Kelompok 6

( Makalah Aljabar Linear )

Dosen : Fitriana Rahmawati, S.Pd., M.Pd

Disusun Oleh :

Sapta Riski Febriana : 10130297

Kartini Sugiharti Suwarto : 10130157

Riana Safitri : 10130271

Jera Madona : 10130375

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN dan ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI)

BANDAR LAMPUNG

2012 / 2013

1

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang selalu

melimpahkan rahmat dan karunia-nya. Sehingga kami dapat menyelesaikan tugas

Aljabar Linear mengenai Matriks dan Operasi Matriks dengan baik dan sesingkat

– singkatnya agar mudah dimahami dan dimengerti.

Kami menyadari sepenuhnya bahwa dalam pembuatan tugas ini masih

jauh dan banyak kekurungan dari kesempurnaan, oleh karena itu bagi pembaca

dan kepada semua pihak guna penyempurnaan tugas mendatang agar lebih baik

dan sempurna. kiranya sumbangan kritik dan saran yang kami harapkan yang

bersifat membangun.

Dengan selesainya makalah ini, kami tidak lupa mengucapkan terima

kasih kepada :

1. Bapak Drs. H. Dailami Zain selaku ketua yayasan STKIP PGRI

2. Ibu Fitriana Rahmawati, S.Pd., M.Pd selaku dosen pembimbing dalam

penulisan makalah ini

Semoga bantuan dan bimbingan yang telah diberikan untuk menyelesaikan

tugas ini mendapat balasan dari ALLAH SWT. Akhirnya kami berharap, semoga

makalah ini dapat bermanfaat untuk perkembangan pendidikan, khususnya bagi

para mahasiswa. dan tak lupa penulis ucapkan terima kasih.

Bandarlampung, Februari 2012

2

Penulis

Daftar Isi

Halaman

Kata Pengantar i

Daftar Isi ii

BAB I

PENDAHULUAN 4

1. Pengertian Matriks 4

2. Jenis-Jenis Matriks 5

2.1. Matriks Baris 5

2.2. Matriks Kolom 5

2.3. Matriks Diagonal 5

2.4. Matriks Identitas 5

2.5. Matriks Nol 6

3. Transpose Matriks 6

4. Kesamaan Dua Matriks 6

5. Operasi Pada Matriks 7

5.1. Penjumahan Matriks 7

5.2. Pengurangan Matriks 8

5.3. Perkalian Bilangan Real (scalar) dengan Matriks 9

5.4. Perkalian Matriks 10

5.5. Perpangkatan Matriks Persegi 11

6. Contoh Soal 12

7. Latihan Soal 13

BAB II

PENUTUP/KESIMPULAN 14

BAB III

3

DAFTAR PUSTAKA 15

BAB I

PENDAHULUAN

A. Pengertian Matriks

Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom

yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu

kesatuan

Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau

anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan

tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan

lebih terstruktur.

Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linear, transformasi

koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi,

seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan dipangkatkan.

Misal :

baris ke 2

Kolom kolom

Ke1 ke 3

Keterangan:

A adalah lambang huruf untuk matriks

artinya matriks berordo 3X3 menpunyai 3 baris dan 3 kolom.

Bila unsur baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A maka dilambangkan .

4

B. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks baris

Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja. Misalnya

2. Matriks kolom

Matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Misanya

3. Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak kolom dan banyak barisnya sama.

Misalnya

merupakan matrik pesegi ordo 2 dapat ditulis

Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 2 dan 0.

4. Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan

elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 0 (nol). Misalnya

5. Matrik identitas

Matriks identitas adalah matriks pesegi dengan semua elemen pada diagonal

utama adalah 1 dan elemen lainnya semuanya 0. Misalnya

6. Matriks nol

5

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0 (nol). Metriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya . Misalnya

C. TRANSPOSE MATRIKS

jika A adalah sembarang matriks m×n, maka transpose A, dinyatakan dengan AT,

didefinisikan sebagai matriks n×m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan

kolom dari A: yaitu, kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua

dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Amati, bahwa tidak hanya kolom dari AT menjadi baris dari A, tetapi baris dari AT juga

menjadi kolom dari A. jadi, entri dalam baris I dan kolom j dari AT dapat diperoleh

dengan “mencerminkan” A terhadap diagonal utamanya.

misalkan

Jika makan akan menjadi

Ordo matriks A adalah 3 x 2 sedangkan ordo adalah 2 x 3.

D. KESAMAAN DUA MATRIKS

jika A+B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah

matriks yang di peroleh dengan menambah entri-entri B dengan entri-entri A yang

berpadanan dan selisih A-B adalah matriks yang di peroleh dengan mengurangkan entri-

entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks - matriks berukuran berbeda

tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.

Dalam notasi matriks, jika A=[aij] dan B=[bij] mempunyai ukuran yang sama, maka A=B

jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij , atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j.

6

Misal: maka A=B, B≠C, A≠C

Maka, matriks yang memiliki kesamaan adalah A dan B karena ordonya sama

dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama sedangkan yang di A dan C, B dan

C merupakan matriks yang tidak memiliki kesamaan meskipun ordonya sama,

tetapi ada elemen-elemen seletak yang nilainya tidak sama, maka matriks tersebut

tidak sama.

E. OPERASI-OPERASI MATRIKS

1. Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks A dan B, ditulis A+B, di definisikan sebagai sebuah

martiks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang

seletak dari matriks A dan B.

Syarat dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah matriks-matriks

tersebut mempunyai ordo yang sama. Misalnya

Diketahui maka

A+B=

Pada penjumlahan matrik juga berlaku sifat- sifat, apabila matrik A,B dan C

berordo sama yaitu m x n.

A+B = B+A (sifat komulatif)

A+B+C = A+(B+C) (sifat asosiatif)

7

Unsur-unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga

A+O = O+A = A

Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A+(-A) = (-A)+A=O

2. Pengurangan Matriks

1) Lawan suatu matriks

Lawan suatu matriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya

merupakan lawan dari elemen-elemen matriks tersebut. Dapat ditulis dari

matriks lawannya dapat ditulis . Misalnya

Jika maka lawan matriks A adalah

2) Pengurangan matriks

Pengurangan matrik A dan B, ditulis A-B, didefinisikan sebagai sebuah

matriks yang di peroleh dari pengurangan setiap elemen matriks A

dengan elemen matriks B yang seletak. Karena pengurangan pada

dasarnya sama dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah

maka pengurangan matriks B terhadap matriks A dapat di tulis sebagai

penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B, atau dapat di tulis

Dengan –B adalah lawan matriks B. syarat agar dua matriks atau lebih

dapat di kurangkan adalah matriks-matriks yang mempunyai ordo yang

sama. Misalnya

Diketahui tentukan A-B

Cara 1. A-B=A+(-B) =

8

A-B=A+(-B)

Cara 2. A-B=

3. Perkalian Bilangan Real (Scalar) dengan Matriks

Didefinisikan, misal A suatu matrik ber ordo m x n dan k adalah suatu scalar

maka matriks kA di peroleh dari mengalikan semua elemen A dengan scalar k.

Misalnya

kA=

misal :

Diketahui: 2A-B+ C

Untuks matriks-matriks :

A= B= C=

Jawab :

2A= (-1)B= C =

= + +

=

Adalah kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien scalar 2, -1 dan

apabila A dan B matriks-matriks yang ber ordo mxn serta bilangan

real (skalar) maka berlaku sifat-sifat :.

9

4. Perkalian Matriks

Perkalian matriks didefinisikan, misal A matriks berordo m x p dan B matriks

berordo p x n maka A x B adalah suatu matriks C= berordo m x n yang

elemen-elemennya pada baris ke–i kolom ke-j, yaitu diperoleh dari

penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke –i

matriks A dan kolom ke-j matriks B, untuk i= 1,2,3,4…m dan j = 1,2,3,4…n.

Matriks ke kolom ke-j dari AB= A[matriks dari kolom ke-j dari B]

Matriks baris ke I dari AB=[matriks baris ke I dari AB]

Misalnya maka

AxB=

Apabila matriks A= 2x2 dan matriks B = 2x2 maka bagannya dapat di tulis

Ordo hasil kali

( 2 x 2)(2 x 2) = (2 x 2),

Sama

Misalnya maka AxB, BxC dapat di lakukan

perkalian, sedangkan AxC tidak dapat di lakukan perkalian karena banyak

kolom pada matriks A tidak sama dengan banyak baris matriks C atau

.

( Tidak sama)

apabila matriks A,B dan C dapat dikalikan atau di jumlahkan. jika k bilangan

real (scalar) Maka pada perkalian matriks juga berlaku sifat- sifat :,

Tidak komulatif, yaitu AxB ≠ BxA

Asosiatif, yaitu (AxB) x C = A x (BxC)10

Distributif:

Distributif kiri, A x (B+C) = ( AxB) + (AxC)

Distributif kanan, (A+B) x C = (AxC) + (BxC)

Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi

dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks identitas yakni matriks

satuan I, yang bersifat. IA=AI=A

1. Jika AB=0 belum tentu A=0 atau B=0

2. jika AB=AC belum tentu B=C

Jika p dan q adalah bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks,

maka berlaku hubungan. (pA)(qB) = (pq)(AB)

Jika berturut turut adalah traspos dari matriks A dan matriks B,

maka berlaku hubungan.

5. Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks maka :

atau . Misal

n faktor

diketahui matriks tentukan

CONTOH SOAL

1. Diketahui matriks dan tentukan nilai x dan

y jika diketahui .

11

Jawab:

dengan kesamaan dua matriks maka didapat:

x + 2y = 4

2x - y = 3

Kemudian gunakan metode eliminasi dan subtitusi untuk mencari nilai x dan y.

x + 2y = 4 x2 2x+4y = 8 y=1

2x - y = 3 x1 2x-y = 3 - x + 2(1) = 4

5y = 5 x = 4-2

y = 1 x = 2

jadi, deperoleh nilai x = 2 dan y = 1

2. Diketahui matriks maka adalah…

Jawab:

=

= =

LATIHAN SOAL

1. Diketahui , dan A2 = xA + yB . Nilai xy

adalah …12

2. Nilai a dari persamaan matriks :

adalah …

3. Diketahui jika ,

maka nilai k adalah……

BAB II

KESIMPULAN

13

Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom

yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu

kesatuan

Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau

anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan

tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan

lebih terstruktur.

Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi

koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi,

seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan didekomposisikan.

Jenis-jenis matriks adalah :

a. Matriks baris

b. Matriks kolom

c. Matriks diagonal

d. Matriks identitas

e. Matriks nol

Operasi-operasi pada matriks adalah ;

1. Dalam penjumlahan matriks

2. Dalam pengurangan matriks

3. Dalam perkalian bilangan real (scalar) dengan matriks

4. Perkalian matriks

5. Perpangkatan matriks persegi

BAB III

DAFTAR PUSTAKA

14

Ari Y., Rosihan dan Indriyastuti. 2008. Perspektif Matematika 3 untuk Kelas XII

SMA dan MA IPA. Jawa Tengah: Platinum.

Wirodikromo, sartono. 2007. Matematika Jilit 3 IPA untuk Kelas XII. Jakarta:

Erlangga.

Anton, Howard. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1. Tanggerang: Bina Rupa

Aksara Publisher.

Irfan, Edi S.Pd. 2009. Siap Menghadapi Ujian Nasional Matematika. Depok:

Arya Duta

15