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Politecnico di Torino

Corso di Laurea in Ingegneria Matematica

Appunti di Meccanica dei ContinuiA.A 2013/2014

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Indice

1 Deformazioni Finite e Infinitesime 2

1.1 Deformazione e gradiente di deformazione . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Stiramenti e Angoli di Scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Tensori di Cauchy-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Invarianti Principali di C e di B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Spostamento e Gradiente di Spostamento . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Deformazioni Infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Alcune Formule Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Impiego delle Coordinate Curvilinee in B ∗ e B . . . . . . . . . . . 231.9 Condizioni di compatibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Cinematica di un Sistema Continuo 34

2.1 Velocità e Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Tensori Velocità di Deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Moti Rigidi, Irrotazionali e Piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Curve, Superfici e Volumi Materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Teoremi sulla Vorticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Interfacce e Superfici Singolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.7 Generalizzazione dei Teoremi di Gauss e Stokes . . . . . . . . . . . 53

2.8 Velocità di Propagazione e di Avanzamento di una Superficie . . . . 56

2.9 Lemma di Hadamard e Condizioni Geometriche di Compatibilità . . 58

2.10 Discontinuità su una Superficie Mobile Singolare . . . . . . . . . . 61

2.11 Superfici Singolari per un Moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Equazioni di Bilancio 73

3.1 Teoremi del Trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Equazioni di Bilancio in Forma Locale . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Bilancio in Coordinate Lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4 Teoremi del Trasporto per Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5 Equazioni di Bilancio Superficiale in Forma Locale . . . . . . . . . 85

3.6 Applicazione alle Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 87

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INDICE 2

3.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 Bilancio Meccanico dei Sistemi Continui 92

4.1 Equazioni di Conservazione della Massa . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Forze di Massa e Sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Postulato e Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Espressione Locale del Bilancio della Quantità di Moto . . . . . . . 1 0 1

4.5 Una Condizione al Contorno per il Tensore degli Sforzi . . . . . . . 1 0 3

4.6 Bilancio della Quantità di Moto in Coordinate Lagrangiane . . . . . 103

4.7 Bilancio dell’Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.8 Primo Principio della Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.9 Secondo Principio della Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5 Assiomi Costitutivi e Simmetrie 114

5.1 Assiomi Costitutivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2 Carattere di Trasformazione dei Tensori . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Applicazione ai Continui Elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 Gruppi di Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5 Funzioni Isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6 Solidi Elastici 131

6.1 Solidi Isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.2 Solidi Iperelastici ed Energia Potenziale Elastica . . . . . . . . . . 133

6.3 Simmetria per Solidi Iperelastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4 Vincoli di Incompressibilità e di Inestensibilità . . . . . . . . . . . 143

6.5 Esempi di Equazioni Costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.6 Problemi di Estensione di Solidi Elastici . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.6.1 Estensione Uniassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.6.2 Estensione Biassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.6.3 Tensione Uniforme di un Solido Neo-Hookeano . . . . . . . 149

6.7 Effetto Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.8 Elasticità Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7 Fluidi 166

7.1 Fluidi Perfetti ed Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.2 Statica di un Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.3 Teoremi di Thomson, Helmholtz, Lagrange e Bernoulli . . . . . . . 1 7 2

7.4 Moti Stazionari Irrotazionali di Fluidi Perfetti Incompressibili . . . 1 7 3

7.5 Moti Stazionari Piani di Fluidi Perfetti Incompressibili . . . . . . . 1757.6 Onde Ordinarie di Discontinuità in un Fluido Perfetto Compressibile 176

7.7 Evoluzione del Fronte d’Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.8 Fluidi Viscosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.9 Stabilità della Quiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

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INDICE 3

7.10 Fluidi Non-Newtoniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8 Viscoelasticità 199

8.1 Ipotesi Costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.2 Memoria Evanescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.3 Teoria della Viscoelasticità Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.4 Equazioni Costitutive per Materiali Isotropi . . . . . . . . . . . . . 205

8.5 Viscoelasticità Finita Lineare e Teoria di Lodge . . . . . . . . . . . 206

8.6 Il modello BKZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.7 Viscoelasticità Infinitesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.8 Stabilità della Quiete per Equazioni di Tipo Integrale . . . . . . . . 214

8.9 Velocità di Propagazione delle Onde di Shear . . . . . . . . . . . . 216

8.10 Modelli Differenziali e Modelli Integrali: Fluidi di Maxwell . . . . 2 1 7

8.11 Fluidi di Oldroyd ed Altri Modelli Differenziali . . . . . . . . . . . 224

8.12 Modelli Molla/Smorzatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.12.1 Fluidi di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.12.2 Solidi di Voigt-Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.12.3 Solidi Lineari Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.12.4 Fluidi di Jeffreys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

A Definizioni 243

B Teoremi 252

B.1 Deformazioni Finite ed Infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

B.2 Cinematica di un Sistema Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

B.3 Equazioni di Bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

B.4 Equazioni di Bilancio per Sistemi Continui . . . . . . . . . . . . . 258

B.5 Assiomi Costitutivi e Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

B.6 Solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

B.7 Fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

B.8 Viscoelasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

C Formule Utili 262

C.1 Calcolo Vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.2 Calcolo Tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.3 Operatori Differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.3.1 Coordinate Cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.3.2 Coordinate Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.4 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.4.1 Coordinate Cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262C.4.2 Coordinate Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.5 Equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.5.1 Coordinate Cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C.5.2 Coordinate Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

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Premessa

Questo ipertesto è basato sugli appunti stilati dal Prof. Antonio Romano ed utiliz-

zato come testo di riferimento per corsi di Fisica Matematica ed Istituzioni di Fisica

Matematica tenuti presso l’Università di Napoli.

Non è ancora un libro di testo, ma una raccolta di appunti di lezioni legate ad

un lavoro collettivo. La sua stesura è stata resa possibile grazie al lavoro editoriale

degli studenti del corso di laurea in Ingegneria Matematica che hanno contribuito avario titolo al riordino degli appunti delle lezioni di Meccanica dei Continui tenute

presso il Politecnico di Torino, agli approfondimenti su argomenti specifici ed al-

lo sviluppo di esercizi. Si ringraziano quindi particolarmente Alessandro Barardi,

Emanuela Boccuto, Alessandro Corbetta, Giovanni Dalmasso, Flavia De Nuzzo,

Filippo Gasco, Federico Marchi, Lorenzo Pagan, Cecilia Pagliantini, Noemi Picco,

Simone Rivolo, Lorenzo Rosella, Sabrina Sampò, Laura Savino, Laura Scarabo-

sio, Matteo Sospisio, Lorenzo Tentarelli e soprattutto Saverio Smaldone che ha dato

inizio a questa avventura.

Essendo questo quindi un lavoro di équipe, ove mai questo testo raggiungesse la

maturità per essere stampato é giusto che gli eventuali diritti di autore siano devoluti

alla collettività in modo da dare il diritto allo studio ad altri studenti. Una possibilità

è costituita dal pagamento dei costi di mantenimento allo studio di studenti chefrequentano l’Institut de Formation Hotelière et Touristique di Mbour (Senegal).

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Capitolo 1

Deformazioni Finite e

Infinitesime

Sia C un sistema continuo in moto in un assegnato riferimento R. Ad ogni istante leparticelle di C occuperanno una regione B t dello spazio. Fissato un istante inizialet0, si vuole studiare la deformazione che subisce ogni elemento di C nel passaggioda B ∗ a B t senza tener conto del moto stesso. L’analisi della correlazione esistentetra le parti di B ∗ e le corrispondenti di B t costituisce l’oggetto di questo capitolo.Proprio perché non si vuol tener conto del moto, in questo capitolo la configurazione

deformata verrà semplicemente denotata con B .

1.1 Deformazione e gradiente di deformazione

Siano B ∗ e B due configurazioni di un sistema continuo tridimensionale C, per es-empio le regioni occupate dai punti di C in due istanti diversi. Riferendosi allaFig.1.1, siano inoltre X un punto generico di C nella configurazione di riferimentoB ∗ e x il punto di C corrispondente ad X nella configurazione B . Nel riferimento R,salvo avviso contrario, si intende fissato un sistema cartesiano ortogonale (0, ei),i = 1, 2, 3 di origine 0 e versori ei. Infine, con (x

i) e (X L), i, L = 1, 2, 3, si deno-tano rispettivamente le coordinate di x e quelle di X in (0, ei). Si osservi che, nelseguito, indici minuscoli saranno sempre associati a grandezze relative a B , laddoveindici maiuscoli si riferiranno a grandezze relative a B ∗.

Si chiama deformazione finita da B ∗ a B la funzione vettoriale

x = x(X) , (1.1)

che associa ad ogni punto X ∈ B ∗ la sua posizione corrispondente in B , o equiva-lentemente, il sistema delle tre funzioni scalari

xi = xi(X 1, X 2, X 3), i = 1, 2, 3 . (1.2)

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CAPITOLO 1. DEFORMAZIONI FINITE E INFINITESIME 3

Figura 1.1: Configurazione di riferimento e configurazione deformata nella classica

rappresentazione informalmente chiamata potato diagram.

Si suppone che esse siano un diffeomorfismo, ossia che le funzioni (1.2) siano

di classe C 1, globalmente invertibili e con inversa di classe C 1. La richiesta chead ogni X ∈ B ∗ corrisponda una sola x ∈ B garantisce che la deformazione nongeneri fratture o discontinuità del materiale. Viceversa, la richiesta che ad ogni

x ∈ B corrisponda una ed una sola X ∈ B ∗ preserva le proprietà fondamentaledella materia. In particolare l’esistenza della funzione inversa è legata alla richiesta

che due particelle non possano contemporaneamente occupare la stessa posizione

(ossia la mancanza di sovrapposizioni) e la suriettività alla richiesta che parti del

corpo non possano sparire. Questa proprietà deve valere globalmente e non solo

localmente come messo in evidenza dall’Esercizio 1.1. =⇒ Es. 1, 2Differenziando la (1.2) si ha

dxi = ∂xi

∂X LdX L, (1.3)

sicché resta definita in ogni punto X ∈ B ∗ un’applicazione lineare, detta gradi-ente di deformazione in X che nel riferimento (0, ei) è individuata dalla matrice

F = (F iL) :=

∂xi

∂X L

, (1.4)

la quale associa ad ogni vettore (infinitesimo) dX uscente da X il corrispondentevettore dx uscente da x(X)

dx

=F

dX

. (1.5)Si suppone coerentemente con le ipotesi sulla deformazione finita che le (1.1)

siano tali che

J := det F = det

∂xi

∂X L

> 0 . (1.6)

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Figura 1.2: Trasformazione di volumi e di aree.

Infatti, come vedremo nel prossimo lemma gli elementi di volume dV ∗ e dV in B ∗e B rispettivamente, sono legati dalla relazione

dV = J dV ∗ . (1.7)

Quindi, la regolarità del gradiente di deformazione espressa dalla (1.6) implica,

grazie alla (1.7), che un elemento di volume non possa ridursi ad un punto.

Se J = 1 allora la deformazione viene detta isocora perché preserva ognielemento di volume.

Lemma 1.1. - (Relazione tra elementi di volume e di area).

Dati due elementi di area dΣ∗ e dV ∗ in B ∗ ed i corrispondenti elementi dΣ edV in B valgono le seguenti relazioni

dΣ = J F−T dΣ∗ , (1.8)

dV = J dV ∗ . (1.9)

DIM:

(1.8) Riferendosi alla Figura 1.2, detti dX1, dX2 e dX3 i vettori lungo i tre lati

del volumetto dV ∗ che si incontrano in un punto si ha che

dV = dx1 × dx2 · dx3 = (F dX1) × (FdX2) · (F dX3)= ǫijk(F iLdX

L1 )(F jM dX

M 2 )(F kN dX

N 3 )

= ǫijk

F iLF jM F kN dX L1 dX

M 2 dX

N 3 .

Ora ǫijkF i1F j2F k3 è proprio come si calcola il determinante di una matrice3 × 3 e la sostituzione di (1, 2, 3) con (L,M,N ) indica solo uno scambio di

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colonne per cui a meno del segno ǫijkF iLF jM F kN sarà ancora il det F e piùprecisamente ǫijkF iLF jM F kN = ǫLMN (det F). Quindi

dV = ǫLMN

(det F)dX L1

dX M 2

dX N 3

= J dV ∗

. (1.10)

(1.9) In maniera simile, sempre facendo riferimento alla Figura 1.2, se dX1 e

dX2 sono i lati di dΣ∗ allora dΣ∗ = dX1 × dX2 e dΣ = dx1 × dx2 =(F dX1) × (FdX2). Quindi

dΣ · eh = (dx1 × dx2) · eh = (FdX1) × (F dX2) · eh= ǫhij(F iLdX

L1 )(F jM dX

M 2 ) = ǫ

kijF iLF jM F kN F −1NhdX

L1 dX

M 2

= ǫLMN det F(F −1NhdX

L1 dX

M 2 ) = J F

−T hN (dX1 × dX2)N .

=⇒ Es. 3,4Riassumendo

dx = F dX ,

dΣ = J F−T dΣ∗ ,

dV = J dV ∗ .

Si osservi che c’è una differenza sostanziale tra i vettori dx e dΣ che puó es-sere evidenziata pensando di tracciare un trattino infinitesimale dX sul materiale.Nell’evoluzione questo trattino si deformerà in dx seguendo il corpo. La stessacosa non succede per dΣ, come si puó evidenziare pensando alla Figura 1.2 per due

deformazioni che conservino dx1 e dx2, ma non dx3.In conclusione il gradiente di deformazione contiene tutte le informazioni sulladeformazione che ha subito un elemento di volume in X nel passaggio da B ∗ a B .Allo scopo di esplicitare questo contenuto di informazioni, si cominci con l’osser-

vazione che la matrice F stante (1.6), è non singolare sicché ad essa può applicarsi

il seguente

Teorema 1.1. - (Teorema di decomposizione polare di Cauchy).

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Sia F un tensore del second’ordine per il quale detF > 0 in uno spazio vettoria-le Euclideo E 3. Allora esistono due tensori U e V , simmetrici e definiti positivie una rotazione propria R tale che

F = RU = VR, (1.11)

dove U , V e R sono definiti in modo univoco dalla relazione

U :=√ FT F, V :=

√ FFT ,

R := FU−1 = V−1F.(1.12)

=⇒ Es. 9,11DIM:

Passo 1 Innanzitutto osserviamo cheC = FT

F è una matrice simmetrica, defini-ta positiva. Infatti

CT = (FT F)T = FT F = C , (1.13)

e

v · (FT F)v = v · [FT (Fv)] = (Fv) · (Fv) = |Fv|2 ≥ 0 ,con l’uguaglianza soddisfatta solo se Fv = 0, il che per l’invertibilità di Fimplica v = 0.

Passo 2 Per una matrice simmetrica e definita positiva è possibile definire in

modo univoco la sua radice quadrata come quella matrice che nella base degli

stessi autovettori ha sulla diagonale le radici quadrate degli autovalori della

matrice originaria (vedasi Teorema ?? A.6 in Appendice 1 ????). Si può quin-

di definire U = √ FT F che sarà anch’essa simmetrica e definita positiva (e inparticolare invertibile, come servirà nel prossimo passo).

Passo 3 Definiamo R = FU−1. Questa matrice è ortogonale. Infatti,

RT R = (FU−1)T (FU−1) = (U−T FT )(FU−1)= U−1(FT F)U−1 = U−1U2U−1 = I ,

e

RRT = (FU−1)(FU−1)T = (FU−1)(U−T FT ) = (FU−1)(U−1FT )

= FU−2FT = FU−2U2F−1 = I .

Inoltre det R = detFdetU−1 > 0, per cui R corrisponde a una rotazionepropria.

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Passo 4 Dai passi 2 e 3 discende che esistono R ortogonale ed U simmetrica e

definita positiva tali che F = RU. Dimostriamo ora l’unicità. Se esistesserodue coppie (R1,U1) ed (R2,U2), allora

FT F = U1RT 1 R1U1 = U

21 ,

FT F = U2RT 2 R2U2 = U

22 ,

da cui U1 = U2. Essendo poi

F = R1U = R2U ,

ne segue anche che R1 = R2.

Passo 5 Per dimostrare che F = VR, si potrebbero riproporre i passi precedentipartendo dal tensore B = FFT o più semplicemente osservare che

F = RU = RURT

R = VR , con V = RURT

.

La matrice V è simmetrica definita positiva, infatti

VT = (RURT )T = RURT = V ,

e

v ·Vv = v ·(RURT )v = v · [RU(RT v)] = (RT v) ·U(RT v) = w ·Uw ≥ 0 ,

con uguaglianza soddisfatta solo per w = RT v = 0, ossia v = 0.

È chiaro che anche la seconda decomposizione è unica.

Si noti che R è la stessa in entrambe le decomposizioni.

Come rappresentato in Fig. 1.3 si ha il seguente risultato che chiarisce il signifi-

cato fisico della decomposizione polare

Lemma 1.2. - (Significato fisico della decomposizione polare).

Nel passaggio da B ∗ a B , l’elemento di volume dV ∗ in X ∈ B ∗ si trasforma inun elemento dV in x(X) ∈ B il quale è ottenuto prima dilatando ogni dimen-sione dX L di B ∗ lungo l’autovettore uL di U delle quantità λL , quindi traslan-do rigidamente l’elemento cosı̀ ottenuto ed infine ruotando gli autovettori uLsecondo il tensore ortogonale R.

DIM: Si consideri la decomposizione F = RU. La matrice U individua un’ap-plicazione lineare tra i vettori uscenti da X e quelli uscenti da x(X). Per-tanto introdotta la matrice I p = (δ

iL), che realizza il trasporto parallelo di un

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vettore da X ad x, e posto U = I pŨ, anche Ũ è simmetrica, definita positi-va e costituisce un endomorfismo dei vettori in X. Da queste sue proprietà

consegue che Ũ ammette almeno una base ortonormale di autovettori (uL)

nonché autovalori (semplici o multipli) λL tutti positivi. D’altra parte, la ma-trice ortogonale R trasforma basi ortonormali in basi anch’esse ortonormali.Posto dX = dX LuL e vL = RI p uL, da (1.11)1 si ha

dx = FdX = RI pŨ dX = (RI p)[Ũ (dX LuL)] = dX

L RI p(ŨuL)

= dX LλLRI p uL = λLdX LvL = λ1dX

1v1 + λ2dX 2v2 + λ3dX

3v3 .

Si può cosı̀ affermare che il vettore dx corrispondente in x(X) al vettoredX, con origine in X, coincide col vettore che nella base (vL), ottenutatraslando e ruotando con RI p la base (uL) di autovettori di Ũ, ha componenti(λ1dX

1, λ2dX 2, λ3dX

3). La tesi si ottiene osservando che un elemento divolume dB ∗ in X ∈ B ∗ può sempre identificarsi con un parallelepipedo conlati dX

1

, dX

2

, dX

3

lungo gli autovettori u1, u2, u3 rispettivamente.

=⇒ Es. 12

L’interpretazione ora fornita per la decomposizione (1.11)1 rende appropriate leseguenti denominazioni

R = tensore ortogonale di rotazione,

U = tensore destro di stiramento,

V = tensore sinistro di stiramento,

λL = stiramenti principali,

uL = direzioni principali di stiramento.

In definitiva, la (1.3) fornisce la corrispondenza tra elementi di linea, di area e di

volume e la decomposizione polare (1.11), consente di interpretare la deformazione

dell’elemento dV ∗ a dV .

1.2 Stiramenti e Angoli di Scorrimento

Siano dX e dx due vettori infinitesimi corrispondenti in B ∗ e B rispettivamente.Si definisce stiramento (stretch) nella direzione individuata dal vettore N di dX loscalare

δ N = |dx||dX| , (1.14)

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Figura 1.3: Significato fisico del teorema di decomposizione polare con l’azione di

U (sopra) e R (sotto).

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Figura 1.4: Stiramenti ed angoli di scorrimento.

mentre il rapporto

δ N − 1 = |dx| − |dX||dX| , (1.15)

è detto deformazione longitudinale (extension) nella direzione N.

Infine, presi due vettori infinitesimi dX

1 e dX

2 uscenti da X

∈ B ∗ e formantifra loro un angolo Θ12, si chiama angolo di scorrimento (shear) γ 12 tra le direzioniN1 ed N2 di dX1 e dX2, la differenza

γ 12 = Θ12 − θ12 , (1.16)

dove θ12 è l’angolo formato tra i vettori dx1 e dx2 corrispondenti a dX1 e dX2 nelpunto x(X) ∈ B . Si noti che nell’angolo di scorrimento non è implicata la rotazioneperché coinvolge una differenza di angoli.

Si osservi che se N coincide con l’autovettore uL di U appartenente all’autoval-

ore λL, da (1.14) si ha

δ uL = |

RU dX

||dX| = λL |RdX

||dX| = λL , (1.17)perchéR è ortogonale. Ciò giustifica l’impiego dello stesso nome per le due quantità

δ N e λL.=⇒ Es. 5,6,7,8

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A questo punto si presenta il problema di dedurre da F l’insieme di tutti gli

stiramenti e gli angoli di scorrimento in X in quanto questi forniscono notevoli

informazioni sulla deformazione locale. Ciò sarà fatto nel paragrafo seguente con

l’introduzione del tensore di Cauchy-Green.

1.3 Tensori di Cauchy-Green

Si definisce tensore destro di Cauchy-Green il tensore simmetrico (si veda (1.13))

C := FT F

C LM =

i

F iLF iM

. (1.18)

Per le decomposizioni (1.11) può anche scriversi

C = FT F = (RU)T RU = UT RT RU = UR−1RU = U2 , (1.19)

sicché C è definito positivo.

Si ha quindi il seguente teorema che dà la relazione tra gli autovalori ed autovet-

tori di C ed U.

Lemma 1.3. - (Relazione tra autovalori ed autovettori di C ed U).

Gli autovettori del tensore destro di Cauchy-Green C coincidono con quelli di

U mentre gli autovalori di C sono i quadrati degli autovalori di U.

DIM: Si osservi che se u è autovettore di U appartenente all’autovalore λ , cioè

se Uu = λu, è anche Cu = U2

u = U (Uu) = λ2

u sicché u è ancheautovettore di C appartenente all’autovalore λ2. Per mostrare che, inversa-mente, ogni autovettore di C appartenente all’autovalore Λ (certamente pos-itivo) è un autovettore di U appartenente all’autovalore

√ Λ, si consideri la

base (u1, u2, u3) di autovettori di U (esistente perché U è simmetrico) e siindichi con v = ξ iui l’autovettore di C appartenente all’autovalore Λ

C(ξ iui) = Λ(ξ iui) (ξ

i non tutti nulli) .

Ma ogni autovettore di U corrispondente all’autovalore λ è anche un autovet-tore di C corrispondente all’autovalore λ2. Quindi

ξ iλ2iui = Λξ iui Λ > 0 ,

che, eguagliando le componenti, conduce al sistema

(λ21 − Λ)ξ 1 = 0 ,(λ22 − Λ)ξ 2 = 0 ,(λ23 − Λ)ξ 3 = 0 .

(1.20)

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Se gli autovalori di U sono tutti semplici (cioè λ1, λ2, λ3 distinti), poichésono positivi, anche λ21, λ

22, λ

23 sono distinti (si veda l’Osservazione 1.1) ed

il sistema (1.20) può essere soddisfatto in uno dei modi seguenti

1) λ21 = Λ, ξ 1 = 0, ξ 2 = ξ 3 = 0,2) λ22 = Λ, ξ

2 = 0, ξ 1 = ξ 3 = 0,3) λ23 = Λ, ξ

3 = 0, ξ 1 = ξ 2 = 0,sicché gli autovettori di C sono autovettori di U appartenenti ad uno degli

autovalori λ1, λ2, λ3. Allo stesso risultato si perviene nei casi in cui Uammette un autovalore semplice ed uno doppio, oppure un autovalore triplo.

Osservazione 1.1. Si osservi che se A è una matrice simmetrica ma non definita

positiva è sempre vero che ogni autovettore di A appartenente all’autovalore λ èun autovettore di A2 appartenente all’autovalore λ2 ma non è generalmente vero

il viceversa. Cosı̀, ad esempio, la matrice A =

1 00 −1

ammette la base di

autovettori (1, 0) e (0, 1) appartenenti agli autovalori 1 e −1 rispettivamente,mentre A2 =

1 00 1

ha per autovettori tutto il piano in corrispondenza

dell’autovalore Λ = 1. In questo esempio però λ1 = λ2 λ21 = λ22. Quindiper la dimostrazione del teorema è essenziale che U sia definita positiva.

Lemma 1.4. - (Significato fisico delle componenti di C).

Le componenti diagonali C LL del tensore destro di Cauchy-Green rappresen-tano i quadrati degli stiramenti lungo le direzioni dei versori del riferimento

(0, ei) , laddove le componenti miste C LM (L = M ) sono proporzionali ai senidegli angoli di scorrimento tra le direzioni dei versori eL e eM . Infine, gli au-

tovalori di C coincidono con i quadrati degli stiramenti lungo le autodirezioni

di U.

DIM: Si consideri un vettore dX = |dX|N uscente da X ∈ B ∗, nella direzionedel versore N. Dalle (1.14), (1.5) e (1.18) si ha

δ 2N

= dx · dx

|dX|2 =F

dX

|dX|

·F

dX

|dX|

(1.21)

= (FN) · (FN) = N · (FT FN) = N ·CN .In particolare, se N è l’autovettore (unitario) u di C appartenente all’autoval-

ore Λ dalla (1.21) segueδ 2u

= Λ. (1.22)

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Invece, se N = eL la (1.21) comporta

δ 2eL

= C LL. (1.23)

Infine, scelti in X ∈ B ∗ due vettori infinitesimi dX1 e dX2 nelle due direzioniindividuate dei versori N1 ed N2 ed indicando con dx1 e dx2 i corrispondentidi dX1 e dX2 in x ∈ B , il coseno dell’angolo θ12 formato da dx1 e dx2 risultadato da

cos θ12 = dx1 · dx2|dx1||dx2| =

(F dX1) · (FdX2) dX1 · C dX1

dX2 · C dX2

= dN1 · (FT F) dN2|dX1||dX2|

N1 ·CN1

N2 · CN2|dX1||dX2|

= N1 · CN2 N1 ·CN1

N2 · CN2

,

da cui segue

δ N1δ N2 cos θ12 = N1 ·CN2. (1.24)Se in (1.24) si pone N1 = eL, N2 = eM (L = M ) e si ricordano (1.21) e(1.23), si perviene al risultato

sin γ LM = cos θLM = C LM √ C LL

√ C MM

. (1.25)

Il Lemma 1.5 quindi afferma che è possibile scrivere C come

C =

δ 2e1 δ e1δ e2 sin γ 12 δ e1δ e3 sin γ 13

δ e1δ e2 sin γ 12 δ 2e2

δ e2δ e3 sin γ 23

δ e1δ e3 sin γ 13 δ e2δ e3 sin γ 23 δ 2e3

.Nel seguito sarà anche utile il tensore sinistro di deformazione di Cauchy-

Green cosı̀ definito

B = FFT = RU2RT = BT = V2

Bij =L

F iLF jL

(1.26)

=⇒ B = RCRT , C = RT BR .

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Si osservi che, come mostrato in Figura 1.5, C opera dalla configurazione di

riferimento B ∗ in sé, mentre B opera da B in sé.

Infine è utile introdurre il tensore B−1

che è chiamato finger tensor. Se, comedimostrato in (1.21), |dx|2 = dX · C dX , la relazione inversa è

|dX|2 = dX · dX = (F−1dx) · (F−1dx) = dx · (F−T F−1dx)= dx · (FFT )−1dx = dx · B−1dx .

Si verifica facilmente il seguente teorema che stabilisce una relazione tra gli

autovalori ed autovettori di B e C.

Lemma 1.5. - (Relazione tra autovalori ed autovettori diB e C).

I tensori B e C hanno gli stessi autovalori mentre gli autovettori di B si otten-

gono da quelli diC applicando ad essi la rotazione R della decomposizione po-

lare (1.11); inversamente quelli di C si ottengono da quelli di B con la rotazioneinversa.

DIM: Innanzitutto, B = BT e se u è autovettore di C appartenente all’autovaloreΛC si ha

Cu = ΛC u ,

e quindi anche

RCu = R(ΛC u) ,

e

RC(RT R)u) = ΛC (Ru) ,

sicché

B (Ru) = (RCRT )(Ru) = ΛC (Ru) ,

da cui segue la prima parte del teorema.

Inoltre, se v è autovettore di B appartenente all’autovalore ΛB, può scriversi

ΛBv = Bv = RCRT v ,

da cui si ottiene

C(RT v) = ΛB(RT v) ,

e quindi l’asserto.

=⇒ Es. 9,10

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Figura 1.5: Schema riassuntivo dei tensori di deformazione e delle configurazioni

su cui operano.

1.4 Invarianti Principali di C e di B

Come è noto, gli autovalori di un tensore doppio coincidono con le radici dell’e-

quazione caratteristica. Quest’ultima ammette soluzioni reali se il tensore è simmet-

rico. Inoltre, se il tensore è definito positivo queste radici sono positive. I tensori C e

B definiti al paragrafo precedente sono appunto simmetrici e definiti positivi sicché,

come si è già detto, ammetteranno autovalori reali e positivi. Inoltre, l’equazione

caratteristica per C si scrive

Λ3

−I C Λ

2 + II C Λ

−III C = 0 ,

dove i coefficienti I C , I I C , I II C che risultano invarianti (e cioè indipendenti dalsistema di coordinate adottate) sono denominati rispettivamente 1◦, 2◦ e 3◦ inva-riante principale di C ed hanno le seguenti espressioni.

I C = trC = C 11 + C 22 + C 33 ,

II C = 1

2

3L,M =1

(C LLC MM − C LM C LM ) ,

III C = det C .

(1.27)

Ricordando il carattere di invarianza di I C , II C , III C ed adottando una base di

autovettori diC, in cui C è rappresentato da una matrice diagonale con gli autovalori

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λ1, λ2, λ3 sulla diagonale principale, le (1.27) possono anche scriversi

I C = λ1 + λ2 + λ3 ,

II C = 12 (λ1λ2 + λ1λ3 + λ2λ3) ,

III C = λ1λ2λ3 .

(1.28)

Dal Lemma 1.5 gli autovalori di B e di C coincidono, per cui le (1.28) con-

sentono di concludere che

I C = I B , II C = II B , III C = III B. (1.29)

Nelle applicazioni sono utili le seguenti formule di derivazione valide per ogni

tensore C non singolare

Lemma 1.6. - (Derivazione degli invarianti).

Per ogni tensore C non singolare

∂I C ∂ C

= I ,

∂II C ∂ C

= I C I−CT , (1.30)

∂III C ∂ C

= III C (C−1)T = (C2 − I C C+ II C I)T .

DIM: Data una matriceA non singolare, si sviluppi il suo determinante secondo gli

elementi della prima riga. Si ha allora detA = A11 Â11 + A12 Â12 + A13 Â13dove ÂLM è il complemento algebrico dell’elemento ALM . Pertanto, peresempio, ∂ ∂A12 det A =

Â12. Ricordando che

[A−1]21 =Â12

det A,

si ha quindi che∂ detA

∂ A = (detA)A−T .

Per provare le (1.30) si parte dall’identità

det(ΛI+C) = Λ3 + I C Λ2 + II C Λ + III C . (1.31)

Derivando i due membri della (1.31) rispetto a C si ottiene da una parte

∂

∂ C det(ΛI+C) = det(ΛI+C)[(ΛI+C)−1]T =

= (Λ3 + I C Λ2 + II C Λ + III C )[(ΛI+C)−1]T ,

(1.32)

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e dall’altra

∂

∂ C(Λ3 + I C Λ

2 + II C Λ + III C ) = ∂I C

∂ C Λ2 +

∂II C ∂ C

Λ + ∂III C

∂ C . (1.33)

Eguagliando i secondi membri delle (1.32) e (1.33) e moltiplicando a destra

la relazione cosı̀ ottenuta per (ΛI+C)T si ha

Λ3I+ I C Λ2I+ II C ΛI + III C I =

= ∂I C

∂ C Λ3 +

∂II C ∂ C

+ ∂ I C

∂ C CT

Λ2

+

∂III C

∂ C +

∂ II C ∂ C

CT

Λ + ∂III C

∂ C CT .

Osserviamo che ovviamente, seC è simmetrico, i segni di trasposizione in (1.30)

sono inutili.

Paragonando i coefficienti di Λ, si ottengono facilmente le (1.30). Dall’ultimadiseguaglianza in (1.30) per C simmetrici discende che

C2 − I C C + II C I = III C C−1 ,

e quindi il Teorema di Cayley-Hamilton

C3 − I C C2 + II C C− III C I = O , (1.34)

che quindi afferma che se M è una matrice quadrata e p(x) il suo polinomio carat-teristico allora p(M) = O.

1.5 Spostamento e Gradiente di Spostamento

La deformazione del continuo C conseguente al suo passaggio dalla configurazioneB ∗ a quella B , può equivalentemente descriversi con il campo dei vettori sposta-mento u(X) definito dalla relazione

x(X) = X + u(X). (1.35)

Introdotto il gradiente di spostamento

Gradu = ∂ui∂X L

, (1.36)da (??) si ricava

F = I+ Gradu . (1.37)

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Di uso corrente è anche il tensore di deformazione di Green-Saint Venant

G = 1

2

(C

−I) = GT , (1.38)

che ricordando la definizione (1.18) di C e la (1.37) può anche scriversi

G = E+ 1

2(Gradu)T Gradu , (1.39)

dove

E = 1

2

Gradu + (Gradu)T

, (1.40)

è detto tensore di deformazione infinitesima e rappresenta la parte simmetrica di

Gradu, mentre

W = 12Gradu− (Gradu)T = −WT (1.41)

è detto tensore di rotazione infinitesima e rappresenta la parte antisimmetrica di

Gradu.L’interpretazione fisica del tensore E sarà data nel paragrafo seguente. Qui si

vogliono invece provare le seguenti proprietà di G che ne chiariscono il significato

fisico

a) Gli autovettori di G coincidono con quelli di C mentre, se Λ sono gli autovaloridi C, quelli di G risultano 1

2(Λ − 1).

b) Le differenze 2GLL + 1 coincidono con i quadrati degli stiramenti lungo le

direzioni dei versori degli assi, mentre le componenti ad indici differentiGLM (L = M ), sono proporzionali ai seni degli angoli di scorrimento.

La proprietà a) è immediata, laddove per provare la b) basta ricorrere alle (1.21),

(1.24) e (1.38).

Poiché l’interpretazione fisica di C è più immediata di quella di G, può sem-

brare inutile l’introduzione di G. Tuttavia, in seguito si proverà che per piccole

deformazioni sono proprio G ed E i tensori più naturali.

Sussistono infine i seguenti legami tra gli invarianti principali di G e quelli di B

(o di C)2I G = I B − 3,4II G = II B

−2I B + 3,

8III G = III B − II B + I B − 1 .(1.42)

I B = 2I G + 3,II B = 4II G + 4I G + 3,III B = 8III G + 4II G + 2I G + 1 .

(1.43)

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1.6 Deformazioni Infinitesime

Si dirà che una deformazione daB ∗

aB

è infinitesima se le componenti di u e

quelle di Gradu sono quantità del primo ordine, ossia se rispetto ad esse possonotrascurarsi le potenze di ordine n 2 o ogni prodotto di queste quantità. Si osserviche mentre F, C e B tendono al tensore identità quando u → 0, le quantità Gradu,G ed E tendono a zero per u → 0. Ciò dà ragione dell’interesse di questi tensorinello studio delle piccole deformazioni.

In una deformazione infinitesima, dalla (1.39) si ha

G ≈ E , (1.44)

dove il segno ≈ denota che le quantità al primo e secondo membro differiscono perinfinitesimi di ordine superiore ad |u| e |Gradu|. Quindi

C ≈ I+ 2E . (1.45)

Osserviamo esplicitamente che per deformazioni infinitesime è lecito confondere

coordinate euleriane e lagrangiane in quanto, per esempio,

Gradu = ∇uF ≈ ∇u .

Per questo motivo, la classica definizione del tensore di deformazione infinitesima

è

E = 1

2

∇u + (∇u)T .È ora immediato valutare il significato fisico delle componenti di E in una

deformazione infinitesima. Sussiste infatti il seguente

Lemma 1.7. - (Significato fisico di E).

In una deformazione infinitesima gli autovettori di E coincidono con quelli di

U (e quindi di C e B)a sicch´ e possono anch’essi chiamarsi assi principali di de-

formazione. Inoltre, le componenti diagonali di E eguagliano gli allungamenti

unitari lungo gli assi

E LL ≈ δ eL − 1 (1.46)laddove le sue componenti miste coincidono con la met ̀a degli angoli di

scorrimento degli assi coordinati

γ LM

≈ 2E LM , L

= M . (1.47)

aQui e nel seguito le uguaglianze vanno intese verificate a meno di termini del secondo ordine

in Grad u.

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DIM: Per provare la prima parte del teorema, si considerino due versori N1 e

N2 uscenti da X ∈ B ∗. È evidente, per (1.38), (1.39) e (1.44), la catena diegualianze

N1 · CN2 = N1 · (2G+ I)N2 ≈ N1 · 2EN2 + N1 ·N2 (1.48)sicché, per N1 = N2 = N, stante la (1.21), si ha

δ N ≈√

1 + 2N · EN ≈ 1 + N · EN (1.49)La (1.49), quando si ponga in essa N = eL, fornisce la (1.46). Se invece,nella (1.48) si prendono N1 = eL, N2 = eM , con L = M , e si tiene contodella (1.24) e della condizione eL · eM = 0, si ottiene

δ eLδ eM cos θLM ≈ 2E LM .D’altra parte, per la (1.46) è δ eLδ eM

≈ 1 mentre sin(π2

−θLM ) = sin γ LM

≈γ LM in quanto gli angoli di scorrimento sono piccoli. In queste approssi-mazioni si ottiene appunto la (1.47).

Ricordiamo anche il seguente altro teorema che riformula il teorema di decom-

posizione polare nell’ambito della teoria delle deformazioni infinitesime.

Lemma 1.8. In una deformazione infinitesima si ha1

U ≈ I+ E ,R ≈ I+W . (1.50)

Inoltre

FdX = RU dX = dX + EdX + Φ× dX , (1.51)essendo

Φi := 1

2εijlW jl . (1.52)

DIM: Dalla (1.11)1 segue

U2 = FT F =⇒ U =√ C ,

R = FU−1 .

Pertanto,

U =√ I + 2G

≈

√ I+ 2E

≈I+ E .

Inoltre,

R = FU−1 = (I+ Gradu)(I+ E)−1 .

1Si osservi che I+W è ortogonale a meno di termini del secondo ordine. Infatti, (I+W)(I+W)T ≈I +W+WT = I.

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Poiché si prova che (cfr. Paragrafo 1.7)

(I+ E)−1 ≈ I− E = I− 12 Gradu + (Gradu)

T

,si ha R = I +W e le (1.50) risultano provate. Da queste segue anche

F dX = RUdX ≈ (I+ E)(I+W) dX ≈ (I+ E+W) dX .D’altra parte, il vettore W dX può sempre porsi nella forma Φ× dX dove Φè l’aggiunto di W definito con la (1.52).

A conclusione di questo paragrafo, si osservi che dall’essere (cfr. Paragrafo 1.7)

J ≈ 1 + tr(Gradu) = 1 + trE, consegue che la (1.7) si scrivedV

−dV

∗dV ∗ = trE . (1.53)

1.7 Alcune Formule Notevoli

In appendice? Non controllato

Se A = (Aij) è una generica matrice non singolare, allora

∂ (A−1)hk∂Aij

= −(A−1)hi (A−1)jk . (1.54)

Inoltre, il gradiente di deformazione F verifica l’identità

∂ ∂xi

1J

F iL = 0 , J = det F . (1.55)

Per verificare la (1.54) si derivi rispetto ad Aij la relazione

Arl (A−1)lk = δ

rk . (1.56)

Si ottiene in tal modo

∂Arl∂Aij

(A−1)lk + Arl

∂ (A−1)lk∂Aij

= 0 ,

da cui, moltiplicando a sinistra per (A−1)hr e ricordando la (1.56), segue che

∂ (A−1)hk∂Aij

= −(A−1)hr∂Arl∂Aij

(A−1)lk = −(A−1)hr δ ri δ jl (A−1)lk ,

e quindi la (1.54).

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Infine, la (1.55) è provata dalla seguente catena di uguaglianze

∂

∂xi

1

J

F iL = ∂F hM

∂xi

∂

∂F h

M 1

J

F iL = ∂F hM

∂xi −

1

J 2

J (F −1)M h F iL +

1J δ ihδ M L =

= 1

J (F −1)N i

∂F hM ∂X N

δ ihδ M L − (F −1)M h F iL

=

= 1

J

(F −1)N h

∂ 2xh

∂X L∂X N − (F −1)M h

∂ 2xh

∂X L∂X M

= 0 .

Sia ora A una matrice del tipo

A = I+M , (1.57)

è allora possibile provare le seguenti formule

detA = 1 + I M + II M + O(M2) , (1.58)

A−1 = I−M+M2 + O(M2) . (1.59)Intanto, detto a = det A si ha

a(M) = a(O) +

∂a

∂M ij

M=O

M ij + 1

2

∂ 2a

∂M ij∂M lm

M=O

M ijM lm + O(M

2)

dove per (1.57) è a(O) = 1, mentre per (??) è

∂a

∂M ij M=O=

∂ a

∂aijM=O= a(O)(A−1)ji (O) = δ

ji .

Inoltre, dalla (??) e (1.54) segue

∂ 2a

∂M ij∂M lm

= ∂

∂M ij

a(A−1)ml

= a(A−1)ji (A

−1)ml − a(A−1)mi (a−1)jl ,

sicché ∂ 2a

∂M ij∂M lm

M=O

M ijM lm = (δ

ji δ ml −δ mi δ jl )M ijM lm = M iiM ll−M mj M jm = 2II M ,

e la (1.58) è provata.

Ancora, si ha

(A−1)ij = δ ij+

∂ (δ ij + M

ij)−1

∂M lm

M=O

M lm+1

2

∂ 2(δ ij + h

ij)−1

∂M lm∂M pq

M=O

M lmM pq +. . .

(1.60)

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dove per la (1.54) risulta

∂ (δ ij + h

ij)−1

∂hlm M=O = −[(δ

il + h

il)−1(δ mj + h

mj )

−1]M=O =

−δ ilδ mj ,

∂ 2(δ ij + h

ij)−1

∂hlm∂h pq

M=O

= δ ilδ m p δ qj + δ

i pδ ql δ mj .

(1.61)

Sostituendo in (1.60) le (1.61), si ottiene appunto la (1.59).

1.8 Impiego delle Coordinate Curvilinee in B ∗ e B in App. Non controllato

In molti problemi c’è la necessità di cambiare coordinate nelle configurazioni

B ∗ e B in modo indipendente anche se, fino a questo momento, si sono consideratesoltanto coordinate cartesiane ortogonali per ragioni di semplicità e chiarezza. Tut-

tavia, per semplificare lo studio della deformazione, nelle applicazioni a problemi

concreti può essere necessario introdurre coordinate curvilinee in B ∗ e B , eventual-mente diverse nelle due configurazioni. Per convincersene basta considerare l’esem-

pio del parallelepipedo retto B ∗ che dopo la deformazione diventa come mostrato infigura

In tal modo è evidente l’opportunità di introdurre in B ∗ coordinate cartesianeortogonali ed in B coordinate polari.

L’impiego delle coordinate curvilinee in B ∗ e B richiede dei cambiamenti nelleformule trovate nei paragrafi precedenti. Per comprendere la natura di questi cambi-

amenti, bastano alcune osservazioni. Introdotto per l’intero spazio un unico sistema

di coordinate rettilinee e denotate al solito con (xi) ed (X L) le coordinate dei puntidi B e B ∗ in questo sistema di coordinate, si indichino con (yi) e (Y L) due sistemidi coordinate curvilinee per B e B ∗. Nel primo caso vi è un’unica base di versori(uL) per l’intero spazio, laddove nel secondo caso in ogni punto di B ∗ vi è una baselocale (ÊL) costituita dai vettori tangenti alle curve coordinate (Y L) nel punto X.Analogamente, in ogni punto x ∈ B vi è una base locale (ei) formata dai vettoritangenti alle curve coordinate (xi). Ragionando, per fissare le idee, in x ∈ B , si ha

ei = ∂xj

∂y iuj , uj =

∂y i

∂xjei , (1.62)

sicché le componenti gij del tensore metrico nelle coordinate curvilinee (yi) sono

legate alle componenti δ ij = ui uj nelle coordinate rettilinee (xi) dalla relazione

gij := ei · ej = ∂xl∂y i

∂xm

∂yj δ lm . (1.63)

Una formula analoga sussiste in ogni punto X ∈ B ∗ per il tensore metricoĝLM = ÊL êM . La (1.63) prova che l’applicazione identità I in x ∈ B ha com-

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ponenti δ lm nelle coordinate rettilinee (xi) e componenti (covarianti) gij nelle co-ordinate curvilinee (yi)

Ix := (δ lm) = (gij) , (1.64)

analogamente, nelle coordinate (yi) risulta

Ix := (δ LM ) = (ĝLM ) . (1.65)

Dalla (1.63) e dalla identità

C LM =i

F iLF jM = δ ijF

iLF jM ,

si deducono le espressioni per le componenti del tensore C di Cauchy-Green nelle

coordinate curvilinee (yi)

(c)C LM = gijF

iLF jM . (1.66)

È un facile esercizio ricavare le relazioni trovate nei paragrafi precedenti in ter-

mini di coordinate curvilinee. Cosı̀, ad esempio, l’equazione caratteristica per C si

scrive

detC− ΛÎ

= |C LM − ΛĝLM | = 0 ,

mentre quella per B risulta

det(B− ΛI) = |Bij − Λgij | = 0 ,con Bij = ĝLM F iLF

jM .

Sovente nelle applicazioni occorre considerare le componenti in X di un vettore

V trasportato parallelamente da x a X (quando si conoscono le sue componenti in

x) oppure, inveramente, quelle di un vettore v̂ trasportato parallelamente da X a x.

Per comprendere come ciò possa farsi, sia v̂ un vettore associato ad un punto X ∈B ∗ che nella base uL ha componenti v̂L. Il vettore V che si ottiene trasportandoparallelamente v̂ da X ∈ B ∗ al punto corrispondente x ∈ B ha componenti vi inui. Pertanto,

V = viui = δ iLv̂Lui .

Se in B ∗ e B si adottano coordinate (Y L) ed (yi) rispettivamente, si haV =

(c)viei = (c) v̂

LêL = v̂ ,

sicché, ricordando la (1.62)1, può anche scriversi

∂xi

∂yj (c)

V iuj = δ jM

∂X M

∂Y L (c)

V̂ Luj .

Da questa identità si ricava la formula seguente

(c)V i = δ jM

∂y i

∂xj∂X M

∂Y L (c)v̂L .

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Similmente si prova che

(c)V̂ L

= δ M j∂xj

∂y i∂Y L

∂X M (c)vi .

Gli operatori che legano(c)

V̂ L

e(c)

V i (oppure(c)

V i e(c)

V̂ L

) prendono il nome di

shifters.

1.9 Condizioni di compatibilità

Il tensore simmetrico C ci dà tutte le informazioni sulle deformazioni, ma non è

detto però che ad un generico C corrisponda una deformazione. D’altronde, C ha

sei componenti indipendenti, mentre per descrivere una deformazione ne servono

tre. Infatti le componenti C LM non possono essere assegnate ad arbitrio, ma perdefinizione devono soddisfare

i

∂xi

∂X L∂xi

∂X M = C LM . (1.67)

Abbiamo un sistema di sei equazioni (per la simmetria di C LM ) nelle tre incognitexi che individuano la deformazione del sistema continuo C nel passaggio da B ∗ aB . Per determinare le condizioni di integrabilità del sistema (1.67) basta ricordareche da (1.3) e (1.19) consegue l’uguaglianza

dx · dx = dX · C dX , (1.68)da cui si conclude che le coordinate X L, riferite a B ∗, possono altresı̀ riguardarsicome coordinate curvilinee in B , in cui il tensore metrico ha componenti C LM .Pertanto, essendo B un sottoinsieme tridimensionale dello spazio euclideo E 3 lecomponenti

C LM devono assegnarsi in modo da individuare un tensore metrico

euclideo. Cioè, pensando ad una rete di riferimento, essa si deforma nel moto in un

sistema di coordinate curvilinee il cui tensore metrico è C.

(Inserisci figura come da Appunti Romano con rete)

Per assicurare ciò occorre e basta che il tensore di curvatura costruito con le

C LM sia identicamente nullo

RNMLP (C) = 1

2 [C LM,NP + C PN,LM − C NL,MP − C PM,LN ] +

+C RS (ΓPNRΓLMS − ΓPMRΓLNS ) = 0 ,(1.69)

dove

2ΓLMP = C LP,M + C MP,L − C LM,P ,sono i simboli di Cristhoffel costruiti a partire dal tensore metrico C.

Le 34 = 81 equazioni (1.69) non sono tutte distinte. Infatti, per le simmetrie diRLMNP che si deducono per ispezione dalla (1.69)

RLMNP = −RMLNP = −RLMPN ,

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RLMNP = RNPLM ,

dove le componenti di RNLMP sono non nulle e distinte. Infatti, fissata la coppiaLP e stante l’antisimmetria di RNMLP rispetto alla coppia N M , gli indici N ed

M possono assumere soltanto le determinazioni 12 e 13 e lo stesso dicasi per lacoppia N M quando si sia scelta per N M una delle coppie 12, 13 e 23. Infine, delle9 componenti non nulle di RLMNP

R1212 R1213 R1223R1312 R1313 R1323

R2312 R2313 R2323 ,

a causa della simmetria rispetto allo scambio della prima con la seconda coppia di

indici, soltanto le seguenti 6 componenti sono distinte

R1212 R1213 R1223R1313 R1323

R2323 .

In elasticità lineare, risultando C ≈ I+ 2E, la (1.69) si scriveRNLMP = E LM,NP + E PN,LM − E NL,MP − E PM,LN ≈ 0 , (1.70)

e si può osservare che essa è senz’altro verificata in tutti quei casi in cui E è funzione

lineare delle coordinate. In generale, le equazioni significative contenute nel sistema

(1.69), per le (1.70) esplicitamente si scrivono

R1212 = 2E 12,12 − E 11,22 − E 22,11 ≈ 0 ,R1213 = E 12,13 + E 31,12 − E 11,23 − E 23,11 ≈ 0 ,R1223 = E 22,13 + E 31,22 − E 12,23 − E 23,21 ≈ 0 ,R1313 = 2E 13,13 − E 11,33 − E 33,11 ≈ 0 ,R1323 = E 23,13 + E 13,23 − E 12,33 − E 33,21 ≈ 0 ,R2323 = 2E 23,23 − E 22,33 − E 33,22 ≈ 0 .

(1.71)

È facile verificare che le (1.71) possono riassumersi con l’equazione

εQSRεNMLE QN,SM = 0 , ∇ × (∇ × E) = O , (1.72)dove R, L = 1, 2, 3.

Si osservi infine che le (1.72) non sono tutte differenziabilmente indipendenti.

Infatti, facendo la divergenza della (1.72), si ottiene

εQSRεNMLE QN,SMR = 0 , (L = 1, 2, 3) , (1.73)

relazione che è identicamente soddisfatta da ogni tensore E QN in quanto εQSR è

antisimmetrico in R ed S mentre E QN,SMR è simmetrico in S ed R. Con semplicicalcoli si prova che le tre equazioni che si ottengono da (1.73) per L = 1, 2, 3 siscrivono esplicitamente

−R1223,3 + R1323,2 − R2323,1 = 0 ,R1213,3 − R1313,2 + R1323,1 = 0 ,

−R1212,3 + R1213,2 − R1223,1 = 0 .(1.74)

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Si può affermare che se

R1213 = R1223 = R1323 = 0 , (1.75)

è ancheR2323,1 = R1313,2 = R1212,3 = 0 , (1.76)

ossia (quando B ∗ è semplicemente linearmente connesso)R2323 indipendente da X 1 in B ∗ ,R1313 indipendente da X

2 in B ∗ ,R1212 indipendente da X

3 in B ∗ .(1.77)

In conclusione il sistema (1.67) è integrabile se e solo se la (1.69) è soddisfatta,

ossia se e solo se le 6 componenti distinte del tensore di curvatura R(C) si annul-lano. In particolare, nel caso dell’elasticità lineare, occorre e basta che il tensore di

deformazione infinitesima E renda soddisfatte le (1.71) (oppure le (1.72)) oppure,

equivalentemente, verifichi le (1.75) in B ∗ e le (1.77) sul contorno ∂ B ∗.In elasticità lineare si può pervenire alle (1.70) anche per altra via. Si supponga

assegnato un tensore simmetrico E e si cerchi un campo di spostamento u(X) taleche

uL,M + uM,L = 2E LM .

Aggiungendo e sottraendo uL,M , il precedente sistema di 6 equazioni in 3 incognitesi scrive

uL,M = E LM + W LM (E LM = E ML , W LM = −W ML ) ,e quindi anche

duL = (E LM + W LM )dX M (L = 1, 2, 3) .

Queste tre forme differenziali sono integrabili se e solo se (con campo linearmente

connesso)E LM,N + W LM,N = E LN,M + W LN,M ,E MN,L + W MN,L = E ML,N + W ML,N ,E NL,M + W NL,M = E NM,L + W NM,L .

(1.78)

Permutando ciclicamente gli indici nella (1.78)1 si ottengono le (1.78)2 e (1.78)3,tali che se alla prima sottraiamo la seconda e sommiamo la terza, si ha

E LM,N − E MN,L = W LN,M ,da cui segue il sistema di forme differenziali

dW LN = W LN,M dX M = (E LM,N − E MN,L)dX M ,le quali sono integrabili se e solo se vale

E LM,NP − E MN,LP = E LP,NM − E PN,LM ,

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ossia, scambiando gli indici M ed L, la (1.70).Questa condizione di integrabilità si può scrivere in forma più compatta come

∇ ×(∇ ×

E) = O .

Per esempio, se si assegnassero E LM lineari nelle coordinate, allora la con-dizione di compatibilità sarebbe sicuramente soddisfatta.

1.10 Esercizi

Esercizio 1.1 (Invertibilità globale). Si studi la deformazione piana

x = coshX cosY ,

y = senhX senY .

(1.79)

Esaminando come si deforma il rettangolo [a, b]× [0, L] con a,b,L > 0 al variare diL, discutere la differenza tra invertibilità locale e globale. (In questo e nei prossimiesercizi tranne per l’Esercizio ??? si sottointende che z = Z ).

Esercizio 1.2 (Invertibilità locale). Studiare l’invertibilità locale della deformazione

piana x = X + αXY 2 ,

y = Y + αY X 2 ,

identificando le aree critiche. Rappresentare cosa succede per un rettangolo ed un

cerchio che non toccano quest’area e per un rettangolo e un cerchio che sconfinano

in quelle aree a determinante negativo.

Esercizio 1.3 (Estensione semplice). Si studi la deformazione finitax = αX ,

y = βY ,

z = γZ ,

che rappresenta una cosiddetta estensione semplice al variare dei parametri.

Soluzione 1.1. Riferendosi alla Figura 1.3 se α = β = γ un cubo si deforma in uncubo, mentre se α

= β si deforma in un parallelepipedo. In questo caso il gradiente

di deformazione è

F =

α 0 00 β 00 0 γ

,

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Figura 1.6: Estensione semplice per α = β = 1 e γ = 2.

mentre lo Jacobiano è dato da

J = det F = αβγ ,

e rappresenta proprio il rapporto tra il volume del parallelepipedo e quella del cubo

di partenza.

Nel caso particolare αβγ = 1, allora det F = 1 e la deformazione è isocora elocalmente conserva il volume.

Il tensore sinistroB ed il tensore destroC di Cauchy-Green, in questo caso molto

particolare sono uguali. Infatti,

B = FFT = C = FT F =

α2 0 00 β 2 00 0 γ 2

,per cui banalmente gli stiramenti principali sono lungo gli assi coordinati e gli angoli

vengono conservati.

⇐=

Esercizio 1.4 (Plane shear). Per la seguente deformazione piana

x = X + αY ,y = Y + βX ,

(1.80)

nota come plane shear si determinino le condizioni di invertibilità e le direzioni di

massimo stiramento quando α = β .

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Esercizio 1.5 (Rotazione). Mostrare che F = Q con Q tensore ortogonale pro-prio corrisponde ad una rotazione rigida intorno al suo autovettore corrispondente

all’autovalore 1.

Soluzione 1.2. Essendo Q−1 = QT , gli autovalori di Q devono essere uguali ailoro reciproci, ossia λi = 1/λi che nel caso in cui l’autovalore sia reale implicaλ = ±1.

Sappiamo anche che una matrice ortogonale propria ha determinante unitario

(infatti det QQT = (det Q)2 ⇒ det Q = ±1) anzi i tensori ortogonali proprihanno det Q = 1 il che implica che il prodotto dei tre autovalori è unitario. Cisono quindi due possibilità: o i tre autovalori sono tutti reali o uno è reale (per

esempio, λ1) e gli altri due sono complessi coniugati. In quest’ultimo caso det Q =λ1|λ2|2 = 1 implica la positività di λ1. Quindi λ1 = 1 e λ2 ha modulo unitario equindi si può scrivere come λ2 = e

iθ = cos θ + i sin θ.È immediato controllare che il caso con tre autovalori reali è un sottocaso del

precedente con θ = 0 o θ = π. Se calcoliamo l’autovettore v corrispondente aλ1 = 1 abbiamo per definizione che Qv = v, ossia la autodirezione v non vienemutata dalla deformazione.

È anche immediato controllare che Q non cambia le lunghezze

|Q dX|2 = (Q dX) · (Q dX) = dX · (QT Q dX) = |dX|2 ,

e gli angoli

(Q dX1) · (Q dX2) = dX1 · (QT Q dX2) = dX1 · dX2 ,

che implica le uguaglianze degli angoli, visto che si è appena dimostrato che le

lunghezze degli elementi di linea rimangono invariati.

Ad esempio, la rotazione di un angolo θ attorno all’asse z si rappresenta con laseguente matrice

Q =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

,i cui autovalori sono

λ1 = cos θ + i sin θ ,

λ2 = cos θ − i sin θ ,λ3 = 1 ,

da cui si calcola l’autovettore relativo a λ3 ossia u3 = (0, 0, 1)T , che corrisponde

appunto all’asse z.

⇐=

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Esercizio 1.6 (Simple shear). Calcolare per la deformazione nota come simple

shear .

x = X + αY ,

y = Y .la direzione di massimo stiramento e controllare se è la diagonale del parallelogram-

ma in cui si deforma un quadrato.

Esercizio 1.7 (Shear non omogeneo isocoro). Si studi la seguente deformazione

finita x = X + αY 2 ,

y = Y .

Esercizio 1.8 (Shear non omogeneo non isocoro). Si studi la deformazione finita

x = X + αXY 2 ,y = Y .

Esercizio 1.9 (Determinazione di una deformazione). Determinare una defor-

mazione isocora X che trasforma le linee X = cost in parabole con asse di simme-tria la retta y = 0, che conservi il parallelismo delle linee Y = cost mantenendofissa la linea Y = 0 e che trasformi l’asse X = 0 in x = 0.

Esercizio 1.10 (Torsione uniforme). Determinare una deformazione che risponda

ad una torsione uniforme e che lasci l’asse delle Z ed il piano XY indeformati.Determinare infine lo stiramento massimo e la sua direzione.

Esercizio 1.11 (Decomposizione polare). Si applichi il teorema di decomposizione

polare al gradiente di deformazione

F =

0 − 1αα 0

,

dando un significato fisico ai vari termini.

Soluzione 1.3. Si tratta di una trasformazione isocora poiché det F = 1. Inoltre èpossibile calcolare facilmente il tensore sinistro B ed il tensore destro C di Cauchy-

Green

B = FFT = 1α2 0

0 α2 , C = FT F =

α2 0

0 1

α2 .Utilizzando il teorema di decomposizione polare F = RU = VR è possibileottenere

U =√ C =

α 00 1α

,

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V =√ B =

1α 00 α

,

R = FU−1

= 0 − 1αα 0 1α 00 α = 0 −11 0 .Si ha quindi una rotazione di π/2 infatti

R =

0 −11 0

=

cos θ − sin θsin θ cos θ

,

con θ = π/2. Inoltre, detF = 1 ⇒ detU = 1 .Verifichiamo ora la validità di F = VR:

VR =

1α 00 α

0 −11 0

=

0 − 1αα 0

= F .

Si può notare, inoltre, che F = RU = UR. Infatti, in Fig.1.7 sono mostrati le

deformazioniRU, VR e UR. Le prime due corrispondono ad F, mentre l’ultima no.

⇐=

Esercizio 1.12. Si applichi il teorema di decomposizione polare al gradiente di

deformazione

F =

√

2 − 12√

2

√ 2 1

2√

2

.Esercizio 1.13 (Decomposizione polare per plane shear). Calcolare i tensori della

decomposizione polare per la deformazione di plane shear (1.80) con α = β .

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Figura 1.7: Decomposizione polare.

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Capitolo 2

Cinematica di un Sistema

Continuo

2.1 Velocità e Accelerazione

Per determinare il moto di un sistema continuo tridimensionale C occorre in pri-mo luogo “etichettarne” i punti e quindi seguirli durante il loro moto dandone le

coordinate ad ogni istante. A tal fine, si introduce una configurazione di rifer-

imento B ∗, ossia una configurazione possibile per C (ad esempio quella iniziale)e si denominano coordinate materiali o lagrangiane le coordinate (X L) di unaparticella P ∈ C nella configurazione B ∗. L’insieme delle posizioni B t occupatedalle particelle di C all’istante t costituisce la configurazione attuale di C ed infinele coordinate (xi) della particella P ∈ C in B t si chiamano coordinate spaziali oeuleriane. Il moto di

C risulta pertanto descritto da un’equazione del tipo

x = χ(X; t) , con (X, t) ∈ B ∗ × [0, T ] . (2.1)

La notazione χ(X; t) è qui utilizzata per evidenziare il diverso ruolo che ha lo spaziorispetto al tempo, in quanto la mappa è tra punti dello spazio per ogni istante di tem-

po. Quando si parlerà quindi di applicazione inversa, l’inversione è intesa rispetto

alle coordinate spaziali con il tempo fissato.

Le componenti della (2.1) si supporranno funzioni di classe C 2 dei loro ar-gomenti (X L, t), con jacobiano J > 0 e globalmente invertibili per ogni t ∈[0, T ].

Ogni grandezza q associata al moto di C può esprimersi in forma lagrangianaoppure in forma euleriana a seconda che essa si intenda funzione delle variabili

(X, t) oppure delle (x, t), ossia a seconda che, all’istante t, la si intenda definitasu B ∗ oppure su B t. Se, per esempio, q denota la velocità, nella formulazione la-grangiana si prende una particella e la si segue lungo il moto; nella formulazione

euleriana, si fissa un punto nello spazio e si osservano le velocità delle particelle che

34

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CAPITOLO 2. CINEMATICA DI UN SISTEMA CONTINUO 35

passano per quel punto. Si porrà

q = q̃ (X, t) = q (x, t)

cioè q (x, t) = q (χ(X; t), t) = q̃ (X, t), se si usa (X, t) stiamo dando una formu-lazione lagrangiana, invece se si usa (x, t) stiamo dando una formulazione euleri-ana. È subito visto che, la funzione inversa χ−1 della (??) rispetto alle coordinatespaziali dà le X L(x, t), per cui

q̃ (X, t) = q (χ(X; t), t),

q (x, t) = q̃ (χ−1(x; t), t).

La variazione di q̃ nel tempo terrà fissato il punto materiale. Se per esempio q̃ èla temperatura, ∂ ̃q∂t (X, t) è la variazione di temperatura misurata da un termometro

fisso nel materiale e che quindi si muove con esso. Invece, ∂q∂t (x, t) terrà fissata la

coordinata nello spazio. Quindi, nell’esempio precedente, è come guardare la vari-azione di temperatura su un termometro fermo nello spazio. Legare le due quantità

vuol dire seguire il punto nel suo moto, per cui

dq

dt(x(t), t) =

∂q

∂t(x(t), t) +

∂q

∂xj (x(t), t)

dxj

dt (x(t), t)

= ∂q

∂t(x(t), t) + v(x(t), t) · ∇q (x(t), t) ,

dove v è la velocità. Nel seguito si userà, per semplicità formale, lo stesso simbolo =⇒ Es. 1per le due funzioni q (x, t) e q̃ (X, t), essendo gli argomenti sufficienti a distinguerle.

Cosı̀, ad esempio, si definisce la velocità e l’accelerazione (in forma lagrangiana)

della particella X all’istante t come

v := v(X, t) = ∂ x

∂t (X, t) , (2.2)

a := a(X, t) = ∂ 2x

∂t2 (X, t) ,

nella forma euleriana si ha a = a(x, t). È evidente la formula

a(x, t) = ∂ v

∂t (x, t) + v(x, t) · ∇v(x, t) . (2.3)

dove =⇒ Es. 2

(v · ∇v)i := (∇vv)i = vj ∂vi

∂xj .

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Figura 2.1: Linee di corrente (tratteggiato) e linee di flusso in due istanti di un moto

traslatorio.

Si dicono linee di corrente le traiettorie delle singole particelle di C. In ter-mini di velocità lagrangiana la loro determinazione si effettua mediante quadrature.Infatti, da (2.2) si ha

x(X, t) = X +

t0

v(X, τ ) dτ . (2.4)

Le linee di corrente sono dunque ∞3 e cioè quanti sono i punti di C. Se invecesi conosce la forma euleriana della velocità v = v(x, t), la determinazione dellelinee di corrente è ricondotta all’integrazione della seguente equazione differenziale

(vettoriale) del primo ordine

∂ x

∂t (t) = v(x(t), t) . (2.5)

Si dicono invece linee di flusso, ad un fissato istante t, le curve integrali delcampo cinetico (atto di moto) cioè le curve integrali del sistema

∂ x

∂s = v(x, t) , t = cost . (2.6)

Equazione che, adottando ad esempio x1 come parametro in luogo di s, può anchescriversi come =⇒ Es. 3

∂x

2

∂x1 = v

2

v1(x, t) ,

∂x3

∂x1 =

v3

v1(x, t) .

t = cost .

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Questo è un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine nelle incog-

nite x2(x1), x3(x1) e t è un parametro. Pertanto le linee di flusso sono ∞2 ecostituiscono una congruenza di curve.

Infine introduciamo un altro tipo di curve integrali che presenta un’interessanteapplicazione sperimentale. Immaginiamo infatti di immettere un tracciante in un

determinato punto x0 per un certo intervallo di tempo. A causa del flusso le par-

ticelle marcate seguiranno ognuna la propria traiettoria per cui ad ogni istante di

tempo sarà evidente una curva detta linea di fumo data dal sistemadxτ dt

(t) = v(xτ (t), t) ,

xτ (τ ) = x0 .

(2.7)

Se τ varia in un intervallo, la soluzione rappresenterà l’evoluzione della curva evi-denziata dal tracciante nel tempo.

Quindi mentre un insieme di linee di corrente si ottiene fissando le particelle chesi trovano inizialmente in xi0 e seguendole lungo il loro moto nell’intervallo [0, T ],per le linee di fumo si fissano i punti di iniezione xi0 e un istante di osservazione

T nel quale si osservano dove si trovano le particelle che nell’intervallo [0, T ] sonopassate per xi0 e che sono state quindi marcate dal tracciante. =⇒ Es. 4,5

(INSERISCI UNA FIGURA DA SIMULAZIONE)

Sia D un campo appartenente alla regione di spazio in cui si svolge il moto di C.Se accade che

∂ v

∂t (x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ D × [0, T ], (2.8)

si dice che il moto è stazionario o permanente in D nell’intervallo di tempo [0, T ].In altri termini, il moto è stazionario se, ∀x ∈ D, le particelle di C che negli

istanti di [0, T ] transitano per x, hanno tutte la stessa velocità. In tal caso, nei

secondi membri della (2.5) e (2.1) non compare esplicitamente t e i due sistemi sonoequivalenti. Si può cosı̀ affermare che in un moto stazionario, le linee di corrente

coincidono con quelle di flusso le quali non variano nel tempo. Lo stesso vale per

le linee di fumo in quanto tutte le particelle che si trovano a passare per il punto di

iniezione del tracciante avranno sempre la stessa traiettoria.

=⇒ Es. 5

2.2 Tensori Velocità di Deformazione

Sia C un sistema continuo in moto e B ∗, B t, B τ (τ > t) rispettivamente la config-urazione di riferimento e quelle agli istanti t e τ . Facendo riferimento alla Figura2.2, si considerino, in una particella X

∈ B ∗ fissata, i gradienti F(t), F(τ ), Ft(τ )

delle deformazioni B ∗ → B t, B ∗ → B τ , B t → B τ rispettivamente. Evidentemente,se x̄ è il punto corrispondente di X ∈ B ∗ nella configurazione B t ed x è quellocorrispondente ad X nella configurazione B τ , si ha

x = x(x̄(X; t); τ ) ,

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Figura 2.2:

e quindi anche

F(τ ) = Ft(τ )F(t) , (2.9)

in quanto∂xi

∂X L =

∂xi

∂ ̄xj∂ ̄xj

∂X L ,

da cui, derivando rispetto a τ e ponendo τ = t, segue

Ḟt(τ )τ =t

= Ḟ(t)F−1(t) .

D’altra parte, la matrice a secondo membro di quest’ultima relazione ha compo-

nentid

dτ ∂xi∂X Lτ =t ∂X L

∂xj = ∂v i

∂X L∂X L

∂xj = ∂vi

∂xj ,

ed individua il tensore detto gradiente di velocità

L := ∇v = ḞF−1 . (2.10)

Applicando a Ft(τ ) il teorema di decomposizione polare di Cauchy (1.11) si ha

Ft(τ ) = Rt(τ )Ut(τ ) .

Derivando la precedente relazione rispetto a τ , ponendo τ = t ed osservando cheRt(t) = Ut(t) = I, si perviene alla seguente espressione

Ḟt(τ )τ =t

= Ṙt(τ )τ =t

+ U̇t(τ )τ =t

. (2.11)

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D’altra parte, da Rt(τ )RT t (τ ) = I segue

Ṙt(τ )τ =t+ ṘT t (τ )τ =t

= O ,

e quindi il tensore W := Ṙt(τ )τ =t

è antisimmetrico. In modo analogo, a partire

da Ut(τ ) = UT t (τ ) si prova immediatamente che D :=

U̇t(τ )τ =t

è simmetrico. Da

(2.10) e (2.11) consegue che

L = D +W . (2.12)

La (2.12) realizza la scomposizione (unica) del tensore ∇v nella sua parte simmet-rica D ed in quella antisimmetrica W. Pertanto è anche

D = 1

2

∇v + ∇vT

, (2.13)

W = 1

2

∇v − ∇vT . (2.14)Usando il significato di Rt(τ ) e di Ut(τ ) nel teorema di decomposizione, apparegiustificato denominare D tensore velocità di deformazione e W tensore velocità

di rotazione o tensore vortice.

Ciò è rafforzato dall’osservazione che, preso un vettore dx nel punto x ∈ B t,

d

dt|dx|2 = 2 dx · D dx . (2.15)

Infatti, ricordando che

|dx|2 = dx · dx = dX ·C dX ,

la sua variazione temporale è data da

d

dt|dx|2 = d

dt(dX · C dX) = dX · dC

dt dX .

Esplicitiamo allora dC

dt

dC

dt =

dFT F

dt = ḞT F+ FT Ḟ ,

e poiché Ḟ = LF, e quindi ḞT = FT LT , si ha

dC

dt = FT LT F+ FT LF = FT (LT + L)F = FT 2DF .

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In definitiva troviamo

d

dt|dx|2 = dX · (FT 2DFdX) = 2(F dX) · (DFdX) = 2 dx · D dx . (2.16)

Osservazione 2.1. D é certamente simmetrica, ma non é detto che sia definita

positiva. Per esempio, ad una compressione uniassiale progressiva nel tempo

corrispondono autovalori di D negativi.

Infine, chiamando velocità angolare locale il vettore (assiale) =⇒ Es. 6

Ωi = 1

4εijlW

jl (2.17)

si ha

Ω = 12∇ × v . (2.18)

2.3 Moti Rigidi, Irrotazionali e Piani

=⇒ Es. 7Un moto del sistema continuo C si dice rigido se ogni curva materiale ha lunghez-

za costante nel tempo. Si ha quindi questo teorema che caratterizza la classe dei moti

rigidi.

Lemma 2.1. Un moto di C è rigido se e solo se ad ogni istante di tempo t in ogni punto della configurazione B t risulta

D = O . (2.19)

DIM: Sia γ t una curva materiale e dx un suo elemento. Ricordando la (2.16) si ha

d

dt

γ t

ds = d

dt

γ t

√ dx · dx = d

dt

γ ∗

√ dX · C dX =

γ ∗

2dX · FT DFdX2√

dX · C dX ,

che si annulla ∀γ t se e solo se dX · FT DFdX = dx · D dx è sempre nullo,ossia se D = O.

Per determinare la classe dei moti rigidi, si osservi che, stante la (2.19), la (2.12)

si scrive ∂vi∂xj

= W ij + ✚ ✚ ❃

0Dij , W ij = −W ji . (2.20)

Le (2.20) costituiscono un sistema di nove equazioni differenziali nelle tre funzioni

incognite vi(x, t) e come tale ammettono soluzione se e solo se sono soddisfatte

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opportune condizioni di integrabilità. Ora, fissato un istante t, il sistema (2.20) puòscriversi

dvi = ∂vi∂xj

dxj = W ijdxj , (2.21)

che ammette soluzione se e solo se le forme differenziali W ijdxj sono integrabili.

Se il dominio B t del campo di moto all’istante t è semplicemente linearmente con-nesso, una condizione necessaria e sufficiente per la integrabilità delle forme (2.21)

è che si abbia∂W ij∂xh

− ∂ W ih∂xj

= 0 . (2.22)

Da (2.22), permutando ciclicamente gli indici, si derivano le due seguenti relazioni

∂W hi∂xj

− ∂ W hj∂xi

= 0 , (2.23)

∂W jh

∂xi

− ∂W ji

∂xh

= 0 . (2.24)

Sommando la (2.22) alla (2.24), sottraendo al risultato la (2.23) si ha

∂

∂xh(W ij − W ji) − ∂

∂xj (W hi + W ih) +

∂

∂xi(W jh + W hj) = 0 ,

e tenendo conto dell’antisimmetria di W, si ha

∂W ij∂xh

= 0 . (2.25)

La (2.25) comporta che il tensore W ij è indipendente dalle variabili spaziali e quindidipende al più dal tempo. Pertanto, le (2.21) integrate forniscono le funzioni

vi = W ij(t)xj

+ ci(t) . (2.26)

Ora, poiché W è antisimmetrico può essere posto nella forma

W =

0 −Ω3 Ω2Ω3 0 −Ω1−Ω2 Ω1 0

,dove Ω = (Ω1, Ω2, Ω3)

T è appunto il vettore aggiunto di W e quindi

Wv =

0 −Ω3 Ω2Ω3 0 −Ω1

−Ω2 Ω1 0

v1

v2

v3

=

−Ω3v2 + Ω2v3

Ω3v1 − Ω1v3

−Ω2v1 + Ω1v2

= ǫij···keiΩjv

k =

e1 e2 e3Ω1 Ω2 Ω3v1 v2 v3

= Ω × v . (2.27)

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Ciò permette di scrivere la (2.26) in forma vettoriale come

v = Ω(t) × x + c(t) , (2.28)

cioè il moto è un atto di moto rigido.

Si dice che il moto di C è irrotazionale nell’intervallo [0, T ] seW = O , ∀t ∈ [0, T ] , (2.29)

oppure, equivalentemente, se

Ω = 1

2∇ × v = 0 , ∀t ∈ [0, T ] . (2.30)

Se il campo di moto è semplicemente linearmente connesso, un moto è irro-

tazionale se e solo se esiste una funzione ϕ(x, t) tale che

v = ∇ϕ , (2.31)dove ϕ è detto potenziale cinetico.

Infatti, per ogni curva materiale chiusa γ t e superficie S t con γ t come bordo, lacircuitazione della velocità è

γ t

v · dx = S t

∇ × v · dΣ = 0 , ∀γ t , (2.32)

e come noto da teoremi di Analisi Matematica, questo (se il dominio è semplice-

mente connesso) è equivalente al fatto che il campo v sia conservativo e, quindi,

alla (2.31). =⇒ Es. 8,9,10Inoltre, coerentemente con quanto anticipato nel capitolo precedente, un moto

di C è isovolumico o isocoro sed

dt(δV ) = 0 , ∀t ∈ [0, T ] ,

per ogni elemento di volume materiale δV . In (2.37) si proverà che un moto èisovolumico se e solo se

∇ · v = 0 . (2.33)Questo a sua volta vorrà dire che esiste un campo vettoriale A(x, t) tale che

v = ∇×

A .

Un campo vettoriale che soddisfa la (2.33) è detto solenoidale.

È evidente che se un moto è irrotazionale ed isovolumico

∇2ϕ = ∇ · ∇ϕ = 0 .

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Alla funzione

∇2ϕ :=3

i=1∂ 2ϕ

∂ (xi)2 ,

si dà il nome di laplaciano di ϕ, mentre ∇2ϕ = 0 si chiama equazione di Laplacein ϕ e una sua soluzione è detta una funzione armonica.

Più in generale, un teorema con importanti applicazioni in fluidodinamica per-

mette di scrivere un qualsiasi campo vettoriale regolare che decade all’infinito più

velocemente di 1/r come la somma di un campo irrotazionale ed uno solenoidale.

Teorema 2.1. - (Decomposizione di Helmholtz).

Un campo vettoriale f ∈ C 2 tale che

lim|x|→+∞

|x| f (x) = c

può scriversi come f (x) = −∇

ϕ(x) +∇ ×

g(x) , dove

ϕ(x) = 1

4π

V

∇ · f (x′)|x− x′| dV ,

e

g(x) = 1

4π

V

∇ × f (x′)|x− x′| dV .

Viceversa, se f non è noto, mentre sono noti ϕ = ∇ · f e g = ∇× f , allora f ècompletamente determinato da

f (x) = − 14π

V

∇ ϕ(x′)|x− x′| dV +

1

4π

V

∇ × g(x′)|x− x′| dV .

Infine un moto è detto piano se il

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