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1
フリーのソフト Maxima を使って原子
軌道と分子軌道を計算してみよう
Maxima のダウンロード
Maxima の使い方は例えば を見てくださいここ
http://maxima.sourceforge.net/http://ja.wikipedia.org/wiki/Maxima
-
2
原子軌道
-qZq
電子原子核
原子に束縛された１個の電子の状態
Coulomb 力2
204
ZqFrπε
=
遠心力
原子軌道と分子結合
-
3
古典力学
2 2
2 204
d x Zq xmrdt rπε
= −
2 2
2 204
d y Zq ymrdt rπε
= −
軌道面を (x, y) 面にとる 遠心力
r
Zq
-q
v
クーロン力
2mvr
2
204
Zqrπε
x = r cosφy = r sinφ
2
04Zq
mα
πε=
と置くと
22
2 2
d r drdtdt rφ α⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 dmr ldtφ=
遠心力 クーロン力
角運動量の保存
l r p= ×r r ur
-
4
古典力学22
2 2
d r drdtdt rφ α⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 dmr ldtφ=
2
2 3 2
d rdt r r
β α= − 2
2
lm
β =
と置くと
[ ]1 coss eα φβ
= +
1rs
= 2 21 1dr ds ds d ds
dt dt d dt ds sφ β
φ φ= − = − = −
2 2 22
2 2 2
d r d s d d ssdtdt d dφβ β
φ φ= − = −
2
2
d s sd
αβφ
= − +
( )211 cos
a er
e φ
−=
+2
11
ae
βα
=−
と置くと r は a(1-e) と a(1+e) の間の値をとる
2
04Zq
mα
πε=
-
5
ea
a
φr
u
2 2 2aξ ζ+ =
2 2
2 2 1a bξ ζ
+ =
21b e a= −
● 電子
● 原子核
ξ
ζ
古典力学
楕円軌道
( )cosx a u e= −
siny b u=
sinu e utω
−=
2
30
14
Zqm a
ωπε
=
原子核の位置は楕円の焦点e は離心率a は長半径b は短半径
保存量
エネルギー2
0
18ZqE
aπε= −
角運動量
2
04mZql b
aπε=
l r p= ×r r ur
-
6
m:500;t:makelist(i*2*%pi/m,i,0,m);load(newton);findu(t):=newton(x-e*sin(x)-t,t);a:1;e:0.9;u:makelist(findu(float(i*2.0*%pi/m)),i,0,m);x:makelist(a*cos(u[i])-e*a,i,1,m+1);y:makelist(sqrt(1-e^2)*a*sin(u[i]),i,1,m+1);plot2d([discrete,x,y],[style,points]);
r:makelist(a*(1-e*cos(u[i])),i,1,m+1);plot2d([discrete,t,r],[style,points]);
vx:makelist(-a*sin(u[i])/(1-e*cos(u[i])),i,1,m+1);vy:makelist(sqrt(1-e^2)*a*cos(u[i])/(1-e*cos(u[i])),i,1,m+1);plot2d([discrete,vx,vy],[style,points]);
軌道を等時間間隔でプロットする
電子と原子核の距離を時間を横軸にしてプロットする
電子の速度をプロットすると真円になる
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
disc
rete
dat
a
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 1 2 3 4 5 6 7
disc
rete
dat
a
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
disc
rete
dat
a
-
7量子論 半古典的な扱い
2 2
204
mv Zqr rπε
=
2 2
02 4mv ZqE
rπε= −
2
204
Zqrmvπε
=
2
08ZqE
rπε= −
-qZq
電子は波
2 r nπ λ= λ : 波長
hmv
λ =
ド・ブロイの関係
円周に沿って定在波が立つ条件
22 20
02
hr n a nmZqε
π= =
2 4 2
2 2 2 20
18mZ q Z RyE
h n nε= − = −
遠心力
r
Zq
-q
v
クーロン力
20
0 2
hamZqε
π= Bohr 半径≒0.529Å
4
2 208
mqRyhε
= Rydberg≒13.6eV
2mvr
2
204
Zqrπε
( Z = 1)
-
8
量子力学的扱い
-qZq
2 2 2 2 2
2 2 202 4
Zq Em x y z rπε⎛ ⎞∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ
− + + − Ψ = Ψ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
h
Schrodinger方程式
電子の波動関数 Ψ電子の存在確率 |Ψ |2
電子の状態は波動関数で表わされる
運動エネルギー Coulomb ポテンシャル
-
9
θ
φx
y
z極座標
x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r cosθ
( )2 2 2 2
2 2 2 20
1 1 1 1sin2 sin sin 4
Zqr Em r r r r
θθ θ θ θ φ πε
⎡ ⎤⎧ ⎫∂ ∂ ∂Ψ ∂ Ψ⎛ ⎞− Ψ + + − Ψ = Ψ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦
h
固有関数 ( ) ( ),nlm lmnlR r Y θ φΨ =
固有エネルギー
2 4
2 2 20
132nlm
Z mqEnπ ε
= − ⋅h
n = 1, 2, 3, …..l = 0, 1, …, n-1m = l, l-1, …, -l+1, -l
( ) ( )( )0
1 22 32 1
10 0 0
1 !2 2 22 !
lr a n l
nl n l
n l r rR r e La n n n l a n a n
− +− −
⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
球調和関数(Spherical harmonics)
Laguerre 関数
角運動量 l r p= ×r r ur
( )2
2 2 2
1 1 1 sin 1sin sin
lm lmlm lm
Y Yl l Y l l Yθθ θ θ θ φ
∂ ∂∂ ⎛ ⎞⋅ = − − = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
r r
h
z lm lml Y mY= h
-
10
rr
pr
s
原子軌道を表す４つの量子数
主量子数
軌道量子数
磁気量子数
スピン量子数
n = 1, 2, 3, ….
l = 0, 1, 2, …., n −1
m = −l, … −1, 0, 1, … , l
s = −1/2, 1/2
l 軌道0 s1 p2 d3 f4 g5 h
原子軌道 n l で表わす 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p, 4d, 4f, ...
エネルギーは主量子数 n のみで決まる2
2
Z RyEn
= −
(K殻、L殻、…)
sharp
principal
diffuse
fundamental
l r p= ×r r ur
-
11
古典運動との対応
エネルギー
保存量
角運動量
角運動量：大
角運動量：小
同一エネルギーでの軌道
主量子数 n ：長半径の量子化
軌道量子数 l：短半径の量子化
ab
楕円軌道
2
0
18ZqE
aπε= − 2 Ba n a=
2
04mZqL b
aπε=
Bb nla=
-
12
load("orthopoly");assume(%a0>0);Rnl(n,l,r) := sqrt((2/(%a0*n))^3*(n-l-1)!/(2*n*((n+l)!)))*(2*r/(%a0*n))^l*exp(-r/(%a0*n))* gen_laguerre(n-l-1,2*l+1,2*r/(%a0*n));Ylm(l,m,theta,phi) := spherical_harmonic(l,m,theta,phi);psi(n,l,m,r,theta,phi) := Rnl(n,l,r)*Ylm(l,m,theta,phi);%a0:1;plot2d([Rnl(1,0,r),Rnl(2,0,r),Rnl(3,0,r)],[r,0,50],[y,-0.1,0.2]);plot2d([Rnl(2,1,r),Rnl(3,1,r),Rnl(4,1,r)],[r,0,50],[y,-0.1,0.2]);plot2d([Rnl(3,2,r),Rnl(4,2,r),Rnl(5,2,r)],[r,0,50],[y,-0.1,0.2]);
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 10 20 30 40 50r
2*%e^-r2*(1-r/2)*%e^-(r/2)/2^(3/2)
6*(2*r^2/27-2*r/3+1)*%e^-(r/3)/3^(5/2)
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 10 20 30 40 50r
r*%e^-(r/2)/(2*sqrt(6))8*(1-r/6)*r*%e^-(r/3)/(27*sqrt(6))
5*r*(r^2/80-r/4+1)*%e^-(r/4)/(16*sqrt(15))
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 10 20 30 40 50r
4*r^2*%e^-(r/3)/(81*sqrt(30))(1-r/12)*r^2*%e^-(r/4)/(64*sqrt(5))
28*r^2*(2*r^2/525-2*r/15+1)*%e^-(r/5)/(625*sqrt(70))
動径方向の波動関数 Rnl(r) をプロットする。
s ( l = 0 ) n = 1, 2, 3 p ( l = 1 ) n = 2, 3, 4 d ( l = 2 ) n = 3, 4, 5
s ( l = 0 ) で原子核の位置 ( r = 0 ) で波動関数の値が大きいl が大きくなるほど、電子は原子核から遠いところで存在確率が大きくなる波動関数の節 ( Ψ = 0 ) の数は n − l − 1 個
-
13
plot2d([r^2*Rnl(1,0,r)^2,r^2*Rnl(2,0,r)^2,r^2*Rnl(3,0,r)^2],[r,0,50]);plot2d([r^2*Rnl(2,1,r)^2,r^2*Rnl(3,1,r)^2,r^2*Rnl(4,1,r)^2],[r,0,50]);plot2d([r^2*Rnl(3,2,r)^2,r^2*Rnl(4,2,r)^2,r^2*Rnl(5,2,r)^2],[r,0,50]);
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 10 20 30 40 50r
4*r^2*%e^-(2*r)(1-r/2)^2*r^2*%e^-r/2
4*r^2*(2*r^2/27-2*r/3+1)^2*%e^-(2*r/3)/27
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0 10 20 30 40 50r
r^4*%e^-r/2432*(1-r/6)^2*r^4*%e^-(2*r/3)/2187
5*r^4*(r^2/80-r/4+1)^2*%e^-(r/2)/768
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 10 20 30 40 50r
8*r^6*%e^-(2*r/3)/98415(1-r/12)^2*r^6*%e^-(r/2)/20480
56*r^6*(2*r^2/525-2*r/15+1)^2*%e^-(2*r/5)/1953125
s ( l = 0 ) n = 1, 2, 3 p ( l = 1 ) n = 2, 3, 4 d ( l = 2 ) n = 3, 4, 5
動径方向の電子の存在確率 r2Rnl(r)2
-
14
load(draw);d(f):=draw3d(color=red, spherical(if realpart(f)>0 then f else 0,phi,0,2*%pi,theta,0,%pi),
color=blue,spherical(if realpart(f)
-
15波動関数の角度依存
define(px(theta,phi),radcan((Ylm(1,-1,theta,phi)-Ylm(1,1,theta,phi))/sqrt(2)));d(px(theta,phi))$define(py(theta,phi),radcan((Ylm(1,-1,theta,phi)+Ylm(1,1,theta,phi)*%i)/sqrt(2)));d(py(theta,phi))$define(pz(theta,phi),radcan(Ylm(1,0,theta,phi)));d(pz(theta,phi))$
p : l = 1
( )1, 1 1,11 342xxp Y Yrπ−
= − =
( )1, 1 1,1 342yi yp Y Y
rπ−= + =
1,03
4zzp Yrπ
= = -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.2-0.15-0.1
-0.05 0
0.05 0.1
0.15 0.2
-0.2-0.15
-0.1-0.05
0 0.05
0.1 0.15
0.2
-0.2-0.1
0 0.1
0.2-0.2
-0.1 0
0.1 0.2
-0.15-0.1
-0.05 0
0.05 0.1
0.15
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.2
-0.15-0.1
-0.05 0
0.05 0.1
0.15 0.2
-0.4-0.3-0.2-0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
px
py
pz
xy
z
-
16波動関数の角度依存
d(dz2(theta,phi))$define(dx2y2(theta,phi),radcan((Ylm(2,2,theta,phi)+Ylm(2,-2,theta,phi))/sqrt(2)));d(dx2y2(theta,phi))$define(dxy(theta,phi),radcan((Ylm(2,2,theta,phi)-Ylm(2,-2,theta,phi))/(sqrt(2)*%i)));d(dxy(theta,phi))$define(dyz(theta,phi),radcan((Ylm(2,1,theta,phi)+Ylm(2,-1,theta,phi))/(sqrt(2)*%i)));d(dyz(theta,phi))$define(dzx(theta,phi),radcan((Ylm(2,1,theta,phi)-Ylm(2,-1,theta,phi))/sqrt(2)));d(dzx(theta,phi))$
d : l = 2
2
2
2,0 2
1 5 3 14z
zd Yrπ
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )2 22 2
2,2 2, 2 2
1 1 1542x y
x yd Y Yrπ−−−
= + =
( )2,2 2, 2 21 1 15
22xyxyd Y Yri π−
= − =
( )2,1 2, 1 21 1 15
22yzyzd Y Yri π−
= + = −
( )2,1 2, 1 21 1 15
22zxzxd Y Yrπ−
= − = −
-0.3-0.2
-0.1 0
0.1 0.2
0.3 -0.3-0.2
-0.1 0
0.1 0.2
0.3
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.4-0.2
0 0.2
0.4-0.4
-0.2 0
0.2 0.4
-0.2-0.15-0.1
-0.05 0
0.05 0.1
0.15 0.2
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.4-0.3
-0.2-0.1
0 0.1
0.2 0.3
0.4
-0.2-0.15-0.1
-0.05 0
0.05 0.1
0.15 0.2
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.4-0.3
-0.2-0.1
0 0.1
0.2 0.3
0.4
-0.4-0.3-0.2-0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
2zd
2 2x yd
−
xyd
yzd
zxd
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.2-0.15
-0.1-0.05
0 0.05
0.1 0.15
0.2
-0.4-0.3-0.2-0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
-
17波動関数をプロットする
load("orthopoly");Rnl(n,l,r) := sqrt((2/(%a0*n))^3*(n-l-1)!/(2*n*((n+l)!)))*(2*r/(%a0*n))^l
*exp(-r/(%a0*n))* gen_laguerre(n-l-1,2*l+1,2*r/(%a0*n));Ylm(l,m,theta,phi) := spherical_harmonic(l,m,theta,phi);%a0:1;load(draw);define(s(theta,phi),Ylm(0,0,theta,phi));define(px(theta,phi),radcan((Ylm(1,-1,theta,phi)-Ylm(1,1,theta,phi))/sqrt(2)));define(py(theta,phi),radcan((Ylm(1,-1,theta,phi)+Ylm(1,1,theta,phi)*%i)/sqrt(2)));define(pz(theta,phi),radcan(Ylm(1,0,theta,phi)));define(dz2(theta,phi),Ylm(2,0,theta,phi));define(dx2y2(theta,phi),radcan((Ylm(2,2,theta,phi)+Ylm(2,-2,theta,phi))/sqrt(2)));define(dxy(theta,phi),radcan((Ylm(2,2,theta,phi)-Ylm(2,-2,theta,phi))/(sqrt(2)*%i)));define(dyz(theta,phi),radcan((Ylm(2,1,theta,phi)+Ylm(2,-1,theta,phi))/(sqrt(2)*%i)));define(dzx(theta,phi),radcan((Ylm(2,1,theta,phi)-Ylm(2,-1,theta,phi))/sqrt(2)));r:sqrt(x^2+y^2+z^2);theta:acos(z/r);phi:atan2(y,x);define(psi_s(n,x,y,z) ,Rnl(n,0,r)*s(theta,phi));define(psi_px(n,x,y,z) ,Rnl(n,1,r)*px(theta,phi));define(psi_py(n,x,y,z) ,Rnl(n,1,r)*py(theta,phi));define(psi_pz(n,x,y,z) ,Rnl(n,1,r)*pz(theta,phi));define(psi_dz2(n,x,y,z) ,Rnl(n,2,r)*dz2(theta,phi));define(psi_dx2y2(n,x,y,z),Rnl(n,2,r)*dx2y2(theta,phi));define(psi_dxy(n,x,y,z) ,Rnl(n,2,r)*dxy(theta,phi));define(psi_dyz(n,x,y,z) ,Rnl(n,2,r)*dyz(theta,phi));define(psi_zx(n,x,y,z) ,Rnl(n,2,r)*dzx(theta,phi));d(f):=draw3d(explicit(f,x,-30,30,z,-30,30),
contour_levels=15,contour=both,surface_hide=true);y:0.0001$d(psi_s(1,x,y,z))$d(psi_s(2,x,y,z))$d(psi_px(2,x,y,z))$d(psi_pz(2,x,y,z))$d(psi_s(3,x,y,z))$d(psi_px(3,x,y,z))$d(psi_pz(3,x,y,z))$d(psi_dz2(3,x,y,z))$d(psi_dx2y2(3,x,y,z))$d(psi_zx(3,x,y,z))$
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.18 0.16 0.14 0.12
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
-0.02
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
0
0.05
0.1
0.15
0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
6.94e-018 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06 -0.07
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
-0.06-0.04-0.02
0 0.02 0.04 0.06
0.07
0.06
0.05
0.04 0.03
0.02
0.01
6.94e-018
-0.01
-0.02 -0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-0.07-30
-20-10
0 10
20 30-30
-20-10
0 10
20 30
-0.06-0.04-0.02
0 0.02 0.04 0.06
0.1
0.09
0.08
0.07 0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01 0
-0.01
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.04
0.03 0.02
0.01
3.47e-018
-0.01 -0.02
-0.03
-0.04
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
-0.04-0.03-0.02-0.01
0 0.01 0.02 0.03 0.04
0.04
0.03
0.02
0.013.47e-018
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
-0.04-0.03-0.02-0.01
0 0.01 0.02 0.03 0.04
0.025
0.02
0.015
0.01 0.005
1.73e-018
-0.005
-0.01
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
-0.01-0.005
0 0.005
0.01 0.015
0.02 0.025
0.022 0.02
0.018 0.016
0.014
0.012 0.01
0.008 0.006
0.004 0.002
0
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.02 0.015
0.01
0.005
1.73e-018
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-30-20
-10 0
10 20
30-30-20
-10 0
10 20
30
-0.02-0.015
-0.01-0.005
0 0.005
0.01 0.015
0.02
1s
2s
2px
2py
3s
3px
3py
3dz2 3dx2-y2
3dzx
y = 0
-
18分子結合
H2+分子を考える
+q
+q
-q
x
y
z
R
座標の単位を Bohr 半径 (a0=5.3x10-11m)エネルギーの単位を Hartree (2Ry = 27.3eV)
にとる
21 1 1 12 A B
Hr r R
= − ∇ − − +
rA
rBA A B Bc cφ φΨ = + で固有関数と固有値を求める
* 1A A
B
J dVr
φ φ= ∫ *1
B AB
K dVr
φ φ= ∫ *A BS dVφ φ= ∫
( )2 1A B
gS
φ φ+Ψ =
+
( )2 1A B
uS
φ φ−Ψ =
+
11gJ KE
R Sε += + −
+
11uJ KE
R Sε −= + −
−
ε : 1原子のエネルギー
-
19
φ
θA
θB
rArBA
Bx
y
z
cos cosB B A Ar r Rθ θ− =
sin sinB B A Ar rθ θ=
2 2 2
cos2
B AA
A
r r RRr
θ − −=
2 2 2
cos2
B AB
B
r r RRr
θ − +=
2Ar Rμ ν+=
2Br Rμ ν−=
1cos Aμνθμ ν− −
=+
1cos Bμνθμ ν− +
=−
A=(0, 0, R/2)B=(0, 0, -R/2)
( )( )2 21 1 cos2Rx μ ν φ= − −
( )( )2 21 1 sin2Ry μ ν φ= − −
2Rz μν= −
( )3 2 2
, ,
1, ,8
, ,
x x x
y y y R
z z z
μ ν φ
μ νμ ν φ
μ ν φ
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= −∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
1 , 1 1, 0 2μ ν φ π≤ − ≤ < ≤ <
( )( )2 21 1sin A
μ νθ
μ ν
− −=
+
( )( )2 21 1sin B
μ νθ
μ ν
− −=
−
楕円座標
( )2 1 2 2*
1 1 0
14A A AB
RJ dV d d dr
πφ φ μ ν φ μ ν φ
∞
−= = +∫ ∫ ∫ ∫
( )2 1 2*
1 1 0
14B A A BB
RK dV d d dr
πφ φ μ ν φ μ ν φ φ
∞
−= = +∫ ∫ ∫ ∫
( )3 1 2* 2 2
1 1 08A B A BRS dV d d d
πφ φ μ ν φ μ ν φ φ
∞
−= = −∫ ∫ ∫ ∫
-
20load("orthopoly");Rnl(n,l,r) := sqrt((2/(%a0*n))^3*(n-l-1)!/(2*n*((n+l)!)))*(2*r/(%a0*n))^l
*exp(-r/(%a0*n))* gen_laguerre(n-l-1,2*l+1,2*r/(%a0*n));%a0:1;define(psi(r),Rnl(1,0,r)/(2*sqrt(%pi)));assume(R>0);rA:(u+v)*R/2;rB:(u-v)*R/2;tA:acos((-u*v-1)/(u+v));tB:acos((-u*v+1)/(u-v));J(R):=R^2/4*2*%pi*integrate(integrate((u+v)*psi(rA)^2, v,-1,1),u,1,inf);K(R):=R^2/4*2*%pi*integrate(integrate((u+v)*psi(rA)*psi(rB), v,-1,1),u,1,inf);S(R):=R^3/8*2*%pi*integrate(integrate((u^2-v^2)*psi(rA)*psi(rB),v,-1,1),u,1,inf);define(Eg(R),radcan(1/R-(J(R)+K(R))/(1+S(R))));define(Eu(R),radcan(1/R-(J(R)-K(R))/(1-S(R))));plot2d([Eg(R),Eu(R)],[R,0.2,8],[y,-0.2,0.4]);load(newton);Rmin:newton(diff(Eg(x),x),2);Emin:Eg(Rmin);
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1 2 3 4 5 6 7 8R
-((2*R^2-3)*%e^R-3*R-3)/(3*R*%e^(2*R)+(R^3+3*R^2+3*R)*%e^R)((2*R^2-3)*%e^R+3*R+3)/(3*R*%e^(2*R)+(-R^3-3*R^2-3*R)*%e^R)
ボンド長 : 2.49結合エネルギー : 0.0648
0.13 nm1.76 eV
0.11 nm2.78 eV
実際の値
-
21
分子軌道
原子軌道
反結合軌道結合軌道
電子の存在確率
波動関数
結合軌道
反結合軌道
分子原子１ 原子２
エネルギー
-
22
+s 軌道
σs
σs*
pz 軌道σp
σp*
px 軌道πp
πp*z
x
+
+
+
+
+
結合軌道
反結合軌道
結合軌道
反結合軌道
結合軌道
反結合軌道
-
23
C : 1s22s22p2
2s2p
2s2p
昇位
混成軌道
結合数が増えることによりエネルギーが得
原子軌道のエネルギーとしては損
-
24sp3 混成軌道( )1 2 2 2 212 x y zs p p pψ φ φ φ φ= + + +( )2 2 2 2 212 x y zs p p pψ φ φ φ φ= + − −( )3 2 2 2 212 x y zs p p pψ φ φ φ φ= − + −( )4 2 2 2 212 x y zs p p pψ φ φ φ φ= − − +
ダイヤモンド構造
sp3a(x,y,z):=(psi_s(2,x,y,z)+psi_px(2,x,y,z)+psi_py(2,x,y,z)+psi_pz(2,x,y,z))/2;sp3b(x,y,z):=(psi_s(2,x,y,z)+psi_px(2,x,y,z)-psi_py(2,x,y,z)-psi_pz(2,x,y,z))/2;sp3c(x,y,z):=(psi_s(2,x,y,z)-psi_px(2,x,y,z)+psi_py(2,x,y,z)-psi_pz(2,x,y,z))/2;sp3d(x,y,z):=(psi_s(2,x,y,z)-psi_px(2,x,y,z)-psi_py(2,x,y,z)+psi_pz(2,x,y,z))/2;y:0.0001;d(f):=draw3d(explicit(f,x,-10,10,z,-10,10),
contour_levels=15,contour=both,surface_hide=true);d(sp3a(x,y,z))$d(sp3b(x,y,z))$d(sp3b(x,y,z))$d(sp3b(x,y,z))$
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-10-5
0 5
10-10
-5
0
5
10
-0.06-0.04-0.02
0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.09
0.08
0.07
0.06 0.05
0.04
0.03
0.02 0.01
0
-0.01 -0.02
-0.03
-0.04
-10-5
0 5
10-10
-5
0
5
10
-0.04-0.02
0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.09 0.08
0.07 0.06
0.05 0.04
0.03 0.02
0.01 0
-0.01 -0.02
-0.03 -0.04
-10-5
0 5
10-10
-5
0
5
10
-0.04-0.02
0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-10-5
0 5
10-10
-5
0
5
10
-0.06-0.04-0.02
0 0.02 0.04 0.06 0.08