MatriksDan

Sistem Persamaan Linier

Sudaryatno Sudirham

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.

Contoh:

123

421

302

baris

kolom

Nama matriks: huruf besar cetak tebal,

=123

421

302

A

=

203

142B

Contoh:

Notasi:

Bilangan ini bisa berupabilangan nyata atau kompleks.

Kita akan melihat matriksberisi bilangan nyata.

Elemen Matriks

Isi suatu matriks disebut elemen matriks

Contoh:

=

203

142B

2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenenmatriks yang membentuk baris

2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemenmatriks yang membentuk kolom

Ukuran Matriks

Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen

Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k

Contoh:

=

203

142B adalah matriks berukuran 2×3

=123

421

302

Ab = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3

Nama Khusus

Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar.

Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom.

Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris.

Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang

Contoh:

=

203

142B

b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3

=

4

2p k = 1

vektor kolom [ ]423=q b = 1 vektor baris

Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai

[ ]bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

=

=

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

A

elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

Diagonal Utama

Matriks Segitiga

Contoh:

Matriks segitiga bawah :

−=343

011

002

1T

Matriks segitiga atas :

−=

300

310

122

2T

Ada dua macam matriks segitiga yaitu

matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas

Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:

=000

010

002

D

Matriks Satuan

Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemenyang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.

Contoh:

IA =

=100

010

001

Matriks NolMatriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.

Anak matriks atau sub-matriks

=

203

142B

[ ]142 [ ]203- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:

3

2

0

4

2

1- Tiga anak matriks 2× 1, yaitu:

- Enam anak matriks 1× 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

- Enam anak matriks 1× 2 yaitu: [ ]42 [ ]12 [ ]14

[ ]03 [ ]23 [ ]20

03

42

23

12

20

14- Tiga anak matriks 2×2 yaitu:

Contoh:

Matriks B memiliki:

Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor

=123

421

302

A

=

3

2

1

a

a

a

Adapat kita pandang sebagai matriks

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris

[ ]3021 =a [ ]4212 =a [ ]1233 =a

dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA =

=3

1

2

1a

=2

2

0

2a

=1

4

3

3a

dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom

Contoh:

Contoh yang lain:

=123

421

302

A

Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.

A = B

=

03

42AJika

=

03

42Bmaka haruslah .

Contoh:

Matriks Negatif

Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). .

Contoh:

=

03

42A

−−−

=−03

42A

PenjumlahanPenjumlahan dua matriks hanya didefinisikan

untuk matriks yang berukuran sama

Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen-

elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama

ABBA +=+

( ) ( )CBACBA ++=++

=

03

42 A

=

22

31B

Jika

=+

25

73BAmaka

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Contoh:

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks dapat dipandang sebagaipenjumlahan dengan matriks negatif

A0A =+

0AAAA =−+=− )(

=

03

42 A

=

22

31B

−=

−−−−

+

=−

21

11

22

31

03

42BA

Contoh:

Perkalian Matriks

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

A

BAAB ≠

=

pqmp

q

q

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

B

Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q

maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.

Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor

baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.

Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m××××nadalah matriks berukuran m××××n yang seluruh elemennya bernilai a kali.

aA = Aa

=×

=

×646

462

244

2

323

231

122

323

231

122

2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

( ) BABA aaa +=+

( ) AAA baba +=+

[ ] ( )AA abba =

Contoh:

Perkalian Internal Vektor (dot product)

[ ]32=a

=

3

4bvektor baris: vektor kolom:

.

Contoh:

2 kolom

2 baris

Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris

vektor b.

Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.

[ ] [ ] [ ]1733423

4 32 =×+×=

=•= bac

Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukantetapi memberikan hasil yang berbeda

[ ]

=

××××

=

=•=

96

128

3323

342432

3

4abd

perkalian internal dapat dilakukan

Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian Matriks Dengan Vektor

=

43

12A

=

3

2bMisalkan dan

dapat dikalikan2 kolom

2 baris

=

×+××+×

=

••

=

==

18

7

3423

3122

2

1

2

1

ba

bab

a

aAbC

Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukankarena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

Contoh:

Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar

=

43

12A

=

35

24Bdan

Contoh:

dapat dikalikankolom = 2

baris = 2

Matriks A kita pandang sebagai

=

2

1

a

aA

Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB =

[ ]

=

×+××+××+××+×

=

••••

=

==

1832

713

34235443

31225142

2212

211121

2

1

baba

bababb

a

aABC

Perkalian dua matriks persegi panjang

=

231

342A

=32

34

21

Bdan

dapat dikalikankolom = 3

baris = 3

=

×+×+××+×+××+×+××+×+×

=

==

1717

2525

323321224311

333422234412

32

34

21

231

342ABC

Contoh:

=

2

1

a

aA [ ]21 bbB =

[ ]

••••

=

==

2212

211121

2

1 baba

bababb

a

aABC

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah

,

sehingga

.

Dalam operasi perkalian matriks:

matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris

matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom

Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom

( ) ( ) ( )BAABBA aaa ==

( ) ( )CABBCA =

( ) BCACCBA +=+

( ) CBCABAC +=+

Sifat-sifat perkalian matriks

b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.

Putaran Matriks (Transposisi)

Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×nadalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-

kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT

[ ]bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

=

=

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

A

[ ]pq

mnnn

m

m

a

aaa

aaa

aaa

=

=

L

LLLL

L

L

21

22212

12111

TA

Jika

maka

Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.

Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

[ ]

=⇒=3

4

2

342 Taa

[ ]345

3

4

5T =⇒

= bb

Contoh:

Putaran Jumlah Dua Vektor Baris

Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor

[ ] [ ]231dan 342 == ba

[ ]573=+ ba

( ) TTT

2

3

1

3

4

2

5

7

3

baba +=

+

=

=+

( ) TTT baba +=+

Jika

maka

Secara umum :

Contoh:

Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran

masing-masing dengan urutan dibalik

[ ]

==2

3

1

dan 342 ba

[ ]233412 ×+×+×=ab

Jika

maka

Contoh:

[ ] [ ] TTT

3

4

2

231233412 abab =

=×+×+×=

Contoh:

Jika [ ]231dan

3

4

2

=

= ba

maka

×××××××××

=233313

243414

223212

ab

( ) [ ] TTT 342

2

3

1

232422

333432

131412

abab =

=

×××××××××

=

Secara umum : ( ) TTT abab =

Contoh:

Putaran Matriks Persegi Panjang

=

231

342A

=23

34

12TAJika maka

=

ma

a

A L

1

[ ]TT1

TmaaA L=

Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris

maka

[ ]maaaA L21=Jika matriks Adinyatakan dengan vektor kolom

=

ma

a

A L

1Tmaka

Putaran Jumlah Matriks

Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.

Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.

( ) TTT BABA +=+

[ ]maaA L1= [ ]mbbB L1=

[ ]mm babaBA ++=+ L11

Jika

Dengan demikian

dan

maka

( )( )

( )TT

T

T1

T

T1

TT

T1

T1

T

T11

T BA

b

b

a

a

ba

ba

ba

ba

BA +=

+

=

+

+=

+

+=+

mmmmmm

LLLL

Putaran Hasil Kali Matriks

Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat

pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

( ) TTT ABAB =

=

ma

a

A L

1

[ ]nbbB L1=

••

••=

nmnm

n

baba

baba

AB

L

LLL

L 111

Jika dan

maka

[ ] TT1

1111T ABaa

b

b

baba

baba

AB =

=

••

••= m

nnmnm

n

LL

L

LLL

L

Dengan demikian maka

Matriks Simetris

Jika

dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.

BB −=T

Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila

AA =T

Karena dalam setiap putaran matriks nilaielemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika

elemen diagonal utamanya bernilai nol.

Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.

Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak

diketahui.

Bentuk umum:

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

=++

=++=++

L

L

L

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….x

n.

Bilangan a11 …..amn

disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b1 ….bm

juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol

Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …x

nyang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., x

n= 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

Operasi Baris

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

=++

=++=++

L

L

L

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.

Penulisan Dalam Bentuk Matriks

Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

=

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

LL

L

LLLL

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

atau secara singkat bAx =

=

=

=

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

LL

L

LLLL

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

; ; bxA

dengan

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

=

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

|

|

|

|

~

21

222221

111211

L

LLLLL

L

L

A

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir

inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan

asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Suatu sistem persamaan linier:

Contoh:

0234

8253

024

8

=+−+−=−+−

=−+−=−

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

=

−−−−

−−−

0

8

0

8

2341

2531

0241

0011

D

C

B

A

x

x

x

x

Matriks gandengnyaadalah:

−−−−

−−−

0|2341

8|2531

0|0241

8|0011

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.

1) baris (

1) baris (

baris1) (

pivot

8|2330

0|2520

8|0230

8|0011

+−+

−−−

−−

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

8|2330

0|2520

8|0230

8|0011

−−−

−−

2) (-baris

2) baris 2/3(

(pivot)

0|2100

3/16|23/4500

8|0230

8|0011

+

−−−

−−

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperolehbilangan bulat

0|2100

3/16|23/4500

8|0230

8|0011

−−−

−−

0|2100

16|61100

8|0230

8|0011

−−

−−

0|2100

16|61100

8|0230

8|0011

−−

−−

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11

pivot

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

+×

−−

−

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

1616

16611

823

8

==−

=−=−

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:

12 ; 4 ; 2 ; 1 ==== ABCD xxxx

Hasil terakhirlangkah ketigaadalah:

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

−−

−

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

=

−−

−

16

16

8

8

16000

61100

0230

0011

D

C

B

A

x

x

x

x

Sistem Tertentu dan Tidak Tertentu

Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.

Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyakdengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

823

024

8

−=+−=−+−

=−

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

Matriks gandeng:

−−−−

−

8|230

0|241

8|011

Eliminasi Gauss:

−−−

−

8|230

8|230

8|011

−−

0|000

8|230

8|011

Contoh:

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

00

823

8

==−

=−

CB

BA

xx

xx

3/)28( CB xx +=Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan

3/)28(8 CA xx ++=yang kemudian memberikan

Karena xC

tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai x

Adan x

Bjika kita

menentukan nilai xC

lebih dulu

Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi

1023

024

8

−=+−=−+−

=−

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

−−−−

−

10|230

0|241

8|011

−−−

−

10|230

8|230

8|011

−−

−

2|000

8|230

8|011

Contoh:

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

20

823

8

−==−

=−

CB

BA

xx

xx

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris

terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

−−

000

230

011

−−

−

2|000

8|230

8|011

dan

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

′′

′

+

m

r

rrnrr

n

n

b

b

bkk

bcc

baaa

|0

|

|0

|

|

|0

|

1

2222

111211

M

L

M

LLL

LLL

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

m

r

rnrnrrr

nn

nn

b

b

bxkxk

bxaxc

bxaxaxa

′=

′=′=++

′=++=+++

+

0

0

1

22222

11212111

M

L

M

LLLL

LLLL

dengan 0 , 0 ,0 2211 ≠≠≠ rrkaa , dan r ≤ n

a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

nr = mr bb ′′+ ,,1 K

nr < mr bb ′′+ ,,1 K

nr = nr < mr bb ′′+ ,,1 K

Perhatikan bentuk ini:

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.

mr bb ′′+ ,,1 K

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika .nr =

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng.

Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

nr <Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier

Vektor-Vektor

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor

Misalkan maaa , , 21 L

adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk

].

Kita tinjau suatu persamaan vektor

02211 =+++ mmccc aaa L

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 … c

m) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah

bebas linier.

Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu

tidak bebas linier.

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam

kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk

dapat dipenuhi.

Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai

01

21

21 =−−−= m

m

c

c

c

caaa L

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol

Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak

bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.

Contoh: Dua vektor baris [ ]21321 =a [ ]26242 =adan

Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena

[ ] [ ] 026242132 212211 =+=+ cccc aa

hanya akan terjadi jika 021 == cc

Ambil vektor ketiga [ ]42643 =a

Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3

sebagai [ ] [ ]4264213222 13 === aa

Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

[ ] [ ] [ ]42642624 02132 202 213 =+=+= aaa

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.

Rank Matriks

Rank Matriks

Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.

Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk

] disebut rank matriks A disingkat rank A.

Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.

Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks

baru sama dengan rank matriks asalnya.

Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir

eliminasi Gauss.

Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas

linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.

Bagaimana menentukan rank suatu matriks?

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah

−−

−

16000

61100

0230

0011

−−

−

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan

banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4

Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah

Contoh:

−−

000

230

011

−−

0|000

8|230

8|011dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank

matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.

Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah

−−

000

230

011

−−

−

2|000

8|230

8|011dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak

adanya solusi.

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.

c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.

a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rankmatriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;

b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rankmatriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

Sistem Persamaan Homogen

Sudaryatno Sudirham

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0

. . . . . . . . . . .

0

0

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

L

L

L

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

=

0|

|

0|

0|

~

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

L

LLLLL

L

L

A

Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

′

′′′′′

=′

0|000

|

0|0

0|

~ 222

11211

mn

n

n

a

aa

aaa

LLLLL

L

L

A

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan

berbentuk

0

0

0

2222

1212111

=′

=′++′=′++′+′

nmn

nn

nn

xa

xaxa

xaxaxa

M

L

L

Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .

0=nx

nr <

Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial

0234

0253

024

0

=+−+−=−+−

=−+−=−

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

−−−−

−−−

0|2341

0|2531

0|0241

0|0011

−−

−

0|16000

0|61100

0|0230

0|0011

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi

016

0611

023

0

==−

=−=−

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xx0==== ABCD xxxxyang akhirnya memberikan

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr =

Contoh:

Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial

06134

0253

024

0

=+−+−=−+−

=−+−=−

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

Contoh:

−−−−

−−−

0|61341

0|2531

0|0241

0|0011

−−

−

0|0000

0|61100

0|0230

0|0011

eliminasi Gauss:

Sistem persamaan menjadi

00

0611

023

0

==−

=−=−

DC

CB

BA

xx

xx

xx

1=Dx

33

12 ;

33

12 ;

11

6 === ABC xxx

Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh

.

Solusi ini membentuk vektor solusi

=

1

11/6

33/12

3312

1

/

x

yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0

=

−−

−

=

0

0

0

0

1

6/11

12/33

12/33

0000

61100

0230

0011

1Ax

Jika kita menetapkan nilai xD

yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu

33=Dx

12 33

33

18

12

12

xx =

=

Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol

Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1xx cc =

dengan c adalah skalar sembarang

Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.

111213 3433

33

18

12

12

1

11/6

33/12

33/12

xxxxxx =+=

+

=+=

Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

∑= cj xx

Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank matriks

koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks

koefisien adalah 2.

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat

diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.

Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu.

Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 .

Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2

04107

0254

0254

0

=+−+−=−+−

=+−+−=−

DCBA

DCBA

DCBA

BA

xxxx

xxxx

xxxx

xxContoh:

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

−−−−

−−−

0|41071

0|2541

0|2541

0|0011

−−

0|0000

0|0000

0|2530

0|0011

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

00

00

0253

0

==

=+−=−

DCB

BA

xxx

xx

0dan 1 == DC xx

5/3 ; 3/5 == AB xx

Jika kita memberi nilai

kita akan mendapatkan

.

=

0

1

3/5

3/5

1x adalah salah satu vektor solusi

Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor 0b =

=

+−+−

=

−−

=

0

0

0

0

0

0

0550

3/53/5

0

1

3/5

3/5

0000

0000

2530

0011

1Ax

Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan

0xA =11k 0xA =12k

,

dan 0)( 111211211 ==+=+ xAxAxAxA ckkkk

Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka

)( , , 12111211 xxxx kkkk +

adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai .0dan 1 == DC xx

1dan 0 == DC xx 3/2−=Bx

3/2−=Ax

Jika akan kita peroleh

dan yang membentuk vektor solusi

−−

=

1

0

3/2

3/2

2x

Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti

)( , , 22212221 xxxx llll +

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

21 xxx lk +=

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen

dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien rakan membentuk ruang vektor berdimensi (n − r).

Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian

pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan

matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A−1

sehingga definisi ini memberikan relasi

11 −− == AAIAA

Jika A berukuran n × n maka A−1 juga berukuran n × n dan demikian pula matriks identitasnya.

Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks

adalah unik atau bersifat tunggal.

Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PAdan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin

terjadi jika P = Q.

QQIAPQQAPPAQIPP ====== )()(

Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singulardan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.

Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien

A ada, atau jika matriks A tak singular.

Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari

kebalikan matriks A jika ia tak singular.

Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak

homogen, yaitu

bAx =

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh

bAxIxbAAxA 111 −−− ==→=

Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa

vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A−1 sama dengan n. Dengan perkataan lain

matriks A yang berukuran n × n tak singular jika rank A = n

dan akan singular jika rank A < n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.

IAX =

Jika X adalah kebalikan matriks A maka

[ ]IAA =~

[ ]HU

[ ]HU

[ ]XI

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan

A~

Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada

matriks gandengan ini berubah menjadi

dengan U berbentuk matriks segitiga atas.

yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada Usehingga U berbentuk matriks identitas I.

Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

Langkah akhir ini akan menghasilkan

Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks

−−=

142

223

221

A

Kita bentuk matriks gandengan [ ]IA

[ ]

−−=

100|142

010|223

001|221

IA

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2

1 baris3

pivot

102|580

013|480

001|221

×+×−

−−−

2 baris

pivot

111|100

013|480

001|221

+

−−−−

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

)8/1(

111|100

08/18/3|2/110

001|221

−×

−−

baris35.0

3 baris2

111|100

2/18/58/7|010

223|021

×−×−

−−−−−

2 baris2

111|100

2/18/58/7|010

18/68/10|001 ×−

−−−

−−

Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu

−−−

−−=−

111

2/18/58/7

18/68/101A

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya

=

−−

0

0

8

142

223

221

3

2

1

x

x

x

vektor solusinya adalah

−=

−−−

−−=

−−=

−

8

7

10

0

0

8

111

2/18/58/7

18/68/10

0

0

8

142

223

221

1

3

2

1

x

x

x

Kebalikan Matriks Diagonal

Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.

=

−

nnnn a

a

a

a

/100

00

00/1

00

00

00 111

11

LL

Kebalikan Dari Kebalikan Matriks

Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

( ) AA =−− 11

Kebalikan Dari Perkalian Matriks

Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

( ) 111 −−− = ABAB

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

( )( ) 1−= ABABI

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) 111111

11

111111

−−−−−−

−−

−−−−−−

===

=

===

ABABIABBBAB

ABBA

ABIBABBAAABABAIA

Bahan Ajar

Matriksdan

Sistem Persamaan Linier

Sudaryatno Sudirham