mb ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ. и ТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ...

ВСЕ НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ ДЛЯ

ГЕОМЕТРИЯПособие гарантирует:

♦ повторение и усвоение школьного курса геометрии с учетомтребований ЕГЭ

♦ выработку устойчивых навыков выполнения всех возможных видов заданий ЕГЭ по геометрии

♦ уверенность учащегося при встрече с любым видом заданияна реальном экзамене

Автор пособия - ведущий специалист, принимающий непосредственное участие в разработке методических материалов для подготовки

к выполнению контрольных измерительных материалов ЕГЭ Это пособие, которое включает:

• Методы решения экзаменационных задач 14 и 16 по темам планиметрии и стереометрии • Обучающие комментарии к решениям

Если учащийся решил все задания данного пособия, он может с уверенностью сказать:

Я готов к выполнению заданий ЕГЭ по планиметрии и стереометрии!

Рекомендованный комплект пособий для подготовки к ЕГЭ по геометрии избавит Вас от необходимости покупать множество

книг и искать дополнительную информацию в Интернете

ISBN 978-5-377-08096-1Рекомендованные комплекты пособий аналогичной структуры выпускаются по всем школьным предметам, которые выносятся на ЕГЭ

131415

Щ MB ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ.и ТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

ш ш

ЩЕТРИЯ Ц j 7"/ыны и формулы планиметрии

"юео- к сложному” oil/ в пространстве

•щобей и объемов « ' <"нийj I и пчромида, призма.

" «.'ранникови сфернм I зданиямЖ Щ

9785377080961

УДК 372.8:514

ББК 74.262.21 П64

Потоскуев Е. В.П64 ЕГЭ. Геометрия. Задания 14, 16. Опорные задачи по геометрии. Пла

ниметрия. Стереометрия. / Е. В. Потоскуев. — М. : Издательство «Экзамен», 2016. — 223, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Полный курс»)

ISBN 978-5-377-08096-1Пособие содержит решения опорных задач планиметрии и стереометрии, их ис

пользование при решении содержательных геометрических задач на построение, доказательство и вычисление.

Нахождение расстояний и углов в пространстве является той важнейшей частью раздела стереометрии, на которой основываются, базируются все ее метрические вопросы, в том числе нахождение площадей и объемов геометрических фигур. В этой связи, в данном пособии предлагаются методические рекомендации выработки умения вычислять расстояния, углы между прямыми и плоскостями. Эти умения предлагается вырабатывать посредством выполнения тематических заданий, которые составлены из задач, подобранных по принципу «от простого — к сложному» с использованием изображений правильного тетраэдра, куба, правильных пирамиды и призмы. Наряду с геометрическим методом решения стереометрических задач на нахождение расстояний и углов в данном пособии рассматривается векторнокоординатный метод их решения. Также предлагаются опорные задачи на геометрические преобразования пространства, комбинации правильных многогранников исФеР- K l H JL Я

Тематический набор задач каждого задания предваряется решением аналогичных задач. Ко всем задачам указаны ответы.

В пособии имеются списки основных теорем и формул планиметрии и стереометрии.

Учебное пособие адресовано учащимся и учителям математики школ, лицеев, гимназий, колледжей, а также студентам бакалавриата и магистратуры, аспирантам, преподавателям педвузов.

Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях.

УД К 372.8:514 Б Б К 74.262.21

Формат 60x90/16.Гарнитура «Школьная». Бумага газетная. Уч.-изд. л. 8,39. Уел. печ. л. 14.

Тираж 5000 экз. Заказ №798.

ISBN 978-5-377-08096-1 О Потоскуем I П., 2016© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

П РЕД И С Л О ВИ Е......................................................................... 5ГЛАВА 1. О П О РН Ы Е ЗАД АЧИ П Л А Н И М ЕТ РИ И ..................8

Подготовительный набор задач.................. 9Спецзадание № 1 ................................................................. 28

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ С ЕЧЕН И ЙМ НО ГО ГРАННИКО В ....................................................50

Часть 1. Построение сечений многогранников на основании системы аксиом и следствий из н и х .................50

Задачи для самостоятельного реш ения....................... 52Часть 2. Специальные методы построения

сечений многогранников..........................................................552.1. М етод следов..........................................................55Задачи для самостоятельного реш ения....................... 572.2. М етод внутреннего проектирования.................. 60Задачи для самостоятельного реш ения....................... 612.3. Комбинированный м етод ...................................... 63

Подготовительный набор задач..........................................63Задачи для самостоятельного реш ения....................... 69

Спецзадание № 2 ................................................................. 71ГЛАВА 3. РАССТО ЯНИЯ В П РО С ТРА Н С ТВЕ....................... 73

Подготовительный набор задач..........................................73Спецзадание № 3 ........................................ 87

ГЛАВА 4. У ГЛ Ы В П РО С ТРАН СТВЕ......................................95Подготовительный набор задач..........................................95Спецзадание № 4 ............ 106

ГЛАВА 5. РАССТО ЯНИЯ В ПРО СТРАНСТВЕВ КО О РД И Н А ТА Х ..................................................................113

Подготовительный набор задач........................................113Спецзадание № 5 ............................................................... 126

ГЛ А ВА 6. У ГЛ Ы В ПРО СТРАНСТВЕВ КО О РД И Н А ТА Х ..................................................................131

Подготовительный набор задач........................................131Спецзадание № 6 ............................................................... 138

3

ГЛ А ВА 7. Ш А Р Ы И С Ф Е Р Ы В КО М БИ Н А Ц И ЯХС КУБО М И П РА ВИ Л ЬН Ы М ТЕТРАЭД РО М ........................14^

Подготовительный набор задач........................................ 14{Спецзадание № 7 ................................................................16{

ГЛ А ВА 8. П РЕО БРА ЗО ВА Н И Я П РО С ТРА Н С ТВА ..............18JСвойства преобразований пространства ..................18JПодготовительный набор задач................... 18£Спецзадание № 8 ................................................................189

О СНО ВНЫ Е И СП О Л ЬЗО ВАН Н Ы Е О Б О ЗН А Ч ЕН И Я .........191П РИ Л О Ж ЕН И Е ....................................................................... 19g

Рабочие теоремы планиметрии......................................... 196Основные теоремы геометрии прймых и плоскостей .... 20(

О ТВЕТЫ К ЗАД АЧАМ С П ЕЦ ЗА Д А Н И Й ..............................206Л И Т ЕРА Т У РА .......................................... 225

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

“ Геометрия является самым могущественным средством il щ изощрения наших умственных способностей и дает нам им I иожностъ правильно мыслить и рассуждать” .

Неликий итальянский ученыйГалилео Галилей

Изучение геометрии не только состоит в формировании специальных геометрических знаний, но и способствует развитию личности, умению логически мыслить и доказательно нПос повывать истинность утверждений в любой сфере деятельности. Хорошее геометрическое образование, пространственное соображение и логическое мышление необходимы не только профессиональному математику, но и инженеру, и экономисту, и дизайнеру, и юристу, и программисту, и специалистам многих других профессий.

Владение геометрией означает умение решать геометрические задачи. Алгоритмов решения геометрических задач, вообще говоря, нет. Прежде чем приступить к решению задачи, следует наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь в ее условии. И хотя, при строгом подходе к изучению геометрии, рисунок не имеет доказательной силы, даже если он выполнен безупречно, тем не менее, черно, наглядно и хорошо выполненный рисунок (чертеж) к задаче — это надежный помощник при ее решении. С такого изображения-рисунка должно начинаться решение любой геометрической задачи. О роли рисунка при решении задачи великий математик Леонард Эйлер (1707-1783) говорил: “Мой карандаш бывает еще остроумней моей головьС\

Известны трудности, которые возникают у начинающих изучать стереометрию из-за неумения сделать «удобный» рисунок — верно, наглядно и «просто» изобразить фигуру, расположенную в пространстве. Еще большую трудность вызывают дополнительные построения на уже построенном изображении. Таким образом, выполнение правильных, наглядных чертежей и рисунков к задачам по стереометрии является необходимой

5

составляющей умения реш ать эти задачи. При этом необхо ̂димо выработать привычку аргументированно объяснят■ «шаги» первоначального и дополнительного построений изаш бражения фигур, так как эти «шаги» составляют своеобразный анализ решения геометрической задачи, «открывают п уть! к ее решению: при этих объяснениях устанавливаются необхо! димые аффинные и метрические взаимосвязи, соотношений между данными и искомыми фигурами.

Построение сечений многогранников является одниМ из опорных разделов в изучении стереометрии и делает пред̂ мет стереометрии наглядным, доступным и интересным, фор? мирует конструктивные пространственные представления^ Следует овладеть различными способами построения сечений многогранников, для чего необходимо проанализировать рас] смотренные в данной книге решения задач второй главы и са\ мостоятельно выполнить предложенные построения.

Вместе с тем, успешность решения геометрической задачи во многом зависит о т знания теорем и умения их приме\ пять. Безусловно, все теоремы важны. Но среди них выделяются «опорные» теоремы, которые наиболее часто используются при решении задач. Удачный же выбор в каждом конкретном случае востребованной теоремы достигается путем решения достаточно большого количества задач.

Острота проблемы аргументации при решении геометриче-] ских задач может быть уменьшена, если разумно использоА ва ть «опорные» задачи на построение, доказательство и вычисление; необходимо выработать умения решать «опорные» задачи планиметрии и стереометрии, увеличивая их «банк». Достаточно один раз доказать некоторый «опорный» факт и пользоваться им в «рабочем порядке» всякий раз, когда* с этим фактом встречаетесь при решении другой задачи. Владеющий умением быстро решать «опорные» задачи может анализировать и синтезировать процесс решения содержательной геометрической задачи, расчленяя этот процесс! на логическую последовательность решения уже знакомых ] «опорных задач».

Нахождение расстояний в пространстве является той важ нейшей частью раздела стереометрии, на которой основываются, базируются все ее метрические вопросы, в том числе нахождение углов, площадей и объемов. Умение «видеть» и отчислять различные расстояния , углы между прямыми и плоскостями является фундаментом, «опорой» для успешного изучения всей метрической стереометрии.

Если изображена пирамида или призма неизвестной фор- мм, то возможно решение лишь задач позиционного характера. Решение же стереометрических задач на определение расстояний и углов (задач метрического характера) становится иозможным лишь на метрически определенном чертеже. Метрическая определенность (метризация) чертежа (рисунка) обеспечивается изображением на этом чертеже (рисунке) многогранника заданной формы. Именно вследствие того, что правильный тетраэдр, куб, правильные пирамида и призма являются многогранниками известной формы, их использование для выработки навыков «видеть» и находить расстояния и углы в пространстве способствует эффективному «вхождению в метрическую стереометрию».

Эта книга предназначена для тех, кто может научить, и тех, кто хочет научиться решать задачи по геометрии. В ней приведены спецзадания, представляющие наборы «опорных» задач по планиметрии и стереометрии. Некоторые спецзадания составлены из 25 вариантов, некоторые — из 9 вариантов. Каждое спецзадание предваряется подготовительным набором задач с решениями или указаниями к их решению. Ко всем задачам даны ответы.

Изучение и анализ приведенных в данной книге решений задач или указаний к их решениям будут способствовать вы работке умений и навыков творчески работать с текстом задач любого уровня сложности. Вопрос «Почему?», встречающийся в тексте при решении задач, ставится с целью предложить читателю самостоятельно обосновать соответствующее утверждение.

Автор

7

ГЛАВА 1. ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛАНИМЕТРЫ

Д ля успешного решения задач планиметрии необходим* знать и правильно использовать: а) свойства медианы и высо: ты прямоугольного треугольника, проведенных к гипотенузе

б) формулы вычисления площади треугольника: S = —a h2

S = AabsinC ; S = —(a + fo + c*)-r, где г — радиус вписанной ок 2 2ружности; S =yjp(p-a)(p-b)(p-c) , где р — полупериметр;

а^с о - \ ~ JS =— , где R — радиус описанной окружности; в) свойстве 4 Я

биссектрисы угла в треугольнике; г) теорему об отрезках касательных, проведенных из данной точки к данной окружное сти; д) теорему синусов и теорему косинусов; е) теорему о касательной и секущей; ж ) теорему о нахождении вписанного угла, угла с вершиной внутри и вне круга, угла между касательной и хордой.

При решении задач планиметрии довольно часто возникает необходимость использовать утверждения о том, что: а) отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание (равные высоты), равно отношению высот (оснований) этих треугольников; б) отношение площадей двух треугольников, имеющих равный угол, равно отношению йроизиедений длин сторон этих треугольников, заключающих

S АН АСэтот угол: ЛАВС = ---- — — , (ABAC = Z P M K ); в) если

&АМРК М Р ■ М КA M — биссектриса треугольника A B C , то SMBM : SAACM == ■■= А В : АС.

При решении задач, связанных с трапецией, полезно помнить:

Если в равнобедренной трапеции ABCD (AD || ВС ) проведе-AD + BC A D - B Cна высота С Н , то: А Н --------- ; D H = --------.

2 2Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой

взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты.

• мттдает с окружностью, описанной около треугольника U />,

Роковая сторона равнобедренной трапеции, в которую и шил на окружность, равна средней линии трапеции.

Из центра окружности, вписанной в трапецию, боковая• ■торома трапеции «видна» под прямым углом.

Длина радиуса окружности, вписанной в трапецию, явля- »ч<я средней геометрической величиной длин отрезков, на кот о р ы е делится боковая сторона трапеции точкой ее касания• окружностью.

I [слезно знать, что: а) если точки М и Р лежат по одну сторону относительно прямой А В и Z M A B = Z PA B = ср, то точки \С Л, В и Р лежат на одной окружности; б) если сумма величин противоположных углов выпуклого четырехугольника ршша 180°, то этот четырехугольник вписан в окружность.

«Рабочими» являются и ряд других базовых, «опорных» утверждений. Знание и умение применять их во многих случаях облегчает решение нестандартных задач, задач повышенной сложности, в том числе задач олимпиадных.

окружность, описанная около трапеции ABCD (АОЦВС),

Подготовительный набор задач

Рассмотрим, например, задачу, при решении которой используется свойство диагонали параллелограмма делить его на два равных (равновеликих) треугольника.

Задача 1. Найдите площадь треугольника ABC , если АВ = 26 см, АС = 30 см и длина медианы A M равна 14 см.

Решение. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC (рис. 1), в котором М — середина AD. Тогда AD = 28, и

9

по формуле Герона находим = л/42161214 = 336, что со ставляет половину площади параллелограмма A BD C , которая, в свою очередь, равна удвоенной площади треугольник! А БС . Значит, S = 336 (см2).

О т в е т : 336 см2.Очень важным для «заданного рисунка» является его про

стота, лаконичность. Иногда в результате анализа решения задачи приходится отказываться от уже построенного изображения и выполнять новый чертеж, обладающий большей простотой и наглядностью, наиболее верно изображающий расположение фигур в соответствии с условием задачи.

Рассмотрим, например, решение следующей задачи.

Задача 2. Медиана В Н треугольника ЛВС пересекается с его биссектрисой A M в точке К и делится этой точкой на два равных отрезка. Найдите площадь этого треугольника, если В Н = 16 см, A M = 20 см.

Решение. Для решения этой задачи, прежде всего, следует изобразить ААВС, соответствующим ее условию. Допустим, выполнено изображение треугольника ABC (рис. 2). Далее необходим анализ данной геометрической ситуации: не в любом треугольнике биссектриса одного его угла делит пополам медиану, проведенную из вершины другого угла.

При решении задачи можно рассуждать следующим образом.

В В

Так как точка К — середина В Н и A M — биссектриса угла БАС, то А К — медиана и биссектриса в А А ВН . Поэтому ААВН — равнобедренный (!) (АВ = А Н ) и А К — его высота. Это 10

• ш ri;i<‘T, что для решения задачи сначала нужно построить I ж ни ободренный треугольник А В Н (АВ = А Н ) и его медиану A h , затем на луче А Н построить точку С, такую, что Л(' 2АН. Тогда ААВС — искомый, в котором A M (продол-I. < * 1111 ый отрезок А К до пересечения с ВС) — его биссектриса

I |»МГ. 3).'Теперь (рис. 3) получается совершенно другое, верное изо-

*»|жжение треугольника ЛВС и можно приступать к необходимым вычислениям.

Имеем: А К — серединный перпендикуляр отрезка В Н =>

В К = — В Н = 8 — высота ААВМ . Поэтому: Бмдм = ~ A M • В К =2 2

1 • 20 • 8 = 80.2Так как А Б = А Н и В Н — медиана ААБС, то АС = 2АБ. По

свойству биссектрисы угла в треугольнике АБС имеем: СМ : M B - АС : А Б - 2 : 1 => СБ : М Б - 3 : 1 => S ^ BC - 3

3 • 80 = 240 (см2).О т в е т : 240 см2.Требуются логические обоснования шагов построения

также при изображении треугольника, заданного условием следующей задачи.

Задача 3. Две медианы треугольника, равные 18 и 24, взаимно перпендикулярны. Найдите длину третьей медианы этого треугольника.

Решение. Возникает проблема изображения треугольника по условию задачи: не в любом треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны. Например, в треугольнике АБС, изображенном на рис. 4, медианы А Р и В Н не взаимно перпендикулярны: изображение неверно. Поэтому искомое изображение треугольника для решения данной задачи следует начинать, используя условие перпендикулярности его медиан.

11

с вРис. 4 Рис. 5

Проводим две взаимно перпендикулярные прямые. Пусть О — точка их пересечения (рис. 5). На одной из этих прямых выбираем точку А и строим точку Р (по разные стороны от точки О) так, чтобы выполнялось АО : ОР = 2 :1 . Аналогично, на другой прямой выбираем точку В и строим точку Н так, чтобы ВО : О Н = 2 :1 . Точки А и В принимаем за вершины заданного треугольника и строим третью вершину С = А Н n В Р .

Докажем, что В Н и А Р — медианы треугольника АБС.Из соотношений АО : ОР = ВО : ОН = 2 :1 следует подобие

треугольников АО Б и РО Н с равными вертикальными углами при вершине О. Поэтому H P || А В и H P = 0,5АБ. Это означает,что точки Н и Р — середины сторон соответственно АС и ВС треугольника АБС , то есть А Р и Б Н — его медианы.

Далее приступаем к «вычислительному» этапу решения задачи.

Пусть А Р = 18 и Б Н = 24. Найдем длину медианы СМ.По свойству медиан в ААБС имеем: АО : ОР = БО : ОН =

= 2 : 1 =>АО = - А Р = - • 18 = 12; ВО = - Б Я = - • 24 = 16. 3 3 3 3

Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном Д АО В:АВ == л]АО2 + ВО 2 —\ll22 +162 = 20. А так как О М — медиана этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла, то

О М = —А В = — • 20 = 10. Учитывая, что СО : ОМ = 2 :1 , по- 2 2лучаем: СМ = ЗОМ = 3 • 10 = 30.

О т в е т : 30.

12

Задача 4. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону треугольника.

Решение. (Построение заданного в условии задачи треугольника АБС аналогично предыдущему.) Пусть в треугольнике А БС : АС = 6, ВС = 8, медианы А Е и BD пересекаются под прямым углом в точке М (рис. 6). Требуется найти длину стороны А В.

Так как А Е и BD — медианы в треугольнике АБС, то D E — его средняя линия, значит, А В = 2D E. Найдем длину D E .

Точка М — центроид треугольника АБС, поэтому В М : M D ^ A M : М Б = 2 :1 . Если М Б = a, M D = &, то A M = 2а, В М = 2 Ъ.

По теореме Пифагора в прямоугольных треугольникахA M D и Б М Б имеем:

A M 2 + D M 2 = AD 2, Е М 2 + В М 2 = B E 2.

Учитывая, что AD = = 3, Б Б = ~ ВС = 4, получа-

f 4а2 + Ь2 =9, ем: <

}а 2 +4Ь2 =16.Сложив эти равенства, находим а2 + Ь2 = 5 = D E 2, откуда

D E = л/б. ТогдаАБ = 2 Б Е = 2 ч/б.О т в е т : 2 л/б.

В

Рис. 6Таким образом, если в условии задачи речь идет о тре

угольнике, две медианы которого взаимно перпендикулярны, то рисунок к этой задаче необходимо начинать не с изобра-

13

женил треугольника, а с проведения двух взаимно перпендикулярных прямых, на которых должны бы ть расположены э ти медианы. Дальнейшие построения искомого треугольника нужно выполнять, учитывая свойства медиан треугольника.

Известно, что радиус R окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, Ъ и гипотенузой с, нахо

дится по формуле: R = —~ • Использование этой формулы

в сочетании с формулой S = —(a + b + c) R обеспечивает про-2

стое решение целого ряда задач, в той или иной форме связанных с вычислением площади треугольника. Примером может служить решение следующей задачи.

Задача 5. Площадь прямоугольного треугольника равна60 дм2, а его периметр равен 40 дм. Найдите катеты треугольника.

А

Рис. 7

Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике A BC : АС = b, ВС = а, А В = с; ZACB = 90°; i? — радиус окружности, вписан

ной в этот треугольник (рис. 7). Тогда: S ^ c = —a b = 60;2

Л = ii i J? —_ = = 3 . Получаем:2 -P дABC 40

Ja + fr + c-40,

14

\a*b = 120,Имеем: < Это означает, что значения а и о явля-[а + Ь = 23.

ются корнями уравнения: £2 - 23 ̂+ 120 = 0, t > 0 . Находим tx = 8, t2=z 15. Значит, а = 8, Ъ= 15. Таким образом, ВС = 8 (дм), АС =15 (дм).

О т в е т : 8 дм, 15 дм.Во многих случаях полезно использовать «опорный» факт

о том, что четырехугольник, вершинами которого служат середины сторон данного четырехугольника, является параллелограммом. Причем этот параллелограмм может быть прямоугольником, ромбом или квадратом, в зависимости от длин диагоналей данного четырехугольника и величины угла между ними.

Рассмотрим, например, решение следующих двух «родственных», вместе с тем, «по условиям противоположных» задач.

Задача 6. В выпуклом четырехугольнике ABCD длины диагоналей равны 7 и 18. Найдите площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны.

Рис. 8

Решение. Пусть М К и P H — отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD (рис. 8), причем М К = P H , АС = 18, BD = 7.

Имеем: М Р || АС, М Р =—АС (как средняя линия AABC);2

Н К || АС, Н К = — АС (как средняя линия AADC) => М Р || Н К , 2

15

M P I I К > М Р К Н — параллелограмм. А так как М К = PH , то четырехугольник М Р К Н — прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям АС и BD данного четырехугольника A BC D , поэтому A C Z B D . Это означает, что

Sabcd= \ АС • В£>= i • 18 • 7 = 63 (кв. ед.).

О т в е т : 63 кв. ед.

Задача 7. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, имеющего равные диагонали, если длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны 13 и 7.

Решение. Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD точки М , Р, К и Н — середины его сторон соответственно А В , ВС, CD и АП (рис. 9), при этом М К = 7, P H = 13; О = AC п B D ;ZBOC = ф. Так как М Р и К Н — средние линии треугольников ABC и ADC с общим основанием АС, то М Р || К Н || АС,

М Р = К Н = —АС, поэтому М Р К Н — параллелограмм, в кото- 2

ром Р К || М Н || BD , Р К = М Н = — B D . Учитывая, что АС = BD,2

получаем: М Р К Н — ромб, в котором А М Н К = ZBOC = ф. Найдем дважды площадь этого ромба.

С

АРис. 9

16

Имеем: S MPKH = М Н • Н К • sin ф = — M # • P H . Теперь нахо-2

дим:-Sabcb = -A C BD- sin ф = i • 2 Н К ■ 2 Я М • sin <р = 2 • НК-

2 2• Н М • sin ф = 2SMPKH = 2-( — М К ■ P H ) = М К • P H = 7 • 13 =

2= 91 (кв. ед.).

О т в е т : 91 кв. ед.В решении следующей задачи «ключевым моментом» яв

ляется использование «опорной» задачи о равновеликости двух треугольников, имеющих общее основание, если третьи вершины треугольников расположены на прямой, параллельной их общему основанию.

Задача 8. В выпуклом четырехугольнике ABCD через середину диагонали BD проведена прямая, параллельная диагонали АС и пересекающая сторону АН в точке Е . Докажите, что прямая СЕ разбивает четырехугольник ABCD на две равновеликие части.

В

ь Рис. 10Решение. Пусть К — середина диагонали BD , Р — точка

пересечения данной прямой со стороной CD четырехугольника ABCD (рис. 10). Тогда S ^ e = S ^ CM, где М — любая точка прямой Р Е . Значит, SABCE = SABCM.

Возьмем в качестве М точку К — середину диагонали BD.

Тогда SABCE = SABCK = ~ В К • АС * sin а, где а — угол между диа-

17

гоналями данного четырехугольника. Так как В К = B D , тоz1 1 1

■Sabcx = 2 ' ( g ‘ АС ' sm а )- Значит, = ~ S^BCD, что итребовалось доказать.

Известно, что если два треугольника имеют равный угол, то отношение площадей данных треугольников равно отношению произведений длин их сторон, заключающих э т о т

угол: S ААВС _

A M Р К

A B A CМ Р М К

, (ABAC = А Р М К ).

Рассмотрим использование этого факта на примере решения следующей задачи.

Задача 9. Точки К , М и Т расположены соответственно на сторонах А В , ВС и АС треугольника ABC так, что А К : К В = = В М : М С = СТ : ТА = 2 : 5 (рис. 11). Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника К М Т равна 38.

С

В

Рис. 11Решение. Имеем: А К : К В = 2 :5 > А К:А В = 2 : 7; СТ : ТА

А К А Т= 2 : 5 => А Т : АС = 5:7. Тогда: S a a t k ' а в с ~ . п тугA B A CА К А Т 2

757

1049

S 10ЛАТК ■ ’ ДАВС-А В АС 7 7 49 “ “ “ 49

Аналогично, А К : К В = 2 : 5 => В К : ВА = 5 : 7; В М : М С = 2 :5 => В М : ВС = 2 :7 . Тогда: В а в м к • S давс

В К В М В К В М 57

27

1049В А В С ВА ВС

Далее, аналогично найдем: В дсмт

О - 10 с/̂АВМК ~ &&АВС’491049

Вддвс. Получаем:

18

& Ш Т К ~ ^ 4 ABC (S \ A T K 4" В д в м к + В д с м г ) — S&ABC 3* — - ' S \ A Br4919 49 49

= ^4ABC ^ S&ABC = — £> Л М Т К ~ Yg '38 = 98 (кв. ед.).

О т в е т : 98 кв. ед.Можно и другим «опорным» фактом воспользоваться при

решении этой задачи: если точка С леж ит внутри отрезка А В и делит э т о т отрезок в отношении АС : СВ = т : п, то для любой точки Р <£ А В имеет место:

о _ m о . о _ о . о _ п о° Д РАС АРВС ’ °Д РАС АРАБ ’ ° 4 РВС , °4 Р А В •п т + п т+ пВ нашем случае имеем:А К : К В = 2 :5 =>АК:АВ = 2: 7=>АК= |аВ= > S MTK = | S MTB;

С Г :Т А = 2:5=> АГ:АС = 5:7=>АГ = ^AC=>SMTB = | S ^ .

Тогда Вддте = S aibc • S Vi«c- Аналогично находят-7 7 49

ся S ABMK и S ACMT,Полезно рассмотреть и трети й возможный путь реше

ния этой задачи.Имеем: А К = -АВ\ А Т = -А С . Тогда: S MTK = - А Т ■

7 7 2

• А К • sin А = - --АС • - А В • sin А = (- • - )• (- -АС - А В • sin А ) = 2 7 7 7 7 2

- 10 S i\ABC •49

1 1 5 2Аналогично: SABMK = — В К • В М * sin В = — * — ВА • — ВС • sin В =2 2 7 7

= ^ S W Далее: А с г -СМ • sin С = ^ ' § С А • | с в •4 У Z ( i

. « « Г - 10 Qsm О Одавс*49Получаем: S AMTK — — ( S AATK + S a b m k + £>a c m t ) ~ & a a bc ~10 19 49 49- 3* — S aabc = — S aabc &aabc = “ S AMTK= — *38 = 98 (кв. ед.). 49 49 19 19О т в е т : 98 кв. ед.

з - ^ Smbc = Вддвс => Smbc = S ,MTK= g -38 = 98 (кв. ед.).

19

«Опорные» факты довольно часто позволяют найти решение нестандартной, творческой задачи. Рассмотрим, например, следующие нестандартные задачи разного уровня сложности.

Задача 10. Длины двух сторон треугольника равны 13 и 14. Сколько различных целых значений может принимать площадь этого треугольника?

Указание. Пусть в ААВС А В = 13, АС =14. Тогда S ABC =

= —А В -АС * sin А = 91 • sin А. Так как 0<ZA<180°, то z0 < sin А < 1. Значения S ^ BC будут целыми при условии:

. , 1 2 3 90 91 ,sinA - — ; — ; — ; ; ; — = 1 > откуда следует, что число

целых значений площади данного треугольника равно 91. О т в е т : 91.Биссектриса угла трапеции ( параллелограмма) «отреза

ет» о т трапеции (о т параллелограмма) равнобедренный треугольник. Это свойство биссектрисы угла трапеции (параллелограмма) находит применение при решении многих задач.

Рассмотрим, например, решения таких задач.Задача 11. Биссектрисы тупых углов при основании тра

пеции пересекаются на другом ее основании. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см, а длины биссектрис — 15 см и 13 см.

Решение. Пусть отрезок В К — высота данной трапеции ABCD (В К = СН = 12); В М и СМ — биссектрисы углов соответственно ABC и BCD (рис. 12), причем В М = 15, СМ = 13.

Рис. 12В прямоугольных треугольниках В К М и С Н М по теореме

Пифагора находим соответственно: К М = 4 в М 2 - В К 2 == V l52 -122 = 9; М Н = ^СМ 2 - С Н 2 = V l32 -122 = 5.20

Обозначим: H D = х, А К = у.Так как Z A B M = Z C B M (В М — биссектриса угла ABC )

иZC BM = Z A M B (как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD), то Z A B M = ZA M B, значит, ААВМ — равнобедренный, при этом А В = A M = К М + А К = 9 + у. В прямоугольном ААВК имеем: А В 2 = А К 2 + В К 2 или (9 + у)2 =у 2 + 144 => => 2 у =7 => у = 3,5. Тогда: А В = А М = 9 + 3,5 = 12,5.

Аналогично, так как Z BC M = ZM CD (СМ — биссектриса ZBCD ) и Z BC M = ZCD M (как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и А В), то ZM CD = ZCM D, значит, ACMD — равнобедренный, при этом CD = M D — М Н + H D = 5 + х.

В прямоугольном ACHD имеем: CD2 = СН2 + H D 2 или (5 + х)2 = = х 2 + 144 => 10 • х = 119 =>х = 11,9. Тогда: CD = M D = 5 + 11,9 = = 16,9.

Получаем: AD = A M + M D = 12,5 + 16,9 = 29,4; ВС = К Н = = 5 + 9 = 14. Теперь находим площадь трапеции:

— = ^ ± tM .1 2 = 260,4 (см2).

О т в е т : 260,4 см2.Задача 12. Биссектриса острого угла равнобедренной тра

пеции пересекает боковую сторону и делит ее на отрезки длиной 20 и 30, считая от меньшего основания трапеции. Длина меньшего основания трапеции равна 6. Найдите площадь этой трапеции.

Решение. Пусть А К — биссектриса угла BAD равнобедренной трапеции ABCD (рис. 13); СК = 20, KD = 30; ВС = 6; Р

21

точка пересечения прямых А К и ВС. Тогда Z B A P = Z P A B = = ZA P В => АА В Р — равнобедренный => А В = В Р = 50. Тогда СР = В Р - В С = 50 - 6 = 44.

Из подобия треугольников A KD и РК С находим СР : А В == СК : K D = 20 : 30 = 2 : 3, откудаАН = ^ = = 66.

2 2Если точки Б и Т — середины оснований ВС и AD тра

пеции, СН — ее высота, то TD = 33, FC = 3 = Т Н , Ш ) = TD -

~ Т Н = 33 - 3 = 30. Тогда в прямоугольном ACHD:

СН ^yjcD2 - H D 2 = V502 -302 = 40. Значит, площадь трапе

ции равна - С AD • СН = 6 + 66.40 - 1440 (кв. ед.).2 2

О т в е т : 1440 кв. ед.Задача 13. Диагонали трапеции перпендикулярны и рав

ны 12 и 9. Найдите высоту трапеции и отрезок, соединяющий середины оснований.

Т

Рис. 14Решение. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, диаго

нали АС = 9 и BD = 12 которой взаимно перпендикулярны. Обозначим: О = AC n RD, точка М — середина БС , точка Н — середина AD (рис. 14), Т = А В п CD. Заметим, что прямая М Н проходит через точки Т и О (по теореме о четырех точках трапеции).

Если точки К и Р — середины боковых сторон трапеции, то четырехугольник М Р Н К — параллелограмм, стороны которо-22

го параллельны диагоналям трапеции. А так как эти диагонали взаимно перпендикулярны, то четырехугольник М Р Н К — прямоугольник, поэтому в прямоугольном АМ Н Р находим:

м н

Для нахождения высоты СЕ трапеции проведем через точ

ку С прямую, параллельную BD до пересечения с прямой А В

в точке F. Тогда:

ВС = B F , ВС || B F CF = В В = 12. Теперь высота СЕ тра

пеции является высотой прямоугольного треугольника ACF

АС • CFс катетами АС = 9 и CF= 12. Находим: С Е = - Г= = = = =\Ia c 2+ c f 2

- 9-12 - .Ол/92 +122

О т в е т : 7,5; 7,2.Задача 14. В треугольнике ABC известны стороны:

ВС = 13л/2 , СА = 9 л/2-, А В = 8 л/2 . Найдите длины отрезков этих сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.

Решение. Обозначим: Н , К и Т — точки касания окружности, вписанной в AABC, соответственно со сторонами А В, ВС и АС (рис. 15); А Н = m, В Н = п, СК = q.

В

Рис. 15

23

Tin I hi Ml W m , IU I Hh //, CK = СТ = q (почему?),j »м ' м ! */ И» '* .>ц ц М \

t * *;//'./ « Ф ,| /// I (/ 13 J 2 .Учитывая введенные обозначения, получаем: А Н = А Т =

6 у]2 , В Н = 2 ^ ,С К = СТ== 7^2 .О т в е т : 6%/2;2>/2; 7у/2 .Следует помнить и при необходимости использовать спе

циальные свойства равнобедренной трапеции. Одним из таких ее свойств является образование двух равнобедренных прямоугольных треугольников при пересечении диагоналей трапеции, если они взаимно перпендикулярны.

В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи.Задача 15. Площадь равнобедренной трапеции равна 100,

а ее диагонали взаимно перпещщкулярны. Найдите высоту этой трапеции.

Решение. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, диагонали АС и BD которой взаимно перпендикулярны. Обозначим: О =АС n В В , точка М — середина ВС, точка Н — середина AD (рис. 16). Проведем отрезок М Н : О е М Н , М Н L A D .

Рис. 16Так как М Н — ось симметрии данной трапеции, то ОВ =

= ОС, ОА = OD. Поэтому прямоугольные треугольники БОС и AOD — равнобедренные, значит, Z O BM = ZOAH = 45°. Тогда прямоугольные треугольники М О В и АО Н также являются равнобедренными: ОМ = В М , ОН = А Н .

Имеем: ОМ = В М = 0,5ВС, ОН = АН = 0,5AD => М Н = ОМ + + ОН = 0,5ВС + 0,5AD = 0,5(ВС + А В ), то есть высота M B тра-

24

иеции равна ее средней линии. Это означает, что для площади данной трапеции получаем: S mpan= 0,5(ВС + А В ) * М Н = М Н • • M B = М Н 2. Получили интересный факт: площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты. Тогда М Н = ^SmpafU .

В нашем случае М Н = VlOO = 10.О т в е т : 10 .

Задача 16. В прямоугольную трапецию с основаниями 9 и 13 вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции.

Решение. Пусть окружность с центром О и радиусом В , вписанная в прямоугольную трапецию А ВС В , касается ее оснований А В = 13 и ВС = 9в точках В и В , а боковых сторон А В и С В — в точках М и К соответственно (рис. 17). Тогда: О е PH ; ОМ = B P = O K ^ R ;P H = 2R; PC = 9 - В , В В = 13 - R.

D

Рис. 17Так как, с одной стороны, центр окружности, вписанной

в трапецию, является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, а с другой стороны, сумма внутренних односторонних углов трапеции при ее основаниях равна 180°, то центр О окружности, вписанной в трапецию, является вершиной прямого угла треугольника СОВ. Тогда в этом треугольнике имеем: О К2 = СК * KD (почему?).

На основании свойства отрезков касательных, проведенных к окружности из данной точки, находим: С К = PC = 9 - В , KD = = В В = 13 - В. Тогда: R 2= (9 - В ) • (13 - В ) - 9 • 13 - В (9 4- 13) +

91322

25

Теперь находим площадь трапеции:Q . 1 Q

Зтрап = 0,5(ВС + AD ) • P H = 0,5 • 22 • 2 •----=117 (кв. ед.)

О т в е т : 117 кв. ед.

Задача 17. Две окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная А В и внутренняя касательная Р К (А и В — точки касания прямой А В и окружностей, К лежит на А В ). Найдите: а) А В;б) Р К ; в) величину угла А Р В.

Решение. а) Пусть точки Г и М — центры данных окружностей соответственно со и сох (рис. 18). Через точку Т проведем прямую параллельно касательной А В и обозначим через Н точку ее пересечения с В М . Так как радиусы ТА = 4 и M B = 9 перпендикулярны прямой А В , то АН М Т — прямоугольный, в котором М Т = ТР + Р М = 4 + 9 = 13, М Н = M B - В Н = 9 -4 = 5.Значит, А В = ТН = Z m 2- Т Н 2 = Д б 9-25 = 12.

Задача 18. Основания равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны 2 и 6. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Решение. Прежде всего, изображение фигур по условию задачи не следует начинать ни с построения трапеции, ни с построения окружности, в которую будет вписана трапеция. Это объясняется тем, что в окружность вписать трапецию всегда можно, но не во всякую трапецию можно вписать окружность. Поэтому построение рисунка для решения данной задачи целесообразно начинать с изображения окружности со

26

(рис. 19), затем строим описанную около нее равнобедренную трапецию ABCD (AD || БС ), после чего строим окружность со{ с центром О и радиуса Б , описанную вокруг этой трапеции; центры окружностей со и сог лежат на серединном перпендикуляре М К оснований ВС и AD.

Пусть в трапеции ABCD : ВС = 2, AD = 6.

Так как в данную трапецию вписана окружность со, тоО / 'Ч I Л ТЛ П П Т А П Т ~ \ ВС + АН 2+6 . ЛВС 4- AD = 2CD, откуда CD = ------- =---- = 4. Кроме того,

в равнобедренной трапеции выполняется: А Н = AD + BC

6 + 2 = 4; H D A D - B C 6-2 = 2. Тогда в прямоугольном2 2 2

ACHD: CD = 2H D => Z.HCD = 30°, значит, ZCD H = 60°. Далее, в прямоугольных треугольниках CHD и АСН находим соответственно: СН = H D tg60° = 2л/3; АС = \1аН2 + С Н 2 = = Д б + 1 2 = 2 л /7 .

Так как трапеция ABCD — равнобедренная, то окружность ац, описанная около этой трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ACD. Поэтому искомый радиус

АСR найдем по теореме синусов в ACD

2 3

R =2sin60°

О т в е т 2л/21

27

С П ЕЦ ЗА Д А Н И Е № 1ВА РИ А Н Т 1

1. Две стороны остроугольного треугольника равны 3 и 4, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбивает этот треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

3. В треугольник, стороны которого равны 7, 6 и 9, вписана окружность. Найдите длины отрезков этих сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.

4. Площадь равнобедренной трапеции равна 228, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите высоту этой трапеции.

5. В прямоугольную трапецию с основаниями 2 и 3 вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции.

6. Две окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом в точке М . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке Н . Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка М Н ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.

7. Около выпуклого четырехугольника описана окружность радиуса 2. Одна из сторон этого четырехугольника равна 3. Найдите длину противоположной ей стороны четырехугольника, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

ВА РИ А Н Т 21. Две стороны остроугольного треугольника равны 6 и 7,

а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.

28





6. Две окружности радиусов 4 и 8 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К . Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка Р К ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.


В А Р И А Н Т 3



29






ВА РИ А Н Т 4

1. Две стороны остроугольного треугольника равны Зл/2 ил/7, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбивает данный треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 4 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.




6. Две окружности радиусов 6 и 8 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К . Найдите: а) найдите расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка Р К ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.



1. Две стороны остроугольного треугольника равны 2л/з и Зл/2 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.





31


7. Около выпуклого четырехугольника описана окружность радиуса 3. Одна из сторон этого четырехугольника равна 2. Найдите длину противоположной ей стороны четырехугольника, если его диагонали взаимно перпендикулярны.ВА РИ А Н Т 6

1. Две стороны остроугольного треугольника равны 2>/б и3V-4 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбивает данный треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 1,5 и 3. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.





32



1. Две стороны остроугольного треугольника равны 3\[2 и 4л/2 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбивает данный треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 2,5 и 5. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.






33



2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбивает данный треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 0,75 и 1,5. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.








34





6. Две окружности радиусов 4 и 10 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К . Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка РК ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.





35







1. Две стороны остроугольного треугольника равны 6л/2 и 2л/7 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.



36






1. Две стороны остроугольного треугольника равны 4\/з и 6л/2 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.





37

6. Две окружности радиусов б и 9 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К . Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка Р К ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.


ВА РИ А Н Т 131. Две стороны остроугольного треугольника равны 4л/б и

12, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.








1. Две стороны остроугольного треугольника равны 6%/2 и 8л/2 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.





(». Две окружности радиусов 5 и 10 касаются внешним образом в точке Р. К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К . Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка РК ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.


39











40





6. Две окружности радиусов 4 и 14 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К. Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка РК ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.

7. Около выпуклого четырехугольника описана окружность радиуса 65. Одна из сторон этого четырехугольника равна6. Найдите длину противоположной ей стороны четырехугольника, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

ВА РИ А Н Т 171. Две стороны остроугольного треугольника равны 22 и 24, а

медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.


41







1. Две стороны остроугольного треугольника равны 6л/з и 9\[2 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.



42





ВА РИ А Н Т 191. Две стороны остроугольного треугольника равны бл/б и

9л/б , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.





43




1. Две стороны остроугольного треугольника равны 9л/2 и 12л/2, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.





6. Две окружности радиусов 12 и 16 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К . Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка Р К ;

44

в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.


ВА РИ А Н Т 211. Две стороны остроугольного треугольника равны 15 и 20, а

медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбивает данный треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 2 pi 7. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.






45



2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбиваеФ данный треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 3 и 7. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник .




6. Две окружности радиусов 9 и 18 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К. Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка Р К ; в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.




46








1. Две стороны остроугольного треугольника равны 9V2 и Зл/7 , а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.


47

3. В тргуголы-шк, стороны которого равны 13, 17 и 8, вписана окружность. Найдите длины отрезков этих сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.






1. Две стороны остроугольного треугольника равны 8л/з и 12л/2, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.



48

!. Площадь равнобедренной трапеции равна 300, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите высоту этой трапеции.

>. В прямоугольную трапецию с основаниями 8 и 9 вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции.

>. Две окружности радиусов 7 и 9 касаются внешним образом в точке Р . К ним проведены внешняя касательная и внутренняя касательная, пересекающиеся в точке К . Найдите: а) расстояние между точками касания окружностей с внешней касательной прямой; б) длину отрезка Р К ;в) определите вид треугольника с вершинами в точках взаимного касания окружностей и прямой.


49

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

ЧА С ТЬ 1. ПОСТРОЕНИЕ С ЕЧЕН И Й М Н О ГО ГРАН Н И КО В Н А ОСНОВАНИИ СИ СТЕМ Ы АКСИОМ

И СЛЕД СТВИЙ И З Н И Х

Подготовительный этап решения задач на построение сечений многогранников.

Поверхность многогранника состоит из ребер — отрезков и граней — плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость могут пересекаться только в одной точке, а две плоскости — по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами — отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью а достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника или прямыми, содержащими эти ребра. Затем, последовательно соединив отрезками прямых эти точки, необходимо выделить сплошными линиями видимые и штриховыми — невидимые стороны полученного мно- гоу гол ьника-сечения.

В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи.

Задача 1. ABCDA1B lClD 1 — куб; М , Р , К — данные точки (рис. 20, а). Постройте сечение данного куба плоскостью а - (М Р К ).

Решение. Точки Р и К секущей плоскости а принадлежат ребрам куба, поэтому Р и К — вершины многоугольника- сечения, а отрезок Р К — его сторона (рис. 20, б). Построим остальные вершины и стороны сечения.

Прямая Р К расположена в одной плоскости CXCD с прямыми CD и DDX, пересекает эти прямые соответственно в точках Тг и Т2(рис. 20, б). Поэтому Тх е (CXCD) (как точка прямой CD), Тг € а (как точка прямой РК ), значит, Тх = а п CD .

50

аА н а л о г и ч н о , Т2 е (С,CD) (к а к т о ч к а п р я м о й DDX), Т2 е (к а к т о ч к а п р я м о й Р К ), п о э т о м у Т2- а п D IV

Теперь в плоскости A XAD лежат точки Г 2 и М , принадле жащие плоскости а, поэтому Т2М = а о (A jAD) (рис. 20, в).

Рис. 20, г

с \ ржУ в

Рис. 20, д51

Прямая Г ,М расположена в одной плоскости A XAD с прямыми Л ,/J, и AD, пересекает эти прямые соответственно в точках Н и Т3 (рис. 20, в). Поэтому Н е (AjAD) (как точка прямой AyD}), Н е а (как точка прямой Т2М )У значит, Н = = a n A XD X; точка Н — еще одна вершина многоугольника- сечения, а отрезки М Н и P H — его стороны (рис. 20, г).

Аналогично, точка Т3 = Т2М n AD есть точка пересечения плоскости а с прямой AD (рис. 20, в).

Прямая ТХТ3 = a n (ABC) пересекает ребра А В и ВС соответственно в точках В и В , которые также являются вершинами многоугольника-сечения данного куба. Тогда отрезки M F и R K — стороны этого сечения (рис. 20, д).

Таким образом, получаем многоугольник M H P K R F — искомое сечение данного куба плоскостью М Р К . Отрезки МВТ, Р К и R F проводим штриховыми линиями, как невидимые (рис. 20, д).

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2. На рисунках 21-24 точки М , К и Р расположены на ребрах, гранях или на диагоналях куба ABCDA1B lC1D l . Постройте сечение этого куба плоскостью М К Р в каждом из случаев расположения точек М , К и Р.

Рис. 21

52

Рис. 22

Рис. 23 Рис. 24

Задача 3. На рисунках 25-30 точки Н , К и Р расположенына ребрах, гранях или высоте четырехугольной пирамидыM A BC D . Постройте сечение этой пирамиды плоскостью М К Рв каждом из случаев расположения точек Н , К и Р .

ММ

> В

М

с- -!- -V - - г -> в

м

53

м м

Задача 4. На рис. 31-36 A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма; М , Р , К — данные точки. Постройте сечение данной призмы плоскостью М Р К .

Рис. 32

Рис. 34. М е (CHCi)

54

ЧА С ТЬ 2. С П ЕЦ И А Л ЬН Ы Е М ЕТО Д Ы ПОСТРОЕНИЯ С ЕЧЕН И Й М Н О ГО ГРАН Н И КО В

Мы строили плоские сечения многогранников лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем, существуют специальные методы построения таких сечений. Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3) комбинированный метод .

Рассмотрим каждый из них на примерах.2.1. Метод следовОпределение. Прямая , до которой секущая плоскость а

пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости а в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая — в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Задача 5. Точки М , К и Р расположены на ребрах соответственно АА19 ССх и куба ABCDA1B 1C1D l (рис. 37). Постройте методом следов сечение этого куба плоскостью а = (.М К Р ).

55

Рис. 37 Рис. 38Решение. Сначала построим след плоскости а = (М К Р )

в плоскости ABC основания куба, для чего построим две любые его точки.

Прямые Р К и CD лежат в одной плоскости CXCD и пересекаются в точке Тх (рис. 38), принадлежащей этому следу (почему?). Заметим, Т г = Р К n CD = Р К п (ABC).

Построим точку пересечения прямой Р М с плоскостью ABC основания куба. Для этого проведем Р Р Х || D D X || А А Х,Р х е CD (рис. 39). Тогда прямые Р Р Х и ААХ, а значит, и прямые Р М и Р ХА лежат в одной плоскости.

Обозначим: Т2 = Р М п Р ХА = Р М п (ABC) (рис. 40) : Т2 — точка следа плоскости а в (ЛВС) (почему?). Значит, прямая Т ХТ 2 ~ q — след секущей плоскости а в плоскости основания пирамиды (рис. 41), то есть ТХТ2 = a n (ABC). След q пересекает ребра А В и ВС куба соответственно в некоторых точках R и F (рис. 41), которые служат вершинами искомого сечения.

56

Построим пересечение плоскости а с гранью A XD XDA , учитывая, что М е ААХ с: (AXAD). Для этого строим точку Ts =

DA п q (рис. 42), тогда прямая TSM = п a (AXAD) пересекает ребро A XD X куба в некоторой точке Н (рис. 43), являющейся вершиной сечения.

Соединив данные и построенные точки отрезками прямых, получаем шестиугольник M H P K F R — искомое сечение данного куба плоскостью а = (М К Р ) (рис. 44).

Задачи для самостоятельного решенияЗадача 6. На рисунках 45-48 точки М , К и Р расположены

на ребрах, гранях или на диагоналях куба ABCDAXB XCXD X. Постройте методом следов сечение этого куба плоскостью М К Р в каждом из случаев расположения точек М , К ш Р .

57

£ — ^ C x

Аг

D

.M

К

B\

в

M e (A jD jC i) Рис. 47

Ci

Рис. 48

Задача 7. На рисунках 49-52 точки Н , К и Р расположены на ребрах, гранях или высоте четырехугольной пирамиды M ABCD. Методом следов постройте сечение этой пирамиды плоскостью М К Р в каждом из случаев расположения точек Н , К и Р.

М М

58

м м

■ Б

Рис. 51 Рис. 52Задача 8. На рис. 53-58 ABCDEFAxBxCxDxExFx — правиль

ная шестиугольная призма; М , Р, К — данные точки. Постройте методом следов сечение данной призмы плоскостью М РК .

Е 1 Dt

Рис. 54Ег D\

Рис. 55М е CDCy Рис. 56

59

Е , Di М

Г Ч *111111

Е [

111111

____ [ D> —УА

АL В

Кс

Рис. 57 Рис. 582.2. Метод внутреннего проектированияВ некоторых учебных пособиях метод построения сечений

многогранников, который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования, или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название этого метода.

Сущность метода внутреннего проектирования рассмотрим на примерах построения сечения призмы.

Задача 9. Постройте сечение призмы A BC D EA 1B 1C1D lE l плоскостью а, заданной точками М е B B l9 Р е DD X, Q е Е Е Х (рис. 59).

60

Решение. Плоскость нижнего основания призмы обозначим а.

Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости а с ребрами призмы.

Построим точку пересечения секущей плоскости а с ребром ААХ.

Плоскости A XAD и В Е Е 1 пересекают плоскость по прямым неответственно AD и B E , которые пересекаются в некоторой точке К : K = A D п B E . Эти плоскости проходят через параллельные ребра ААХ и В В } призмы и имеют общую точку К . Поэтому прямая их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру В В Х. Точку пересечения этой прямой е прямой QM (почему они пересекаются?) обозначим К, = К К Л п Q M , К К Х II В В 1.

Прямая Р К Х лежит в секущей плоскости ос и пересекает {почему?) ребро ААХ в некоторой точке R. Точка R служит точной пересечения плоскости а и ребра ААХ: R = Р К Л п ААг =

а п ААХ, т.е. точка R является вершиной искомого сечения.Аналогично строим точку N пересечения плоскости ос и

ребра CCj.Таким образом, последовательность «шагов» построения

искомого сечения такова: 1. К = А В п B E ; 2. К х = К К Х п M Q , К К г II В В Х, 3. R = Р К г п А А г; 4. Я = ЕС n AD; 5. Н\ = ННЛ п PR, И Н г II ССр 6. N - Q H X п ССг.

Пятиугольник M N PQ R — искомое сечение.


Задача 10. На рис. 60-65 A BC D EFA lB 1C1D 1E lF l — правильная шестиугольная призма; М , Р, К — данные точки. Постройте методом внутреннего проектирования сечение данной призмы плоскостью М Р К .

61

F 1 Cx

А к В

Рис. 60

F 1E i Z)iAf

£

A В

Рис. 62

Рис. 64

M e (C D C x) Рис. 63

M,

Pi

Рис. 65Задача 11. На рисунках 66-71 точки Н , К и Р расположе

ны на ребрах, гранях или высоте четырехугольной пирамиды M ABCD. Методом внутреннего проектирования постройте сечение этой пирамиды плоскостью М К Р в каждом из случаев расположения точек Н , К и Р .62

м м

м

------

М

В

м

м

2.3. Комбинированный методПодготовительный набор задач

Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что искомое сечение строится < помощью метода следов или метода внутреннего проектиро

63

вания, при этом дополнительно используются свойства данного многогранника.

Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим следующие задачи.

Задача 12. Точки М , К и Р расположены на ребрах соответственно АА.и ССХ и CXD X куба ABCDA1B 1C1D 1 (рис. 72). Постройте сеченые этого куба плоскостью а = (М К Р ).

Решение. Сначала построим след плоскости а = (М К Р ) в плоскости ABC основания куба, для чего построим две любые его точки.

Прямые Р К и CD лежат в одной плоскости CXCD и пересекаются в точке Тх (рис. 73), принадлежащей этому следу (почему?). Заметим, Тх = Р К п CD = Р К п (ABC).

Построим точку пересечения прямой Р М с плоскостью ABC основания куба. Для этого проведем Р Р Х || DDX || ААХ, Р г е CD(рис. 74). Тогда прямые Р Р Х и ААХ, а значит, и прямые Р М и Р ХА лежат в одной плоскости.

Обозначим: Т2 = Р М п Р ХА = Р М п (ABC) (рис. 75): Т2 — точка следа плоскости а в (ABC) (почему?). Значит, прямая Р\Т2 == Q — след секущей плоскости а в плоскости основания пирамиды (рис. 76), то есть ТХТ2 = a n (ABC). След q пересекает ребра А В и ВС куба соответственно в некоторых точках R и F (рис. 76), которые служат вершинами искомого сечения, при этом MR\ \ Р К (рис. 76), так как прямые Р К и M R являю тся пересечениями плоскости а с плоскостями параллельных граней соответственно C ^ D C и А ^ Д А .

64

Так как плоскости граней ABCD и A lB 1C1D 1 параллельны, то прямые их пересечения с секущей плоскостью а должны быть параллельными. Значит, прямая пересечения плоскости и с плоскостью грани A 1B 1C1D l должна быть параллельна прямой RF. Учитывая Р е а, проводим отрезок P H || RF, Н е A XD X

(рис. 77).Осталось провести параллельные отрезки K F и М Н

(рис. 78); они параллельны, так как расположены на параллельных прямых, по которым плоскость а пересекает плоскости параллельных граней В В хСгС и ADDXA X. Получаем шестиугольник M H P K F R — искомое сечение данного куба плоскостью а = (М К Р ).

65

Задача 13. A BC D EFA lB lClD 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма; М , Р , К — данные точки (рис. 79). Постройте комбинированным методом сечение данной призмы плоскостью а = (М Р К ).

Е 1 В г

Решение. Из условия задачи следует, что данные точки М , I Р и К — вершины многоугольника-сечения. Построим остальные его вершины, для чего сначала построим след плоскости М Р К в (ABC) основания данной призмы.

Так как прямые СА и СЕ, с одной стороны, лежат в плоскости основания A BC , а с другой стороны, они пересекаются с прямыми соответственно М К и М Р , расположенными в секу- : щей плоскости а, то точки Тг = М К п СА и Т2 = М Р п СЕ ■

66

(рис. 80) принадлежат прямой пересечения плоскости М Р К с плоскостью ABC , то есть прямая ТХТ2 = a n (ABC) — искомый след секущей плоскости а в плоскости основания данной призмы.

Заметим, что любая точка следа является общей для плоскостей а и ABC . Воспользуемся этим свойством следа для построения вершин сечения — точек пересечения плоскости М РК с ребрами призмы: эти точки и будут служить вершинами искомого сечения призмы. Построим, например, точку пересечения ребра В ХВ с плоскостью а.

Обозначим: ТгТ2 = q. Продолжим ребро ВС до пересечения со следом q. Получим точку Т3 = ВС n q (рис. 81), которая лежит с точкой М и в грани BC C jB j (как точка прямой ВС ), и и секущей плоскости М Р К (как точка следа ТХТ2 = q). Это означает, что ТгМ = а п (ВССХ), поэтому точка Н = Т3М п В ХВ =

а п В ХВ (рис. 82) является вершиной искомого сечения. Тогда отрезки М Н и Н К — стороны этого сечения.

Е \ D\

Грани AAXB XB и Е Е г В гВ правильной призмы параллельны, значит, прямые пересечения этих плоскостей с плоскостью а параллельны. Учитывая принадлежность Р е а, проводим отрезок PQ || К Н , Q g D XD (рис. 83).

67

Ei D i E i DiCi

M

Аналогично, вследствие параллельности (B XBC ) || (F XFE ), проводим отрезок PR || М Н , R е F ,F (рис. 84), после чего проводим отрезки R K и MQ, которые также параллельны (почему?). Таким образом, получаем шестиугольник M H K R PQ — искомое сечение данной призмы плоскостью М Р К ; невидимые стороны сечения проводят штриховыми линиями (рис. 85).

Ег А

Таким образом, последовательность «шагов» построения сечения такова. Строим: 1) Тг = М К п СЕ; 2) Т2 = М Р п СА 3) 'Г1Т2 — д — след секущей плоскости; 4) Т3 = q п ВС 5) Я = Т3М п В ХБ ; 6) PQ\\KH, Q е D^D; 7) PR\\MH, R е F XF8) отрезки R K и MQ; шестиугольник M H K R PQ — искомое сечение.

68


Задача 14. На рисунках 86-89 точки М , К и Р расположены на ребрах, гранях или на диагоналях куба ABCDA1B 1C1D 1. 11остройте комбинированным методом сечение этого куба плоскостью М К Р в каждом из случаев расположения точек М ,К тл Р .

Ci

C i

кс

с 1

Задача 15. На рис. 90-95 A BC D EFA lB lC1D 1E lF l — правильная шестиугольная призма; М , Р, К — данные точки. Постройте комбинированным методом сечение данной призмы | шоскостью М Р К .

69

E i Z ) i

Рис. 92

Рис. 94

Рис. 91

М е (CDCO Рис. 93

СП ЕЦ ЗА Д А Н И Е № 2

1. Постройте (любым методом) сечение пятиугольной призмы ABC D EA1B lC1D lE l плоскостью, которая проходит через сторону А В основания и точку Р , лежащую на прямой ССг. Точку Р выберите так, чтобы в сечении получился:а) четырехугольник; б) пятиугольник; в) шестиугольник.

2. Дана пирамида P A B C D E . М и К — внутренние точки граней соответственно А В Р и ABC, Н — внутренняя точка ребра РЕ . Постройте сечение этой пирамиды плоскостью а = (М К Н ): а ) методом следов; б) методом внутреннего проектирования.

3. Точки М , К и Р расположены на ребрах соответственно ААг, ССг и C1D 1 куба ABCDAxB^xD^ Постройте сечение этого ку ба плоскостью ос = (М К Р ): &) методом следов; б) методом внутреннего проектирования; в ) комбинированным методом. (Все тр и рисунка необходимо выполнять на трех различных изображениях одного и того же куба с идентично расположенными точкам и М , К и Р.)

4. A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма; К , Р , М — данные точки на ребрах соответственно А ХА, СгС и Е гЕ . Постройте сечение данной призмы плоскостью а = (М К Р ): а ) методом следов; б) методом внутреннего проектирования; в ) комбинированным методом. (Все тр и рисунка необходимо выполнять на трех различных изображениях одной и то й же призмы с идентично расположенными точкам и М , К и Р .)

5. На ребрах А 1В 1 и DDX параллелепипеда ABCDAyB^CxDx взяты соответственно точки Р и К , а в гранях DDjCjC и AAXD XD — соответственно точки Q и R. Постройте сечение параллелепипеда (любым методом) плоскостью а = (PQR) и плоскостью, проходящей через точку К параллельно (PQR).

71

Замечание

а) Каждое задание следует выполнить на отдельном листе формата А4.

б) Условие каждой задачи расположить в начале листа (сверху) с тем номером, который указан в задании.

в) Точки (сами то чки , а не обозначающие их буквы), задающие секущую плоскость, выделять красным цветом на каждом рисунке.

г) Рисунки — цветные. Обозначения (буквы) — чертежным шрифтом.

д) Этапы построения сечения начинать с «Строим: 1); 2);... и т.д.» и разместить на той же стороне листа, что и сам рисунок.

е) Фамилия И.О. автора выполненной работы — на каждом листе (сверху).

72

ГЛАВА 3. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕПодготовительный набор задач

1. Расстояние о т точки до прямойНахождение расстояний в пространстве является той важ

нейшей частью стереометрии, на которой основываются все метрические вопросы пространственной геометрии, в том числе нахождение углов, площадей и объемов. Умение «видеть» и вычислять различные расстояния, углы между прямыми и ! н о с к о с т я м и является фундаментом для успешного изучения всей метрической стереометрии. Поэтому необходимо научиться «видеть в пространстве» эти расстояния и углы, верно изображать их на рисунке.

Если расстояние от точки М до фигуры F равно т , то будем записывать: р(M ;F ) = т . Расстояние от точки М до данной прямой а равно длине перпендикуляра, «опущенного» из точки М на прямую а. Для нахождения расстояния от точки М , не лежащей в плоскости а, до прямой а, лежащей в этой плоскости, проводят перпендикуляр М Р из точки М на плоскость ( Р е а); \МР\ = h = р(М ; а). При этом, если точка Р принадлежит прямой а, то р(М; а) = р(М ; а) = \МР\ = h. Если точка Р не принадлежит прямой а, то из точки Р проводят в плоскости а перпендикуляр Р К к прямой а, К е а. Тогда по теореме о трех перпендикулярах М К L a , поэтому р (М ; а) = \МК\ == лIm p 2+р к 2 .

Рассмотрим решение следующей задачи.Задача 1. Дан единичный куб ABCDAyB^CyD^ Найдите

расстояние от точки В до прямой А 1С1.

73

Указание, а) На рис. 96 имеем: р (В; В , С,) = |В В г\; р (В; =

s= |£М| = у/вв? + ̂ М 2 = J l 2 +

где М =А1С1 ̂ Б Д .Расстояние р (В ; А 1С1) можно найти иначе. Треугольник

А 1ВС 1 является правильным со стороной V2 , причем

В М 1 А 1С1 => В М — медиана в АА 1ВС 1 => В М = — — =2

_ л/2-л/З _ л/б 2 2

Для успешного решения задачи требуется построить верное и наглядное изображение не только того, что задано в условии задачи; возникает необходимость осуществить дополнительные построения, без которых решение задачи затрудняется и которые также должны быть верными, наглядными и простыми.

При решении задачи о нахождении расстояния от данной точки М до данной прямой а , расположенных в пространстве, можно построить точку Н пересечения прямой а и плоскости, проведенной через точку М перпендикулярно прямой а. Тогда \МН\ = р(М ; а).

Рассмотрим, например, решение такой задачи.

Задача 2. Дан единичный куб ABCDAXB XCXD X. Найдите расстояние от точки В до прямой А ХС.

Указание. Обозначим: К = А гС п (BCXD ) и построим точку К (рис. 97).

Диагональ А ХС лежит в диагональной плоскости АССи поэтому точка К должна принадлежать прямой ОСх = = (BC XD) п (АССХ). Значит, К - С А хп ОСх = А ХС п (BCXD ).

Докажем, что А ХС ± (BCXD).

74

Рис. 97Ортогональной проекцией диагонали А ХС данного куба на

плоскость грани ABCD является диагональ СА этой грани. Вследствие AC _L BD (почему?), получаем: А ХС _L BD (почему?). Аналогично получаем: А ХС ± СХВ.

Таким образом, имеем: А ХС JL В В , А ХС _L В С Х, В В п В С Х = = В => А ХС _1_ (BC XD) (почему?), при этом А ХС п (BC XD) = К . Так как С К 1. (ВС ХВ ), СХС = СВ = С В, то СХК = К В = KD (почему?), значит, точка К — центроид АB C XD.

Получаем: А ХС 1 (ВС ХВ ), В К с (B Q B ) => А ХС 1 В К (почему?) В Я = р ( В ; А ХС).

Находим: СХВ = V2 , поэтому в правильном ABC XD имеем:пп 7 2 л/3 Тб 2 2 %/б л/бo c i = — -— = - у . тогда В К = C iK = - ОСх= - • у = у •

>/бТаким образом, р (В ; А ХС) = — .3Рассмотрим решение аналогичных задач, избрав в качест

ве многогранника правильную шестиугольную призму.

Задача 3. A BC D EFA XB XCXD XE XF X (рис. 98) — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой: a) E XF; б) D XF X; в) CXD X;г)А П х;д )С О х.

Указание. Для решения метрических задач применительно к правильной шестиугольной призме полезно на отдельном (выносном) рисунке изобразить ее нижнее (или верхнее) основание — правильный шестиугольник A BC D EF (рис. 99), сто-

75

рона которого равна 1. Взаимное расположение диагоналей и сторон этого шестиугольника, их длины и величины угловмежду ними известны из планиметрии.

Е х DxD

F <1J L

с \

А ВРис. 99

► С

Сочетая изображения правильного шестиугольника и правильной шестиугольной призмы, будем решать эту задачу и все задачи, следующие за ней в данной статье.

а) Имеем: F XF JL (ABC), B F a (ABC) => F XF 1 B F (рис. 98) (почему?); B F _L E F (шестиугольник A BC D EF — правильный, рис. 99). Поэтому B F _L (F XF E ) (почему?), откуда B F ± F E X (почему?). Это означает, что р (В ; F E Y) = B F = л/з (почему?).

б) Имеем: B E LA C (рис. 98); В 1В 1 (А В С )9 В£с(А ВС )= > => B ^ L B E (рис. 98) (почему?). Поэтому AC J_ (В ХВ Е ) (почему?), откуда АС ± В К (почему?), где К = B XE X n А А - Значит, B K ± D 1F 1 (почему?). Это означает, что р(В ; А А ) = В К =

Л з= в 2+ в хк 2

в) Имеем: B E || CD (рис. 99), CD || CXD X (рис. 98) => B E || CXDX => => р (В ; CXD X) = р (Я ; CXD X). Из B E 1 (.АССХ), B E || CXD X следует CXD X _L (АССХ), откуда CXD X _L Н С Х (почему?). Это означает, что р (В ; CXD X) = Н С Х. В прямоугольном АНССХ находим: Н С Х =

V 2 J 2 ’г) Так как BD JL А В (рис. 99), то B D X L A B (рис. 100) (поче

му?), поэтому AA BD X — прямоугольный (Z A BD X = 90°). Пусть

= 7^! с 2+СН2 112 +

л и D Г )В Т — высота AA BD X. Тогда В Т = р (В; A D X) = .===J L =-.

д/АВ2 + BD XВ прямоугольном ADBD1 находим:B D X = -Jb D 2 + DD\ = 7(V3)2+ r =2. Значит, р (B ;A D X)

1-2 2 л/бл / Г + 2 2 5

д) Так как ни BD , ни CD не перпендикулярны ВС (рис. 100), то ABC D 1 — не прямоугольный. Если В К — высота этого треугольника (рис. 100), то В К ± CDU значит, В К = р (В ; С А )* Найдем В К .

Рис. 100

В АВ С В г: ВС = 1; В А = 2; С А = \[2 . Обозначим: D }K — х, тогда СК = л/2 - х. Получаем: D tB 2 - DjisT2 = ВС 2 - С Я2

5л/2или

х2 = 1 - ( л/2 - х)2, откуда х

I

D tK. Значит, В В

щ в 2 -D xK 2 22 -5л/2

4

\2л/14

О т в е т : а) л/3 ; б) ^ ; в) ^ ; г) ^ ; д) .2 2 5 4

2. Расстояние о т точки до плоскостиДля нахождения расстояния от точки М , не лежащей

и плоскости а, до этой плоскости, проводят перпендикуляр М Р п л точки М на плоскость а ( Р е а); тогда \МР\ = /г = р(М ; а).

77

Задача 4. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1, ребро которого равно 18. Найдите расстояние до плоскости ВС Х£> от точек С, A, В х и В х.

Указание. При решении задачи 2 было доказано, что CAi _L (BC iD ), при этом САХ о (BC XZ)) = К . Это означает, что р (С; (BC XD )) = СК (рис. 101).

С,

Найдем искомую длину отрезка СК.Имеем: САХ 1 (ВС Х£>), ОСх cz (BC X.D) => САХ J. ОСх => ACCVK —

прямоугольный, значит, С К = y jc fi2 +С1К 2 .В правильном треугольнике BC XZ) (его стороны равны

18л/2 ) находим: СхО = — ^ = 9л/б .

Так как С К ± (ВС Х£>), СХС = СВ = CZ), то ?£СХ = К В = KD (почему?), значит, точка К — центроид ABCXZ), откуда:

О осхк 2 2

о CjO = — • 9 л/б = 6 л/б . Тогда: р (С; (ВС Х1))) =о о

С К= л/с, С2 + Cxtf2 = л/182 -(бл/б)2 =6 л/з.Расстояние от данной точки А до данной плоскости при

решении задач можно определить без построения соответствующего перпендикуляра из точки А на плоскость а. Например» удобно пользоваться следующим «методом пропорций»: если прямая А В пересекает плоскость а в точке О и известно расстояние р(В; а) от точки В до этой плоскости, то р(А; а) ОА ОА ч

78

В качестве примера применения «метода пропорций» найдем расстояния от вершин А, В х и D x до плоскости BC XD.

Прямая АС пересекает плоскость BC XD в точке О (рис. 101),при этом ОА = ОС, значит, р (А; (BCXD )) = р (С; (BCXD)) = 6 л/3 .

Аналогично:— точкой пересечения прямой D XC и плоскости B C XD яв

ляется точка Т = D XC n СД), поэтому D XT = ТС, значит,р (£ х; (BC XD )) = р (С; (ВС ХВ )) = 6 л/з ;

— точкой пересечения прямой В ХС и плоскости BC XD является точка пересечения диагоналей В ХС и СХВ , поэтомур (В х; (ВС хХ>)) = р (С; (ВС ХВ )) = 6 л/з .

О т в е т : 6л/3 .

Замечание. Примечательно, что для нахождения расстояния р (2>х; (ВСД ))) «методом пропорций» не нужно доказывать, что D XC 1 (BCXD). Более того, мы не «опускали» перпендикуляры на (B C XD ) из точек А, В х и D x при нахождении расстояний от них до этой плоскости.

Для решения аналогичных задач с использованием изображения правильной шестиугольной призмы полезно иметь «перед глазами» изображение оригинала правильного шестиугольника (рис. 99). Рассмотрим ряд задач, подобранных по принципу «от простого — к сложному».

Задача 5. A BC D EFA XB XCXD XE XF X (рис. 102) — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите:а) расстояние от вершины А х до плоскости ВССХ; б) от вершин А, и D x до плоскости АСХЕ Х; в) от вершин F и В х до плоскости A F XD.

Указание, а) Так как A XD X || В ХСХ (рис. 102), то A XDX || (В В ХСХ), поэтому расстояние от точки А х до (В В ХСХ) равно расстоянию до (В В ХСХ) от любой точки прямой A XD X. «Удобной» для решения нашей задачи является точка Р х = A XD X n B XF X. Действительно, B XF X || B F , при этом B F _1_ ВС (рис. 99), B F _1_ В В Х, откудаB F 1 (В В ХСХ) (почему?). Это означает, что B XF X _L (В В ХСХ), по-

1 л/3этому р (Р х; (ВС ХС)) = Р\ВХ = ~ F XB X = ~~~. Тогда р (Ах; (ВС ХС)) =Z с*

б) Имеем: Е С 1 AD (рис. 99), ЕС ± С ХС, С1С\\АА1 (рис. 103) => =>EC±(AAXD) (почему?). Из ЕС |[ Е ХСХ и ЕС F (A A XD) следует: Е ХСХ ± (AAXD ), откуда (А Е ХСХ) L (AAXD) (почему?).

Е ,

1 А\ 1

T~L.1

.1 _____ pi~ — -

А

Рис. 102

к

вРис. 103

Обозначим: К = A 1D 1 глЕ1С1. Тогда {А ЕхСг) n (AAXD ) = А К , и вследствие (A E 1C1)_L (AAxD )y приходим к выводу: перпендикуляр из точки А х на (А Е ХСХ) расположен в (ААгВ ), поэтому р (Ах;(А Е ХСХ)) = р (Ах; AST) = А ХР , где А ХР — высота прямоугольного АААгК.

В прямоугольном АААХК находим:АХА АХК _ 11,5 _ зТТз/ч ' " —̂ = = =

Таким образом, р (Ах\ {А ЕХСХ)) =16

в) Имеем: A D L B F , A D L B B X (рис. 104) => AD ± (B XB F ) (почему?) ==> (F XA D )± (B XB F ) (почему?). Тогда перпендикуляр из вершины F на (F,AD ) расположен в (B XB F ) и перпендикулярен прямой f = (F XAD ) гл (B XB F ). Пусть точка Т — основание этого перпендикуляра, Т е F XM . Тогда F T = р (F ; (F XA D )).

£i._________ _Dy,С,

Рис. 10480

л/3В прямоугольном AF XF M : F M = — , F XF = 1. Значит, F T =

FFX F M 1 0 ,5л/з л/212 + FM 2

p(F; (F XAD))

n/i + (0,573)2

V21

Таким образом,

Перпендикуляр В хО из вершины В х на ( F VAD) также расположен в (B XB F ) и перпендикулярен прямой F^M, при этом O e F xM .

Так как F XM\\PXB (почему?), то точка К = Р хВ п В хО является серединой перпендикуляра В хО (почему?). Учитывая, что FT = В {К , приходим к выводу:

2^21 _________________ _ 2V21В хО = 2 В ХК = 2 Р Т = Значит, р (В х; (P XAD))

Л . л/з ЗлЯз . V21 2/2 1О т в е т : а) — ; б ) ; в ) и .2 13 7 7

3. Расстояние между скрещивающимися прямымиРасстояние между двумя скрещивающимися прямыми

равно длине их общего перпендикуляра. Изображение куба ABCDA1B 1C1D 1 и перпендикулярность прямой А ХС и плоскости BC XD в этом кубе можно эффективно использовать для выработки умения «увидеть» и «вычислить» расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим решение следующей задачи.Задача 6. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром 12. Найдите рас

стояние между его диагональю А ХС и скрещивающейся с ней диагональю ВС Х грани В В ХСХС (рис. 105).

Ci

81

Указание. Попытаемся «увидеть» общий перпендикуляр для прямых А гС и ВС Х.

Имеем: А гС L (B C XD), D F I a i B C ^ ^ A f i 1 D H (почему?). Учитывая, что D H 1 В С г (D H — медиана правильного A BC XD ), приходим к выводу: отрезок К Н — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых А гС и СХВ (рис. 105), значит, р (ВСх;А гС) = К Н .

Находим длину К Н : сторона СгВ правильного А BC XD рав

на 12 л/2 , поэтому D H = — = б л/б , тогда К Н = — D H =2 3

= — # 6 %/б = 2 \[б . Таким образом, р ( ВС Х; А ХС) = 2 \/б .3О т в е т : 2 л/б .Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

можно находить, пользуясь «методом параллельных плоскостей », в основании которого лежит утверждение: расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через э ти прямые.

Рассмотрим, например, решение такой задачи.

Задача 7. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями А В Х и В С г смежных граней А В В ХА Х и ВССХВ Х ку ба ABCDAlB lCiDl с ребром 12.

Попытаемся «увидеть» параллельные плоскости, проходящие через прямые А В , и ВС Х.

D i____________ _ С г

Замечаем (рис. 106), что прямые А В Х и ВС Х лежат в плоскостях соответственно A B XD X и B C XD , которые параллельны (почему?). Кроме того, ранее мы доказали (задача 2), что (BCXD )± CAX, причем А ХС п (А В XD X) = Н , А ХС п (BCXD) = К ,

= — A jC = — 12\/з = 4л/з . Это означает, что р (А Вх; ВС*) = 3 3

= р ( (А Б ^ ) ; (В С ^ )) = К Н = 4у1з.О т в е т : 4%/з .В некоторых случаях для нахождения расстояния между

скрещивающимися прямыми а и Ъ удобно использовать следующий метод («метод проектирования»).

Рис. 107Построим плоскость а, перпендикулярную прямой а, и ор

тогонально спроектируем прямую Ъ на эту плоскость (рис. 107). Пусть прямая Ъх — проекция прямой Ъ на плоскость а; р — плоскость, проектирующая прямую Ъ на плоскость а, т.е. Ъх = р п а. Так как а _1_ а и Р _L а, то а || р. Это означает, что если А — точка пересечения прямой а с плоскостью а, то расстояние от точки А до прямой Ь1 равно расстоянию между прямой а и параллельной ей плоскостью р, содержащей прямую Ъ, значит, равно расстоянию между данными скрещивающимися прямыми а и Ъ: р (а; Ь) = р (А; Ъх).

Рассмотрим решение задач 6 и 7 этим методом.Указание к решению задачи 6. В кубе ABCD AXB XCXD X най

дем расстояние между прямыми А ХС и В С Х (рис. 108).Ранее доказано, что A 1C ± (BC 1D), поэтому для решения

данной задачи удобно использовать плоскость B C XD .83

Рис. 108Известно, что точка К — А ,С п (BC ,D ) является центроидом

правильного A BC,D. Далее, так как ВС, с: (ВС ,D), то ортогональной проекцией прямой ВС, на (В С 1D) является эта же прямая ВС,. Таким образом, р( ВС,; А,С) = р (К ; ВС ,).

Учитывая, что D H 1 ВС, (почему?), приходим к выводу: р (ВС ,; А,С) = р (К ; ВС ,) = К Н .

Находим: С,В = 12 \/2 , поэтому в правильном A BC,D име

ем: К Н = — Б Н = 2 л/б . Таким образом, р (БС Х; А,С) = 2 л/б .3

Указание к решению задачи 7. В кубе ABCDA,B,C,D , найдем расстояние между прямыми A B i и ВС,.

Имеем: В С ,1 В ,С ; С Б 1 (Б Б 1С), B C ^ C B B iQ ^ O D lB C ! (почему?), значит, В С 11_(В1СБ) (почему?), при этом ВС, п (В ,CD) = Af = ВС Х п В ХС (рис. 109).

Рис. 109Далее, A D t llBC^BCj _L (B jC B )^ A D X ± (B jC B ). Ортогональ

ной проекцией прямой А В , на (В ,CD) является отрезок В ,Р , где Р =^AD,n A,D. Таким образом, р (А В ,; ВС ,) =р( М ; В ,Р ).

84

Пусть М Н ± В ,Р , Н е В , Р ; М Н — высота прямоугольного АР М В , ( Z В ,М Р = 90°). Поэтому

„ „ Б.М -М Р 6/242

^ В ,М 2 + М Р 2 y\(b4i)2 +122 Задача 8. A B C B E B A A C A ^ i^ i (рис. 110) — правильная

шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми: a) B ,F и СЕ,; 6) А ,В и В,С; в) Е ,Е и А ,В ; г) B E , и В,С.

Указание, б) Обозначим: О = A D n C F ; 0, = A ,D ,n C ,F ,;Н = АС п ВО; Н , =А,С, п В,О , (рис. 110).

В прямом параллелепипеде А ВС О А ,В ,С ,0 „ все ребра которого равны 1, а его основанием является ромб О ABC (рис. 110), имеем: А ,О ||В,С , А,В\\0,С, откуда (А,ОВ)\\(В,О,С).Тогда из А ,В с: (А,О В ), В,С с (В,О,С) следует:

р(А,В; В ,С ) = р аЛ О В ); (В А С )) .

Рис. 110Так как боковые грани этого параллелепипеда — равные

квадраты, то треугольники А,О В и В,О,С равны и являются равнобедренными. Поэтому A ,H L O B y C H ,L B ,O x. Учитывая О В 1 А С , приходим к выводу: ОВ±(А,АС) (почему?), откуда (А ,АС)±(А,ОВ) (почему?). А так как, кроме того, (А ,О В ) ||И (В А С ), то (А,АС)1.(В,0,С). Это означает, что прямая, проведенная через точку А перпендикулярно плоскостям (А ,О В ) и (В,О,С), расположена в {А,АС) и пересекает (А,О В ) и (В,О,С) в точках, принадлежащих прямым соответственно А ,Н и СН,. Обозначим эти точки К и Т (рис. 110). Тогда р (А ,В; В ,С ) =

рД А О В); (В ,0 ,С )) = КТ .

85

Так как А 1Н\\СН1 и А Н = НС, то А К = К Т (почему?). Таким образом, р (А ,В; В 1С )= А К . Найдем длину А К .

В прямоугольном АААХН с катетами А ХА = 1, А Н = 0,5 л/3А, А А Н _ 10,5л/з _ V21

находим высоту А К : А К = -= = = = = = -— ]=====--У Aj А + А Н V1 + 0>75 7

Итак, p(AtB ; B jC ) л/21

Задачу г) решим «методом проектирования».Найдем расстояние между прямыми В К , и В,С . Обозна

чим: Т = В ХС п BC j.Имеем: B jC l.B C ! (почему?) (рис. I l l ) ; B C L B F (рис. 99)

= > BjC1BK (по теореме о трех перпендикулярах). Тогда В гС 1 (C jBK ) (почему?).

Таким образом, в качестве плоскости, перпендикулярной прямой В ХС, выберем плоскость В С ХК, пересекающую эту прямую в точке Т.

Прямая B K j лежит в плоскости CjBK, поэтому ее проекцией на (С ,ВК) является эта же прямая BK j. Тогда, в соответствии с «методом проектирования»,

p (BK ,;B jC )= p (T ;BE j).

А ВРис. 111

Пусть: T K l B K j , К е В Е , , тогда р(Т; В К ,) = ТК . Найдем длину ТК.

Если C jB — высота прямоугольного AK jC ,B (C jR-LBEj) (рис. I l l ) , то СХЩ Т К , откуда Т К — средняя линия ACXBR.

86

Значит, Т К = —CjB. В прямоугольном AKjC jB с катетами

K jC j = V3 и СхВ=л/2 находим: С ,В = _ ^i^i — —V K j C j ' + C j B 2

V3 V2 Тзо л/зо _Тогда 77£ =---- . Таким образом,I — ■ ■■ . 1 U 1 Д й -----------

V(V3)2 + (Л )2 5 10

л/зоp(BK j;B jC ) =10

О т в е т : а) л/з ; б ) ; в) л/з ; г) .


Вариант 1

1. Точка Я — середина ребра Р В правильного тетраэдра РА ВС . Опустите перпендикуляр из точки Я : а) на прямую АС; б) на высоту РО тетраэдра, О е(АБС ). Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно2л/2 .

2. В правильной шестиугольной призмеA BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости А ,КК .

3. В кубе ABCD AXB XCXD X с ребром 18 требуется найти расстояние между прямыми: a JA jCHB jB j ; б )В ,А и С ,В .

Вариант 2

1. Точка М — середина ребра АС правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляр из точки М : а) на прямую В Р ; б) на высоту СО тетраэдра, О е(РА В ). Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 4л/2 .

2. В правильной шестиугольной призмеA BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки К до плоскости А ,ВС .

87

3. В кубе ABCDAxB 1ClD x с ребром 18 требуется найти расстояние между прямыми: а)А ХС и D XA; б) B xA ylBD .

Вариант 3

1. Точка Н — середина ребра Р В правильного тетраэдра РА ВС ; РО — его высота, О е(АВС). Опустите из точки О перпендикуляр на прямую В Р и найдите его длину, если ребро тетраэдра равно Зл/2 .

xj правильно*! шестиугольной приз VltA BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости А В ХС.

3. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром 18 требуется найти рас стояние между прямыми: а) А ХС и CXD ; б) B xA vlA xD.

Вариант 4

1. Точка М — середина ребра АС правильного тетраэдра РА ВС ; СО — его высота, О е(РА В ). Опустите из точки О перпендикуляр на прямую АС и найдите его длину, если ребро тетраэдра равно 3.

2. В правильной шестиугольной призмеA BC D EFA vB lCxD xE xF x, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки Е до плоскости E XFD.

3. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром 18 требуется найти расстояние между прямыми: а) А ХС и СХВ ; б) В ХА и А хСх.

Вариант 5

1. В кубе ABCDAXB XCXD X найдите расстояние до прямой А ХС от вершин: а) А; б) В , если ребро куба равно 6.

2. В правильной шестиугольной призмеA BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости B XF D .

3. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром 18 требуется найти расстояние между прямыми: а)А ХС и B D ; б) В ХС и B D .

88

Вариант 61. В кубе ABCDAXB XCXD X найдите расстояние до прямой А ХС от

вершин: a) D ; б) D x, если ребро куба равно 6.2. В правильной шестиугольной призме

A BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости B XFD.

3. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром 18 требуется найти расстояние между прямыми: а)А ХС и В ХА; б) В ХС и А ХВ.

Вариант 71. В кубе ABCDAXB XCXD X найдите расстояние до прямой B D X

от вершин: а) А х; б) А, если ребро куба равно 8.2. В правильной шестиугольной призме

A B C D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А х до плоскости А Е ХСХ.

3. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром 12 требуется найти расстояние между прямыми: a) D XB и В ХС; б) В С { и А В Х.

Вариант 81» В кубе ABCDAXB XCXD X найдите расстояние до прямой B D X

от вершин: а) С; б) Сх, если ребро куба равно 8.2. В правильной шестиугольной призме

A BC D EFA xB xClD xE xF ], все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В х до плоскости A XB D X.

3. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром 12 требуется найти расстояние между прямыми: a) D XB и В ХА; б) ВС Х и АС.

Вариант 91. В кубе ABCDAXB XCXD X найдите расстояние до прямой С Д от

вершин: а) В ; б) В х, если ребро куба равно 8.2. В правильной шестиугольной призме

A B C D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В х до плоскости B F XD X.

3. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром 12 требуется найти расстояние между прямыми: a) D XB и A XD; б) ВС Х и CDX.

89

Вариант 10

1. В кубе ABCDA1B 1C1D 1 найдите расстояние до прямой СХА от вершин: а) С; б) D , если ребро куба равно 8.

2. В правильной шестиугольной призмеA BC D £ irA1B 1C1D lJE 1ir1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки F до плоскости A XDF.

3. В кубе ABCDA1B 1C1D 1 с ребром 12 требуется найти расстояние между прямыми: а) В гВ и А ХСХ; б) В С г и B 1D 1.

Вариант 11

1. В кубе ABCDA1B 1C1D 1 найдите расстояние до прямой B XD от вершин: а) А; б) В , если ребро куба равно 6.

2. В правильной шестиугольной призмеA BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В х до плоскости А ХВ С .

3. В кубе ABCDA1B 1C1D 1 с ребром 12 требуется найти расстояние между прямыми: a) D XB и CXD ; б) DCl и A D X.

Вариант 12

1. В кубе ABCDAlB 1CiD l найдите расстояние до прямой B XD от вершин: а) В ; б) С, если ребро куба равно б.

2. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxB^CxD^^u все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки Сг до плоскости A F XD.

3. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром 12 требуется найти расстояние между прямыми: a) D XB и АС; б) BD и CDX.

Вариант 13

1. ABCDEFAxBxCxDxExFx — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины А до прямой B F X.

2. Точка О — центр грани A BC правильного тетраэдра РАВС. Опустите из точки О перпендикуляры на грани: а)Р А В ; б)Р В С и найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно Зл/б .

90

3. ABCDEFAxBxCxDxExFx — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми А ХВ и A F х»Вариант 14

1. ABCDEFAxBxCxDxExFx — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины F до прямой А Е г.

2. Точка О — центр грани ABC правильного тетраэдра РАВС. Опустите из точки О перпендикуляры на грани: а) ВВС ;б) РАС и найдите длину каждого перпендикуляра, еслиребро тетраэдра равно бл/б .

3. ABCDEFAxBxCxDxExFx — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми АВХ и ВС Х.Вариант 15

1. ABCDEFAxBxCxDxExFx — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой А гС.

2. Точка О — центр грани РАС правильного тетраэдра РАВС. Опустите из точки О перпендикуляры на грани: а) Р А В ; б) РВС и найдите длину каждого перпендикуляра,если ребро тетраэдра равно Зл/б .

3. ABCDEFAxBxCxDxExFx — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми D XC и ВС у.

Вариант 16

1. ABCDEFAxBxCxDxExFx — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины С до прямой D XB.

2. Точка О — центр грани РАС правильного тетраэдра РАВС. Опустите из точки О перпендикуляры на грани:a) ABC ; б) РВС и найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно бл/б .

91

3. A BC D EFA lB lClD lE lF 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми А ХВ и F tA.

Вариант 17

1. A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F l — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой A D x.

2. Точка О — центр грани ABC правильного тетраэдра РА ВС . Опустите из точки О перпендикуляры на грани:а) Р А В ; б) РВС и найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 9.

3. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми A XF и А В Х.

Вариант 18

1. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины F до прямой A D x.

2. Точка О — центр грани A BC правильного тетраэдра РА ВС . Опустите из точки О перпендикуляры на грани:а) РВС ; б) РАС и найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 18.

3. A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми CXD и В ХС.

Вариант 19

1. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой D XC.

2. Точка О — центр грани РАС правильного тетраэдра РА ВС . Опустите из точки О перпендикуляры на грани:а) РА В ; б) РВС и найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 9.

92

3. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми В Е Х и В ХС.

Вариант 201. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная

призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС г.

2. Точка О — центр грани РАС правильного тетраэдра РАВС. Опустите из точки О перпендикуляры на грани:a) ABC; б) РВС и найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 27.

3. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми В Е Х и F XE .

Вариант 211. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная приз

ма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины С до прямой АС т.

2. В правильной шестиугольной призмеA BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости E XFD.

3. A B C I)E F A XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми В ХЕ и E XF.Вариант 22

1. A BC D EFA 1B 1ClD 1E lF 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины А до прямой А ХС.

2. В кубе ABCDAXB XCXD X найдите расстояние до плоскости А В хСот вершин: а) В; б) С х; в) D x; г) D; д) А х, если ребро ку ба равно 6.

3. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми В ХЕ и СХВ.

93

Вариант 23

1. A BC D £ irA1B 1C1£)lJE 1F l — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины С до прямой B XD .

2. В кубе ABCDA1B 1C1D l найдите расстояние до плоскости А 1В С 1 от вершин: а) В г; б) D x; в) А; г) D ; д) С, если ребро ку ба равно 9.

3. A BC D EFA lB 1ClD 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AD, и АД 1.

Вариант 24

1. A BC D EFA lB 1ClD lE lF 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины Е до прямой D XF.

2. В кубе ABCDA1B 1C1D 1 найдите расстояние до плоскости AD XC от вершин: a) D; б) Сх; в) В х; г) В ; д) А 1? если ребро ку ба равно 6.

3. A BC D EFA 1B 1C1D 1E lF 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми А ХВ и A D X.

Вариант 25

1. A BC D EFA lB lClD lE lF x — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины А до прямой В Е Х.

2. В кубе ABCDA1B 1ClD 1 на ребре А 1В 1 выбрана такая точка М , что А ХМ : М В Х = 3 :5 . Найдите расстояние от точки М до плоскости: a) B XB D ; б) СХАС; в) B 1A D 1, если ребро куба равно 8 л/з .

3. A BC D EFA 1B lC1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми АД) и A F X.

94

Ж л ! ? 1

ГЛАВА 4. УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕПодготовительный набор задач

1. Угол между прямымиЗа величину угла между двумя скрещивающимися пря

мыми принимается величина угла между параллельными им пересекающимися в некоторой точке прямыми. Величина у г ла между прямыми в пространстве принадлежит промежутку[0°;90°] .

Рассмотрим решения задач на вычисление угла между прямыми векторным методом.

Длину отрезка, величину угла можно находить с помощью скалярного произведения двух векторов.

Если в задаче требуется найти длину отрезка А В или величину угла, то в качестве базисных выбирают такие век торы, длины которых и углы между которыми уже известны. Длину отрезка А В находят как длину вектора А В . Дляэтого вектор А В разлагают по базисным векторам, затем находят его скалярный квадрат и получают длину отрезка

АВ по формуле: |АВ|= А В J a b 2

При нахождении величины угла ф выбирают векторы а и

их по базису, а затем находят cos ф по формуле: cos ф--1а ьа ь

При этом пользуются алгебраическими и геометрическими свойствами скалярного произведения векторов.

Проиллюстрируем сказанное на решении следующих задач.

Задача 1. Дан куб ABCDA1B lClD1 с ребром, равным 1. Найдите угол между прямыми: а)А 1В и АСХ; б)А ХС и СгА.

Решение. Введем векторный базис в пространстве: а = ВА ,b = ВС , с = В В г (рис. 112), при этом

а 2 = Ь 2 = с 2 = 1; а • Ь = а * с = с • b = 0 (1)

95

Рис. 112а) Обозначим: Z (АХВ ; АСХ) = а . Найдем cosa =

Б Д • АС,. Имеем (рис. 112): Б Д = а + с ; ACi = АС + СД =

Б Д • АД

= - a +б+с. Тогда, учитывая соотношения (1), получаем:

(а + с)-(-а + Ь + с)cos a =

\j(a + c)2 -yji-a + b + c)2

-a2 + ab +ac-ca+cb+c2\- 4 - 0 .

-y/o2+2ac +c2 --у/а2 + b2+c2-2ab-2ac+2bc ^ откуда a = 90°, то есть Z (Д Б ; А Д ) = 90°.

б) Обозначим: Z (С Д ; ACX) =p . Найдем cosp =А Д С А Х

AC\ ■ CAX

Рис. 113

96

Имеем (рис. 113): ACt = AC + СД = - a+ b + c ;

СД = СД + Д А Х = a-b + c . Тогда, учитывая соотношения

(-a + b + c)-(a-b + c)(1), получаем: cos|3 =

a/(-a + b + c)2 -J(a-b + c)2_*2 —*-> —»-♦ > -+2 ~+2

-a +ab-ac + ba~b +bc + ca -cb + c

p.ya +b +c -2ab-2ac + 2bcI~1

2 ->2 ->2 [Z2 ~>2 ->2• V a + & + c - 2ab + 2ac~2bc

1 о 1= — = _ откуда: p = arccos — .л/з-7 з з з

О т в е т : а) 90 ; б) arccos — .3

Задача 2. A BC D EFA iB 1C1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми: а) А В Х и CFX; б )АВ и CDX; в) ВА Х и С ВХ.

Решение. Введем векторный базис в пространстве:а = А В , b = A F , с = ААг , при этом: а = b = с --

с • b = 0; а • Ъ = cos 120° = - - .2

1; а • с =

(*)

а) Обозначим: Z (А В Х; СБХ)= у . Тогда cosv|/ =

Имеем (рис. 114):A B j = а + с ; СД = СБ + ББХ = -2 а + с .

Учитывая соотношения (*), находим:

Л В, СД

А ВХ • СД

97

А В 1 • CF1 = ( а + с ) • (-2 а + с ) = - 2 а 2 + а • с - 2а • с + с 2 =

= -2а 2-а • с + с 2 = -2 + 1= -1;

| А д | == д/(а + с)2 = >/а + 2а-с + с = л/l + O + l = л/2 ;

CF,I (2 ~ ” —»2

= V 4а - 4а • с + с = ̂ 4 1 - 0 + 1 = л/б.

- 1 V Io Д оТогда: cos у = ' ■ V = — — , откуда у = arccos —— .л/2 -л/б Ю Ю

б) Обозначим: Z (A B ;C D 1)= |i (рис. 115). Тогда

cosp:А В С Д

А В С Д

Имеем: А В = а ; СД = A F i = Ь + с . Учитывая соотношения

(*), получаем:

cosp =a (b + c) а Ь + ас\

а Ь + с

1~0,5| _ V2—2 /-.2 - -г' 1 .Д + 0 + 1 4а Л/Ь +2б с + с

л/2iz> (3 = arccos .

98

C i

в) Обозначим: Z (БА Х; С ВХ) = а. Тогда cos а =ВА г -СВХ

Имеем (рис.115): BA i = с -а ; C B i= B B i- B C = B B i - 2 А Р == AAi - 2 * 0,5 ( А В + A F ) = - а - Ь + с . Учитывая соотношения (*)> получаем:

cos а =(с - а) - (-а - Ь + с)

с - а -ci-b + c* ->-» _+2 —»2 —+-+

-са -cb + c -на + аб - ас\

,2 -»2 Г-*2 ->2 ->2а • Va- 2са + < + 6 +с +2аЬ- 2а с- 2Ьс

3= arccos —.4

1,5 3—— = — => а = V 2 - V 2 4

_ , J io „ л/2 3О т в е т : a) arccos----; б) arccos — ; в) arccos — .10 4 4

2. Угол между прямой и плоскостьюУглом между наклонной и плоскостью называется угол меж

ду наклонной и ее ортогональной проекцией на э т у плоскость. Для нахождения этого угла удобно использовать тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике, одним из острых углов которого является данный угол.

Рассмотрим решение следующих задач.Задача 3. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 1. Най

дите синус угла между: а) прямой А ХС и плоскостью ВВДЗ;б) прямой АС и плоскостью A B 1D 1.

Cl

99

Указание. а) Обозначим: Н = А гС B XD = А ХС о (в а д ) ; О = A C n B Z ) ; 0 1 = A 1C1n B 1Z)1 (рис. 116); Z (A XC; (B B XD))= а .

Имеем: A C 1 B D (почему?); В В ^ А В С ) , Сс=(АВС)=>BB{_LAC (почему?). Таким образом, A C J^ B B iD ) (почему?) =>(AC1C )_L (BB1B ) (почему?), при этом A jС с (АСХС). Это означает, что ортогональными проекциями точек С и А г на ( В В гВ ) являются соответственно точки О =АС п (B B XD) и Ol = = А гСг n (B B jB ). Тогда прямая ОхО — проекция прямой А 2С на (B B XD ). Поэтому ZA iH O x = Z (AjC; (В В ^ ) ) = а . Найдем sin а .

В прямоугольном дЛхОгН : А ^ = 0,5 • AjCj = 0,5 л/2 ;Л Я = 0 ,5 Л С = 0,5 лУз .

Сх

о ■Значит, sin а = — 1 Тб3

в) Обозначим: А хС п (А В ^ ^ = К (рис. 117), точка К — центроид правильного AA B xD ly при этом А ХК : КС = 1 : 2 ; Z (A C ;(A B 1B 1)) = 9.

Имеем: A 1C Z (A B 1B 1)=>(ACC1)Z (A B 1D 1) (почему?). А так как ОхА = (A C C ^n iA B iD i), А С с(А С С х), то прямая ОгА является ортогональной проекцией прямой АС на (A B jB j). Поэтому | ZKAC = Z (AC; ( A B . D ^ ср.

Найдем sin ср. Имеем: А ХС :

прямоугольном ААКС: sin ср =

О т в е т : а) — ; б) — .3 3

л/3 ,С # = - A iC 3

2V3 . Тогда в 1

С К АС

2n/3 :V2 = V63

100

Задача 4. В правильной шестиугольной призме A BC D EFA x B iC iD ^ ^ n все ребра которой равны 1, найдите синус угла между: а) прямой В ХЕ и плоскостью ВС ХС; б) прямой А В и плоскостью B F XC.

Рис. 118Указание. а) Обозначим: Z (В гЕ , ((ВС ХС)) = Р . Имеем:

СЕ 1-ВС (рис. 118); C1C_L(ABC),Е С cz (ABC) (рис. 118)=>C1C-LBC (почему?).Получаем: ЕС 1. ВС, ЕС ± С ХС=> E C L (B C гС) (почему?) =>

ЕС ± В гС (почему?). Это означает, что В гС — ортогональная проекция прямой В гЕ на (ВС ХС), Z С ВгЕ = Z (В ХЕ , (ВС 2С)) = = Р , Z B iC B = 90°.

Тогда в прямоугольном АВ ХСЕ с катетами ЕС = л/3 иг- F C В ГВ ХС = v 2 находим: sin (3 = ---- = —= = = = = =

^ J eB T Z c2= ■ = 0,2л/15 ;

V(V3)2+(V2)2

101

б) На рис. 119 построено сечение B C N EXF XM данной призмы плоскостью B F XC, при этом К = A F n ВС, ААВК — правильный (почему?); стороны ААВК равны 1. Обозначим: Z (АВ, ((B F XC)) = а.

Пусть точка Т — середина отрезка В К . Тогда: A T _L В К (почему?) => M T .L B K (почему?) => В К ± (А М Т ) (почему?) => => (М В К )А .(А М Т ) (почему?). Это означает, что перпендику- ляр АО, проведенный из точки А на (M B К ) (О е (М В К )), расположен в (АМ Т). А так как (М ВК)сл (АМ Т) = МТ> то О еМ Т . Поэтому АО — высота прямоугольного АА М Т с катетами

А Т = и д м = 0,5 F XF = 0,5 (почему?). Значит,2 2

АМ-АТ _ 0 ,50 .5S' Ja m 2 +а т 2 Vo, 25+о,75

Имеем: A O l. (B F ХС), 0<e (B F xC)=>OB — ортогональная проекция А В на (Б В Д . Тогда Z (A B ,( (B F XC)) = Z (A B , БО ) = = Z A B O ^ a .

Так как AO-L(BFxC), О В с Д В Р А , то АО J.O B (почему?)=> =>ААБО — прямоугольный, с катетом ОА = 0,25 л/з и гипотенузой А Б = 1. Это означает: sina = 0,25 л/з .

О т в е т : а) 0,2 л/Гб ; б) 0,25 л/з .3. Угол между плоскостямиУглом между двумя пересекающимися плоскостями назы

вается наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла, который образован лучами, лежащими в гранях этого угла и перпендикулярными его ребру.

Рассмотрим решение задач на нахождение углов между плоскостями в кубе и правильной шестиугольной призме.

Задача 5. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 1. Найдите синус угла между плоскостями: а) A B XD X и А 1ВС 1;6 )A1BD и CXBD .

102

Рис. 120

Указание. а) Обозначим: Z ( (А Б А ) , (Аф С^) = р ;М = А ХБ п В ХА ; Г = А А п В А - Тогда ТМ = (A B A ) п (А ^С О (рис. 120 ).

Так как отрезок ТМ — средняя линия правильных треугольников A B 1D 1 и А гВ С 19 то TM\\ADU ТМ\\ВС1, откуда следует: АВ гТ М и АА ХТМ — равные правильные. Поэтому медианы В ХР и А ХР этих треугольников равны и являются их высотами. Это означает, что Z A 1P B l — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями A B lD 1 и A xBCi. Тогда Z A XP B X= Z ( (А Б А ), (-AiJSCi)) = р . Найдем sinp .

Пусть точка К — середина ребра А А - Тогда К Р 1 А 1В 1 и

Z A XP K = ~ . В прямоугольном ААгР К с катетом А ХК = 0,5 и

гипотенузой А ХР = 0,5 • 0,5 • СХВ ^ 3= 0,25 л/б находим:. Р А1К Тб р л/з

sin 9 = ~Л р = ~7Г » значит, cos — = — . Следовательно,2 АХР 3 2 3. „ _ . р р 2V2sm Р = 2 sin — • cos — =----.

2 2 3б) Обозначим: Z ((A XB D ), (CXB D )) = у ; О = AC п BD

(рис. 121). Имеем: B D ± (A XAC ) (почему?) => (A1A C )± (B iB D ) (почему?). Тогда Z A 1OCl = Z ((AXBD ), (C jBD )) = у , где ОАх =- (.АХАС ) n (A jBD ), ОС, = (AjAC) n (CXBD ).

Найдем sin у .

103

Cl

Рис. 121Тетраэдр A {BC iD является правильным (почему?), поэтому

основание Н перпендикуляра А ХН , проведенного из вершины А г на плоскость CXBD , является центром окружности, описанной около правильного треугольника C^BD, причем Н еО С г.

1Это означает, что ОН ОСх. А так как ОСг = ОА1? то

ОН = - QA,. 3

=> ААгОН — ОН

Далее, А гН L (C 1BD)^>A1H ±ОСг (почему?):

COS \|/АгО

прямоугольный. 1

= 3значит, sim|/ = -

В этом треугольнике находим 2^2

ч 2л/2 2х/2О т в е т : а ) ----; б ) .3 3

Задача 6 . В правильной шестиугольной призме ABCZ)JEFA 1B 1C1i ) 1E 1F 1, все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между плоскостями: a) ABC и BC XF; б)А 1ВС и A B XF.

Решение. а) Обозначим: К = С1Е 1 п A XD X\ Т = СЕ n A D ; P = A D n B F . Тогда К Р = (SCpF) n (A D D J, К Т =- (BCC i) п (ADDO (рис. 12 2 ).

Имеем: A iA J^ A B C ) => (ADDX) JL (ABC) (почему?); аналогично, (ВССХ) ± (АВС). Это означает, что К Т 1. {ABC), откуда К Т L A B (почему?).

Далее, B F Z A D ; B F ± AXA=>BF ± (ADDX) (почему?)=> => (А В В 1)1 (В С 1В), (почему?). Из сказанного следует, что Z K P T — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BC XF .

Пусть Z K P T = Z((ABC); (BC XF )) =а . Найдем sin а .

104

Рис. 122Так как CE\\BF, АВЦ ВС, то Р Т = ВС = 1. Учитывая, что

КТ = СХС = 1, в прямоугольном А РКТ находим: а = 45°, зна-42чит, sina = — .2

б) Обозначим: Z{{AXBC); (A BXF)) = Р ; Р = В ХЕ Х n A XD X; К = А В Х 44 А ХВ. Тогда

(АХВС) гл (A BXF) = К Р — ребро двугранного угла, образованного плоскостями А ХВС и A B XF (рис. 123). Найдем sinp .

Имеем: А ХР = В ХР = 1; А ХК = В ХК = 0,5 V2 . Тогда: ААХР К = -- AВ ХРК= $АХТ = В ХТ, где А ХТ и B jT — высоты этих треугольников, проведенные к их общей стороне Р К . Это означает, что /((АХВС ); (А ВХВ )) =ZA1T'B1=p . Найдем sinp .

Замечаем, что отрезок Р К — средняя линия ААВгЕ х, поэтому Р К = 0,5АЕХ.

В прямоугольном ААЕХЕ с катетами А Е = \[3 и Е ХЕ = 1 находим: А Е Х = sJ a E 2 +ЕгЕ 2 = лУ(л/3)2 +12 =2 , значит, Р К = 1.

Рис. 123

105

Если К Т = х, то Р Т = 1 - х, поэтому на основании А ХК 2 - К Т 2 = А ХР 2 - Р Т 2 получаем: 0,5 - х2 = 1 - (1 - 2х + х2),откуда х = 0,25 = ТК. Значит, А ХТ = у]АХК 2+ К Т 2 =

= л/(0, 5ч/2)2 - 0,252 = ^ .

Далее, пусть точка Н — середина А гВ г. Тогда в равнобед-8 . 6 А ,Н 1 V7ренном ДАХВ ХТ : ZA XTH = — , при этом sin — = — - = - : — =2 2 Т 2 4

2^7 p V 2 1 m • о о • Р Р о 2л/7 V21= — , cos| =— . Тогда: sm|3 = 2 sin - cos- = 2 • — • — =

=7

& 4>/3О т в е т : а) — ; б ) .2 7

С П ЕЦ ЗА Д А Н И Е № 4

Вариант 11 . A B C D EFA iB iC iD iE iF i — правильная шестиугольная

призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми F XB и А гА.

2. Дан куб ABCDA1B 1CiD 1 с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А ХС и (С^СО).

3. Дан куб A BC D A ^ .C .D , с ребром, равным 1. Найдите синус угла между (ВССХ) и (BC^D).Вариант 2

1 . A B C D EF A ^ ^ x D ^ iFx — правильная шестиугольнаяпризма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми А ХВ и В гЕ .

2. Дан куб A B C D A ^ C ^ с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А гС и (ВС Х£)).

3. Дан куб ABCDA1B 1ClD 1 с ребром, равным 1. Найдите синус f угла между (А В ^ ) и (АфС^.

106

Вариант 3

1. A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми Е ХС и E F .

2. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 1 . Найдите синус угла между прямой B XD и (АВСх).

3. Дан куб ABCDA1B 1ClD 1 с ребром, равным 1. Найдите синус угла между (А ВХС) и (А3ВС ).

Вариант 4

1. A BC D EFA 1B 1C1D lE 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми Е ХС и FD.

2. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой ВС и (ABJ)^ ).

3. Дан куб ABCD A1B lC1D 1 с ребром, равным 1. Найдите синус угла между (A XB D ) и (СгВ В ).

Вариант 5

1 . A BC BBBA iB jC jJD jB jB j — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми А гВ и В ХС.

2. Дан куб ABCDA1B lC1D 1 с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А ХС и (А ВХС).

3. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 1. Найдите угол между (ВС ХВ ) и (AiBiC).

Вариант 6

1. A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми F XC и FD .

2. Дан куб ABCDA1B lClD l с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А ХВ и (А ВХС).

3. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 1. Найдите у т между (AiBCx) и (А ^ С ^ .

Вариант 7

1. A BC D EFA 1B lC1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1 . Найдите величину угла между прямыми А ХВ и CXD.

2. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой B XD X и (А ВХС).

3. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите угол между (А В гС) и (АВСХ).

Вариант 8

1. A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми АС и D E X.

2. Дан куб ABCDA1B lC1D 1 с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой CxD xn (А В ХС).

3. Дан куб ABCDA1B lClD 1 с ребром, равным 1. Найдите угол между (АХВ ХС) и (CXB D ).

Вариант 9

1. A BC D EFA 1B lC1D 1E 1F 1 — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми А ХВ и B XD.

2. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А ХВ Х и (BC XD ).

3. Дан куб ABCDA1B 1C1D l с ребром, равным 1. Найдите угол между (D XAC) и (В ХАС).

Вариант 10

1. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми А ХВ и CXF.

2. Дан куб ABCDAlB 1C1D l с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А ХСХ и (BC XD).

108

3. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите угол между (BC XD ) и (AXAD).

Вариант 11

1. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми А ХВ и B XF .

2. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А ХА и (BC XD).

3. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите угол между (АХВС) и (А ХАС ).

Вариант 12

1. A BC D EFA XB XCXD XE XF X — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми А ХВ и В ХС.

2. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой А ХВ и (BC XD).

3. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите угол между (A BXD X) и (АВСХ).

Вариант 131. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 8 , найдите угол

между прямыми А ХВ и В ХС.2. В правильной шестиугольной призме

A BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой B F X и (ABC).

3. Дан куб ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 1. Найдите угол между (А ВХС) и (АХСХВ).

Вариант 141. В кубе ABCDAXB XCXD X с ребром, равным 8 , найдите угол

между прямыми АСХ и CDX.2. В правильной шестиугольной призме

A BC D EFA 1B 1C1D1E 1F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой B XF и (ВС\С).

109

3. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 1. Найдите угол между (А В ^ ) и (AXB D ).Вариант 15

1. В кубе ABCDA1B 1ClD1 с ребром, равным 8 , найдите угол между прямыми АСХ и А ХВ .

2. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой А ХВ Х и (СгВС ).

3. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между (ABC) и (BC XF ).Вариант 16

1. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром, равным 8 , найдите угол между прямыми С ^ и В ^ .

2. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой F XB и (ВСгС).

3. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между (АХВС ) и (ABxF).Вариант 17

1. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром, равным 8 , найдите угол между прямыми D XA и CtD.

2. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой А ХВ и (BDxD).

3. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите угол между (DxBF) и (ABC).

Вариант 181. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром, равным 8, найдите угол

между прямыми В ХВ Х и CXD.2. В правильной шестиугольной призме

ABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой B F и (В ХВС).

3. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите угол между (СХА В) и (ABC).Вариант 19

1. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром, равным 8, найдите угол между прямыми АС и £>ХВ .

2. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между прямой B D t и (В В ХС).

3. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите косинус угла между (ABC) и (СХА£).

Вариант 20

1. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром, равным 8 , найдите угол между прямыми B D X и А ХСХ.

2. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между прямой А ХВ и (В В ХС).

3. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите косинус угла между (AXF E ) и (АХВС).

Вариант 21

1. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром, равным 8 , найдите угол между прямыми D XB и А х£>.

2. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между прямой CXF и (В В ХС).

3. В правильной шестиугольной призмеABCDEFAxBxCxDxExFx, все ребра которой равны 1 , найдите косинус угла между (А ХВС ) и (B XAF).Вариант 22

1. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром, равным 8, найдите угол между прямыми В А Х и АС.

U f

2. В правильной шестиугольной призмеA B C D E F A iB f ix D ^ ^ ^ все ребра которой равны 1 , найдите синус угла между прямой О хС и (F XE F ).

3. В правильной шестиугольной призмеABCD jEFA 1B 1C1jD1jE 1F 1, все ребра которой равны 1 , найдите косинус угла между (AXF E ) и (С^АВ).

Вариант 231. В кубе ABCDAlB 1C1D l с ребром, равным 8 , найдите угол

между прямыми CDl и BD .2. Дан куб ABCD AlB lClD l с ребром, равным 7. Найдите угол

между прямой О В1 и гранью ВСС1В 1, где точка О — центр грани ABCD.

3. В правильной шестиугольной призмеA B C D E F A iB ^ iD ^ XF и все ребра которой равны 1 , найдите косинус угла между (А ^ С ) и (BC XD х).

Вариант 241. В кубе ABCDAlB 1ClD l с ребром, равным 8, найдите угол

между прямыми АСХ и D ХВ.2. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром, равным 7. Найдите угол

между прямой ОхВ и гранью А В В хА и где точка Ог — центр грани А хВ гС XD X.

3. В правильном тетраэдре РАВС с ребром, равным 1, точкаТ — середина ребра АС, точка М — середина ребра СР. ; Найдите угол между (В Р Т ) и (AM В).Вариант 25

1. A BC D EFA lB 1C1D lE 1F l — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла i между прямыми A B j и C FX.

2. Дан куб ABCDA1B lC1D 1 с ребром, равным 13. Найдите угол ; между прямой ОСх и гранью ВССгВ и где точка О — центр 1 грани AJBCD. I

3. В правильном тетраэдре РАВС с ребром, равным 1, точка г Т — середина ребра АС. Найдите угол между (Т Р В ) и (АРВ).

ГЛАВА 5. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ В КООРДИНАТАХ


Вектор р - А М называется направляющим вектором прямой I, если отрезок A M параллелен прямой I или лежит наэтой прямой.

Если прямая I проходит через точку М 0 (х0; у0; zQ) в направлении вектора р (а; Ь; с), то эта прямая задается параметрическими уравнениями:

х = х0 + ta,<y = y0+tb9 t e R . (1)z = z0+tc9

Иногда точку (х0; у0; z0) называют «начальной» точкой этой прямой. Выражая из каждого уравнения системы (1) параметр t и приравнивая эти выражения, получаем канонические уравнения прямой:

х ~*о = У ” У о = а b с

Если прямая проходит через две точки М х (х}; ух; zx) иМ 2 (х2; у2; z2), то её уравнения имеют вид:

х = х1 + t(x2 - X,),х -х . у -у. z-z, = L— --- , или у -у + Д// - у ), где t е Я.x2~~xi У2 -У 1 г2-гх -[z~zA + t(z2 ~z{).

Эти уравнения называются уравнениями прямой по двум ее точкам.

Вектор , перпендикулярный данной плоскости , называют ее вектором нормали. Уравнение Ах + By + Cz + D = 0, при условии А 2 + В 2 + С 2 ф 0, задает в прямоугольной системе координат Oxyz единственную плоскость, для которой вектор п (А; В; С) является вектором нормали. Это уравнение называется общим уравнением плоскости. Уравнение А(х - х0) + В (у - у0) + C(z - z0) = 0 является уравнением плос-

113

кости, которая проходит через точку (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору п (А; В ; С). Иногда точку (х0; у0; z0) называют « начальной» точкой этой плоскости.

Расстояние А В между точками А(хг; уг; zx) и В (х 2; */2; 22 )вычисляется по формуле: А В =л](х2 - хг )2 + (г/2 - г/г)2 + (г2 - гг)2 .

Если вектор А В задан координатами начала А (хх; z/x; zx) и конца В (х 2; г/2; г2), то его длина |АВ| находится по формуле: |А В|= J (x 2 -хг)2+ (у2 -уг)2+ (z2 - zxf .

Говорят, что точка С делит отрезок А В в отношении А (А*- 1), если АС =Х СВ (рис. 124), и записывают (АВ; С ) = X . При этом точки А и В называют базисными, а точку С — делящей. Если точка С лежит внутри отрезка А В , то А, > 0. В частности, если точка С — середина отрезка А В , то А = 1.

Координаты точки С(х; у; г), делящей отрезок А В в отношении А , находятся по формулам:

х Х\ + ̂ Х2 1 + А ~

У!+Ху2 ^ _ z 1+Xz2 * У - Л * *1 +А 1 +А

В частности, если точка С — середина отрезка А В (А =1), то ее координаты находятся по формулам:

У1 +У2>У ■,2 =2 2 2 Следует помнить, что речь идет о делении направленного

отрезка . Так, например, центроид М треугольника ABC делит медиану ААг треугольника в отношении A M : M A Y = 2 :1 , считая от вершины А , но в отношении 1 : 2 = А ХМ : М Л, считая от точки А г.

114

Задача 1. В пространстве заданы четыре точки: А(3; 2; 1), В(1; 1; 0), С(0; 0 ;4 ),В (- 1 ;0 ; 1).

1. Составьте: а) параметрические уравнения прямой ВС ; б) уравнение плоскости ABC ; в) уравнение сферы, диаметром которой является отрезок А В ; г) уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке В .

2. Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.

3. Найдите расстояние между прямыми ВС и А В .Решение. 1. а) Примем точку С за «начальную» точку пря

мой ВС , а вектор СВ(1;1;-4) — в качестве ее направляющеговектора. Тогда параметрические уравнения этой прямой имеют вид:

x -t,< у = t, t e R .z~4-4t,

б) Пусть плоскость а = (ABC) имеет уравнение: ах + by + cz + d = 0. Найдем значения а, Ъ, с и d .

Если плоскость р: ах + by + cz + d = 0 проходит черезточку M (x 0;y0;z0), то координаты этой точки удовлетворяю т уравнению плоскости р , то есть имеет место:ах0 + by0 + czq + d = 0.

Так как плоскость а проходит через точки А(3; 2; 1), В(1 ; 1; 0), С(0; 0; 4), то четверка чисел а, Ъ, с и d является решением системы уравнений:

За + 2Ъ + с + d = 0,< a + b + d = 0, <̂ > <4 c + d = 0,

а + с ч- 4с = 0,< а + Ъ — 4с = 0, <̂ > d = -4с,

Полагая с = -1, получаем: а =

a + c-d = 0, a + & + d = 0, ^4с+ d = 0,

a = -5с,6 = 9с, d = -4с.

5, b = -9, d = 4. Значит,уравнение плоскости a = (ABC ) имеет вид: 5х - 9у ~ z + 4= 0.

115

Уравнение плоскости а = (ABC) можно получить, рассуждая иначе.

Коэффициенты а, Ь, с уравнения плоскости ABC являются координатами вектора нормали этой плоскости, то есть вектора п (а ; Ъ; с), перпендикулярного векторам А В (-2; -1; -1) и

АС (-3; -2; 3). Найдем координаты вектор п (а; Ъ; с).Имеем:

J п _L АВ, • А В = 0, ^ {-2а -Ь-с = О,[л± А С | + АС = 0 \-За-2Ь + Зс = 0.

Полагая с = 1, получаем: а = - 5, Ь = 9, значит,/г(-5 ;9 ;1 )— вектор нормали плоскости а . Плоскость а проходит через точку А(3; 2; 1), поэтому:

-5(х - 3) + 9(у - 2) +- (z - 1) = 0 <=> 5х - 9у - z + 4= 0 — искомое уравнение (ABC).

в) Находим: AD = J (3 +1)2 + (2 - О)2 + (1 - 1)2 =2^5 — диа- метр сферы.

Пусть центром сферы является точка Т(а; Ь; с) — серединал Гл гр 3 — 1 1 . 2 + 0 1 1 + 1 1 Грдиаметра A D . Тогда: а = = 1; b = = 1; с = = 1. Таким

2 2 2образом, получаем: Т(1; 1; 1) и (х - 1)2+ (г/ - 1)24- (z - I )2 = 5 —искомое уравнение сферы.

г ) Плоскость, касающаяся сферы с центром Т( 1; 1; 1) в точке В(-1; 0; 1), перпендикулярна радиусу TD сферы, поэтому D T(2; 1; 0) — вектор нормали этой касательной плоскости,значит, ее уравнение может быть записано в виде:

2(х+ 1 ) + у = 0 или 2х + у + 2 = 0 .2. Для определения взаимного расположения прямой ВС

и данной сферы достаточно найти число решений системы, со-x = ty

ставленной из уравнений \ y = t, этой прямой и уравнения0 = 4-4*,

(х - I )2 + (у - I )2 + (z - I )2 = 5 сферы. Для чего, в свою очередь, достаточно найти число решений (почему?) уравнения:

(* - I )2 + (* - I )2 + (3 - 4*)2 = 5 <=> 9*2 - 14* + 3 = 0.

116

л г г г

Так как дискриминант этого уравнения положителен, то оно имеет два различных действительных корня, значит, прямая ВС и сфера пересекаются.

Эту задачу можно решить, рассуждая иначе.Если: а) расстояние от центра сферы до данной прямой

меньше радиуса сферы, то эти прямая и сфера пересекаются;б) расстояние от центра сферы до данной прямой больше радиуса сферы, то эти прямая и сфера не имеют общих точек;в) расстояние от центра сферы до данной прямой равно радиусу сферы, то эта прямая касается данной сферы. Поэтому для решения нашей задачи следует найти расстояние р(Т; ВС).

Плоскость а , проходящая через точку Т перпендикулярно прямой ВС , имеет уравнение: 1 (х - 1) -1-1 (у - 1) - 4 (z - 1) = = 0 o x + y-4:Z + 2 = 0.

Точка М пп /7 7 8ча п ВС имеет координаты которые9 9 9

являются решением системы уравнений:х + у — 4 z + 2 = 0, x - t, y = t,2 = 4-4*.

Находим: ТМ

начает, что прямая ВС и сфера пересекаются.3. Найдем расстояние p(AD; ВС).Прямые ВС и AD задаются параметрическими уравнения

ми соответственно:х = *,y = t, и 2 = 4-4*,

х — 3 + 2*, у = 2 + *, * е R. 2 = 1,

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию о т любой точки одной прямой до плоскос т и , проходящей через вторую прямую параллельно первой

117

прямой. Для этого составим уравнение плоскости (обозначим ее а ), проходящей через прямую А В параллельно прямой ВС.

В качестве вектора нормали плоскости а примем вектор п (а ;Ь ;с ), перпендикулярный направляющим векторам В С ( 1; 1;-4) и DA (2; 1; 0) прямых ВС и AD.

Найдем координаты этого вектора. Имеем:\п1.ВС, \п~ВС = 0, fa + fr-4c = 0, fa + 4c = 0,\п _L DA { п • DA = 0 \%а + ̂ - 0 \%а + Ь = 0.

Полагая с = -1, получаем: a = 4, Ъ = -8 . Таким образом, п(4; -8; -1). Тогда плоскость a = (А; л ) имеет уравнение: "4 * (я; - 3) -8 • (у - 2) - (2 - 1) = 0 <=> 4# - 8у - 2 + 5 = 0.

Теперь находим:|4 1 -8 1-10 + 51 1

р(АВ; ВС)= р(В; а) =

О т в е т : 1 . а)

V16 + 64 + 1 9*x = t,у = t, t e R . ; б) 5х-9у-z + 4 -О; 2 = 4-4*,

в) (x - l)2 + (i/- l)2 +(-г-1)2 = 5 ; г) 2х + г/ + 2 = 0 . 2. Прямая пере

секает сферу. 3. ~ .

Для самостоятельного решения

Задача 2. В пространстве заданы четыре точки: А( 1; 1; 1), В (1 ;2 ;- 2 ),С (9 ;0 ; 0), В(2; 3; 4).

1. Составьте: а) параметрические уравнения прямой ВС;б) уравнение плоскости ABC; в) уравнение сферы, диаметром которой является отрезок А В ; г) уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке А.

2. Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.

118

3. Найдите расстояние между прямыми ВС и А В . х — 9 + St;

О т в е т : 1. а) <y--2t; t e R . ; б) х + 6у + 2z - 9 = 0; z-2t;

в) (х - 1,5)2 + (у - 2)2 + (г - 2,5)2 = 3,5; г) х + 2у + Зг - 6 = 0.382. Прямая не имеет общих точек со сферой. 3. - .

л/227

Задача 3. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDAlB 1ClD l так, что А(1; 0; 0), В г(1; 1; 1), С(0; 1; 0),В (0 ; 0; 0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: а) от точки А х до прямой АСг; б) от точки В х до плоскости А ХВ С Х; в) между прямыми А ХСХ и А В Х.

Рис. 125Решение. Из условия следует, что точка В (0 ; 0; 0) — нача

ло координат, точки А (1 ;0 ;0 ) и С(0; 1; 0) — единичные на осях Ох и Оу соответственно. Тогда: В (1 ;1 ;0 ), А ^ П О ;!), Сх(0; 1; 1), В х(0; 0; 1). На рис. 125 изображено расположение данного куба относительно системы координат Oxyz. Теперь рассмотрим решение задач отдельных пунктов.

Расстояние о т точки М до прямой а, расположенных в пространстве, равно расстоянию между данной точкой М и точкой К — р п а , где р — плоскость, проходящая через то ч ку М перпендикулярно прямой а.

119

а) Рассмотрим реализацию этого алгоритма в координатном виде для точки А х и прямой АСг.

Составляем уравнения прямой АСХ. В качестве ее направляющего вектора примем вектор АСг (-1; 1; 1). Тогда параметрические уравнения прямой АСХ имеют вид:

x - l- t y<y = t, te R . ( 1 )

2 = t ,Так как (3 ±ACl9 то в качестве вектора нормали плоскости

(3 принимаем вектор АСХ (-1; 1; 1). Тогда плоскость (3, проходящая через Aj перпендикулярно АСи имеет уравнение:

- 1 * (х - 1 ) + 1 * (у - 0) + 1 * ( 2 - 1 ) = х - у - z = 0 . (2)Докажите самостоятельно, что плоскостью (3 является

сАгВ В ).Решая систему из уравнений (1) и (2), получаем:

(1 — t) - t - t = 0=> t = —.3

2 1 1Значит, точка К =(3 п А С х имеет координаты:О О О

Тогда находим:

А ХК = J( 1 - —)2 + (0 - - ) 2 + (1 — )2 = — . Таким образом,V 3 3 3 3

/бp C A S 'C A - a # - ^ .

б) Уравнение плоскости по точке М 0 (х0; у0; z0) и векторуп (а; Ь; с) нормали имеет вид: а(х - х0) + Ь(у - у0) + с( 2 - г0) = 0.

Для плоскости А ХВ С Х можно принять в качестве точки М 0 любую из точек А г, В> Сг, а в качестве вектора нормали — вектор, перпендикулярный векторам АгВ и АгСх .

> „ |Находим: АгВ (0; 1; -1), А гСг (-1; 1; 0). Пусть п(а; Ь; с) — I

вектор, перпендикулярный векторам АХВ и А 1С1 . Тогда из

п _1_ А В , условия < „ получаем:

[/г -L

120

ЯШШM J L

п-АхВ = 0, \Ь-с = 0,1 _ ____ , , => а = Ь - с . Пусть, не нарушая(ra-AjCj =0 [-а + 6 = 0

общности, а-Ъ = с =1.

Тогда получаем: п( 1 ; 1 ; 1 ). Поэтому (АХВ С Х), определяемаяпарой (Ах; п), задается уравнением: 1 • (х - 1) + 1 • (у - 0) ++ 1 ' (z — 1 ) = 0 <г> х + у + z — 2 = 0 .

Расстояние от точки М (х0; у0; г0) до плоскости а : ах + by + cz + D = 0

I ахп +byn +С2„ +d\ находится по формуле: р (М ;а ) =-— " 1 Ис-у]а 2 +в 2 +с 2

пользуя эту формулу, находим: р (В 1-,(А1В С 1)) =_ | 1 1 + 1 1 + 1 1 - 2|_ ^3

Д 2+ г + г ~ ~ ~з'в) Найдем расстояние р (А В 1;А 1С1) (рис. 126).

Векторы А В1 (0; 1; 1) и AtCt (-1; 1; 0) принимаем в качестве направляющих для прямых соответственно А В 1 и A jCj. Тогда эти прямые могут быть заданы уравнениями соответственно:

121

x = l, \x = l- t ,y = t, t e R n < y = t, t e R . z = l + t, z = l.

Составим уравнение плоскости (обозначим ее а ), проходящей через прямую А В Х параллельно прямой

В качестве вектора нормали плоскости а примем вектор п (а;Ь; с), перпендикулярный векторам А ВХ{0; 1; 1) и А гСг (-1; 1; 0).

Найдем координаты этого вектора.Имеем:

\п JL А В, л - А В = 0, (b + с = 0,— => а = Ъ = —с ,[га ± ДС[* [га-ДС[* = 0 {-а + Ь = 0

Пусть, не нарушая общности, с= -1, тогда a = b = 1. Имеем: /г (1; 1; -1). Получаем уравнение плоскости а = (А ;п ) в виде:

1 • (х ~ 1 ) 4- 1 • (у - 0) - 1 • (г - 0) = 0 « х + у - г - 1 = 0 . Теперь находим:

li+ o - i- il V3р (A B i,A tCx)= р(А,; а ) =

п ч ^ „ 7з л/зО т в е т : а) — ; б) — ; в) — 3 3 3

Задача 4. Правильная шестиугольная призма ABCDEFAxBxCxDxExFx все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, £>, Сх имеют

координаты: — ;0 ), С(0;1;0), D (- ^ - ; — ;0 ), С^О Ц ;!).2 2 2 2

Постройте эту призму и координатным методом найдите:(а) расстояние от точки В до прямой CDX; б) расстояние от точки F до плоскости A F tD; в) расстояние между прямыми В ХС и А гВ ; В гС и В Е г.

Решение, а) Составим уравнение плоскости р , проходящейчерез точку В перпендикулярно прямой CDV.

122

ш ш т

Во введенной системе координат (рис. 127) имеем:

В качестве вектора нормали плоскости р примем

n ( J 3; 1;-2), коллинеарный DXC ( — Тогда плоскость2 2

Р задается уравнением:- л/3 1л/3 (х - — ) + (у — ) - 2(2 - 0) = 0 <=> л/Зх + г/ - 2z - 2 = 0.

2 2

Рис. 127Обозначим: Т =р n С В 1; тогда В Т = р (В ; В ,С ). Для нахож

дения координат точки Т достаточно решить систему л/Зх + у - 2z - 2 = 0,

< * = >/з*, j £ д >y = l + t,2 =-21,

составленную из уравнений плоскости р и прямой С В ,. Получаем: д/з • л/31 + 1 + 1 - 2( -21) - 2 = 0 о 8 (- 1 = 0 о

<=>!=—. Значит, точка Т имеет координаты: х = — га = —; 8 8 8

г = - —. Тогда:4

p (B ;B xC) = B T = ,|(— - — )2 + ( - - - ) 2 +(0 + --)2 = ̂ 1 ' ' 2 8 2 8 4 4

123

б) На рис. 128 изображено расположение данной призмы7з 1относительно системы координат Oxyz. В ней: А ( — ;0),Z Z

В (0;- 1 ;0 ), ^ 0;- 1 ; 1 ).Пусть ах + by + cz + d = 0 — уравнение плоскости

р = (A I\D ). Так как плоскость р проходит через начало координат, то d = 0.

Далее: А (^ ;- - ;0 )е р => ^ - а ~ Ъ = 0; ^ 0; -1; 1 )е2 2 2 2

ер => — Ъ + с — 0;

—; 0 ) g р => — а +—Ь = 0 .V 2 2 2 2

0 , Ъ л/з 1О, — а -~Ъ =0, находим: Ъ = с, 2 2

Рис. 128 Реш ая систему из уравнений:л/з 1 ,— а — о 2 2

b = л/За . Полагая а = 73 , получаем: Ь = с = 3. Тогда уравнение плоскости р имеет вид:

л/з (х - 0 ) + 3(1/ + 1) + 3(2 - 1) = 0 о 7 з х +3у +32 = 0. Теперь находим искомое расстояние

In/з О + 3 (- 1 ) + 3 о| /ЙТ

* * ■ » - ' V3 + 9 + 9 Г ~в) Найдем расстояние между прямыми В ХС и А ХВ

(рис. 129).

124

Р К

Во введенной системе координат Oxyz имеем: В х( — ; —; 1 );2 2

Для нахождения искомого расстояния составим уравнение плоскости (обозначим ее а ), проходящей через прямую В ХС параллельно прямой А ХВ .

В качестве вектора нормали плоскости а примем век

тор п (а;Ь;с), перпендикулярный направляющим векторам ̂ +СВу ( — — ;1) и АгВ (0; 1;-1) прямых В ХС и A jB .Z Z

л/з 1

Найдем координаты этого вектора. Имеем:

) п ± СВг, Г /г - СВ1 = 0, 7з 1——а — 6 + с = 0, 2 2

[^ ± 4 ^ [я - 4 ^ ^ 0 & - с - 0

^ \ S a - b + 2c = 0, (с = -л/За, 1 б = с =>|б = с.

Полагая а =л/з, получаем: Ь = с = -3. Таким образом,л имеет координаты ( 7з ; -3; -3). Тогда плоскость а = (С; л ) имеет уравнение:

125

л/3 • (х - 0) -3 • (у - 1 ) - 3 • (г — 0) = 0 <=> л/3 х - Зу - Зг + 3 = 0 . Теперь находим:

Т з ^ - з .А - з - о

р(А1Б ;В ,С ) = р(В; а ) :1 + 3

л/ 3 + 9 + 9■ л/14 й. л/21 .7 2 1 7 3 0О т в е т : а) — ; б) - у - ; в) — 5-^р

_ л/21


Вариант 11. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDAlB 1C1D 1

так, что В(1;0;0), С^О;*);!), В(0;1;0), С(0;0;0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние:1. До прямой АСХ от точки: а)А Х; б) В Х; в) С. 2. До плоскости А ХВ С Х от точки: а) В х; б) С; в) D x; r) D . 3. Между прямыми: а)А 1С1 и А В Х; б) BD i и B XC; в) BD и В ХМ , где М — середина ребра А В .

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA xB xCxD xE xF l9 все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А х, В , С, В х имеют координаты:

,7з 1 л/7з 1 _ „ ,7 3 .1 ;1 ). Постройте

эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины В до прямой D XF X; б) от вершины А х до плоскости АСХЕ Х; в) между прямыми А ХВ и E XF.

Вариант 21. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B 1C1D 1

так, что С(1;0;0), В х(0;0;1), А(0;1;0), В(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АСХ от точки: а) А х; б) В х; в) С. 2. До плоскости А ХВС Х от точки: а) В г; б) С; в) D x; г) D. 3. Между прямыми: а) А ХСХ и А В Х; б) B D X и В ХС ; в) BD и В ХМ , где М — середина ребра АВ.

126

2 . Правильная шестиугольная призма А В С В В В А ^ С ^ В ^ В ^ , все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, D , Сх имеют координаты:

С(0;1;0), ;~~;0) , С ^ О Д ;!). ПостройтеZ Z tL с*эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины В до прямой CXD X; б) от вершины В до плоскости A B XD; в) между прямыми А ХВ и A F X.

Вариант 3

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B 1C1D l так, что В(1;0;0), Сх(1;1;1)у D (0 ; 1 ;0), А(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АСХ от точки: а) А х; б) В х; в) С. 2. До плоскости А ХВС Х от точки: а) В х; б) С; в) D x; г) D. 3. Между прямыми: а) А ХСХ и А В Х; б) B D X и В ХС; в) B D и В ГМ , где М — середина ребра А В .

2 . Правильная шестиугольная призма A BC D EFA XB XCXD XE XF х, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А, В , F , F x имеют координаты:

л/з 1 л/з 1(0;—1;1). Постройте

эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины В до прямой A D X; б) от вершины В до плоскости A XF E ; в) между прямыми А ХВ и B XD,

Вариант 4

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDAXB XCXD X так, что В х(1;0;0), D x( 1 ;1 ; 1 ), С(0;1;0), В(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АСХ от точки: а) А Х; б) В х; в) С. 2. До плоскости А ХВС Х от точки: а) В х; б) С; в) D x; г) D. 3. Между прямыми: а) А ХСХ и А В Х; б) B D X и В 3С; в) B D и В ХМ , где М — середина ребра А В .

127

2. Правильная шестиугольная призма A B C D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А и В , С, В х имеют координаты:

/з 1 й 1 /я 1> Я (“ 5 ;0), С (0;1;0), . Постройте

Z Z Z Ci Ci ci

эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины В до прямой А Е Х; б) от вершины В до плоскости А В ХС ; в) между прямыми В В Х и В ХС.

Вариант 51. В системе координат Оху-г расположен куб ABCDAXB XCXD X

так, что А(1;0;0), В Д !; ! ; ! ) , B j(0 ;l;0 ), В(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АС] от точки: а) А х; б) В х; в) С. 2. До плоскости А 1В С 1 от точки: а) В х; б) С; в) D x; r) D . 3. Между прямыми: а) А ХСХ и А В Х; б) B D X и BjC ; в) BD и В гМ , где М — середина ребра АВ.

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA xB xCxD xE lF x, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, В , Сх имеют координаты:

О), С(0; 1; 0), Ct(0; 1; 1). Постройте ̂ Z d d

эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины В до прямой А ХС; б) от вершины В до плоскости BjAC ; в) между прямыми A XF и А В Х.

Вариант 61. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDAXB XCXD X

так, что А!(1;0;0), В ( 1;1;1), В(0;1;0), B^OjOjO). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АСХ от точки: а) А х; б) В х; в) С. 2. До плоскости А ХВ С Х от точки: а) В х; б) С; в) D x; г) В . 3. Между прямыми: а) А ХСХ и А В Х; б) B D X и В ХС ; в) В В и В ХМ , где М — середина ребра А В .

128

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA lB xCxD xE 1F 1, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А, В , В , F x имеют координаты:

A ( ^ ; - i ; 0 ), В ( ^ ; ^ ; 0 ) , В (0 ;-1 ;0 ), ^ (0 ;-1 ;1 ). Построй-Ci Ci Ci Ciте эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины С до прямой В ХВ ; б) от вершины Е до плоскости B XF D ; в) между прямыми CXD и В ХС .

Вариант 7

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B lCxD l так, что В г(1;0;0), А (1 ;1 ;1 ), В г(0;1;0), СДО^О). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АСХ от точки: а) А х; б) В х; в) С. 2. До плоскости А ХВС Х от точки: а) В х; б) С; в) D x; г) В . 3. Между прямыми: а) А ХСХ и А В Х; б) B D X и В ХС; в) В В и В ХМ , где М — середина ребра А В .

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А х, В , С, В х имеют координаты:

В ( ^ Ц ;0 ), С(0;1;0), В ^ ^ Ц н ) . По-

стройте эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины F до прямой A D X; б) от вершины А до плоскости B XF D ; в) между прямыми В В г и F XE .

Вариант 8

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDAXB XCXD X так, что В(1;0;0), C1( l ; l ; l ) , A^OAjO), А(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АСХ от точки: а) А Х; б) В х; в) С. 2. До плоскости А ХВС Х от точки: а) В г; б) С; в) D x; г) В . 3. Между прямыми: а) А ХСХ и А В Х; б) B D X и В ХС ; в) В В и В ХМ , где М — середина ребра А В .

129

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA ^ B ^ iD^EyF^ все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, D, Сг имеют координаты:

С(0; 1; 0), П (- ^ ;А ;0 ) , Сх(0; 1; 1). ПостройтеL i L i L i L i

эту призму и координатным методом найдите расстояние:а) от вершины А до прямой В С г; б) от вершины Е до плоскости D XAC; в) между прямыми В ХЕ и СХБ .

Вариант 9

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B 1ClD 1 так, что А х(1;0;0), D( 1; 1; 1), Сх(0;1;0), В х(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите расстояние: 1. До прямой АСХ от точки: а) А х; б) В х; в) С; 2. До плоскости А 1ВС 1 от точки: а) В г; б) С; в) D u г) D ; 3. Между прямыми: а) А 1С1 и А В Х; б) B D X и В ХС; в) BD и В ХМ , где М — середина ребра А В .

2. Правильна^ шестиугольная призма А ВС £ ББ А 1В 1С1Б 1Б 1Б 1, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А, Б , F , F x имеют координаты:

A ( ^ ; - i ; 0 ) , Б(0;-1;0), Б Л 0;-1;1). Построй-L i L i L i L i

те эту призму и координатным методом найдите расстояние: а) от вершины А до прямой В Е Х; б) от вершин В до плоскости E XFD ; в) между прямыми A XF и А В 1.

A J L 1 7

130

_ __________ vy vy A a r x n v JL XJlLlВ КООРДИНАТАХ

Подготовительный набор задачПрямые а и &, имеющие направляющие векторы

Pi (аи а 2 > аз) и Р 2 Ф и ^2? Ь3) и проходящие через точки А ( хи Уг> zi) и А2(х2 ', У2 > Z2 ) соответственно, задаются параметрическими уравнениями соответственно:

х = хг + ах/, г/ = уг + a2t, z ~ zl J\- ast, х = х2 + btt, у = 1/2 + b2t, 2 = 22 + b3f, £ еВ.

Если ф Z (а, 6), \{/ z (Д , р2), то либо ф = Ф, либо130). Учитывая, что совф>0Ф + Ф=180° (рис. -штшвйл, что cos ф => U при

Ф е [0 °; 90°], получаем cos ф = |cos \j/|. Это означает, что косинус угла между прямыми м ож ет бы ть найден с помощью форму-

I I 1й * P2I : cos ф = |cos щ = — r~i или 6 координатном виде:I da • \пА

лы:т

COS ф = аА +а2Ь2 +а3ЬяVa 1 + а2 + a3 ' \[b‘l + t>2 + bg

X = х0 + ta,Угол между прямой I :\у = у0 + tb,

г = г0 + tc, и плоскостью а: Ах + B y + Cz + D = 0

можно найти, используя угол между направляющим вектором р ( а; Ь; с) прямой I и вектором п (А; В; С) нормали плоскости а (рис. 131, 132):

| аА + ЪВ + сС |sinZ(/;a)= cos Z(p;n)л/а2 +b2 +с2 - J a 2 + В 2 + С2

131

Угол между двумя плоскостями а и р, заданными уравнениями соответственно А,х + В }у f C,z -г Dj = 0 и А2х + В 2у + C2z + В 2 = О, удобно связать с углом между их нормальными векторами п ^ А ^ В ^ С ^ и п 2(А 2; В 2;С 2) (рис. 133). Именно,

\AlA2+B iB 2+C1C2 1cosZ(а ;(3) = icosZ(m ; яг )| = —f- -- ------- - .

1 1 ^/Af+Bf+Cf -,/А|+В|+С

1 QQ

Задача 1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDAlB 1C1D 1 так, что A^ljO jO ), Z>(1;1;1), C^OjljO), Б,(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите: а) угол между прямыми А ХВ и АС; б) синус угла между прямой ВС и плоскостью A B XD X; в) угол между плоскостямиА В гС и АВСр

132

Рис. 134Решение. Из условия следует, что точка B^OjOjO) — начало

координат, точки A^ljO jO ) и Сх(0;1;0) — единичные на осях Ох и Оу соответственно.

Тогда: В(0;0;1), А(1;0;1), С(0;1;1), D ^ liU O ). На рис.134 изображено расположение данного куба относительно системы координат Oxyz. Рассмотрим решение отдельных пунктов задачи.

а) Найдем угол <р = Z (A XB , АС).Направляющими векторами прямых А ХВ и АС будем считать

векторы соответственно А ХВ (-1; 0; 1) и АС (-1; 1; 0). Тогда:

- 1 (- 1) + 0 1 + 1 0|cos у

АгВ А С

АгВ\ АС V2 -V212

Ф =60°

б) Найдем sin ф, где ф = Z (ВС ; (А В iD x)).В качестве направляющего вектора прямой ВС примем

вектор ВС (0; 1; 0 ). В качестве вектора нормали плоскости а = (ABxBi) примем вектор п(а; Ъ; с), перпендикулярный векторам В ХА(1; 0;1)и B 1D1 (1;1;0).

Найдем координаты вектора я (а; Ъ; с). Имеем: \п± ВгА, \п-В1А - 0, (а + с = 0,

[п 1 B 1D1 [n-B1D1~0 a + b~ 0=> а = —b

133

Полагая а = 1, получим: Ъ = с = -1, то есть п (1; -1; -1). Это означает, что уравнение плоскости а = (А; п ) имеет вид: 1 • (х - 1 ) - 1 • (у - 0) - 1 • (z - 1 ) = 0 о

х - у - z = Ои sin ф =\BCti

ВС10 1 +1 (-1) + 0 (-1) 1 = л/з

л/з 3

Замечание. Можно доказать, что A 1C_L(AB 1D 1). Тогда в качестве вектора нормали для (A B lD l) можно принять векторСАХ(1; -1; -1).

в) Найдем угол между плоскостями а = (А В ХС) и Р = (АВС1).

Пусть плоскость а = (А ВгС) имеет уравнение:

ах + by + cz + d = 0 .

Найдем значения а, Ь, с и d.Так как плоскость а проходит через точки А , В г и С, то ко

ординаты этих точек должны удовлетворять уравнению плоскости а, значит, четверка чисел а, Ь, с и d является решением системы уравнений:

а = - с, d = 0,Ъ = - с.

Полагая с = -1, получаем уравнение плоскостиа = (A BXC ): х 4- у - г = 0.

Значит, вектор п нормали этой плоскости имеет координаты: п{ 1 ; 1 ; - 1 ).

В качестве вектора нормали плоскости р = (АВСг) примемвектор п^а^ Ьг; сх), перпендикулярный векторам ВА (1;0;0)

а + с + d = 0, a + c = 0,d - 0, о < и © С

fe + c + d = 0 5 + с = 0

и ВС, (0; 1; -1).Найдем координаты вектора п х,

(пх± В4 , {щ - В А ^ 0,Имеем: < _ „ => < _ „ =>

[ п ^ В С , [n 1 -BQ= 0

a, = 0,b,~cx =0

=> а, = 0, Ъ, = Cj.

134

Полагая =сх =1, получаем: п х(0; 1; 1). Тогда:п * /7 1= 1 0 + 11 —11 = 0 => п _L я х => a_L р => v|/ = 90°.

/зО т в е т : а) 60°; б) — ; в) 90°.3

Задача 2 . Правильная шестиугольная призмаА ВС ВБ БА ХВ ХСХВ ХБ ХБ Х, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, D x имеют ко-

ординаты: ), С(0;1;0 ), DZ ̂ сх Zk

Рис. 135Постройте эту призму и координатным методом найдите:

а) величину угла между прямыми В А Х и С ВХ; б) синус угла между прямой B D X и плоскостью В Б ХС; в) синус угла между плоскостями А ХВС и А В ХБ.

Решение, а) Найдем Z (ВА Х, С ВХ) = ср.После введения системы координат Oxyz (рис. 135) точки

\[з 1 Vs 1А х, В х приобретают координаты: А х(-^-;- —;1 ), В х(-^-; — ; 1 ).2 2

„ ^Тогда: СВ1 и В А ^ О ;- !; 1). Находим:

COS ф =СВ1 ВА1 f -0 + (- i ) . ,- l , + M

СВ1 ВА Х J — + -- + 1 л/o + l + lV 4 4

3 3 — => Ф = arccos —4 4

135

б) Обозначим: Z (B D X, (В В ХС)) = а.Во введенной системе координат (рис. 136) имеем:

В х(0; -1; 1). Для прямой D XB направляющим является вектор

Щ ( - у13 ; 0 ; 1 ).

Найдем координаты вектора нормали плоскости(3 = (B i^C ), для чего составим ее общее уравнение.

Пусть ах + by + cz + d = 0 — уравнение плоскостиР = (В В ХС). Тогда:

С (0; 1; 0 ) е р =>b+d=0; ^ (0 ; -1; 1 )ер =>-& +с + d = 0. Решением системы, состоящей из уравнений:

л/3 1— a + — h + d =0 , b + d = 0 , -& +с + d = 0 ,2 2

является: а =\[з , b = 3, с = 6 , <2 = -3. То есть вектор нормали плоскости р имеет координаты: n ( J 3 ; 3; 6). Тогда

|-л/з-7з+о-з+1 -б|sin a = cos Z (BD 1 ;n) 0,125л/з .л/з + 0 + 1 л/З + 9 + Зб

в) Обозначим: Z (a; P) = ср. Найдем координаты векторов нормалей плоскостей a = (A iBC ) и р = (А В ±F).

Во введенной системе координат Oxyz (рис. 137) имеем: В (0 ;- 1 ; 0 ).

Вектор п (а ;Ь ;с ) нормали плоскости а перпендикулярен■n/3 1векторам АгВ (0; 1; -1) и В С - — ; —; 0 ). Координаты вектора2 2

136

п найдем из условия его перпендикулярности векторам . , f a лАгВ (0; 1; -1) и ВС 0 ). Тогда:

z z

I п -А1В = 0,

\п'-ВС = 0

Ъ-с = 0, \ъ = с

- ^ - а + — Ь = 0 |б = л/3а.2 2 L

Полагая а=л/3 , получим: Ь = с = 3. Таким образом,n (V 3 ; 3; 3).

Аналогично, вектор m (aj; &j; сх) нормали плоскости р пер-л/3 1пендикулярен векторам А Вг (0; 1; 1) и F A { — ; —;0 ). Поэтому2 2

координаты аг, и сх найдем, решая систему уравне- Ъх +сг =0,

нии: >/3a, + i b, = 0 I b, = -л/За,. 2 2

Полагая = л/з , получаем: Ьг = -3, С] = 3. Таким образом,я i( л/з ; — 3; 3).

Поэтому| л/з • л/з + 3 • (-3) + 3 • 31 1 . 4 л/зcos ф= cosZ(n;m ) =!—г- ----— ?= ■ ■'■ = — :=>sin ф=-----.л/3+ 9 + 9 л/3+ 9 + 9 7 7

О т в е т : а) arccos^ ; б) 0,125л/з ; в)

137


1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B 1C1D 1 так, что Z>(1;0;0), Сх( 1;1;1), А х(0;1;0), А(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а) А ХВ и АС; б) £>ХВ и В ХС; в) АСХ и D XB . 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (А ВХВ Х); б) А ХВ и (А ВХС); в) В ХВ Х и (А ВХС); г) А ХВ и (ВС ХВ ).3. Угол между плоскостями: а) А В ХС и А ВС Х; б) А В ХС и А ХВС Х; в) D XAC и В ХАС.

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А , F , F u В х имеют координаты:

А( ̂ ; -1 ; 0 ), F ( 0; -1; 0 ), F t( 0; -1; 1), В ,( ̂ ; i ; 1 ). Построй-

те эту призму и координатным методом найдите: а) величину угла между прямыми А В Х и C FX; б) синус угла между прямой В гЕ и плоскостью В С ХС; в) косинус угла между (ABC) и (BC XF).

Вариант 2

1. В системе координат Охг/z расположен куб ABCDA1B 1C1D 1 так, что В х(1;0;0), £>х( 1; 1; 1), С(0;1;0), В(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а) А ХВ и АС; б) В ХВ и В ХС; в) АСХ и D XB . 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (А ВХВ Х); б) А ХВ и (А ВХС); в) В ХВ Х и (А ВХС); г) А ХВ и (ВС ХВ ).3. Угол между плоскостями: а) А В ХС и А ВС Х; б) А В ХС и А хВС х; в ) В хА С и В хАС.

2. Правильная шестиугольная призма ABCDEFA^B^C^D^E^Fи все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Оху г так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, В , В х имеют координаты:

Вариант 1

П138

в А \ - , 0 ) , С (0;1;0), В ( - ^ Ц ; 0 ) , По-Z Z d d d d

стройте эту призму и координатным методом найдите: а) величину угла между прямыми А В и CDX; б) синус угла между прямой А В и плоскостью B F XC; в) косинус угла между (АХВС ) и (АВрР).

Вариант 3

1. В системе кооодинат Oxyz расположен куб ABCDAxBxCxDx так, что А х(1;0;0), В(1;1;1), В(0;1;0), £>х(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а) А ХВ и АС; б) D XB и В ХС; в) АСХ и D XB. 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (ABxDx); б) А гВ и (А ВХС); в) В ХВ Х и (А ВХС); г) А ХВ и (ВС ХВ ).3. Угол между плоскостями: а) А В ХС и А ВС Х; б) А В ХС и А ХВС Х; в )В хА С и В хАС.

2. Правильная шестиугольная призма A B C B £ FA XB XCXB XE XF X, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Ох у z так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А х, В , С, D имеют координаты:

B ( A i ; 0 ) , С (0; 1;0), n ( - A l ; 0 ) . По-d d d d d d

стройте эту призму и координатным методом найдите: а) величину угла между прямыми A F X и А ХВ ; б) синус угла между прямой В В Х и плоскостью B F XC ; в) косинус угла между (CXA F ) и (ABC).

Вариант 4

1. В системе координат Оху2 расположен куб ABCDAxBxCxDx так, что А(1;0;0), D x( l ; l ; l ) , В х(0;1;0), В(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а) А ХВ и АС; б) В ХВ и В ХС; в) АСХ и В ХВ . 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (А ВХВ Х); б) А ХВ и (А ВХС); в) В ХВ Х и (А ВХС); г) А ХВ и (ВС ХВ ).3. Угол между плоскостями: а) А В ХС и А ВС Х; б) А В ХС и А хВС х; в ) В хА С и В хАС.

139

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Оху г так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины A, F , F l9 В х имеют координаты:

F ( 0; —1;0), ^х(0; —1; 1), В х(^-;^-;1). Построй-

те эту призму и координатным методом найдите:а) величину угла между прямыми Е ХС и FD; б) синус угла между прямой А ХВ и плоскостью В В , С; в) косинус угла между (А ^ Е ) и {АХВС).

Вариант 5

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B 1C1D 1 так, что В ! ( 1 ;0 ;0), А(1;1;1), В х(0;1;0), Сх(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а )А хВ и АС; б) D XB и В ХС; в )А С х и DXB. 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (A B XD X); б) А ХВ и (А ВХС); в) B XD X и (А ВХС); г) А ХВ и (B C XD ).3. Угол между плоскостями: а) А В ХС и А ВС Х; б) А В ХС и А ХВ С Х; в) D XAC и В ХАС.

2 . Правильная шестиугольная призма A BC D EFA 1B xC1D lE 1F l , все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, D, D x имеют координаты:

в А \ ' , 0 ), С (0; 1; 0 ), 0), £ Х( - ^ Ц ;1 ) . По-2 2 2 2 2 2

стройте эту призму и координатным методом найдите:а) величину угла между прямыми А ХВ и В ХС ; б) синус угламежду прямой B D X и (Е XF XC); в) косинус угла между (А гВС )и (.B XA F ).

Вариант 6

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B 1C1D 1 так, что В(1;0;0), С(1;1;1), П(0;1;0), А(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а) А ХВ и АС; б) D XB и В ХС; в) АСХ и D XB. 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (А ВХD t); б) А гВ и (А В гС); в) B 1D l и (А В гС); г) А гВ и (В С lD).

3. Угол между плоскостями: а) А В ХС и А ВС Х; б) А В ХС и A iBC i; в) В гАС и В ХАС.

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA XB ХСXD XE XF х, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А х, В , С, D имеют координаты:

Al(^ r;~^;1)’ В(^ Ф 0)’ С(0;1;0)’ В(~ т Ф 0)‘ По'стройте эту призму и координатным методом найдите:а) величину угла между прямыми АС и D E X; б) синус угла между прямой D XC и (F^EF); в) косинус угла между (D XB F ) и (ABC).

Вариант 7

1 . В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B xCxD j так, что С(1;0;0), В 1(0;0;1), А(0;1;0), В(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а)А ХВ и АС; б) D XB и В ХС; в) АСХ и D XB. 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (A B XD X); б) А ХВ и (А В ХС); в) B XD X и (А В ХС); г) А ХВ и (В С ^ ).3. Угол между плоскостями: а) А В ХС и А ВС Х; б) А В ХС и А ХВС Х; в) DXAC и В ХАС.

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA XB XCXD XE XF X, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А, В, F x, В х имеют координаты:

А ( ̂ ; - i ; 0 ), F ( 0;-1; 0 ), F x( 0; -1; 1), S x( ̂ ; 1). Построй- 2 2 2 2

те эту призму и координатным методом найдите:а) величину угла между прямыми А ХВ и B XF; б) синус угламежду прямой А ХВ и (BB iC ); в) косинус угла между (AXF E )и (СХА В ).

Вариант 8

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDAXB XCXD X так, что В(1;0;0), С^С^О;].), В(0;1;0), С(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно-координатным методом найдите:

141

1. Угол между прямыми: а) А гВ и АС; б) В гВ и В ХС; в )А С 1 и D XB. 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (А ВгВ г); б) А 1В и (А ВХС); в) B 1D 1 и (А ВгС); г) А ХВ и (BCXD ).3. Угол между плоскостями: а) А В гС и А В С г\ б) А В ХС и А гВ С г; в) Z^AC и В ХАС.

2. Правильная шестиугольная призма A BC D EFA 1B 1C1D 1E lF u все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В , С, D , D x имеют координаты:

в ф ± , 0 ) , С(0; 1; 0 ), П ( - А ;1 ;0 ), По-d dx dx dx dx dx

стройте эту призму и координатным методом найдите:а) величину угла между прямыми А гВ и С,1); б) синус угла между прямой D XB и (£ ,C Fj); в) косинус угла между (A iB iC ) и (BCijDi).

Вариант 9

1. В системе координат Oxyz расположен куб ABCDA1B lC1D 1 так, что А(1;0;0), С(0;1;0), П(0;0;0). Постройтеэтот куб. Векторно-координатным методом найдите:1. Угол между прямыми: а) А ХВ и АС; б) D jB и В гС; в)А С Х и D , В . 2. Синус угла между прямой и плоскостью: а) ВС и (A BxD,y, б) А ХВ и (ABjC ); в) B .D , и (ABjC ); г) А гВ и (BC^D).3. Угол между плоскостями: а) А В гС и АВС^; б) А В ХС и A iBC i; b JB jA C hBxA C .

2. Правильная шестиугольная призма A B C D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1, все ребра которой равны 1 , расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А х, В , С, D имеют координаты:

А ^ А - Л ) , В & ± ; 0 ), С (0; 1;0), 0). По-dx dx dx dx dx dx

стройте эту призму и координатным методом найдите:а) величину угла между прямыми А гВ и B XD; б) синус угла между прямой А гВ и (B D XD ); в) косинус угла между (ABC) и (С1А Е).

ГЛАВА 7. ШАРЫ И СФЕРЫ В КОМБИНАЦИЯХ С КУБОМ И ПРАВИЛЬНЫМ ТЕТРАЭДРОМ


При решении многих задач на комбинацию сферы и многогранника изображать сферу нет необходимости: достаточно, детально проанализировав заданную условием задачи геометрическую ситуацию, изобразить лишь ее центр. Кроме того, если сфера касается грани многогранника, то целесообразно построить («увидеть») точку их касания, а если сфера пересекает грань, то построить центр окружности их пересечения. После такого аргументированного анализа и построения нуж ных фигур следует «подобрать» теоремы, необходимые для доказательной и вычислительной частей решения данной задачи.

Необходимо знать, что: а) множество всех точек двугранного угла, равноудаленных от его граней, есть «биссекторная» полуплоскость (биссектор) данного угла: в ней лежат центры всех сфер, вписанных в этот угол;

б) множество всех точек пространства, лежащих внутри трехгранного угла и равноудаленных от его граней, есть луч прямой пересечения биссекторных полуплоскостей двугранных углов этого трехгранного угла: на этом луче лежат центры всех сфер, вписанных в данный трехгранный угол.

Сфера называется вписанной в многогранный угол, если она касается всех его граней.

Рассмотрим вопрос о центрах сфер, касающихся трех граней куба, имеющих общую вершину.

143

В г

В

В г

В

Вг

В

Вг

В

На рис. 138, 139 и 140 диагональные сечения A BC XD х, AlB xCxD, АССХА Х куба А В С Н А ^ С ^ , являясь биссекторами (почему?) его двугранных углов с ребрами соответственно А В, AD и ААХ, содержат центры всех сфер, вписанных в эти двугранные углы. Так как эти диагональные сечения имеют общую прямую АС 19 то диагональ АСг данного куба содержит множество всех точек куба, равноудаленных от всех трех его граней с общей вершиной А, и множество всех точек куба, равноудаленных от всех трех его граней с общей вершиной Сх. Это означает, что диагональ АСХ (рис. 141) куба ABCDA1B 1C1D 1 является носителем центров всех сфер (шаров), вписанных в трехгранные углы этого куба с вершинами А и Сх.

Аналогично, диагональ B D X куба ABCDA1B 1C1D l содержит центры всех сфер (шаров), вписанных в его трехгранные углы с вершинами В и D x. Таким образом, получили важный опорный факт, который следует знать и помнить: центр сферы, касающейся всех трех граней куба, имеющих общую вершину, леж ит на диагонали куба, исходящей из этой вершины.

144

Рис. 142Если сфера со с центром М радиуса R касается всех граней

куба ABCDA1B 1C1D 1, содержащих вершину А, соответственно в точках Н , К и Р (рис. 142), то: а) М Н _L (ABC), М К JL (ААХВ ), М Р J_ (AAXD) (почему?); б) М Н = М К = М Р = R (почему?);в) М Т L A B (почему?). Значит: а) отрезок М Т является диагональю квадрата со стороной R и имеет длину, равную R\J2 ;б) отрезок М А, соединяющий центр этой сферы с вершиной А, является диагональю куба с ребром, равным R, и имеет длину, равную Ryl3 . Таким образом, получаем еще один важный опорный факт, который следует знать и помнить: если сфера радиуса R касается всех трех граней куба, имеющих общую вершину, то расстояние о т центра сферы до: а ) каждой из этих трех граней куба равно R; б) данной вершины равно Ryj3 ; в ) каждого ребра, исходящего из данной вершины, равно Дл/2 .

Эти опорные факты используются при решении задач на комбинации сферы (шара) с кубом. Придерживаясь принципа «от простого — к сложному», сначала рассмотрим решение следующей подготовительной задачи.

Задача 1. Сфера радиуса 10 касается каждой из трех попарно перпендикулярных плоскостей. Найдите радиус сферы, касающейся этих трех плоскостей и данной сферы.

Решение. Пусть А — общая точка трех данных плоскостей, точка В — центр сферы со радиуса 10, точка О и R — соответственно центр и радиус сферы сог, касающейся этих трех плоскостей и сферы со.

145

Возможны два случая. 1 ) Сфера со х расположена между сферой со и точкой А; 2) сфера со расположена между сферойСО ! И ТОЧКОЙ А.

Случай 1. Пусть С — точка касания сфер со и со х (рис. 143). Тогда: АО = в Т з , А В = 107з, ОС = R, ВС = 10. Так как АО + ОС + ВС = А В , то = в Т з + Я + 10 = ю Т з или

В ( 7з +1) = 10(7з - 1 ),откуда R = 10^ ~ О = щ 2 _ /3).73 + 1

Случай 2. Пусть К — точка касания сфер (рис. 144). Тогда: А О = в 7 3, А В = ю Т з , О Я = В , В Я = 10. Так как О А - А В + В К + ОК, то в Т з = Ю Тз +10 + В или

В ( 7 3 - 1 ) = 10(7з + 1 ) , откуда В = * = 10(2 + yjs).л/З — 1

О т в е т : 10 (2-^51 0 (2 + 73).

Далее рассмотрим решения задач на комбинации сферы (шара) с кубом и правильным тетраэдром.

Задача 2. В куб ABCDA1B 1ClD 1 помещены два касающихся друг друга равных шара. При этом первый шар касается всех граней куба, содержащих вершину А, второй — всех граней куба, содержащих вершину С. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 17.

146

В

Решение. Обозначим: R — радиус данных шаров со г и со 2. Пусть точки ТеА С г и K g САг — их центры; Н и М — точки касания данных шаров с гранью ABCD куба (рис. 145), тогда К М ± (ABC), ТН Jl (ABC) (как радиусы, проведенные в точки касания).

Так как (А4ХС) _L (ABC) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей) и К е (А А гС), Те (А А гС), то Н е АС и M e АС, где АС = (ААхС)сл(АВС). Тогда А Н + Н М + М С = АС = 1772 , при этом М Н = К Т = 2R (расстояние между центрами данных касающихся шаров).

Так как А Т = СК = в Т з , Г Я = В Ж = В , то А Н = М С =

= вТ2 . Тогда имеем: 2вТ2 + 2 В =1772 , откуда В =

_ 17(2-У2) . g > (2 ^ )2(72 + 1)

О т в е т : 8,5 (2-72)

Задача 3. В куб ABCDAiB lC1D l помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 7:9. При этом первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая сфера касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 32.

I I V

Рис. 146Решение. Пусть сфера со х радиуса г касается всех граней ку

ба, содержащих вершину А, сфера со 2 радиуса R касается всех граней куба, содержащих вершину С19 при этом г : jR = 7 : 9; точки М еАС1 и К е А С 1 — центры этих сфер соответственно; Р еАСг — точка их взаимного касания (рис. 146).

Имеем: A M + М Р + Р К L К С г = АСХ. Так как A M = г>/з , КС г= r J 3 , М Р + Р К = г -I- R, АС1= 32у/3 , то получаем:гу/3 + г + R + RyJ3 = 32л/з . Из соотношения r : R = 7 :9 нахо-

7дим г = — R и получаем:

-Д л/з + - Д + Д + Д%/з = 32л/з => 16fl^ + 1) = 9 9 9

= 32n/3 => Д = 9 = 9 2,(3 ~4/3} = 9(3-л/3). Тогда (л/ 3 +1 ) 2

Г= 1 . 9(3-л/3) = 7(3-л/3).

О т в е т : 7 (3 - ^ )и 9 (3 - х / 3 ).

Задача 4. В куб А В С И А ^ С ^ ! помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 3 : 7 . При этом первая сфера касается всех граней куба, содержащих вершину А , вторая — всех граней куба, содержащих вершину D . Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 1 2 .

Решение. Пусть сфера со х радиуса г касается всех граней ку ба, содержащих вершину А , сфера со 2 радиуса R касается всех148

граней куба, содержащих вершину D, при этом г : Р = 3 : 7 ; точки К е А С г и M e D B 1 — центры этих сфер соответственно (рис. 147); Н и F — точки касания соответственно данных сфер с гранью ABCD куба, при этом Н е AC, F е DB (см. задачу 1). Тогда К Н L (A BC ), M F L (A B C ) (как радиусы, проведенные в точки касания).

Проведем в грани ABCD отрезки Н Т L A D , FP1.AJD (рис. 147). Длины этих отрезков равны радиусам сфер соответственно со ! и со 2 (почему?), то есть Н Т = г, F P = R. Тогда в равнобедренных прямоугольных треугольниках Н Е Т и M F P , катеты которых равны соответственно г и й , находим:

К Т = гл/2 , М Р = д%/2 ■Из перпендикулярностей H T L A D , F P L A D следует

К Т JL АП , М Р LA D (по теореме о трех перпендикулярах). А так как точки К и М лежат на пересекающихся диагоналях АСХ и D B U расположенных в плоскости ADC1, то точки Р , М , К и Т лежат в одной плоскости. Тогда из К Т LA D , М Р LA D следует КТ\\МР, значит, четырехугольник Р М К Т — прямоугольнаятрапеция с основаниями М Р = Рл/2 , К Т = г у/2 и боковой стороной М К = г L R.

Учитывая г : Р = 3

10- Д + д 7

-Д ,

7, имеем: г = —Д , тогда М К = г + R

149

Найдем высоту ТР этой трапеции, для чего проведем отрезок К Е || Т Р . Тогда К Е JL М Р , значит, АМ К Е — прямоугольный,в котором М К = г + В, M E = М Р - Р Б = М Р - К Т = В л/2 - г>/2 =

= n/2(# - г) = V2(R - - R ) = . Поэтому К Е = %/мАГ2 - М £ 2 =7 7

[ lO m2 ,472Дч2 2>/17Д п„ гу.п 2\/l7i?= у (— л ) - (— -— ) = — -— , следовательно, РТ = К Е = — -— .

Так как А Т = г, PD = Д (почему?), то из А Т + ТР + PD =лп 3 . 2 ^ й ± в (10 + 2л/17 )Д 10= AD получаем: — Д + + Д = 12=>---------- -— = 12 =>

7 7 7

=> я = - 7- ^ - ™ - Р ° - * Я т ) . .

10 + 2VT7 32

= 5,25-(5-Vl7). Тогда г = |- 7 0,75 (5 - Л 7 ) = 2,25 (5-л/17).

О т в е т : 2 ,2 5 (5 - Л 7 ) и 5 ,25 (5-V l7 ).

Задача 5. Дан куб с ребром 16. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

Решение. Пусть дан куб ABCD A lB lClD l с ребром 16. Найдем радиус сферы, проходящей через его вершины А, В и С, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

Обозначим: О — центр куба ABCDA^B^^D^, Н — центр его грани ABCD; S x — сфера, описанная около данного куба; S 2 — сфера, проходящая через его вершины А, Б и С и имеющая своим центром точку на сфере S x.

Найдем радиус В сферы S 2.Сфера S 2 проходит через вершины А, В и С квадрата ABCD,

значит, она проходит и через вершину D (почему?). Тогда ее центр М принадлежит прямой ОН как геометрическому месту всех точек пространства, равноудаленных от вершин квадрата A BC D . А так как центр этой сферы, кроме того, лежит на сфере S t, то точка X — искомый центр сферы S 2 — является точкой пересечения прямой ОН и сферы S x.

150

К

Рис. 148На рис. 148 изображена окружность оо х, описанная около

квадрата ABCD — пересечение сферы S 2 и плоскости основания ABCD данного куба; окружность со — диаметральное сечение сферы S x плоскостью диагонального сечения АССХА Х данного куба. Точки М и К пересечения прямой ОН и окружности оо большого круга сферы S x являются искомыми центрами двух сфер, проходящих через вершины А, Б и С данного куба. Радиус В х одной сферы равен КС, радиус В 2 другой сферы равен М С (рис. 148): В т = КС, R 2 = МС.

М

Рис. 149Найдем длины этих отрезков КС и МС, для чего рассмот

рим сечение сферы S x диагональной плоскостью А ХАС данного куба. Этим сечением является окружность оо с центром О

151

(рис. 149), радиус г = ОМ = ОСг которой равен половине диаго-1 бТзнали данного куба, то есть г = -----= 8л/3 . В прямоугольном

2

А СНК: СН = — = = 8^2 , К Н = О К - ОН = 8л/з - 8 =2 2

= 8(Т з -1). Тогда = КС = л/К Н 2-С Н 2 =

= J(8 (V 3 -1 )))2-(8V2)2 = 8^2(3 ->/3).

В прямоугольном А М НС: М Н = М О + ОМ = 8л/з + 8 = = 8(Тз+1). Тогда Д2 = М С = ^ М Н 2-Н С 2 =

= ^ (8Ь/з + 1))2 +(8^2)' =8^2(3 + 73 ).

О т в е т : 8^2(3- 7 3 ); 8^2(3+ 73) .Для решения содержательных стереометрических задач

необходимы умения верно и наглядно изображать фигуры, заданные условиями данных задач. Эти умения вырабатываются при решении опорных, базовых задач и достаточно большого числа задач различного уровня сложности с аргументированными обоснованиями конструктивного, логического и вычислительного характера.

Ниже иллюстрируются решения некоторых из опорных задач стереометрии и последующее их использование при решении задач на комбинации сферы и многогранника.

Задача 6. Сфера с центром Н радиуса 6 касается всех сторон квадрата ABCD. Чему равно расстояние от центра сферы до плоскости квадрата, если его сторона равна 6?

Н

152

Решение. Так как сфера касается всех сторон квадрата ABCD , то ее пересечением с плоскостью квадрата является окружность с центром О = A C n B D (рис.150), вписанная в этот квадрат, при этом ОН JL (ABC). Тогда точками касания сферы со сторонами квадрата являются середины его сторон — точки касания вписанной в квадрат окружности.

Пусть точка К — середина стороны ВС данного квадрата, значит, К — точка касания сферы с этой стороной.

Так как касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу, проведенному в точку касания, то O K L B C , откуда Н К А. ВС (по теореме о трех перпендикулярах), при этом Н К = 6 — радиус сферы, О К = 3 — радиус окружности сечения сферы.

В прямоугольном АН О К находим искомое расстояние:он = 7 н к 2 - ок2 = 7б2-з2 =з7з.

О т в е т : 3 7з .

Задача 7. Сфера с центром Н касается всех сторон правильного треугольника ABC. Чему равен радиус сферы, если расстояние от ее центра до плоскости треугольника равно 2л/б , а сторона треугольника равна 1 2 ?

Рис. 151

Решение. Пусть А К , В Т — медианы правильного треугольника ABC (рис. 151); О = А К п В Т . Так как сфера касается всех сторон правильного треугольника ABC , то ее пересечением с плоскостью этого треугольника является окружность с

153

центром в точке О, вписанная в этот треугольник, при этом О Н L (ABC). Значит, точками касания сферы со сторонами треугольника являются середины его сторон — точки касания вписанной в треугольник окружности.

Точка К — середина стороны ВС треугольника ABC — яв ляется точкой касания вписанной в него окружности, значит, точкой касания сферы с этой стороной. Поэтому отрезок Н К — радиус нашей сферы. Найдем радиус Н К .

В прямоугольном А К О Н с катетами ОН = 2\/б и О К = 2л/з находим:

H K = yJoH2 ~ О К 2 = 7(2л/б)2 +(2л/3)2 = 6.О т в е т : 6 .

Задача 8 . Сфера с центром Н касается всех сторон правильного шестиугольника A BC D EF . Чему равен радиус сферы, если расстояние от ее центра до плоскости шестиугольника равно 4л/б , а сторона шестиугольника равна 8?

Решение. Так как сфера касается всех сторон правильного шестиугольника A B C D E F , то ее пересечением с плоскостью этого шестиугольника является окружность с центром О = F C n B E (рис. 152), вписанная в этот шестиугольник, при этом О Н _L (ABC). Тогда точками касания сферы со сторонами шестиугольника являются середины его сторон — точки касания вписанной в шестиугольник окружности.

Я

Рис. 152

154

Пусть точка К — середина стороны ВС шестиугольника A B C D EF , значит, К — точка касания сферы с этой стороной, а отрезок Н К — радиус сферы.

Так как О Н = 4%/б — расстояние от центра сферы до плоскости шестиугольника, О К = 4 л/з — радиус окружности сечения сферы, то в прямоугольном АН О К находим радиус Н К сферы:

Н К - Щ Г - О К * ■■= / (К б )2 +(4-7з)2 = 12.О т в е т : 12.После такой подготовительной работы проиллюстрируем

применение выше рассмотренных опорных задач для решения стереометрических задач более высокого уровня сложности — задач на комбинации сферы и многогранника.

Задача 9. ABCDA1B 1C1D 1 — куб с ребром 12. Сфера с центром О касается всех ребер этого куба. Найдите: а) положение центра О сферы; б) радиус сферы; в) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра куба.

Решение. Сфера с центром О касается всех ребер куба ABC D AxBfi^y, поэтому ее пересечением с гранями куба я в ляются равные окружности, вписанные в его грани - равные квадраты (рис. 153). Это означает, что центр О сферы равноудален от всех граней куба, следовательно, совпадает с его центром — точкой пересечения диагоналей куба.

Пусть точка Н — центр окружности пересечения сферы с гранью BCClB 1, М — точка касания этой окружности с ребром В В Х. Тогда: М Н = 6 — радиус этой окружности; ОН _L (B jBC ),

ОН = — А В = 6 — расстояние о т центра О сферы до грани куба.2

Радиус ОМ сферы (М — точка касания сферы с ребром ку ба, значит, точка сферы) находим в прямоугольном А О М Н: О М =л]оН2~ М Н 2 = л/б2 +62 =6л/2. Так какО М 1 .В В 1 (по теореме о трех перпендикулярах), то ОМ = 6V2 — расстояние о т центра сферы до ребра куба.

Расстояние ОВ о т центра сферы до вершины данного куба равно половине его диагонали B D 1, то есть равно

1 ^ = б 7 з .2

О т в е т : центр сферы — центр куба; 6л/2 — радиус сферы; 6 — расстояние от центра сферы до грани куба; 6л/з — расстояние от центра сферы до вершины куба; 6л/2 — расстояние от центра сферы до ребра куба.

Задача 10. A BC A ^ C x — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 8 . Сфера с центром О касается всех ребер данной призмы. Найдите: а) положение центра О сферы;б) радиус сферы; в) расстояния от центра сферы до вершин, граней и ребер призмы.

Решение. Сфера с центром О касается всех ребер правильной призмы АВСАхВхСх. Это означает, что данная сфера пересекает все грани призмы по окружностям, вписанным в эти грани: в основаниях призмы получаем окружности, вписанные в правильные треугольники со стороной, равной 8 , а в боковых гранях — окружности, вписанные в квадраты со стороной, равной 8 (рис. 154). При этом радиус окружности, вписанной в боковую грань призмы, равен 4 , а радиус окру ж-

4л/3ности, вписанной в основание призмы, равен .3

156

МЛ

В

Рис. 154

Так как окружности пересечения, вписанные в основания призмы, равны, то центр О сферы равноудален от этих оснований, значит, точка О — середина отрезка Р К (рис. 154) с концами в центрах этих окружностей ( (А В С )!!^ ^ ^ )), поэтому OK = ОР = 4 — расстояние о т центра сферы до основания призмы.

Точками касания сферы с ребрами призмы служат точки касания окружностей, вписанных в ее грани. Эти точки яв ляются серединами ребер призмы.

Точка Н — середина стороны ВС треугольника ABC (рис. 154) — является точкой касания вписанной в него окружности, значит, точкой касания сферы с ребром ВС. Поэтому отрезок О Н — радиус нашей сферы. Найдем ОН.

В прямоугольном треугольнике ОН К :

о н =4 о к 2 - Н К 2 =, f +( ^ ) 2 = .V 3 3

8л/3Таким образом, радиус нашей сферы равен ~— ~

Далее: К Н L { B B XC), РК\\(ВВХС), О е Р К => р(0; (В гВС)) =

= p(isT; (В гВС )) = К Н — расстояние о т центра сферы до3

боковой грани призмы.Аналогично, КС ± СХС, РК\\СгС, О е Р К ==> р(О; (C tC)) =

157

8%/з й= (СгС)) = КС = —— — расстояние о т центра сферы до 1о

бокового ребра призмы. А так как сфера касается каждого ребра призмы, то центр сферы равноудален от всех ее ребер, значит, расстояние о т центра сферы до ребра основания призмы

8л/зтакж е равно3

В прямоугольном треугольнике ОСК: ОС = л1оК2 - С К 2 =,2 8%/з 2 4^214 + (——■■) = —-— — расстояние о т центра сферы до вер

шины призмы.О т в е т : центр сферы — середина отрезка с концами в цен-

8л/з Страх основании призмы; --- — длина радиуса сферы; '3

4n/3—— — расстояние от центра сферы до боковой грани призмы;о

8л/з 4л/21—— — расстояние от центра сферы до ребра призмы; -----—3 3

расстояние от центра сферы до вершины призмы.

Задача 11. A BC D EFA 1B 1C1D 1E 1F 1 — правильная шести- угольная призма, все ребра которой равны 16. Сфера с центром О касается всех ребер данной призмы. Найдите: а) положение центра О сферы; б) радиус сферы; в) расстояния от центра сферы до вершин, граней и ребер призмы.

Решение. Сфера касается всех сторон правильного шестиугольника A 1B 1C1D 1E 1F 1 — основания данной призмы, поэтому ее пересечением с плоскостью основания является окружность, вписанная в этот шестиугольник: центром окружности является центр Т шестиугольника A 1B lC1D 1E lF 1 (рис. 155). Точками касания сферы со сторонами шестиугольника A 1B 1CiD 1E 1F 1 служат середины его сторон — точки касания окружности, вписанной в этот шестиугольник.

Аналогично, точками касания сферы со сторонами шестиугольника A BC D EF служат середины его сторон — точки касания окружности, вписанной в этот шестиугольник.

158

Так как окружности, вписанные в равные шестиугольники, равны, то центр сферы равноудален от плоскостей этих окружностей — плоскостей оснований призмы. Это означает, что центр О данной сферы является серединой отрезка Р Т (точка Р — центр нижнего основания призмы) (рис. 155), то

есть ОР Р Т = 8 — расстояние о т центра сферы до основа 2

ния призмы.Пусть точки Н и Я — середины ребер А В и A jB , призмы. В

точке Н сфера касается ребра А В призмы, значит, отрезок ОН является радиусом данной сферы. Найдем длину отрезка О Н .

В правильном AAFB отрезок P H является высотой, значит, P H = 8л/3 . Тогда в прямоугольном АО Р Н :О Н = sjoP2- P H 2 =^82 +(8л/3)2 = 16.

А Н В Рис. 155

Таким образом, радиус данной сферы равен 16. А так как сфера касается всех ребер призмы и радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то расстояние от центра сферы до ребра призмы равно радиусу сферы, то есть равно 16.

Далее, P H L A B , P H 1А А г => P H _1_ {АХА В ) => р(Р; (А1А В )) == P H = 8\/з . А так как Р Т Ц ^ А В ) и О еРТ , то р(О; (АгА В )) = = р(Р; (А ]АВ)) = P H = 8>/3 , то есть расстояние о т центра сферы до боковой грани призмы равно 8л/з .

В прямоугольном ААОР: О А = V О Р2 ~ РА 2 = л/82 +162 = = 8л/б — расстояние от центра сферы до вершины призмы.

159

О т в е т : центр сферы — середина отрезка с концами в центрах оснований призмы; 16 — длина радиуса сферы; 8л/з — расстояние от центра сферы до боковой грани призмы; 8 — расстояние от центра сферы до основания призмы; 8л/б — расстояние от центра сферы до вершины призмы; 16 — расстояние от центра сферы до ребра призмы.

Далее, прежде чем решать следующую задачу, рассмотрим некоторое важное свойство тетраэдра.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом ее противоположной грани, называется медианой тетраэдра.

Докажем, что все четыре медианы тетраэдра пересекаю тся в одной точке и делятся этой точкой в отношении 3 :1 , считая о т вершины.

Пусть точки О и Т — центроиды граней соответственно ABC ж A P B тетраэдра РАВС (рис. 156); РО , СТ — его медианы, М = Р О п С Т — точка пересечения этих медиан (РО и СТ лежат в одной плоскости СРК). По свойству центроида треугольника имеем Р Т : Т К — СО : О К = 2 : 1 => О Т || СР (почему?), Р К : Т К = СК : ОК = 3 :1 , откуда С Р :О Т = 3 :1 . Тогда из подобия треугольников С РМ и ТОМ следует P M : М О = СМ : М Т = СР : ОТ = 3 :1 . (Предлагается самостоятельно доказать, что медианы тетраэдра, проведенные из вершин А и В , также проходят через точку М и делятся этой точкой в отношении 3 :1 , считая от вершины.) Точка М пересечения всех четырех медиан тетраэдра называется центроидом тетраэдра.

Р

160

Заметим, что доказанное свойство справедливо для любого тетраэдра. Это замечательное свойство тетраэдра следует помнить при решении задач. Воспользуемся и мы этим свойством.

Задача 12. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром 8. Найдите: а) расстояния от центра этой сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра; б) радиус сферы.

Решение. Пусть точка М — центроид правильного тетраэдра РАВС.

Тогда Р М : М О = 3 :1 , откуда следует, Р М = — РО,4

ОМ = I p o (рис. 157).

В правильном тетраэдре РАВС все медианы равны, поэтому его центроид равноудален от всех его вершин, значит, точка М — центр сферы, описанной около этого тетраэдра. Центроид М правильного тетраэдра также равноудален от всех его граней (медиана правильного тетраэдра перпендикулярна соответствующей его грани), поэтому он является центром сферы, вписанной в этот тетраэдр. (Об этом свидетельствует и тот факт, что в точке М пересекаются биссекторы двугранных углов тетраэдра при ребрах А В , АС и А Р). Таким образом, в правильном тетраэдре РАВС (рис. 157) имеем: Р М = R — радиус описанной сферы, ОМ = г — радиус вписанной сферы.

Р

161

По условию задачи, сфера касается всех ребер правильного I тетраэдра РА ВС . Тогда пересечением этой сферы с гранями щ тетраэдра являются равные окружности (они вписаны в рав- Я ные правильные треугольники — грани данного тетраэдра), щ Это означает, что центром этой сферы является точка тетраэд- Я ра, равноудаленная от его граней. Такой точкой в правильном я тетраэдре РАВС является его центроид М . Я

а) В прямоугольном АРОВ имеем: ОР = л/Р В 2 -О В2 = ■

828л/зТ _ 8%/б

\ V ~ J3 З'ч/бТогда: М Р = —•----= 2л/б — расстояние о т центра сферы4 3

до вершины тетраэдра; \1 8л/б 2л/б _ :О М = — —— = —— — расстояние о т центра сферы до «

грани тетраэдра . IДалее, В Я 1 АС, PO _L(ABC ) = > АС± (РВЯ) (почему?) => ]

=> М Д 1 АС (почему?) => длина М Д — расстояние о т центра |сферы до ребра тетраэдра . )

Найдем М Д . j1 !В прямоугольном АО М Н имеем: О Н = —В Я =о

1 8 ^ = 4л/§ о м = ^/б а М Н = y fo H ^ O M * ~3 2 3 3 i

4л/з л2+ 2л/б = 2л/2 . •

\ V / \б) Центр М сферы равноудален от граней правильного тет- \

раэдра РА ВС . От грани A BC точка М удалена на расстояние

2\/бО М = ----. При этом сфера пересекает эту грань по окружно-3

сти, вписанной в правильный треугольник A BC со стороной 8.

Радиус этой окружности равен О Н = — * 4л/з = • Значит,3 °

162

отрезок М Н = V О Я 2 ~ О М 2 = =2л/2 являет-V

ся радиусом нашей сферы.Замечание: Радиус сферы равен расстоянию от центра

сферы до ребра данного тетраэдра, так как эта сфера касается его ребер.

О т в е т : а) 2л/б— расстояние до вершины; — рас-3

стояние до грани; 2л/2 — расстояние до ребра; б) 2л/2 — длина радиуса сферы.

Сфера в комбинации с многогранником может быть расположена так, что некоторые его грани она пересекает, касаясь при этом других его граней. Примером может служить геометрическая ситуация, предложенная в следующей задаче.

Задача 13. Высота D H правильного тетраэдра DABC является диаметром сферы. Найдите длину линии пересечения сферы поверхностью тетраэдра, если высота тетраэдра равна 6.

Решение. Основание Я высоты D H правильного тетраэдра ABCD является центроидом правильного A B C . Так как высота D H является диаметром сферы, то эта сфера касается грани ЛВС в точке Я (рис. 158).

Высота D H правильного тетраэдра ABC D принадлежит писсекторным плоскостям двугранных углов при боковых ребрах этого тетраэдра, поэтому центр O e D H данной сферы равноудален от всех трех его боковых граней. Это означает, что в пересечении сферы с плоскостями этих граней получаются равные окружности, при этом точка D является общей для всех трех окружностей, а окружности каждых двух соседних боковых граней пересекаются на общем ребре этих граней.

Найдем длину линии пересечения грани В В С со сферой.

вРис. 158

Пусть D F — медиана грани В В С и Z H FD = ос. ТогдаH F 1cos а =--- = — .FD 3

Так как (A F D )l(B C D ), то центр Ох окружности пересечения сферы и грани DBC принадлежит медиане D F , при этом O O i± D F . (Если точка К — центроид грани В В С , то Ai£ 1_ (BCD ), Я е D B и ООх || A ff.) Тогда в прямоугольном АООгВ

2 у/2находим: OjD = OD-sin а = 3-----= 2\/2 — длина радиуса ок-3

ружности пересечения сферы с плоскостью грани В В С .Так как Z В В С = 60°, то пересечением грани В В С и сферы

является третья часть окружности радиуса 2\[2 , то есть дуга2к-2\1~2 4л/2 m

этой окружности, имеющая длину ---;--- =----к . Зогда ли-3 3ния пересечения сферы и боковой поверхности тетраэдра представляет собой объединение трех таких дуг и имеет дли

ну, равную 71 ' 3 = 4кл/2 .

О т в е т : 4ттл/2 .

164


1. В куб помещены два касающихся друг друга равных шара. Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 7.

2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 3 :5 . Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 16.

3. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между двумя точками, одна из которых лежит на сфере, вписанной в куб с ребром 1 , а другая — на сфере, описанной около этого куба.

4. Дан куб А ВС ВА 1В 1С1В 1 с ребром 1. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром13. Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.

Вариант 2


2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 3 :7 . Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вер

Вариант 1

165

шину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 20 .


4. Дан куб ABC D A^ .C .D , с ребром 2. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


Вариант 31. В куб помещены два касающихся друг друга равных шара.

Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 8 .



4. Дан куб ABCD A1B lC1D 1 с ребром 3. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

166

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром1 1 . Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.

Вариант 4

1. В куб помещены два касающихся друг друга равных шара. Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 1 0 .

2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 2 :9 . Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 22 .

3. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между двумя точками, одна из которых лежит на сфере, вписанной в куб с ребром 4, а другая — на сфере, описанной около этого куба.

4. Дан куб ABCD A lB 1ClD l с ребром 4. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром 1 0 . Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.

Вариант 5

1. В куб помещены два касающихся друг друга равных шара. Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 9 .

167

2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 3:4. Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 14.


4. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром 5. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром 9. Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.

Вариант 6

1. В куб помещены два касающихся друг друга равных шара. Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 1 1 .

2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 2 : 7. Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 18.


168

4. Дан куб ABCDAlB 1ClD l с ребром 6 . Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром8 . Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.Вариант 7


2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 3:8. Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 22 .


4. Дан куб ABCDA1B lClD 1 с ребром 7. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.



Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

169



4. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром 8 . Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром6 . Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.

Вариант 9




170




Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той лее грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 2 1 .

2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 1 :4 . Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 1 0 .





Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну

171

его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 16.


3. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между двумя точками, одна из которых лежит на сфере, вписанной в куб с ребром 1 1 , а другая — на сфере, описанной около этого куба.

4. Дан куб ABCDA^^CiDy с ребром 11. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


Вариант 12



3. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между двумя точками, одна из которых лежит на сфере, вписанной в куб с ребром 1 2 , а другая — на сфере, описанной около этого куба.

172


5, Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром2. Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.





4. Дан куб ABCDAlB lClD l с ребром 13. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.



Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба* Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 28.

173



4. Дан куб ABCDAlB 1C1D 1 с ребром 14. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром 25. Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.Вариант 15





174


Вариант 16


2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 3 : 13. Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 32.


4. Дан куб ABCDAlB 1C1D 1 с ребром 16. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


Вариант 17


175



4. Дан куб ABCDA1B lCiD 1 с ребром 17. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


Вариант 18


2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 7:4. Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 22 .


176

4. Дан куб ABCDAlB lClD 1 с ребром 18. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.






4. Дан куб ABCDA1B 1ClD 1 с ребром 19. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.




177

2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 6 : 5 . Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 22 .

3. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между двумя точками, одна из которых лежит на сфере, вписанной вкуб с ребром 20 , а другая — на сфере, описанной около этого куба.

4. Дан куб ABCDA1B 1C1D 1 с ребром 20. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, еслицентр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


Вариант 21


2. В куб помещены две касающиеся друг друга внешним образом сферы, радиусы которых относятся как 7:5 . Первая сфера касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, вторая касается всех его граней, содержащих противоположную ей вершину этого куба. Найдите радиусы этих сфер, если ребро куба равно 24.

3. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между двумя точками, одна из которых лежит на сфере, вписанной вкуб с ребром 2 1 , а другая — на сфере, описанной около этого куба.

178

4. Дан куб ABCDA1B lC1D 1 с ребром 21. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.

5. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром 18. Найдите: а) радиус сферы; б) расстояния от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.Вариант 22

1. В куб помещены два касающихся друг друга равных шара. Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 37 .



4. Дан куб ABCDA1B lC1D l с ребром 22. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


Вариант 23

1. В куб помещены два касающихся друг друга равных шара. Первый шар касается всех граней куба, содержащих одну

179

его вершину, второй — всех граней куба, содержащих противоположную ей вершину в той же грани куба. Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 26.



4. Дан куб ABCD AlB 1ClD 1 с ребром 23. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


Вариант 24



180




Вариант 25




4. Дан куб ABCDAlB lClD 1 с ребром 25. Найдите радиус сферы, проходящей через три его вершины одной грани, если центр этой сферы лежит на сфере, описанной около данного куба.


181

ГЛАВА 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА

Свойства преобразований пространства

Преобразованием пространства называется взаимнооднозначное отображение пространства на себя.

Если преобразование пространства обозначить буквой g, то запись g*(A) = А ’ означает, что точке А пространства ставитсяв соответствие точка А' этого пространства. Точка А' называется образом точки А, а точка А — прообразом точки А' при данном преобразовании g.

Сущность понятия «геометрическое преобразование пространства» в геометрии, по сути, та же, что и сущность понятия «функция числового аргумента» в алгебре: геометрическое преобразование пространства можно рассматривать как своеобразную «геометрическую функцию», областью определения и множеством значений которой являются точечные множества — геометрические фигуры. При этом понятия «образ» и «прообраз» в теории геометрических преобразований являются аналогами понятий «значение функции» и «значение аргумента» в теории числовых функций.

Фундаментальным является свойство любого геометрического преобразования взаимно-однозначно отображать любую фигуру на ее образ, а пересечение любых двух фигур — на пересечение их образов при этом преобразовании.

Для всяких двух преобразований g1 и g2 пространства можно построить третье преобразование которое называют композицией преобразований gx и g2 и обозначают символически g3 = g2o gl9 при этом имеем: gr (М ) = М', g2 (М г) = М " =>

й (М) = (& О (М) - й fei (М )) = ft (М') = М". При таком определении композиции g2 о g1 преобразований gx и g2 сначала применяется преобразование ^ («правое») и к его результату применяется преобразование g2.

Введенное обозначение естественно: запись ( g 2o g j (М ) = = g2( gL (М )) в теории геометрических преобразований аналогична записи (f2 о fY )(х) = f2(fi(x)) в теории функций. Иначе говоря, понятие «композиция преобразований» в курсе геометрии аналогично понятию «сложная функция» («суперпозиция функций») в курсе алгебры.

Преобразование пространства , при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками , называется движением пространства.

Движение пространства отображает любой тетраэдр на равный ему тетраэдр. Необходимо знать важное свойство движений: или ориентация любого тетраэдра остается неизменной при данном движении (движении первого рода), или ориентацию любого тетраэдра это движение меняет (движение второго рода).

Преобразование пространства , при котором каждая точка пространства отображается на то чку , симметричную ей относительно точки О, называется центральной симметрией пространства относительно точки О. При этом точка О отображается на себя и называется центром симметрии.

Симметрию с центром А будем обозначать ZA, символическая запись ZA(M ) = М ' обозначает (читается): точка М при симметрии относительно центра (точки) А отображается на точку М ' или точка М ’ является образом точки М при симметрии с центром А, или точки М и М ' центральносимметричны относительно точки А. Центральная симметрия — движение пространства.

Преобразование пространства , при котором каждая точка пространства отображается на то чку , симметричную ей относительно плоскости а, называется с и м м е т р и е й

пространства относительно плоскости а. Плоскость а называется плоскостью симметрии. Симметрия относительно плоскости — движение пространства.

Если фигура F при симметрии относительно некоторой плоскости а отображается на себя, то говорят, что эта фигура имеет плоскость симметрии (фигура F симметрична относительно плоскости а).

Параллельным переносом на вектор а называется такое преобразование пространства , при котором любая точка М отображается на такую точку М \ ч то выполняется векторное равенство: М М ' = а .

183

Символическая запись р (К ) = Н обозначает (читается): точка К при параллельном переносе на вектор р отображается на точку Н или точка Н является образом точки К при параллельном переносе на вектор р ; причем К Н = р . Параллельный перенос пространства также является движением.

Поворотом пространства вокруг ориентированной прямой I на угол ср называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка прямой I о стается неподвижной и в каждой плоскости, перпендикулярной прямой I, индуцируется поворот ее на угол ср вокруг точки пересечения этой плоскости с прямой I.

Ориентированная прямая I называется осью вращения (осью поворота), а угол ср — углом поворота. Поворот вокруг оси I на угол ф обозначается Щ . Если при повороте вокруг оси I на угол ф точка М отображается на точку М \ то пишут:

Поворот вокруг оси I на угол ф = 180° называется осевой симметрией пространства и обозначается S L. Ось вращения называется осью симметрии. Таким образом, Rt 180° = S (.

Если при симметрии относительно прямой / фигура F отображается на себя, то прямую I называют осью симметрии этой фигуры.

Следует обратить внимание на композиции зеркальной симметрии с параллельным переносом и поворотом вокруг оси, а также на композицию поворота вокруг оси и параллельного переноса. Композициями этих движений являются следующие три специальных («сложных») вида движений:

а) «скользящая симметрия» — композиция симметрии S a относительно плоскости а и параллельного переноса на вектор р , который параллелен этой плоскости (рис. 159);

б ) зеркальный поворот композиция поворота R (?a на угол Ф вокруг оси а и симметрии S a относительно плоскости а , перпендикулярной этой оси (рис. 160);

в) винтовое движение — композиция поворота R ̂ на угол ф вокруг оси а и переноса на вектор р , который параллелен этой оси (рис. 161).184

Рис. 159 Рис. 160Гомотетией пространства с центром О и коэффициен

том k ^0 называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М ',что О М ' = k 'O M .

Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают . Подобием пространства с коэффициентом k ( обознача

ю т P k , k>0 ) называется такое преобразование пространства , при котором расстояние между любыми двумя то чка ми изменяется в k раз, т.е. для любых двух точек А и R длина отрезка А В ' равна k \АВ\, где А = P k( А ) и В ' = P k ( В ) .

Подобие пространства называют также преобразованием подобия. Если при этом подобии фигура F отображается на фигуру F ' , то пишут Р к( F ) = F ’ и говорят, что фигура F f подобна фигуре F.

Подготовительный набор задач Задача 1. Даны точки А(-3; 2; 4) и В (- 1; 2; 6). Найдите ко

ординаты образа точки В при композиции центральных симметрий: a) ZAoZQ; б) Z 0oZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ обоснуйте.

Решение. Найдем (ZAoZQ)(B ) и ( Z CJoZA)(B).а) Пусть = Z Q(B), B 2(x2;y2;z2) - ZA{B X). Тогда,

пользуясь координатными формулами симметрии относительно начала координат, получаем: хг = 1 ; ух = '-2 ; zx = -6 . Так как В 2(х2; у21 z2) = ZA{B X) (где В х( 1 ; -2 ; -6)), то точка А(~3; 2; 4) — середина отрезка Тогда по формулам деле-

1 + Хсния отрезка пополам им еем :--- - = -3, откуда х2 = 2 • (-3) -

1 = -7. Аналогично, Y22

2-2 + 2 6;

185

Z 2 = 2-4 + 6 = 14. Таким образом, (ZAoZ0)(B) = В 2(-7; 6; 14).б) Пусть С1(х1; y t; zx) = ZA (Б ), С2(х2; у2; z2) = Z0{C^. По фор-

мулам деления отрезка пополам имеем: х1 = 2 (-3 ) - (- 1 ) = = -5; у1 = 2 - 2 - 2 = 2; = 2- 4 - 6 = 2. Получаем: Сх(-5; 2; 2).Тогда для точки С2(х2; z/2; z2) = ^0(Сг) имеем: х2 = 5;

у2 = -2; г2 = -2. Таким образом, ( Z QoZA)(B ) = С2(5; -2; -2). Так как точки Б 2(-7; 6; 14) = (ZAoZ0)(B ) и С2(5; -2; -2) =

= (Z0oZA)(B ) различны, то ZAoZ0 Ф ZQoZA, то есть композиция преобразований некоммутативна.

Задача 2. Напишите уравнения образа прямой т : х =-3-2t,

< у =-5 + 31, t е R 2 = -t,

при симметрии относительно начала координат.Решение. Центральная симметрия с центром в начале коор

динат отображает точку А (-3; -5; 0) данной прямой т и ее направляющий вектора р (-2; 3;-1) соответственно на симметрич

ные им точку А х(3; 5; 0) и вектор рх (2; -3; 1). Тогда искомые параметрические уравнения прямой т х = Z0(m) имеют вид:

х =3 + 21,< у = 5-3£, t е R.2 = t,

—2 3 —1Так как — = — = — , то направляющие векторы 2 —3 1

р (-2 ; 3; - 1 ) и рх (2 ; -3; 1 ) прямых т и т х коллинеарны (они противоположны). Это означает, что образом данной прямой при центральной симметрии является параллельная ей прямая.

Замечание. Учитывая коллинеарность векторов р (-2; 3; -1) и

Pj (2 ; -3; 1 ), в качестве направляющего вектора прямой т 1 можно принять направляющий вектор прямой т . Поэтому прямая пг1 может быть задана и такими параметрическими уравнениями:

х =3-2t,< у = 5 + 3£, t е R.2 =-£,

186

Задача 3. Напишите уравнения образа прямой т :х =3-2 £,

< z/ = 5 + 3£, t ei?2~~t,

при симметрии относительно плоскости Оху.Решение. Симметрия относительно плоскости Оху обозна

чается S (0xy). Если образом точки М (х; у; г) при симметрии S(oxlj) является точка М'(х'; у'; 2 f), то: х' = х, у' = р, = -г. Такими же соотношениями связаны координаты любого вектора и его образа при симметрии S {0xy).

Точка А(3; 5; 0)е т расположена в (Оху), поэтому при сим метрии S (0xy) она отображается на себя; направляющий век-тор р (-2; 3; -1) данной прямой при этой симметрии отобра

жается на вектор q (-2; 3; 1), который служит направляющим для прямой т 1 = S (0xy)(m). Поэтому параметрические уравнения прямой М г имеют вид:

х = 3 - 2 1,

< у = 5 + 3/, t g R. z = t,

Задача 4. Напишите уравнение образа плоскости а : 2х~\~3у- 2 - 5 = 0 при симметрии относительно плоскости 0 X 2 .

Решение. Точка А(1; 1; 0)е а при симметрии S i0x2) отображается на точку Ах(1; -1; 0). Так как при движении величина угла между прямой (вектором) и плоскостью инвариантна, товектор я (2; 3; -1) нормали плоскости а отображается приэтой симметрии на вектор т (2; -3; -1), который служит вектором нормали для плоскости р = S (0x2){ а ). Поэтому общее

уравнение плоскости (3 = (Ах; т ) имеет вид: 2 (х - 1) - 3(у + 1) - - (г - 0) = 0 или 2х - 3у - 2-5 = 0.

Задача 5. Даны точки А(1; 3; -1) и В (7; 5; -1). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В .

Решение. Так как середина любого отрезка является его центром симметрии, то при симметрии относительно точки

187

(4; 4; -1), являющейся серединой отрезка А В , точка А отображается на точку В .

Параллельный перенос может быть задан как вектором переноса, так и парой соответственных точек. В нашем случае точка А отобразится на точку В при параллельном переносе на вектор А В (6 ; 2; 0).

Из определения пар точек, симметричных относительно плоскости, следует, что точка А отобразится на точку В при симметрии относительно плоскости а, перпендикулярной отрезку А В и проходящей через его середину.

Составим уравнение плоскости а, для чего в качестве вектора нормали этой плоскости выберем вектор п (3; 1 ; 0), кол-линеарный вектору А В (6 ; 2; 0), а в качестве «данной» точки плоскости а примем середину С(4; 4; -1) отрезка А В . Тогда получаем следующее уравнение плоскости а симметрии S a:

3(х - 4) + (у - 4) = 0 или Зх + у - 16 = 0.Точка А может быть отображена на точку В также при

симметрии относительно прямой, перпендикулярной отрезку А В и проходящей через его середину. В качестве направляющего вектора этой прямой примем вектор р(1;-3;0), перпен

дикулярный вектору п (3; 1 ; 0), а в качестве ее «начальной» точки — точку С(4; 4; -1). Эта ось симметрии точек А и В задается параметрическими уравнениями:

х = 4 + £,

< у = 4-3tyt eR. z = - l,

Задача 6 . ABCDA1B 1C1D 1 — куб. Движение f пространства таково, что /(А) = Cl9 f (B x) = D , /(В) = D l9 f(C) = А г. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

Указание. Достаточно на изображении данного куба ABCDA1B iC1D 1 вместо вершин А, В 19 В , С «поставить» соответственно их образы при данном движении. Тогда на основании того, что движение может быть задано двумя равными тетраэдрами, приходим к выводу: при движении /, заданном тетра

188

эдрами А В гВС и С ^ Б Б ^ , вершины A l9 D l9 Cl9 Б данного куба отображаются на его вершины соответственно С, В , А, В х.

Задача 7. ABCDA1B 1ClD l — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой АСХ на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая B XD; б) четырехугольник A^xCD; в) тетраэдр A XCXBD ? Ответ необходимо обосновать.

Рис. 162Указание. а) Обозначим: Н = АСг n {AXBD), К = АСг n (B ^ jC )

(рис. 162), при этом: АСг JL (А ^ Б ), АСг 1_ (В ^ С ); точки Н и К — центроиды правильных треугольников A XBD и В ^ С . При повороте вокруг прямой АСг плоскости A jB B и В ^ С самосовмеща- ются, а так как Z D H B = Z B 1K D 1 = 120°, то при вращении вокруг прямой АСХ на угол 120° вершина В х отображается на вершину D l9 а вершина D — на В . Это означает, что образом прямой B XD при этом повороте является прямая DXB.

б) При повороте вокруг прямой АС\ на угол 120° вершина А т отображается на вершину Б , В 1 — на Б 1? С — на В г, Б — на В , значит, четырехугольник A XB XCD отображается на равный ему четырехугольник Б Б 1В 1В .

в) При повороте вокруг прямой АСХ на угол 120° тетраэдр A XCXBD отображается на себя (почему?).


Вариант 1

1. ABCDAlB lC1D 1 — куб. Движение f пространства таково, что /(Б) = B l9 f(A) = Cl9 f(C ) = А Х9 / (Б г) = В . Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

189

2. ABCDA1B 1C1D 1 — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой B D 1 на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая А ХС; б) четырехугольник А ВС ХВ Х\ в) тетраэдр A iBC xD l Ответ необходимо обосновать.

3. ABCDAlB lClD l — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр A XBC XD при композиции симметрий относительно плоскостей А ВС г и B XCD? Ответ обоснуйте.

4. Рассматривается симметрия относительно плоскости, заданной уравнением 2х + Зу - г + 2 = 0. Запишите, если это возможно: а) координаты неподвижной точки этой симметрии; б) параметрические уравнения такой прямой, которая неподвижна при симметрии относительно плоскости а, но не все точки этой прямой являются неподвижными при данной симметрии; в) уравнение такой плоскости, которая неподвижна при симметрии относительно плоскости а, но не все точки этой плоскости являются неподвижными при данной симметрии; г) уравнение такой сферы, которая неподвижна при симметрии относительно плоскости а, но не все точки этой сферы являются неподвижными при данной симметрии. Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А(3; 5; 7) и В (7; 3; 5). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:a) ZAoZQ\ б) Z QoZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6 . Даны точки А(1; 3; -1) и В(5 ; 7; -3). Приведите примеры движений, отображающих точку Л на точку В . Ответ необходимо обосновать.

Вариант 21. ABCDAlB 1ClD l — куб. Движение f пространства таково,

что /(В) = Cl9 f(B i) = С, f(Ai) = В , f(Cx) = D. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

2. ABCDA1B lCiD1 — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой АСг на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая B XD ; б) четырехугольник Л 1В 1СВ; в) тетраэдр А 1С1В В ? Ответ необходимо обосновать.

190

3. ABCDA1B 1C1D 1 — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр А гСгВ В при композиции симметрий относительно плоскостей А гВС и А В ХСх? Ответ обоснуйте.

4. Прямая задана параметрическими уравнениямих — -б + 3/,

< у = 2, t е В . Напишите параметрические уравнения2 = 7 ~t,

прямой, которая является образом заданной прямой:а) при параллельном переносе на вектор р (3; 0 ; - 1 ); б) при

параллельном переносе на вектор г (2 ; 1 ; -3); в) при центральной симметрии относительно точки А(3; 0; -1). Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А(5; -5; 1) и В(-2; 7; 4). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:a) ZAoZQ; б) ZQoZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6. Даны точки А (4; 3; -2) и В (6 ; 5; -4). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.

Вариант 3

1. ABCDA1B 1C1D 1 — куб. Движение / пространства таково, что /(В) = В ]? /(С) = A U f(D) = A, f(Dx) = D. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

2. ABCDAxBiC iD i — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой АСХ на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая А гС ; б) четырехугольник ABCiDp, в) тетраэдр A xC iBD ? Ответ необходимо обосновать.

3. ABCD A iB iC iD i — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр A C BxDi при композиции симметрий относительно плоскостей А гВС и А В 1С1? Ответ обоснуйте.

191

/4. Прямая задана параметрическими уравнениями

х — -5 ~ь 3t,< у = 2, t е JR. Напишите параметрические уравнения2^1 ~t,

прямой, которая является образом заданной прямой: а) при центральной симметрии относительно точки В ( 1; 2; 5);б) при симметрии относительно плоскости Оху; в) при повороте на угол 180° вокруг оси аппликат. Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А(-5; -5; -5) и В (3; 4; 3). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:a) ZAoZ0; б) Z 0oZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6. Даны точки А(2; 3; -4) и В(4 ; 5; -2). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.

Вариант 4

1. ABCDA1B 1C1D 1 — куб. Движение f пространства таково, что Д В) = В х, f(Ax) = С, f(Dx) = Z), f(D) = А. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

2. ABCDAXB XCXD X — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой АСХ на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая B D X; б) четырехугольник BC D XA X; в) тетраэдр A C BXD X1 Ответ необходимо обосновать.

3. ABCDAXB XCXD X — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр A C BXD X при композиции симметрий относительно плоскостей А ВС Х и B XCD? Ответ обоснуйте.

4. На плоскости х - Зу + Ъг = 3 найдите множество всех точек, неподвижных при симметрии относительно плоскости 2х - 7у 4- 6г = 1; запишите это множество в координатной форме. Ответ необходимо обосновать.

192

5. Даны точки А(5; 5; 5) и В(-3; -4; -3). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:a) ZAoZQ; б) ZQoZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6. Даны точки А(1; 3; -7) и В (7; 5; -1). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.

Вариант 5

1. ABCD AXB XCXD X — куб. Движение / пространства таково, что /(Aj) = С, /(В) = A , f(Cx) = В х, f(D x) = Сх. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

2. ABCD AXB XCXD X — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой B D X на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая А ХВ Х; б) четырехугольник ADCXB X; в) тетраэдр A XB C XD? Ответ необходимо обосновать.

3. ABCD AXB XCXD X — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр A C BxD xnри композиции симметрий относительно плоскостей АССХ и B XBD1 Ответ обоснуйте.

4. Дана точка А(-3; 2; 5). Найдите образ этой точки: а) при симметрии относительно начала координат; б) при симметрии относительно плоскости Оу2 ; в) при повороте на 90° относительно оси Ох; г) при параллельном переносе навектор а (- 1 ; 2 ; -3); д) при симметрии относительно точки Н ( 1; 2; 0). Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А(4; -4; 0) и В (—1; 2; 4). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:a) ZAoZQ; б) ZQoZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6. Даны точки А(2; 5; -1) и В (6 ; 5; -3). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.

193

Вариант 6

1. ABCD AlB 1C1D 1 — куб. Движение f пространства таково, что f (B x) = B l9 /(С) = A, f(Cx) = В , f(D х) = С. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

2. ABCDA1B 1C1D 1 — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой А ХС на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая B D X; б) четырехугольник BD D XB X; в) тетраэдр D XA C BX1 Ответ необходимо обосновать.

3. ABCD A1B 1C1D l — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр A XA BD при композиции симметрий относительно плоскостей АССХ и B XBD ? Ответ обоснуйте.

4. Рассматривается симметрия относительно плоскости 2х + Зу - z + 2 = 0. Запишите, если это возможно: а) координаты какой-нибудь неподвижной точки этой симметрии; б) параметрические уравнения какой-нибудь прямой, неподвижной при этой симметрии; в) уравнение какой- нибудь плоскости, неподвижной при этой симметрии;г) уравнение какой-нибудь сферы, которая неподвижна при этой симметрии. Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А(-3; -1; -3) и В(5 ; 6 ; -2). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий: a) ZAoZQ; б) Z 0oZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6. Даны точки А (4; 8 ; -1) и В (6; 2; -5). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.

Вариант 7

1. ABCDA1B 1C1D 1 — куб. Движение / пространства таково, что f (B x) = В , Д В) = D l9 f(A) = Cl9 f(C) = А г. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

194

2. ABCDA1B 1C1D 1 — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой А ХС на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая А гВ х; б) четырехугольник АССХА Х; в) тетраэдр DAxB C il Ответ необходимо обосновать.

3. ABCD AlB 1C1D l — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр В ХВАС при композиции симметрий относительно плоскостей B B XD и АССХ? Ответ обоснуйте.

4. Дана точка А(3; -7; 1). Найдите образ этой точки: а) при симметрии относительно начала координат; б) при симметрии относительно точки С(1; 2 ; 0); в) при симметрии относительно плоскости Оху; г) при параллельном переносе на вектор г (-2 ; 1 ; -3); д) при повороте на угол 90° относительно оси Оу. Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А(2; 2; 2) и В(2 ; 3; 4). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:a) ZAoZQ; б) Z 0oZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6. Даны точки А(1; 3; -1) и В (- 9; -5; 1). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.Вариант 8

1. ABCDA1B lC1D 1 — куб. Движение f пространства таково, что /(А) = С19 /(В) = D l9 f(D) = B l9 f(Ax) = С. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

2. ABCDA1B 1ClD l — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой А ХС на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая В В Х; б) четырехугольник А ВС ХВ Х; в) тетраэдр В В А ^ ? Ответ необходимо обосновать.

3. ABCDA1B 1C1D l — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр CCXBD при композиции симметрий относительно плоскостей B B XD и АССХ2 Ответ обоснуйте.

4. Докажите, что композиция SpoSa двух симметрий относительно плоскостей а и р , заданных соответственно уравне

195

ниями z = 0 и г = -3, есть параллельный перенос пространства. Найдите координаты вектора этого переноса и напишите уравнение какой-нибудь плоскости, неподвижной при этом переносе. Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А(2; -2; 4) и В (3; 7; -5). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:a) ZAoZ0; б) Z0oZA, где точка О —- начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6. Даны точки А(10; 3; —4) и В (—4; 5; —2). Приведите примеры ' движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.Вариант 9

1. ABCDAlB 1C1D 1 — куб. Движение / пространства таково, что /(АД = С, /(В,) = D, /(СД = А, /(В) = D x. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении. Ответ необходимо обосновать.

2. ABCDAlB lClD 1 — куб. Рассматривается поворот вокруг прямой B XD на угол 120°. На какую фигуру при этом повороте отображается: а) прямая A jB j; б) четырехугольник ADC iBi, в) тетраэдр А, ВС^В? Ответ необходимо обосновать.

3. ABCDAiBjCiDx — куб. На какую фигуру отобразится тетраэдр ACDDX при композиции симметрий относительно плоскостей ВВхВ и АССД Ответ обоснуйте.

4. Докажите, что композиция SpoSa двух симметрий относительно плоскостей а и р , заданных соответственно уравнениями z = 0 и х = 0, есть поворот пространства. Найдите ось и угол этого поворота. Ответ необходимо обосновать.

5. Даны точки А (6; 5; -3) и В (- 5; -4; 6). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий:а) ZAoZQ; б) Z 0oZA, где точка О — начало координат. Совпадают ли образы точки В при этих преобразованиях? Ответ необходимо обосновать.

6 . Даны точки А(4; 3; -2) и В(2 ; 3; -4). Приведите примеры движений, отображающих точку А на точку В . Ответ необходимо обосновать.

196

ОСНОВНЫЕ ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А, В , С, М , Р, Q — точки а, Ь, с, т ,р , q — прямые А В — прямая, проходящая через точки А и В а, |3, у — плоскости(ABC) — плоскость, проходящая через точки А, Б и С (а; А ) — плоскость, проходящая через прямую а и точку А A(BC )D — двугранный угол с ребром ВС и гранями ABC

и DBCа а р — двугранный угол с ребром а и гранями а и р Z (а, Ь) — угол между прямыми а и Ь Z (а, а) — угол между прямой а и плоскостью а Z (а, Р) — угол между плоскостями а и р A ABC = А А 1В 1С1 треугольник ABC равен треугольнику

Zi-i-BiCiA ABC ~ А А 1В 1С1 — треугольник ABC подобен треуголь

нику А 1Б 1С1а || a — прямая а параллельна плоскости aa L a — прямая а перпендикулярна плоскости a A g a — плоскость а проходит через точку А а с а — плоскость а проходит через прямую а A g а — плоскость а не проходит через точку А а & а — прямая а не лежит в плоскости a a n a = А прямая а пересекает плоскость а в точке АА Б ,|А В |; р(А; В ) длина отрезка А В ; расстояние между

то чкам и А и Бр (А; р) — расстояние от точки А до плоскости р р (а; Ъ) — расстояние между прямыми а и Ъ р (a, Р ) — расстояние между плоскостями а и р=> знак следования; заменяет слова «следовательно»,

«поэтому» и т.п.<=> — знак равносильности; заменяет слова «тогда и только

тогда», «необходимо и достаточно» и т.п.

197

ПРИЛОЖЕНИЕ

РА БО Ч И Е Т ЕО РЕМ Ы П Л А Н И М ЕТРИ И

Алгоритмов решения геометрических задач, вообще говоря, не существует. Удачный же выбор нужной теоремы в каж дом конкретном случае обусловлен решением большого количества задач, при котором и нарабатывается опыт выбора «оптимального» способа решения данной задачи. (Здесь уместно вспомнить слова А.С. Пушкина: «... И опыт — сын ошибок трудных...».)

Успешность решения геометрической задачи во многом зависит от знания теории и умения ее применять. Безусловно, все теоремы геометрии важны. Но среди них выделяются «рабочие теоремы», которые наиболее часто используются при решении задач.

Ниже приводятся наиболее «полезные», на наш взгляд, «рабочие теоремы».

Теорема 1 (о замечательных точках и линиях треугольника): а) три медианы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка называется центроидом треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 , считая от вершины; (рис. 1 )А М : M D = 2 :1 =>АМ : AD = 2 :3 , M D :AD = 1:3;

б) три высоты треугольника пересекаются в одной точке (эта точка называется ортоцентром треугольника) (рис. 2);

в) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром окружности, вписанной в данный треугольник) (рис. 3);

В

Ж Ж

Рис. 1 ' Рис. 2 Рис. 3

198

ш.

г) три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром окружности, описанной около данного треугольника) (рис. 4);

д) ортоцентр Н треугольника, его центроид М и центр О описанной окружности лежат на одной прямой (она называется прямой Эйлера), причем ОМ : М Н = 1 :2 (рис. 5);

е) основания высот треугольника, середины его сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр треугольника с его вершинами, лежат на одной окружности (она называется окружностью Эйлера или окружностью девяти точек) (рис. 6): центр этой окружности совпадает с серединой отрезка, соединяющего ортоцентр и центр описанной окружности; радиус ее равен половине радиуса описанной окружности.

Рис. 4 Рис. 6Теорема 2 (теорема Менелая; названа по имени древнегре

ческого ученого Менелая (I в.), доказавшего ее для сферического треугольника). Пусть А г, В г, Сг — три точки, лежащие на сторонах соответственно ВС, СА, А В треугольника ABC , или на их продолжениях (рис. 7). Точки А г, В г, Сх тогда и только тогда лежат на одной прямой, если:

АСХ в д СВ1схв д с В ХА

Теорема 3 (теорема Чевы ; названа по имени доказавшего ее в 1678 г. итальянского ученого Джованни Чева (1648-1734)). Пусть А г, В г, Сг — три точки, лежащие на сторонах соответственно ВС, СА, А В треугольника ABC, или на их продолжениях (рис. 8, а, б). Для того, чтобы прямые ААг, В В Ъ ССХ пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы:

= 1.АСХ В Д с в хСХВ д с В ХА

199

/

Рис. 8

Теорема 4. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам этого треугольника, заключающих данный угол: BD : DC = А В : ВС (рис. 9).

Теорема 5. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника (рис. 10 ).

Теорема 6. Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рис. 1 1 ).

В

Рис. 10

Теорема 7 (о средней линии трапеции).а) средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований;б) средняя линия трапеции (и только она) делит пополам

любой отрезок с концами на основаниях трапеции.Теорема 8 (признак прямоугольного треугольника).Если в треугольнике одна из медиан равна половине сто

роны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

С

Рис. 12200

Теорема 9. В прямоугольном треугольнике:а) высота, проведенная из вершины прямого угла на гипо

тенузу, является средней пропорциональной величиной между проекциями катетов на гипотенузу (рис. 1 2 ):

CD2 =AD • BD ;б) каждый катет является средней пропорциональной ве

личиной между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу (рис. 12 ):

АС2 = А В • AD; ВС 2 = АВ • BD .Теорема 10. Если Л и г — радиусы соответственно описан

ной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника, катеты которого равны а и Ъ, а гапотенуза — с, то

a+b-с _ а+Ьr =------- R + г =---- .2 2

Теорема 11. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Теорема 12 (теорема синусов). Во всяком треугольнике ABC со сторонами ВС = а, СА = Ь, А В = с выполняется соотно

шение —-— = —-— = —-— = 2Д, где R — радиус описанной sin A sin В sin С

окружности.Теорема 13 (теорема косинусов). Во всяком треугольнике

ABC со сторонами ВС = а, СА = &, А В = с выполняется соотношение

а2 = ъ2 4- с2 - 2 be cos А.Теорема 14 (об измерении углов, связанных с окружно

стью).а) центральный угол измеряется дугой, на которую он

опирается (рис. 13);б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую

он опирается (рис. 13);в) угол с вершиной внутри круга (рис. 14) измеряется по

лусуммой дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями за вершину угла;

г) угол с вершиной вне круга (рис. 15) измеряется полу- разностью дуг, заключенных между его сторонами (предполагается, что каждая из сторон угла пересекается с окружностью данного круга);

201


д) угол между касательной и хордой (рис. 16) измеряется половиной дуги, заключенной между ними.

Теорема 15 (о свойствах касательных , секущих и хорд окружности):

а) радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (рис. 17);

б) если из точки проведены две касательные к окружности, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними (рис. 18);

в) если из точки А проведена касательная А В и секущая АС, то AC -AD = А В 2 (рис. 19);

Рис. 17 Рис. 18 Рис. 19г) если хорды А В и CD пересекаются в точке М (рис. 20), то

М А • M B = М С * M D ;д) если из точки М проведены к окружности две секущие

М А В и M CD (рис. 21), то М А М В ^ М С - M D.

202


Теорема 16 (теорема Птолемея ; названа по имени доказавшего ее древнегреческого ученого Птолемея Клавдия ( I I в.)). Во всяком четырехугольнике A BC D , вписанном в окружность (рис. 22), произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон, то есть имеет место равенство: АС * BD = А В * CD + ВС • AD.

В

Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24Теорема 17 (об окружности и четырехугольнике).а) около выпуклого четырехугольника можно описать ок

ружность (рис. 23) тогда и только тогда, когда сумма величин его противоположных углов равна 180°:

Z A + Z C = Z B + Z D = 180°;б) в выпуклый четырехугольник можно вписать окруж

ность (рис. 24) тогда и только тогда, когда равны суммы длин его противоположных сторон:

а 4- с = b + d ;в) из всех параллелограммов только около прямоугольни

ка можно описать окружность;г) около трапеции можно описать окружность тогда и

только тогда, когда она равнобедренная;д) если для четырех точек А, В , М и К плоскости выполня

ется одно из следующих условий:• Z А М В = Z А К Б и точки М и К расположены по одну сто

рону от прямой А В ;

203

• Z A M B + Z A K B = 180° и точки M и К расположены по разные стороны от прямой А В ,

то точки А, В , М и К лежат на одной окружности.

Теорема 18 (о площади треугольника):а) площадь треугольника равна половине произведения

основания на высоту (рис. 25): S = — a h ;2

б) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (рис. 26):

S = —аЪ sin С ;2

Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27в) площадь треугольника равна половине произведения

периметра треугольника на радиус вписанной в него окруж

ности (рис. 27): S = — (<а + Ъ + с)-г;2

г) площадь треугольника со сторонами а, Ъ и с вычисляется по формуле (формуле Герона):

a + fo-fcS = 7Р(Р _ а)(р - Ь)(р - с) , где р =

д) площадь треугольника со сторонами а, Ъ и с вычисляется по формуле:

о аЬс пS = —— , где R — радиус описанной окружности;4Д

е) отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия этих треугольников;

ж ) отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание (рис. 28), равно отношению высот этих треугольников: SMBC : S AABD = СЕ : D K ;

204

з) отношение площадей двух треугольников, имеющих равные высоты (рис. 29), равно отношению оснований этих треугольников:

^ааес : $ лвес = А Е : B E ;и) отношение площадей двух треугольников, имеющих

равный угол, равно отношению произведений длин сторон

этих треугольников, заключающих этот угол:

A B A CМ Р М К

, (ZBAC = Z P M K ).

S ААВС __

>в

DРис. 28

Теорема 19 (о площади четырехугольника):а) площадь выпуклого четырехугольника равна половине

произведения длин его диагоналей на синус угла между ними(рис. 30): S = -tfmsimp;

2б) площадь выпуклого четырехугольника равна половине

произведения его периметра на радиус вписанного круга

(рис. 31): S = —(a + b + c + d)-r ;

Рис. 31 Рис. 32в) площадь трапеции равна произведению полусуммы ее ос

нований на высоту (произведению средней линии на высоту);

205

г) площадь параллелограмма равна произведению длин двух его сторон на синус угла между ними (рис. 32);

д) площадь ромба равна половине произведения его диагоИ налей; * 1

Теорема 20. Если точка М — середина отрезка А В, О — произвольная точка (рис. 33), то справедливо равенство!о м = ^ (Ш + о в ) .

Теорема 21. Если точка М — центроид треугольника ABC, О — произвольная точка (рис. 34), то справедливо равенство: !Ш я А ( Ш + о в + о с ) . .

3 1

Рис. 33 Рис. 34Основные теоремы геометрии прямых и плоскостей

1. О плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку.

2. О плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.3. О плоскости, проходящей через две параллельные прямые.4. Признак скрещивающихся прямых.5. О двух параллельных прямых, одна из которых пересекает

плоскость.6. О прямой, параллельной данной прямой и проходящей че

рез данную точку пространства, не лежащую на данной прямой.

7. О транзитивности параллельности прямых в пространстве.8 . Об углах с попарно сонаправленными сторонами.9. Признак параллельности прямой и плоскости.1 0 . 0 линии пересечения плоскостей, одна из которых прохо

дит через прямую, параллельную другой плоскости.206

1 1 . 0 линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из параллельных прямых.

12 .0 прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плоскостей.

13. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.14—15. Теоремы о трех перпендикулярах.16.0 двух параллельных прямых, одна из которых перпенди

кулярна плоскости.17.0 двух прямых, перпендикулярных одной и той же плос

кости.18—19. Признаки параллельности плоскостей.20.0 прямых пересечения двух параллельных плоскостей

третьей плоскостью.2 1 .0 прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей.22 .0 плоскости, пересекающей одну из параллельных плос

костей.23.0 плоскости, проходящей через точку и параллельной дру

гой плоскости, не проходящей через эту точку.24.0 двух плоскостях, параллельных третьей плоскости.25.06 отрезках параллельных прямых, заключенных между

двумя параллельными плоскостями.26.0 прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных

плоскостей.27.0 линейных углах двугранного угла.28. Признак перпендикулярности плоскостей.29.0 прямой, лежащей в одной из двух взаимно перпендику

лярных плоскостей и перпендикулярной линии пересечения этих плоскостей.

30. О перпендикуляре к одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, имеющем с другой плоскостью общую точку.

31.0 линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости.

32. Признак коллинеарности векторов.33. Признак компланарности векторов.34.0 разложении вектора в пространстве.

207

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ СПЕЦЗАДАНИЙ

Спецзадание № 1.Опорные задачи планиметрии

Вариант 1. 1.V5. 2.л/б . 3. 4; 5; 2. 4. 12а/2. 5. 6. 6. а) 12;б) 6; в) 90°. 7. л/T .

Вариант 2. 1.7Г7. 2.2\[b . 3. 4; 5; 3. 4. 12 7 з . 5. 8. 6. а) 8^2 ; б) 472 ; в) 90°. 7. 7 П .

Вариант 3. 1. б7Г7. 2. зТб . 3. 5; 6; 3. 4. 12Тб. 5. 10.6. а) 4ТГ0 ; б) 2710 ; в) 90°. 7. 2Тб .

Вариант 4. 1. Тб . 2. 4Тб . 3. 5; 7; 3. 4. бТб. 5. 12.6. а) 873 ; б) 473 ; в) 90°. 7. зТз .

Вариант 5. 1. Тб . 2. бТб. 3.5; 8; 3. 4. 4Тб . 5. 15. 6. а) бТб ; б) ЗТб ; в) 90°. 7. 472 .

Вариант 6. 1. 273 . 2. 1,б7б . 3. 5; 10; 3. 4. бТз . 5. 18. 6. а) 677 ; б) 377 ; в) 90°. 7. ТТб .

Вариант 7. l.T lO . 2. 2,бТб. 3.7; 6; 2. 4. 472. 5. 21. 6. а) 4Тб ; б) 2Тб ; в) 90°. 7. 473 .

Вариант 8. 1. зТб . 2. 0,7бТб . 3. 7; 8; 2. 4. бТ2 . 5. 24. 6. а) 477 ; б) 277 ; в) 90°. 7. Т39 .

Вариант 9. 1. 27Г7 . 2. бТб . 3. 7; 10; 2. 4. 473 . 5. 32.6. а) 477о ; б) 2710 ; в) 90°. 7 .4Тз .

Вариант 10. 1.753. 2. 7Тб . 3.10; 2; 7. 4. зТб . 5. 36.6. а) 4711; б) 2ТТТ ; в) 90°. 7.Тбб .

Вариант 11. 1.275. 2. вТб . 3. 9; 10; 1. 4. 772. 5. 30.6. а) бТз ; б) ЗТЗ ; в) 90°. 7,27Гб.

Вариант 12. 1.2Тб. 2. эТб . 3. 12; 11; 2. 4. 377 . 5. 35.6. а) бТб ; б) ЗТб ; в) 90°. 7. з77 .

Вариант 13. 1 .4Тз. 2. ю Тб . 3.10; 5; 3. 4. 7Тз . 5. 40.6. а) 672 ; б) 372 ; в) 90°. 7. T l9 .

Вариант 14. 1.2ТГо. 2 .Т Гз. 3.3; 7; 2. 4. вТз . 5. 45.6. а)10Т2 ; б)бТ2 ; в) 90°. 7. 6.208

Вариант 15. 1.475. 2. 5. 3. 7; 4; 2. 4. 277. 5. 42. 6. а) Ю Тз ; б) бТз ; в) 90°. 7. ТбТ .

Вариант 16. 1 .3 T l7 . 2 .ТГо . 3. 9; 6; 1. 4. 477. 5. 48. 6. а) 1472 ; 6)772 ; в) 90°. 7. 8.

Вариант 17. 1.2753. 2. 729. 3. 6; 8; 1. 4. бТ2 . 5. 54. 6. а) 877; 6)477; в) 90°. 7. бТз .

Вариант 18. 1 .з7б. 2. 2TlO . 3. 3; 6; 1. 4. бТз . 5. 60. 6. а) 24; 6)12; в) 90°. 7. 2721.

Вар иант 19. 1. бТз . 2. 10. 3.6; 9; 5. 4. бТб . 5. 56. 6. а) 1672 ; б) 872 ; в) 90°. 7. 791 .

Вариант 20. 1. зТГо . 2. 734. 3.7; 9; 2. 4. 7Тб . 5. 63.6. а)1б7з ; б) 873 ; в) 90°. 7. 4Тб .

Вариант 21. 1. бТб. 2. ТбЗ . 3. 8; 5; 2. 4. эТз . 5. 70.6. а) 1275 ; б)б7б ; в) 90°. 7. зТТТ .

Вариант 22. 1. 47Т7. 2.758. 3. 9; 6; 2. 4. 972 . 5. 77.6. а)18Т2; 6)972 ;в )9 0 °.7 . 2ТТТ -

Вариант 23. 1. зТбЗ .2 . 77з . 3. 8; 7; 2. 4. эТб . 5. 84.6. а)12Тз ; б)б7з ; в) 90°. 7. 377 .

Вариант 24. 1. зТб . 2. 741. 3.6; 2; 11. 4. ю Т 2 . 5. 91.6. а) 14Тб ; б) 7Тб ; в) 90°. 7. 4Тб .

Вариант 25. 1. 4Тб . 2. 2ТГз . 3. 7; 12; 1. 4. Ю Тз . 5. 72.6. а) 1272 ; б) бТ2 ; в) 90°. 7. бТз .

Спецзадание № 3.Расстояния в пространстве

Вариант 1. 1. а) 2; б )^ - . 2. . 3. а) Зл/б ; б) 6\/3 .3 7

Вариант 2. 1. а) 4; б) . 2. Z Z l ш з. а) з76 ; б) 6 7з .3 7

ч/бВариант 3. 1. 2. 2. — . 3. а) зТб ; б) 6 7з .5

209

/бВариант 4. 1. л/2 . 2. — . 3. а) Зл/б ; б) 6 л/з .5

Вариант 5. 1. а) 2 л/б ; б) 2 л/б . 2. . 3. а) Зл/б ; б) 6 л/з .13

ВариантЪ . 1. а) 2л/б ; б) 2Тб . 2. . 3. а) Зл/б;б)6л/з.13

Вариант 7. 1. а) ; б) . 2. . 3. а) 2л/б ; б) 4 л/з .3 3 13

Вариант 8. 1. а) ; б) • 2. • 3. а) 2л/б ; б) 4 л/з .

Вариант 9. 1. а) ; б) . 2. . 3. а) 2%/б ; б) 4 л/3 .

Вариант 10. 1. а) 5 б) рр- • 2. рр . 3. а) 2л/б ; б) 4 л/з .

/2Вариант 11. 1. а) 2л/б ; б) 2л/б . 2. — . 3. а) 2л/б ; б) 4 л/з .2

Вариант 12. 1. а) 2 л/б ; б) 2 л/б . 2. ■ 3. а) 2л/б ; б) 4 л/з .

Вариант 13. 1. . 2. а) 2; б) 2. 3. .4 7!ч /?ТВариант 14. 1. — . 2. а) 4; б) 4. 3 .----.4 7/7 /pi

Вариант 15. 1. — . 2. а) 2; б) 2. 3 .----.4 7/7 /?7Вариант 16. 1. — . 2. а) 4; б) 4. 3 .--- .4 7

Вариант 17. 1. . 2. а) л/б ; б) л/б . 3. .б 7

Вариант 18. 1. ^ /1 .2 . а) 2л/б ; б) 2л/б . 3.5 7

Вариант 19. 1. . 2. а) л/б ; б) л/б . 3. •

210

Вар иант 20. 1. . 2. а) 3 л/б ; б ) 3 л/б . 3. .4 10

п 01 , 73 0 2^5 0 л/30Вар иант 21. 1. — . 2 .--- . 3 .-----.2 5 10

л/3Вариант 22. 1. — . 2. а) 2л/з ; б) 2л/з ; в) 4л/з ; г) 2л/з ;

д ) 2 ^ . 3 . ^ .

л/7Вариант 23. 1.— . 2. а) Зл/з ; б) Зл/з ; в) Зл/з ; г) 6л/3 ; 4

д) Зл/з . 3. ^ .10

[г7Вариант 24. 1. — .2 . а) 2л/з ; б) 2л/з ; в) 4л/з ; г) 2л/3 ;

4

Д) 2л/з . 3. ^ .

Вариант 25. 1. — . 2. а) — ;*б) — ; в) 5. 3. — .5 2 2 10

Спецзадание № 4. Углы в пространстве

Вариант 1. 1. 30°. 2. — . 3. — .3 3

Вар иант 2. 1. 90°. 2.1. 3. ^рр^.

Вар иант 3.1. 90°. 2. р р . 3.1.

о л * 7з 0 V3 0 2V2Вар иант 4.1. arccos— . 2. — . 3 .----.4 3 3

3 1Вариант 5. 1. arccos— . 2. — . 3. 90°.4 3

211

V is J E lВариант 6. 1. arccos . 2. — . 3. arccos— .5 3 3

1 у/вВариант 7. 1. arccos— . 2. — . 3. 90°.4 3

Вариант 8. 1. arccos^-. 2. . 3. 90°.4 3

n n , л/2 _ л/з _ . 2л/2Вариант 9. 1. arccos— . 2. — . 3. arcsin .4 3 3

t> in 1 л/ю 0 л/б „ . л/бВариант 10. 1. arccos . 2. — . 3. arcsin —10 3 3

л/2 л/зВариант 11.1. arccos— . 2. — . 3. 60°.8 3

Вариант 12. 1. arccos— . 2. — . 3. arcsin — .4 3 3

Вариант 13. 1. 60°. 2. 30°. 3. arccos — .3

Вариант 14. 1. 90°. 2. 60°. 3. arccos — .3

/9Вариант 15. 1. 90°. 2. 60°. 3. ~ .

Вариант 16. 1. 60°. 2. 60°. 3. ■

Вариант 17. 1. 60°. 2. 45°. 3. a r c s i n .13

Вариант 18. 1. 60°. 2. 30°. 3. 0°.

Вариант 19. 1. 90°. 2. 0,125 л/з . 3. .13

Вариант 20. 1. 90°. 2. 0,25 %/б . 3. — .7

Вариант 21. 1. 90°.2. 0,8. 3. — .7

Вариант 22. 1. 60°. 2. 0,25 л/б . 3. — .7

212

л/5 1Вариант 23. 1. 60°. 2. arctg-^- . 3. — .

Вариант 24. 1. arcsin- — . 2. arctg^^ . 3. 60°.3 5

1 л/Io 0 , л/5 Q .л/зВариант 25. 1. arccos . 2. arctg— . 3. arcsin— .F 10 5 3

Спецзадание № 5.Расстояния в пространстве в координатах

л/б л/б л/бВариант 1. Задача 1 . 1. а) — б) — ; в) —-.3 3 3О Л ^ *4 ^ Л ^ Ч Q Ч ^ • ЙЧ ^ . 12 . а) т ; б) т ; в) ^ г) 3. а) б) в)

Задача 2. а) — ; б) ; в) — .2 13 5

Вариант 2. Задача 1. 1. а) б) ; в) .3 3 3о ч ^ Лч ^ ч . 2л/3 л/з . . . Тб 12 . а) — ; б) — ; в) — г)------ . 3. а) — ; б) — ; в) —.

' 3 3 3 3 3 6 3О Ч V7 , л/21Задача 2. а) — ; б )-; в ) .

2 7 7

Вариант 3. Задача 1. 1. а) б) в) .3 3 3

_ . л/з л/з л/з , 2л/з л/з л/б 12 . а) — ; б) — ; в) — ; г) . 3. а) — ; б) — ; в) —.3 3 3 3 3 6 3О Ч *ч 2л/21 ч л/21Задача 2. а ) ---- ; б )---- ; в ) ---- .

5 7 7

Вариант 4. Задача 1. 1. a) б) ; в) —̂ .3 3 3. л/з „ л/з ч л/з . 2л/3 ч ^ ^ . 12' а) Т ; б) Т ; в) Т : г) “F " 3- а) Т : б) в) 5-„ , 0 ч ' f t ЙЧ ^ ч ^ 0Задача 2. а) — ; б) — ; в ) .

4 5 10

213

[а Га faВариант 5. Задача 1. 1. а) ^ б) ; в) -у-

9 л >/3 ... л/з . л/з 2л/з л/з л/б . 12. а) — ; б) — ; в) — ; г) --- . 3. а) — ; б) — ; в) -3 3 3 3 3 6 3

* а о «ч ̂ .л /21Задача 2. а) — ; б) — ; в ) ---- .4 4 7

/fi /fiВариант 6. Задача 1. 1. а) ^ » в)

9 л ^ л/3 .л /з . 2л/3 Q , л/з >/б . 12. а) б) т ; в) т ; г) 3. а) б) _ ; в) -

Задача 2. а) — ; б) ; в) — .4 13 7

л/б л/б -\/бВариант 7. Задача 1. 1. a) б) ; в)

7з л/з л/з 2л/3 л/з л/б 12. а) — ; б) — ; в) — ; г ) . 3. а) — ; б) — ; в) -3 3 3 3 3 6 3

-га о ч «л 2^ , л/30Задача 2. а ) ; б )---- ; в ) .5 13 10

/б /б /бВариант 8. Задача 1. 1. a) ~^~i; б) ; в)

9 , л/з .. 7 з л/з V 2л/з _ . л/з л/б . 12. а) т ; б) т ; в) г) 3. а) б) в) -

Задача 2. а) ; б) — ; в) .4 4 10

/в /б /вВариант 9. Задача 1. 1. a) б) ; в)

9 л ^ ял ^ л ^ л 2л/з Q л/з Тб . 12. а) т ; б) т ; в) т ; г) 3. а) - ; б) в) -

Задача 2. а) — -; б) — ; в) - - .5 5 7

214

Спецзадание № 6.Углы в пространстве в координатах

Вариант 1. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin^^-. 2. а) ;3 3

б )^ ~ ; в) ; г) . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin —— .3 3 3 3 3

2. a) a rcco s^ ^ ; б) 0,2 л/15 ; в) — .10 2

Вар иант 2. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin . 2. a) ;

б) ; в) ; г) . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin - ̂ .3 3 3 3 3

/? 12. a) arccos-^- ; б) 0,25 л/з ; в) — .

о /2 /о"Вариант 3. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin---- . 2. а) — ;

3 3

б) в) ; г) . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin .3 3 3 3 3

2. a) arccos^ ; б) 0,125 л/з ; в) .

Вариант 4. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) a r c s i n 2. а) ;

б) ; в) ; г) . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin —— .3 3 3 3 3

/я 12. a) arccos-y- ; б) 0,25 л/б ; в) у .

о /о /оВариант 5. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin—— . 2. а) ;

Тб л/б . л/б , . оло 1 . . 2л/2б ) — ; в) — ; г) — . 3. а) 90 ; б) arccos—; в) arcsm----- .3 3 3 3 3

2. a) arccos^ ; б) 0,125 л/з ; в) ~ .

215

9 /о л/3Вариант 6. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin———. 2. а) — -;

о о

б ) — ; в) — ; г) — . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin 3 3 3 3 3

2. a) arccos^-; б) 0,25 Тб ; в) л " •4 13

2J 2 л/3Вариант 7. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin . 2. а) —- ;

о о

б ) — ; в) — ; г) — . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin 3 3 3 3 3

2. a) arccos^^ ; б) 0,25 л/б ; в) — .8 7

О /пI /оВариант 8. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin— —. 2. а) — ;

о о

б ) — ; в) ; г) . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin-— . 3 3 3 3 3

2. a) arccos^-; б) 0,125 л/з ; в) ^ .

р /р /оВариант 9. 1. 1. а) 60°; б) 90°; в) arcsin— —. 2. а) — -;

о о

б) — ; в) — ; г) — . 3. а) 90°; б) arccos—; в) arcsin ' 3 3 3 3 3

2. a) arccos— ; б) 0,572 ; в) .4 13

Спецзадание № 7.Ш ары и сферы в комбинациях с кубом

и правильным тетраэдромВариант 1. 1. 3 ,5 (2-72 ). 2. 3 (3 -7 3 ) и 5 (3-Т3 ).

3.0,5(73-1) и 0,5(Тз+ 1).4. 0 ,5^2(3-73) и л и 0,5 ^2(3 + 7 3 ).

_ , 13л/2 „ 137б5. а) г = ----; б) расстояние до верш ины ; расстояние до4 4

1з7е - 13V2грани ^ ’> расстояние до ребра —-— .

216

и 2 ( 7 3 + 1 ) . 4 . 2 ^ 2 (3 - л /З) и л и 2 л/2 (3 -+- n/ з ) . 5 . а ) г =

Вариант 2. 1 . 2 ,5 (2-72 ). 2. 3(3-73 ) и 7(3-Т3) .3. 7з - 1 и 7з + 1. 4. ^2(3-73) или ^2(3 + 7з) 5. а) г = 3\/2 ;б) расстояние до вершины зТб ; расстояние до грани 7 б ; расстояние до ребра 372 .

Вариант 3. 1 . 4 (2-72 ). 2 . 2 (3-73) и 5 (3-73 ).3. 1,5(ТЗ-1)и 1,5(V3 +1). 4. 1,5^2(3-73) или 1,5^2(3 + ТЗ).

ч 1172 п Т бо. а) г = — -— ; б) расстояние до вершины -----; расстояние до4 4П Тб 1172грани ; расстояние до ребра .

12 4Вариант 4. 1. 5(2-72 ). 2. 2(3-73 ) и 9(3-Тз ). 3. 2 (Т з-1)

572 2 5

5Тб бТбо) расстояние до верш и н ы ; расстояние до грани ---- ;2 6

« 5Т2расстояние до ребра .2

Вариант 5. 1. 4,5(2-72). 2. 3(3-73 ) и 4(3-73).3. 2,5(73 - 1 ) и 2,5(Тз + 1 ) . 4. 2,5 ^2(3-73) или 2,5-̂ 2(3 + Тз). ̂ . 972 эТбо. а) г = —— ; б) расстояние до вершины ---- ; расстояние до

4 4зТб 972грани ; расстояние до ребра .

4 4Вариант 6. 1. 5 ,5 (2-72 ). 2. 2(3-73) и 7(3-Т3).

3. 3(73-1)и 3(73+1). 4. 3^2(3-73) или 3 ^2(3 + 73).5. а) г = 272 ; б) расстояние до вершины 27б ; расстояние до

2Тб г-грани ; расстояние до ребра 2л/2 .3

Вариант 7. 1 . 9 ,5 (2-72 ). 2. 3(3-73 ) и 8(3-73).3. 3,5(73-1) и 3,5(73 + 1 ) . 4. 3,5^2(3-73) или 3,5 ̂ 2(3 + 73).

217

к ч 7л/2 .. 7л/б5. а) г = —— ; о) расстояние до вершины ---; расстояние до4 4

7л/б 7л/2грани ; расстояние до ребра .12 4

Вариант 8. 1. 6,5(2-л/2 ). 2. 3-л/з и 3(3-л/з ). 3. 4(л/3-1)

и 4(73+1). 4. 4 л/2(3 — л/3) или 4^2(3 + 73) . 5. а) г = — ;2

ял Зл/б л/бо) расстояние до верш ины ; расстояние до грани — ; рас-2 2

* 3Т2стояние до ребра .2

Вариант 9. 1. 8,5(2-л/2). 2. 3(3-л/3) и 2(3-л/3).3 .4,5(л/з-1) и 4,5(л/з + 1 ). 4. 4,5 ̂ 2(3-л/3) или 4,5^2(3 + 73) .к V 5л/2 5л/бо. а) г = --- ; о) расстояние до вершины ---- ; расстояние до

4 4бТб г 5л/2грани ; расстояние до ребра .12 4

Вариант 10. 1. 10,5(2-л/2). 2. 3-л/з и 4(3-л/3).3. 5(л/3-1) и 5(л/3 +1). 4. 5^2(3-73) или 5^2(3 + 73 ).5. а) г = л/2 ; б) расстояние до вершины л/б ; расстояние до гра-

л/б /—ни — ; расстояние до ребра л/2 .3

Вариант 11. 1. 8(2-л/2). 2. 3(3-л/3) и 11(3 —л/з ).3. 5,5(л/3-1) и 5,5(л/з+ 1). 4. 5,5^2(3-73) или 5,5^2(3 + 73).к ч 372 зТб5. а) г = —— ; б) расстояние до вершины ---; расстояние до

4 4Те зТ2грани — ; расстояние до ребра .4 4

Вариант 12. 1. 11,5(2-л/2). 2. 4(3-л/3) и 11(3-л/3).3. 6(л/3-1) и 6(л/з+1). 4. 6 ̂ 2(3-73) или 6д/2(3 + л/3).

218

« л ^ « 7б5. а) г = —- ; б) расстояние до вершины ; расстояние до гра-

л/6 л/2ни — ; расстояние до ребра — .6 2

Вариант 13. 1. 12(2-72). 2. 7(3-Т3) и 8(3-Т3).3. 6,5(л/з — 1) и 6,5(л/з +1) . 4. 6,5 ̂ 2(3-73) или 6,5л/2(3 + л/3) .к ч 72 765. а) г = — ; б) расстояние до вершины ; расстояние до

4 4Тб л /2грани — ; расстояние до ребра — .

Вариант 14. 1. 14(2-72). 2. 7(3-73) и 9(3-Т3).3. 7(73-1) и 7(л/3 +1). 4. 7 ̂ - 7 ^ ) или 7 ^2(3 + 73).

25л/2 25л/б5. а)г = ; б) расстояние до вершины----- ; расстояние4 4

25л/б _ 25-72до грани — ; расстояние до ребра — -— .

Вариант 15. 1. 15(2-v2 ). 2. 7(3 — л/з) и 6(3-\/*3).

3.7,5(73-1) и 7,5(73 + 1). 4. 7,5^2(3-73) или 7,5 ^2(3 + 7з) .5. а) г = 6л/2 ; б) расстояние до вершины б7б ; расстояние до грани 2л/б ; расстояние до ребра 6л/2 .

Вариант 16. 1. 12,5(2-72). 2. 3(3 7 з ) и 13(3-73).3. 8(л/3-1) и 8(73+1). 4. 8л/2(3-Тз)или 8^2(3 + 73)._ , 2372 „ 23Тб5. а) г = --— ; б) расстояние до верш ины ; расстояние

4 423Тб _ 2372до грани — ; расстояние до ребра —-— .

Вариант 17. 1. 16(2-л/2). 2. 4(3-л/3) и 5(3-Т3).3. 8,5(73-1) и 8,5(73 + 1). 4. 8,5 ̂ 2(3 -7з) или 8,5-/2(3 + 73).

* л иТ2 и Т ё5. а) г ---- ; б) расстояние до вершины ; расстояние до2 2

219

11л/б л llV 2грани ; расстояние до ребра .6 2

Вариант 18. 1. 14,5(2-72)* 2. 7 (3-Т3 ) и 4(3-Т3)-3. 9(ТЗ-1) и 9(Тз + 1). 4 . 9л/2(3-л/3) или 9 л/2(3 + л/з) .к , 2lV2 21л/б5. а) г = --- ; б) расстояние до верш ины ; расстояние до

4 47ч/б Л 2lV2грани ; расстояние до ребра —--- .

4 4Вариант 19. 1.17,5(2-72). 2. 4 (3-73 ) и 9 (3 - Т З ) .

3 .9,5(Тз-1) и 9,5(Тз +1). 4 . 9,5*/2(3-7з) или 9,5^2(3 + 73) .5. а) г = 572 ; б) расстояние до вершины бТб ; расстояние до

бТбграни ; расстояние до ребра 572 .3

Вариант 20. 1. 10 (2-72)). 2. 6 (3 - 7 з ) и 5 (3 - Т з ) .3. 10(73-1) и 10(7з + 1). 4 . 10л/2(3-73) или 10 Д (3 + 7 3 ) ._ . 1972 19Тб5. а) г = --- ; б) расстояние до верш ины ; расстояние до

4 41976 - 1972грани ; расстояние до ребра .

12 4Вариант 21. 1. 13,5 (2-72). 2. (3 - 7 3 ) и 5(3-Тз ).

3.10,5(73-1) и 10,5(Тз+1). 4. 10,5^2(3-73) или

10,5 Д (3 + 7 з ) . 5. а) г = ; б) расстояние до вершины ;2 2

зТб , 972расстояние до грани ; расстояние до ребра —— .2 2

Вариант 22. 1. 18,5 (2-72). 2. 9 (3-Т3 ) и 5(3-Т3).3. 11(73-1) и 11(7з+1). 4. 11 л/2(3 — 7 з ) или п Д ( 3 + 7 3 ).в . 1772 17Тб5. а) г = --- ; б) расстояние до верш ины ; расстояние до

4 417Тб . 1772грани ^ ; расстояние до ребра —-— .

220

Вариант 23. 1. 13 (2-72). 2. 8(3-73 ) и 11(3->/3 ).3 . 1 1 , 5 ( 7 з - 1) и 1 1 , 5 ( Т з + 1 ) . 4 . 1 1 , 5 Д ( 3 - 7 з ) Н.-П-

11,5\/2(3 + 7 3 ) . 5. а) г = 4V2 ; б) расстояние до вершины 4V6 ;4Тб , ( -расстояние до грани — — ; расстояние до реора 4у2 .

3Вариант 24. 1. 1 9 ( 2 - 7 2 ) . 2. 7 ( 3 ~ Т з ) и 9(3 СО

3. 3 2(\'3 - 1) и I2(v'3 + 1 ). 4. 121/2(3 - V3 ) или 12 у и 3 J /3 1 .

15 v'2 15 7бо. а ) г •= ------- ; о) расстояние до вершины — -... ; расел олние до

5V6 15V2на н и ; расстояние до ребра .4 4

Вариант 25. 1. 15,5(2-у2 ). 2. 5 ( 3 - Т з ) и 8(3 /З К3 « 2,5(73 -1) и 12,5(Тз 4-1). 4. 12,5 Д (3 - 73) и ли

I о Oi/о /о \ \ ̂V ̂ г ч i \ О12, о v + \Mj . о. а) г = ----; 6) расстояние до вершины — :2 2

7Тб 7 \ 2рае>,*тшш ?■}(: до гр ани : расстояние до ребра -.... .6 ' 2

Спецзадание № 8,Преобразования пространства

Вариант 1. 1. /(£) = D u f (B x) = D, f(AY) = С, /(Cf) = Д.2. о) На четырехугольник A.XBC D X; в) на себя. 3. На себя,

я* ~r 1 + 21,4. а) (1;2;10); б) < д -1 н-3t, £ е R ; в) х + у 4- - 53 = 0,

p = 7-f,г) (х - I ) 2 4 (у - I ) 2 + (г - 7)2 = 25. 5. Не совпадают.

Вариант 2. 1. ДА) = Б 1? /(С) = I),, /(D) = A,, Д Б ,) = А. ... о) На четырехугольник B vBDOp, в) на себя. 3. На себя.

[х - 2 + 3/. i'V = -3 + 2t, [х = 11 > Ж ,4. а » •! у - 2, * е Б ; б ) ( у - 3 , te R ; в) у у --2, £ей.

p = 6-f, p = 4-f, |г = -9-<,х 'ч-гн..лают.

221

Вариант 3. 1. ДА) = В , ДАХ) = С, Д Б Х) = Си ДСХ) = Б х.2. б) На четырехугольник AA jCxC; в) на себя. 3. На себя.

x = 7 + 3t, x = -5 + 3f, х = 5-31,4. а) <у = 2, te R ; б) < у = 2, t e R ; в)<у = -2, te R .

z = 3-t, z = -7 + t, 2 = 7-1,5. He совпадают.

Вариант 4. 1. f(A ) = В , ДС) = A u Д Б Х) = Сх, ДСХ) = Б х.2. б) На четырехугольник А ХБ ХСБ; в) на себя. 3. На себя.

х = 18 + 171,4. Прямая <y = 5 + 4t, te R . 5. Не совпадают.

z = -t,

Вариант 5. 1. ДА) = D, ДС) = А х, Д БХ) = Б , /(Б ) = Б х.2. б) На четырехугольник АА1С1С; в) на себя. 3. На себя.4. а) (3; -2; -5); б) (3; 2; 5); в) (-3; -5; 2); г) (-4; 4; 2); д) (5; 2; -5).5. Не совпадают.

Вариант 6. 1. ДА)=БХ, ДБ)=АХ, Д Б)= Б, ДАХ)=СХ. 2. 6) Ha четырехугольник А БС ХБ Х; в) на себя. 3. На тетраэдр C^CBD.

х = 1 + 2t,4. а) (1; 1; 7); б) <y = l- t , t e R ; в) 2х - у + z - 8 = 0;

z = 7 +1,г) х2 + (у - 2)2 + (г - 8)2 = 9. 5. Не совпадают.

Вариант 7. 1. f(D ) = А х, ДАХ) = С, ДСХ) = A, Д Б Х) = Б .2. б) На четырехугольник А ХБ ХСБ; в) на себя. 3. На тетраэдр Б ХБАС. 4. а) (-3; 7; -1); б) (5; -3; 1); в) (3; -7; -1);г) (1; -6; -2); д) (-1; -7; 3). 5. Не совпадают.

Вариант 8. 1. ДС) = А х, Д БХ) = D, ДСХ) = А, Д Б Х) = Б .2. б) На четырехугольник А Б 1С1Б ; в) на себя. 3. На тетраэдрААХБ Б . 4. р (0 ;0 ;-6 )- вектор переноса; х + 2у - 7 = 0 — одна из неподвижных плоскостей при этом переносе. 5. Не совпадают.

Вариант 9. 1. /(А) = Сх, Д Б Х) = Б , ДС) = А х, Д Б) = Б х.2. б) На четырехугольник А ХБ ХСБ; в) на себя. 3. На тетраэдр

А С Б Б Х. 4. S p S a

222

r?180°Л о„ 5. Не совпадают.

tA l'l 1 1'. 1 л i. i t> -* ’ A

аггиш if или с г

,̂ ги»м;п»УГ*/ЛТ,° 'Г ’ * 'V ч r,T rv sоэо'Ь] j . яь’Р! , лдп e i ем : атл^

i l moc^vee >Лй.. Sea ей я 1. л „I e ) ( г

л, j ./'." нилс ы ) . ‘

6. По-

i . . * ■ i , ' / i • i ' . » I . » • < . A.

; 1 ’ . , a \ i\ ) I 'O Г >i< 5 A , I' ; Г б M s * ■ л : => и';

8. I I о т o c x i , t e -шд j 1 . И . 1У1атемгла матнл - т ” ' ' ' -наттт т* .«\ i <;v ь' г п . , . t/ t . . . H i vi i i .\

9, rl 'U i : , n : .... . • t//./ ''1. - *v, лини; атичог.к- i о анализ^, rrovjoi ^

4‘ Д ■ • L Л 1Ы A \ p O l « ; I I b .

( , ?• ■ • *- • -a-i i t - t ц-чч ha pi,* ’.т ̂ , re»»v-и -i

.. -., о т т \ пол т̂тк На дачя и к . - - г

- ! У . . В , р < У

и я 'J1 кл

yiia. 1

” * Г '...* - * Г *чГл и1ка. Алг

I я Геоме Дрофа,

Справочное издание

Потоскуев Евгений Викторович

ЕГЭ ГЕОМЕТРИЯ

ЗАДАНИЯ 14,16 ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ.

ПЛАНИМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

Издательство «ЭКЗАМЕН»

Гигиенический сертификат № РОСС RU. А Е5 1 .Н 16678 от 20.05.2015 г.

Главный редактор Л. Д. Лаппо Редактор И. М. Бокова

Технический редактор Л. В. Павлова Корректоры В. М. Шабаршина, Н. Н. Яковлева

Дизайн обложки Л. В. Демьянова Компьютерная верстка А. С. Федотова

107045, Москва, Луков пер., д. 8. www.examen.biz

E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected]

тел./факс (495)641-00-30 (многоканальный)

Общероссийский классификатор продукции О К 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная

Отпечатано в полном соответствии с предоставленными материалами в типографии ООО «Чеховский печатник».

142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д.1. тел.: +7 915 222 15 42, +7 926 063 81 80.

По вопросам реализации обращаться по тел.: (495)641-00-30 (многоканальный).

http://www.examen.biz

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

mb ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ. и ТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ...

Documents