matriks nophe
DESCRIPTION
matriks nopheTRANSCRIPT
MATRIK &
VEKTOR
Matrik adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan
MATRIK
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
.....
.........
)( ijnxmaA
Baris=m
Kolom=n
MACAM-MACAM MATRIKS
• Matriks Nol – Adalah matriks dengan semua
elemennya bernilai nol.
– O=(0) • Matriks Bujur Sangkar
– Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama
– A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n j = 1, 2, 3, . . . n
000..........0..000..00
A
231030421
A
MACAM-MACAM MATRIKS
• Matriks Persegi Panjang – Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom
tidak sama. – A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n j = 1, 2, . . m
• Matriks Diagonal – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen
pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol
– A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i j aij = real untuk i = j
321403123201
A
5000030000800001
A
MACAM-MACAM MATRIKS
Matriks Satuan (identitas) – Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-
elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
– A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i j
Matriks Segitiga Atas – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-
elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real
100010001
A
4300618052101
A
MACAM-MACAM MATRIKS
• Matriks Transpose – Adalah matriks dimana susunan
elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom
– A=(aij); AT =(aji)
• Matriks Simetris – Adalah matriks dimana susunan
elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama
– A=AT; maka A adalah matriks simetris
8103656301
A
10974986376504301
A
8631050361
TA
10974986376504301
tA
OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS
• Operasi Perkalian Skalar • Operasi Penjumlahan • Operasi Pengurangan • Operasi Perkalian
9
PERKALIAN DENGAN SKALAR
K = 2
6321
A
k A 6321
2 = 12642
10
PENJUMLAHAN MATRIKS
A + B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
+ = 3 6
+ = 6 12
PENGURANGAN MATRIKS
A - B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
- = -1 -2
- = 0 0
e
f
g
314211316
423101251
52
14
31
2014
120
11
3
E
D
C
B
AHitunglah : a. 3CD b. (AB)C c. (4B)C d. (3E)D e. A(BC) f. D + E²
812026
214
5813
2y
x
812026
5281143
2y
x
812026
56043
2y
x
812026
21012086
yx
Scalar Multiplication:
6x+8=26
6x=18
x=3
10-2y=8
-2y=-2
y=1
INVERS MATRIKS
Misalkan A matriks bujur sangkar, matriks B yang memenuhi
AB = BA = I , B disebut sebagai invers dari A.
Matriks A yang mempunyai invers disebut sebagai matriks taksingular atau invertible, sedangkan yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
Contoh :
4131
A1134
B
IAB
AB
1001
1134
.4131
IBA
BA
1001
4131
.1134
Matriks B merupakan invers dari matriks A sebab berlaku AB = I
2153
B
3152
A
Adalah invers dari
Simbol lain untuk menyatakan invers dari matriks A adalah A-1
IAA 1 IAA 1
Jika A dan B dua matriks tak singular, maka : (i). AB tak singular (ii).AB = BA
Jika :
dcba
A
a cbd
bcadA 11
dan ad – bc 0 , maka
• Jika A adalah sebuah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 pada sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan yaitu X= A-1B
a
b
c
d
e
f
g
h
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
DETERMINAN MATRIKS
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|
NOTASI DETERMINAN
25 25
Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah : Contoh :
2221
1211
aaaa
A 21122211)det( aaaaA
3152
A 156)det( A
2221
1211)det(aaaa
A
3152
)det( A
METODE SARRUS
26 26
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
METODE SARRUS
27 27
Contoh : Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2 = 18
102311322
A
MINOR
28 28
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Dinotasikan dengan Mij
Contoh Minor dari elemen a
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A3332
232211 aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
A444342
343332
242322
11
aaaaaaaaa
M
MINOR
29 29
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
KOFAKTOR MATRIKS
30 30
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan Contoh :
Kofaktor dari elemen a11
INVERS MATRIX
31 31
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :
- Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus
TM
))(()det(
11 MadjoinM
M
INVERS MATRIX
32 32
Contoh Soal :
- Cari Determinannya : det(M) = (1.1.0)+(2.4.5)+(3.0.6)-(5.1.3)-(6.4.1)-(0.0.2) = 1 - Transpose matriks M
065410321
M
043612501
TM
INVERS MATRIX
33 33
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya
- Hasilnya : ==> ==>
1454152051824
14541520
51824
INVERS MATRIX
34 34
Hasil Adjoinnya : Hasil akhir
145
4152051824
14541520
51824
111M
14541520
51824