriti. Predstavljajo pa tako imenovane materinske lastnosti, kot npr.mlečnost pri samicah, obnašanje matere (agresivnost, nerodnost, požrtvovalnost....), pa tudi nekatereželezne navade rejca, ki povzročajo razlike med samicami. Trajne posledice za plodnost pa imajo le tistivplivi, ki so kreirali razvoj samice, torej okolje iz njene mladosti.Če so bili pogoji v mladosti optimalni,bodo tudi proizvodni rezultati lahko optimalni. Na te, materinske lastnosti vpliva lahko tako genotip(maternalni genetski vplivi) kot okolje (permanentno okolje).
V vektorjih nakljǔcnih vplivov u1(1.40),uD(1.41),u2(1.42),uS(1.43) inu(1.44) so nanizani nakljǔcnivplivi, kot npr. aditivni genetski vpliv, pogosto imenovan kar preprosto “žival”. Tako smo posameneelemente vektorjev označili kar s črkami a, ki nas spominjajo na aditivni genetski vpliv. Meritve smoopravili na enajstih živalih, sorodstva pa pri njih nismo poznali.
u′1 =[
a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 a111]
[1.40]
u′D =[
aD1 aD2 aD3 aD4 aD5 aD6 aD7 aD8 aD9 aD10 aD11]
[1.41]
u′2 =[
a21 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29 a210 a211]
[1.42]
u′B =[
aB1 aB2 aB3 aB4 aB5 aB6 aB7 aB8 aB9 aB10 aB11]
[1.43]
u′ =[
u′1 u′2
][1.44]
V primeru, da imamo še dodatne živali iz porekla, za katere bi tudi radi napovedali plemensko vrednost(aditivni genetski vpliv), živali vstavimo v vektor. V našem primeru bomo 4 prednike živali v poskusudodali na konec vektorja. Prikazali bomo le vektoru′1(1.45), ostali se prav tako ustrezno podaljšajo.
u′1 =[
a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 a111 a112 a113 a114 a115]
[1.45]
10
-
Biometrija 11
1.6.2 Matrike dogodkov
Z matrikami dogodkov poskus natanko opišemo.
Vse živali pripadajo celotnemu vzorcu in bodo pri oceni “enakopravno” sodelovale.
Za sistematske vplive
Matriko dogodkov za sistematske vpliveX1za dnevni prirast nastavimo tako, da pred matriko nastavimovektor opazovanjy1, da si s tem pomagamo pri nastavljanju vrstic. Nad stolpce pa si lahko napišemovektor parametrovβ′1. Če parameter, ki označuje stolpec, prisostvuje pri meritvi, ki jo v dani vrsticiopisujemo, napišemo vrednost 1, v obratnem primeru pa 0.
y1→
β′1 →[µ1 P11 P12 P13 M11 M12 F11 F12 F13
]
506550532577512499466545549600610
1 1 0 0 1 0 1 0 01 1 0 0 1 0 0 1 01 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 01 0 1 0 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 1 0 01 0 0 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 0 1 0
← X1 [1.46]
Tudi pri debelini hrbtne slanine ravnamo enako. Le pri regresijskih koeficientih vpišemo vrednost neod-visne spremenljivkex. Če model tako zahteva, jo korigiramo na konstantno vrednost ali povprečje.
β′2 →[µ2 P21 P22 P23 M21 M22 F21 F22 F23 b21 b22 b23
]
y2→
12151514192326252122231314161217242427192315
1 1 0 0 1 0 1 0 0 2. 0 01 1 0 0 1 0 0 1 0 −2. 0 01 1 0 0 0 1 0 0 1 5. 0 01 1 0 0 0 1 1 0 0 3. 0 01 0 1 0 1 0 0 1 0 0 −4. 01 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1. 01 0 1 0 0 1 0 0 1 0 3. 01 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 −1.1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0.1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 −3.1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2.1 1 0 0 1 0 1 0 0 2. 0 01 1 0 0 1 0 0 1 0 −2. 0 01 1 0 0 0 1 0 0 1 5. 0 01 1 0 0 0 1 1 0 0 3. 0 01 0 1 0 1 0 0 1 0 0 −4. 01 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1. 01 0 1 0 0 1 0 0 1 0 3. 01 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 −1.1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0.1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 −3.1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2.
← X2[1.47]
11
-
12 Biometrija
β′ →[β′1 β
′2
]y→
[y1y2
]33x1
[X1 00 X2
]← X [1.48]
Za naklju čne vplive
y1→
u′1→[
a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 a111]
506550532577512499466545549600610
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
← Z1 [1.49]
y2→
u′2→[
a21 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29 a210 a211]
12151514192326252122231314161217242427192315
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
← Z2 [1.50]
u′ →[
u′1 u′2
]y→
[y1y2
]33x1
[Z1 00 Z2
]← Z [1.51]
12
-
Biometrija 13
1.6.3 Matrike varianc in kovarianc
Izpeljimo strukturo varianc in kovarianc za dnevni prirasty1 (fenotipske variance in kovariance).
V1 = var (y1) = var(X1β1 + Z1u1 + e1
)=
= cov(X1β1, β
′1X′1
)︸ ︷︷ ︸ + cov(Z1u1, β′1X′1)︸ ︷︷ ︸+ cov(e1, β′1X′1)︸ ︷︷ ︸+ cov(X1β1, u′1Z′1)︸ ︷︷ ︸+0 0 0 0
+cov(Z1u1, u′1Z
′1
)+cov
(e1,u′1Z
′1
)︸ ︷︷ ︸+ cov(X1β1, e′1)︸ ︷︷ ︸+ cov(Z1u1, e′1)︸ ︷︷ ︸0 0 0
+cov(e1, e′1
)= Z1var (u1) Z′1+ var (e1) = Z1G1Z
′1 + R1
[1.52]
Matrika varianc in kovarianc za ostanek (R) je pogosto enostavna (1.53) na diagonali so variance zaostanek, nediagonalni elementi, ki predstavljajo kovariance med dvema meritvama, pa so enake nič.
e1→
e′1→[
e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e110 e111]
e11e12e13e14e15e16e17e18e19e110e111
σ2e1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 σ2e1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 σ2e1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 σ2e1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 σ2e1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 σ2e1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 σ2e1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 σ2e1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 σ2e1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 σ2e1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ2e1
← R1 = Iσ2e1[1.53]
V izjemnem primeru, ko merimo na isti živali samo eno meritev in živali med seboj niso sorodne, je tudimatrika varianc in kovarianc za naključne vplive (G1) enostavna (1.54). Vedeti pa moramo, da je to prejizjema kot pravilo!
u1→
u′1→[
a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 a111]
a11a12a13a14a15a16a17a18a19a110a111
σ2a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 σ2a1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 σ2a1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 σ2a1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 σ2a1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 σ2a1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 σ2a1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 σ2a1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 σ2a1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 σ2a1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ2a1
← G1 = Iσ2a1[1.54]
V tem izjemnem primeru je tudi matrika fenotipskih varianc in kovariancV diagonalna matrika, posa-mezni diagonalni elementi pa so vsota okoliške (σ2e1) in genetske (σ
2a1) komponente variance.
V1 = Z1G1Z′1 + R1 = I(σ2a1 + σ
2e1
)= diag
{σ2a1 + σ
2e1
}[1.55]
Za debelino hrbtne slanine imamo dvakrat toliko opazovanj: na vsaki živali po dve. Ker smo meriliz istim aparatom, delo je opravljal isti delavec..., so meritve identično porazdeljene (imamo samo eno
13
-
14 Biometrija
varianco za ostanek). Vendar pa meritvi na isti živali praviloma nista neodvisni - žival smo pitali podistimi pogoji, zato je tudi okolje v enaki meri ponagajalo.Če se je žival zaradi tega bolj zredila, kot bi sepod strogimi pogoji testa, bomo namerili tudi debelejšo slanino pri obeh ponovitvah. Med ponovitvamana isti živali torej obstaja podobnost - kovarianca. Oblika matrike varianc in kovarianc za ostanek jeodvisna od razporedive meritev v vekorjuy. Če razvrstimo meritve tako, da najprej nanizamo prvemeritve na vseh živalih in nato dodamo še druge meritve (prvi vektor za debelino hrbtne slanine v enačbah(1.31), dobimo matriko iz enačbe (1.42). Ko pa razvrstimo ponovitvi po parih - znotraj živali (drugivektor za debelino hrbtne slanine v enačbah (1.31)), pa dobimo matriko iz enačbe (1.43) in (1.44).
R2 =[
Iσ2e2 Iσe22Iσe22 Iσ
2e2
]22x22
=
[σ2e2 σe22σe22 σ
2e2
]2x2
⊗ I11 = R0 ⊗ I11 [1.56]
14
-
Biometrija 15
e 2→
e′ 2→
[ e 211
e 22
1e 2
31···
e 29
1e 2
101
e 211
1. . .
e 21
2e 2
22
e 23
2···
e 29
2e 2
102
e 211
2
]
e21
1
e 22
1
e 23
1. . .
e 29
1
e 210
1
e 211
1
···
e 21
2
e 22
2
e 23
2. . .
e 29
2
e 210
2
e 211
2
σ2 e 2
. . .σ
e 22
σ2 e 2
. . .σ
e 22
σ2 e 2
. . .σ
e 22
. ..
. . .. ..
σ2 e 2
. . .σ
e 22
σ2 e 2
. . .σ
e 22
σ2 e 2
. . .σ
e 22
·····················. . .·····················
σe 2
2
. . .σ
2 e 2
σe 2
2
. . .σ
2 e 2
σe 2
2
. . .σ
2 e 2. ..
. . .. ..
σe 2
2
. . .σ
2 e 2
σe 2
2
. . .σ
2 e 2
σe 2
2
. . .σ
2 e 2
←R
2[1
.57]
15
-
16 Biometrija
e′ 2→
[ e 211
e 212. . .
e 22
1e 2
22. . .
e 23
1. . .e
232. . .······. . .
e 29
1e 2
92. . .
e 210
1e 2
102. . .
e 211
1e 2
112
]
e 2→
e 211
e 212
······
e 22
1
e 22
2
······
e 23
1
e 23
2
······. . . . . .
······
e 29
1
e 29
2
······
e 210
1
e 210
2
······
e 211
1
e 211
2
σ2 e 1σ
e 22
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
σe 2
2σ
2 e 1
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······
. . .σ
2 e 1σ
e 22
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .σ
e 22σ
2 e 1
. . .. . .
. . .. . .
. . .
······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······
. . .. . .σ
2 e 1σ
e 22
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .σ
e 22σ
2 e 1
. . .. . .
. . .. . .
······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······
. . .. . .
. . .. ..
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
. ... . .
. . .. . .
······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······
. . .. . .
. . .. . .σ
2 e 1σ
e 22
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .σ
e 22σ
2 e 1
. . .. . .
······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······
. . .. . .
. . .. . .
. . .σ
2 e 1σ
e 22
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .σ
e 22σ
2 e 1
. . .
······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······. . .······
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .σ
2 e 1σ
e 22
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .σ
e 22σ
2 e 1
←R
2
[1.5
8]
16
-
Biometrija 17
R2 = I11⊗[σ2e2 σe22σe22 σ
2e2
]2x2
= I11⊗ R0 [1.59]
Ker so živali nesorodne, za debelino hrbtne slanine pa želimo samo eno plemensko vrednost, je matrikavarianc in kovarianc za direktni aditivni vpliv enostavna, kot jo prikazujemo v (1.60).
G2 = I11σ2a2 [1.60]
Sedaj pa izrǎcunajmo še matriko fenotipskih varianc in kovariancV2. Vzemimo primer, ko so nanizanenajprej prve meritve in nato še ponovitve. Rezultat (1.61) je izjemoma, zaradi že omenjenih predpostavk,blokdiagonalna matrika.
V2 = Z2G2Z′2 + R2 =[
I11I11
]I11σ2a2
[I11 I11
]+ R0 ⊗ I11 =
[I11 I11I11 I11
]σ2a2 + R0 ⊗ I11 =
=
[σ2a2 σ
2a2
σ2a2 σ2a2
]⊗ I11+
[σ2e2 σe22σe22 σ
2e2
]⊗ I11 =
[σ2a2 + σ
2e2 σ
2a2 + σe22
σ2a2 + σe22 σ2a2 + σ
2e2
]⊗ I11 = V0 ⊗ I11
[1.61]
Sedaj pa za vajo ponovimo še izračun kovariance med meritvami za dnevni prirasty1 in ostankie1 termed meritvamiy1 in slučajnim vplivomu1.
cov(y1, e′1
)= cov
(X1β1 + Z1u1 + e1, e
′1
)= Z1cov
(u1, e′1
)+ var (e1) = R1 [1.62]
cov(y1,u′1
)= cov
(X1β1 + Z1u1 + e1, u
′1
)= cov
(X1β1, u
′1
)+ cov
(Z1u1, u′1
)+ cov
(e1, u′1
)= Z1cov
(u1, u′1
)= Z1var (u1) = Z1G1 = C1
[1.63]
Pričakovane vrednosti ter variance in kovariance za slučajne vplive so pogosto predstavljene v združeniobliki. V nasednjih enǎcbah smo prikazali model (1.34) z obema lastnostima.
E
u1e1y1
= 00
X1β1
[1.64]
var
u1e1y1
= G1 0 G10 R1 R1
G1Z′1 R1 Z1G1Z′1 + R1
[1.65]Vajo ponovite še za debelino hrbtne slanine in za model z obema lastnostima skupaj! Potrebovali bomo šerezultate iz naslednje razpredelnice. Pripišite rezultate, da jih ne bomo kasneje iskali! Nato pa sestaviteenǎcbo za prǐcakovane vrednosti po zgledu (1.62) in prikažite strukturo varianc in kovarianc po zgledu(1.63).
cov(y2, e′2
)=
cov(y2, u′2
)=
cov(y, e′)=cov(y, u′)=cov(y, e′2
)=
cov(y1, u′2
)=
cov(y2, e′1
)=
cov(y2, u′1
)=
cov(y1, y′2
)=
cov(y2, y′1
)=
17
-
18 Biometrija
Pri dvolastnostnem modelu splošno obliko enačb še ražclenite, da bodo vidne povezave med lastnostima.Izpopolnite naslednji dve enačbi!
E
u1u2e1e2y1y2
=· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·
var
u1u2e1e2y1y2
=
......
......
...
· · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
......
......
...
· · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
......
......
...
· · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
......
......
...
· · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
......
......
...
· · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
... · · · · · ·... · · · · · ·
......
......
...
1.7 Determinanta
1.8 Inverzna matrika
1.9 Splošna inverza
Vzemimo, da imamo sistem enačbAx = r . Rešitev za vektor neznanih parametrovx dobimo tako, da odspredaj množimo zA−1, kar lahko storimo ob pogoju, da ima matrikaA poln rang. Vendar pa obstajajoštevilni primeri, ko to ne drži: rang matrikeA je manjši od reda matrike, determinanta matrike je enakanič. Sistem enǎcb v tem primeru nima ene same rešitve.Če ima rešitev, jih ima neskončno mnogo. Eno,izbrano rešitev pa lahko dobimo tako, da uporabimo splošno inverzo. Označili jo bomo zA−. Izbrali pabomo tisto, pri kateri velja:AA−A = A. Praviloma pa nitiAA− niti A−A nista enaka identični matriki I .
Matrika A ima neskoňcno mnogo splošnih inverz,̌ce ima vsaj eno. Pri vsaki možni rešitvi sistemauporabimo drugo splošno inverzo. Poglejmo pa si enostaven postopek, da najdemo prvo splošno inverzo.
3 −2 1−2 0 11 −2 2
x1x2x3
= 21
3
[1.66]• v matriki A poiš̌cite vse odvisne vrstice, jih napolnite z ničlami. Z nǐclami napolnimo tudi stolpec.
Pri simetrǐcnih matrikah izberemo isto vrstico in isti stolpec. 3 −2 0−2 0 00 0 0
ali 3 0 10 0 0
1 0 2
ali 0 0 00 0 1
0 −2 2
ali 0 −2 10 0 1
0 0 0
ali 3 0 1−2 0 1
0 0 0
. . .[1.67]• ostane vam samo toliko neodvisnih vrstic in stolpcev, kot je rang sistema
18
-
Biometrija 19
• iz neodvisnih vrstic in stolpcev nastavite podmatriko in poiščite njeno inverzo[3 −2−2 3
] [3 11 3
] [0 1−2 −2
] [−2 10 1
] [3 1−2 1
]. . . [1.68]
−14
[0 22 3
]15
[2 −1−1 3
]12
[−2 −12 0
]− 1
2
[1 −10 −2
]15
[1 −12 3
]. . . [1.69]
• inverzi dodajte izpuš̌cene vrstice in stolpce, ki so polni samih ničel
−14
0 2 02 3 00 0 0
15
2 0 −10 0 0−1 0 3
12
0 0 00 2 −10 2 3
12
0 1 −10 0 −20 0 0
15
1 0 −12 0 30 0 0
. . .[1.70]Tako pripravljene inverze lahko uporabimo pri reševanju sistema enačb. Rešitev lahko dobimo neskončnomnogo, objavili pa bomo le tisto, kar je enako pri vseh rešitvah - ocenljive funkcije.
1.10 Direktna vsota
A ⊕ B =[
A 00 B
][1.71]
Možni so razlǐcni zapisi.
Σ⊕i X i = Σ+i X i =
k⊕i
X i = X i ⊕ X i ⊕ · · · ⊕ X i =
X i 0 · · · 00 Xi · · · 0....... . .
...
0 0 · · · X i
[1.72]Za vključene matrike sploh ni potrebno, da bi bile istega ranga.
x′ ⊕ X ⊕ z =
x′ 0 00 X 00 0 z
[1.73]Za matrike odgovarjajǒcega ranga drži
(A ⊕ B) + (C ⊕ D) =[
A 00 B
]+
[C 00 D
]=
[A + C 0
0 B+ D
]= A + C ⊕ B + D [1.74]
Če jeA i polnega ranga, velja naslednje:
[Σ⊕i A i
]−1=
A i 0 · · · 00 Ai · · · 0....... . .
...
0 0 · · · A i
−1
=
A−1i 0 · · · 00 A−1i · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · A−1i
= Σ⊕i A−1i [1.75]Za determinanto pa velja:
∣∣Σ⊕i A i∣∣ = k∏i=1
|A i | [1.76]
19
-
20 Biometrija
1.11 Kronecker produkt
Vzemimo primer, kjer imamo dve lastnosti (y in z) za vsako od dveh živali.̌Ce lahko zapise opišemo zlinearnim modelom, imamo
y1z2y3z4
=µyµzµyµz
+
uy1uz1uy2uz2
+
ey1ez1ey2ez2
[1.77]
var
uy1uz1uy2uz2
=σ2a1 σa12 a12σ
2a1 a12σa12
σa12 σ2a2 a12σa12 a12σ
2a2
a12σ2a1 a12σa12 σ2a1 σa12
a12σa12 a12σ2a2 σa12 σ2a2
[1.78]
=
1[σ2a1 σa12σa12 σ
2a2
]a12
[σ2a1 σa12σa12 σ
2a2
]a12
[σ2a1 σa12σa12 σ
2a2
]1
[σ2a1 σa12σa12 σ
2a2
] = [ 1G0 a12G0a12G0 1G0
]= A ⊗G0 [1.79]
Matrika A predstavlja matriko sorodstva. Elementa12je koeficient sorodstva med obema živalima. Ma-trika G0 vsebuje genetske variance in kovariance med lastnostima, merjenima na isti živali.
Poglejmo sedaj še varianco za ostanek (1.80)! Lastnosti merjene na isti živali so med se
var
ey1ez1ey2ez2
=σ2e1 σe12 0 0σe12 σ
2e2 0 0
0 0 σ2e1 σe120 0 σe12 σ2e2
[1.80]
=
1[σ2e1 σe12σe12 σ
2e2
]0
[σ2e1 σe12σe12 σ
2e2
]0
[σ2e1 σe12σe12 σ
2e2
]1
[σ2e1 σe12σe12 σ
2e2
] = [ 1R0 0R00R0 1R0
]= I ⊗ R0 = R [1.81]
Navedimo še nekaj lastnosti Kronecker produkta. Vzemimo matrikiApxq in Bmxn.
A ⊗ B = Cpm×qn [1.82]
(A ⊗ B)′ = A′ ⊗ B′ [1.83]
x′ ⊗ y = yx′ = x′ ⊗ x′ [1.84]
k⊗ A = kA = A ⊗ k [1.85][A1 A2
]⊗ B =
[A1 ⊗ B A2 ⊗ B
][1.86]
A ⊗[
B1 B2],[
A ⊗ B1 A ⊗ B2]
[1.87]
Če obstajajo produkti, velja:
(A ⊗ B) (X ⊗ Y) = AX ⊗ BY [1.88]
20
-
Biometrija 21
(A ⊗ B)−1 = A−1 ⊗ B−1 [1.89]
rang(A ⊗ B) = rang(A) • rang(B) [1.90]
tr (A ⊗ B) = tr (A) • tr (B) [1.91]
|Mm×m⊗ Nn×n| = |M |m |N|n [1.92]
Lastna_vrednost(A ⊗ B) = Lastna_vrednost(A) • Lastna_vrednost(B) [1.93]
(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) [1.94]
kA ⊗ B = A ⊗ kB = k (A ⊗ B) [1.95]
(A + B) ⊗ C = (A ⊗ C) + (B ⊗ C) [1.96]
1.12 Odvajanje matrik
Pri odvajanju uporabimo splošni model (1.97), poljubno vrsticoi pa bomo prikazovali na dva načina, kot(1.98) ali (1.99).
y = Xβ + Zu + e [1.97]
y1 = x′iβ + z′i u + e
′i [1.98]
yi =p∑
j=1
xi jβ j +q∑
j=1
zi j u j + ei [1.99]
1.12.1 Odvod matrike po skalarju
Vzemimo matrikoY redam× n, katere elementi so funkcije skalarjaz. Potem je:
∂Y∂z=
{∂yi j
/∂z
}= A
red(Y) = m× nred(z) = 1× 1red(A) = m× n
[1.100]
1.12.2 Odvod skalarja po matriki
Naj bo skalarh (X) funkcija matrikeX.
∂h (X)∂X
=
∂h (X)/∂x11
· · · ∂h (X)/∂x1n
......
∂h (X)/∂xm1
· · · ∂h (X)/∂xmn
= A [1.101]
red(X) = m× nred(h (X)) = 1× 1red(A) = m× n
[1.102]
21
-
22 Biometrija
1.12.3 Odvod vektorja po vektorju
∂y∂z′=[∂y/∂z1
∂y/∂z2
· · · ∂y/∂zn
]= [1.103]
=
∂y1/∂z1
∂y1/∂z2
· · · ∂y1/∂zn
∂y2/∂z1
∂y2/∂z2
· · · ∂y2/∂zn
......
. . ....
∂yk/∂z1
∂yk/∂z2
· · · ∂yk/∂zn
k×n
[1.104]
red(z′) = 1× nred(y) = k× 1red(A) = k× n
[1.105]
Vzemimo sedaj model (1.97) in odvajajmoy najprej naβ′ in nato še naβ.
∂y∂β′=
[∂y/∂β1
∂y/∂β2
· · · ∂y/∂βp
]= [1.106]
∂y1/∂β1
∂y1/∂β2
· · · ∂y1/∂βp
∂y2/∂β1
∂y2/∂β2
· · · ∂y2/∂βp
......
. . ....
∂yn/∂β1
∂yn/∂β2
· · · ∂yn/∂βp
=
x11 x12 · · · x1px21 x22 · · · x2p...
.... . .
...
xn1 xn2 · · · xnp
= X [1.107]
red(y) = n× 1red(β′)= 1× p
red(X) = n× p[1.108]
Poglejmo si tipǐcni element matrike odvodov (1.109) in nato še primer za prvo opazovanje in drugiparameter v modelu (1.110).
∂yi∂βk=∂(∑p
j=1 xi jβ j +∑q
j=1 zi j u j + ei)
∂βk= xik [1.109]
∂yi∂β2=∂(∑p
j=1 x1 jβ j +∑q
j=1 z1 ju j + e1)
∂β2= x12 [1.110]
∂y∂β=
∂y/∂β1
∂y/∂β2...
∂y/∂βp
=
∂y1/∂β1
∂y2/∂β1
· · · ∂yn/∂β1
∂y1/∂β2
∂y2/∂β2
· · · ∂yn/∂β2
......
. . ....
∂y1/∂βp
∂y2/∂βp
· · · ∂yn/∂βp
=
x11 x12 · · · x1nx21 x22 · · · x2n...
.... . .
...
xp1 xp2 · · · xpn
= X′ [1.111]
red(y) = n× 1red(β) = p× 1red(X′) = n× p
[1.112]
∂Zu∂u= Z′ [1.113]
22
-
Biometrija 23
1.12.4 Odvajanje produkta matrik
V skalarni algebri velja
∂uv∂x=
(∂u∂x
)v+ u
(∂v∂x
)[1.114]
V skalarni algebri velja isto pravilo najdemo tudi v matrični algebri (1.115). MatrikaU je redam× n termatrikaV redan× q. Elementi matrik so funkcije skalarne spremenljivkex.
∂UV∂x=
(∂U∂x
)V + U
(∂V∂x
)[1.115]
PRIMER:V sistemu normalnih enačb pri metodi najmanjših kvadratov (1.116) dobimo vsoto kvadratov za modelz izrazom (1.117).
X′Xβ̂ = X′y [1.116]
β̂′X′Xβ̂ [1.117]
Odvajajmo vsoto kvadratov za model na eno izmed ocen (npr.βi):
∂β̂′X′Xβ̂∂β̂i
=∂β̂′X′
∂β̂iXβ̂ + β̂
′X′∂Xβ̂∂β̂i
[1.118]
Poskusimo sedaj rešiti samo košček problema:
∂Xβ̂∂β̂i=
x1ix2i...
x4i
= t i red(t i) = ni = 1, 2, . . . , p [1.119]Sedaj bo pa že šlo:
∂β′XXβ∂βi
=
=t′i Xβ̂︸ ︷︷ ︸ + β̂′X′t i︸ ︷︷ ︸ = 2t′i Xβ̂
skalar skalar[1.120]
Še malo posplošimo:
∂β̂′X′Xβ̂
∂β̂=
2t′1Xβ̂...
2t′pXβ̂
= 2 t
′1...
t′p
Xβ̂ = 2X′Xβ̂ [1.121]23
-
24 Biometrija
PRIMER:Skupno vsota kvadratov (total sum of square, TSS) za opazovanja lahko odvajamo na dva načina. TSSje skalar, vektor opazovanjy pa stolpǐcni vektor redan × 1, zato bo rezultat tudi stolpični vektor istegareda. Ker vemo, da je TSS vsota kvadratov za opazovanja, lahko uberemo naslednjo pot.
∂y′y∂y=
∂P
y21/∂y1
∂P
y22/∂y2
...∂
Py2n/∂yn
=
2y12y2...
2yn
= 2y [1.122]
Po postopku za odvajanje produkta matrik po sklarju, moramo odvod najprej razbiti tako, da dobimo vimenovalcu skalarje (1.123). Nato vsako vrstico odvajamo, kot to prikazuje (1.124). Pri tem si poma-gamo še z enǎcbo (1.125). Dobljene vrednosti za posamezne vrstice vstavljamo nazaj v enačbo (1.123).Rezultat je podoben kot pri skalarni algebri.
∂y′y∂y=
∂y′y∂y1∂y′y∂y2...∂y′y∂yi...∂y′y∂yn
=
2y12y2...
2yi...
2yn
= 2y [1.123]
∂y′y∂yi=∂y′
∂yiy + y′
∂y∂yi= t′i y + y
′t i = yi + yi = 2yi [1.124]
∂y′
∂yi=[
0 0 · · · 1i · · · 0]= t′i [1.125]
1.12.5 Odvajanje inverze
Vzemimo matrikoM s polnim rangom in inverzno matrikoM−1. Hitro lahko ugotovimo, da velja (1.126),saj identǐcna matrika ni funkcija skalarne spremenljivkez.
∂MM −1
∂z=∂I∂z= 0 [1.126]
Če bi zadevo poskusili rešiti na način, ki smo ga obdelali v prejšnjem poglavju (1.127), nam ostaneneznanka prav odvod inverzne matrikeM−1 po skalarni spremenljivki z. Rezultat pa itak že poznamo.
∂MM −1
∂z=∂M∂z
M−1 +M∂M−1
∂z= 0 [1.127]
Sedaj pa nam ostane samo, da uganemo neznani odvod. Pravzaprav bomo (1.128) samo preoblikovali:poznani prvičlen bomo prenesli na drugo stran enačbe (pridobimo negativen predznak) in obe strani odspredaj množili z inverzno matrikoM−1.
∂M−1
∂z= −M−1∂M
∂zM−1 [1.128]
24
-
Biometrija 25
1.12.6 Odvajanje splošne inverze
Splošna inverza je vsaka matrikaG, ki zadovolji:
AGA = A [1.129]
Matrika A je lahko katerakoli matrika, lahko je torej tudi vrstični ali stolpǐcni vektor. Naj bosta matrikiA in G funkciji skalarjax. Sedaj pa poiš̌cimo odvod matrikeA po x-u.
∂A∂x= −∂AGA
∂x=∂A∂x
GA + A∂GA∂x=∂A∂x
GA + A∂G∂x
A + AG∂A∂x
[1.130]
Poskusimo sedaj množiti od spredaj zAG in od zadaj zGA.
AG∂A∂x
GA − AG ∂A∂x
GA = A∂G∂x
A + AG∂A∂x
GA [1.131]
0 = A∂G∂x
A + AG∂A∂x
GA [1.132]
A∂G∂x
A = −AG ∂A∂x
GA [1.133]
Rezultat je podoben kot (1.128),če jeG = A−1.
1.12.7 Odvajanje funkcije determinante
Za matrikoA s polnim rangom velja (Searle,1982)
∂ |A|∂A= |A|
(A′)−1
[1.134]
∂ln |A|∂A
=1|A| •
∂ |A|∂A=|A| (A′)−1|A| =
(A′)−1
[1.135]
∂ln |V|∂x︸ ︷︷ ︸ = tr
(∂ln|V|∂x
)= tr
(∂ln|V|∂V •
∂V∂x
)= tr
(V−1 ∂V∂x
)skalar
[1.136]
1.12.8 Chain-ovo pravilo
1.13 Sled matrike
Definicija: Sled matrike (ang. trace) je vsota diagonalnih elementov matrike.
A ={
ai j}⇒ tr (A) =
∑ai j [1.137]
Zakon ciklǐcne komutativnosti
tr(ApxnBnxmCmxp
)= tr
(CmxpApxnBnxm
)= tr
(BnxmCmxpApxn
)[1.138]
25
-
26 Biometrija
Sled skalarja je skalar.
tr(σ2e)= σ2e [1.139]
Sled vsote matrik
tr (A + B) = tr (A) + tr (B) [1.140]
Sled produkta matrike s skalarjem
tr (R) = tr(I4σ2e
)= σ2etr (I4) = 4σ
2e [1.141]
Matematǐcno upanje in sled matrike
E (tr (A)) = tr (E (A)) [1.142]
tr (B) = Vsota lastnih vrednosti(eigenvalues) matrikeB [1.143]
∂tr (B)∂B
=∂∑n
i=1 bii∂B
= I [1.144]
∂tr (AB)∂B
=∂tr (BA)∂B
= A , [1.145]
∂tr (ABC)∂B
=∂tr (BCA)∂B
= A ,C, [1.146]
∂tr (B,AB)∂B
= BA + A ,B [1.147]
A = A , ⇒ ∂tr (B,AB)∂B
= 2AB [1.148]
Etr (X) = E
(n∑
i=1
xii
)=
n∑i=1
E (xii ) = trE (X) [1.149]
26
-
Biometrija 27
PRIMER:Opravili smo dve meritvi na dveh nesorodnih živalih. Rezultati so v naslednji tabeli. Nasta-vimo matriko varianc in kovarianc za aditivni genetski vpliv (G), ostanek (R) in opazovanja (V)! Pri tempredpostavimo naslednji model. Izračunajmo tudi sledi matrikG, R in V!
a1 a2y11 y21y12 y22
yi j = µ + ai + ei j
ai ∼ IID(0;σ2a
); ei j ∼ IID
(0;σ2e
)
R = Var
e11e12e21e22
=σ2e
σ2eσ2e
σ2e
G = Var
(a1a2
)=
[σ2a
σ2a
]
V = R + ZGZ , = Var (y) = Var
y11y12y21y22
=σ2e + σ
2a σ
2a
σ2a σ2e + σ
2aσ2e + σ
2a σ
2a
σ2a σ2e + σ
2a
tr (R) = tr
(I4σ2e
)= σ2etr (I4) = 4σ
2e
tr (G) =∑σ2a = 2σ
2a
tr (V) =∑(
σ2e + σ2a
)= 4(σ2e + σ
2a
)Slednje lahko izrǎcunamo tudi po naslednjem postopku.
tr (V) = tr (R + ZGZ ,) = tr (R) + tr (ZGZ ,) = 4σ2e + tr(Z ,ZI 2σ2a
)= 4σ2e + 4σ
2a
27
-
28 Biometrija
PRIMER:
y = Xβ + Zu + e
E (yi) = xiβ
Var (yi) = σ2e + σ
2u
Po definiciji je
V = E (yy,) − E (y) E (y,)
E (yy,) = V + E (y) E (y,)
E (yy,) = E (tr (yy,)) = E[tr (yy,)
]= tr
[E (yy,)
]=
= tr (V + Xββ,X ,) = tr (V) + tr
(β,X ,Xβ︸ ︷︷ ︸skalar
)=∑
n
(σ2e + σ
2u
)+ β,X ,Xβ = n
(σ2e + σ
2u
)+ β,X ,Xβ
E (yy,) = E[(Xβ+Zu + e) (Xβ+Zu + e),
]= E
[(Xβ+Zu + e) (β,X , + u,Z , + e,)
]= E (Xββ,X ,) + E (Zuβ,X ,) + E (eβ,X) + E (Xβu,Z ,) + E (Zuu ,Z ,)+
+E (eu,Z ,) + E (Xβe,) + E (Zue,) + E (ee,)= ZGZ ,+R + Xββ,X , = V + Xββ,X ,
1.14 KVADRATNE OBLIKE (QUADRATIC FORM)
Splošna oblika kvadratne oblike (quadratic form) jey,Qy. Matriko Q imenujemo matriko kvadratneoblike. Predpostavimo lahko, da je simetrična. V primeru, daQ ni simetrǐcna, lahko poiš̌cemo drugomatriko kvadratne oblike po enačbi (1.150).
(Q +Q,
2
)[1.150]
Za odvisne spremenljivke (opazovanja) v vektorjuy naj velja, da so porazdeljene po naslednjem poraz-delitvenem zakonu:
y ∼ (Xβ,V) [1.151]
Pripravimo si še nekaj enačb
V = var (y) = var (y − Xβ) = E (y − Xβ) (y − Xβ), == E (yy,−yβ,X ,−Xβy, + Xββ,X ,) = yy, − (Ey)β,X , − Xβ (Ey,) + Xββ,X , == yy,−Xββ,X ,−Xββ,X ,+Xββ,X ,= yy,−Xββ,X ,
[1.152]
yy,= V + Xββ,X , [1.153]
E (yy,) = E (V + Xββ,X ,) = E (V) + E (Xββ,X ,)= V + Xββ,X , [1.154]
V statistiki kvadratne oblike predstavljajo matrični zapis za vsote kvadratov. Da ocenimo posameznekomponente variance, vsoto kvadratov izenačimo s prǐcakovano vrednostjo za vsoto kvadratov, zato si
28
-
Biometrija 29
oglejmo, kako dobimo pričakovane vrednosti.
E (y,Qy)︸ ︷︷ ︸skalar
= E[tr (y,Qy)
]= E
[tr (Qyy,)
]= tr
[E (Qyy,)
]= tr
[QE (yy,)
]=
= tr[Q (V + Xββ,X ,)
]= tr (QV) + tr (QXββ,X ,) =
= tr (QV) + tr(β,X ,QXβ)︸ ︷︷ ︸
skalar= tr (QV) + β,X ,QXβ
[1.155]
To velja ne glede na to, ali je porazdelitev normalna.Če pa je porazdelitev normalna, pa velja tudinaslednje.
1.var (y,Qy)︸ ︷︷ ︸
skalar
2.
PRIMER:yi = µ + ei
• Vsota kvadratov opazovanj∑y2i = yy
,
Q = I ; rank(Q) = n
• Vsota kvadratov za model
nȳ2 = n
(∑yi
n
)2=
(∑yi)2
n=
1n
y,1 • 1,y = 1n
y,Jny
Q =Jnn
; rank(Q) = 1
• Nepristranska ocena variance:∑(yi − ȳ)2n− 1 =
∑y2i − (
Pyi)/
n
n− 1 =y,y − 1ny,Jny
n− 1 =1
n− 1y,
(I − J
n
)y
Q =1
n− 1
(I − J
n
); rank(Q) = n− 1
29
-
30 Biometrija
PRIMER:yi j = µ + Ai + ei j ; i = 1, A; j = 1, N; n = NA
y, =[
y,1 y,2 · · · y
,A
]Vir variabilnosti Stopinje prostosti (d.f.) Vsota kvadratov (SS) Povprěcni kvadrat (SS/d.f.)
µ 1 CF - za povprěcje CF/1Vpliv A A-1 CBSS - med skupinami CBSS/(A-1)Ostanek A(N-1) ESS - za ostanek ESS/(A(n-1))Skupaj AN TSS - skupna
• Skupna vsota kvadratov
TS S=∑
i
∑j
y2ji = y,y
Q = I ; rank(Q) = AN
• Vsota kvadratov za “povprečje”
CF =1
ANy,JNAy
Q =JANAN
; rank(Q) = 1
• Vsota kvadratov UBSS:
UBS S = 1N∑A
i
(∑Nj yi j
)2= 1N
[(∑Nj y1 j
)2+(∑N
j y2 j)2+ · · · +
(∑Nj yA j
)2]= 1N
[y,11N · 1
,Ny1 + y
,21N · 1
,Ny2 + · · · + y
,A1N · 1
,NyA
]= 1N
[y,1 y
,2 · · · y
,A
]
1N · 1,N1N · 1,N
. . .
1N · 1,N
y1y2...
yA
= y,
(∑⊕i
JNN
)y
Q =
( ⊕∑i
JNN
); rank(Q) = A
• Vsota kvadratov CBSS:
CBS S= UBS S−CF = y,( ⊕∑
i
JNN
)y − 1
ANy,JANy = y,
(1N
⊕∑i
JN −1
ANJAN
)y
Q =
(1N
⊕∑i
JN −1
ANJAN
); rank(Q) = A− 1
• Vsota kvadratov za ostanek
ES S= TS S− MS S
30
-
Biometrija 31
1.15 CHOLESKY DEKOMPOZICIJA (KVADRATNI KOREN)
31