matriks
DESCRIPTION
MATRIKS. DAFTAR SLIDE. Jenis-Jenis Matriks. Matriks Transpose. Operasi Matriks. DEFINISI MATRIKS. MATRIKS : kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. NOTASI MATRIKS. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MATRIKS
DAFTAR SLIDEDAFTAR SLIDE
Operasi Matriks
Jenis-Jenis Matriks
Matriks Transpose
DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS
MATRIKS :
kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
Nama matriks menggunakan huruf besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf
kecil maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.
675
231A
ihg
fed
cba
H
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
Notasi A = (aij)
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A =
Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n
MATRIKSMATRIKS
Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.
16
12
13
41
A
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
7
Baris
KolomUnsur Matriks
Matriks berukuran m x n atau berorde m x n
MATRIKS BARIS DAN KOLOMMATRIKS BARIS DAN KOLOM
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom.
4121C
4
3
1
E
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol
Sifat-sifat dari matriks nol :-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0-A*0=0, begitu juga 0*A=0.
13
41A
00
00
00
23xO
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.Contoh :
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama
500
020
001
33xD
500
050
005
33xD
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
Sifat-sifat matriks identitas :A*I=AI*A=A
Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol
Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol
100
010
001
D
600
210
542
A
152
043
001
B
TRANSPOSE MATRIKS
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A& dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
Contoh : matriks A : berordo 2 x 3
transposenya : berordo 3 x 2
314
131A
31
13
41tA
TRANSPOSE MATRIKS
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
TT
TTT
TT
TTT
kAkA
ABAB
AA
BABA
).(4
).(3
).(2
).(1
TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no1 :
232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaaBA
232221
131211
bbb
bbbB
232221
131211
aaa
aaaA
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
2313
2212
2111
bb
bb
bb
BT
23231313
22221212
21211111
2313
2212
2111
2313
2212
2111
baba
baba
baba
bb
bb
bb
aa
aa
aa
BA TT
TERBUKTI
23231313
22221212
21211111
)(
baba
baba
baba
BA T
TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no 2 :
232221
131211
aaa
aaaA
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
232221
131211
2313
2212
2111
)(aaa
aaa
aa
aa
aa
A
T
TT
TERBUKTI
MATRIKS A = BMATRIKS A = B
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
aij = bij dimana- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
A = Bdan
A ≠ B
dan
10
42A
10
42B
510
242A
13
41B
PENJUMLAHAN MATRIKS
Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.
dan
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
PENJUMLAHAN MATRIKS
Contoh Soal
22
31
24
A
21
12
43
B
2212
1321
4234
BA
43
41
27
BA
PENGURANGAN MATRIKS
A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.
dan
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
PENGURANGAN MATRIKS
Contoh :
043
322
101
A
243
421
111
B
204433
432212
111011
BA
200
703
210
BA
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k
15
83A
1*45*4
8*43*44A
420
32124A
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :k(B+C) = kB + kCk(B-C) = kB-kC(k1+k2)C = k1C + k2C(k1-k2)C = k1C – k2C(k1.k2)C = k1(k2C)
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Contoh :
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B
12
10A
11
43B
06
106
03
53*2)
11
43
12
10(*2)(2 BA
06
106
22
86
24
20
11
43*2
12
10*222 BA
TERBUKTI
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Contoh :
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
(k1+k2)C = k1.C + k2.C
12
11C
510
55
12
11*5
12
11*)32(*)( 21 Ckk
TERBUKTI
510
55
36
33
24
22
12
11*)3(
12
11*)2()**( 21 CkCk
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
Contoh :
0
1
3
B
11)0*1()1*2()3*3(
0
1
3
*123*
BA
123A
000
123
369
1*02*03*0
1*12*13*1
1*32*33*3
123*
0
1
3
* AB
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya
Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)
Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau
B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :1. A(BC) = (AB)C2. A(B+C) = AB+AC3. (B+C)A = BA+CA4. A(B-C)=AB-AC5. (B-C)A = BA-CA6. A(BC) = (aB)C= B(aC)7. AI = IA = A