Matriz

Conceitos Básicos

Histórico

Século XIX Inglaterra Matemático e Astrônomo:

Arthur Cayley

Matrizes e suas utilizações

Utilizações

Resolução de Sistemas Lineares

1

5

yx

yx

Engenharia

Cálculo estrutural. Fenômenos dos

transportes. Planilhas de cálculo. Cálculo de áreas.

Engenharia

Armando o sistema de forças

mnmnmmm

nn

nn

nn

kxaxaxaxa

kxaxaxaxa

kxaxaxaxa

kxaxaxaxa

...

...

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Estatística

Confecção de tabelas

Levantamentos de campo.

Cálculos.

Tecnologia mundial

Diversas áreas do conhecimento humano

Sistemas Computacionais

Essencial para analistas de sistemas e programação com variáveis indexadas.

Conceito

Matriz

É toda tabela retangular, formada por elementos dispostos em linhas e colunas.

Tabela

Alunos I U II U III U IV U

Alessandra 5 9 9 8

Roberta 6 8 9 8

Fernanda 7 8 9 7

Notações

Podemos escrever matrizes das seguintes formas:

7987

8986

8995

7987

8986

8995

7987

8986

8995

Linhas e Colunas

Linhas

7987

8986

8995

Colunas

3 linhas4 colunas

Linguagem matemática

Dados 2 números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (mxn) a uma tabela cujos elementos estão dispostos em m linhas e n colunas

Ordem da matriz

Na matriz M,

m=3

n=4

7987

8986

8995

M

3x4

Ordem da matriz

Aplicação 01

Qual a ordem das matrizes abaixo?

06¶

123418log

532º30sen

2A

0531 B

41

53

20

C

3x3

1x4

3x2

Identificando cada elemento

Planilha do Excel

Cada célula é um elemento da Matriz

Células 6C 3B 1D

Feita para possibilitar a comunicação de leigos

Observe que qualquer pessoa identifica a célula pela letra e pelo número.

3F ou F3 se referem à mesma célula.

Em matemática é convencionado:

Se quisermos identificar a posição do elemento 6

7987

8986

8995

M

Linha 2Coluna 1Ou simplesmente: a21

Convenção

Sempre diz-se primeiro a linha depois a coluna Assim:

ai j

Linha Coluna

Elemento genérico

i: linha onde o elemento se encontra j: coluna do elemento

ija

Matriz Genérica

mxnmnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

Aplicação 02

Dada a matriz

41

53

20

C

Identifique os elementosc12

c32

c22

Aplicação 03

Determinar a matriz

A = (aIJ)3x2 onde

aIJ = i + j

a11 = 1 + 1 a12 = 1 + 2

i j i + j

Resolução - Aplicação 03

Como a matriz é de ordem 3x2

mxnmnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

233231

2221

1211

xaa

aa

aa

A

Matriz genérica

Resolução - Aplicação 03

a11= 1+1 = 2

a12= 1+2 = 3

a21= 2+1 = 3

a22= 2+2 = 4

a31= 3+1 = 4

a32= 3+2 = 5

Assim:

2354

43

32

x

A

Matriz retangular

Toda matriz é retangular.

7987

8986

8995

M

Matrizes especiais

Nomenclaturas

Matriz linha

É toda matriz do tipo 1xn Formada por apenas uma linha

413021 xL

Matriz coluna

É toda matriz do tipo mx1 Formada por apenas uma coluna

0

5

¶

C

Matriz nula

É uma matriz em que todos os elementos são iguais a zero

000

000

000

O

Matriz quadrada

É toda matriz do tipo nxn O número de linhas é igual ao número

de colunas

12

01A

33531

3250

1071

x

B

443236

5012

4110

3781

x

M

Diagonal Principal

Apenas em matrizes quadradas

Índices da diagonal principal

Os elementos da diagonal principal possuem índices iguais:

a11 a22 a33 a44 ... ann

Diagonal secundária

A soma dos índices é igual a n+1

443236

5012

4110

3781

x

M

Índices da diagonal secundária

Os índices dos elementos da diagonal secundária somam n+1

555554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

xaaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

S

Matriz diagonal

É toda matriz quadrada de ordem n>1 em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.

A=(aij) em que aij=0 para todo i j

Matriz diagonal - exemplo

A=(aij) em que aij=0 para todo i j

442000

0300

0000

0001

x

D

Matriz identidade

É uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a um.

10

012I

100

010

001

3I

1000

0100

0010

0001

4I

Igualdade de Matrizes

Igualdade

A=B sse cada

aIJ = bIJmxnmnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

mxnmnmmm

n

n

n

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

B

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

Aplicação 04

Calcule x, y e z para que as matrizes abaixo sejam iguais.

z

y

x

12

230

241

712

30

24