max sense der gÖdelsche beweis im system der … · 8 max sense der "gÖdelsche beweis"...
TRANSCRIPT
8
Max Sense
DER "GÖDELSCHE BEWEIS" IM SYSTEM DER THEORETISCHEN SEMIOTIK
l.
"Ein Beweis ist nur das Pflaster, auf dem der Karren des Mathematikers rollt". Ch.S. Peirce
Es handelt sich im Folgenden um eine ergänzende s e m i o -
t i s c h e Begründung zum sogenannten "Gödelschen Beweis" des
Satzes, daß eine zugleich widerspruchsfreie und vollständige
Ableitung aller relevanten Sätze einer mathematischen Theorie
aus ihrem Axiomen-System (wie es Hilberts diesbezügliche
Konzeption verlangte) nicht möglich sei (1931).
Zunächst bedeutet also Gödels "Beweis", daß die von Hilbert in
augurierte metamathematisch und finitistisch intendierte
axiomatisch-deduktiv .. logische Methode der "Tieferlegung der
Fundamente" logisch-mathematischer Systeme keineswegs als die
t i e f s t e "Tieferlegung" der "Fundamente" verstanden werden
kann. Darüber hinaus bedeutet damit G öde ls "Beweis" jedoch
zweifellos auch eine deutliche Limitierung der logisch-axiomatisch
deduktiven Beweisidee bzw. ihres Folgerungsschemas derart, daß
die t i e f e r e "Tieferlegung" erst hinter der bezeichneten
Limitierung beginnt. Tatsächlich besteht die logische und mathe
matische Denkweise im reinen Sinne und damit das Schema einer
Beweisführung in einem F o 1 g e r u n g s s y s t e m, dessen
letzter Schluß es als B e w e i s bestätigt. Die widerspruchs
frei gedachte W a h r h e i t des letzten Schlusses ist die nur
denkend erscheinende i n t e 1 1 i g i b 1 e R e a 1 i t ä t
(Wirklichkeit) der Entität "Beweis".
Schon Felix Klein hat in seinem "Erlanger Programm" (1872) davon
gesprochen, daß das Verhältnis der Mathematik, genauer: der
Geometrie, zur Wirklichkeit ausserhalb des Denkens, außerhalb
des mathematischen Denkens liege und demnach auch mathematisch
nicht diskutiert werden könne. Hugo Dingler formuliert dazu:
"Der Mathematiker hält sich allein an die rein logischen Zusammen
hänge, das heißt,seine Arbeit beschränkt sich auf die hypothetisch
deduktiven Systeme." Damit stellen also Klein und Dingler fest,
"daß die Mathematik kein Mittel besitzt, um die Frage der Wirklich
keit zu behandeln". (vergl. H.Dingler,"Geometrie und Wirklichkeit",
Dialectica, 35/36, 1955) Doch auch das, was n u r den k e n d,
d.h. als formulierter oder formalisierter Gedanke (wie Hilbert,
Curry und die Bourbaki es auch ausdrücken) existent wird, ist
schließlich eine Wirklichkeit, eine in Zeichenrelationen themati
sierte "Realität", wie die Theoretische Semiotik sagt. Am frühsten
in der Geschichte der Mathematik in Amerika hat sich wohl Benjamin
Peirce, ·der Vater von Charles S. Peirce und (nach F. Klein) eigentli
che Begründer einer eigenständigen mathematischen Forschung dieser
Konzeption der Mathematik angenähert. In den von J.M. Peirce, dem
Bruder von Charles, 1881 herausgegebenen Lowell Lectures (1877-78)
"Ideality in the Physical Sciences" gibt Benjamin eine diesbezügliche
Definition der Mathematik: "Ideality is pre-emintly the foundation
of the mathematics". (p.l65) Diese "Ideality" des Verfassers der
"Linear Associ-ative Algebra" suggeriert natürlich "Platonismus",
und S.F. Barker hat denn auch in seinem Beitrag zur Festschrift
zum sechzigsten Geburtstag Kurt Gödels ("Foundations of 1-'lathematics",
1969) von einem "Platonismus" gesprochen, der in Wahrheit ein
"Realismus" sei', "a realm ;of real, non-spatial, non-mental,
timeless objects", kurz ein mathematischer Realismus. In seinem
Zusammenhang reflektiert B~rker natürlich auch auf Gödels Unvoll
ständigkeitstheorem. Er sieht es als eine Konsequenz des Theorems
an, daß weder die Zahlentheorie noch die Mengentheorie gleich-
zeitig "consistent and complete" formuliert werden können, woraus
folge, daß weder "Mengen" noch "Zahlen" als reale Objekte im Sinne
eines üblichen materialen Objekt-Realismus verstanden werden können.
Alle diese limitierenden Probleme wissenschaftstheoretischer Grund
lagenforschung legten es nahe, sich mit Übergängen bzw. Zuordnungen
zwischen system-interner Mathematik und dem mathematik-externen
System der Wirklichkeit zu befassen. Es wird demnach ein operables
theoretisches System benötigt, in welchem diese Übergänge bzw.
Zuordnungen zum formalen und inhaltlichen Thema gehören, d.h.
innerhalb dessen Methodik die zeichen- und sprachinterne Ausdrucks
bildung zugleich einem definierten zeichen- und sprachexternen
System von rekonstruierbaren Realitätsverhältnissen zugeordnet ist.
9
Dieses benötigte Doppelsystem zeichenthematisierter Repräsentations
klassen und coordinierter zeichenthematisierter Realitätsklassen
liegt gegenwärtig nur in der Theoretischen Semiotik vor. (vergl.
M. Bense , Vermittlung der Realitäten, 1976; sowie E. Walther,
Allgemeine Zeichenlehre,2.Ed. 1979).
2 .
Die Theoretische Semiotik ist eine systematische Weiterentwicklung
der von Peirce (zwischen 1865 und 1867) eingeführten "triadischen
Zeichenrelation", bestehend aus einer geordneten Folge einer
"monadischen", "dyadischen" und "triadischen Relation".
Für diese triadisch geordnete Relationsfolge schreibt er auch
"Firstness" (Erstheit), "Secondness" (Zweitheit), "Thirdness"
(Drittheit) im Sinne formalisierter "Universal- bzw. Fundamental
kategorien". Auf den triadischen Ze·ichenbegriff angewendet, spricht
er vom "Zeichen als solchem" (Erstheit), vom "Obj~ktbezug" des
Zeichens (Zweitheit) und vom "Interpretantenbezug" des Zeichens
(Drittheit).
Heute schreiben wir für die "triadische Zeichenrelation":
ZR 3 ( . 1., . 2., .3.} bzw. ZR 3 (M, O, I)
Diese formalisierte bzw. generalisierte Form der triadischen
Zeichenrelation ist noch kein konkretes Zeichen, sondern nur das
fundamentalkategoriale Schema, das Repräsentationsschema des
generellen dreisteiligen Peirceschen Zeichenbegriffs.
Erst mit der Einführung der (auf Peirce zurückgehenden) S u b-
z e i c h e n - die als cartesische (innere) Produktbildungen auf
den drei Gliedern der fundamentalkategorialen Relation (als Zeilen
bzw . Spalten) konstruierbar sind - in die allgemeine formale
Zeichenrelation an Stelle der kategorialen Glieder gewinnt man die
differenzierten triadischen Zeichenrelationen als zehn operable
"Zeichenklassen", die ich hier nur andeute:
Die drei homogenen Zeichenklassen für M, 0 und I
3.1 2.1 1.1 (bzw. IM OM MM)
10
3.2 2.2 1.2 (bzw. IO 00 MO)
3.3 2.3 1.3 (bzw. II OI MI)
Nun ist ein Zeichen als solches n u r v o 1 1 s t ä n d i g als
t r i a d i s c h e Relation, nicht als monadische und nicht als
dyadische Relation, d.h~ nicht als ein Elementarzeichen (M, 0 oder
I) und nicht als dualer Zeichenbezug (wie 1.2, 2.3, 3.1 etc.). Das
heißt aber, daß nur das v o 1 1 s t ä n d i g e S u b z e i -
c h e n des Interpretanten, also "3.3" bzw. "II" bzw. der "argu
menti s che Interpretant" ,etwa im Sinne eines vollständigen logisch
mathematischen "Beweises", dem Begriff der Vollständigkeit (die als
triadische Relation fungiert) genügen kann. Dazu ist jedoch noch
zu bemerken, daß, wie der monadische, dyadische und triadische
T e i 1 der triadischen Relation einen externen B e z u g auf
weisen, auch die vollständige Relation jeder Zeichenklasse als
Ganzes einen (zeicheninternen oder zeichenexternen) differenzierten
kompositionellen, homogenen oder inhomogenen Realitätsbez ug aufweist ,
der al s solcher bisher oft vernachlässigt wurde, Die operationelle
Regel, die, angewendet auf die zur Disposition stehende Zeichen-
klasse,au s dieser die singulär determinierte "Realitätsthematik"
( wie wir sage; ) erreichbar macht, stammt ursprünglich aus der
Geometrie. Es handelt sich um -das "Poncelet-Gergonnesche Prinzip
der Dualität". In der projektiven Geometrie (die metrische Geometrie
kennt dieses Phänomen nicht) handelt es sich dabei, wie R. Courant
und H. Robins sich ausdrücken, um eine Vertauschungsregel für als
"dual" bezeichnete Elemente wie z.B. Punkt und Gerade. (Führen wir
für die Operation der Dualisierung das bezeichnende "x" ein, dann
erweisen z.B. sich folgende Aussagen als dual:
Eine G e r a d e Ein p u n k t
wird bestimmt durch wird bestimmt durch X
zwei getrennte zwei sich schneidende
Punkte Geraden
Die "Dualität" (Vertauschungsrelation) dieser (definitorischen)
Sätze ist, wie man bemerkt, auch dadurch gegeben, daß sie wechsel-
11
seitig eine projektive Realisations~F o r d e r u n g (postulato
r isch) einschließt.
Da nun weiterhin die Repräsentationsverhältnisse der "triadischen
Zeichenrelationen" der "triadischen Zeichenklassen" generell als
externe Be z ü g e und damit als semiotische P r o j e k t i o n
der fundamentalkategorial, d.h. auf "M", "0" und "l"J konstituierten
"triadischen Zeichenklassen" aufgefaßt werden können, liegt es nahe,
das, was Peirce ursprünglich lediglich als "Trichotomie" bzw.
"trichotomische" Haupteinteilung der Zeichen bezeichnete, als
trichotomischen zeichenklassen-extern postulierbaren bzw. zu
fordernden, also coordinierbaren Bezug auf ein durch jeweils eine
Zeichenklasse hypothetisch - definitorisch eingeführtes Realitäts
verhältnis zu beziehen. Wir bezeichnen diesen Bezug der Zeichen
klasse auf ein vollständiges kompositionelles Realitätsverhältnis
als deren Re a 1 i t ä t s t h e m a t i k • Es wird, wie bereits
angedeutet, durch Dualisierung der Ze.ichenklasse (umkehrbar-ein
deutig) gewonnen. Heute ist dieses Dualitätssystem , aus den zehn
triadischen "Zeichenklassen" und ihren dual coordinierten zehn
Realitätsthematiken ein zentraler und fester Bestandteil der
Theoretischen Semiotik.
Die nachstehende tabellarische Übersicht über die zehn Zeichen
klassen und ihre zehn Realitätsthematiken, deren strukturelle
Kennzeichnungen, semiotische Realitätsverhältnisse als solche
mit typischen Beispielen sowie den von Peirce umgangssprachlich
bzw . metasemiotisch (wie wir heute sagen) vorgegebenen Charakteristi
ken :
12
Zkl Rth Struk. them.Realität Beispie 1
3.1 2.1 1.1 X 1.1 1.2 1.3 hom Vollst. M Repertoir e s
(Metasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: Qualiz.e ichen ,
Sinzeichen, Legizeichen)
3.1 2.1 1.2 x 2.1 1.2 1.3 ihom M-them. 0 Mode 11 , Foto
(Metasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce : deskriptiv,
designativ, kopulativ)
3.1 2.1 1.3 x 3.1 1.2 1.3 ihom M-them. I Funktion, Urte il
(M e tase miotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: hypothetisch,
kategorisch, relativ)
3.1 2.2 1.2 x 2.1 2.2 1.3 ihom 0-them. M Gleichung, Duft
(Metasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: abstraktiv,
konkretiv, kollektiv)
0-I-them.M ••••• Ze i c hen
3.1 2.2 1.3 x 3.1 2.2 1.3 ihom~M-I-them.O ••••• Zah~ ...
M-O-them.I ••••. Apr1or1t a t
(Metasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: Instinkt, Erfahrung ~
Denken)
3.1 2.3 1.3 x 3.1 3.2 1.3 ihom I-them. M. Alphabeth , Code
(Metasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: suggestiv,
imperativ, indikativ)
3.2 2.2 1.2 x 2.1 2.2 2.3 hom Vollst. 0 Abdrücke,Spuren,
Teile
(Me tasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: Icon, Index, Symbol)
3.2 2.2 1.3 x 3.1 2.2 2.3 ihom 0-them. I Regel, Verkehrs-
z e ichen
(Metasemiotische Kealitätsbeschreibung n. Peirce: sympathetisch,
schockierend, gewohnt)
3.2 2.3 1.3 x 3.1 3.2 2.3 ihom I-them. 0 gen e reller Satz,
Implikation
(Metasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: saturi e rend,
praktisch, pragmatisch)
3.3 2.3 1.3 x 3.1 3.2 3.3 hom Vollst. I Be w e i s , Sc h 1 u ß
(Metasemiotische Realitätsbeschreibung n. Peirce: rhematisch,
dicentisch, argumentisch)
(Zkl = Zeichenklasse, Rth = Realitätsthematik, D = Dualisation, Struk. =Struktur, hom = homogen, inhom = inhomogen, them.Realität die durch die Fundamentalkategorien gekennzeichnete thematisierte bzw. kompositionelle Realität.)
13
Mit diesem tabellarischen Überblick wird zweierlei klar: l
1 . das System der Theoretischen Semiotik ist ein Dualitätssystem
aus (triadischen) "Zeichenklassen" und ihren zugeordneten
( tri c h o to m i s c h e n ) " Re a li t ä t s t h e m a t i k e n " •
2. das System der Theoretischen Semiotik ist ein operables
4.
F u n d i e r u n g s s y s t e m im Sinne endgültiger Be
gründung auf tiefstliegender, fundamentalkategorialer, drei
steilig geordneter, hypothetisch repräsentierter W e 1 t -
r e 1 a t i o n.
Ich kann zu meinem eigentlichen Thema übergehen: zur Entwicklung
der s e m i o t i s c h e n Grundlagen für die 1 o g i s c h e
Konstituierung des sogenannten "Gödelschen Beweises".
Was das hierarchische Moment der in- der Tabelle verzeichneten
kompositionellen Realitätsstufen und ihrer entsprechenden Re
präsentationswerte angeht, so erscheinen sie (vertikal) vom nieder
sten Wert des vollständigen "M" (VM=9) über das vollständige "0"
(V0=12) bis zum höchsten Wert des vollständigen "I" (VI=l5).
Den höchsten Repräsentationswert, d.h. den höchsten Anteil an
intelligiblen Bestimmungsstücken der Zeichenklasse bzw. Realitäts
thematik bzw. an abstrakter, formaler axiomatisch-deduktiver
V o 1 1 s t ä n d i g k e i t der Beweisfähigkeit erreicht
natürlich der a r g u m e n t i s c h e I n t e r p r e t a n t
(I 3 . 3). arg
Zkl(I~;~>:3.3 2.3 1.3 x Rth(VI):3.1 3.2 3.3;
d . h. durch den argumentischen Interpretanten ist die Voll~tändig
keit eines Beweises im Prinzip semiotisch repräsentiert.
Berücksichtigen wir nun weiterhin das Repräsentationsschema des
anderen Kriteriums eines logischen Beweises, nämlich die axio
matisch-deduktive W i d e r s p r u c h s f r e i h e i t
(W v f), dann findet man dafür den d i c e·n t i s c h e n
I n t e r p r e t a n t e n (ID3 : 2 ). lC
Zkl(I6i~):3.2 2.3 1.3 x Rth(wf):3.l 3.2 2.3,
14
Man bemerktr daß die Realitätsthematik der W i d e r s p r u c h s
f r e i h e i t eine Repräsentationswert-Einheit (mit Rpw=l4)
v o r der Realitätsthematik der V o l 1 s t ä n d i g k e i t des
axiomatisch-deduktiven Ableitungssystems, also des vollständigen
Beweises bzw. des arg'umentischen Interpretanten (mit Rpw=l5) liegt.
Der Gödelsehe Unvollständigkeltsbeweis für das w i d e r -
s p r u c h s f r e i e axiomatisch-deduktive Beweissystem be
deutet also die Postulierung der Nicht-Vollständigkeit als beweis
bares Faktum.
Nun ist der Verneinungsbegriff der Theoretischen Semiotik durchaus
auch ein Repräsentationsbegriff, d.h. er bezieht sich auf die Ver
neinung. einer gewissen Repräsentation (Zeichenklasse oder Re
alitätsthematik) bzw. eines Repräsentationswertes. Das besagt
weiterhin, daß die Verneinung einer gewissen Repräsentation sich
nicht auf Wahrheitsverhältnisse, sondern auf Realitätsverhältnisse
bezieht. Das wiederum bedeutet, daß eine s e m i o t i s c h e
V e r n e i n u n g stets einen R e a l i t ä t s w e c h s e 1
(auf eine nächst höhere oder nächst tiefere Realitätsthematik) zur
Folge hat.
Diese semiotische Verneinungstheorie vorausgesetzt, bedeutet also
die verneinte Vollständigkeit eines Beweissystems bzw. die Nicht
Vollständig ·kei t (NV) wie aus den angegebenen Zeichenklassen bzw .
Realitätsthema~iken für den argumentischen und dicentischen
"Interpretanten" ohne weitere_s ersichtlich ist, den b e r e c h-
t i g t e n ü b e r g a n g auf die vorangehende Repräsentations
ebene der Zeichenklasse bzw. Realitätsthematik für die Widerspruchs
freiheit dieses Beweissystems:
N(VI(Zkl:3.3 2.3 1.3 x Rth:3.1 3.2 3.3) Rpw 15))
'V b±~!(Zkl:3.2 2.3 1.3 x Rth:3.1 3.2 2.3) Rpw 14))
N(I-themat.I)(argumentischer Interpretant)
Voll.Beweis Rpw 15
'V I-themat.O (dicentischer Interpretant)
Widerspr.freier Beweis Rpw 14 15
Ich denke, daß hiermit wenigstens der metamathematische Teil der
Gödelsehen Beweiskonzeption semiotisch demonstriert ist, der
besagt;"wenn die Arithmetik widerspruchsfrei ist, ist sie unvoll
ständig" (Nagel, Newman, p.93).
Die semiotische Vollständigkeit eines Beweises kann den ausschließ
lichen Wahrheitswert "w" nur nominal-definitorisch, aber nicht in
finiter-definiter !<onstruktion erreichen. Das heißt, daß der
Vollständigkeitsbegriff nur rein abstrakt in ausschließlich hypo
thetischer (angenommener) ideeierender "Formalisation" denkbar
ist. Die doppelte Forderung der "Vollständigkeit" und
"Widerspruchsfreiheit" an einen Beweis im logischen Folgensystem
muß somit auch beim Übergang in das semiotische Fundierungssystem
t r i c h o t o m i s c h e r B e g r ü n d u n g entweder auf
"Widerspruchsfreiheit" oder auf "Vollständigkeit" im Gödelsehen
Sinne limitiert werden.
5 .
Das Tieferlegungsschema des "Gödelschen Beweises" kann also re
präsentiert werden als ein semiotisches, r e 1 a t i o n a 1 e s
und geordnetes Tiefer}egungsschema auf die drei (degenerierenden)
I -} 0-)M =Stufen kompositionell thematisierter Realitäten.
Der Begriff "Tiefe" bezeichnet hier kein Maß für Kompliziertheit
oder Schwierigkeiten, sondern das, was G.H. Hardy in $einem
schönen Buch "A Mathe m a t i c i an ' s A p o 1 o g y " ( 1 9 6 9 , p . 1 0 9 f f • ) s o
nennt,als er davon sprach, daß "mathematische Ideen" oft in "strata",
in "Schichten" angelegt seien und daß die niedrigere Schicht auch
die "tiefere Idee" sei. Dementsprechend sprechen wir vom Maß der
F u n d i e r u n g einer begrifflichen oder anschaulichen Entität
auf die r e 1 a t i o n a 1 e T i e f e n f o 1 g e der drei
Repräsentationsschichten I -) 0 -) M mit ihren drei numerischen
Repräsentationswerten 15 -) 12 -} 9, die für die drei homogen
komponierten Haupt-Realitätsthematiken des hypothetisch-intelli
giblen "I" ( .3.), des relativ-objekt-setzenden "0" ( .2.) und des
repertoiriell-selektionsfähigen 'iM" (.1.) stehen.
16
Internationale Zeitschrift f_ür Semiotik 8 • . J a h r gang ,
und Ästhetik Heft 4, 1983
INHALT
Elisabeth Walther:
Max Bense:
Robert E. Tarpnto:
Angelika Karger:
Claude Gandelman:
Hans Michael Stiebing:
Elisabeth Walther:
Charles S. Peirce's Bemerkungen über das 'Methoden-Zeitalter'
Der "Gödelsche Beweis" im System der Theoretischen Semiotik
Sign, Data, and Information. An Introduction to a Semiotic Understanding of Information
Semiotische Orbitalbildung der kategorialen Bezüge
L~ dialectique ordre/desordre comme sujet de l'oeuvre d'art visuelle et verbale
(Musik-) Interpretation aus semiotischer Sicht
Die Relevanz der Bedeutungsbegriffe von Victoria Welby und Charles S. Peirce für die heutige Semiotik
INTERNATIONALES SEMIOTISCHES COLLOQUIUM IN PERPIGNAN
5
8
17
25
31
48
54
( Armando P lebe) 65
Wolfgang Kühlwein, Die Verwendung der Feindseligkeitsbezeich-nungen in der altenglischen Dichtersprache (Angelika Karger) 66
Inhalt von Jahrgang 8, 1983 67