Maximum Flow

2

26.1 流量網路與流量• Flow network( 流量網路 ) G=(V,E) 是一個有向圖，每一邊 (u,v)∈E 均有 Capacity( 容量 ) c(u,v)>0 。如 c(u,v)=0 即代表 (u,v)∉E 。

s

v1 v3

v2 v4

t

c(s,t)=0 ，因 (s,t) E∉

3

流量網路與流量• 令 s 為 Source vertex ， t 為 Sink vertex 。一個

Flow( 流量 ) 係一函數 f ： V×VR ，對任兩點 u,v而言滿足下列性質：– Capacity constraint: f(u,v)≤c(u,v)– Skew symmetric: f(u,v)=-f(v,u)– Flow conservation: 若 u∈V-{s,t} ，則

Σw∈Vf(u,w)=0 。• |f|=Σv∈Vf(s,v) 稱作流量 f 的值。

4

最大流量問題• 給一流量網路 G ， Source s 以及 Sink t 。求出具有最大值的流量 f 。

s

v1 v3

v2 v4

t

f(u,v)/c(u,v)

11/16

8/13

0/101/4

12/12

11/14

4/9 7/7

15/20

4/4

5

Residue Network與 Augmenting Path

• 由一 Flow network G 及一 Flow f 所導出的 Residue network Gf 為一個 Flow network ，其 Capacity cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v) 。

• 一個 Flow network G 及 Flow f 所導出的Augmenting path 即是 Residue network Gf 上一個st 的路徑 p 。

6

Residue Network與 Augmenting Path

• 如果一 Flow network 找的到 Augmenting path 代表可以找到一個 Flow f ，其值大於 0 。• 如一 Flow network G 及一 Flow f 所導出的 Residue

network Gf ，以找不到任何 Augmenting path ，則f 是最大流量。

7

s

v1 v3

v2 v4

tf(u,v)/c(u,v)

11/16

7/13

0/10 1/4

12/12

10/14

4/9 7/7

15/20

3/4

s

v1 v3

v2 v4

t5

6

11 3

12

5 7

15

Flow network

Residue Network

11

7

4 5

10

4

13

Augmenting Path

8

26.2 Ford-Fulkerson演算法• 主要是利用 Residue network 的觀點來找出

Maxium flow 。• 重複下列動作直到找不到 Augmenting path 為止。

– 找出 Augmenting path p 。– 將 Flow f 沿著 p 增加 min{cf(u,v):(u,v) 在 p上 } ，即 residue network Gf 中路徑 p 上最小的

Capacity 。

9

Ford-Fulkerson(G,s,t){ for each edge (u,v)∈E[G] do f[u,v]0 f[v,u]0while ∃ path p from s to t on Gf do cf(p)min{cf(u,v):(u,v) is in p} for each (u,v) in p

do f[u,v]f[u,v]+cf(p) f[v,u]-f[u,v]

return f}

10

s

v4v2

v3v1

t

16

13

10 4 9 7

14

4

20(a)

12

s

v4v2

v3v1

t

4/16

13

10 4 4/9 7

4/14

4/4

20

4/12

11

s

v4v2

v3v1

t

11/16

13

7/10 4 4/9 7/7

11/14

4/4

7/20

4/12

(b)

s

v4v2

v3v1

t

12

13

10 4 5

8

7

4

204

10

4

4

4

12

(c)

s

v4v2

v3v1

t

11/16

8/13

10 1/4 4/9 7/7

11/14

4/4

15/20

12/12

s

v4v2

v3v1

t

5

13

3 11 5

8

7

4

1311 7

3

4

4

11

13

(d)

s

v4v2

v3v1

t

11/16

12/13

10 1/4 9 7/7

11/14

4/4

19/20

12/12

s

v4v2

v3v1

t

5

13

3 3 5

12

7

4

511 15

3

5

4

11

14

s

v4v2

v3v1

t

5

12

11 3 9

12

7

4

1(e)

11 19

3

1

因無 Augmenting path ，故 Maximum flow 如下所示：s

v4v2

v3v1

t

11/16

12/13

10 1/4 9 7/7

11/14

4/4

19/20

12/12

15

Edmonds-Karp演算法• 使用 Breadth-first search 來找 Augmenting path 。• 主要能夠避免下面這種情形發生：

每次找出的 Augmenting path 是 (s,b,a,t) 跟 (s,a,b,t)交錯出現，如此要執行 2M 個 Iteration 才能做完。

s

a

b

t

M M

M M1

16

s

a

b

t

M M

M M1 s

a

b

t

M-1 M

M M-1

1 11

s

a

b

t

M-1 M-1

M-1 M-1

1 11

1

1s

a

b

t

M M

M M1需要 2M 次

17

Maximum flow and minimum cut

• 對一個流量網路 G=(V,E) 而言，一個 Cut (S,T) 是將 點集合 V 分割為 S 跟 T=V-S 兩部份且滿足s∈S 及 t∈T 。

• Cut (S,T) 的容量 (Capacity) ， c(S,T) ，定義為：所有滿足 u∈S 及 v∈T 的邊 (u,v) 之容量和。

18

Cut範例

s

v1 v3

v2 v4

t

f(u,v)/c(u,v)

11/16

8/13

0/101/4

12/12

11/14

4/9 7/7

15/20

4/4

S T

c(S,T)=c(v1,v3)+c(v2,v4)=12+14=26

19

• Lemma 5 Let (S,T) be a cut of a flow network G with flow f.Then the net flow across (S,T) is f(S,T)=|f|

f(S,T)=f(S, V)-f(S,S) =f(S, V) =f(s, V)+f(S-s, V) =f(s, V) = | f |

Proof:

20

• Corollary 6

The value of any flow f in a flow network G isbounded from above by the capacity of any cutof G

u S v T u S v T

Let (S,T) be any cut of G and f be any flow.By the above lemma and capacity constraints |f| = f(S,T) = f(u,v) c(u,v) c(S,T)

Proof:

21

Maximum flow=minimum cut

• 最大流量跟容量最小的 Cut 是相等的。• Thm26.6 以下三敘述等價

– (1) f 是流量網路 G=(V,E) 的最大流量– (2) Residue network Gf 找不到 Augmenting path– (3) 存在一個 Cut (S,T) ， |f|=c(S,T) 。

22

f

p

(1) (2) By contradiction, suppose f is a maximum flow in G but that G has an augment path p By cor4, the flow sum f+f is a flow in G with value strictly greater than | f |.

},

f f

f

(2) (3) Suppose G has no augmenting path, that is, that G has no path from s to t Define S={v V: a path from s to v in G and T=V-S The partition (S,T) is a cut: we have s S trivi

.

f

f

ally and t S there is no path from to in G For each pair of vertices u S and v T, we have f(u,v)=c(u,v) otherwise (u, v) E and v is in set S. By lemma5, | f | = f(S,T)=c(

s

)

t

S,T

23

(3) (1) By cor6, | f | c(S,T), for all cuts(S,T). The condition | f |=c(S,T) thus implies that f is a maximum flow

24

• Lemma 26.7

f f

If the Edmonds-karp algorithm is run on a flownetwork G=(V,E) with source s and sink t, thendistance (s,v) in the residual network G increases monotonically with each flow augmentation.

fBy contradiction, suppose that for some vertex v V-{s,t},

there is a flow augmentation that cause (s,v) to decrease.

Let f be the flow just before the f 'augmentation, and let be the flow just afterwa

. . ( , ) ( , )

( , ) ( , )

(

( , ) ( , ),( , ) ( , ).

, )(

( , ))

s v s v

s v s ui e ss u s u u s v

s u s u

f

f ' f '

f

f '

f ' f ' f '

f f '

rd. Then

Assume that for all vertices u V-{s,t} such that u V-{s,t},

Pf:

(*)

25

( , ) ( , ) . ( , ) ( , )s u s v s u s u

f '

f f

f

' f ' f '

Consider a shortest path p' in of the form s u v.Then By(*), we have Consider the net flow f from u to v before the augmentationof flow i G

G

n

1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )s v s u s u s v f f f ' f '

(1) If f[u,v] < c(u,v), then we have 1 1

f '

f

f

f

' f

(2) Thus f[u,v]=c(u,v), which means (u,v) EThus augmenting path p chosen in G to produce must have the edge(v,u), since (u,v) and (u,v)E E

G

This is augmenting flow along the path p pushes flowback along (u,v). v appears before u on p

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , )

( , )

s u s vs v s u

s us vs v

f f

f f

f '

f '

f '

Thus

= <

1112

26

• Thm 26.8If the Edmonds-Karp algorithm is run on a flow networkG=(V,E) with source s and sink t, then the totalnumber of flow augmentations performed by the algorithm is at most O(VE)

( ) )( ,

()

,p u vu v

f

f f

in a residual network G is on an augmenting path p if After each augmentation, any critical edge disappears from

the residual network. Moreover, at least

critic

one e

alc c

dge

( , ) ( , )s v s u

f f

on any augmenting path must be critical Let (u,v) E. Since augmenting paths are shortest

paths, when (u,v) is critical for the first time, we have 1

Pf:

27

( , )u v will reappear later on another augmenting path only if (v,u) appears on an augmenting path

( , ) ( , ) .

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( ,

)

| )

(

|

s u s v

s v s vs u s v s v s u

s u V u v

by lemma

f ' f

f

f f

f

'

f '

f ' f '

If is the flow in G when this event occurs, then we have Since

we h 26.

f

a7

ve

'

1

1 1 21 can be critical at most O(V) times.

• There are at most O(E) pairs of vertices that can have an edge between them in a residual graph, the total number of critical edges during the entire execution of the Edmonds-Karpalgorithm is O(VE). • Each augmenting path has at least one critical edge, and

hence the theorem follows.

28

• Each iteration of Ford-Fulkerson can be implemented in O(E) time, when the augmenting path is found by BFS.

• Total running time of the Edmonds-Karp algorithm is O(VE2).

Asymptotically fastest to date for maximum-flow ：2/3 1/ 2 2(min( , ) lg( / 2) lg ), deterministic.O V E E V E C C: max capaci ty

29

Minimum cut的應用• 可用於決定經營投資策略。如開發產品 A1 需要先購入工具 T1,T2 ，而產品 A2 需要先購入工具

T2T3 ，則同時開發僅需要負擔 T1,T2,T3 的成本。• 可以將此問題一般化，假定產品 Ai 需要先購入 k個工具 Ti

1Ti2…Ti

k 。而產品 Ai 開發完成可獲利Pi ，購入工具 Tj 需要 Qj 的金錢，則該選擇哪些產品開發？

30

利用Minimum cut

s

T1

T2

Tm-1

Tm

……

……

.

A1

A2

An-1

An

……

……

.t

Q1

Q2

Qm-1

Qm

P1

P2

Pn-1

Pn

如 Ai 需要 Tj ，則自 T1 拉一條容量無限大的邊到Ai 。

31

流量網路的建構方式• 將圖如上頁一般的建構出來，有 source s, sink t ，以及每一個產品與工具。• 對每個工具 Tj 自 s 拉一條容量為 Qj 的邊。• 自每一個產品 Ai 拉一條容量為 Pi 的邊到 t 。• 如 Ai 需要 Tj ，則自 T1 拉一條容量無限大的邊到

Ai 。

32

與最大獲利的對應• 所有產品的利潤總和扣掉該圖的 minimum cut 即是最大獲利。• 觀察：能夠獲利的產品，獲利必然比投入的工具成本高，故將此類的產品與工具劃入 T ，其他的劃入 S 。• 理想的狀態是所有的產品利潤全得，沒有投入的產品部份係扣除產品接到 sink 的容量，而有投入的產品需扣除投入的工具成本，故扣除 source 接到工具的容量。所扣除部分即為 cut 的容量。

33

s

T1

T2

Tm-1

Tm

……

……

.

A1

A2

An-1

An

……

……

.t

Q1

Q2

Qm-1

Qm

P1

P2

Pn-1

Pn

T

S

需投入成本

得不到獲利

34

26.3 Maximum Bipartite Matching

• 一個 Bipartite Graph G=(V=L R,E)∪ ，具有下列性質：– V 可以分割成 L 及 R=V-L 兩個集合。– 所有的邊 (u,v) 的兩個端點 u 及 v 不會同在 L 或同在 R 之中。

35

Bipartite Graph範例

L R

36

Matching

• 對一個圖 G=(V,E) 所謂的配對 (Matching) 是一個不共用點的邊子集合。即：– 對任意兩邊 (u1,v1) ， (u2,v2) 而言， u1,v1,u2,v2 四點均相異。

• 最大配對 (Maximum matching) 是指具有最多邊的配對。

37

Matching範例

L R

紅色邊所成的即為一個配對(Matching)

38

Maximum Matching範例

L R

紅色邊所成的即為一個最大配對(Maximum matching)

39

利用最大流量求最大配對• 令 G’=(V {s,t},E {(s,u):u∪ ∪ ∈L} {(v,t):v∪ ∈R}) 。即新增 source s 及 sink t 進入圖 G ，並且在 s 與 L 的所有點之間拉一條邊，而在 R 跟 t 之間拉一條邊。• 如果所有邊的容量均設定為 1 ，則最大流量等於最大配對。

40

流量網路圖

L R

s t

41

最大流量與最大配對

L R

s t