MATRIKS

A. DEFINISI MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada

beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu

peubah. Nama matriks menggunakan huruf besar seperti A, B, C dst. Sedangkan anggota

(elemen) dari matriks yang berupa huruf dituliskan menggunakan huruf kecil. Tanda

yang digunakan untuk mengurung elemen-elemen matriks menggunakan tanda

atau .

Contoh 1.1:

A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )

Elemen-elemen matriks pada garis horizontal disebut dengan baris, dan elemen-elemen

pada garis vertical disebut dengan kolom. Ukuran dari suatu matriks yang disebut dengan

Dimensi atau Ordo ditentukan oleh banyaknya baris di kali dengan banyaknya kolom

yang ada didalam suatu matriks.

Contoh 1.2:

E = baris

kolom

Tanda kurung matriks

Nama Matriks

Pada Matriks E mempunyai 3 baris dan dan 2 kolom yaitu adalah baris pertama,

adalah baris kedua dan adalah baris ketiga, sedangkan adalah

kolom pertama dan adalah kolom kedua. Sehingga dimensi atau ordo dari matriks E

adalah 3x2 (dibaca: tiga kali dua).

Notasi A = , untuk menyatakan matrik secara umum dan menunjukkan letak suatu

elemen matriks. Dengan i menunjukkan letak baris dan j menunjukkan letak kolom.

Contoh 1.3

A=

Perhatikan matriks A, elemen adalah elemen pada baris pertama kolom kedua;

sedangkan elemen adalah elemen pada baris kedua kolom ketiga, dan seterusnya.

Sehingga matriks A mempunyai 4 baris dan 3 kolom, dimensi dari A adalah 4x3 dapat

ditulis dengan A4x3.

Sehingga bentuk umum dari suatu matriks adalah sebagai berikut:

A =

Matriks A di atas mempunyai m baris dan n kolom. Dalam notasi yang lebih singkat, A

dapat ditulis dengan:

A = ( dimana i = 1, 2, 3, …., m

j = 1, 2, 3, …., n

sehingga dimensi A adalah mxn yang bisa ditulis dengan Amxn.

B. JENIS – JENIS MATRIKS (Bagian I)

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks Baris adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja.

Matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja.

Contoh 1.4 :

A = adalah matriks baris berdimensi 1x3

B = adalah matriks kolom berordo 2x1

2. Matriks Persegi (Square Matriks)

Suatu matriks A = disebut sebagai matrik persegi (matriks bujur sangkar) bila i

= j = 1, 2, 3 ,… n. atau dengan kata lain banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu

matriks sama. Matriks persegi mempunyai dimensi nxn. Bentuk umum dari matriks

persegi adalah sebagai berikut:

A =

Pada matriks persegi A diatas elemen , , … , disebut sebagai diagonal

utama dari matriks A. jumlah dari semua elemen-elemen diagonal dari suatu matriks

persegi disebut dengan trace.

Sehingga trace A = + … + ) =

3. Matriks Nol (Zero Matriks)

Suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol) disebut dengan matriks nol.

Matriks nol dilambangkan dengan O.

Contoh 1.5:

;

4. Matriks Identitas

Suatu matriks persegi yang semua elemen diagonalnya adalah 1 dan selain elemen

diagonal adalah 0 maka dinamakan matriks identitas. Matriks identitas biasanya

dinotasikan dengan I. Karena matriks I berdimensi n, sehingga dinotasikan dengan In.

Jadi,

5. Matriks Bagian (Sub-Matriks)

Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil

dengan menghilangkan salah satu atau lebih vektor-vektor baris dan atau vektor-

vektor kolom yang sudah ditentukan. Matriks-matriks yang dihasilkan dari partisi

tersebut dinamakan submatriks atau matriks bagian.

Contoh 1.6 :

Diketahui matriks M = dengan menghilangkan vektor kolom ketiga

diperoleh matriks bagian . Menghilangkan vektor baris pertama dan vektor

kolom kedua diperoleh matriks bagian dan seterusnya. Berapa banyaknya

matriks bagian dari M?

Contoh 1.7:

Andaikan matriks persegi Q= . Menghilangkan vektor baris kedua

dan kolom kedua diperoleh submatriks . Menghilangkan vektor baris pertama

dan ketiga serta vektor kolom pertama dan ketiga diperoleh submatriks (2) dan

seterusnya.

Perhatikan bahwa diagonal matriks Q= tetap menjadi diagonal pada

submatriks dan (2) . Submatriks yang diperoleh disebut dengan matriks

bagian utama (submatriks principal). Sehingga dan (2) disebut sebagai

submatriks principal. Submatriks principal yang lain dari matriks Q adalah

dan (6).

C. Operasi Matriks

1. Kesamaan Dua Matriks

Definisi: Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran atau

dimensi yang sama dan elemen-elemen yang berpadanan sama.

Dalam notasi matriks, jika A = ( dan B = ( mempunyai ukuran yang sama

maka A=B jika dan hanya jika , atau secara ekuivalen, untuk

semua i dan j.

Contoh 1.8:

Diketahui matriks B= , C= D=

Jika x = 5, maka B=C, tetapi untuk nilai x yang lainnya matriks B dan C tidak sama.

Tidak ada nilai x yang membuat B = D karena B dan D mempunyai ukuran atau

dimensi yang berbeda.

2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Definisi: jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran (berdimensi) sama, maka

jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen A

dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian, dan selisih A-B adalah matriks

yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B

yang letaknya bersesuaian. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak dapat

ditambahkan atau dikurangkan.

Contoh 1.9:

Andaikan A = , B= , C=

A+B = + = =

A-B = - = =

Perhatikan bahwa matriks A dan B masing-masing berdimensi 3x2 sehingga dapat

dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dan matriks hasil

operasinya juga tetap berdimensi 3x2. Tidak dapat dilakukan operasi penjumlahan

B+C sebab dimensi kedua matriks tidak sama.

Andaikan dua buah matriks A = ( , B = ( dan C = ( yang dapat dilakukan

operasi penjumlahan memenuhi sifat-sifat:

a. Komutatif; A+B = B+A

Bukti:

b. Asosiatif; (A+B)+C = A + (B+C)

Bukti:

c. Identitas Penjumlahan

Untuk setiap matriks A = ( berdimensi mxn selalu ada matriks nol (0)

berdimensi mxn, demikian sehingga: A+0 = 0+A = A. matriks 0 ini disebut

matriks identitas penjumlahan.

Bukti:

d. Invers Aditif (invers penjumlahan)

Untuk setiap matriks A = ( berdimensi mxn selalu ada matriks -A = (-

sedemikian hingga A + (-A) = (-A) + (A) = 0, dimana 0 adalah matriks nol yang

berdimensi sama dengan matriks A. Matriks “-A” disebut dengan lawan atau

negatif dari matriks A, atau invers penjumlahan dari A.

Dari sifat yang terakhir ini, dapat dipahami bahwa jika dua matriks A dan B yang

mempunyai dimensi yang sama, maka: A-B = A + (-B). jadi mengurangi matriks

A dengan matriks yang lain adalah sama saja menambah matriks A tersebut

dengan negatif dari matriks yang lain.

3. Perkalian Skalar

Definisi: jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang scalar, maka hasil

kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan c.

Dalam notasi matriks, jika A = ( , maka cA = c (

Contoh 1.10:

Untuk matriks-matriks:

A= , B= , C=

2A = 2 =

(-1)B = (-1)

= =

Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks:

a. Andaikan k dan s adalah skalar dan A = ( matriks, maka:

(k+s) A = kA + sA

Bukti:

b. Andaikan k skalar dan A = ( serta B = ( adalah dua matriks yang

berdimensi sama, maka:

k (A+B) = kA +kB

Bukti:

c. Andaikan k dan s skalar serta matriks A = ( , maka:

K (sA) = (ks) A

Bukti:

d. Andaikan k skalar, dan matriks A = ( , maka kA = Ak

Bukti:

e. Jika skalar k =1, maka 1A = A

Sehubungan dengan sifat ini maka (-1) A = -A

4. Perkalian Matriks

Definisi: jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka

hasil kali AB adalah matriks m x n yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai

berikut. Untuk mencari elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari

matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari

baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Andaikan matriks baris A = ( dan matriks B =

Jika AB = C, maka:

C = (

= (

C = AB =

Perhatikan bahwa dimensi matriks A adalah 1xn dan dimensi dari matriks kolom B

adalah nx1 sehingga matriks C= AB mempunyai dimensi 1x1.

Untuk matriks yang bukan matriks baris atau matriks kolom, operasinya adalah

sebagai berikut.

Andaikan A= , dan B=

Atau:

A = ( ; i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …,p

B = ( ; i = 1, 2, 3, … p; j= 1, 2, 3, … n

AB = C = ( ; i = 1, 2, 3, …, m; j= 1, 2, 3,…, n. Dimana:

=

Dua matriks dapat dilakukan operasi perkalian jika banyaknya elemen dari matriks

baris A harus sama dengan banyaknya elemen dari matriks kolom B. Oleh karena itu

perkalian matriks sering juga disebut dengan perkalian baris kali kolom.

Contoh 1.11:

Diketahui D= , E= Hitunglah DE dan ED!

DE = =

=

ED = =

Apa yang dapat disimpulkan dari contoh 1.11?

Sifat-sifat perkalian matriks:

Andaikan A = ( , B = ( dan C = ( adalah matriks-matriks yang dimensinya

sesuai untuk perkalian dan penjumlahan, maka perkalian matriks bersifat:

a. Distributif

1) A (B+C) = AB + AC distributif kiri

2) (A+B) C = AC +BC distributif kanan

Bukti

b. Asosiatif; A(BC) = (AB) C

Bukti

D. JENIS – JENIS MATRIKS (Bagian II)

1. Matriks Eselon

Matriks A, untuk A = ( berdimensi mxn disebut matriks eselon baris atau

matriks eselon jika dan hanya jika memenuhi sifat:

a. Setiap baris yang semua elemennya nol terletak sesudah baris yang mempunyai

elemen tidak nol

b. Pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang

pertama harus terletak dikolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya.

Elemen tidak nol pertama dari suatu baris disebut unsure utama atau elemen pivot.

Contoh 1.12:

A = ; B=

Elemen yang dilingkari menunjukkan elemen pivot.

2. Matriks Segitiga

a. Matriks Segitiga Atas

Matriks A, untuk A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i > j

disebut dengan matriks segitiga atas. Atau dengan kata lain Matriks segitiga

atas merupakan matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonalnya

adalah . Secara umum matriks segitiga atas berbentuk:

Contoh :

Misalkan

b. Matriks Segitiga Bawah

Matriks A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i < j disebut

dengan matriks segitiga bawah. Atau dengan kata lain Matriks segitiga bawah

merupakan matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonalnya adalah .

Secara umum matriks segitiga bawah berbentuk:

Contoh:

3. Matriks Diagonal

Matriks A, untuk A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i > j dan

i < j disebut dengan matriks diagonal. Suatu matriks yang memenuhi sifat matriks

segitiga atas maupun segitiga bawah disebut matriks diagonal. Atau dengan kata lain

suatu matriks persegi yang semua elemen selain diagonalnya adalah 0 dinamakan

matriks diagonal. Matriks Diagonal dinotasikan dengan D. Secara umum matriks

segitiga atas berbentuk:

Perhatikan bahwa semua elemen-elemen diluar posisi elemen diagonal nilainya 0

(nol)

Contoh 1.13:

B=

4. Matriks Identitas

Dari matriks diagonal D = jika nilai =

dimana k adalah sebuah skalar, maka matriks ini disebut

matriks skalar. Jika k= 1 maka matriks dinamakan matriks identitas.

Contoh 1.14:

S = , matriks skalar. Untuk k = 1

I= , matriks identitas berdimensi 4

Secara umum matriks I berdimensi n, dinotasikan dengan:

Matriks-matriks I dinamakan matriks identitas untuk perkalian matriks karena untuk

sembarang matriks A berdimensi mxn selalu ada matriks identitas untuk perkalian dengan A,

sedemikian hingga IA = AI = A (coba buktikan!)

5. Matriks Komutatif, Idempoten dan Periodik

Dua matriks persegi A = ( dan B = ( yg berdimensi sama disebut komutatif

(commute) jika berlaku AB = BA. Sebaliknya, disebut anti komutatif (anti-

commute) jika berlaku AB = - BA.

Matriks persegi A = ( yang berlaku Ak+1

= A, dengan k bilangan bulat positif,

disebut matriks periodik. Untuk k = 1, berarti A2 = A, maka A disebut matriks

idempoten. Matriks persegi A = ( yang berlaku Ap = 0, untuk p bilangan bulat positif

disebut matriks nilpoten.

Contoh:

1. Andaikan matriks B =

B2= =

B3=B

2B= = =B

Tampak bahwa B3= B

2+1= B ini berarti matriks B adalah periodic dengan periode 2.

2. Matriks E =

E2= EE = = = E

Tampak bahwa E2= E, berarti matriks E adalah matriks idempoten.

3. Matriks F =

F2= FF = =

F3=F

2F = = = O

Karena F3= O, maka F adalah nilpoten indeks 3

6. Matriks Invers

Andaikan A = ( dan B = ( dua matriks persegi berdimensi sama sehingga

berlaku :

AB = BA = I, maka B disebut invers A ditulis dengan B = A-1

. Atau A invers B

ditulis dengan A = B-1

.

Dengan demikian bentuk:

AB = BA = I

A A-1

= A-1

A=I atau juga B-1

B=B B-1

=I

Suatu matriks yang mempunyai invers disebut matriks yang invertible atau matrik

non singular.

Contoh:

Matriks dan saling invers, sebab:

= = I

Andaikan invers dari matriks A adalah A-1

dan invers dari matriks B adalah B-1

maka

berlaku sifat (AB) -1

= B-1

A-1

.

7. Transpose Matriks

Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom seletak, atau

sebaliknya. Transpose dari matriks biasanya dinotasikan dengan .

Dalam notasi adalah sebagai berikut:

A = AT = dimana =

Misalkan dengan

Transpose dari , yaitu

Dengan demikian bila matriks A = berdimensi mxn, maka matriks AT =(

akan berdimensi nxm.

Contoh :

Misalkan maka transpose dari adalah

Dari definisi transpose matriks tersebut diturunkan beberapa sifat yang berhubungan

dengan transpose matriks, yaitu:

1. (AT)T = A

2. (A + B)T = A

T + B

T

3. (AB)T = B

T A

T

Bukti:

8. Matriks Simetri dan Matriks Simetri Miring

Andaikan A = adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A dikatakan

Matriks simetri yang memenuhi .

Contoh :

Misalkan maka . Berarti matriks A adalah matriks simetri.

Sedangkan untuk matriks A = adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A

dikatakan Matriks simetri miring yang memenuhi . Karena

untuk setiap I dan j. khusus untuk diagonal (i=j), maka

artinya elemen diagonal suatu matriks miring adalah berupa bilangan

yang sama dengan negatifnya, bilangan tersebut adalah bilangan 0.

Contoh :

C = ; CT = = - = -C

Karena CT= -C maka C adalah matriks simetri miring.

9. Conjugate Matriks

Misalkan adalah matriks dengan elemen-elemen dalam matriksnya merupakan

bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks z = a+bi maka conjugate bilangan

kompleks z dinotasikan dengan = . Conjugate dari adalah

. Jadi conjugate dari conjugate bilangan kompleks adalah

dirinya sendiri.

Andaikan A adalah suatu matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks, maka

conjugate dari matriks dinotasikan dengan adalah suatu matriks yang diperoleh

dengan mencari conjugate dari setiap elemen-elemen matriks A.

Contoh:

A = ;

Andaikan A = dan B = adalah matriks-matriks yang mempunyai elemen

bilangan kompleks, dan masing-masing conjaget dari A dan B, serta k adalah

skalar dengan adalah conjugate dari k, maka:

a.

b.

c.

d.

e. notasi untuk transpose dari conjugate (conjugate dari transpose) suatu

matriks A adalah AH. Jadi dalam hal ini A

H = atau A

H = .

10. Matriks Hermitian dan Skew Hermitian

Matriks persegi A = berdimensi n dikatakan Matriks Hermitian jika dan hanya

jika berlaku AH= A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian jika

unsure-unsurnya berlaku hubungan untuk setiap i dan j. Khusus untuk

elemen diagonal, i=j maka haruslah yang berarti menggambarkan suatu

bilangan yang sama dengan conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari matriks

hermitian adalah bilangan real.

Contoh:

Tunjukkan bahwa A = adalah hermitian!

Solusi:

=A

Matriks persegi A = berdimensi n dikatakan Matriks Skew Hermitian jika dan

hanya jika berlaku AH=- A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian

jika unsure-unsurnya berlaku hubungan untuk setiap i dan j. Khusus

untuk elemen diagonal, i=j maka haruslah yang berarti menggambarkan

suatu bilangan yang sama dengan negatif conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari

matriks hermitian adalah bilangan 0 atau bilangan imajiner.

Contoh:

Tunjukkan bahwa C = adalah skew hermitian!

Solusi:

= -C

11. Matriks Ortogonal

Matriks persegi A = berdimensi n disebut Matriks ortogonal jika dan hanya

jika memenuhi AAT=I=A

TA. Disisi lain pada pembahasan tentang matriks invers,

untuk matriks persegi A yang non-singular maka ada invers A, ditulis sehingga

berlaku

Contoh:

Tunjukkan bahwa matriks B = matriks orthogonal!

Solusi:

BT=

B BT

= = = I

Jadi B adalah matriks orthogonal.

12. Matriks Uniter

Matriks persegi A = berdimensi n dengan elemen matriks adalah bilangan

kompleks. Matriks disebut Matriks uniter jika berlaku AHA= I = AA

H.

Sehubungan dengan matriks invers maka matriks uniter adalah matriks yang

mempunyai invers sana dengan conjugate transposenya AH .

Contoh:

Tunjukkan bahwa matriks C = adalah uniter!

Solusi:

; CH =

CHC= = =I

CCH= = =I

Jadi, C adalah uniter.

13. Matriks Normal

Matriks persegi A = berdimensi n yang memenuhi AAT= A

TA (untuk anggota-

anggota A adalah bilangan real); atau AHA=AA

H (untuk anggota-anggota A adalah

dari bilangan kompleks) disebut matriks normal. Berdasarkan pengertian tersebut

jelas bahwa matriks orthogonal dan matriks uniter adalah salah satu contoh dari

matriks normal.

Contoh:

Apakah matriks A = matriks normal?

Solusi:

AT=

A AT= =

ATA = =

Jadi, A adalah matriks normal.