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MB0010_M1AA2L1_Frecuencia Versin: Septiembre 2012 Revisor:

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Distribuciones de frecuencia

por Oliverio Ramrez

Distribucin de frecuencias simple Un conjunto de datos puede organizarse de diferentes maneras. La forma como se elija depender, entre otras cosas, de la naturaleza de los datos, la cantidad de datos o el aspecto que se desea describir. Una manera de organizar los datos iniciales es construir una distribucin de frecuencias simple. Una distribucin de frecuencias simple es la que indica la cantidad de veces que aparece cada nmero o caracterstica, ordenados desde el menor del conjunto de datos hasta el mayor de ese conjunto. Este tipo de distribucin de frecuencias suele usarse cuando los datos se repiten frecuentemente. Por ejemplo, en una escuela secundaria el profesor de historia desea saber cuntos alumnos obtuvieron calificacin de 10 para lo cual realiz la siguiente tabla donde muestra las calificaciones (incluidos los estudiantes que obtuvieron 10).

Calificacin No. De alumnos (frecuencias)

3 2 4 5 5 7 6 8 7 10 8 8 9 6

10 4 50

Tabla 1. Tabla de calificaciones de 50 alumnos. Ramrez 2009. Al nmero de veces que un nmero aparece en el conjunto inicial de datos se le llama frecuencia. Cuando los datos no se repiten como en el ejemplo anterior-, construir una distribucin de frecuencias simple es laborioso e inadecuado. Imagina que al mismo grupo de 50 estudiantes se le organice de acuerdo al peso de cada uno. Aunque es probable que algunos pesen aproximadamente lo mismo, es prcticamente imposible que dos personas pesen exactamente lo mismo, por lo que esta distribucin de frecuencias no es la ms adecuada para organizar estos datos.



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Para el caso anterior se prefiere una distribucin de frecuencias con intervalos. Distribucin de frecuencias con intervalos Ejemplo 1 En una escuela preparatoria, el departamento escolar ha detectado problemas con los hbitos alimenticios de los estudiantes. El departamento pretende involucrar a los padres de familia para que en conjunto se atienda el problema pero con la intencin de tener ms informacin al respecto y no slo basarse en la observacin. Para ello, se realiz un proceso de medicin de 50 estudiantes, y la informacin sobre los pesos de estos estudiantes se muestra en la siguiente tabla:

67 54 48 64 77 86 70 60 93 60 59 74 68 73 53 49 64 85 81 57 63 56 57 66 72 68 78 83 71 82 104 73 55 64 52 91 59 102 99 50 79 77 58 61 92 85 56 88 70 94

Tabla 2. Tabla de peso de 50 alumnos. Ramrez 2009 El encargado de analizar la informacin sobre los pesos de los 50 estudiantes, al darse cuenta de que pocos son los pesos que se repiten, decide no utilizar una distribucin de frecuencias simple porque la lista de los pesos distintos sera extensa y eso no es lo ms conveniente. Otra forma de organizar los datos es agrupando los pesos similares en intervalos, tambin denominados clases. La distribucin de frecuencia que utiliza intervalos o clases para agrupar datos se conoce como distribucin de frecuencia con intervalos.



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El procedimiento para organizar los datos en una distribucin de frecuencias con intervalos se detalla enseguida:

1. Encontrar el mayor y el menor de los datos. El primer paso para crear una distribucin de frecuencias por intervalos (llamados tambin clases) es encontrar el nmero mayor y el nmero menor. En este ejemplo el nmero mayor es 104, y el nmero menor es 48.

2. Calcular el rango. A la diferencia entre el dato mayor y el menor se le conoce como rango.

5648104 ==rango

3.- Determinar el nmero de intervalos (o clases) a utilizar. No existe una regla generalizada para determinar el nmero de clases pero una de ellas es

nc 2 En donde n es el nmero de observaciones (o datos). Como en el ejemplo 50=n , debemos calcular las potencias de 2 que sean mayores o iguales a 50.

642322162

6

5

4

=

=

=

Como 6426 = es mayor o igual a 50, el nmero de clases a usar es 6. Otra recomendacin en cuanto al nmero de clases, es que no debe ser menor a 5 ni mayor a 15, aunque algunos autores manejan hasta 20 clases. En cualquiera de los casos, el encargado del estudio estadstico deber decidir el nmero de clases a utilizar.



4

4.- Ancho de clase. Una vez que se tiene el rango y el nmero de clases, el ancho de clase es sencillo determinar usando la frmula

33.9656

.===

clasesdeNoRangoclasedeAncho

Como 9.33 es un nmero poco prctico, se elige un nmero ligeramente mayor que sea ms sencillo de trabajar, en este caso se recomienda usar como ancho de clase el 10.

5.- Determinar el lmite inferior de la primera clase. Debido a que el nmero menor de nuestras 50 observaciones es 48, el lmite inferior de la primera clase debe ser menor a este valor, usemos 45. La primera clase ser 45 a 55,m debido a que el ancho de clase es 10, de la misma forma la segunda ser de 55 a 65 y as sucesivamente.

6.- Construir la distribucin de frecuencias. Una vez que se han determinado los lmites inferior y superior de cada clase es necesario cuantificar los datos que se encuentran entre esos valores. La siguiente tabla muestra una forma de contar cuntos estudiantes tienen un peso dentro de cada intervalo.

Clase Pesos observados Cuantificacin (45 55] 49, 54, 48, 55, 53, 52, 50 ///// //

(55 65] 59, 63, 64, 56, 59, 56, 60, 57, 58, 64, 64, 61, 60, 57

///// ///// ////

(65 75]

(75 85]

(85 95]

(95 105]

Tabla 3: Tabla de frecuencia 1. Ramrez 2009



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Completa el proceso de conteo. La distribucin de frecuencias queda como se muestra a continuacin:

Clase Frecuencia absoluta

(45 55] 7

(55 65] 14

(65 75] 11

(75 85] 9

(85 95] 6

(95 105] 3

n= 50

Tabla 4: Tabla de frecuencia 2. Ramrez 2009

De esta manera podemos dar respuesta a preguntas como: a) Cul es el rango de pesos que ms se presentaron? b) Cuntos son los estudiantes que ms peso tienen? c) Cuntos estudiantes se encuentran en el rango menor de peso? Las respuestas a estas preguntas son: a) El intervalo que ms se present es de 55 a 65 kilogramos, 14 es estudiantes del total se encuentran en este rango. b) En la clase de 95 a 105 kilogramos, que es la de mayor peso, se localiz solamente a 3 estudiantes de un total de 50. c) 7 son los estudiantes que se encuentran en el intervalo inferior, de 45 a 55 kilogramos.



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Ejemplo 2 Una empresa maquiladora de mezclilla, est interesada en pagar un bono a sus trabajadores para compensar el gasto semanal en pasaje. 45 trabajadores reportaron los siguientes gastos semanales (en pesos)

95 110 94 92 100 135 184 100 132 95 112 164 110 118 137 115 154 96 165 120 158 126 138 134 185 140 118 147 90 170 162 125 146 162 120 156 98 136 114 180 163 143 135 170 182

Tabla 5. Registro de gasto semanal de 45 trabajadores. Ramrez 2009 Usemos nuevamente el procedimiento para organizar los datos en una distribucin de frecuencias con intervalos.

1. Encontrar el mayor y el menor de los datos. El dato menor es: 90 El dato mayor es: 185

2. Calcular el rango.

Rango = 185 90 = 95

3. Determinar el nmero de intervalos (o clases) a utilizar.

Como n= 45, entonces se busca un valor de c, que d como resultado un valor mayor o igual a n 2! > 45 Como 64 es mayor a 45, entonces se trabajar con 6 clases.



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4. Ancho de clase.

Una vez que se tiene el rango y el nmero de clases, el ancho de clase es sencillo determinar usando la frmula: = Sustituyendo valores queda: = 956 = 15.83 Se redondea a un nmero mayor cercano, que sea ms fcil de utilizar, en este caso se sugiere 16

5. Determinar el lmite inferior de la primera clase.

Primero se debe obtener el lmite inferior de la primera clase, que es igual al dato menor, que en este caso es 90. Debido a que el ancho de clase es de 16, el lmite superior de la primera clase se obtiene sumando el ancho de clase al lmite inferior. Lmite superior primera clase= 90+16 = 106 Por lo que la primera clase contendr valores mayores o iguales a 90 pero menores a 106. El lmite inferior de la segunda clase ser igual al lmite superior de la primera clase, y su lmite superior se obtiene sumando el ancho de clase al lmite inferior Lmite superior segunda clase= 106+16=122 Por lo que la segunda clase contendr valores mayores o iguales a 106 pero menores a 122.



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Y as sucesivamente, quedando en este caso los lmites de clase de la siguiente forma:

Clases 90 106 106 122 122 138 138 154 154 170 170 186 90 106

6. Construir la distribucin de frecuencias. Una vez que se han determinado los lmites inferior y superior de cada clase es necesario cuantificar los datos que se encuentran entre esos valores. La distribucin de frecuencias queda como se muestra a continuacin.

Clases Frecuencias 90 106 11 106 122 7 122 138 8 138 154 5 154 170 8 170 186 6

Total 45

Ahora estamos listos para responder preguntas como:

a) Cul es el intervalo de gasto semanal que ms se present? b) Cuntos trabajadores se encuentran en este rango? c) Cules es la clase con un gasto semanal mayor?

Respuestas: a) 130 a 144 b) 9 c) 175 - 189



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Consideras que esta informacin es suficiente para determinar el monto del bono? T qu haras para saber cunto darle a los trabajadores?

La forma como se manejan los lmites de las clases depende de la naturaleza de los datos. Cuando se trabaje con datos que pueden tomar valores fraccionarios (peso, temperatura, presin), los parntesis y corchetes son una buena opcin. Si los datos slo pueden tomar valores discretos (nmero de personas, nmero de piezas), los parntesis no son necesarios. Por ejemplo, la tabla anterior podra quedar:

Tabla 7. Tabla de Frecuencia. Ramrez 2009 En cualquiera de los casos, el ancho de clase (C) es igual a la diferencia entre los lmites superiores de dos clases continuas. En este ejemplo, C=74-64=10 C=85-75=10. Otro punto importante de sealar es que los datos pueden ordenarse de menor a mayor o de mayor a menor; durante el curso slo usaremos la ordenacin de menor a mayor para evitar confusiones.

Clase (C) Frecuencia absoluta

45 54 7 55 64 14 65 74 11 75 84 9 85 94 6

95 104 3 n= 50



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Porcentaje relativo, frecuencia acumulada, porcentaje acumulado Una vez que hemos construido la tabla anterior, se puede extraer fcilmente ms informacin. La tabla siguiente muestra, adems de la frecuencia absoluta (ya calculada), el porcentaje relativo, la frecuencia acumulada y el porcentaje acumulado.

Porcentaje Relativo Muestra la frecuencia de una clase como porcentaje del total de datos. Por ejemplo, para el caso de los 50 estudiantes, el porcentaje de los pesos de los estudiantes que se encuentran entre 85 y 94 es: 100% = 650100% = 12%

Frecuencia acumulada Suma a la frecuencia de cada clase las frecuencias de las clases anteriores. En el ejemplo siguiente se muestra cmo determinar la frecuencia acumulada.

Porcentaje acumulada Suma al porcentaje de cada clase los porcentajes de las clases anteriores. En el ejemplo siguiente se muestra cmo determinar la porcentaje acumulada. Ejemplo 3: Tomando como base la distribucin de frecuencia de los pesos de los 50 estudiantes, en la siguiente tabla se muestra de qu trata cada uno de ellos y la forma de calcularlos.

Clase Frecuencia absoluta

Porcentaje Relativo Frecuencia acumulada

Porcentaje acumulado

(45 55] 7 750 = 0.14100% = 14% 7 14% (55 65] 14 28% 14 + 7 = 21 14% + 28% =42% (65 75] 11 22% 32 64% (75 85] 9 18% 41 82% (85 95] 6 12% 47 94%

(95 105] 3 6% 50 100% n= 50

Tabla 8. Tabla de Frecuencias. Ramrez 2009



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Con esta informacin adicional, podemos dar respuesta a otras preguntas como:

a) Cuntos estudiantes se encuentran en el intervalo de pesos de 45 a 85 kilogramos? b) Qu porcentaje representan este grupo de estudiantes? c) Qu porcentaje de los alumnos pesan entre 85 y 95 kilogramos?

Las respuestas a estas preguntas son:

a) 41 estudiantes pesan entre 45 y 85 kilogramos. b) El 12% de los estudiantes pesan entre 85 y 95 kilogramos. c) El 64% de los estudiantes pesan entre 45 y 75 kilogramos.

Alguna otra interpretacin de la informacin observada?

Con la prctica, tus observaciones sern ms concretas y relevantes, adelante!

Busca distribuciones de frecuencia en los peridicos, en las revistas, Internet...

En el lugar menos esperado encontrars una.

Referencias

Kazmier, L. 2006. Estadstica aplicada a administracin y economa. 4ta. Edicin, Mxico: McGrawHill

Levin, R. 2005. Estadstica para administradores. Mxico: Prentice Hall

mb0010 m1aa2l1 frecuencia uveg ok

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