matriz de rigidez y el. finitos

7/23/2019 Matriz de Rigidez y El. Finitos

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1. LA MATRIZ DE RIGIDEZ, NUESTRA PRIMERA AMIGA

ANTECEDENTES:se trata de presentar primero desde un punto de vista meramente algebraico a

la matriz de rigidez para posteriormente analizar su sentido físico en la resoluciónde los sistemas de ecuaciones ligados al cálculo de las estructuras

No son pocas las veces !ue el mundo de las "atemáticas irrumpe en el de la"ecánica# de $ec$o si investigáramos a trav%s de la $istoria ocurriría algoparecido a lo !ue ocurre en la parado&a de la gallina ' el $uevo (!ui%n vinoprimero)

*ueno el caso es !ue vamos a tratar de ver !ue las matrices# !ue provienen delmundo matemático +,- tienen muc$o !ue ver con la mecánica ' especialmentecon las estructuras# !ue es uno de mis temas mecánicos favoritos

Es de todos sabido !ue $o' en día cual!uier programa informático de cálculode estructuras !ue se precie +no vo' a mencionar nombres puesto !ue deninguno $e recibido dinero# todavía- posee tres módulos de traba&o más omenos diferenciados: preproceso, cálculo y postproceso Como es fácil deadivinar el preproceso se centra en la entrada de los datos ' el postproceso en lasalida de los resultados El módulo de cálculo# !ue es el !ue a$ora nos interesa#se centra a su vez en la resolución de un sistema de ecuaciones .eneralmenteeste sistema sirve para calcular los desplazamientos de los puntos de laestructura# ' a partir de estos los esfuerzosEs en este punto donde entranaparecen las matrces asoca!as a dic$o sstema l"eal, !ue como veremosrec#e" el "om#re !e matrces !e r$!e%

Estos programas abarcan principalmente todo el cálculo de estructuras debarras ' de elementos /nitos donde se opera con matrices !ue guardancaracterísticas de los elementos: rigideces# masas# etc Desde luego e0istenprogramas !ue no se basan en estas t%cnicas como por e&emplo los !ue traba&ancon el m%todo iterativo de Cross# aun!ue de estos conozco bien pocos ' están unpoco mal vistos ' en desuso 1aun!ue son igual de válidos respetando unaspremisas de partida dadas +despreciar las deformaciones debidas a los a0iles pore&emplo-1 2uesto !ue la resolución de las estructuras por computadoras suponeun esfuerzo inmensamente menor ' dado !ue los cálculos los realiza elordenador ' este 3no se e!uivoca3 1pongo esto entre comillas puesto !ue veremos!ue sí !ue se e!uivoca1# los m%todos matriciales están popularizándose $asta talpunto !ue $an relegado o absorbido al resto

4na vez demostrado !ue lo de las matrices ' las estructuras va en serio nospreguntaremos !u% papel &uegan las matrices en todo esto 2ues bien# lasmatrices !ue a nosotros nos interesan e0presan la relación entre las fuerzas ' losdesplazamientos# veamos esta famosa ecuación para aclararnos:

P & ' . ! (1)

pues sí# si consideramos !ue P es el *ector !e car$as ' ! el *ector !e los!espla%ame"tos producidos en esos puntos +se trata de evitar $ablar de denudos5nodos para no liarnos más de la cuenta-# nos daremos cuenta de !ue la

matriz k denominada matriz de rigidez se encarga de almacenar ordenadosunos coe/cientes tales !ue al premultiplicar por los desplazamientos en un punto+d- se obtienen las fuerzas en dic$o punto +6- Tanto los desplazamientos como



las fuerzas son a!uí vectores de orden igual al n7mero de grados de libertad delos nudos Así por e&emplo en estructuras planas del tipo pórticos son tres losgrados de libertad por nudo 1+d0#d'#8z- desplazamientos en los dos e&es ' giro enel e&e 91 para los desplazamientos1# ' por tanto tambi%n tres las componentes delvector para las fuerzas 1+60#6'#"z- fuerzas en los dos e&es ' momentos seg7n ele&e 91

Esa simple ecuación es la !ue trae de cabeza a todos los programas de cálculo' su resolución es la !ue nos $a traído a todos alguna vez a la desesperaciónfrente a la pantalla de nuestro modesto 2C puesto !ue en cuanto la estructura escontundente# el tiempo de resolución se $ace interminable

(u% es la r$!e% de un elemento)# pues bien# vámonos a nuestras primas lasbarras !ue son mu' fáciles de entender ' nos despe&an el paso para posterioreselementos más e0tra;os Entendemos por rigidez la resistencia !ue opone unelemento frente a una deformación dada 4na estructura mu' rígida es a!uella!ue presenta ma'or oposición a la deformación ' eso le suele costar caro En una

estructura# por e&emplo la de un edi/cio# un pilar suele ser menos rígido !ue unapantalla frente a movimientos $orizontales como los producidos por el viento opor el sismo# dado !ue un pilar suele poseer menor sección !ue una pantalla# 'eso le sale caro a la pantalla puesto !ue absorbe la ma'or parte de los esfuerzos$orizontales mientras !ue el pilar ni se entera En de/nitiva los elementostraba&an en con&unto ' el más rígido se lleva más parte de las fuerzas !ue elmenos rígido

<a matriz de rigidez de la estructura almacena todas las rigideces de loselementos de dic$a estructura ' reparte desplazamientos ' a la inversa fuerzasseg7n el valor de dic$as rigideces A ma'or movimiento te toca menos esfuerzo '

de eso se encarga nuestra matriz (No es divertido)# las estructuras son mu'solidarias más pue!es, pues más te lle*as...+=-

A!uí pod%is ver como es la matriz de rigidez de una barra en un pórtico plano#como se observa sus componentes están formados por t%rminoscorrespondientes características mecánicas de la barra: su área +A 1rigidezfrente a deformaciones en el sentido del e&e de la barra# producidas portracciones ' compresiones1# "erca +I 1rigidez frente a deformaciones de>e0ión1# lo"$tu! +L# ' como no m-!ulo !e Elastc!a!+E:

Matriz de Rigidez de una barra en un pórtico plano.



2osteriormente veremos en t%rminos num%ricos a !u% se reduce la rigidezfrente a cada deformación ' estaremos en condiciones de resolver nuestrosprimeros problemas# pero antes nos entretendremos con el se0o de los ángelesviendo algo sobre las curiosas propiedades de la matriz de rigidez ' como le dan3'u'us3 al ordenata cuando intenta resolver el sistema de ecuaciones ' no poseedetrás un buen algoritmo de cálculo

Ea# pues $asta otra# espero !ue todo esto os $a'a servido para algo# adiós

+,- <as matrices nacieron con el ob&eto de simpli/car la notación a la $ora de resolversistemas de ecuaciones lineales 2osiblemente el primero en utilizar la notación actual fueel ingl%s Art$ur Ca'le' +,?=,1,?@-# !uien al estudiar las transformaciones lineales#utilizó notaciones abreviadas entre corc$etes como las de $o' en día+=- Es mu' usual al dise;ar las primeras estructuras !ue tras $acer un predimensionado 'a partir de los esfuerzos obtenidos se le d% ma'or sección a los elementos !ue están

traba&ando con ma'ores esfuerzos# lo cual no siempre conduce a me&orar su estado# dic$oelemento seguramente se llevará a$ora más parte de la carga Será me&or buscar une!uilibrio de las rigideces

NDI/E0

Ecuac-" Pará#ola Rectá"$ulo

2re*e rese3a !el ME4

Estu!o !e los mo!elos !e oscla!or co" u" $ra!o !e l#erta!

Matrces y estructuras

Mecá"ca !e la 5ractura

La ecuación parábola rectángulo del hormigón

Cuando realizamos cálculos de secciones de $ormigón sometidas asolicitaciones normales ' !ueremos ser rigurosos ' modelizar el comportamientode dic$o material en la realidad# utilizamos el diagrama de tensión1deformación

2arábola1Bectángulo Dic$a le'# e0traída de manera e0perimental a partir deensa'os# supone !ue las tensiones se pueden describir en función de lasdeformaciones mediante una función !ue posee un tramo parabólico ' otrorectangular +constante- El cálculo manual con dic$a le' de comportamiento estedioso por lo !ue se de&a su uso a los programas informáticos de cálculo# en los!ue el traba&o pesado lo realiza el ordenador# o bien se suele remitir al calculistaa literatura especializada !ue tabula los valores de la integral !ue de/ne laresultante ' su momento en función de ciertos parámetros +ver por e&emplo ellibro ormigón Armado de Fim%nez "onto'a# .arcia "eseguer ' "orán Cabr% Ed.ustavo .ili-

En general# la gran ma'oría de nosotros# como alumnos de las asignaturas deestructuras puede !ue estemos más acostumbrados a tratar con el diagramarectangular !ue consiste en una simpli/cación del 2arábola1Bectángulo demanera !ue mediante un simple rectángulo# +/gura con la !ue estamos mu'

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#ParRec%23ParRec

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#MEF%23MEF

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#Osciladores%23Osciladores

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/matyest.htm

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#fractura%23fractura

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#ParRec%23ParRec

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#MEF%23MEF

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#Osciladores%23Osciladores

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/matyest.htm

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm#fractura%23fractura



familiarizados ' !ue posee fácil cálculo de su resultante ' por tanto de sumomento resultante-# consigamos apro0imadamente las mismas soluciones

Gncluso si calculábamos estructuras $ace no muc$os a;os ' tratamos con laantigua norma E1@,# conozcamos el m%todo del momento tope# invención del

insigne Eduardo Torro&a# !ue utilizaba un diagrama rectangular algo diferente alde la actual EE ' con el !ue se resolvían todas las fórmulas de cálculo asolicitaciones normales en a!uella norma

Nosotros a!uí simplemente vamos a deducir la función del diagrama detensiones de la 2arábola1Bectángulo de una forma intuitiva matemática 'geom%trica Esta le' nos servirá para posteriormente plantear las ecuaciones dee!uilibrio en una sección cual!uiera

2ara ello partiremos del siguiente grá/co !ue pod%is encontrar en la norma# ensu artículo H@ ' en la /g H@a

Diagrama parábola1rectángulo del $ormigón

2ara $allar el diagrama nos basamos de/nimos como positivas lasdeformaciones de acortamiento# ' las tensiones de compresión# ' partimos de labase de !ue el $ormigón no es capaz de soportar tracciones ueda:

, Tramo para#-lco: la parábola se de/ne en el intervalo de

deformaciones IJ# JJJ=-# mediante la e0presión gen%rica de la cónicaparábola:

#debe cumplirse

1 f+J-KJ# o lo !ue es lo mismo# la curva pasa por el origen de coordenadas1 f+JJJ=-KJ? f cd# lo !ue signi/ca !ue para la deformación del = por mil# la

tensión resultante del $ormigón es igual a J? f cd +f cd es la resistencia decálculo del $ormigón a compresión-

1 fL+JJJ=-K J# es decir# no e0isten puntos angulosos en el encuentro entreel tramo recto ' el parabólico por lo !ue la pendiente en el e0tremo es$orizontal

"ediante estas tres condiciones ' resolviendo el sistema de ecuacionesresultante se llega a la parábola siguiente:



= Tramo recta"$ular: el tramo rectangular está de/nido enIJJJ=#JJJHM ' se $alla directamente a partir de la condición de !ue para

toda deformación ma'or o igual al = por mil la tensión del $ormigón valesiempre J? f cd

Como sabemos# a medida !ue el estado de solicitaciones en la sección se vaaseme&ando más a la compresión simple# el diagrama 2arábola1Bectángulo vaperdiendo parte del diagrama parabólico ' ganando tramo rectangular Elcaso límite de la compresión simple supone un rectángulo con altura J? f cd#donde todas las /bras alcanzan la deformación de JJJ= ' por tanto la sección esde rotura +ver art =,H de la EE sobre los dominios de deformación-

En el caso opuesto estarían los planos pertenecientes al dominio =# máscercanos a su límite con el dominio , +cerca de la profundidad de la /bra neutra0KJ-# en los !ue la /bra más comprimida del $ormigón no $a alcanzado todavíala deformación de JJJ= por lo !ue nos encontraremos diagramas !ue sóloconstan del tramo parabólico 'a !ue no llegan a alcanzar el límite de J?fcd

Diagrama sólo rectángulo del $ormigón en situación de compresión simple en límite del

dominio

Diagrama sólo parábola del hormigón en situación cercana al límite del dominio 2



Breve reseña del MEF (Método de los elementos finitos)

Cuando se produce la llegada de los primeros ordenadores en la d%cada de losJ# el cálculo de estructuras se encontraba en un punto en el !ue los m%todos de

cálculo predominantes consistían en t%cnicas de rela&ación +m%todos de Cross 'Oani- !ue se realizaban de manera manual ' por tanto resultaban bastantetediosos El cálculo de una estructura de edi/cación de varios pisos# por e&emplo#podía llevar varias semanas# lo cual suponía un coste sustancial de tiempo endetrimento de la posibilidad de invertir este en la optimización de la estructura

<a llegada de la computadora permitió el resurgimiento del m%todo de los

desplazamientos 'a conocidos en siglos anteriores +Navier# <agrange# Cauc$'-#pero !ue eran difíciles de aplicar dado !ue al /nal conducían a la resolución deenormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual

Se instaura entonces el cálculo matrcal !e estructuras Pste parte de ladiscretización de la estructura en elementos lineales tipo barra de los !ue se

conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nudos Se planteaentonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones dee!uilibrio a los nudos de la estructura Este sistema de ecuaciones sees!uematiza de la siguiente manera:

P & ' . u

Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nudos +vector u- !ue se$allan a partir de las fuerzas en los nudos +vector 2- ' de la rigidez de las barras+matiz de rigidez Q- Conocidos dic$os desplazamientos es posible determinar losesfuerzos en las barras La soluc-" o#te"!a es e6acta

2ara la resolución de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de laadaptabilidad de los algoritmos 'a conocidos +.auss# C$olesQ'# Crout# .radiente

con&ugado# etc- El a$orro de tiempo es impensable ' con ello el uso del m%todomatricial se e0tiende Este desarrollo se $ace especialmente notable enestructuras de edi/cación donde la discretización de los pórticos en barras# esprácticamente inmediata a partir de las vigas ' los pilares

Sin embargo# ' a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos

super/ciales mediante barras +losas con emparrillados# elementos curvosmediante apro0imaciones de elementos rectos# etc-# se plantean grandesdi/cultades ante estructuras continuas +super/cies ' vol7menes- ' congeometrías comple&as De a$í !ue sea precisamente dentro del campoaeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas t%cnicas del "E6

El ME4 es un m%todo num%rico de resolución de ecuaciones diferenciales 2araello traba&a discretizando la estructura en elementos de forma variada +puedenser super/cies# vol7menes ' barras-# !ue se conectan entre sí mediante nodos<a soluc-" a$ora es sólo apro6ma!a en función de los resultados obtenidospara los nodos El "E6 parte del cálculo matricial en el planteamiento dele!uilibrio en los nodos mediante un sistema de ecuaciones resultado de lacontribución de los elementos

Dada su generalidad el m%todo se amplió a otros campos no estructurales

como la conducción de calor# la mecánica de >uidos# etc donde compitió conotros m%todos num%ricos como el de las diferencias /nitas !ue a7n siendo másintuitivos# tenían de nuevo di/cultades de planteamiento para geometríascomple&as



Con la llegada de los centros de cálculo ' los primeros programas comercialesen los a;os RJ# el "E6 a la vez !ue se populariza en la industria refuerza susbases teóricas en los centros universitarios

En los a;os J se produce un gran crecimiento de la bibliografía así como lae0tensión del m%todo a otros problemas como los no lineales Se estudian nuevostipos de tipos de elementos ' se sientan las bases matemáticas rigurosas delm%todo# !ue $abía aparecido antes como t%cnica de la ingeniería !ue comom%todo num%rico de la matemática

2or 7ltimo# a partir de la d%cada de los ?J# con la generalización de los

ordenadores personales# se e0tiende el uso de los programas comerciales !ue seespecializan en los diversos campos# instaurándose el uso de pre 'postprocesadores grá/cos !ue realizan el mallado ' la representación grá/ca delos resultados Se continua en el estudio de la aplicación del m%todo a nuevosmodelos de comportamiento +plasticidad# fractura# da;o continuo# etc- ' en elanálisis de los errores

En la actualidad dentro del campo estructural el "E6 comparte protagonismocon el m%todo matricial# siendo muc$os los programas !ue mezclan el análisispor ambos m%todos debido sobre todo a la ma'or necesidad de memoria !uere!uiere el análisis por elementos /nitos Así se $a de&ado la aplicación del "E6para el análisis de elementos continuos tipo losa o pantalla# mientras !ue lospórticos siguen todavía discretizándose en barras ' utilizando el m%todomatricial

*ásicamente los pasos a seguir en el análisis de estructuras mediante elm%todo de los desplazamientos a trav%s del "E6 son:

, El continuo se divide# mediante líneas o super/cies imaginarias en un

n7mero de elementos /nitos Esta parte del proceso se desarrolla$abitualmente mediante algoritmos incorporados a programasinformáticos de mallado durante la etapa de preproceso

= Se supone !ue los elementos están conectados entre sí mediante unn7mero discreto de puntos o nodos# situados en sus contornos <osdesplazamientos de estos nodos serán las incógnitas fundamentales delproblema# tal ' como ocurre en el análisis simple de estructuras por elm%todo matricial

H Se toma un con&unto de funciones !ue de/nan de manera 7nica el campode desplazamientos dentro de cada elemento /nito en función de losdesplazamientos nodales de dic$o elemento



2or e&emplo el campo de desplazamientos dentro de un elemento linealde dos nodos podría venir de/nido por: u K N, u, N= u=# siendo N, ' N= loslas funciones comentadas +funciones de forma- ' u, ' u= losdesplazamientos en el nodo , ' en el nodo =

Estas funciones de desplazamientos de/nirán entonces de manera 7nicael estado de deformación del elemento en función de los desplazamientosnodales Estas deformaciones# &unto con las propiedades constitutivas delmaterial# de/nirán a su vez el estado de tensiones en todo el elemento# 'por consiguiente en sus contornos

Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos# tal !uee!uilibre las tensiones en el contorno ' cuales!uiera cargas repartidas#resultando así una relación entre fuerzas ' desplazamientos de la forma 6K Q u# !ue como vemos es similar a la del cálculo matricial

R <a resolución del sistema anterior permite obtener los desplazamientosen los nodos ' con ellos de/nir de manera apro0imada el campo dedesplazamientos en el elemento /nito

En la etapa de postproceso se presentan los resultados# generalmente de

forma grá/ca para su análisis

*G*<GU.BA6VA

Si bien con vuestro buscador $abitual podr%is dar con muc$os de los recursos sobre este tema

!ue e0isten en la Web# a!uí os de&o bibliografía variada# creo !ue todos disponibles actualmente

+=JJ-# desde te0tos mu' matemáticos a otros más estructurales pasando por algunos de nivelbásico# 1!ue clasi/car%is simplemente por sus títulos1# para todos a!uellos de vosotros !ue est%is

interesados en saber más sobre el "E6 :

En castella"o:

1 9GENCOGEWGC9# U C 1 TAX<UB# B < El Método de los Elementos Finitos Ed "c.raY ill 5

CG"NE

1 9GENCOGEWGC9# U C 1 TAX<UB# B < El Método de los Elementos Finitos. Formulación básica y

problemas lineales -Volumen 1- y Mecánica de sólidos y fuidos. Dinámica y no linealidad -Volumen

2- Ed "c.raY ill 5 CG"NE Cuarta Edición ,@@

1 *E<TBZN# 6BANCGSCU eor!a "eneral del Método de los Elementos Finitos. #otas de clase $

%urso de Doctorado 1&&'-1&&& Departamento de "ecánica Estructural ' ConstruccionesGndustriales ETS Gngenieros industriales "adrid



1 [Z94E9# "AN4E< 1 <\2E9# E<UGSA El Método de los Elementos Finitos aplicado al análisis

estructural "anuel [áz!uez ' Eloísa <ópez Ed Noela "adrid =JJ,

1 U]ATE# E4.ENGU %álculo de estructuras por el Método de los Elementos Finitos. (nálisis

Estático )ineal Ed CG"NE ,@@

1 A<ABC\N Z<[ABE9# E 1 Z<[ABE9 CA*A<# .\"E9 <EBA# "a S .ómez <era Ed Bevert% ,@@J

1 AB.^E<<ES Z<[ABE9# BA"\N Fundamentos de elasticidad y su pro*ramación por elementos

+nitos Ed *ellisco "adrid ,@@=

1 CANDB42AT<A# T42ATG B 1 *E<END4N.4# ASUO D ,ntroducción al Elemento +nito en

,n*enier!a Ed 2rentice all "%0ico# ,@@@

1 DE <A BUSA U<G[EB# E"G<GU Modelos dierenciales y numéricos en la ,n*enier!a. Métodos de

Fourier de dierencias y elementos +nitos Ed *ellisco "adrid ,@@@

1 2EBEA# BGCABDU ,ntroducción al Método de los Elementos Finitos Ed Sección 2ublicaciones de

la ETS de Gngenieros Gndustriales de la 4niversidad 2olit%cnica de "adrid

1 6UBNUNS .ABCVA# FUSP "ABVA El Método de los Elementos Finitos en la in*enier!a de

estructuras Ed "arcombo 1 4niversidad 2olit%cnica *arcelona

En "$l7s:

1 BAU# SGN.GBES4 S /e +nite element Met/od in en*ineerin*. Ed *utterYort$1einemann

,@@@

1 *BAESS# DGETBGC Finite elements. /eory0 ast soler0 and applications in soil mec/anics Ed

Cambridge =JJ, Segunda Edición

1 *4CANAN# .EUB.E B Finite element (nalysis Ed "ac1.raY ill ,@@

1 TU"PE# [GTAB "alerkin Finite Element Met/ods or arabolic roblems Ed Springer ,@@

1 OATTAN# 2G Matlab *uide to Finite Elements0 an interactie approac/. Ed Springer =JJH

1 "UA[ENG# SAEED 6inite Element Anal'sis T$eor' and Application Yit$ ANSXS Ed 2rentice all,@@@

1 4TTUN# DA[GD [ Fundamentals o Finite Element (nalysis. "c .raY1ill

Estudio de los modelos de oscilador con un grado de libertad !ociones parael cálculo s"smico

Si !ueremos entender correctamente las normativas sísmicas# ' en nuestro

caso la normativa NCSE1@# lo correcto será !ue entendamos los principiosbásicos del análisis dinámico +teoría de ondas ' vibraciones- 2ara ello vamos adar a!uí las primeras nociones acerca de las características de los movimientosbásicos: el movimiento armónico simple# el movimiento armónico simpleamortiguado ' al /nal el caso sísmico Cada uno de ellos se corresponde con unmodelo de oscilador# de cu'o estudio podemos obtener las bases dinámicas delmovimiento

E0isten como $emos dic$o tres modelos dinámicos sencillos cu'o estudio nospermitirá el análisis del modelo sísmico# estos son:

, El oscilador con vibración libre no amortiguada= El oscilador con vibración libre amortiguadaH El caso sísmico

En todos estos casos suponemos !ue e0iste sólo una sola partícula concentratoda la masa ' !ue puede desplazarse e0clusivamente en una dirección# por lo!ue $ablamos de un 7nico grado de libertad



Aclararemos primero el concepto de vibración libre 2or este se entiende frenteal de vibración forzada# a!uella vibración libre en la !ue no e0iste una fuerzaimpulsora periódica !ue realimenta el movimiento [eamos el e&emplo con uncolumpio Si empu&áramos una sola vez la sillita se trataría de una vibración libre#de $ec$o sería una vibración libre amortiguada dado !ue el rozamientoterminaría por parar el sistema El caso de la oscilación forzada la tenemostambi%n en el columpio# cuando cada vez !ue ba&a el asiento volvemos aempu&arlo Como se $abrá e0perimentado# de esta segunda manera es más fácilconseguir llegar más arriba

2asemos a ver las principales características de dic$os modelos: 1. El oscla!or co" *#rac-" l#re "o amort$ua!a 89LNA

Este es el oscilador más sencillo, queda definido por las siguientes características mecánicas

!er figura"#

• "asa m: suponemos concentrada la masa en un punto• Bigidez O# en este caso se identi/ca con la rigidez de la barra !ue une a

la masa con el suelo <a rigidez produce una fuerza recuperadora delmovimiento# !ue en nuestro caso consideraremos elástica +f eKO0- Enestructuras de edi/cación la O se obtendrá a partir de la función de larigidez a cortante de los pilares# generalmente la suma de las rigideces deestos

$igura %. &aracterísticas fundamentales del '()*+

En este modelo no se e0plica la causa inicial del movimiento# suponemos !uela partícula sufrió un desplazamiento de su posición de e!uilibrio !ue le $izocomenzar a vibrar A falta de amortiguación el oscilador permanecerácontinuamente en movimiento

Si pusi%ramos una lamparilla en el punto donde se encuentra la masa m# 'enfocáramos al modelo con una pe!ue;a cámara situada en el tec$o tal !ue sedesplazara uniformemente en sentido perpendicular al movimiento del osciladorveríamos una grá/ca parecida a la de la /gura = En el e&e de las ordenadas serepresenta la posición de la partícula !ue contiene la masa respecto del tiempo0+t-



6igura = "ovimiento del U[<NA

Este movimiento sinusoidal se conoce como movimiento armónico simpleE0iste una relación directa entre el movimiento armónico simple ' el movimientocircular asociado: un movimiento circular uniforme se pro'ecta como unmovimiento armónico simple en su propio plano _ver /gura H1 Es por ello !ue ala $ora de de/nir las magnitudes !ue de/nen el movimiento armónico simpleconviene tener en mente la analogía con el movimiento circular

6igura H Belación entre el movimiento armónico simple ' el movimiento circular

[eamos pues los parámetros !ue de/nen el movimiento:• <a amplitud A donde se alcanza el má0imo desplazamiento• <a pulsación o frecuencia circular Y# !ue es una velocidad angular en la

analogía del movimiento circular ' tiene por dimensiones rad5s Se de/ne

como: • El periodo T# !ue podemos de/nir simpli/cadamente como el tiempo

transcurrido entre dos má0imos sucesivos +esta distancia se denomina

longitud de onda l- En el es!uema del movimiento circular se correspondecon el tiempo !ue se tarda en recorrer una circunferencia completa

• <a frecuencia cíclica f# !ue se de/ne a partir del periodo como:



<a frecuencia cíclica por el tiempo !ue dura el movimiento nos sirve para

determinar el n7mero de ondas generadas: N K f ` t• El ángulo de fase inicial del movimiento f o# !ue al igual !ue antes se

deduce por una relación con el movimiento circular uniforme# aun!uetambi%n podemos observar su sentido físico en la /gura =

[amos a estudiar el e!uilibrio del oscilador Debemos darnos cuenta de !ue elmovimiento del oscilador posee aceleración !ue varía con el tiempo a+t-# dado!ue la partícula llega varía su velocidad a lo largo del mismo +esta es nulacuando se encuentra en su punto de má0imo desplazamiento-

A$ora 'a estamos en disposición de analizar el e!uilibrio 2ara ello nosserviremos del pr"cpo !e D:Alem#ert: 4n sistema dinámico está ene!uilibrio cuando todas las fuerzas !ue act7an en el mismo# incluidas las de

inercia# cumplen las ecuaciones de e!uilibrio estático en cada instante detiempo2or tanto debe cumplirse la segunda le' de NeYton# siendo las fuerzas

e0istentes la de recuperación de la barra !ue suponemos elástica ' la de inerciadebida a la aceleración de la partícula 2or tanto# !ueda:

6igura E!uilibrio del U[<NA

f i+t- f e+t- K J

El signo +1- de las fuerzas de inercia surge por el $ec$o de oponerse a la aceleración

Siendo +G- la ecuación !ue representa al movimiento del U[<NA Psta

ecuación podría tambi%n ponerse en función de Y:

;. El oscla!or co" *#rac-" l#re amort$ua!a 89LAEl siguiente modelo será el oscilador con amortiguamiento 4n U[<A !ueda

de/nido por las características anteriormente tratadas ' además por elamortiguamiento !ue se de/ne $abitualmente seg7n la le' de Oelvin1[oigt#$aci%ndose proporcional el amortiguamiento a la velocidad del movimiento



+amortiguamiento viscoso-# actuando siempre en sentido contrario a %ste Elamortiguamiento viene de/nido por su constante de amortiguamiento c ' lafuerza debida al amortiguamiento por f aKc 0L siendo 0L la derivada de la posiciónrespecto al tiempo# es decir la velocidad Este amortiguamiento viene a simularlas características reales de la estructura en la !ue la oscilación terminadesapareciendo debido al rozamiento# las fuerzas de fricción internas ' la mismaviscosidad del material

El modelo !ueda como sigue:

6igura Características fundamentales del modelo de U[<A

[eamos el funcionamiento del UASA En un instante dado tJ se desplaza a lapartícula de su posición de e!uilibrio# de modo !ue el sistema comienza a vibrar<a rigidez de la estructura $ace !ue se produzca una fuerza restauradora ' llevea la masa primero a su lugar original ' despu%s a un punto a una distancia algomenor !ue d en sentido contrario al primero como consecuencia delamortiguamiento Este mismo proceso se repite $asta !ue el oscilador vuelve alreposo

6igura R Análisis del movimiento del U[<A respecto al tiempo

[amos a estudiar el e!uilibrio del oscilador A$ora además de las fuerzas !ueintervenían en el modelo anterior# aparece la fuerza de amortiguamiento f a K c`0L!ue se opone al movimiento ueda así:



6igura E!uilibrio del U[<A

fit" fet" fat"-

/ sustitu/endo el !alor de las fuerzas#

0iendo 11" la ecuación que representa al mo!imiento del '()+. Es importante dicha

ecuación dado que la ma/oría de las normati!as trabaan con ella a la hora de establecer las

características dinámicas de sus modelos con !arios grados de libertad. Estas ecuaciones no

serán más que la generalización de la del '()+ a !arios grados de libertad por e3 el modelo

de cortante".

;. El oscla!or e" el caso s<smco.Este modelo cu'o nombre se $a tomado de la referencia del profesor *arbat

+r,-# representa me&or !ue los anteriores el comportamiento ante el sismo 'a !uetiene en cuenta el origen de la vibración asta a$ora nuestro modelo estaba enmovimiento cuando comenzábamos su estudio# no planteándonos como $abíasurgido dic$o desplazamiento Sin embargo# la vibración de las estructuras surgecomo respuesta a la acción de las ondas sísmicas# !ue vamos a traducir en unmovimiento del terreno !ue posee una aceleración# una velocidad ' undesplazamiento dependientes del tiempo 1a+t-# v+t-# s+t-1 Este supuesto es

importante 'a !ue a$ora el sistema de referencia elegido +e&e - no es inercial alestar acelerado lo !ue in>uirá en el e!uilibrio



6igura ? "odelo del caso sísmico

aremos un breve comentario acerca de los sistemas no inerciales No

debemos temer a las fuerzas de inercia# estamos mu' acostumbrados a ellas# pore&emplo son a!uellas !ue nos $acen caer cuando no vamos bien agarrados en elvagón del metro si el vagón acelera parece como si nos empu&aran $acia la coladel vagón# al contrario si el vagón frena nuestro cuerpo sigue $acia delante porinercia Esta fuerza de la !ue en principio parece !ue desconocemos su origen#tiene su causa en la aceleración del movimiento# de $ec$o $a estado presente$asta a$ora# pero nula Esta fuerza es independiente de la !ue tambi%n es deinercia ' se $a considerado anteriormente debida a la aceleración de la partículade masa A$ora la aceleración a tener en cuenta es la del modelo completo comosólido rígido deslizando sobre el carrito _ver /gura ?1

2lanteemos pues el e!uilibrio# nótese !ue el diagrama de fuerzas es el mismo

!ue el del modelo anterior# sólo !ue en las fuerzas de inercia se incluirá un nuevot%rmino !ue $ace referencia a la nueva aceleración: ueda:

f i+t- f e+t- f a+t- K J

' sustitu'endo el valor de las fuerzas:

ecuación !ue de/ne las ecuaciones de movimiento del caso sísmico ' con lo!ue $emos completado la e0posición introductoria !ue nos $abíamos planteado

Es importante comentar !ue los modelos anteriores pese a su sencillez 1dado

!ue tan sólo poseen un grado de libertad# este es# el desplazamiento $orizontalen la coordenada 1# son un instrumento mu' 7til ' el punto de partida paraentender sistemas más comple&os

2or otro lado con estos modelos 'a podríamos analizar la respuesta dinámicade algunas estructuras: a!uellas en las !ue pudi%ramos suponer !ue su masaestá concentrada en un punto# ' la rigidez del sus pilares frente a dic$odesplazamiento puede asimilarse a la rigidez O de dic$o oscilador _la rigidez de labarra como $emos supuesto en las /guras1# se podrían estudiar con estos

modelos 4n e&emplo de dic$as estructuras pueden ser los depósitos# las torresde control# los pórticos de una altura# etc



*ibliografía:

r, Estructuras sometidas a acciones sísmicas Cálculo por ordenador Ale0 *arbat ' Fuan

"i!uel Canet Ed CG"NE

r= "onografías de Gngeniería Sísmica Conceptos de cálculo de estructuras en las normativas de

dise;o sismorresistente Ale0 *arbat ' Sergio Uller "onografía CG"NE GS1= ,@@?

rH [ibraciones ' ondas A 2 6renc$ 2ublicación del "assac$usetts Gnstitute of Tecnolog' EdBevert% SA

r 2roblemas de vibraciones en estructuras Becomendaciones ' manuales t%cnicos Estructuras

' edi/cación +E1?- Autores varios Ed Colegio de Gngenieros de Caminos# Canales ' 2uertos ' ACE

r Dise;o sísmico de edi/cios *azán ' "eli Ed <imusa

En #ué consiste la Mecánica de la Fractura $nglis % &riffith

<a mecánica de la fractura es un modelo de estudio del comportamiento de losmateriales !ue se situaría &unto a la mecánica del medio continuo +más conocidapor todos nosotros-# o la mecánica del da;o continuo

<a diferencia principal entre estos tres modelos de comportamiento está en elestado de deterioroL en !ue se encuentra la materia en estudio "ientras !ue lamecánica del medio continuo trata de simular el comportamiento de materialessanos o perfectos# la mecánica del da;o continuo analiza los materiales cuandoestos poseen micro/suras ' la mecá"ca !e la 5ractura cuando se $a formado'a se =a 5orma!o u"a macro>sura

Dado !ue todos los materiales contienen defectos será importante conocer lain>uencia !ue estos tienen en la resistencia del material Se impone así un

dise;o con la /losofía de adoptar tolerancias para tales defectos Tambi%n esimportante el estudio de la mecánica de la fractura en relación con la fatiga ' elcrecimiento de las grietas debidas a %sta

Esta rama de la mecánica no es nueva# sus comienzos se situan en ,@,Hcuando /. E. I"$ls +,- estudió la rotura de placas con agu&eros en su interior alas !ue sometía a estiramientos por sus bordes

Se trataba de analizar las tensiones !ue aparecían al estirar una placa in/nitacon un agu&ero elíptico en su interior considerablemente menor !ue el tama;o dela placa Tras e0perimentar con distintas placas ' agu&eros# Gnglis se dio cuentade !ue en los bordes de estos +punto A de la /gura- las tensiones eran ma'oresde lo esperado ' de !ue no era la forma del agu&ero lo !ue caracterizaba larotura# sino la longitud de la elipse !ue era perpendicular a la carga ' la

magnitud del radio de curvatura al /nal del agu&ero El más largo de los agu&eros+con e&e ma'or de la elipse más largo- ' con el más pe!ue;o radio de curvaturaestaba sometido a las tensiones más altas



"ás tarde# en ,@=J# A.A. Gr?t= +=- llevó más allá el traba&o de Gnglis .rit$pensó de nuevo sobre el problema de la placa ba&o tensión# pero %l estiró laelipseL para convertirla en una grieta .rit$ $izo una serie de e0perimentossobre alargamiento $asta la rotura de alambres con ' sin fallas# comprobando!ue en los alambres defectuosos la rotura era más rápida debido a !ue lastensiones incrementaban su magnitud $asta el triple o cuadruple

De la misma manera e0perimentó sobre placas pe!ue;as de vidrio# estiradas atracción# con una grieta en su interior# perpendicular a la carga Así determinó!ue las tensiones al /nal de la grieta eran mu' altas ' la grieta debilitaba elvidrio signi/cativamente

A partir de estas pruebas conclu'ó !ue los materiales !ue están fracturados#

no importa lo pe!ue;a !ue sea esa fractura# act7an de manera mu' diferente alos !ue no tienen grietas

.rit$ tambi%n introdu&o la noción de fuentes ' sumideros de energía en la

propagación de las grietas Di&o !ue para !ue una grieta pudiera crecer# eranecesario tener su/ciente energía potencial en el sistema para crear la nuevasuper/cie de rotura En de/nitiva u"a 5ractura será "esta#le s la e"er$<a!e rela@ac-" !esarrolla!a por la 5ractura +al crecer la $reta e6ste u"área a su alre!e!or ue se rela@a !e las te"so"es es mayor ue auella"ecesara para crear u"a "ue*a super>ce !e 5ractura.

<a resolución del problema de estabilidad planteado anteriormente en t%rminos

de energía# conlleva a la de/nición de una tensión crítica para la cual una grietade longitud dada comienza su proceso crítico de e0pansión o bi%n de otramanera a una longitud de grieta crítica 1lo"$tu! cr<tca !e $reta !e Gr?t=para una tensión dada# de manera !ue si dic$a longitud no es superada# la grietano continuara su proceso de rotura

Actualmente la "ecánica de la 6ractura es de gran importancia ' se utiliza enel dise;o ' comprobación de todo tipo de estructuras +presas# barcos#engrana&es# etc- especialmente mediante la a'uda de m%todos num%ricos comola simulación por elementos /nitos

Artículos:

1+,- Stress in a plate due to t$e presence of cracQs and s$arp corners 2roc Gnt NavalAr!uitects# NRJ ,@,H C E Gnglis



1+=- T$e p$enomena of rupture and >aY in solids Trans Bo'al Societ' of <ondosn A1==

G# ,@=J

2ara saber más:

1"ecánica de fractura Fos% <uis Arana ' Favier Fes7s .onzález Servicio Editorial4niversidad del 2aís [asco

16ractura mecánica 4n enfo!ue global Sergio Uller CG"NE *arcelona1Ediciones 42C

16ractura de materiales "F Anglada# F Alcalá# <" <lanes# A" "ateo# "N SalánEdiciones 42C

1Estructuras o por !u% las cosas no se caen F E .ordon Celeste Ediciones

1Gntroduction to fracture mec$anics S Sures$

1$ttp:55simscienceorg5cracQs5intermediate5$istor',$tml

http://simscience.org/cracks/intermediate/history1.html

http://simscience.org/cracks/intermediate/history1.html

matriz de rigidez y el. finitos

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