MATRIKS

A. Notasi Matriks

Suatu Matriks A merupakan suatu array persegi panjang dari bilangan-

bilangan yang dapat ditulis sebagai berikut :

Dimana :

𝑛-triple horizontal (𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛 ), (𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛 ), …, (𝑎𝑚1, 𝑎𝑚2, … , 𝑎𝑚𝑛)

disebut Baris

𝑛-triple vertikal (

𝑎11𝑎21⋮

𝑎𝑚1

), (

𝑎12𝑎22⋮

𝑎𝑚2

), …, (

𝑎1𝑛𝑎21⋮

𝑎𝑚1

) disebut Kolom

Matriks A di atas adalah matriks dengan m baris dan n kolom (Am×n) , sehingga

ukuran (ordo) matriks tersebut adalah (𝑚 × 𝑛)

Notasi Matriks :

A = ija , dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j

Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika :

a. Ordo kedua matriks sama.

b. Semua elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama.

Contoh :

Diketahui persamaan matriks:

(𝑥 − 𝑦 2𝑧 + 𝑤𝑥 + 𝑦 𝑧 + 𝑤

) = (5 −2−9 −3

)

Untuk menentukan nilai 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan 𝑤 digunakan metode eliminasi dan substitusi

terhadap 4 buah persamaan berikut :

{

𝑥 − 𝑦 = 5𝑥 + 9 = −92𝑧 + 𝑤 = −2𝑧 + 𝑤 = −3

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

Setelah diselesaikan maka diperoleh nilai 𝑥 = −2, 𝑦 = 7, 𝑧 = 1, dan 𝑤 = −4

B. Operasi Pada Matriks

a. Penjumlahan pada Matriks (berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran

sama).

Jika A = ija dan B = ijb , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C = ijc , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j. Contoh :

A =

33

21 dan B =

42

12 maka

A + B =

33

21+

42

12 =

4323

1221 =

75

33

b. Pengurangan pada Matriks (berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran

sama).

Jika A = ija dan B = ijb , matriks yang berukuran sama , maka A - B adalah suatu matriks C = ijc , di mana cij = aij - bij untuk setiap i dan j. Contoh :

A =

33

21 dan B =

42

12 maka

𝐴 − 𝐵 = (1 23 3

) − (2 12 4

) = (1 − 2 2 − 13 − 2 3 − 4

) = (−1 11 −1

)

c. Perkalian Skalar terhadap Matriks

Jika suatu skalar dan A = ija maka matriks A = (aij) Contoh :

A =

33

21 maka 2A =

3.23.2

2.21.2=

66

42

Catatan :

Beberapa hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar

Jika 𝐴, 𝐵, 𝐶 Matriks-matriks berukuran sama, dan 𝜆 scalar, maka

a. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (Sifat Komutatif)

b. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (Sifat Asosiatif)

c. 𝜆(𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 (Sifat Distributif)

d. Selalu ada matriks 𝐷 , sedemikian sehingga 𝐴 + 𝐷 = 𝐵

d. Perkalian Dua Buah Matriks

Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian :

AB BA.

Syarat Perkalian Matriks :

Banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks

kedua.

Definisi :

Misal A = ija berukuran (m × n) dan B = ijb berukuran (n × p) . Maka perkalian A × B adalah suatu matriks C = ijc berukuran (m × p) di mana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ….. + ain bnj untuk setiap i = 1,2,...,m dan j = 1,2,….,p.

Contoh :

1. A = 321 dan B =

1

0

2

maka

A × B = 1.2 2.0 3.1 = 5

2.

1 0 2

2 2 1

1 3 1

A

dan

2 2

1 3

0 1

B

maka

1 2 (0 1) (2 0) 1 2 (0 3) (2 1) 2 4

2 2 (2 1) (1 0) 2 2 (2 3) (1 1) 6 3

1 2 (3 1) ( 1 0) 1 2 (3 3) ( 1 1) 1 10

A B

Catatan :

Beberapa hukum pada perkalian matriks

Jika 𝐴, 𝐵, 𝐶 Matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks,

maka

a. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 ; (𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 (Sifat Distributif)

b. 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 (Sifat Asosiatif)

c. 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 (Tidak Komutatif)

d. Jika 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 belum tentu 𝐵 = 𝐶

e. Transpose dari suatu Matriks

Misal A = ija berukuran (m × n) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n × m) maka AT = jia .

Contoh:

𝐴 = (−1 3 −87 −9 2−6 4 5

) Maka diperoleh 𝐴𝑇 = (−1 7 −63 −9 4−8 2 5

)

Beberapa Sifat matriks transpose :

(i) (A + B)T = AT + BT

(ii) (AT )T = A

(iii) ( AT) = (A)T

(iv) (AB)T = BT AT

Catatan :

Bila Matriks A = ija adalah suatu matriks kompleks, maka Transpose

Hermitian ( Conjugate Transpose) yaitu AH = T

ija

=

_

jia , jika z = x – yi

maka

z = x + yi

Contoh :

A =

3

13

i

ii maka AH =

3

1 3

i i

i

C. Beberapa Jenis Matriks Khusus

(1) Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar (matriks persegi) adalah suatu matriks dengan

banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

Contoh :

A =

42

31 adalah matriks bujur sangkar ordo 2.

(2) Matriks Nol

Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya nol (ditulis matriks

0).

Contoh :

0 = (0 00 0

)

Sifat-sifatnya :

1) 𝐴 + 0 = 𝐴 (Jika ukuran 𝐴 = ukuran 0 )

2) 𝐴0 = 0 ; 0𝐴 = 0 (Jika syarat-syarat perkalian terpenuhi)

(3) Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar

diagonal utama adalah nol.

Contoh :

300

020

001

(4) Matriks Identitas ( Satuan )

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal

utamanya semua sama dengan 1.

Contoh :

100

010

001

Sifat-sifatnya :

𝐴𝐼 = 𝐴

𝐼𝐴 = 𝐴 (Bila syarat-syarat perkalian terpenuhi)

(5) Matriks Skalar

Matriks skalar adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k. Matriks

Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1

Contoh :

200

020

002

(6) Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular)

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di

atas diagonal utama sama dengan nol.

Contoh :

204

031

002

(7) Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular)

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di

bawah diagonal utama sama dengan nol.

Contoh :

200

530

012

(8) Matriks Simetris

Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya

sendiri. Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan

matriks bujur sangkar.

Contoh :

A =

110

132

021

dan AT =

110

132

021

(9) Matriks Antisimetris

Matriks antisimetris adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya.

Dengan perkataan lain AT = - A.

Contoh :

A =

0142

1031

4301

2110

, AT =

0142

1031

4301

2110

(10) Matriks Hermitian

Matriks Hermitian adalah matriks dengan transpose hermitiannya sama

dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH = - A

Contoh :

A =

42

23

i

i dan AH =

42

23

i

i

(11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA = I

maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah

invers dari B dan ditulis A = B-1 .

Contoh :

Matriks 𝐴 = (1 2 31 3 31 2 4

)

Mempunyai invers 𝐴−1 = (1 2 31 3 31 2 4

)

Karena 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = (1 0 00 1 00 0 1

)

(12) Matriks Komutatif

Matriks komutatif adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan

berlaku AB = BA.

Anti Komutatif jika AB = -BA.

Contoh :

A = (2 11 2

) dan B = (3 11 3

) , maka

AB = (2 11 2

) (3 11 3

) = (7 55 7

)

BA = (3 11 3

) (2 11 2

) = (7 55 7

)

Karena AB = 𝐵𝐴 , maka A dan B berkomutatif

(13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten

- Matriks Idempoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 = A.

- Matriks Periodik

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAA…A = Ap = A dikatakan

periodik dengan periode p-1.

- Matriks Nilpoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar = 0, dikatakan Nilpoten

dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.

D. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matriks

(1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j ditulis Hij(A).

Contoh :

A =

987

654

321

maka H12(A)=

987

321

654

(1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis Kij(A).

Contoh :

A =

987

654

321

maka K12(A)=

978

645

312

(2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar 0, ditulis Hi() (A)

Contoh :

A =

987

654

321

maka H2(2) (A)=

987

12108

321

(2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar 0, ditulis Kj() (A)

Contoh :

A =

987

654

321

maka K1(3) (A)=

9821

6512

323

(3a) Menambah baris ke-i dengan skalar 0 kali baris ke -j, ditulis Hij() (A)

Contoh :

A =

987

654

321

maka H21(1) (A)=

987

975

321

Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2

(3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar 0 kali kolom ke -j, ditulis Kij() (A)

Contoh :

A =

987

654

321

maka K31(2) (A)=

2387

1475

521

Kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3

E. Matriks Singular, Nonsingular, dan Rank Matriks

Matriks bujur sangkar A disebut matriks singular apabila 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0.

Matriks singular tidak mempunyai matriks invers

Matriks bujur sangkar A disebut matriks Nonsingular apabila 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0.

Matriks Nonsingular mempunyai matriks invers

Rank adalah banyaknya maksimum baris atau kolom yang tidak dapat

dinolkan

Contoh :

2 4 1

3 0 2

5 4 3

A

Cara 1

( 1) ( 1)31 32

2 4 1 2 4 1 2 4 1

3 0 2 3 0 2 3 0 2

5 4 3 3 0 2 0 0 0

H H

Jadi, r(A) = 2.

Cara 2

( 3)2 ( 1)21 32

( 5)231

2 4 1 2 4 1 2 4 1

3 0 2 0 12 1 0 12 1

5 4 3 0 12 1 0 0 0

H H

H

Jadi, r(A) = 2.

F. Determinan Matriks

- Matriks 2×2

a bA

c d

maka det(A) = |A|= ad - bc.

Contoh :

1 2

4 3A

maka |A|= (-1)(3) - (4)(-2) = -3 + 8 = 5

- Matriks 3×3

a. Metode Sarrus

a b c

A d e f

g h i

a b c a b

A d e f d e

g h i g h

maka |A|= aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

Contoh :

1 3 1 1 3

1 2 2 1 2

2 4 3 2 4

A

maka |A|= (1)(2)(3) + (3)(2)(2) + (-1)(-1)(4) - (-1)(2)(2) - (1)(2)(4) - (3)(-1)(3)

= 6 + 12 +4 + 4 - 8 + 9 = 27

b. Ekspansi Baris atau Kolom

- Minor

Mij yaitu matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke i dan

kolom ke j.

+ + + - - -

Contoh :

1 3 1

1 2 2

2 4 3

A

1 3 1

1 2 2

2 4 3

A

M23 (A) = 1 3

2 4

- Kofaktor

Cij = (-1)i+j| Mij |

C23 (A) = (-1)2+3 51 3

( 1) (1)(4) (3)(2) (4 6) 22 4

Mencari determinan dari A dengan ekspansi baris 1

1 3 1

1 2 2

2 4 3

2 2 1 2 1 21 3 1

4 3 2 3 2 4

(6 8) 3( 3 4) ( 4 4)

2 21 8 27

A

Mencari determinan dari A dengan ekspansi kolom 2

1 3 1

1 2 2

2 4 3

1 2 1 1 1 13 2 4

2 3 2 3 1 2

3( 3 4) 2(3 2) 4(2 1)

21 10 4 27

A

baris 2

kolom 3

+

-

-

G. Sifat-Sifat Determinan

Sifat 1

det(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇)

Contoh :

Berdasarkan Contoh sebelumnya

Diketahui matriks

1 3 1

1 2 2

2 4 3

A

dengan |𝐴| = 27

Maka

|𝐴𝑇| = |1 −1 23 2 4−1 2 3

| = |𝐴| = 27

Sifat 2

Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom ditukar tempatnya.

Contoh :

Diketahui matriks

1 3 1

1 2 2

2 4 3

A

dengan |𝐴| = 27

Misalkan matriks 𝐵 = 𝐻21(𝐴) = (−1 2 21 3 −12 4 3

) maka

|𝐵| = −1. |𝐴| = −27

Catatan :

Jika pada matriks terdapat baris/kolom sama maka 𝑑𝑒𝑡 = 0

Contoh :

|1 −1 23 2 41 −1 2

| = 0 (karena baris 1 dan baris 3 sama)

Sifat 3

Harga determinan menjadi 𝜆 kali, jika suatu baris/kolom dikalikan dengan 𝜆

(suatu skalar).

Contoh :

Diketahui matriks

1 3 1

1 2 2

2 4 3

A

dengan |𝐴| = 27

Misalkan matriks 𝐶 = 𝐻1−2(𝐴) = (

−2 −6 2−1 2 22 4 3

) maka

|𝐶| = −2. |𝐴| = −54

Catatan :

Jika suatu matriks, salah satu baris/kolom nol, maka 𝑑𝑒𝑡 = 0

Contoh :

|1 −1 23 2 40 0 0

| = 0 (karena baris 3 adalah baris nol)

Sifat 4

Harga determinan tidak berubah apabila baris/kolom ke-i ditambah dengan 𝜆

Baris/kolom ke-j.

Contoh :

Diketahui matriks

1 3 1

1 2 2

2 4 3

A

dengan |𝐴| = 27

Misalkan matriks 𝐷 = 𝐻12(−2)(𝐴) = (

3 −1 −5−1 2 22 4 3

) maka

|𝐷| = |𝐴| = 27

Catatan :

Determinan dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah diselesaikan dengan

cara berikut :

|−1 0 09 2 09 8 3

| = −1.2.3 ; |−1 9 80 2 90 0 3

| = −1.2.3

H. Menghitung Determinan dengan Sifat-Sifat Determinan

Hal ini dilakukan untuk menentukan determinan 4x4 dengan menggunakan :

1. Operasi elementer baris/kolom ke-i ditambah dengan 𝜆 Baris/kolom ke-j

(Karena berdasarkan sifat determinan operasi ini tidak merubah nilai

determinan)

2. Penguraian baris/kolom

Contoh :

Tentukan determinan dari matriks 𝐴 = (

3 2 32 4 5−1 3 2

324

4 2 3 2

) !

Penyelesaian :

Misalkan dipilih baris 3 kemudian lakukan operasi elementer

𝐾21(3), 𝐾31

(2), 𝐾41(4)

diperoleh

|

3 2 32 4 5−1 3 2

324

4 2 3 2

| = |

3 11 92 10 9−1 0 0

15100

4 14 11 18

|

Kemudian lakukan penguraian baris dengan memilih baris 3

|𝐴| = −1 |11 9 1510 9 1014 11 18

|

Karena tidak ada elemen -1 atau 1, maka kurangi kolom 2 dengan kolom 1

atau dilakukan operasi elementer 𝐾21(−1)

−1 |11 9 1510 9 1014 11 18

| = −1 |11 −2 1510 −1 1014 −3 18

|

Selanjutnya lakukan operasi elementer 𝐾12(10) dan 𝐾13

(10) sehingga diperoleh

−1 |11 −2 1510 −1 1014 −3 18

| = −1 |−9 −2 −50 −1 0−16 −3 −12

|

Kemudian pilih baris ke-2 sehingga

|𝐴| = −1.−1 |−9 −5−16 −12

| = (−9.−12) − (−16. −5) = 28

Jadi diperoleh determinan dari Matriks A adalah 28

I. Matriks Invers

Definisi

Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n:

(

𝑎11 𝑎12 ⋯𝑎21 𝑎22 ⋯

⋮ ⋮ 𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

)

mempunyai invers, jika ada suatu matriks B, sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛.

Matriks B disebut invers matriks A ditulis 𝐴−1

Rumus Umum

𝐴−1 =1

det(𝐴). 𝑎𝑑𝑗 (𝐴)

Matriks Invers 𝐴2𝑥2

A = (a bc d

) Matriks invers dari A yaitu A−1 =1

ad−bc (d −b−c a

)

Contoh :

Tentukan invers dari A = (−2 −14 3

) !

Penyelesaian :

A−1 =1

−2.3 − (−1.4)(3 1−4 −2

)

=1

−2(3 1−4 −2

)

A−1 = (−3

2−1

2

2 1)

Matriks Invers 𝐴𝑛𝑥𝑛

Untuk matriks berukuran 𝐴𝑛𝑥𝑛 dengan diperoleh Adj (A) adalah Transpose

dari matriks Kofaktor.

Matriks Kofaktor dari 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) adalah

(

𝐶11 𝐶12 ⋯𝐶21 𝐶22 ⋯

⋮ ⋮

𝐶1𝑛𝐶2𝑛⋮

𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 ⋯ 𝐶𝑛𝑛

)

Contoh :

Tentukan invers dari = (2 3 −40 −4 11 −1 5

) !

Penyelesaian :

# Kofaktor dari kesembilan elemen dari matriks A adalah sebagai berikut :

𝐶11 = + |−4 2−1 5

| = −18

𝐶12 = − |0 21 5

| = 2

𝐶13 = + |0 −41 −1

| = 4

𝐶21 = − |3 −4−1 5

| = −11

𝐶22 = + |2 −41 5

| = 14

𝐶23 = − |2 31 −1

| = 5

𝐶31 = + |3 −4−4 2

| = −10

𝐶32 = − |2 −40 2

| = −4

𝐶33 = + |2 30 −4

| = −8

Jadi Matrik Kofaktor dari matriks A yaitu 𝐶𝑖𝑗 = (−18 2 4−11 14 5−10 −4 −8

)

Sehingga diperoleh Adj (A) adalah 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = (−18 −11 −102 14 −44 5 −8

)

# Determinan dari Matriks A (Penguraian Baris ke-2)

|𝐴| = 𝑎21. 𝐶21 + 𝑎22. 𝐶22 + 𝑎23. 𝐶23

= 0.−11 + (−4.14) + 2.5

|𝐴| = −46

# Matriks Invers dari matriks A :

𝐴−1 =1

−46(−18 −11 −102 14 −44 5 −8

) =

(

9

23

11

46

5

23

−1

23−7

23

2

23

−2

23−5

46

4

23)

Latihan Soal

1. Diketahui :

𝐴 = [1 −2 63 0 −11 1 −2

] ; 𝐵 = [−7 −2 18 −3 4−5 2 1

−2−17] ; 𝐶 = [

1 −3 52 1 −31 0 −2

]

Tentukan :

(a) 3𝐶 − 2𝐴

(b) 𝐴𝐵

(c) −1

4𝐵

(d) 3𝐶 − 2𝐴

(e) 𝐵𝑇𝐶

2. Tentukan Determinan dari matriks berikut :

(a) 𝐴 = [1 −3 52 1 −31 0 −2

]

(b) 𝐴 = [−4 1 22 −2 03 4 1

]

(c)

4321

3231

1313

1221

A

(d)

1312

1212

2111

4321

A

3. Tentukan invers dari matriks :

(a) 𝐴 = [1 −2 63 0 −11 1 −2

]

(b)

323

254

211

A

(c)𝐴 = [1 2 23 1 01 1 1

]

(d)

115

321

142

A