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Maximale Cohen-Macaulay-Moduln über

speziellen Typen isolierter Singularitäten,

Matrixfaktorisierungen und

Auslander-Reiten-Köcher

Diplomarbeit

Humboldt-Universität zu Berlin

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät IIInstitut für Mathematik

eingereicht von1:

Alexander Gollin geboren am 27.12.1983 in BerlinAndreas Steenpaß geboren am 31.05.1985 in Hamm (Westf.)Nadja Worliczek geboren am 17.08.1978 in Wien/Österreich

Betreuer: PD Dr. sc. nat. Marko Roczen

Berlin, den 5. Mai 2009

1Eine Aufschlüsselung der einzelnen Beiträge befindet sich auf S. iii f. der Arbeit.

Aufschlüsselung derEinzelbeiträge

In der folgenden Liste ist aufgeführt, wer von uns für welche Teile dieserArbeit verantwortlich ist.

A. Gollin:

Grundlagen:

0.3.4 Zerfallende Morphismen und Erweiterungen

0.5.4 MCM-Moduln und Noether-Normalisierung

0.6.1 Die injektive Hülle eines Moduls

Hauptteil:

1.1 Auslander-Reiten-Folgen

2 Auslander-Reiten-Köcher

6 McKay-Korrespondenz

A. Steenpaß:

Grundlagen:

0.1.1 Krull’scher Durchschnittssatz

0.3.3 Syzygien

0.4.2 Tiefe und Dimension

0.5.1 Definition und äquivalente Charakterisierungen (MCM)

0.5.2 Erste Eigenschaften (MCM)

0.5.3 Invarianz der MCM-Eigenschaft unter Lokalisierung undBildung direkter Summen

0.6.3 Gorenstein-Ringe, kanonischer Modul und lokale Dualität

0.7 Potenzreihenringe

Hauptteil:

1.2 Isolierte Singularitäten

4 Einfache Singularitäten

iii

Aufschlüsselung der Einzelbeiträge

N. Worliczek:

Grundlagen:

0.1.2 Moduln von endlicher Länge

0.1.3 Algebren und Ringerweiterungen

0.2 Idempotente, Unzerlegbarkeit und komplette Ringe

0.3.1 Notation und einige grundlegende Aussagen (Homologie)

0.3.2 Minimale freie Auflösungen

0.4.1 Definition und erste Eigenschaften (regulärer Folgen)

0.4.3 Tiefe und projektive Dimension

0.4.4 Der Koszul-Komplex einer Folge

0.6.2 Sockel und injektive Hülle

Hauptteil:

3 Matrixfaktorisierungen

5 Eindimensionale Singularitäten

iv

Inhaltsverzeichnis

Aufschlüsselung der Einzelbeiträge iii

Einleitung ix

0 Grundlagen 10.1 Grundlagen aus der kommutativen Algebra . . . . . . . 1

0.1.1 Krull’scher Durchschnittssatz . . . . . . . . . . 10.1.2 Moduln von endlicher Länge . . . . . . . . . . . 20.1.3 Algebren und Ringerweiterungen . . . . . . . . 4

0.2 Idempotente, Unzerlegbarkeit und komplette Ringe . . 70.3 Grundlagen aus der homologischen Algebra . . . . . . . 10

0.3.1 Notation und einige grundlegende Aussagen . . 100.3.2 Minimale freie Auflösungen . . . . . . . . . . . 130.3.3 Syzygien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.3.4 Zerfallende Morphismen und Erweiterungen . . 17

0.4 Reguläre Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.4.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . 260.4.2 Tiefe und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 310.4.3 Tiefe und projektive Dimension . . . . . . . . . 330.4.4 Der Koszul-Komplex einer Folge . . . . . . . . . 35

0.5 Maximale Cohen-Macaulay-Moduln . . . . . . . . . . . 370.5.1 Definition und äquivalente Charakterisierungen 370.5.2 Erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 380.5.3 Invarianz der MCM-Eigenschaft unter Lokalisie-

rung und Bildung direkter Summen . . . . . . . 420.5.4 MCM-Moduln und Noether-Normalisierung . . 43

0.6 Der kanonische Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440.6.1 Die injektive Hülle eines Moduls . . . . . . . . . 440.6.2 Sockel und injektive Hülle . . . . . . . . . . . . 460.6.3 Gorenstein-Ringe, kanonischer Modul und lokale

Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470.7 Potenzreihenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

v

INHALTSVERZEICHNIS

1 Auslander-Reiten-Folgen und isolierte Singularitäten 551.1 Auslander-Reiten-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.1.1 In einem Modul endende AR-Folgen . . . . . . . 551.1.2 Irreduzible Morphismen . . . . . . . . . . . . . 601.1.3 In einem Modul beginnende AR-Folgen . . . . . 63

1.2 Isolierte Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.2.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . 671.2.2 Das Theorem von Auslander . . . . . . . . . . . 691.2.3 Die Auslander-Transponierte . . . . . . . . . . . 741.2.4 Hom und End . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.2.5 Zwischenresultate aus dem Beweis des Theorems

von Auslander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2 Auslander-Reiten-Köcher 872.1 Vorbetrachtung und Definition . . . . . . . . . . . . . . 872.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.3 Explizite Berechnung eines AR-Köchers . . . . . . . . . 100

3 Matrixfaktorisierungen 1153.1 Motivation und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . 1153.2 Definitionen und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . 1163.3 Matrixfaktorisierungen und MCM-Moduln . . . . . . . 122

4 Einfache Singularitäten 1414.1 Tangentialrichtungen und Faktorisierung von formalen

Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Klassifikation der einfachen Singularitäten . . . . . . . 1564.3 Ringe von endlichem Darstellungstyp, die eine einfache

Singularität besitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5 Eindimensionale Singularitäten 1735.1 Motivation, Bezeichnungen und etwas Vorbereitung . . 1735.2 Die AR-Köcher einfacher Singularitäten der Dimension 1 174

5.2.1 Typ An mit n ungerade . . . . . . . . . . . . . . 1785.2.2 Typ E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.3 Ein Kriterium für die Endlichkeit des Darstellungstypseindimensionaler Singularitäten . . . . . . . . . . . . . 197

6 McKay-Korrespondenz 2016.1 Der Gruppenring S[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.2 Der Invariantenring SG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.3 McKay-Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.3.1 Korrespondenz der MCM-Moduln . . . . . . . . 211

vi

6.3.2 Korrespondenz der irreduziblen Morphismen . . 225

Literaturverzeichnis 235

Index 238

Selbstständigkeitserklärungen 243

Thesen 245

vii

Einleitung

Das Thema der vorliegenden Arbeit ist in der Darstellungstheorie iso-lierter Singularitäten angesiedelt. Wir behandeln die Klassifikation vonCohen-Macaulay-Moduln über bestimmten Klassen von isolierten Sin-gularitäten, die Auslander-Reiten-Köcher solcher Ringe, verschiedenean die jeweilige Klasse von Ringen angepasste Herangehensweisen andiese Probleme sowie dafür notwendige theoretische und technischeHilfsmittel.Die Arbeit hat sich aus unseren Vorträgen in einer von Marko Roc-zen initiierten und betreuten studentischen Arbeitsgruppe zu maxima-len Cohen-Macaulay-Moduln über Cohen-Macaulay-Ringen entwickelt.Dabei diente uns das Buch [Yos90] von Yuji Yoshino als Arbeitsgrund-lage.Unser Ziel ist es, Teile dieses Buches in einer aufgearbeiteten Form dar-zustellen, die es Studierenden im Hauptstudium mit einer grundlegen-den Ausbildung auf dem Gebiet der kommutativen Algebra erleichtert,sich deren Inhalte zu erschließen.Daher haben wir das Grundlagenkapitel dieses Buches recht ausführ-lich gestaltet. Zum einen führen wir hier Begriffe und Konzepte ein, diefür die Theorie zu Cohen-Macaulay-Moduln unerlässlich sind, und diezum Teil über den Inhalt einer Grundlagenvorlesung zur kommutati-ven Algebra hinausgehen. Hierzu gehören zum Beispiel die Abschnitteüber reguläre Folgen, maximale Cohen-Macaulay-Moduln, den Koszul-Komplex einer Folge oder den kanonischen Modul eines lokalen Cohen-Macaulay-Ringes.Zum anderen geben wir aber auch häufig verwendete Ergebnisse undDefinitionen aus der Ringtheorie und der homologischen Algebra wie-der, die durchaus zum Grundwissen auf diesen Gebieten gehören, stattsie an den entsprechenden Stellen nur zu zitieren oder stillschweigendvorauszusetzen. Wir hoffen, dass dies gerade der oben angesprochenenZielgruppe die Einarbeitung in die Thematik erleichtert.Der in Kapitel 2 erläuterte Begriff des Auslander-Reiten-Köchers istfür diese Arbeit von grundlegender Bedeutung. Er wurde von Idun Rei-ten und Maurice Auslander zur Darstellung von Artinschen Algebren

ix

Einleitung

entwickelt und von Yuji Yoshino in [Yos90] auf den Fall HenselscherCohen-Macaulay-Ringe angewendet.Der Auslander-Reiten-Köcher eines solchen Ringes ist dabei ein ge-richteter Graph, dessen Ecken die Isomorphieklassen der unzerlegbarenmaximalen Cohen-Macaulay-Moduln über dem Ring sind. Die Kantendes Auslander-Reiten-Köchers bestehen aus den irreduziblen Morphis-men zwischen den Isomorphieklassen und den in Kapitel 1 eingeführtenAuslander-Reiten-Folgen.Die Kernaussage von Kapitel 2 ist, dass durch die Existenz der Auslan-der-Reiten-Folgen die genaue und insbesondere endliche Anzahl derKanten zwischen den Isomorphieklassen festgelegt ist. Leider ist dieseExistenz nicht immer gewährleistet.

Es gibt jedoch Ringe, über denen für alle unzerlegbaren nicht-freienmaximalen Cohen-Macaulay-Moduln eine in diesem Modul endendeAuslander-Reiten-Folge existiert. Das Hauptresultat des Abschnitts 1.2ist, dass diese Ringe genau die isolierten Singularitäten sind. Eine wei-tere äquivalente Formulierung dieser Eigenschaft ist, dass jeder unzer-legbare nicht-freie maximale Cohen-Macaulay-Modul über dem Grund-ring lokal frei auf dessen punktierten Spektrum ist. Der Beweis beruhtwesentlich auf der Einführung der sogenannten Auslander-Transponier-ten.

Ein weiteres Problem ist die Bestimmung der Isomorphieklassen vonunzerlegbaren maximalen Cohen-Macaulay Moduln. Der Begriff derMatrixfaktorisierung, der ursprünglich von David Eisenbud entwickeltwurde, und den er in der Arbeit [Eis80] publiziert hat, stellt hierfür aufvollständigen Durchschnitten ein mächtiges Werkzeug zur Verfügung.

In Kapitel 3 entwickeln wir dieses Werkzeug für den Spezialfall abstrak-ter Hyperflächensingularitäten. Wir orientieren uns dabei im Wesent-lichen an der Herangehensweise von Yuji Yoshino in [Yos90].

Wir werden in diesem Kapitel sehen, dass die für uns wichtigen Eigen-schaften von maximalen Cohen-Macaulay-Moduln mit Eigenschaftenvon bestimmten Paaren von Matrizen korrespondieren und sich auchspezielle Beziehungen zwischen solchen Moduln durch Matrixfaktorisie-rungen beschreiben lassen. So sind zum Beispiel alle Moduln in einerErweiterung eines unzerlegbaren maximalen Cohen-Macaulay-Modulsdurch einen anderen Cohen-Macaulay-Modul durch Matrixfaktorisie-rungen gegeben.

Nachdem wir die grundlegenden Begriffe und Werkzeuge dargestellthaben, wenden wir uns getrennt einzelnen Klassen von Singularitätenzu.

Zunächst behandeln wir in Kapitel 4 einfache Singularitäten, die wirbis auf Koordinatentransformationen vollständig klassifizieren. Es er-

x

geben sich die bekannten Fälle (An), (Dn), (E6), (E7) und (E8). Fürdie im Klassifikationsbeweis verwendete Faktorisierung spezieller Po-tenzreihen geben wir im ersten Abschnitt ein konstruktives Verfahrenan.Zwischen Auslander-Reiten-Köchern und einfachen Singularitäten be-steht folgender Zusammenhang: Falls ein Ring eine Hyperfläche ist undder zugehörige Auslander-Reiten-Köcher nur endlich viele Ecken be-sitzt, dann ist der Ring eine einfache Singularität. Dabei kann die Be-dingung, dass der Grundring eine Hyperfläche ist, dazu verallgemeinertwerden, dass er ein Gorenstein-Ring und das homomorphe Bild einesregulären lokalen Rings ist.Danach betrachten wir in Kapitel 5 eindimensionale Singularitäten.Hierin stellen wir zuerst fest, dass eindimensionale einfache Singula-ritäten von endlichem Darstellungstyp sind und beweisen einen Teildieser Aussage, indem wir die Auslander-Reiten-Köcher für zwei dieserRinge konstruieren. Dafür verwenden wir Matrixfaktorisierungen undgeben damit zugleich ein Anwendungsbeispiel für dieses Werkzeug.Das Ergebnis dieses ersten Abschnittes benutzen wir danach, um dieEndlichkeit des Darstellungstyps einer eindimensionalen Singularitätdurch ihre Beziehung zu einer einfachen Singularität zu charakterisie-ren. Diese Charakterisierung stammt aus der Arbeit [GK85] von Gert-Martin Greuel und Horst Knörrer.Im letzten Kapitel der vorliegenden Arbeit gehen wir auf die sogenann-te McKay-Korrespondenz ein. Dabei betrachten wir den Invarianten-ring des zweidimensionalen Potenzreihenringes unter der Wirkung ei-ner endlichen Untergruppe der GL(2,k) mit bestimmten Eigenschaften.Dieser Invariantenring ist insbesondere ein kompletter, lokaler Ring undsein Auslander-Reiten-Köcher ist eindeutig durch den McKay-Graphdieser Gruppe bestimmt. Diese eindeutige Korrespondenz nennt mandie McKay-Korrespondenz. Weitergehend kann man sogar für einenbeliebigen kompletten, lokalen, zweidimensionalen Cohen-Macaulay-Ring R von endlichem Darstellungstyp eine endliche Gruppe G finden,so dass R der Invariantenring des zweidimensionalen Potenzreihenrin-ges bezüglich der Wirkung von G ist. Im zweidimensionalen Fall sinddamit alle endlichen Auslander-Reiten-Köcher von kompletten, loka-len Cohen-Macaulay-Ringen eindeutig durch die McKay-Graphen be-stimmt.

Danksagungen

In erster Linie möchten wir uns bei unserem Betreuer Marko Roc-zen bedanken, der uns dieses interessante Thema gegeben hat und dieEntstehung dieser Arbeit hilfsbereit und engagiert begleitet hat. Wir

xi

Einleitung

hätten uns keine bessere Betreuung wünschen können.Desweiteren danken wir denjenigen Dozenten, die uns im Laufe unseresStudiums besonders geprägt haben, insbesondere Marko Roczen undWerner Kleinert, die die Algebra für uns zum Leben erweckt habenund unsere Phantasie in diesem Gebiet beflügelt haben, sowie DorotheeSchüth.Nicht zu vergessen ist Anne-Kathrin Dorow, die uns im Laufe unseresStudiums bei so mancher Verwirrung der bürokratischen Art geduldigund freundlich zur Hilfe kam.Ein persönlicher Dank gilt unseren Familien und FreundInnen, die unsemotional, materiell und auf vielerlei andere Art unterstützt haben.Ohne sie wären unser Studium und diese Arbeit wohl nie zu einem er-folgreichen Ende gekommen. Hierbei möchten wir ganz besonders Chri-stoph Köhler danken, der uns technisch unterstützt hat.

Berlin, 5. Mai 2009

Alexander Gollin, Andreas Steenpaß und Nadja Worliczek

xii

Kapitel 0

Grundlagen

In diesem Kapitel tragen wir verschiedene Grundlagen zusammen, diewir im weiteren Verlauf der Arbeit benötigen. Außerdem legen wir hierdie Notationen und Konventionen fest, die im ganzen Buch verwendetwerden.Alle in dieser Arbeit betrachteten Ringe und Algebren sind bis aufexplizit gekennzeichnete Ausnahmen kommutativ und unitär. Ringho-momorphismen bilden das Einselement stets auf das Einselement ab.

0.1 Grundlagen aus der kommutativen Algebra

0.1.1 Krull’scher Durchschnittssatz

Wir beginnen mit einem klassischen Resultat von Krull, auf das dannim Abschnitt 1.2 über isolierte Singularitäten zurückgegriffen wird.

Satz 0.1 (Krull’scher Durchschnittssatz)Sei R ein noetherscher lokaler Ring und a $ R ein echtes Ideal. Danngilt ⋂

n∈N

an = 0 .

Beweis: Siehe [Gri07][VII, Theorem 8.3]. �

Falls a das Maximalideal von R ist, gilt zusätzlich folgendes:

Proposition 0.2 (vgl. [AM69][Proposition 8.6])Sei (R,m) ein noetherscher lokaler Ring mit Maximalideal m. Dann giltgenau eine der beiden folgenden Aussagen:

(i) ∀n ∈ N : mn 6= mn+1.(ii) ∃n ∈ N : mn = 0, und in diesem Fall ist R Artinsch.

1

Grundlagen

0.1.2 Moduln von endlicher Länge

In diesem Unterabschnitt sammeln wir einige Aussagen über Modulnvon endlicher Länge, die wir im weiteren Verlauf der Arbeit benötigen.

Definition 0.3Sei R ein kommutativer, unitärer Ring und M ein R-Modul.

(i) Eine Kompositionsreihe von M ist eine echt absteigende Kette

M = M0 ⊃M1 ⊃ . . . ⊃Mn = 0

von Untermoduln Mi von M , sodass jeder der Faktoren Mi/Mi+1einfach ist, also keine echten Untermoduln besitzt.

(ii) Wir definieren die Länge lengthR(M) := n von M als Länge einerKompositionsreihe von M .

Bemerkung 0.4(i) Die Definition der Länge eines Moduls M wird dadurch gerecht-

fertigt, dass nach dem Theorem von Jordan-Hölder (vgl. z.B.[Eis95][Theorem 2.13]) alle Kompositionsreihen von M gleich langsind.

(ii) Ist M ein einfacher Modul, so ist der Annulator AnnR(M) einMaximalideal und es gilt M ∼= R/AnnR(M).

Beweis: Wir beweisen nur die zweite Aussage. Da M einfach ist, istjedes nichttriviales Element von M ein erzeugendes Element. Indemwir 1 ∈ R auf ein solches Element abbilden bekommen wir mit demHomomorphiesatz also einen Isomorphismus M ∼= R/AnnR(M).Das Ideal AnnR(M) ist ein Maximalideal. Denn sonst wäre es in ei-nem Maximalideal enthalten, und dessen Bild wäre ein nichttrivialerUntermodul von M . �

Satz 0.5Sei R ein kommutativer, unitärer Ring und M ein R-Modul von endli-cher Länge.Dann gilt

M ∼=⊕

m∈SpecmR

Mm .

Beweis: (vgl.[Eis95][Theorem 2.13])

2

Wir definieren

α :M −→⊕

m∈SpecmR

Mm

x 7→ (κm(x))m∈SpecmR

wobei κm die kanonische Abbildung von M nach Mm bezeichne.Da nach Voraussetzung n := lengthR(M) < ∞ gilt, besitzt M eineKompositionsreihe

M = M0 ⊃M1 ⊃ . . . ⊃Mn = 0 .Wir wollen das lokal-global-Prinzip anwenden. Dafür sehen wir unszuerst an, wie sich die Länge eines Moduls unter Lokalisierung verhält.

• Sei n = 1. Dann ist M einfach, und damit existiert nach Bemer-kung 0.4 ein m aus SpecmR, sodass M ∼= R/m gilt.Sei nun m̃ ein beliebiges Maximalideal von R. Dann gibt es zweiFälle, nämlich:

1. Es gelte m̃ = m. Wegen R/m ∼= (R/m)m gilt Mm ∼= M .2. Sei m̃ 6= m. Dann ist m wegen der Maximalität der beiden

Ideale nicht in m̃ enthalten. Somit ist mRm̃ = Rm̃ und damithaben wir

Mm̃ ∼= (R/m)m̃ ∼= Rm̃/mRm̃ = 0• Sei nun n > 1 und m ⊂ R ein Maximalideal. Da Mi/Mi+1 für

0 ≤ i ≤ n − 1 einfach ist, also Länge 1 hat, folgt mit der voran-gegangenen Betrachtung und Bemerkung 0.4, dass

(Mi/Mi+1)m ∼={R/m, falls m = AnnR(Mi/Mi+1)

0, sonst

gilt. Wegen (Mi)m/(Mi+1)m ∼= Mi/Mi+1 erhalten wir damit durchweglassen der doppelt vorkommenden Moduln eine Kompositi-onsreihe

Mm = (Mi0)m ⊃ . . . ⊃ (Mik)m = 0 ,und es gilt k > 0 genau dann, wenn ein i ∈ {0, . . . , n− 1} exis-tiert, sodass m = AnnR(Mi/Mi+1) ist.

Nun wollen wir diese Erkenntnisse auf unser Problem anwenden. ZumEinen folgt wegen der endlichen Länge von M , dass es nur endlich vieleMaximalideale m ⊂ R gibt, sodass Mm 6= 0 gilt. Somit ist die Summe

⊕

m∈SpecmR

Mm

3

Grundlagen

endlich.Zum anderen seien m 6= m̃ zwei Maximalideale. Dann gilt für die Kom-ponenten der Kompositionsreihe von Mm

((Mij )m/(Mij+1)m

)m̃∼= (R/m)m̃ = 0 ,

also ist wegen der ersten Feststellung ⊕

m̃∈SpecmR

Mm̃

=

⊕

m̃∈SpecmR

(Mm̃)m = Mm .

Damit ist die lokalisierte Abbildung αm : Mm→ Mm die Identität vonMm, also ein Isomorphismus. Nach dem lokal-global-Prinzip folgt nun,dass auch α ein Isomorphismus sein muss. �

Bemerkung 0.6Sei R ein noetherscher Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul.Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(i) M ist von endlicher Länge

(ii) Es existiert eine endliche Familie (m1, . . . ,mn) von Maximalidea-len von R, sodass für das Produktideal

(n∏

i=1

mi

)M = 0

gilt.

(iii) Alle Primideale p von R mit AnnR(M) ⊆ p sind maximal.(iv) Der Ring R/AnnR(M) ist artinsch.

Beweis: vgl. [Eis95][Korollar 2.17]. �

0.1.3 Algebren und Ringerweiterungen

In diesem Unterabschnitt führen wir verschiedene Aussagen über Al-gebren an, die im weiteren Verlauf der Arbeit benötigt werden.

Definition 0.7Seien R und B zwei (nicht notwendig kommutative) Ringe mit 1 undϕ : R→ B ein Ringhomomorphismus.

(i) Das Paar (B,ϕ) heißt dann R-Algebra, falls das Bild von ϕ imZentrum von B enthalten ist.

4

(ii) Der Homomorphismus ϕ heißt Strukturhomomorphismus dieserAlgebra.

Interessiert uns der Strukturhomomorphismus nicht, schreibenwir oft nur B statt (B,ϕ).

(iii) Ist der Strukturmorphismus injektiv, so betrachten wir ihn alsInklusionsabbildung und nennen R ⊂ B eine Ringerweiterung.

Im Weiteren setzen wir voraus, dass grundsätzliche Begriffe und Aus-sagen aus der Theorie der ganzen Ringerweiterungen bekannt sind.

Definition 0.8Sei (B,ϕ) eine (nicht notwendig kommutative) R-Algebra.

• B heißt ganz über R, falls ϕ(R) ⊆ B eine ganze Ringerweiterungist. Wir nennen ϕ dann einen ganzen Homomorphismus.

• B heißt endliche R-Algebra, falls B als R-Modul endlich erzeugtist.

Lemma 0.9Seien R und B Ringe.

(i) Sei (B,ϕ) eine ganze R-Algebra, P ⊂ B ein Primideal und p :=ϕ−1(P) das Urbild von P unter ϕ.Dann ist p genau dann ein Maximalideal von R, wenn P ein Ma-ximalideal von B ist.

(ii) Sei (B,ϕ) eine endliche R-Algebra und m ein Maximalideal vonR.

Dann liegen nur endlich viele Primideale über m, das heißt dieMenge

{P ∈ SpecB | ϕ−1(P) = m}ist endlich.

Beweis:

(i) vgl. [Bou89][V.2, Proposition 1].

(ii) vgl. [Bou89][V.2, Proposition 3].

�

Folgende Notation ist allgemein üblich:

Bezeichnung 0.10Wir schreiben P ∩ R statt ϕ−1(P). Im Fall einer Inklusionsabbildungentspricht das auch der mengentheoretischen Bedeutung.

5

Grundlagen

Korollar 0.11Sei (R,m,k) lokal und B eine endliche R-Algebra. Dann ist B semilokalund es gilt

SpecmB = {P ∈ SpecB | P ∩R = m} .

Proposition 0.12Sei (R,m,k) lokal, B eine endliche R-Algebra und B̄ := B/mB. Dannist die im Beweis von Satz 0.5 definierte kanonische Abbildung

α : B̄ −→∏

n∈SpecmB

B̄n

ein Isomorphismus von R-Algebren.

Beweis: Da B eine endliche R-Algebra ist, ist B̄ eine endliche k-Alge-bra. Da k ein Körper ist, ist B̄ somit artinsch und noethersch über k.Da nun jeder B-Untermodul von B̄ auch ein k-Untermodul ist, ist B̄auch über B artinsch und noethersch, also von endlicher Länge.Damit folgt mit Satz 0.5 die Isomorphie als B-Moduln. Da die ka-nonischen Abbildungen κn auch Ringhomomorphismen sind, folgt dieBehauptung. �

Proposition 0.13Sei (R,m,k) lokal, B eine endlich erzeugte R-Algebra und B̄ := B/mB.Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

(i) B =∏

i∈I Bi mit Bi lokal

(ii) α : B −→ ∏n∈SpecmB Bn ist ein Isomorphismus

(iii) B̄ =∏

n∈SpecmB B̄n lässt sich zu einer Zerlegung von B liften

Beweis: vgl. [Ray70][I.1, Proposition 3]. �

Bevor wie die nächste Aussage formulieren können, benötigen wir nocheine Bezeichnung.

Bezeichnung 0.14Wir bezeichnen das Jacobsonradikal eines (nicht notwendig kommuta-tiven) Ringes A stets mit Jac(A).

Proposition 0.15Sei (R,m,k) ein kommutativer, lokaler Ring, B eine (nicht notwendig

kommutative) endliche R-Algebra und B̄ := B/mB. Dann gilt

(i) mB ⊆ Jac(B)

6

(ii) Die kanonische Projektion π : B → B̄ induziert einen k-Algebra-Isomorphismus

B/Jac(B) ∼= B̄/Jac(B̄)(iii) B/Jac(B) ist artinsch und halbeinfach, das heißt zu jedem echten

Linksideal I existiert ein Linksideal J , sodass B/Jac(B) = I ⊕J .(iv) Es existiert ein k ≥ 1, sodass (Jac(B))k ⊆ mBBeweis: vgl. [CR90][5.22]. �

0.2 Idempotente, Unzerlegbarkeit und kompletteRinge

Da unzerlegbare Moduln in späteren Kapiteln dieser Arbeit eine we-sentliche Rolle spielen werden, charakterisieren wir sie in diesem Ab-schnitt über gewisse Eigenschaften ihrer Endomorphismenringe.Außerdem geben wir in diesem Abschnitt noch das Krull-Schmidt-Azumaya-Theorem an, welches besagt, dass ein Modul über bestimm-ten Ringen im Wesentlichen eindeutig in unzerlegbare Moduln zerleg-bar ist.Um uns den späteren Umgang mit formalen Potenzreihen zu erleich-tern, führen wir zudem noch zwei Sätze an, die es uns erlauben, un-ter bestimmten Umständen Nullstellen und Idempotente aus speziellenFaktorringen in den Ring selbst zu liften.Da es den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde, setzen wir die Kennt-nis der I-adischen Topologie bezüglich einem Ideal I voraus. DieseThematik ist zum Beispiel in [AM69][Kapitel 9] gut verständlich darge-stellt. Ebenso verzichten wir darauf, näher auf die Theorie nichtkom-mutativer Ringe einzugehen. Eine kurze Einführung in selbige findetsich zum Beispiel im Grundlagenkapitel von [CR90].

Definition 0.16Sei A ein (nicht notwendig kommutativer) Ring und M ein A-Modul.

(i) Ein Element a ∈ A heißt idempotent, falls a2 = a gilt. Wir nennenein Element a echtes Idempotent, falls a idempotent ist und a 6∈{0, 1} gilt.

(ii) M heißt unzerlegbar, falls aus M = M1 ⊕M2 entweder M1 = 0oder M2 = 0 folgt.

Bemerkung 0.17Sei A ein beliebiger Ring und M ein A-Linksmodul. Dann gelten fol-gende Aussagen:

7

Grundlagen

(i) M ist genau dann unzerlegbar, wenn EndA(M) keine echten Idem-potente besitzt.

(ii) Ist EndA(M) lokal, so ist M unzerlegbar.

Beweis:

(i) Ist M zerlegbar, so sind die Projektionen auf seine direkten Sum-manden echte Idempotente. Ist andererseits π ∈ EndA(M)\{0, id}ein echtes Idempotent und m ∈M . Dann gilt m = (m− π(m)) +π(m) ∈ ker π+im π. Für x ∈ ker π∩ im π erhalten wir x = π(x) =0. Also ist M = ker π ⊕ im π. Da π| imπ = idim π gilt, folgt ausder Voraussetzung π 6∈ {0, id}, dass beide Summanden nichtrivialsind.

(ii) Sei EndA(M) lokal, das heißt die Summe zweier Nichteinheitenist wieder eine Nichteinheit. Ist nun π ∈ EndA(M) idempotent,dann gilt 0 = π(id−π). Ist π eine Nichteinheit, dann folgt aus derLokalität von EndA(M), dass id−π eine Einheit ist. Durch Ver-knüpfung mit dessen Inversen folgt dann π = 0. Ist π andererseitseine Einheit, so erhalten wir analog π = id.

�

Satz 0.18 (Liftung von Idempotenten)Sei A ein (nicht notwendig kommutativer) Ring, I ⊆ Jac(A) ein zwei-seitiges Ideal, sodass A I-adisch komplett ist.Dann existiert zu jedem Idempotent ε ∈ A/I ein idempotentes Elemente ∈ A mit e = ε ∈ A/IBeweis: vgl. [CR90][6.7]. �

Definition 0.19Wir nennen einen lokalen Ring (R,m,k) komplett, falls er m-adischkomplett ist.

Lemma 0.20Sei (R,m,k) ein kompletter, noetherscher lokaler Ring, A eine (nichtnotwendig kommutative) als R-Modul endlich erzeugte Algebra und Iein zweiseitiges Ideal von A, das im Jacobsonradikal Jac(A) enthaltenist.Dann ist A bezüglich der I-adischen Topologie komplett.

Beweis: vgl. [CR90][6.5]. �

8

Lemma 0.21Sei (R,m,k) ein noetherscher, kompletter, lokaler Ring und B einenicht notwendig kommutative, endliche R-Algebra.Hat B nur triviale Idempotente, so ist B lokal.

Beweis: Nach [CR90][5.21] genügt es zu zeigen, dass B/Jac(B) einSchiefkörper ist.Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall ist. Dann besitzt B/Jac(B)ein echtes Linksideal I.Ebenfalls nach Proposition 0.15 ist B/Jac(B) halbeinfach und artinsch,das heißt es existiert ein Linksideal J , sodass B/Jac(B) = I ⊕ J . Alsogibt es eine Zerlegung der Eins in Summanden aus I und J impliziert,existiert ein echtes Idempotent ε ∈ I.Nun ist B nach Lemma 0.20 komplett bezüglich Jac(B), und somitexistiert nach Satz 0.18 ein Idempotent e ∈ B, dessen Klasse e moduloJac(B) die Gleichung e = ε erfüllt. Also ist e 6∈ {0, 1}. �

Korollar 0.22Sei (R,m,k) ein lokaler, kompletter, noetherscher Ring und M einendlich erzeugter R-Modul.Dann ist M genau dann unzerlegbar, wenn EndR(M) lokal ist.

Beweis: Da M endlich erzeugt ist, existiert ein surjektiver Homomor-phismus Rn → M . Durch Anwendung von HomR(−,M) erhalten wirdamit eine Einbettung von EndR(M) in HomR(R

n,M) ∼= Mn. Da Mnals endlich erzeugter Modul über einem noetherschen Ring noetherschist, ist EndR(M) damit endlich erzeugt, und somit lässt sich Lemma0.21 anwenden. �

Satz 0.23 (Henselsches Lemma)Sei (R,m,k) ein kompletter, lokaler Ring und sei f ∈ R[x] ein Polynommit Koeffizienten aus R und a ∈ R. Wir bezeichnen mit f ′ die formaleAbleitung von f .Gilt

f(a) ≡ 0 mod f ′(a)2m ,so existiert ein ein b ∈ R mit

f(b) = 0 und b ≡ a mod f ′(a)m .

Ist f ′(a) ein Nichtnullteiler, so ist b eindeutig bestimmt.

Beweis: vgl. [Eis95][Theorem 7.3] und den Beweis dazu in [Eis95][S.202]. �

9

Grundlagen

Satz 0.24 (Krull-Schmidt-Azumaya)Sei (R,m,k) ein lokaler, kompletter, noetherscher Ring und M einendlich erzeugter R-Modul.Dann besitzt M eine endliche Zerlegung

M =r⊕

i=1

Mi

in unzerlegbare Moduln Mi. Diese Zerlegung ist bis auf Isomorphie undReihenfolge eindeutig bestimmt.

Beweis: vgl. [CR90][6.12] �

0.3 Grundlagen aus der homologischen Algebra

0.3.1 Notation und einige grundlegende Aussagen

Wir führen in diesem Abschnitt im Wesentlichen nur unsere Notationfür einige wichtige Begriffe der homologischen Algebra ein und verzich-ten aus Platzgründen weitgehend darauf, die ausführlichen Definitio-nen anzugeben. Stattdessen führen wir an den entsprechenden StellenLiteratur an, in denen diese unserer Meinung nach gut verständlichdargestellt sind. Ansonsten sind sie auch in jedem beliebigen Lehrbuchzu den Grundlagen der kommutativen Algebra zu finden.In diesem Abschnitt sei R ein kommutativer, unitärer Ring und M einR-Modul.

Bezeichnung 0.25Für die Definitionen vgl. z.B. [Jac89][Kapitel 6].

(i) Wir bezeichnen einen Komplex mit R-Moduln Ci, i ∈ N undDifferential (di)i∈N mit R-Homomorphismen di : Ci → Ci−1 gele-gentlich mit (Ci, di)i∈I .

(ii) Sind alle Moduln eines Komplexes frei (respektive projektiv),nennen wir diesen Komplex einen freien (respektive projektiven)Komplex.

(iii) Ist M ein weiterer R-Modul, (Ci, di) ein Komplex und ε : C0 →Mein R-Homomorphismus mit ε ◦ d1 = 0, so bezeichnen wir diesenKomplex als Komplex über M .

Die Abbildung ε nennen wir dann Augmentierung.

10

(iv) Sei (Ci, di) ein Komplex über M mit Augmentierung ε, so nennenwir (Ci, di) Auflösung von M , falls er an allen Stellen (inklusiveC0) exakt ist, und ε surjektiv ist.

Unter einer augmentierten Auflösung verstehen wir die gesamteexakte Folge, einschließlich M und ε.

(v) Analog gehen wir bei Kokomplexen (Ci, di) mit di → di+1 undAuflösungen mit einem injektiven Homomorphismus η : M → C0mit im η = ker d0 vor.

Nun kommen wir zu einigen der wichtigsten Funktoren in der kommu-tativen Algebra. Dafür setzen wir die Kenntnis des Funktors M ⊗R −und des Bifunktors HomR(−,−) voraus (vgl. zB. [Jac89]).Wird im Folgenden ein Funktor einer Kategorie von Moduln auf einenKomplex angewendet, so ist dies komponentenweise zu verstehen.

Bezeichnung/Bemerkung 0.26(i) Seien C := (Ci, di) und C′ := (C ′i, d′i) Komplexe und

α := (αi) : C → C′

ein Morphismus von Komplexen.

Der Funktor Hi von der Kategorie der Komplexe von R-Modulnin die Kategorie der R-Moduln mit

Hi(C) := ker di/ im di+1 und Hi(α) := αi ,

wobei α : Hi(C) → Hi(C′) die Klasse von c ∈ Ci auf die Klassevon αi(c) abbildet, heißt i-ter Homologiefunktor.

Analog ist für einen Kokomplex D := (Di, δi) die i-te Kohomolo-gie Hi(D) := ker δi/ im δi−1.

(ii) Mit TorRi (M , −) bezeichnen wir den i-ten linksabgeleiteten Funk-tor von M ⊗R −, das heißt:Sei F = (Pi, di) eine projektive Auflösung von N ∈ (modR), dannist

TorRi (M , N) := Hi(M ⊗ F) .

(iii) ExtiR(− , M) sei der (kontravariante) i-te rechtsabgeleitete Funk-tor von HomR(−,M), das heißt zu einem Modul N wählen wirwieder eine projektive Auflösung F und setzen

ExtiR(N , M) := Hi(HomR(F ,M)) .

11

Grundlagen

(iv) Analog definieren wir den (kovarianten) i-ten linksabgeleitetenFunktor ExtiR(M , −) durch

ExtiR(M , N) := Hi(HomR(M, I)) ,

wobei I eine injektive Auflösung von N ist.Diese Definitionen sind alle von der gewählten Auflösung unabhängig.

Im folgenden Lemma geben wir noch einige ausgewählte Eigenschaftendieser Funktoren an. Für Beweise verweisen wir auf [Jac89][Kapitel 6].

Lemma 0.27Seien N und M beliebige R-Moduln.

(i) Es gilt

Ext0R(M , N)∼= HomR(M,N) und TorR0 (M , N) ∼= M ⊗R N .

(ii) Ist der urspüngliche Funktor exakt, dann verschwinden die i-tenabgeleiteten Funktoren für i ≥ 1.

(iii) Ist0 // N ′ // N // N ′′ // 0

eine kurze exakte Folge, dann existieren Verbindungshomomor-phismen δi : Ext

i(M , N ′′)→ Exti(M , N ′), sodass die Folge

0 // Hom(M,N ′) // Hom(M,N) // Hom(M,N ′′)

δ1 // Ext1(M , N ′) // Ext1(M , N) // Ext1(M , N ′′) . . .

exakt ist.

Analog gibt es auch solche langen exakten Folgen für den kontra-varianten Ext-Funktor und für Tor.

Im Unterabschnitt 0.3.4 werden wir für Ext1R(− , −) eine äquivalenteDefinition kennenlernen, die einen Bezug zu kurzen exakten Folgenherstellt.Nun stellen wir noch einige Begriffe und Aussagen zusammen, die wirim Rest dieser Arbeit häufiger benötigen.

Definition 0.28Sei M ein R-Modul. Wir nennen

proj-dim(M) := sup {n ∈ N | ∃N ∈ (modR) mit Extn(M , N) 6= 0}die projektive Dimension von M .

12

Satz 0.29Seien M und M ′ zwei R-Moduln und g : M →M ′ ein R-Modulhomo-morphismus. Weiter sei C := (Ci, di) ein projektiver Komplex über Mmit Augmentierung ε und C′ := (C ′i, d′i) eine Auflösung von M mitAugmentierung ε′.Dann existiert ein Morphismus (αi) : C → C′ von Komplexen, der gliftet, das heißt das folgende Diagramm kommutiert:

. . . // Cndn //

αn��

Cn−1 //

αn−1��

. . . // C0ε //

α0��

M //

g

��

0

. . . // C ′nd′n // C ′n−1 // . . . // C

′0

ε //M′ // 0

Diese Morphismus ist bis auf Homotopie eindeutig.

Beweis: [Jac89][Satz 6.3]. �

0.3.2 Minimale freie Auflösungen

In diesem Abschnitt setzen wir uns noch einmal gesondert mit demBegriff der minimalen freien Auflösung auseinander, der vor allem indem Kapitel über Matrixfaktorisierungen eine wichtige Rolle spielenwird.Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen Eigenschaften mi-nimaler freier Auflösungen und der minimalen Länge eines Erzeugen-densystems eines endlich erzeugten Moduls M her. Für letztere ver-wenden wir im Weiteren die Bezeichnung µ(M).

Definition 0.30Sei (R,m,k) lokal und M ein endlich erzeugter R-Modul.Eine exakte Folge

. . . // Lidi // Li−1

di−1 // . . . // L1d1 // L0

ε //M // 0

heißt (augmentierte) minimale freie Auflösung von M , falls folgendeBedingungen erfüllt sind:

(i) Für alle i ≥ 0 ist Li frei und von endlichem Rang über R(ii) Für alle i ≥ 1 gilt diLi ⊆ mLi−1(iii) ε ist surjektiv und ker ε ⊆ mL0Bemerkung 0.31Bedingung (ii) ist äquivalent zu di ⊗ k = 0 und Bedingung (iii) istgleichbedeutend damit, dass ε⊗ k ein Isomorphismus ist.

13

Grundlagen

Die folgende Bemerkung lässt sich mit dem Lemma von Nakayamaleicht überprüfen.

Bemerkung 0.32Sei (R,m,k) lokal und M ein endlich erzeugter R-Modul.Dann ist eine Familie (x1, . . . , xn) genau dann ein minimales Erzeugen-densystem von M , wenn die Familie der Klassen (x1, . . . , xn) modulomM eine k-Basis ist.Insbesondere ist µ(M) = dimkM/mM = dimkM ⊗ k.Bemerkung 0.33Sei (R,m,k) ein lokaler Ring, F = (Fi, ∂i) eine minimale Auflösungvon M und G = (Gi, di) eine andere freie Auflösung von M , sowieα = (αi) : F → G und β = (βi) : G → F Morphismen von Komplexen,die beide idM liften.Dann ist β ◦ α ein Automorphismus von F .Beweis: (vgl. Beweis von [Eis95][20.2])Nach Voraussetzung liftet β ◦ α : F → F die Identität von M . Dader Morphismus idF die Identität ebenfalls liftet, ist β ◦ α nach Satz0.29 homotop zur Identität, das heißt es existieren R-Homomorphismenhi : Fi → Fi+1, sodass

idFi −βi ◦ αi = ∂i+1 ◦ hi + hi−1 ◦ ∂i .Da F minimal ist, und hi−1 ein Modulhomomorphismus ist, ist damit

im(idFi −βi ◦ αi) ⊂ mFi .Folglich ist det(βi ◦ αi) ≡ 1 mod m und damit ist β ◦ α ein Automor-phismus von F �

Satz 0.34Sei (R,m,k) ein lokaler Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul,der eine minimale freie Auflösung F besitzt. Dann gilt:

(i) Jede freie Auflösung von M ist isomorph zu einer direkten Summevon F mit einem trivialen Komplex.

(ii) F ist bis auf Isomorphie von Komplexen eindeutig bestimmt.Beweis: vgl. [Eis95][20.2]. �

Satz 0.35Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring undM ein endlich erzeugterR-Modul.Dann besitzt M eine minimale freie Auflösung.

14

Beweis: Wir konstruieren für i ≥ 0 induktiv freie Moduln Fi von end-lichem Rang und die benötigten Abbildungen.

i = 0: Wir setzen β0 := µ(M) und F0 := Rβ0 . Weiter wählen wir ein

minimales Erzeugendensystem (x1, . . . , xβ0) von M und eine Basis(e1, . . . , eβ0) von F0.

Dann definieren wir

ε : F0 →M via ei 7→ xi .

i = 1: DaM also endlich erzeugter Modul über einem noetherschen Ringnoethersch ist, ist der Untermodul ker ε endlich erzeugt. Somit istdie Zahl β1 := µ(ker ε) endlich.

Wir setzen F0 := Rβ1 und mit einem minimalem Erzeugenden-

system (yi) von ker ε und einer Basis (bi) von F0 definieren wir

ϕ1 : F1 → F0 via βi 7→ yi .

i > 1: Wir setzen βi := µ(kerϕi−1) und Fi := Rβi. Dann definieren wir

die Abbildung ϕi : Ri → Fi−1 analog zu oben.

Nun zeigen wir, dass

. . . // Fiϕi // Fi−1

ϕi−1 // . . . // F1ϕ1 // F0

ε //M // 0

eine augmentierte minimale freie Auflösung von M ist.Nach Konstruktion ist diese Folge exakt und die Fi sind frei und vonendlichem Rang. Da ε ein minimales Erzeugendensystem von F0 aufein minimales Erzeugendensystem von M abbildet ist ε ⊗ k wegenBemerkung 0.32 ein Isomorphismus.Da der Tensorfunktor rechtsexakt ist, erhalten wir damit ϕ1 ⊗ k = 0.Für den Rest des Beweises setzen wir zur Vereinheitlichung ϕ0 := ε.Für i ≥ 1 sind wir nach Konstruktion mit der aufgespaltenen Folge

. . . // Fi+1ϕi+1 // Fi // kerϕi−1 // 0

in derselben Situation wie oben und erhalten ϕi⊗ k = 0 für alle i ≥ 2.�

Definition 0.36Die Zahl βi(M) := βi aus obigem Beweis heißt i-te Betti-Zahl von M .

15

Grundlagen

Lemma 0.37Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring undM ein endlich erzeugterR-Modul mit minimaler, freier Auflösung

F : . . . // Fi di // Fi−1di−1 // . . . // F1

d1 // F0ε //M // 0

Dann gilt für alle i ≥ 0

rankFi = dimk Tori(k , M)

Beweis: vgl. [Mat89][§19, Lemma 1.(i)]. �

Bemerkung 0.38Seien R und M wie oben. Dann gilt:

(i) proj-dimM = sup {d | Tord(k , M) 6= 0}

(ii) dimk Tori(k , M) = βi(M)

(iii) M besitzt genau dann eine minimale, freie Auflösung der Länged, wenn proj-dimM = d gilt.

Beweis: vgl. [BH98][1.3.2]. �

0.3.3 Syzygien

Die Bedeutung von Syzygien für diese Arbeit besteht unter anderem indem in Korollar 0.89 dargestellten Zusammenhang zur Cohen-Macau-lay-Eigenschaft. Wir geben hier nur die Definition und naheliegendeFolgerungen an.

Definition 0.39Sei R ein lokaler noetherscher Ring und sei

0 −→ N −→ Fn−1 −→ Fn−2 −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→M −→ 0

eine exakte Folge von R-Moduln von endlichem Typ, wobei die R-Moduln Fi frei seien. Denn heißt N eine n-te Syzygie von M . Falls dieTeilfolge

Fn−1 −→ Fn−2 −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ M −→ 0

eine minimale freie Auflösung von M ist, heißt N eine reduzierte n-teSyzygie.

16

Bemerkung 0.40Nach den Sätzen 0.34 und 0.35 besitzt ein ModulM von endlichem Typüber einem lokalen noetherschen Ring stets eine bis auf Isomorphie ein-deutige minimale freie Auflösung. Deshalb ist auch die reduzierte n-teSyzygie von M bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Wir bezeichnensie mit syzn(M) und legen als Konvention syz0(M) := 0 fest.Weil die freie Auflösung in diesem Fall minimal ist, besitzt syzn(M)keinen freien direkten Summanden. Wegen Satz 0.34 (i) gilt für einebeliebige n-te Syzygie N von M stets N = syzn(M) ⊕ G mit einemgeeigneten freien R-Modul G.Für einen freien R-Modul F ist die minimale freie Auflösung durch

. . . −→ 0 −→ 0 −→ F idF−→ F −→ 0

gegeben, daher gilt in diesem Fall syzn(F ) = 0 für alle n ∈ N.

0.3.4 Zerfallende Morphismen und Erweiterungen

In diesem Abschnitt des Grundlagenkapitels wollen wir den Begriff deszerfallenden Morphismus einführen, der später in Bezug auf die AR-Folgen und die AR-Köcher von großer Bedeutung sein wird. Deswei-teren wollen wir Erweiterungen definieren und ihren Zusammenhangzum Ext-Funktor klären.

Zerfallende Morphismen

Definition 0.41Ein Modulhomomorphismus f : M → N heißt zerfallender Monomor-phismus , falls f ein Linksinverses besitzt, d. h. es existiert ein Morphis-mus h : N →M mit h ◦ f = idM .f heißt zerfallender Epimorphismus, falls f ein Rechtsinverses besitzt,das bedeutet, es existiert ein Morphismus h : N →M mit f ◦h = idN .f zerfällt beziehungsweise ist ein zerfallender Morphismus, wenn er ent-weder zerfallender Monomorphismus oder zerfallender Epimorphismusist.

Daraus ergibt sich unmittelbar die

Bemerkung 0.42Der Morphismus f : M → N ist genau dann ein zerfallender Mono-morphismus (Epimorphismus), wenn M direkter Summand von N(Ndirekter Summand von M) ist. �

Wir kommen nun zu einigen Eigenschaften von zerfallenden Morphis-men. Dazu erinnern wir, dass ein Modul N 6= 0 unzerlegbar heißt, falls

17

Grundlagen

für Untermoduln N1 und N2 von N mit der Eigenschaft N = N1 ⊕N2folgt, dass N1 = 0 oder N2 = 0 ist.

Lemma 0.43Seien M 6= 0 und N 6= 0 zwei R-Moduln sowie g : M → N ein R-Homomorphismus, dann gilt:

(i) Falls N unzerlegbar ist, dann ist g genau dann ein zerfallenderMonomorphismus, wenn g bereits ein Isomorphismus ist.

(ii) Falls M unzerlegbar ist, dann ist g genau dann ein zerfallenderEpimorphismus, wenn g bereits ein Isomorphismus ist.

Beweis:(i) Falls g ein Isomorphismus ist, dann ist er automatisch auch einzerfallender Monomorphismus, da ein Linksinverses zu g existiert. Um-gekehrt folgt, dass M direkter Summand von N ist und mit der Unzer-legbarkeit von N muss g bereits ein Isomorphismus sein.Die Aussage (ii) wird analog zu (i) bewiesen. �

Lemma 0.44Es sei (R,m,k) ein kompletter, lokaler Ring und f : M → L sowie g :N → LMorphismen von R-Moduln, die keine zerfallenden Epimorphis-men sind. Ist L unzerlegbar, dann ist der durch die Universaleigenschaftder direkten Summe gegebene Homomorphismus (f, g) : M ⊕ N → Lauch kein zerfallender Epimorphismus.

Beweis:Angenommen (f, g) sei ein zerfallender Epimorphismus. Dann existiertein Rechtsinverses h : L→M ⊕N mit (f, g)◦h = idL. Nun stellen wirh = (ab ) in seinen Komponentenfunktionen a : L→ M und b : L→ Ndar, d. h. für l ∈ L ist

h(l) = a(l) + b(l) ,

dann giltidL = (f, g) ◦ (ab ) = f ◦ a+ g ◦ b .

Mit 0.24 wissen wir, dass EndR(L) lokal ist und somit die Summe vonNichteinheiten wieder eine Nichteinheit ist. Daraus folgt, dass entwederf ◦ a oder g ◦ b eine Einheit sein muss. Dies ist jedoch ein Widerspruchzum Nichtzerfallen von f und g. �

Lemma 0.45Es sei (R,m,k) ein kompletter lokaler Ring, f : N → M ein R- Mo-dulhomomorphismus und N =

⊕iNi die im Wesentlichen eindeutige

18

Zerlegung von N in seine unzerlegbaren Untermoduln nach 0.24. Wirdefinieren weiterhin Mj := M/f(

∑i6=j Ni) und

fj : Nj →Mjnj 7→ πj ◦ f(nj) ,

wobei πj die Projektion von M auf Mj ist. Falls alle fj zerfallendeMonomorphismen sind, so ist auch f ein zerfallender Monomorphismus.

Beweis:Die Wohldefiniertheit der fj ’s ist klar durch die Konstruktion. Da allefj zerfallende Monomorphismen sind, existieren deren Linksinverse hj :Mj → Nj mit hj ◦ fj = idNj . Der Morphismus h : M → N sei definiertdurch h =

∑j hj ◦ πj. Wir zeigen nun, dass h das Linksinverse von f

ist; dazu sei n ∈ N gegeben. Dann existiert genau ein j0 mit n ∈ Nj0und es gilt f(n) = f|Nj0 (n). Daraus folgt:

h ◦ f(n) =(∑

i

hi ◦ πi)

(f|Nj0 (n)) =∑

i

hi ◦ ((πi ◦ f|Nj0 )(n))

= hj0 ◦ ((πj0 ◦ f|Nj0 )︸︷︷︸= fj0

(n)) = idNj0 (n)

Damit ist die Behauptung bewiesen. �

Erweiterungen und der Ext-Funktor

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und wir bezeichnen mit (modR)die abelsche Kategorie der R-Moduln.

Definition 0.46• Es seien M und N zwei R-Moduln. Eine Erweiterung von N nachM ist eine kurze exakte Folge

s : 0→ N → E → M → 0in (modR).

• Ein Morphismus ∆ : s → s′ von zwei Erweiterungen ist ein Tri-pel ∆ = (α, β, γ) von R-Homomorphismen, so dass das folgendeDiagramm kommutiert

s : 0 N E M 0

s′ : 0 N ′ E ′ M ′ 0

-

?

α

-

?

β

-

?

γ

-

- - - -

.

19

Grundlagen

• Zwei Erweiterungen s und s′ von N nach M heißen kongruent(s ≡ s′), falls es einen Morphismus ∆ = (idN , β, idM) von s nachs′ gibt.

Beispiel 0.47Seien M,N ∈ (modR), dann ist die Folge

0→ N ι→ N ⊕M π→M → 0

mit der natürlichen Inklusion ι und der natürlichen Projektion π exaktin (modR) und somit eine Erweiterung von N nach M . Diese Folgewird oft auch die triviale Folge beziehungsweise die triviale Erweiterunggenannt.

Bemerkung 0.48Für zwei kongruente Erweiterungen s und s′ mit ∆ = (idN , β, idM)gilt offensichtlich, dass β ein Isomorphismus sein muss. Damit wirdersichtlich, dass durch≡ eine Äquivalenzrelation auf den Erweiterungenvon N nach M gegeben ist.

Definition 0.49Wir bezeichnen mit ExtR(M , N) die Menge aller Kongruenzklassenvon Erweiterungen von N nach M .

Bemerkung 0.50 (zerfallende Folge)Eine Erweiterung

s : 0→ N i→ E p→M → 0

heißt zerfallend , wenn sie kongruent zu der trivialen Erweiterung ausBeispiel 0.47 ist. Dies ist äquivalent dazu, dass i ein zerfallender Mo-nomorphismus oder p ein zerfallender Epimorphismus ist.

Beweis:Falls s zerfällt, so gibt es einen Isomorphismus β : E → N ⊕M , d. h.N und M sind direkte Summanden von E. Somit muss nach Korollar0.42 der Morphismus i ein zerfallender Mono- und der Morphismus pein zerfallender Epimorphismus sein.Sei umgekehrt i ein zerfallender Monomorphismus, dann ist N ein di-rekter Summand von E, d. h. E ≃ N ⊕ N ′ für ein R-Modul N ′. Dajedoch im(p) ≃ E/ ker(p) ≃ E/ im(i) ≃ N ′ gilt, istM ≃ N ′ ein direkter

20

Summand von E und es existiert das folgende kommutative Diagramm

s : 0 N E M 0

0 N N ⊕M M 0

-

?

idN

-

?

∃β ≃

-

?

idM

-

- - - -

.

Somit ist s kongruent zur trivialen Erweiterung. �

Als nächstes werden wir zeigen, dass Ext(− , −) ein kovarianter Funk-tor in der zweiten Komponente und kontravariant in der ersten Kom-ponente ist.

Lemma 0.51Sei s ∈ ExtR(N , M) eine Erweiterung und α : N → N ′ ein R-Homomorphismus, dann existiert eine Erweiterung s′ ∈ ExtR(N ′ , M)und ein Morphismus ∆ = (α, β, idM) von s nach s

′. Die Erweiterung s′

ist dabei bis auf Kongruenz eindeutig und wir bezeichnen sie mit αs.

Beweis:Um die Existenz zu beweisen, müssen wir einen R-Modul E ′ und Mor-phismen i′, β und p′ finden, so dass das folgende Diagramm kommutiertund die untere Folge s′ exakt ist:

s : 0 N E M 0

s′ : 0 N ′ E ′ M 0

-

?

α

-ip

p

p

p

p

p

p

p

p

p?

β

-p

?

idM

-

- p p p p p p p p-i′

p p p p p p p p p-p′

-

Betrachten wir die direkte Summe N ′ ⊕E und den Untermodul

Q := {(−α(n), i(n)) ∈ N ′ ⊕ E|n ∈ N} ⊆ N ′ ⊕ E ,

dann setzen wir E ′ := (N ′ ⊕ E)/Q und definieren die gesuchten Mor-phismen wie folgt:

i′ : N ′ → E ′ , p′ : E ′ → M , β : E → E ′n′ 7→ [(n′, 0)] [(n′, e)] 7→ p(e) e 7→ [(0, e)]

Dabei ist p′ wohldefiniert, weil für alle n ∈ N gilt:

p′(0) = p′([(−α(n), i(n))]) = p(i(n)) = 0

21

Grundlagen

s′ ist exakt

• Der Morphismus i′ ist injektiv.Sei n′ ∈ ker(i′), dann ist i′(n′) = [(n′, 0)] = [0], d. h. es existiert einn ∈ N mit (n′, 0) = (−α(n), i(n)). Daraus folgt, dass n′ = −α(n)und i(n) = 0 ist. Da i injektiv ist, muss n = 0 sein und somitauch n′ = 0.

• Der Morphismus p′ ist surjektiv.Sei m ∈M , dann existiert ein e ∈ E mit p(e) = m, da p projektivist. Somit ist [(0, e)] ein Urbild von m unter p′.

• ker(p′) = im(i′).Offensichtlich ist p′ ◦ i′ = 0, d. h. im(i′) ⊆ ker(p′).Sei nun [(n′, e)] ∈ ker(p′), dann ist e ∈ ker(p) = im(i), d. h. esexistiert ein n ∈ N mit i(n) = e. Weiterhin gilt jedoch in E ′:

[(0, i(n))] = [(α(n)− α(n), i(n))] = [(α(n), 0) + (−α(n), i(n))]= [(α(n), 0)] + [(−α(n), i(n))] (0.3.1)= [(α(n), 0)]

Damit ist

i′(n′ + α(n)) = [(n′, 0)] + [(α(n), 0)] = [(n′, i(n))] = [(n′, e)] .

Das Diagramm kommutiert

Da p′(β(e)) = p′([(0, e)]) = p(e) ist, kommutiert das rechte Quadrat.Das linke Quadrat kommutiert wegen

(i′ ◦ α)(n) = [α(n), 0] 0.3.1= [(0, i(n))]= (β ◦ i)(n) .

Damit ist die Existenz der Erweiterung s′ bewiesen.Für die Eindeutigkeit sei

s′′ : 0→ N ′ i′′

→ E ′′ p′′

→M → 0eine andere Erweiterung für die ein Morphismus β ′′ existiert, so dass(α, β ′′, idM) ein Morphismus von s nach s

′′ ist. Der R-Homomorphismus

β ′ : E ′ → E ′′[(n′, e)] 7→ i′′(n′) + β ′′(e)

ist wohldefiniert, da

β ′([0]) = β ′([(−α(n), i(n))]) = i′′(−α(n)) + β ′′(i(n))︸︷︷︸=α(n)

= 0 .

22

Das Diagramm

s′ : 0 N ′ E ′ M 0

s′′ : 0 N ′ E ′′ M 0

-

?

idN′

-i′

?

β′

-p′

?

idM

-

- -i′′

-p′′

-

kommutiert, da β ′(i′(n′)) = β ′([(n′, 0)]) = i′′(n′) ist und es gilt:

(p′′ ◦ β ′)([(n′, e)]) = p′′(i′′(n′) + β ′′(e))= 0 + p′′(β ′′(e)) = p(e)

= p′([(n′, e)])

�

Satz 0.52Wir bezeichnen mit (set) die Kategorie der Mengen, dann ist die Ab-bildung

ExtR(M , −) : (modR)→ (set)N 7→ ExtR(M , N)α 7→ ExtR(M , α)(s) := αs

ein kovarianter Funktor von der Kategorie der R-Moduln in die Kate-gorie der Mengen.

Beweis:Wegen Lemma 0.51 ist die Abbildung wohldefiniert und es gilt

ExtR(M , idN )(s) = idN s ≡ s

für alle Erweiterungen s ∈ ExtR(M , N). Durch die Konstruktion inLemma 0.51 ist

ExtR(M , α ◦ β)(s) ≡ ExtR(M , α)(ExtR(M , β)(s))

für alle Erweiterungen s ∈ ExtR(M , N). �

Lemma 0.53Sei s ∈ ExtR(N , M) eine Erweiterung und γ : M ′ → M ein R-Homomorphismus, dann existiert eine Erweiterung s′ ∈ ExtR(N , M ′)und ein Morphismus ∆ = (idN , β, γ) von s

′ nach s. Die Erweiterung s′

ist dabei bis auf Kongruenz eindeutig und wir bezeichnen sie mit sγ.

23

Grundlagen

Beweis:Der Beweis verläuft analog wie der Beweis zu Lemma 0.51. Um dieExistenz des kommutativen Diagramm

s′ : 0 N E ′ M ′ 0

s : 0 N E M 0

-

?

idN

p p p p p p p p-i′

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p?

β

p p p p p p p p-p′

?

γ

-

- -i -p -

zu zeigen, wählen wir für E ′ den Untermodul von E ⊕M ′ mitE ′ = {(e,m′) ∈ E ⊕M ′| p(b) = γ(m′)} .

Die dazugehörigen Morphismen sind

i′ : N → E ′ , p′ : E ′ →M ′ , β : E ′ → En 7→ (i(n), 0) (e,m′) 7→ m′ (e,m′) 7→ e .

Für die Eindeutigkeit sei

s′′ : 0→ N i′′

→ E ′′ p′′

→ M ′ → 0eine andere Erweiterung, so dass (idN , β

′′, γ) : s′′ → s existiert, dannerhalten wir mit (idN , β

′, idM ′), wobei

β ′ : E ′′ → E ′e′′ 7→ (β ′′(e′′), p′′(e′′))

ist, eine Kongruenz s′′ ≡ s′. �

Satz 0.54Wir bezeichnen mit (set) die Kategorie der Mengen, dann ist die Ab-bildung

ExtR(− , N) : (modR)→ (set)M 7→ ExtR(M , N)γ 7→ ExtR(γ , N)(s) := sγ

ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der R-Moduln in dieKategorie der Mengen.

Beweis:Der Beweis verläuft analog zum Beweis von Satz 0.52. �

Wir wollen nun die Menge ExtR(M , N) mit einer Gruppenstrukturversehen. Dazu seien die folgenden zwei Morphismen definiert:

24

Definition 0.55Der Diagonalhomomorphismus eines Moduls M ist der R- Homomor-phismus

△ (M) : M →M ⊕Mm 7→ (m,m)

und der Kodiagonalhomomorphismus eines Moduls N ist der R- Ho-morphismus

▽(N) : N ⊕N → N(n1, n2) 7→ n1 + n2 .

Weiterhin bezeichnen wir für zwei Erweiterungen

sj : 0→ Njij→ Ej

pj→Mj → 0

mit s1 ⊕ s2 die Erweiterung der direkten Summe, d. h.

s1 ⊕ s2 : 0→ N1 ⊕N2 i1⊕i2−→ E1 ⊕ E2 p1⊕p2−→ M1 ⊕M2 → 0

mit

(i1 ⊕ i2)(n1, n2) = (i1(n1), i2(n2)) und(p1 ⊕ p2)(e1, e2) = (p1(e1), p2(e2)) .

Satz 0.56Für zwei R-Moduln M und N wird die Menge ExtR(M , N) mittelsder Operation

+ : ExtR(M , N)× ExtR(M , N)→ ExtR(M , N)(s1, s2) 7→ ▽(N)(s1 ⊕ s2)△(M)

zu einer abelschen Gruppe.

Beweis: siehe [ML75][III Theorem 2.1] �

Bemerkung 0.57Das Nullelement in der Gruppe ExtR(M , N) ist die zerfallende Folgeund das Inverse zu einer Erweiterung s ist −idN s. Außerdem gilt fürα1, α2 ∈ HomR(N,N ′) und γ1, γ2 ∈ HomR(M ′,M):

α1+α2s ≡ α1s+ α2s sγ1+γ2 ≡ sγ1 + sγ2

25

Grundlagen

Bemerkung 0.58Sei L ein R-Modul, dann können wir mit 0.51 und 0.53 für eine exakteFolge

s : 0→ N i→ E p→M → 0die Abbildungen

s∗ : HomR(L,M)→ ExtR(L , N)α 7→ αs

s∗ : HomR(N,L)→ ExtR(M , L)γ 7→ sγ

definieren, die nach 0.57 sogar Gruppenhomomorphismen sind. Sie wer-den die Verbindungshomomorphismen von s genannt.Es entstehen somit zwei exakte Folgen

0→ HomR(L,N) i∗→ HomR(L,E) p∗→ HomR(L,M)s∗→ ExtR(L , N)

ExtR(L , i)−→ ExtR(L , E)ExtR(L , p)−→ ExtR(L , M)→ . . .

0→ HomR(M,L) p∗→ HomR(E,L) i∗→ HomR(N,L)s∗→ ExtR(M , L)

ExtR(p , L)−→ ExtR(E , L)ExtR(i , L)−→ ExtR(N , L)→ . . . ,

die die langen exakten Folgen von s heißen.

Beweis: [ML75][III. 3.1 - 3.4] �

An dieser Stelle verweisen wir den Leser auf [ML75][III.3 ff], um sichweiter mit dem Bifunktor ExtR(− , −) auseinanderzusetzen. Dazu ge-hören die Verallgemeinerung des Erweiterungsbegriffes auf längere ex-akte Folge und der dazugehörigen Definition von Extn.Weiterhin setzen wir für die folgenden Kapitel das Verständnis über dieäquivalente Definition des Ext-Funktors als linksabgeleiteten Funktordes Hom-Funktors (0.3.2 und [ML75][III.6.4 bzw. III.8.2]) beziehungs-weise über die axiomatische Beschreibung von Ext ([ML75][III.10.2])voraus. Dabei sei darauf hingewiesen, dass die lange exakte Folge ausder axiomatischen Beschreibung durch die Verbindungshomomorphis-men s∗ beziehungsweise s

∗ gewonnen wird.

0.4 Reguläre Folgen

0.4.1 Definition und erste Eigenschaften

Im Rest dieses Unterabschnittes sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscherRing und M 6= 0 ein endlich erzeugter R-Modul. ,

26

Definition 0.59(i) Ein Element x ∈ m ist ein M-reguläres Element, falls x ein Nicht-

nullteiler auf M ist, das heißt xm 6= 0 für alle m ∈M \ {0}.

(ii) Eine Folge x = (x1, . . . , xn) mit xi ∈ m für 1 ≤ i ≤ n heißtM-reguläre Folge oder M-Folge, falls mit x0 = 0 jedes xi mit1 ≤ i ≤ n ein M/(x0 . . . , xi−1)M-reguläres Element ist.

(iii) Eine Folge x = (x1, . . . , xn) mit Einträgen aus m heißt maximaleM-Folge, falls x eine M-reguläre Folge ist und für alle y ∈ m dieFolge (x1, . . . , xn, y) nicht M-regulär ist.

(iv) Wir nennen

depthR(M) := sup {n ∈ N | es gibt eine M-Folge (x1, . . . , xn)}

die Tiefe von M über R.

Bemerkung 0.60JedeM-reguläre Folge lässt sich zu einer maximalenM-Folge erweitern.

Beweis: Sei x = (x1, . . . , xr) eine M-reguläre Folge. Direkt aus derDefinition einer regulären Folge folgt, dass

(x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ . . . ⊂ (x1, . . . , xr)

eine echt aufsteigende Kette von Idealen ist.Gibt es nun einen Nichtnullteiler auf M/xM , so können wir diesen zuder Folge hinzufügen, ohne etwas an der M-Regularität zu ändern underhalten folglich eine längere Kette von Idealen. Da R noethersch istwird diese Kette irgendwann stationär, das heißt die Folge kann nichtmehr regulär erweitert werden. �

Lemma 0.61Folgende Bedingungen sind äquivalent:

(i) depthM = 0

(ii) Alle Elemente von m sind Nullteiler auf M

(iii) m ∈ Ass(M)

(iv) HomR(k,M) 6= 0

Beweis: Die Beziehungen (i)⇔(ii) und (iii)⇒(ii) folgen direkt aus denentsprechenden Definitionen.

27

Grundlagen

(ii)⇒(iii): Nach [Eis95][Th. 3.1] ist die Menge der Nullteiler von Min der Vereinigung der zu M assoziierten Primideale enthalten. Somithaben wir nach Voraussetzung

m ⊆⋃

p∈Ass(M)

p .

Mithilfe des”Prime Avoidance“-Lemmas (vgl. z.B. [Eis95][Lemma 3.3])

und der Maximaliät von m folgt damit die Behauptung.(iii)⇒(iv): Da m zu M assoziiert ist, existiert ein m ∈ M \ {0}, so-dass m = AnnR(m). Somit ist der R-Homomorphismus, der r ∈ Rauf rm ∈ M abbildet, nicht der Nullhomomorphismus und hat denKern m. Somit existiert nach dem Homomorphiesatz ein nichttrivialerHomomorphismus von k = R/m nach M .(iv)⇒(iii): Wir bezeichnen die Klasse eines Elements r ∈ R in k mitr. Sei ϕ : k → M mit ϕ(1) = m ∈ M und x ∈ m. Da ϕ ein R-Homomorphismus ist, gilt mx = ϕ(x1) = ϕ(x) = 0. Wegen der Maxi-malität von m gilt damit m = Ann(m), also ist m ∈ Ass(M). �

Korollar 0.62Sei x eine M-reguläre Folge. Dann ist x genau dann maximal, wennHomR(k,M/xM) 6= 0 gilt.

Satz 0.63Sei x eine M-reguläre Folge der Länge n. Dann gilt

ExtiR(k , M) =

{0 für i < n

HomR(k,M/xM) für i = n

Beweis: Wir beweisen den Satz durch Induktion über n.

n = 0: Es gilt allgemein

Ext0(k , M) ∼= Hom(k,M)

n = 1: Da x = (x) eine M-reguläre Folge der Länge 1 ist, ist nach Lemma0.61

0 = Hom(k,M) ∼= Ext0(k , M) .Da x ein Nichtnullteiler auf M ist, ist die Multiplikation mit xein Monomorphismus von M , den wir ebenfalls mit x bezeichnen.Daher ist die Folge

s : 0 //Mx //M //M/xM // 0

28

exakt. Wegen x ∈ m, gilt xExt1(k , M) = 0. Da wir zusätzlichExt1(k , x) = x haben, bekommen wir durch Aufspaltung der zus gehörigen langen exakten Folge die kurze exakte Folge

0 // Hom(k,M/xM) // Ext1(k , M) // 0 ,

und damit gilt

Hom(k,M/xM) ∼= Ext1(k , M) .

n > 1: Sei x = (x1, . . . , xn). Analog zu oben betrachten wir die exakteFolge

0 //Mx1 //M //M/x1M // 0

und erhalten nach Induktionsvoraussetzung durch passende Auf-spaltungen der langen exakten Folge für 2 ≤ i ≤ n− 1

0 = Exti−1(k , M/x1M) // Exti(k , M) // 0 ,

also Exti(k , M) = 0 für i < n, und

0 // Hom(k,M/xM) // Extn(k , M) // 0 ,

und folglich die Isomorphie der beiden Moduln.

�

Korollar 0.64Es gilt

(i) depthM ist die gemeinsame Länge aller maximalen M-regulärenFolgen

(ii) depthM = min {n | Extn(k , M) 6= 0}(iii) Sei x ein m-reguläres Element. Dann gilt

depth(M/xM) = depth(M)− 1 .

Beweis:

(i) Sei x eine maximale M-Folge der Länge n und x′ eine maximaleM-Folge mit Länge m.

Wäre nun n < m dann gälte wegen Satz 0.63 und Lemma 0.61

0 6= Extm(k , M) = 0 .Dies wäre aber ein Widerspruch, also ist m = n. Da damit keineM-Folgen existieren, die länger als n sind, gilt nach DefinitiondepthM = n.

29

Grundlagen

(ii) Diese Aussage folgt direkt aus Satz 0.63.

(iii) Wir erweitern x zu einer maximalen M-Folge (x, x2, . . . , xn).

Dann ist (x2, . . . , xn) eine maximale M/xM-Folge.

�

Lemma 0.65Sei (R,m,k) lokal, (noethersch) und F , G endlich erzeugte R-Moduln,F frei und ϕ : F → G ein R-Modulhomomorphismus. Sei weiter M einendlich erzeugter R-Modul mit m ∈ AssM , sodass ϕ⊗M injektiv ist.Dann gilt:

(i) ϕ⊗ k ist injektiv.

(ii) Ist G ebenfalls frei, so ϕ injektiv und imϕ ist ein direkter Sum-mand von G.

Beweis: vgl. [BH98][Lemma 1.3.4] �

Lemma 0.66Sei (R,m) lokal M ein R-Modul, x eine M-reguläre Folge und

N : . . . Nm //ϕm // Nm−1 // . . . // N0

ϕ0 //M // 0

eine reguläre Folge.Dann ist auch N ⊗ R/(x) exakt.Beweis: vgl. [BH98][Proposition 1.1.5] �

Bemerkung 0.67Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring und

0 // U //M // N // 0

eine kurze exakte Folge von endlich erzeugten R-Moduln. Dann geltenfolgende Abschätzungen:

(i) depth(M) ≥ min {depth(U), depth(N)}

(ii) depth(U) ≥ min {depth(M), depth(N) + 1}

(iii) depth(N) ≥ min {depth(U)− 1, depth(M)}

Beweis: [BH98][Proposition 1.2.9] �

30

Lemma 0.68Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring, M ein endlich erzeugterR-Modul und x eine M-reguläres Element. Dann gilt

depthR/(x) M/xM = depthRM − 1 .

Beweis: vgl. [BH98][1.2.10]. �

0.4.2 Tiefe und Dimension

Die Krull-Dimension eines Ringes ist ein grundlegender Begriff derkommutativen Algebra. Er lässt sich zur Dimension von Moduln ver-allgemeinern, die sich als obere Schranke für die im vorhergehendenAbschnitt eingeführte Tiefe herausstellt. Dieser Zusammenhang moti-viert die Definition von maximalen Cohen-Macaulay-Moduln in Ab-schnitt 0.5.Im ganzen Unterabschnitt 0.4.2 sei (R,m,k) ein lokaler noetherscherRing mit Maximalideal m und Restklassenkörper k.

Definition 0.69Die Krull-Dimension von R ist definiert als

dim(R) := sup {n ∈ N | ∃ p0 $ p1 $ . . . $ pn mit pi ∈ Spec(R)} .

Die Dimension eines R-Moduls M ist definiert als

dim(M) := dim(R/Ann(M)) .

Für den Beweis des nachfolgenden Zusammenhangs zwischen Tiefe undDimension benötigen wir zunächst noch eine weitere Definition.

Definition 0.70Die Menge

supp(M) := {p ∈ Spec(R) | Ann(M) ⊆ p}

heißt der Träger des R-Moduls M .

Lemma 0.71Für jeden R-Modul M von endlichem Typ gilt

depth(M) ≤ dim(M) .

31

Grundlagen

Beweis: Sei (x1, . . . , xn) eine maximale M-reguläre Folge. Weil die Di-mension eines Rings stets nicht-negativ ist, genügt es,

dim(M/(x1, . . . , xn)M) ≤ dim(M)− n

zu zeigen. Wegen

M/(x1, . . . , xn)M ∼= (M/(x1, . . . , xi−1)M)/

(xi)(M/(x1, . . . , xi−1)M)

folgt dies durch Induktion, falls für jedes M-reguläre Element x dieBeziehung dim(M/(x)M) ≤ dim(M)− 1 gilt.Sei x ∈ R ein beliebiges M-reguläres Element. Die Dimension einesModuls lässt sich auch in der Form

dim(M) = dim(R/Ann(M))

= sup {n ∈ N | ∃ p0 $ . . . $ pn, pi ∈ supp(M)}= sup {dim(R/p) | p ∈ supp(M)}

ausdrücken. Damit erhält der obige Induktionsanfang die Form

sup {dim(R/p) | p ∈ supp(M/(x)M)}≤ sup {dim(R/p) | p ∈ supp(M)} − 1 .

Der Beweis dieser Ungleichung erfolgt in drei Schritten:

1. Es gilt supp(M/(x)M) ⊆ supp(M).Sei p ∈ supp(M/(x)M). Dann gilt p ⊇ Ann(M/(x)M) ⊇ Ann(M) undsomit p ∈ supp(M).2. Die bezüglich ⊆ minimalen Elemente von supp(M) liegen in Ass(M).Der Beweis dieses Schritts geht auf [Ser00][I, Theorem 1 und Proposi-tion 6] zurück.Sei p bezüglich ⊆ minimal in supp(M). Wir beginnen mit dem Beweisvon supp(Mp) = {pRp}, wobei Mp als Rp-Modul aufzufassen ist. Je-des Element in supp(Mp) ist von der Form qRp, wobei q ∈ Spec(R)ein Primideal ist, für das q ⊆ p gilt. Für y ∈ Ann(M) liegt y

1in

Ann(Mp) ⊆ qRp, woraus y ∈ q folgt. Daher gilt Ann(M) ⊆ q und äqui-valent q ∈ supp(M). Weil p als minimal mit dieser Eigenschaft gewähltwar, erhalten wir q = p und insgesamt supp(Mp) = {pRp}.Wegen p ∈ supp(M) ist Mp nicht der Nullmodul. In diesem Fall giltAss(Mp) 6= ∅, siehe [Ser00][I, Korollar 1 zu Proposition 5]. Direktaus den Definitionen dieser Mengen lässt sich Ass(Mp) ⊆ supp(Mp)ableiten. Weil supp(Mp) wie soeben gezeigt nur ein Element enthält,liegt dieses Element pRp also auch in Ass(Mp), das heißt es existiertms∈Mp, sodass pRp = AnnRp

(ms

)gilt.

32

Für das Ideal a := AnnR(m) gilt aRp = pRp. Weil der Ring R noe-thersch ist, ist p ein endlich erzeugtes Ideal. Sei (p1, p2, . . . , pl) ein Er-zeugendensystem von p. Für i ∈ {1, . . . , l} existiert wegen pi

1·ms

= 01

einElement ti ∈ R \ p mit tipi ∈ AnnR(m) = a. Mit t := t1 · . . . · tl ∈ R \ perhalten wir tp ⊆ a.Zum anderen folgt aus aRp = pRp auch a ⊆ p. Die beiden Aussagenzusammen implizieren AnnR(tm) = p und damit p ∈ Ass(M).3. Für alle p ∈ Ass(M) gilt p /∈ supp(M/(x)M).Sei p ein zu M assoziiertes Primideal. Definitionsgemäß existiert dannein Element m ∈ M , für das p = AnnR(m) gilt. Wegen xm 6= 0 liegtx nicht in p. Offenbar gilt aber x ∈ AnnR(M/(x)M). Insgesamt folgtAnnR(M/(x)M) * p, dies ist äquivalent zu p /∈ supp(M/(x)M). �

0.4.3 Tiefe und projektive Dimension

In diesem Abschnitt beweisen wir die Auslander-Buchsbaum-Formel,die einen Zusammenhang zwischen den Begriffen der Tiefe und der pro-jektiven Dimension eines Moduls über einem lokalen noetherschen Ringist, und ein unverzichtbares Werkzeug im Umgang mit MCM-Modulndarstellt. Wir folgen im Wesentlichen der Darstellung von WinfriedBruns und Jürgen Herzog in [BH98].

Lemma 0.72Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring undM ein endlich erzeugterR-Modul.Ist x ∈ m ein Element, das sowohl R-regulär als auch M-regulär ist, soist

proj-dimRM = proj-dimR/(x) M/xM .

Beweis:vgl. [BH98][Lemma 1.3.5] �

Satz 0.73 (Auslander-Buchsbaum-Formel)Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring und M 6= 0 ein endlicherzeugter R-Modul.Falls proj-dimRM endlich ist, so gilt

proj-dimRM + depthM = depthR .

Beweis:(vgl. [BH98][1.2.3])Seien n := proj-dimRM , d := depthRR und

F : 0 // Fnϕn // Fn−1 // . . . // F0

ϕ0 //M // 0

eine augmentierte freie Auflösung von M . Wir zeigen die Behauptungdurch Induktion über d.

33

Grundlagen

d = 0: Wir nehmen an, dass n ≥ 1 gilt. Dann ist F1 6= 0. Da d = 0 ist,ist nach Lemma 0.61 das Maximalideal m zu R assoziiert. Da nunϕn = ϕn⊗R injektiv ist, folgt mit Lemma 0.65, dass auch ϕn⊗kinjektiv ist.

Da F minimal gewählt ist, ist dies aber gleichzeitig die Nullab-bildung. Somit ist

0 = Fn ⊗ k ∼= Fn/mFn ,

und mit dem Lemma von Nakayama folgt, dass auch Fn = 0 ist.Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Also ist n = 0. Da R lokal ist, ist M damit frei. Daher lässt sichnun leicht nachrechnen, dass auch depthM = 0 ist, und damitgilt die Behauptung.

d > 0: Wir machen hier eine Fallunterscheidung:

(i) Sei depthM = 0. Wir setzen M1 := kerϕ0. Dann folgt durchAufspalten von F , dass proj-dimM1 = proj-dimM − 1 gilt.Da depthF0 = depthR ≥ 1 gilt, und wir nach der Wahl vonM1 eine kurze exakte Folge

0 //M1 // F0 //M // 0

haben, folgt mit Lemma 0.67, dass depthM1 = 1 ist. Mit derInduktionsvoraussetzung erhalten wir nun

proj-dimM + 0 = proj-dimM1 + 1 = depthR .

(ii) Sei nun depthM ≥ 1. Dann ist m weder zu M noch zu Rassoziiert. Daher existiert ein x ∈ R, das sowohl R- als auchM-regulär ist.

Mit Lemma 0.68, Lemma 0.72 und der Induktionsvorausset-zung folgt dann

depthRM + proj-dimRM =

depthR/(x)M/xM + 1 + proj-dimR/(x)M/xM =

depthR/(x)R/(x) + 1 = depthRR .

�

Satz 0.74 (Auslander-Buchsbaum-Serre)Sei (R,m,k) ein noetherscher lokaler Ring. Dann sind die folgendenBedingungen äquivalent:

34

(i) R ist regulär

(ii) proj-dimM

Grundlagen

Definition 0.78Sei L ein freier R-Modul und (e1, . . . , en) eine Basis von L. Weiter seix = (x1, . . . , xn) eine Folge von Elementen von R und fx : L → L diedurch ei 7→ xi definierte Linearform.

(i) Der Komplex K�(x) := K�(fx) heißt Koszul-Komplex von x.

(ii) Der Komplex K�(x,M) := K�(x)⊗M heißt Koszul-Komplex vonx mit Koeffizienten aus M .

Die Bedeutung des Koszul-Komplexes für unsere Arbeit liegt unteranderem in folgender Charakterisierung:

Proposition 0.79Sei (R,m,k) ein lokaler Ring, x = (x1, . . . , xn) eine Folge in m undM 6= 0 ein endlich erzeugter R-Modul. Dann sind folgende Bedingun-gen äquivalent:

(i) n ist die maximale Länge einer M-Folge in dem Ideal (x)

(ii) Für i ≥ 1 ist die i-te Homologie Hi(K�(x,M)) = 0

(iii) H1(K�(x,M)) = 0

(iv) x ist eine M-reguläre Folge

Beweis: vgl. [BH98][1.6.9]. �

Außerdem erhalten wir eine ausgezeichnete minimale freie Auflösungfür bestimmte Faktormoduln von R.

Satz 0.80Sei (R,m,k) ein lokaler Ring und x eine R-reguläre Folge. Dann ist derKoszul-komplex K�(x) eine minimale freie Auflösung von R/(x).

Beweis: Wir bezeichnen das Differential von K�(x) mit (d(i)x ). Da x

R-regulär ist, ist dieser Komplex nach Proposition 0.79 an den StellenΛiL, i ≥ 1 exakt und äußere Potenzen von freien Moduln von endlichemRang sind wieder frei und von endlichem Rang.

Wegen im d(1)x = im fx = (x) ist, erhalten wir mit der kanonischen

Projektion π : R→ R/(x) eine Augmentierung.Da die Komponenten einer regulären Folge im Maximalideal m lie-

gen, gilt ker π ⊂ mR und nach Definition des Differentials (d(i)x ) giltim d

(i)x ⊂ mΛi−1L. Somit ist K�(x) nach Definition 0.30 eine minimale

freie Auflösung.�

36

0.5 Maximale Cohen-Macaulay-Moduln

0.5.1 Definition und äquivalente Charakterisierungen

Maximale Cohen-Macaulay-Moduln spielen in der gesamten vorliegen-den Arbeit eine zentrale Rolle. Wir geben zunächst die Definition undäquivalente Charakterisierungen an.Im ganzen Unterabschnitt 0.5.1 sei (R,m,k) ein lokaler noetherscherRing mit Maximalideal m und Restklassenkörper k. Wir bezeichnendie Krull-Dimension von R mit d := dim(R). Alle hier betrachtetenModuln seien von endlichem Typ.

Definition 0.81Ein R-Modul M 6= 0 heißt Cohen-Macaulay-Modul (kurz CM-Modul),falls depth(M) = dim(M) gilt.Ein R-Modul M 6= 0 heißt maximaler Cohen-Macaulay-Modul (kurzMCM-Modul), falls depth(M) = d = dim(R) gilt.Der Ring R heißt Cohen-Macaulay-Ring (kurz CM-Ring), falls R alsR-Modul ein MCM-Modul ist.

Bemerkung 0.82Da dim(M) = dim(R/Ann(M)) ≤ dim(R) gilt, ist jeder MCM-Modulinsbesondere ein CM-Modul. Die Definition des zweiten Begriffs ist hiernur der Vollständigkeit halber und zur Vermeidung von Missverständ-nissen bei der Heranziehung anderer Literatur angegeben; wir konzen-trieren uns im Folgenden auf maximale Cohen-Macaulay-Moduln.Weil die Krull-Dimension des Rings R mit seiner Dimension als R-Modul übereinstimmt, sind die beiden Begriffe in diesem Fall äquiva-lent.

Einige Aussagen in dieser Arbeit betreffen Funktoren auf der Kategorieder MCM-Moduln, siehe zum Beispiel Satz 0.119. Hierzu legen wirfolgendes fest:

Definition 0.83Wir bezeichnen die volle Unterkategorie der Kategorie der R-Modulnvon endlichem Typ, deren Objekte die MCM-Moduln über R sind, mitMCM(R).

Zur Formulierung der äquivalenten Charakterisierungen von MCM-Moduln bedarf es zunächst noch einer weiteren Definition, die hiernach [Eis95][A3.11.2 und Appendix 4] wiedergegeben ist.

37

Grundlagen

Definition 0.84 (lokaler Kohomologie-Funktor)Sei I ein Ideal in R und M ein R-Modul. Sei

ΓI(M) := {m ∈M | Ipm = 0 für genügend großes p} .

Dann ist ΓI(−) ein linksexakter Funktor. Wir setzen H0I := ΓI und de-finieren H iI für i ≥ 1 als rechts-abgeleitete Funktoren von H0I , das heißtwir definieren H iI als den i-ten Kohomologiemodul des Komplexes, denwir durch Anwendung von H0I (−) auf eine injektive Auflösung von Merhalten.

Satz 0.85 (Charakterisierung von MCM-Moduln)Sei M ein R-Modul. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

(i) M ist ein MCM-Modul über R.

(ii) ExtiR(k , M) = 0 ∀i < d = dim(R).

(iii) H im = 0 ∀i ∈ N mit i 6= d = dim(R).Außerdem sind die beiden folgenden Bedingungen äquivalent:

(i) M ist ein CM-Modul über R.

(ii) ExtiR(k , M) = 0 ∀i < dim(M).Beweis: Die Bedingung (iii) ist nur der Vollständigkeit halber von[Yos90][Proposition 1.2] übernommen und bleibt hier außer acht.Nach Korollar 0.64 gilt

depth(M) = min{n | ExtnR(k , M) 6= 0} .

Hieraus folgen unmittelbar die beiden Implikationen (i)⇒(ii).Auch die beiden Folgerungen (ii)⇒(i) lassen sich aus dieser Formelableiten, weil nach Lemma 0.71 außerdem

depth(M) ≤ dim(M) = dim(R/Ann(M)) ≤ dim(R)

gilt. �

0.5.2 Erste Eigenschaften

Wir behalten die Bezeichnungen und Voraussetzungen des vorherge-henden Unterabschnitts bei.Es folgt eine Aufzählung von hinreichenden Kriterien für die MCM-Eigenschaft und ersten Eigenschaften von MCM-Modul.

38

Proposition 0.86Sei

F : 0 −→ L −→M −→ N −→ 0eine exakte Folge von R-Moduln. Dann gilt:

(i) Falls L und N (maximale) Cohen-Macaulay-Moduln sind, dannist auch M ein (maximaler) Cohen-Macaulay-Modul.

(ii) Falls M und N (maximale) Cohen-Macaulay-Moduln sind, dannist auch L ein (maximaler) Cohen-Macaulay-Modul.

Beweis: Durch Anwendung von ExtR(k , −) auf F erhalten wir eineexakte Folge

0 −→ Ext0R(k , L) −→ Ext0R(k , M) −→ Ext0R(k , N)−→ Ext1R(k , L) −→ Ext1R(k , M) −→ Ext1R(k , N)...

−→ Extn−1R (k , L) −→ Extn−1R (k , M) −→ Extn−1R (k , N)−→ ExtnR(k , L) −→ . . .

Um die Aussagen über allgemeine (das heißt nicht notwendig maxima-le) Cohen-Macaulay-Moduln zu beweisen, setzen wir n := dim(M) undfür die über maximale Cohen-Macaulay-Moduln n := d. Die Behaup-tungen folgen dann direkt aus Satz 0.85. �

Korollar 0.87Sei R ein CM-Ring und sei F 6= 0 ein freier R-Modul. Dann ist F einMCM-Modul über R.

Beweis: Weil alle hier betrachteten Moduln von endlichem Typ sind,gilt F ∼= Rn für ein n ∈ N \ {0}. Der Beweis erfolgt durch Induktionüber n, wobei der Induktionsanfang, dass R ein CM-Ring ist, schonnach Voraussetzung gilt.Für n ≥ 2 bilden wir auf kanonische Weise die exakte Folge

0 −→ R −→ Rn −→ Rn−1 −→ 0 .Die Behaupung folgt nun direkt aus Proposition 0.86. �

Proposition 0.88Sei der lokale Ring R ein CM-Ring und

0 //M // Fn−1fn−1 // Fn−2 // . . . // F1

f1 // F0

eine exakte Folge von R-Moduln, wobei die Moduln Fi frei seien. SeiM 6= 0 und n ≥ d. Dann ist M ein MCM-Modul.

39

Grundlagen

Beweis: O. B. d. A. sei n = d. Wir unterscheiden mehrere Fälle.

1. Fall: Sei d = 0.Allgemein gilt dann nach Lemma 0.71

0 ≤ depth(M) ≤ dim(M) ≤ dim(R) = d = 0

und damit die Behauptung.

2. Fall: Sei d = 1.In diesem Fall hat die gegebene exakte Folge die Form 0 −→ M −→ F0.Anwendung von Ext0R(k , −) führt zur exakten Folge

0 −→ Ext0R(k , M) −→ Ext0R(k , F0) .

Weil der R-Modul F0 frei und damit nach Korollar 0.87 insbesondereein MCM-Modul ist, gilt Ext0R(k , F0) = 0 nach Satz 0.85. Wir erhaltenExt0R(k , M) = 0 und damit nach Satz 0.85 (ii) die Behauptung.

3. Fall: Sei d ≥ 2.Wir setzen Ci := Fi/ ker(fi) für i = 1, . . . , d − 1 sowie Cd := M underhalten auf diese Weise ein Diagramm

0

""FFF

FF 0

Cd−2

exakt sind. Auf diese Folgen wenden wir ExtR(k , −) an. Nach Satz 0.85gilt dabei ExtjR(k , Fi) = 0 für alle i = 1, . . . , d − 1 sowie für allej = 0, . . . , d − 1, denn nach Korollar 0.87 sind die Moduln Fi MCM-Moduln. Wir erhalten so für i = 1, . . . , d− 1 weitere exakte Folgen

0 −→ Ext0R(k , Ci+1) −→ Ext0R(k , Fi)︸︷︷︸=0

−→ Ext0R(k , Ci)

−→ Ext1R(k , Ci+1) −→ Ext1R(k , Fi)︸︷︷︸=0

−→ Ext1R(k , Ci)

...

−→ Extd−1R (k , Ci+1) −→ Extd−1R (k , Fi)︸︷︷︸=0

−→ Extd−1R (k , Ci) .

Zudem ist auch die Folge

0 −→ Ext0R(k , C1) −→ Ext0R(k , F0)︸︷︷︸=0

exakt.Also gilt ExtjR(k , Ci+1)

∼= Extj−1R (k , Ci) für alle i, j = 1, . . . , d − 1sowie Ext0R(k , Ci) = 0 für alle i = 1, . . . , d.Sei l ∈ {0, . . . , d− 1} beliebig. Es ergibt sich nun

ExtlR(k , M) = ExtlR(k , Cd)

∼= Ext0R(k , C d−l︸︷︷︸1≤.≤d

) = 0

und damit wiederum nach Satz 0.85 die Behauptung. �

Diese Proposition lässt sich mit den Bezeichnungen aus dem Unterab-schnitt 0.3.3 über Syzygien auch so formulieren:

Korollar 0.89Sei der lokale Ring R ein CM-Ring, M ein R-Modul und n ∈ N mitn ≥ d. Dann ist syzn(M) entweder der Nullmodul oder ein MCM-Modul über R.

Satz 0.90Wie im ganzen Unterabschnitt 0.5.2 sei R ein lokaler Ring.

(i) Sei R regulär und sei M ein MCM-Modul über R. Dann ist Mein freier R-Modul.

(ii) Sei R reduziert, d = 1 und M ein R-Modul. Dann ist M genaudann ein MCM-Modul, falls M torsionsfrei ist, das heißt falls dernatürliche Homomorphismus

M −→ HomR(HomR(M,R), R)ein Monomorphismus ist.

41

Grundlagen

(iii) Sei R ein normaler Integritätsbereich, d = 2 und M ein R-Modul.Dann ist M genau dann ein MCM-Modul, falls M reflexiv ist, dasheißt falls der natürliche Homomorphismus

M −→ HomR(HomR(M,R), R)

ein Isomorphismus ist.

Beweis: Wir beweisen nur (i) und verweisen für die Aussagen (ii) und(iii) auf [Yos90][Proposition 1.5].Weil R regulär ist, ist die projektive Dimension von M nach dem Satzvon Auslander-Buchsbaum-Serre (vgl. Satz 0.74) endlich. Also könnenwir die Auslander-Buchsbaum-Fomel anwenden (vgl. Satz 0.73). WeilR als regulärer lokaler Ring nach [BH98][Korollar 2.2.6] zudem ein CM-Ring ist, erhalten wir insgesamt

proj-dimR(M) + depth(M)︸︷︷︸=dim(R)

= depth(R) = dim(R) .

Es folgt proj-dimR(M) = 0, also ist der Modul M projektiv. Weil Mvon endlichem Typ ist, ist dies über dem lokalen Ring R äquivalentdazu, dass M ein freier R-Modul ist. �

0.5.3 Invarianz der MCM-Eigenschaft unter Lokalisierungund Bildung direkter Summen

Die MCM-Eigenschaft ist in einem gewissen Sinne invariant unter Lo-kalisierung und Bildung direkter Summen. Wir präzisieren dies in denfolgenden drei Aussagen und behalten dabei die Bezeichnungen undVoraussetzungen des vorhergehenden Unterabschnitts bei.

Proposition 0.91Sei M ein MCM-Modul über R und sei S ⊂ R ein multiplikativ ab-geschlossenes System in R. Dann ist die Lokalisierung MS ein MCM-Modul über RS.

Beweis: Siehe [BH98][Theorem 2.1.3 (b)]. �

Proposition 0.92Sei n ∈ N eine natürliche Zahl und seienM1,M2, . . . ,Mn MCM-Modulnüber R. Dann ist auch die direkte Summe

⊕ni=1Mi ein MCM-Modul

über R.

42

Beweis: Wir können o. B. d. A. n = 2 annehmen. Die Behauptung folgtdann durch Induktion.Für beliebige R-Moduln M1,M2 ist die kanonische Folge

0 −→M1 −→M1 ⊕M2 −→M2 −→ 0m1 7−→ (m1, 0)

(m1, m2) 7−→ m2exakt, sodass M1 ⊕M2 nach Proposition 0.86 (i) ebenfalls ein MCM-Modul ist. �

Lemma 0.93Sei M ein MCM-Modul über R und sei

M =⊕

i∈I

Mi

eine beliebige Zerlegung in direkte Summanden. Dann ist jeder derSummanden Mi mit i ∈ I ein MCM-Modul über R.Beweis: Der Funktor ExtR(k , −) kommutiert mit der Bildung direkterSummen, daher gilt

ExtjR(k , M) =⊕

i∈I

ExtjR(k , Mi)

für alle j ∈ N. Die Behauptung folgt nun direkt aus Satz 0.85. �

0.5.4 MCM-Moduln und Noether-Normalisierung

Satz 0.94Sei A ⊂ B eine endliche Erweiterung von lokalen, noetherschen Ringen.Falls M ein noetherscher B-Modul ist, dann ist M genau dann einMCM-Modul über B, wenn M ein MCM-Modul über A ist.

Beweis: [BD08][Lemma 2.24] und [Gro67][Korollar 5.7]. �

Satz 0.95 (Noether-Normalisierung)Sei k ein unendlicher Körper und R eine endlich erzeugte kommutativek-Algebra. Dann gibt es ein r ≥ 0 und algebraisch unabhängige Ele-mente y1, . . . , yr ∈ R, so dass die Ringerweiterung k[y1, · · · , yr] ⊆ Rganz ist. Man nennt die y1, . . . , yr ein Parametersystem für R.

Beweis: [Eis95][Theorem 13.3] �

43

Grundlagen

Satz 0.96Sei T →֒ R eine Noether-Normalisierung von R. Dann ist ein R-Modulgenau dann maximal Cohen-Macaulay, wenn er frei über T ist.

Beweis: Eine Noether-Normalisierung T von R ist ein regulärer Ringund damit ist nach Satz 0.90 jeder MCM-Modul über T frei. WegenSatz 0.94 ist ein R-Modul M genau dann MCM, wenn er frei über Tist. �

0.6 Der kanonische Modul

Im Abschnitt 1.2 wird zur Vorbereitung auf das Kapitel 5 über ein-dimensionale Singularitäten eine Aussage über den Sockel der injek-tiven Hülle eines speziellen Moduls verwendet, die sich im Unterab-schnitt 0.6.2 findet. Außerdem wird in den weiteren Kapiteln der vor-liegenden Arbeit an mehreren Stellen auf Aussagen über Gorenstein-Ringe und den kanonischen Modul verwiesen, die wir im Unterab-schnitt 0.6.3 zusammengestellt haben. Weil einige der Beweise zu die-sen Aussagen ebenfalls auf die injektive Hülle und ihre Eigenschaftenzurückgreifen, haben wir die drei Themenbereiche zu diesem Abschnittzusammengefasst.

0.6.1 Die injektive Hülle eines Moduls

Definition 0.97Sei R ein Ring und N,M zwei R-Moduln mit N ⊆ M , dann heißt Meine wesentliche Erweiterung von N , falls für jeden Untermodul U 6= 0von M auch N ∩ U 6= 0 folgt. Falls dazu N 6= M ist, so heißt M eineechte wesentliche Erweiterung.

Satz 0.98Sei R ein Ring, dann ist ein I genau dann ein injektiver R-Modul, wennI keine echten wesentlichen Erweiterungen besitzt.

Beweis: [BH98][I.3.2.2] �

Die folgende Definition ist gerechtfertigt ([BH98][I.3.2.4]).

Definition 0.99Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Ein injektiver R-Modul E, fürden die Erweiterung M ⊆ E wesentlich ist, heißt die injektive Hüllevon M . Der Modul E ist dabei eindeutig bis auf Isomorphie und wirdmit E(M) bezeichnet.

44

Satz 0.100Sei R ein noetherscher Ring, dann gilt:

(i) Für alle Primideale p ∈ Spec(R) ist E(R/p) unzerlegbar.(ii) Ist I 6= 0 ein injektiver Modul und p ein assoziiertes Primideal

von I, d. h. p ∈ Ass(I), so ist E(R/p) ein direkter Summand vonI.

(iii) Ist M ein endlich erzeugter R-Modul, so gilt

Ass(M) = Ass(E(M)) .

(iv) Für Primideale p, q ∈ Spec(R) gilt:E(R/p) ≃ E(R/q)⇔ p = q

(v) Für alle Primideale p ∈ Spec(R) istk(p) := Rp/pRp ≃ HomRp (k(p), E(R/p)p) .

Beweis: [BH98][I.3.2.6 und I.3.2.7] �

Theorem 0.101Sei R ein noetherscher Ring und I ein injektiver R-Modul, dann ist

I ≃⊕

p∈Spec(R)

E(R/p)λp mit λp = dimk(p) Hom(k(p), Ip) .

Beweis: [BH98][I.3.2.8] �

Satz 0.102Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring und E := E(k) die injektiveHülle von k. Wir setzen M ′ := HomR(M,E) für einen R-Modul M undes sei N ein R-Modul von endlicher Länge, dann gilt:

(i) ExtiR(k , E) ≃{

k , falls i = 0

0 , falls i 6= 0 ,

(ii) length(N) = length(N ′) ,

(iii) der kanonische Homomorphismus N → N ′′ ist ein Isomorphismus,(iv) es gilt

dimk(N/mN) = dimk(Soc(N′)) und

dimk(N′/mN ′) = dimk(Soc(N)) .

Beweis: [BH98][I.3.2.12] �

45

Grundlagen

0.6.2 Sockel und injektive Hülle

Im weiteren Verlauf der Arbeit benötigen wir den Begriff des Sockelseines Moduls. Da wir speziell wissen wollen, wie der Sockel der injek-tiven Hülle eines speziellen Moduls aussieht, führen wir ihn an dieserStelle ein.Im nichtkommutativen Fall betrachten wir hier stets Linksmoduln. DieErgebnisse gelten aber analog auch für Rechtsmoduln.

Definition 0.103Sei A ein (nicht notwendig kommutativer Ring) und M ein A-Links-modul. Der Sockel Soc(M) von M ist die Summe seiner nichttrivialeneinfachen Untermoduln.

Bemerkung 0.104Eine Summe von einfachen Moduln ist immer eine direkte Summe.

In speziellen Fällen gibt es hierfür eine äquivalente Formulierung.

Bemerkung 0.105Sei A ein (nicht notwendig kommutativer) lokaler Ring mit maximalemIdeal J und M ein A-Linksmodul. Dann ist

Soc(M) = {x ∈M | Jx = 0} .Beweis: Es lässt sich leicht nachrechnen, dass die Menge

X := {x ∈ M | Jx = 0}ein Linksuntermodul von M ist.Nach Definition ist

Soc(M) =⊕

i∈I

Mi

mit Mi einfach. Da Mi einfach ist, gilt Mi ∼= A/J . Also wird jederdieser Summanden von J annulliert und damit gilt

Soc(M) ⊆ X .Umgekehrt ist A/J ein Schiefkörper und damit einfach. Daher folgt mit[Jac89][3.15] , dass X als A/J-Modul halbeinfach, also eine Summe voneinfachen A/J-Untermoduln ist. Da J den Modul X annulliert, sindeinfache A/J-Untermoduln auch einfache A-Untermoduln und damitist X auch über A halbenfach. Nach der Definition des Sockels habenwir damit auch X ⊂ Soc(M). �Nun überlegen wir uns noch, wie der Sockel der injektiven Hülle eineseinfachen Moduls aussieht. Hierbei kann die Definition der injektivenHülle eines Linksmoduls im nichtkommutativen Fall wortwörtlich ausdem Unterabschnitt 0.6.1 übernommen werden.

46

Bemerkung 0.106Sei A ein (nicht notwendig kommutativer) Ring und M ein einfacherA-Linksmodul. Dann gilt

Soc(E(M)) ∼= M .

Beweis: Da Soc(E(M)) die direkte Summe all seiner nichttrivialen ein-fachen Untermoduln ist, ist M ein direkter Summand von Soc(E(M)).Sei N ein beliebiger nichtrivialer einfacher Summand von Soc(E(M)).Da M ⊆ Soc(E(M)) eine wesentliche Erweiterung ist, ist der ModulM ∩ N 6= 0. Da nun beide Moduln einfach sind, also keine echtenUntermoduln besitzen, sind sie gleich. �

Korollar 0.107Sei A ein nicht notwendig kommutativer, lokaler Ring mit Jacobsonra-dikal J . Dann ist

Soc(E(A/J)) ∼= A/J .Insbesondere besitzt Soc(E(A/J)) also ein Erzeugendensystem der Län-ge 1.

0.6.3 Gorenstein-Ringe, kanonischer Modul und lokale Dua-lität

Wir beschränken uns hier auf die Wiedergabe der Resultate und gebenkeine Beweise an. Für eine zusammenhängende Darstellung verweisenwir auf [BH98].Im ganzen Unterabschnitt 0.6.3 sei (R,m,k) ein noetherscher lokalerRing mit Maximalideal m und Restklassenkörper k. Außerdem seienalle hier betrachteten Moduln von endlichem Typ.Für die Definition des kanonischen Moduls benötigen wir zunächst nocheine

maximale cohen-macaulay-moduln uber¨ speziellen typen ...steenpass/articles/...0.1.2 moduln von...

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