matrix jacobi

7/18/2019 Matrix Jacobi

1/21

Dipakai dilingkungan

TMS 516

DINAMIKA ROBOT

S Y A F R I

STRUCTURAL DYNAMICS LABORATO

ANDALAS UNIVERSITY

MATRIX JACOBI


2/21


1. Pendah!an

Matrix Jacobi (Jacobian) adalah Matrixyang dapat merubah masing-masinginput pada joint space menjadi posisi,

orientasi dan kecepatan pada end-efector space (task space)

Kegunaan matrix jacobi

!"ntuk menentukan(trajectories) suatu robot m#!Menentukan posisi,

kecepatan dan percepatan$!Menentukan singularityrobot manipulator! %ingtercapai apabila determ

jacobi mendekati atau &pabila terjadi kondisi sinserial manipulator akan

satu atau beberapa D'!

"a#$a%&1%&*& Manipulator *obot

+nd-efector space(x, y, , , ., /)

Joint space(, #, $,)


3/21


'. F(%)a%d dan In*e%+ K,ne#a-,

or0ard Kinematik adalah input padajoint space manipulator robot diketahui

maka ditentukan koordinat dan

orientasi pada end-efectornya!

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

z

y

xForward

Inverse

Kinematics

Ja

M

1n2ers Kinematik adalakoordinat dan orientasi efector manipulator robot

maka input pada joint sdicari!

End&e/e0-(% +a0e234 4 4 74 84 9:

J(,n- +a0e2714 d'4 7;4:


4/21


;. D< Pa%a#e-e%

D3 4arameter adalah suatu metodeuntuk menentukan posisi perpindahansuatu mekanisme terhadap posisi

a0alnya dengan cara mende5nisikanparameter-parameter yang telahditentukan seperti a, d, dan 6

%umbu Koordinat pada D3

!%umbu 7 8 9 adala

umum yang mengikuti kakanan#!%umbu 9 adalah re:etegak lurus terhadap s

joint re2olute atau sejaarah luncur joint translasi$!%umbu 7 adalah garis

tegak lurus terhadap (common normal);!%umbu 8 adalah gpelengkap sistem koordina

"a#$a%&'%umbu koordinat D3 parameter


5/21Dipakai dilingkungan

!,n:yaitu parameter yang me0akili jaraktegak lurus antara dua sumbu , yaitusumbu i dengan sumbu asalnya (i-)#! d 2=a%a J(,n-: yaituparameter yang me0akili jarak tegaklurus antara dua sumbu x, yaitusumbu xi dengan sumbu x asalnya(xi-)$! 7 2Sd- =(,n-: yaituparameter yang me0akili sudutantara dua sumbu x, yaitu sumbu xidengan sumbu x berikutnya (xi=);! ? 2Sd- -a%: yaituparameter yang me0akili sudut putar

antara dua sumbu , yaitu sumbu i

"a#$a%&;



Matrix trans:ormasi D3 batang yang berdekatan

1 1 1( , ) ( , )

0

0 0 0

ii i i i i

i i i i

i i i i

i

T T z d R z T

C C S S S

S C C S

S C

=

=

%ource coordinate

*e:erenceoordinate

Komponen D3 parameterdikelompokkan dalan satu tabel (tabelD3 parameter)



ontoh

>abel D3 parameter

No a d

0-1 l1 0 1 0

1-2 l2 0 2 0

2-3 l3 0 3 0

Matrix >rans:ormasi



=

=

=

100010

000

1

2

1

1

00

nnn

n

n

n

PasnPRTTTT

'rientationmatrix ($x$)

4osition2ector

z

y

x

p

p

p

6

5

4

3

2

1

=

000

zz

yy

xx

asn

asn

asn

T

or0ard Kinematik

Matrix trans:ormasi Kine



@. Me-(de Ya)&P,-0h&R(!

8a0-4itch-*oll adalah suatu salah untukmerubah matrix orientasi ($x$)menjadi euler angle dalam bentuk

(, ., /)!

Misal sebuah matrix trans:ormasi

Dimana

++

=

1000

0

z

y

x

n

pCCSCS

pSCCSSCCSSSCS

pSSCSCCSSSCCC

T

=

1000

0

zzzz

yyyy

xxxx

n

pasn

pasn

pasn

T

)(sin 1 zn=

)cos(cos 1

z

a=

)cos

(cos 1

x

n=

%ehingga didapatkan



@. Ma-%,3 Ja0($,

or0ard Kinematik

x

yz

Y

=

16

6

5

4

3

2

1

)(

=

q

q

q

qq

q

h

z

y

x

166216

6215

6214

6213

6212

6211

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

=

qqqh

qqqh

qqqh

qqqh

qqqh

qqqh

)( 116 = nqhY

dqh

dt

dY n )( 116 ==

1616 = nnqJY

z

y

x

z

y

x

1

2

1

6

)(

=

nn

n

q

qq

dq

qdh

dq

qdhJ

)(=



z

y

x

z

y

x

1

2

1

6

)(

=

nn

n

q

q

q

dq

qdh

nn

n

n

n

q

h

q

h

q

h

q

h

q

h

q

h

q

h

q

h

q

h

dq

qdhJ

=

=

6

6

2

6

1

6

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

6

)(

=

= Vz

y

x

Y

z

y

x

=

z

y

x

V



44

6

01000

=

pasnT

=

=

)(

)(

)(

3

2

1

qh

qh

qh

z

y

x

p

=

)(

)(

)(

)(

)(

)(

},,{

6

5

4

qh

qh

qh

q

q

q

asn

1

1

2

1

3

1

6

1

1

1

( )

n

h h

q q

h h

q q

h h

q qdh qJ

dq

q q

q q

q q

= =


13/21


ontoh >rans:ormasi matrik

8a0 4itch *oll

=

1000zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

T

sin(tan 2 tan 2

cos(

tan 2 cos sin

tan 2 0

x

y

z

x

z

z

na a

n

na

n n

sa

a

= =

= +

= =


14/21


14 14 14 14 14 14

1 2 3 1 2 3

24 24 24 24 24 24

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1

1 2 3

1 1 1

1 1 1

0 0 0 0 0 0

r r r r r r

q q q q q q

r r r r r r

q q q q q q

q q q q q qJ

q q q

q q q

q q q

= =

1 1 2 12 3 123 2 12

1 1 2 12 3 123 2 12

1 2 3

1 1 1

1 1 1

0 0

1 1

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

l s l s l s l s

l c l c l c l c l

q q q

q q q

q q q

+ + + =


15/21


Karena dia merupakan plannarkinematik, maka bisa disederhanakanmenjadi

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123

1 1 1

l s l s l s l s l s l s

J l c l c l c l c l c l c

= + + +

++++++++++++ +++

+++

=

66262161

56252151

46242141

36232131

26222121

16212111

JqJqJ

JqJqJ

JqJqJ

JqJqJJqJqJ

JqJqJ

zy

x

==

6261

2221

1211

JJ

JJ

JJ

qJY

&rti isik Matrix Jacobi

%etiap inputpada joint space

akanmempengaruhinilai output padaend efector


16/21


1n2ers Jacobian

==

666261

262221

161211

JJJ

JJJ

JJJ

qJY

6

5

4

3

2

1

q

qq

q

q

q

YJq 1=

1

2

3

4

5

6

1Adjoint J

det

q x

q yq z

q J

q

q

=

? ?

? ?? ?

? ?

??

? ?

ontoh

Matrix Jacobi

1 1 2 12 3 123 2 12

1 1 2 12 3 123 2 12

1 1

l s l s l s l s

J l c l c l c l c

= + + +


17/21


1

2

3

4

5

6

1Adjoint J

det

q x

q y

q z

q Jq

q

=

? ?

? ?

? ?

? ???

? ?

1n2ers Jacobian

Determinan matrix J

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12 3 123

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12 3 123

1 1 1 1 1

l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l c l c l c l c l c l c l c l c l c l c l c + + + + + +


18/21


2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12

1

( )( ) ( )( ) ( )(

1

( )( ) ( )( ) ( )(

l c l c l s l c l s l s l s l c l c l c l s

l s l s l s l c l c l s l s l c l s l c l c l

= + + + + +

+ + + + +

Determinan Matrix J

&djoint matrix J

Misalkan

Matrix J &djoint Matrix J


19/21


&djoint matrix J

Matrix J

&djoint Matrix J

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123

1 1 1

l s l s l s l s l s l s

J l c l c l c l c l c l c

= + + +

1 1 2 12 3 123 1 1 2 12 3 123

2 12 3 123 2 12 3 123

3 123 3 123

1

1

1

l s l s l s l c l c l c

Adj J l s l s l c l c

l s l c

+ + = +

1

2

3

4

5

6

1

Adjoint Jdet

q

q

q

q J

q

q

=

?

?

?

?

?

?

Maka didapatkanla


20/21


5. S,n>!a%,-

%ingularity adalah kondisi dimana hilangnyasatu atau lebih derjat kebebasan dari suaturobot manipulator! %ingularity terjadi akibatdeterminan matrix jacobi robot manipulator

tsb mendekati atau sama dengan nol

Determinan Matrix Jacobi @ A

"ntuk kasus berikut $ plannar manipulator

1 1 2 12 3 123 2

1 1 2 12 3 123 2

1

l s l s l s l

J l c l c l c l c

= + +

2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12

Det J

( )( ) ( )( ) ( )(

( )( ) ( )( ) ( )(

l c l c l s l c l s l s l s l c l c l c l s

l s l s l s l c l c l s l s l c l s l c l c l

+ + + + + + + + + +


21/21


Beberapa bentuk singularity $ plannarmanipulator

$#

Dimana #, $C A

Dimana #, $C A

matrix jacobi

Documents