matriks & spl

Matriks 1

@by:MurtiAstuti

MATRIKS

PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah beberapa elemen yang disajikan dalam bentuk jajaran segiempat yang

terdiri dari m baris dan n kolom.

Misalkan matriks A =

06423

13131

01502

REPRESENTASI MATRIKS

Secara umum, suatu matriks dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

A = Amxn =

mnm2m1

2n2221

1n1211

a..........aa

..............

a..........aa

a..........aa

aij = elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A ; i = 1, 2, 3, , m

j = 1, 2, 3, , n

Jajaran mendatar disebut baris. Jajaran vertikal disebut kolom

Matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks mxn, ditulis Amxn

Notasi Matriks :

Suatu matriks bisa ditulis dengan notasi :

- Huruf besar : A, B, C, .

- Huruf besar dengan indeks ukuran matriks, misalnya : Amxn ; Bnxp ; ..

- Huruf besar dengan notasi elemen : A = [aij] , dengan i = 1, 2, , m

j = 1, 2, , n

Matriks baris (vektor baris) matriks yang hanya terdiri dari satu baris

Matriks kolom (vektor kolom) matriks yang terdiri dari satu kolom.

Notasi untuk matriks baris atau kolom biasanya ditulis dengan huruf kecil yang

dicetak tebal.

Misalnya :

a = [ a1 a2 an ] matriks baris yang terdiri dari n kolom

b =

m

2

1

b

:

b

b

matriks kolom yang terdiri dari m baris

Matriks Bujur Sangkar matriks dengan banyak baris = banyak kolom

Matriks bujur sangkar nxn dikatakan mempunyai orde atau ordo n.

Matriks 2

@by:MurtiAstuti

Contoh : A2x2 =

20

31 matriks bujur sangkar berordo 2

Jika diberikan matriks Amxn , maka sub-matriks dari Amxn adalah sembarang matriks

yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris atau kolom dari matriks Amxn

Misal :

Matriks A2x3 =

232221

131211

aaaaaa

mempunyai 3 buah sub-matriks 2x2 sebagai berikut :

2221

1211

aaaa

;

2321

1311

aaaa

;

2322

1312

aaaa

Matriks padat (fully populated) matriks yang semua elemennya tidak nol

Matriks jarang (sparse matrix) matriks yang sebagian kecil elemennya tidak nol

dan elemen lainnya nol.

Matriks nol (null matrix) adalah matriks dengan semua elemen nol, dinotasikan

dengan 0mxn

OPERASI ALJABAR DALAM MATRIKS

1. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika ordonya sama dan aij = bij , untuk

i = 1, 2, 3, , m dan j = 1, 2, 3, , n

dan ditulis dengan

Contoh : A =

2221

1211

aaaa

dikatakan sama dengan B =

1304

Jika dan hanya jika : a11 = 4 ; a12 = 0 ; a21 = 3 . a22 = -1

2. Penjumlahan Matriks

Penjumlahan 2 matriks hanya bisa dilakukan jika keduanya mempunyai ordo sama.

Jika A = Amxn = [aij] dan B = Bmxn = [bij] ; maka

A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij]

i = 1, 2, , m j = 1, 2, , n

Contoh : A =

1364

; B =

1315

; maka : A + B =

2659

A = B atau [aij] = [bij]

Matriks 3

@by:MurtiAstuti

3. Invers Terhadap Operasi Penjumlahan (additive inverse)

Jika A = [aij] , maka A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap

elemen dari matriks A dengan 1.

A = [aij] = [aij]

Contoh : Jika A =

1364

; maka A =

1364

4. Pengurangan Matriks

Pengurangan dua matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks mempunyai ordo

yang sama. Jika A = Amxn = [aij] dan B = Bmxn = [bij] ; maka

A - B = A + (-B) = [aij] + [-bij] = [aij - bij]

i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n

Contoh : A =

1364

; B =

1315

; maka : A B =

00 71

Sifat-sifat penjumlahan matriks :

a. A + B = B + A ( sifat komutatif)

b. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (sifat asosiatif)

c. A + 0 = A (mempunyai elemen netral terhadap jumlahan, yaitu matriks nol 0)

d. A + ( A) = 0 (mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan)

5. Perkalian Matriks Dengan Skalar

Hasil kali matriks Amxn = [aij] dengan skalar c , ditulis cA atau Ac adalah matriks mxn

yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks Amxn dengan skalar c.

Jadi jika : A = Amxn =

mnm2m1

2n2221

1n1211

a..........aa

:...........::

a..........aa

a..........aa

= [aij]

maka : cA = Ac =

mnm2m1

2n2221

1n1211

ac..........acac

:...........::

ac..........acac

ac..........acac

= c [aij] = [c aij]

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :

a. c(A + B) = cA + cB ; c = sembarang skalar

b. (c + k) A = cA + k A ; c dan k = sembarang skalar

c. c(kA) = (ck) A

d. 1(A) = A

Matriks 4

@by:MurtiAstuti

4. Perkalian Matriks Dengan Matriks

Misalkan A = Amxn = [aij] ; B = Brxp = [bij]

Perkalian antara matriks A dengan matriks B hanya bisa dilakukan jika r = n

(banyaknya baris matriks B = banyaknya kolom matriks A), dan :

Contoh :

8124 x

540132 =

)5(8)1(1)4(8)3(10)(8)2(1)5(2)1(4)4(2)3(42(0)2)(4

=

4135214208

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :

a. (kA)(B) = k(AB) = A (kB) = kAB ; k = sembarang skalar

b. A(BC) = (AB)C = ABC

c. A(B+C) = AB + AC

d. C(A+B) = CA + CB

e. AB BA

f. Jika AB = 0 tidak selalu A = 0 atau B = 0

MATRIKS-MATRIKS KHUSUS

Jika : A = Anxn = [aij] =

nn

22

11

a

a

a

..........aa

..............

a..........a

a..........a

n2n1

2n21

1n12

adalah matriks bujur

sangkar, maka elemen : a11 ; a22 ; a33 ; . ; ann dari matriks A disebut elemen

diagonal utama matriks A

Matriks Segi Tiga

Matriks Segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di atas

diagonal utama semuanya nol.

Contoh : T1 =

413020001

A x B = Amxn x Brxp = Cmxp = [cij]

dengan cij =

n

1k

kjik ba = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + .+ ainbnj ; i = 1, 2, , m

j = 1, 2, , n

Matriks 5

@by:MurtiAstuti

Matriks Segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di bawah

diagonal utama semuanya nol.

Contoh : T2 =

400420051

Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di bawah dan di atas

diagonal utama semuanya nol. Atau aij = 0 untuk i j

Contoh : A =

400020001

; B =

7000000000200001

Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal dengan elemen dalam diagonal utama

semuanya sama.

Contoh : S =

c0000c0000c0000c

; c = skalar

Matriks Satuan (Matriks Identitas) = In

Matriks identitas adalah matriks skalar dengan c = 1

Contoh : In = Inxn =

10.....00::::01.....0000.....1000.....01

= matriks identitas berordo-n

Transpos Matriks (Matriks Transposisi)

Transpos dari matriks A = Amxn = [aij] ; ditulis AT = ATnxm adalah matriks berordo nxm

yang diperoleh dengan mengganti kolom dari matriks A menjadi baris matriks AT dan

baris dari matriks A menjadi kolom matriks AT. Jadi jika,

A = Amxn = [aij] =

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

a..........aaa

...............

a..........aaa

a..........aaa

, maka

AT = ATnxm = [aji] =

mn3n2n1n

m2322212

m1312111

a..........aaa

...............

a..........aaa

a..........aaa

Matriks 6

@by:MurtiAstuti

Sifat Matriks Transpos :

a. (A + B)T = AT + BT

b. (AB)T = BT AT

c. (AT)T = A

Matriks Ortogonal

Matriks bujur sangkar A disebut matriks orthogonal jika memenuhi: A AT = AT A = I

Contoh : A =

21

430

43

210

001

adalah matriks orthogonal, karena

A AT =

21

430

43

210

001

21

430

43

210

001

=

100

010

001

Matriks Bujur Sangkar Anxn = [aij] dikatakan Simetris jika :

AT = A atau [aij] = [aji]

untuk semua i = 1, 2, 3, .., n dan j = 1, 2, 3, .., n

Contoh : A =

425201513

Matriks Bujur Sangkar Anxn = [aij] dikatakan Skew Simetris jika :

AT = A atau [aij] = [ aji]

untuk semua i = 1, 2, 3, .., n dan j = 1, 2, 3, .., n

Sehingga elemen diagonal utamanya pasti nol, karena : aii = aii ; i = 1, 2, 3, ., n ajj = ajj ; j = 1, 2, 3, ., n

Contoh : A =

025201510

Jika A adalah matriks dengan elemen bilangan kompleks dan jika semua elemen aij

diganti dengan kompleks sekawannya ija , maka matriks yang diperoleh disebut

matriks Kompleks Sekawan (Complex Conjugate) dari matriks A, ditulis A

Contoh : Jika A = [aij] =

i2i51i94i6

5i2i5 ; maka

Matriks 7

@by:MurtiAstuti

A = [ ija ]=

i2i51i94i6

5i2i5

Jika A = [aij] adalah matriks dengan elemen bilangan kompleks, maka

AH = TA = [ jia ] disebut matriks Transpos Hermite (Hermitian Transpose) dari

matriks A , yaitu transpos dari kompleks sekawan matriks A.

Contoh : Jika A = [aij] =

i94i6

1i2i5 maka :

AH = TA = [ jia ] =

i914i2

i6i5

Matriks Bujur Sangkar A disebut Matriks Hermit (Hermitian Matrix) jika :

AH = A atau [ jia ] = [aij]

Contoh : A =

4i32i5i320i21

i5i213

A =

4i32i5i320i21

i5i213

AH = TA =

4i32i5i320i21

i5i213 = A

Jika A = C + iD dengan C matriks simetris dan D matriks skew simetris maka A

merupakan matriks Hermite.

Dari contoh di atas:

425201513

+ i

031302120

=

4i32i5

i320i21

i5i213

C + i D = A

Jika diberikan matriks kolom (vektor kolom) :

x =

n

2

1

x

:

x

x

dan y =

n

2

1

y

:

y

y

maka : xT y = [ x1 x2 .. xn ]

n

2

1

y

:

y

y

=

n

1i

ii yx = yTx

xT x = [ x1 x2 .. xn ]

n

2

1

x

:

x

x

=

n

1i

2

ix

Matriks 8

@by:MurtiAstuti

DETERMINAN MATRIKS

Setiap matriks bujur sangkar Anxn mempunyai determinan, yaitu suatu nilai yang bisa

dihitung dari elemen matriks Anxn yang dinotasikan dengan det A atau

nnn3n2n1

2n232221

1n131211

a..........aaa.............................................

a..........aaa

a..........aaa

ADet ; determinan dari matriks Anxn

dengan aij = elemen baris ke-i dan kolom ke-j ; i = 1, 2, 3, ......, n j = 1, 2, 3, ......, n

DETERMINAN MINOR

Mij = determinan minor dari elemen aij ; i = 1, 2, 3, ......, n j = 1, 2, 3, ......, n

= determinan orde-(n-1) yang diperoleh dari suatu determinan orde-n dengan meng-

hapus baris ke-i dan kolom ke-j.

Contoh :

Jika diberikan determinan A seperti di atas, maka :

nnn3n2n1

n3333231

2n232221

1n131211

21

a..........aaa.............................................

a...........aaa

a..........aaa

a..........aaa

M =

nnn3n2

3n3332

1n1312

a..........aa..........................................a..........aaa..........aa

DETERMINAN KOFAKTOR

Kij = determinan kofaktor dari elemen aij ; i = 1, 2, 3, ......, n j = 1, 2, 3, ......, n

= (-1)i+j Mij

Contoh :

nnn3n2n1

n3333231

2n232221

1n131211

1221

12

a..........aaa.............................................

a...........aaa

a..........aaa

a..........aaa

1M)1(K =

nnn3n1

3n3331

2n2321

a..........aa..........................................a..........aaa..........aa

Matriks 9

@by:MurtiAstuti

MENGHITUNG NILAI DETERMINAN

Nilai determinan matriks bujur sangkar Anxn dapat ditentukan dengan rumus berikut :

= det A = A =

n

1j

ijij Ka =

n

1j

ijijji Ma)1( ; untuk i tertentu diantara i = 1, 2, 3, , n

atau =

n

1i

ijij Ka =

n

1i

ijijji Ma)1( ; untuk j tertentu diantara j = 1, 2, 3, , n

dengan :

Mij = determinan minor dari aij

= determinan dari matriks (n1) x (n1) yang diperoleh dari matriks Anxn dengan

menghilangkan baris i dan kolom j

Kij = kofaktor dari aij = (1) i+j Mij

a. Determinan Orde-2 atau (2x2) :

2221

1211

aa

aa = a11 a22 a12 a21

+

Contoh :

1. 21

32

= 2(-2) (3)(-1) = - 4 + 3 = -1

2. 23

12 = -2(2) (-1)(3) = - 4 + 3 = -1

3. 32

21 = -1(3) (-2)(2) = - 3 + 4 = 1

4. 12

23

= 3(-1) (2)(-2) = - 3 + 4 = 1

b. Determinan Orde-3 atau (3x3) :

Metoda Sarrus :

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

+ + +

= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)

Matriks 10

@by:MurtiAstuti

Contoh :

232

116

223

=

32

16

23

232

116

223

+ + + = [(3)(1)(2) + (-2)(-1)(-2) + (2)(6)(-3)] [(2)(1)(-2) + (3)(-1)(-3) + (-2)(6)(2)]

= [ 6 4 36 ] [ - 4 + 9 24 ] = 34 + 19 = 15

c. Determinan Orde-n atau ( n x n ) :

nnn3n2n1

2n232221

1n131211

a..........aaa.............................................

a..........aaa

a..........aaa

=

n

1jijij Ka ; dengan mengambil salah satu baris i sembarang di antara

i = 1, 2, 3, ........, n

=

n

1iijij Ka ; dengan mengambil salah satu kolom j sembarang di antara

j = 1, 2, 3, ........, n

= Jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada salah satu baris (atau kolom)

dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian dengan masing-masing elemen

tersebut.

Contoh :

1. Menghitung = 3barispada)andikembangk(ekspansi*)

1324

2201

0523

3112

*) Misalkan dipilih elemen baris ke-3 i = 3 , maka :

=

4

1jj3j3 Ka =

4

1j

j3j3

j3 M)1(a =

4

1j

j3j3j3 Ma)1(

= (-1)3+1 a31 M31 + (-1)3+2 a32 M32 + (-1)3+3 a33 M33 + (-1)3+4 a34 M34

Matriks 11

@by:MurtiAstuti

= +1

132

052

311

0

134

053

312

2

124

023

312

2

324

523

112

= [(-5+0+18)(-30+0+2)] 0 2[(4+0+18)(24+0+3)] 2[(12-20+6)(8-20+9)]

= (13 + 28) 2(22 - 27) 2(-2 + 3) = 41 + 10 2 = 49

2. =

*)

32001

23204

12003

12012

31102

=

5

1i2i2i Ka =

5

1i2i2i

2i Ma)1(

= (-1)1+2 0 M12 + (-1)2+2 1 M22 + (-1)3+2 0 M32 + (-1)4+2 0 M42 + (-1)5+2 0 M52

= M22 =

*

3201

2324

1103

3112

=

4

1i2i2i Ka =

4

1i2i2i

2i Ma)1(

= (-1)1+2 (-1) M12 + (-1)2+2 0 M22 + (-1)3+2 (2) M32 + (-1)4+2 0 M42 = M12 2 M32

=

321

234

113

- 2

321

113

312

= [(27 + 2 + 8) (-3 12 + 12)] 2 [(6 -1 18) (3 + 4 + 9)] = 40 + 58 = 98

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1. Jika setiap baris ditulis sebagai kolom dan setiap kolom ditulis sebagai baris, maka

nilai determinan tidak akan berubah.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

332313

322212

312111

aaa

aaa

aaa

Karena :

= ( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) ( a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )

= ( a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a23 a12 ) ( a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a12 a21 )

Matriks 12

@by:MurtiAstuti

Contoh :

=

*)

2302

1203

0102

1211

= (-1)1+2 (-1)

232

123

012

= (8+2+0) (06+6) = 10

=*)

2101

3212

0001

2321

= (-1)2+1(-1)

210

321

232

= (8+0+2)(06+6) = 10

2. Jika setiap elemen dalam satu baris atau kolom dikalikan dengan faktor k, maka nilai

determinan yang dihasilkan adalah k kali nilai determinan sebelumnya.

Contoh :

a.

333

222

111

cba

cba

cba

p

p

p

= p

333

222

111

cba

cba

cba

b.

333

222

111

cba

cba

cba

pmmm

p

pkkk

= kpm

333

222

111

cba

cba

cba

c. *

201

031

462 = 2

*

21

21

01

0

3

3

= 2. 3

*

01

11

11

2

2

0

=2.3.2

101

111

011

= 12 [(1 - 1 + 0) (0 + 0 + 1)] = -12

3. Jika seluruh elemen dalam satu baris (atau kolom) adalah nol, maka nilai deter-

minannya adalah nol.

Contoh :

*

a0a

a0a

a0a

3331

2321

1311

= - 0

3331

2321

aa

aa + 0

3331

1311

aa

aa - 0

2321

1311

aa

aa = 0

4. Jika seluruh elemen dalam satu baris (atau kolom) merupakan jumlahan dari 2 suku

atau lebih, maka determinan bisa ditulis dalam bentuk jumlahan 2 atau lebih

determinan.

Matriks 13

@by:MurtiAstuti

Contoh :

33

22

11

cb

cb

cb

33

22

11

da

da

da

=

33

22

11

cb

cb

cb

3

2

1

a

a

a

+

33

22

11

cb

cb

cb

3

2

1

d

d

d

5. Jika 2 baris (atau kolom) ditukar, maka nilai determinan akan berubah tanda.

333

222

111

cba

cba

cba

=

111

333

cba

cba

222 cba =

222

111

cba

cba

333 cba

=

333

222

cba

cba

111 cba

=

3

2

1

c

c

c

33

22

11

ab

ab

ab

=

33

22

11

ac

ac

ac

3

2

1

b

b

b

=

33

22

11

ac

ac

ac

3

2

1

b

b

b

6. Jika elemen-elemen yang bersesuaian dalam 2 baris atau kolom sebanding, maka

nilai determinannya adalah nol.

Contoh :

a.

33

22

11

aa

aa

aa

3

2

1

b

b

b

= (a1b2a3+ b1 a2 a3+ a1 b3 a2) (a1 b2 a3+ a2 b3 a1+ a3 a2 b1) = 0

b.

111 kckbka

222

111

cba

cba

= k

111

111

cba

cba

222 cba = k 0 = 0

c.

8126

31-1

463

= 2

463

463

31-1 = 2 . 0 = 0

7. Jika setiap elemen dalam satu baris (atau kolom) dari determinan ditambah dengan

m kali elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, maka nilai determinan

tidak berubah ( bilangan m boleh positif atau negatif).

Contoh :

a.

33

22

11

cb

cb

cb

33

22

11

mba

mba

mba

=

33

22

11

cb

cb

cb

3

2

1

a

a

a

+

33

22

11

cb

cb

cb

3

2

1

mb

mb

mb

=

333

222

111

cba

cba

cba

+ 0 =

333

222

111

cba

cba

cba

Matriks 14

@by:MurtiAstuti

b.

1B2/34B1Barisx)2/3(4Baris

1B22B1Barisx)2/4(2Baris

1983

1620

0454

6102

=

102/1580

1620

12650

6102

= 2

102/158

162

1265

= 2 [(300 48 180) - (-576 37,5 + 120)] = 2 ( 72 + 493,5) = 2 (565,5) = 1131

SOAL-SOAL LATIHAN :

Hitung nilai determinan-determinan berikut :

1.

5200

7402

0086

1020

2.

2/15728

721213

001714

0001

3.

4600

4570

0235

0012

4.

6352

1011

4202

2131

5.

161429

6323

5506

1023

6.

7382

156168

2485

2414

Matriks 15

@by:MurtiAstuti

INVERS MATRIKS

Invers suatu matriks hanya bisa ditentukan pada matriks bujur sangkar.

Definisi :

Invers dari matriks A = Anxn = [aij] , ditulis dengan A-1 adalah matriks nxn yang

memenuhi : A A-1 = A-1 A = Inxn = I ( I adalah matriks identitas nxn).

Jika matriks A mempunyai invers maka A disebut matriks Non Singular, jika tidak

disebut matriks Singular. Jika A mempunyai invers maka inversnya pasti tunggal

Menentukan Invers Matriks :

Jika A = Anxn = [aij] =

nnn3n2n1

2n232221

1n131211

a..........aaa

:...........:::

a..........aaa

a..........aaa

Invers dari matriks A = A-1 ditentukan dengan : A-1 = AintAdjoAdet

1 = A

~

A

1

det A = A = determinan matriks A

A~

= Adjoint A = adjoint dari matriks A = [Kij]T = [ (-1)i+j Mij]T

=

T

K..........KKK

...............

K..........KKK

K..........KKK

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

=

mn3n2n1n

m2332212

m1322111

K..........KKK

...............

K..........KKK

K..........KKK

=

mnnm

2nn2

1nn1

m22m

2212

m11m

2111

M)1(..........M)1(M)1(

..............

M)1(..........MM

M)1(..........M-M

Atau :

A-1 = A

1

mn3n2n1n

m2332212

m1322111

K..........KKK

...............

K..........KKK

K..........KKK

Matriks 16

@by:MurtiAstuti

= A

1

mnnm

2nn2

1nn1

m22m

2212

m11m

2111

M)1(..........M)1(M)1(

:...........::

M)1(..........MM

M)1(..........M-M

Contoh :

1. Jika A =

121

201

213

maka

A = (0 2 4) (0 12 + 1) = 6 + 11 = 5

M11 = 1220

= 4 ; M12 = 1121

= 3 ; M13 = 2101

= 2

M21 = 1221

= 5 ; M22 = 11

23 = 5 ; M23 = 21

13

= 5

M31 = 2021

= 2 ; M32 = 2123

= 4 ; M33 = 0113

= 1

A-1 =A

1

332313

322212

312111

MM-M

MMM

MM-M

=5

1

152

453

254

=

5/115/2

5/415/3

5/215/4

AA-1 =

121201213

5/115/2

5/415/3

5/215/4

=

100010001

= I

2. B =

8124

det B = 32 2 = 30

M11 = 8; M12 = 1 ; M21 = 2 ; M22 = 4

B~

=

T

42-

18

=

41

28

B-1 =

41

28

30

1

Matriks 17

@by:MurtiAstuti

SISTEM PERSAMAAN LINIER

PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sistem persamaan linier (SPL) adalah sekumpulan m persamaan linier yang simultan

dengan n buah variabel ( x1 , x2 , .., xn) yang berbentuk :

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = b3

: : : : : : : :

am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm

Sistem Persamaan Linier yang terdiri dari m persamaan dan n besaran yang tidak

diketahui (variabel) : x1 , x2 , x3, ., xn. bisa ditulis dalam bentuk perkalian matriks :

n

2

1

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

x

.

.

.

x

x

a..........aaa

...............

...............

...............

a..........aaa

a..........aaa

=

m

2

1

b

.

.

.

b

b

atau : A X = B

Penyelesaian dari SPL yaitu nilai dari semua xi harus memenuhi seluruh persamaan (m

persamaan) secara simultan atau serentak, sehingga sering disebut dengan

penyelesaian simultan dari SPL.

Apabila semua bi untuk i = 1, 2, 3, .., m bernilai nol, maka SPL nya disebut Homogen

Apabila terdapat nilai bi yang tidak nol, maka SPL nya disebut Non Homogen.

SPL NON HOMOGEN DENGAN n PERSAMAAN dan n VARIABEL

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = b3

: : : : : : : :

an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn

=

nnn3n2n1

2n232221

1n131211

a..........aaa.............................................

a..........aaa

a..........aaa

= determinan koefisien = det A

Matriks 18

@by:MurtiAstuti

Jika dikalikan dengan salah satu variable , misalkan x1 , maka :

. x1 =

nnn3n2n1

2n232221

1n131211

a..........aaa.............................................

a..........aaa

a..........aaa

x1 =

nnn3n21n1

2n2322121

1n1312111

a..........aaxa.............................................

a..........aaxa

a..........aaxa

Nilai determinan ini tidak akan berubah jika elemen kolom 1 ditambah dengan x2 kali

elemen kolom 2, x3 kali elemen kolom 3, , xn kali elemen kolom n, sebagai berikut :

. x1 =

nnn3n2nnn22n1n1

2n2322nn2222121

1n1312nn1212111

a..........aaxa........xaxa

...............

...............

a..........aaxa........xaxa

a..........aaxa........xaxa

. x1 =

nnn3n2n

2n23222

1n13121

a..........aab

...............

...............

a..........aab

a..........aab

= 1

Sehingga : . x1 = 1 x1 =

1 ; dengan syarat 0

Dengan cara yang sama akan diperoleh :

x2 =

2

x3 =

3

:

xn =

n

Atau :

dengan :

= determinan koefisien.

i = determinan orde-n yang diperoleh dari determinan koefisien dengan meng-

ganti elemen kolom ke-i dengan elemen ruas kanan atau suku konstan bi.

Metoda penyelesaian SPL seperti ini disebut Metoda Cramer.

xi =

i ; dengan syarat 0

Matriks 19

@by:MurtiAstuti

Contoh :

Selesaikan SPL :

2 x + 3 y = 28

3 y + 4 z = 46

4 z + 5 x = 53

Atau :

zyx

405430032

=

534628

Penyelesaian :

= 405430032

= 3. 4 . 105110012

= 12 (2 + 5 + 0 0 0 0 ) = 84

x = 405343640328

= 12 105311640128

= 12 (28 + 53 46) = 420

y = 453546400822

= 4 153516400822

= 4.2. 153516400141

= 8 (46 + 70 53) = 504

z = 530546308232

= 3 530546108212

= 3 (106 + 230 140) = 588

Sehingga :

x =

x = 84

420 = 5

y =

y =

84

504 = 6

z =

z = 84

588 = 7

Untuk SPL Non-Homogen dengan n persamaan dengan n variabel , berlaku :

a. Jika 0 , maka SPL mempunyai penyelesaian tunggal.

b. Jika 0 dan semua i = 0 , maka SPL mempunyai penyelesaian nol (trivial),

yaitu xi = 0 untuk semua i.

c. Jika = 0 dan terdapat i 0 , maka SPL tidak mempunyai penyelesaian

(inconsistent).

d. Jika SPL mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak berhingga (tidak

tunggal), maka = 0 dengan semua i = 0, untuk sebaliknya belum tentu

berlaku.

Matriks 20

@by:MurtiAstuti

Contoh :

1. SPL : x 3y + 2z = 4

2x + y 3z = -2

4x 5y + z = 5

= 1543-12231

= (1 + 36 20) (8 + 15 6) = 17 17 = 0

x = 1553-12234

= (4 + 45 + 20) (10 + 60 + 6) = 69 76 = -17

Karena = 0 dan terdapat x = -17 0 maka SPL tidak mempunyai

penyelesaian.

Atau :

(i) x 3y + 2z = 4 (*2) 2x 6y + 4z = 8

(ii) 2x + y 3z = -2 2x + y 3z = -2 +

4x 5y + z = 6

Sementara dari persamaan (iii) : 4x 5y + z = 5, berarti inconsistent

2. SPL : ntinconsiste

4z3yx25z3yx28z6y2x4

= 312312624

= 2.3.(-1) 111111222

= 0

x = 314315628

= -1. 3 114115228

= 0

y = 342352684

= 2. 3 141151282

= 0

z = 412512824

= -1. 2 411511822

= 0

SPL tidak mempunyai penyelesaian, karena persamaan (ii) dan (iii) inconsistent.

3. SPL : 2x + y 2z = 4 (i)

x 2y + z = -2 (ii)

5x 5y + z = -2 (iii)

Matriks 21

@by:MurtiAstuti

= 155121212

= (- 4 + 5 + 10) (20 -10 + 1) = 11 11 = 0

x = 15212 2214

= (-8 2 20 ) (-8 20 2) = 0

y = 125121242

= (-4 + 20 + 4) ( 20 4 + 4) = 0

z = 255221412

= (8 10 20) (- 40 + 20 2) = 0

Tetapi :

(i) : 2x + y 2z = 4

(ii)*2 : 2x 4y + 2z = - 4

5y 4z = 8

5 y = 4z + 8

y = )2z(54

Dari persamaan (ii) : x = 2y z 2 = 2z)2z(58 =

56

53 z

Persamaan (iii) : 5x 5y + z = -2

5(56

53 z ) 5. )2z(

54 + z = - 2

3z + 6 4z 8 + z = - 2

- 2 = - 2 ( memenuhi / consistent )

Sehingga penyelesaiannya :

x = )2z(53

y = )2z(54

z = z

Jadi terdapat banyak sekali penyelesaian (banyaknya penyelesaian tak

terhingga), tergantung dari nilai z yang diberikan.

Misalnya :

Untuk z = 0 x = 56 ; y =

58

Untuk z = 3 x = 3 ; y = 4 dan seterusnya.

Matriks 22

@by:MurtiAstuti

SPL NON-HOMOGEN DENGAN m PERSAMAAN, n VARIABEL

a. SPL dengan (n +1) persamaan dan n variabel

Misalkan SPL : a1 x + b1 y = c1 (i)

a2 x + b2 y = c2 (ii)

a3 x + b3 y = c3 (iii)

Umumnya SPL semacam ini inconsistent (tidak punya penyelesaian).

Tetapi, jika 2 dari 3 persamaan tersebut consistent (punya penyelesaian) dan

penyelesaiannya memenuhi 1 persamaan yang lain, maka SPL akan consistent.

Jadi misalkan persamaan (i) dan (ii) independent dan consistent , berarti :

= 22

11

ba

ba 0

x =

22

11

bc

bc

; y =

22

11

ca

ca

Agar SPL mempunyai penyelesaian (consistent), maka x dan y harus memenuhi (iii),

sehingga :

a3

22

11

bc

bc

+ b3

22

11

ca

ca

= c3 atau

a3 22

11

bc

bc + b3

22

11

ca

ca c3

22

11

ba

ba = 0 atau

det K =

333

222

111

cba

cba

cba

= 0

Jadi syarat perlu dan cukup agar SPL dengan (n+1) persamaan dan n variabel akan

mempunyai penyelesaian adalah :

1. Determinan orde-(n+1) yang dibentuk dari determinan koefisien dan suku

konstan (elemen ruas kanan) harus = 0 atau det K = 0

2. Determinan orde-n yang elemen-elemennya terdiri dari koefisien sembarang n

persamaan harus 0 atau 0.

b. SPL dengan m persamaan dan n variabel (m >n).

Jika diantara n persamaan dari SPL tersebut consistent dan penyelesaian xi ;

untuk i = 1, 2, 3, .., n memenuhi (m-n) persamaan sisanya maka SPL akan

consistent ; jika tidak maka SPL inconsistent.

Matriks 23

@by:MurtiAstuti

c. SPL dengan m persamaan dan n variabel (m < n).

SPL ini akan mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak terhingga. Dalam hal ini,

m variabel bisa dinyatakan dalam bentuk (n-m) variabel sisanya.

Contoh :

1. SPL : x + y + z = 0

x + y + 3z = 2

2x 3y 5z = 8

3x 2y 8z = 4

SPL dengan 4 persamaan dan 3 variabel

det K =

4823853223110111

=

41153875222010001

= 1 4115875220

= -5(2) 4111871110

= -10

4111440110

= - 10

4411

= -10 (4 4) = 0

Jadi SPL mempunyai penyelesaian.

Ambil 3 persamaan pertama : x + y + z = 0

x + y + 3z = 2

2x 3y 5z = 8

= 532311111

= (- 5 + 6 3) (2 9 5) = - 2 + 12 = 10

x = 538312110

= (0 + 24 6) (8 + 0 10) = 20

y = 582321101

= (-10 + 0 + 8) ( 4 0 + 24) = -30

z = 832211011

= (8 + 4 + 0) ( 0 6 + 8) = 10

Jadi :

x =

x = 10

20 = 2 masuk persamaan (iv) : 3(2) -2(-3) 8(1) = 4

y =

y =

10

30 = - 3 6 + 6 8 = 4

z =

z = 10

10 = 1 4 = 4 (consistent)

Matriks 24

@by:MurtiAstuti

2. SPL : x1 + x2 + x3 = 3 SPL dengan 2 persamaan, 3 variabel 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 = 13

x1 + x2 = 3 - x3 x1 dan x2 dinyatakan dalam bentuk x3 3 x1 + 4 x2 = 13 - 5 x3

= 4311

= 4 3 = 1

1 = 4x5311x3

3

3

= 4(3 x3) (13 5 x3) = x3 1

2 = 3

3x5313x31

= (13 5 x3) 3 (3 x3) = - 2 x3 + 4

Jadi :

x1 =

1 = 1

1x3 = x3 1

x2 =

2 = 1

4x2 3 = - 2x3 + 4

x3 = x3 (bisa diberi harga sembarang)

Misalkan :

x3 = 0 maka x1 = -1 ; x2 = 4

x3 = 2 maka x1 = 1 ; x2 = 0

x3 = 1 maka x1 = 0 ; x2 = 2 dan seterusnya.

SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0

a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = 0

: : : :

am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = 0

SPL Homogen paling tidak pasti mempunyai penyelesaian trivial ( xi = 0 untuk semua i )

a. SPL Homogen dengan n persamaan dan n variabel

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0

: : : :

an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = 0

Atau :

Matriks 25

@by:MurtiAstuti

a11 x1 + a12 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - a1n xn

a21 x1 + a22 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - a2n xn SPL dengan n persamaan

: : : dan (n -1) variabel an1 x1 + an2 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - ann xn

Syarat SPL ini punya penyelesaian, jika dipenuhi :

Det K =

nnn3n2n1

2n232221

1n131211

a..........aaa

...............

a..........aaa

a..........aaa

= 0

Jika det K 0 , maka SPL tidak mempunyai penyelesaian non-trivial ( hanya

mempunyai penyelesaian trivial)

Penyelesaian selanjutnya, pilih (n -1) persamaan sembarang dengan (determinan

koefisien) 0. Jika nilai xn diberi harga tertentu, maka x1, x2, .., xn-1 dapat

ditentukan, sehingga SPL akan mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak

terhingga.

Contoh :

SPL Homogen : x y 3z = 0

2x 2y 6z = 0

2x + 3y z = 0

Det K = 132622311

= (2 + 12 18) (12 18 + 2) = 0

SPL mempunai penyelesaian non-trivial

Selanjutnya :

Ambil 2 persamaan sembarang, misalnya 2 persamaan pertama :

x y 3z = 0 x y = 3z

2x 2y 6z = 0 2x 2y = 6z

= 22

11

= -2 + 2 = 0, karena = 0 berarti kedua persamaan dependen linier.

Sehingga kedua persamaan tersebut tidak bisa digunakan untuk menentukan

penyelesaian SPL.

Ambil 2 persamaan yang lain, misalnya 2 persamaan terakhir :

2x 2y 6z = 0 2x 2y = 6z

2x + 3y z = 0 2x + 3y = z

Matriks 26

@by:MurtiAstuti

= 3222

= 6 + 4 = 10 0

x = 3z2z6

= 18z + 2z = 20z

y = z2z62

= 2z 12z = -10z

Jadi : x =

x = 10

z20 = 2z Misal : z = 1, maka : x = 2 dan y = -1

y =

y =

10

z10 = -z Misal : z = -1 , maka : x = -2 dan y = 1

z = z dan seterusnya.

b. SPL Homogen dengan n persamaan dan (n + 1) variabel

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + a1 n+1 xn+1 = 0

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + a2 n+1 xn+1 = 0 : : : : : an1 x1 + an2 x2 + + ann xn + an n+1 xn+1 = 0

Atau :

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = a1 n+1 xn+1

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = a2 n+1 xn+1 : : : : an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = an n+1 xn+1

Syarat SPL ini punya penyelesaian, jika dipenuhi :

=

nnn3n2n1

2n232221

1n131211

a..........aaa

...............

a..........aaa

a..........aaa

0 dengan

1 =

nnn3n2

2n2322

1n1312

a..........aa

...............

a..........aa

a..........aa

1n n

1n2

1n1

a

a

a

xn+1 x1 =

1n1 x

2 =

nnn3n1

2n2321

1n1311

a..........aa

...............

a..........aa

a..........aa

1n n

1n2

1n1

a

a

a

xn+1 x2 =

1n2 x

: : : :

dan seterusnya xn =

1nn x

Harga x1, x2, , xn dapat ditentukan dengan memberi nilai sembarang pada xn+1.

Matriks 27

@by:MurtiAstuti

Contoh :

SPL : x + y + z + w = 0

x 7y + z w = 0

x + y 7z w = 0 ; SPL homogen dengan 3 persamaan dan 4 variabel

x + y + z = - w

x 7y + z = w

x + y 7z = w

= 711171111

=

801081001

= 64 0

x = 711171111-

w =

786182100

w = (16 48) w = -32 w

y = 711111111

w =

821021001

w = 16 w

z = 111171111

w = 201281001

w = 16 w

x =

x = 64

w32 = w

21

y =

y =

64

w16 = w

41

z =

z = 64

w16 = w

41

w = w

Misal : w = 1 , maka : x = 21 ; y =

41 dan z =

41

Misal : w = 4 , maka : x = 2 ; y = 1 dan z = 1

Misal : w = -4 , maka : x = 2 ; y = 1 dan z = 1 dan seterusnya.

Matriks 28

@by:MurtiAstuti

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ELIMINASI

Diketahui sistem persamaan linier (SPL) dengan m persamaan linier yang simultan

dengan n buah variabel ( x1 , x2 , .., xn) yang berbentuk :

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2

: : : :

am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm

Atau :

n

2

1

mnn3n2n1

2n232221

1n131211

x

.

x

x

a..........aaa

...............

a..........aaa

a..........aaa

=

m

2

1

b

.

b

b

atau : (Amxn) x (Xnx1)= (bmx1)

dengan : Amxn = matriks koefisien

Xnx1 = matriks variabel

bmx1 = matriks ruas kanan

Jika : bi = 0 untuk semua i SPL Homogen

bi 0 untuk semua i SPL Non-Homogen

Penyelesaian atau solusi SPL adalah nilai x1 , x2 , .., xn yang memenuhi SPL.

Untuk SPL homogen paling tidak pasti mempunyai satu penyelesaian trivial, yaitu :

xi = 0 untuk semua i

MATRIKS PERLUASAN (AUGMENTED MATRIX)

Dari SPL di atas bisa dirumuskan matriks perluasan dari matriks koefisien A menjadi :

A~

=

m

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

:

b

b

a.....aa

::::

a.....aa

a.....aa

terakhirkolompadabkolommatriks

nmenyisipkadengandiperluasAmatriks

Jadi A~

= A~

m x (n+1)

PENYELESAIAN SPL DENGAN METODA ELIMINASI GAUSS

Metoda eliminasi Gauss metoda penyelesaian SPL yang dimulai dengan membentuk

matriks perluasan A~

, kemudian dilakukan operasi baris elementer sampai diperoleh

bentuk matriks echelon, yaitu matriks segitiga atas yang berbentuk sebagai berikut :

Matriks 29

@by:MurtiAstuti

A~

=

1n

barism

baris)rm(

barisr

b~:

b~b~:

b

b

0..0..00

::::::

0..0..00

k..k..00

::::::

c.....c0

a......aa

m

1r

r

*2

1

rnrr

n222

n11211

dengan : r m dan

a11 0 ; c22 0 ; ; krr 0

1rb~

; .............. ; mb~

boleh nol , boleh tidak

Selanjutnya dilakukan substitusi mundur (back substitution) untuk menentukan nilai

variabel x1 ; x2 ; ; xn

CONTOH :

1. Selesaikan SPL :

x1 + x2 + 2 x3 = 2

3 x1 x2 + x3 = 6

x1 + 3 x2 + 4 x3 = 4

4

6

2

x

x

x

431

113

211

3

2

1

Bentuk A~

dan lakukan operasi baris elementer sampai diperoleh bentuk mariks

echelon

A~

=

1313

1212

BBB)1/1(B

B3BB)1/3(B

4

6

2

431

113

211

=

2323 BBB)2/2(B2

12

2

220

720

211

= echelonMatriks

10

12

2

500

720

211

Substitusi mundur :

Matriks 30

@by:MurtiAstuti

5x3 = 10 x3 = 2

2x2 + 7x3 = 12 2x2 + 14 = 12 x2 = 1

x1 + x2 + 2x3 = 2 x1 1 + 4 = 2 x1 = 1

2. Selesaikan SPL :

3 x1 + 2 x2 + x3 = 2

2 x1 + x2 + x3 = 0

6 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0

A~

=

1313

12

B2BB)3/6(B

B)3/2(B

0

0

2

246

112

123

=

4

3/4

2

000

3/13/10

123

Substitusi mundur :

0 x3 = - 4 0 = 4 (tidak mungkin) tidak ada solusi

1/3 x2 + 1/3 x3 = 4/3

3 x1 + 2 x2 + x3 = 2

3. Selesaikan SPL :

3 x1 + 2 x2 + 2 x3 5 x-4 = 8

0,6 x1 + 1,5 x2 + 1,5 x3 5,4 x-4 = 2,7

1,2 x1 0,3 x2 0,3 x3 + 2,4 x-4 = 2,1

A~

=

13

12

B)0,3/4(B

B)3/2(B

7

9

8

8114

18552

5223

Atau:

A~

=

1313

1212

B4,0BB)0,3/2,1(B

B2,0BB)0,3/6,0(B

1,2

7,2

0,8

4,23,03,02,1

4,55,15,16,0

0,50,20,20,3

=

2313 BBB)1,1/1,1(B1,1

1,1

0,8

4,11,11,10,0

4,41,11,10,0

0,50,20,20,3

=

echelonmatriks0,0

1,1

0,8

0,00,00,00,0

4,41,11,10,0

0,50,20,20,3

Substitusi mundur : 0 = 0

1,1 x2 + 1,1 x3 4,4 x4 = 1,1 x2 = 1 x3 4 x4

Matriks 31

@by:MurtiAstuti

x2

x1

x2

x1

x2

x1

3,0 x1 + 2,0 x2 + 2,0 x3 5,0 x4 = 8,0 x1 = 2 x4

Nilai x3 dan x4 bisa dipilih sembarang, misalnya x3 = 4 dan x4 = 1 sehingga :

x1 = 2 1 = 1 dan x2 = 1 4 4(1) = 7

Dalam hal ini dikatakan SPLnya mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak

terhingga (tidak tunggal).

Kemungkinan Solusi Dari SPL :

a. SPL tidak mempunyai solusi

Misal :

b. SPL mempunyai solusi tunggal

Misal :

c. SPL mempunyai solusi tidak tunggal

Misal :

Kemungkinan solusi dari SPL bisa diketahui dari bentuk matriks echelon :

A~

=

1nn..r..21

barism

m

:

1r

r

:

2

1

b~:

b~b~:

b

b

0..0..00

::::::

0..0..00

k..k..00

::::::

c.....c0

a......aa

m

1r

r

*2

1

rnrr

n222

n11211

a. Jika r < m dan salah satu dari 1rb~

; .............. ; mb~

0 SPL tidak

mempunyai solusi

b. Jika r = n dan 1rb~

; ......; mb~

jika ada semua = 0 SPL mempunyai

solusi tunggal

c. Jika r < n dan 1rb~

; ......; mb~

jika ada semua = 0 SPL mempunyai

solusi yang banyaknya tidak berhingga (tidak tunggal).

x1 + x2 = 1

x1 + x2 = 0

x1 + x2 = 1

x1 x2 = 0

x1 + x2 = 1

2x1 + 2 x2 = 2

Matriks 32

@by:MurtiAstuti

MENENTUKAN INVERS MATRIKS DENGAN ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Bentuk SPL : Anxn Xnxn = Inxn (Inxn = matriks identitas berordo n)

A-1 A X = A-1I I X = A-1 X = A-1

Selanjutnya penyelesaian X = A-1 bisa diperoleh dengan menyelesaikan SPL : AX = I

dengan metoda eliminasi Gauss. Dalam hal ini, augmented matrix A~

= [ A I ] dengan

Anxn dan Inxn

Contoh :

Tentukan invers matriks A =

100

001

010

dengan eliminasi Gauss-Jordan

Bentuk augmented matrix A~

= [ A I ] =

100

010

001

100

001

010

Lakukan operasi baris elementer pada A~

sehingga elemen dari matriks A dalam A~

membentuk matriks identitas.

A~

=

21 BB

100

010

001

100

001

010

= 12 BB

100

010

011

100

001

011

= )1(xB

100

001

011

100

010

011

2

=

21 BB

100

001

011

100

010

011

=

1AI

100

001

010

100

010

001

Jadi invers dari matriks A adalah A-1 =

100

001

010

Matriks 33

@by:MurtiAstuti

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS

PENGERTIAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai Eigen (Eigen value) dan vektor Eigen (Eigen vector) suatu matriks memenuhi sifat

bahwa jika vektor Eigen dikalikan dengan matriksnya akan menghasilkan vektor yang

proporsional dengan vektor Eigennya. Nilai proporsionalitasnya disebut nilai Eigen atau

nilai karakteristik dari matriks tersebut.

Contoh :

A =

17189

023

182416

Jika untuk matriks A dipenuhi persamaan :

17189

023

182416

0

1

2

=

0

4

8

= 4

0

1

2

maka dikatakan bahwa 4 adalah nilai Eigen dari matriks A yang berkaitan dengan vektor

Eigen

0

1

2

Secara umum :

Jika diberikan matriks Anxn = [aij] ; maka persamaan untuk nilai Eigen dan vektor

Eigen x dari matriks A adalah : Ax = x .

Himpunan nilai Eigen dari matriks A disebut spectrum dari matriks A.

Nilai terbesar dari harga mutlak nilai Eigen A disebut radius spektral dari matriks A.

CARA MENENTUKAN NILAI EIGEN

Dari persamaan Ax = x dengan A = Anxn

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = x1

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = x2

: : : : an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = xn

Dibawa ke bentuk SPL homogen :

(a11 ) x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0

a21 x1 + (a22 ) x2 + + a2n xn = 0

: : : : an1 x1 + an2 x2 + + (ann ) xn = 0

Matriks 34

@by:MurtiAstuti

Atau :

0

:

0

0

x

:

x

x

a.....aa

:.....::

a.....aa

a.....aa

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

SPL homogen akan mempunyai solusi non-trivial jika nilai determinan koefisien = 0

Atau : det[A I] = 0 atau :

nn2n1n

n22221

n11211

a.....aa

:.....::

a.....aa

a.....aa

= 0

det[A I] = f() = 0 polynomial atau persamaan karakteristik

Akar-akar dari f() = 0 merupakan nilai Eigen dari matriks A. Dari masing-masing nilai Eigen bisa ditentukan vektor Eigen dari matriks A

Vektor Eigen satuan : vektor Eigen dengan jumlah kuadrat komponen-komponennya = 1

Vektor Eigen satuan diperoleh dengan membagi vektor Eigen dengan akar dari jumlah

kuadrat komponen-komponennya.

CONTOH :

1. Tentukan nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks A =

021

612

322

Dari Ax = x diperoleh SPL homogen [AI]x = 0 ;

dengan matriks [AI] =

021

612

322

Det [AI] =

021

612

322

= [(-2-)(1-)(-)+12+12] - [(3(1-)-12(2+)-4]

= 3 2 + 21 + 45

Agar SPL homogen [AI]x = 0 mempunyai penyelesaian non-trivial, maka det [AI] = 0

Sehingga diperoleh polynomial atau persamaan karakteristik :

3 2 + 21 + 45 = 0 3 + 2 21 45 = 0 ( 5)( + 3)2 = 0

Jadi nilai Eigen matriks A adalah : 1 = 5 dan 2;3 = 3

Menentukan vektor eigen:

Untuk nilai eigen 1 = 5 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

Matriks 35

@by:MurtiAstuti

0

0

0

x

x

x

5021

6512

3252

3

2

1

0

0

0

x

x

x

521

642

327

3

2

1

SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :

A~

=

13

1212

B7/1B

B7/2BB)7/2(B

0

0

0

521

642

327

=

23B3/2B0

0

0

7/327/160

7/487/240

327

=

0

0

0

000

7/487/240

327

Substitusi mundur :

24/7 x2 48/7 x3 = 0 x2 + 2x3 = 0 x2 = 2x3

7x1 + 2 x2 3 x3 = 0 7x1 = 7 x3 x1 = x3

Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 5 adalah :

x =

3

2

1

x

x

x

=

3

3

3

x

x2

x

= x3

1

2

1

x3 bisa ditentukan secara sembarang

Misalkan x3 diambil = 1 maka x =

1

2

1

adalah salah satu vektor Eigen matriks A

yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 5

Untuk nilai eigen 2;3 = 3 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

0

0

0

x

x

x

3021

6312

3232

3

2

1

0

0

0

x

x

x

321

642

321

3

2

1


A~

=

13

12

BB

B2B

0

0

0

321

642

321

=

0

0

0

000

000

321

Substitusi mundur :

x1 + 2 x2 3 x3 = 0 x1 = 2x2 + 3x3

x2 = x2 ditentukan sembarang

x3 = x3 ditentukan sembarang

Vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 3 adalah :

Matriks 36

@by:MurtiAstuti

x =

3

2

1

x

x

x

=

3

2

32

x

x

x3x2

; misalkan x2 diambil = 1 dan x3 = 0; maka : x =

0

1

2

2. Tentukan nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks A =

1311

Dari Ax = x diperoleh SPL homogen [AI]x = 0 ;

dengan matriks [AI] =

13

11

Det [AI] =

13

11 = 2 1 + 3 = 2 + 2

Agar SPL homogen [AI]x = 0 mempunyai penyelesaian non-trivial, maka det [AI] = 0

Sehingga diperoleh polynomial atau persamaan karakteristik :

2 + 2 = 0 1;2 = i2

Jadi nilai Eigen matriks A adalah : 1 = i2 dan 2 = i2

Menentukan vektor eigen:

Untuk nilai eigen 1 = i2 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

00

x

x

2i13

12i1

2

1


A~

= 12 B

2i1

3B0

0

2i13

12i1

=

00

0012i1

Substitusi mundur :

(1-i2) x1 x2 = 0 x2 = (1-i2) x1

x1 = x1

Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2

adalah :

x =

1

1x

x)2i1( = x1

1

2i1 x1 bisa ditentukan secara sembarang


1

2i1 adalah salah satu vektor Eigen

matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2

Matriks 37

@by:MurtiAstuti

Untuk nilai eigen 2 = i2 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

00

x

x

2i13

12i1

2

1


A~

= 12 B

2i1

3B0

0

2i13

12i1

=

00

0012i1

Substitusi mundur :

(1+ i2) x1 x2 = 0 x2 = (1+ i2) x1

x1 = x1

Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2

adalah :

x =

1

1x

x)2i1( = x1

1

2i1 x1 bisa ditentukan secara sembarang


1

2i1 adalah salah satu vektor Eigen

matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2

SOAL-SOAL:

1. Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang bersesuaian dari matriks A =

101

131

101


003

020

100


111

210

111

matriks & spl

Documents