mÉcanique analytique & vibrations systèmes hamiltoniens · l’action hamiltonienne =⇒ q(1)...

MÉCANIQUE ANALYTIQUE & VIBRATIONS

Systèmes Hamiltoniens

Mohamed EL KACIMI

Université Cadi Ayyad - Faculté des Sciences SemlaliaDépartement de Physique

Année Universitaire 2017/2018

IntroductionEquation de Hamilton-Jacobi : HJ

Méthode de résolution généraleSystèmes Intégrables

Mouvement périodique : Variables angles-actions

Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens

1. Introduction

2. Equation de Hamilton-Jacobi : HJ◦ Equation HJ à partir du principe variationnel

3. Méthode de résolution générale◦ Démarche à suivre◦ Séparation des variables

4. Systèmes Intégrables

5. Mouvement périodique : Variables angles-actions

Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1 / 32





1. Introduction









Introduction

L’introduction des transformations canoniques a pour but detrouver le jeux de variables conjuguées où l’on a le plus devariables cycliques, ce qui de loin simplifie les équationsrégissant la dynamique et fait émerger les intégralespremières du système de manière directe.

la situation la plus optimale serait que toutes les variablesconjuguées soient cycliques =⇒ H ′ = 0.





Equation de Hamilton-Jacobi : HJ

Comme nous venons de le mentionner, les nou-velles variables (Qk, Pk) sont cycliques, ce quipermet d’écrire

Q̇k =∂H ′

∂Pk= 0

Ṗk = −∂H ′

∂Qk= 0

Soit G la fonction génératrice de la transformation canonique associée, sachant queH ′ = 0, nous avons

H(qi, pi, t)−∑

k

pkq̇k +dG

dt= 0.

Prenons G = G2(q, P ; t) et dérivons par rapport au temps

dG2dt

=∑

k

(

∂G2∂qk

q̇k +∂G2∂Pk

Ṗk

)

+∂G2∂t

comme

Ṗk = 0 et pk =∂G2∂qknous avons

H(qk,∂G

∂qk, t) +

∂G

∂t= 0





Equation HJ à partir du principe variationnel


1. Introduction










Equation de Hamilton-Jacobi : HJ

DéfinitionOn appelle l’équation de Hamilton-Jacobi, l’équation donnant lafonction génératrice de la transformation canonique où toutes lesnouvelles variables conjuguées (Qk, Pk) sont cycliques,

H(qk,∂G

∂qk, t) +

∂G

∂t= 0

G(qk, t;Pk) fonction de n variables généralisées et du temps t estappelée la fonction principale de Hamilton.

Quel sens donner à la fonction principale de Hamilton ?

=⇒ dGdt

=∑

k

∂G

∂qkq̇k +

∂G

∂t=

∑

k

pk q̇k −H = L






Equation de Hamilton-Jacobi : HJQuel sens donner à la fonction principale de Hamilton ?

Nous pouvons écrire ainsi

dG(qk, Pk; t)

dt= L(qk, q̇k; t) =

δS(qk;Pk, t)δt

.

et on voit bien que cette dérivée n’est d’autre que le lagrangien dusystème, lui même par définition la dérivée totale par rapport au temps del’action S.Considérons un système à un seul degré de liberté :

S(q, t;P ) =∫ t

t1

Ldt.

L’action hamiltonienne =⇒ q(1) fixe =⇒ δq(1) = 0 alors que q(2) est libre.Tous les chemins entre q(1) fixe et q(2) libre peuvent être empruntés =⇒vérifient les équations de Lagrange






Hamiltonien d’un systèmeEquation HJ à partir du principe variationnel

Soit l’action hamiltonienne

S(q, t; q1, t1) =∫ t

t1

L(q, q̇, t)dt

Tous les q(t) obéissent aux équations de Lagrange. Différentions S(qk;Pk, t)

dS =∑

k

∂S∂qk

dqk +∂S∂t

dt = Ldt

Calculons cette fois-ci l’accroissement de S entre deux chemins voisins

δS =∫ t

t1

δLdt =

∫ t

t1

[

∂L

∂qkδqk +

∂L

∂q̇kδq̇k

]

dt

=

∫ t

t1

[(

d

dt

∂L

∂q̇k

)

δqk +∂L

∂q̇kδq̇k

]

dt =

∫ t

t1

d

dt

[

∂L

∂q̇kδqk

]

dt

=∂L(qk(t), q̇k(t), t)

∂q̇k(t)δqk(t) = pkδqk






Hamiltonien d’un systèmeEquation HJ à partir du principe variationnel

Or, nous avons

δS(qk;Pk, t) =∂S

∂qkδqk =⇒

∂S

∂qk= pk

et en substituant le dernier résultat dans la différentielle de S,∑

k

pkdqk +∂S

∂tdt = Ldt =⇒

∑

k

pkq̇k +∂S

∂t= L

=⇒∑

k

pkq̇k − L+∂S

∂t= 0 =⇒ H(qi,

∂S

∂qi, t) +

∂S

∂t= 0

L’action hamiltonienne est l’action calculée sur une trajectoire physique dontle point de départ est fixé alors que le point d’arrivée est libre.Elle est la fonction génératrice de la transformation canonique pour laquelletoutes les nouvelles variables conjuguées sont cycliques





Démarche à suivreSéparation des variables


1. Introduction










Méthode de résolution généraleCas général

Reprenons l’équation HJ et remplaçons pi =∂G∂qi

:

H(qk,∂G

∂qk; t) +

∂G

∂t= 0.

C’est une équation aux dérivées partielles dans l’espace des fonc-tions à n + 1 variables G(q1, ·, qd, P1, · · · , Pd; t) =⇒ d + 1 constantesd’intégration αk = Pk; k = 1, · · · , d, αd+1(= E).

Aussi, en considérant une tranformation de type 2, la solution généralepeut s’écrire sous la forme :

G(qk;Pk, t) = S(qk;αk = Pk; t) avec

{

pi =∂G∂qi

= ∂S∂qiQi =

∂G∂Pi

= ∂S∂αiSi H ne dépend pas explicitement du temps, alors

S(qk;αk = Pk) = S0(qk;αk = Pk)− Etcette équation est appelée l’équation caractéristique de Hamilton-Jacobi.






Méthode de résolution généraleDémarche à suivre

On cherche une fonction F solution des équations HJ :Etape 1 : écrire l’équation de HJ

H

(

q1, · · · , qd;∂F

∂q1, · · · , ∂F

∂qd; t

)

+∂F

∂t= 0

Etape 2 : Chercher la solution générale S(q1, ·, qd;α1, ·, αd; t) = F , enomettant αd+1.Etape 3 : Chercher G telle queG(q1, · · · , qd, P1 · · · , Pd; t) = S(q1, · · · , qd, α1 = P1 · · · , αd = Pd; t)Exprimer les qi et pi en fonction de Qi et Pi à l’aide des équations

{

pi =∂G∂qi

Qi =∂S∂αi

Comme les Qi et les Pi sont constantes, la solution du problème initial, etqui consiste à trouver G est ainsi résolu.






Méthode de résolution généraleExemple : Oscillateur harmonique à une seule dimension

Nous avons le hamiltonien suivant

H =p2

2m+

mω2

2q2.

On cherche une fonction F (q, t) qui satisfait

1

2m

[

(

∂F

∂q

)2

+m2ω2q2

]

+∂F

∂t= 0

Cherchons une solution de la forme

F (q, t) = F1(t) + F2(q) =⇒dF1dt

+1

2m

[

(

∂F2∂q

)2

+m2ω2q2

]

= 0

=⇒{

F1(t) = −αt+ βdF2dq = ±

√

2mα−m2ω2q2






Méthode de résolution généraleExemple : Oscillateur harmonique à une seule dimension

La solution générale est

S(q, α; t) = ±∫ q

0

dq′√

2mα−m2ω2q′2 − αt

et la fonction génératrice est

G(q, P ; t) = S(q;α = P, t) = ±∫ q

0

dq′√

2mP −m2ω2q′2 − Pt

=⇒

p = ∂G∂q =√

2mP −m2ω2q2Q = ∂G∂P = ±

∫ q

0dq′ m√

2mP−m2ω2q′2− t

= −t+ 1ωArcsinq√

mω2

2P =⇒ q =√

2Pmω2 sin(t+Q).

on a posé x′ = q′√

mω2/2P et l’intégrale précédente devient

1

ω

∫ q√

2P/mω2dx′ 1√

1−x′2. Le signe ± correspond respectivement à ce que p

varie dans le même sens ou le sens opposé que q.






Méthode de résolution généraleSéparation des variables

DéfinitionUne variable q1 est dite séparable si l’on peut chercher la solutionde l’équation de HJ sous la forme

F (q1, · · · , qd; t) = F1(q1) + F ′(q2, · · · , qd; t).

Remarques

Si q1 et∂F1∂q1

apparaissent dans l’équation de HJ sous forme φ1

(

q1,∂F1∂q1

;αk

)

, alors

H

[

φ1

(

q1,∂F1

∂q1, αk

)

, q2, · · · , qd,∂F

∂q2, · · · ,

∂F

∂qd;αk

]

+∂F

∂t= 0

=⇒

Hd−1(

qi,∂F∂qi

;α1, · · · ,)

+ ∂F∂t

= 0 pour i 6= 1

φ1(

q1,∂F1∂q1

;αk)

= α1






Méthode de résolution généraleSéparation des variables

Un système est dit complètement séparable si de proche en proche l’on peutséparer toutes les variables. Nous avons alors

F (q1, · · · , qd; t) =d∑

k=1

Fk(qk;α1, · · · , αd) + F0(t)

avec φd

(

qd,dFddqd

;αk

)

= αd, H(α1, · · · , αd; t) +dF0dt

= 0

si qk est cyclique ; on peut choisir φk(qk,dFkdqk

) = dFkdqk

. On en déduit que Fk(qk) = αkqket Pk = αk = constante = pk =⇒ Fk(qk) = pkqkDans le cas où H ne dépend pas explicitement du temps, nous avons alors

dF0(t)

dt= −H(α1, · · · , αd) = −Et






Méthode de résolution généraleExemple : Potentiel U(r, θ, ϕ)

Le hamiltonien d’un point matériel soumis à un potentiel U(r, θ, ϕ) en coordonnéessphériques est de la forme

H(r, θ, ϕ, pr, pθ, pϕ) =1

2m

(

p2r +p2θr2

+p2ϕ

r2sin2θ

)

+ U(r, θ, ϕ).

Si l’on considère U(r, θ, ϕ) = a(r) + b(θ)r2

., alors l’équation de HJ s’écrit comme suit

1

2m

(

∂F

∂r

)2

+ a(r) +1

2mr2

[

(

∂F

∂θ

)2

+ 2mb(θ)

]

+1

2mr2sin2θ

(

∂F

∂ϕ

)2

+∂F

∂t= 0

• H est indépendant du temps =⇒ F (r, θ, ϕ; t) = F ′(r, θ, ϕ)− Et• ϕ est cyclique =⇒ F ′(r, θ, ϕ) = F ′′(r, θ) + pϕϕ avec (pϕ = constante). F

′′(r, θ)satisfait l’équation

1

2m

(

∂F ′′

∂r

)2

+ a(r) +1

2mr2

[

(

∂F ′′

∂θ

)2

+ 2mb(θ) +p2ϕ

sin2θ

]

= E






Méthode de résolution généraleExemple : Potentiel U(r, θ, ϕ)

On sépare r et θ F ′′(r, θ) = F1(r) + F2(θ) et en multipliant l’équation précédente parr2 alors on obtient

{

(

dF2dθ

)2+ 2mb(θ) +

p2ϕsin2θ

= β1

2m

(

df1dr

)2+ a(r) + β

2mr2= E

Les constantes d’intégration sont pϕ, β et E et l’action hamiltonienne est donnéefinalement par

S(r, θ, ϕ; pϕ, β, E; t) = −Et±

∫

√

β − 2mb(θ)−p2ϕ

sin2θdθ +

±

∫

√

2m(E − a(r))−β

r2dr.

La suite de la résolution consisté à trouver (Qr, Qθ, Qϕ) et d’en déduire les équations

horaires (r, θ, ϕ)






1. Introduction









Systèmes intégrablesDéfinition

Il est facile de résoudre numériquement, par ordinateur, les équations dumouvement de nombreux systèmes, une fois les conditions initiales fixées.

Toutefois, dans certains cas nous nous intéressons seulement à certainescaractéristiques du mouvement d’un système, comme par exempleconnaître sa période et savoir à quelle(s) condition(s) celles(s)-ci reste(nt)stable(s).

DéfinitionUn système est dit intégrable si l’on peut caractériser qualitative-ment son comportement, les trajectoires, dans l’espace des phases.





Systèmes intégrablesThéorème de Arnold-Liouville

Rappelons que l’on peut qualifier le comportement du système dansl’espace de phases sans passer par les équations de mouvement si lesystème est dit intégrable, c’est à dire si l’on dispose d’assez d’intégralespremières pour le faire.

Théorème de De Arnold-LiouvilleUn système mécanique à d degrés de liberté est intégrable s’il possède les troispropriétés suivantes :

1 Il existe d intégrales premières Ik(=⇒ {Ik,H} = 0) ;

2 Les intégrales premières Ik sont indépendantes (Chaque Ik apporte uneinformation supplémentaire) ;

3 Les intégrales première Ik sont en involution ({Ii, Ij} = 0∀i, j ≤ d).





Théorème de Liouville

Le lien entre la thermodynamique et la mécanique est basé sur ladescription statistique des systèmes à plusieurs degrés de liberté en termede la probabilité de trouver le système dans un état donné.

La description la mieux adaptée est l’usage des coordonnées généraliséeset les moment conjugués et donc de l’espace de phase =⇒ l’intérêt decette description reside dans le comportement du volume de l’espace desphases lors d’une transformation canonique

Théorème de Liouville

Considérons un volume V =∫

ΩΠidqidpi où Ω est un domaine

de l’espace des phases. Si on fait une transformation canonique(qi, pi) → (Qi, Pi) alors

V ′ =

∫

Ω′ΠidQidPi = V =

∫

Ω

Πidqidpi





Théorème de LiouvilleDémonstration

En effet, le changement de variable engendré par la tranformationcanonique permet d’écrire Πidqidpi = |M−1|ΠidQidPi où M est la matricejacobienne de la transformation.

Comme M est symplectique, étant donné que la transformation estcanonique, alors

tMJM = J =⇒ |tMJM | = |J |=⇒ |tM ||J ||M | = |J |=⇒ |M |2 = 1 =⇒ |M | = 1 =⇒ |M−1| = 1.

Ce qui implique que V =∫

Ω′|M−1|ΠidQidPi =

∫

Ω′ΠidQidPi = V

′.






1. Introduction









Mouvement périodique : Variables angles-actionsPosition du problème

Généralement les équations du mouvement, lorsque celui-ci est périodique,peuvent être mises à l’aide d’une transformation canonique sous une formeoù Qk augmente de 2π pendant une période T alors que les Pk sontconstantes.

Position du problème

On suppose que le système est intégrable =⇒ ∃d intégrales premières Ik ;

•H′ = H′(P1, · · · , Pd) = β1(P1, · · · , Pd) tel que

→ Qk; k = 1, · · · , d sont cycliques =⇒ Ṗk = 0. Nous avons également Qk =ωkt+Q0k et Qk(t + T ) = Qk + 2π (angles) ;

→ Les équations canoniques :

Ṗk = −∂H′

∂Qk= 0 Q̇k =

∂H′

∂Pk= ωk(Pk) H

′ = H(P1, · · · , Pd)

Il suffit de choisir les constantes d’intégrations

αk = Pk = βk(I1, · · · , Id) avec α1 = E =⇒ Comment déterminer les βk =?





Mouvement périodique : Variables angles-actionsRésolution : Système conservatif

La méthode de Hamilton-Jacobi, à ne pas confondre avec les équationsHJ, consiste à prendre pour la fonction génératrice recherchée l’actionhamiltonienne :

S(q1, · · · , qd;α1, · · · , αd; t) = W (q1, · · · , qd;α1 = β1(I1, · · · , Ik), · · · , αd = βd)−

−α1tAussi, nous avons

pk =∂

∂qkW (q1, · · · , qd;α1, · · · , αd)

Qk =∂

∂PkW (q1, · · · , qd;α1, · · · , αd)

H ′(P1, · · · , Pd) = β1(I1, · · · , Id).

Après la résolution de l’action Hamiltonienne réduite, il suffit de dé-terminer β1(I1, · · · , Id). La transformation générale est de la formeF2(q1, · · · , qd;P1, · · · , Pd) = W (q1, · · · , qd;α1 = β1(P1, · · · , Pd), · · · )





Variables angles-actionsSystème à 1 degré de liberté

Les équations du mouvement d’un système animé d’un mouvement périodique peuventfaire l’objet d’une transformation canonique (q, p) → (Q, P ) telle que P reste constante etQ augmente de 2π pendant une période.Supposons que F2(q;P ) = W (q;α = β(P )), le plus simple est d’exprimer Q comme suit

∆Q =

∮

dQ

dqdq = 2π

où∮

dq signifie que l’on suit le mouvement sur un cycle.Or

Q =∂F2

∂P=⇒

dQ

dq=

∂

∂q

(

∂F2

∂P

)

+∂2F2

∂P 2

∂P

∂q=

∂2F2

∂q∂Pet la condition

2π =

∮

∂2F

∂q∂Pdq =

∂

∂P

∮

∂W (q;α)

∂qdq il suffit de prendre

∮

∂W (q;α)

∂qdq = 2πP

sachant que P = β−1(α) ce qui donne finalement

β−1(α) =1

2π

∮

∂W (q;α)

∂qdq =

1

2π

∮

∂W (q;α)

∂qdq

et le problème est résolu.





Variable action-angleSystème à 1 degré de liberté

DéfinitionPour un système à un degré de liberté animé d’un mouvement périodique,on appelle variables actions-angles que l’on note (θ, J) le couple de variablescanoniquement conjugués telles que J est constante et θ augmente de 2π aucours d’une période.

RemarquesDémarche à suivre :• On résout l’équation caractéristique selon la méthode de Hamilton Jacobi =⇒W (q, α) (Attention H′ 6= 0)

• On détermine β telle que

J = β−1(α) =1

2π

∮

∂W

∂qdq.

• F2(q, J) = W (q;α = β(J)) =⇒ θ =∂F2∂J

• le nouvel hamiltonien est H′(θ;J) = β(J).





Variable action-angleSystème à 1 degré de liberté : Oscillateur harmonique

Le hamiltonien est donné par

H(q, p) =p2

2m+

mω2

2q2.

Nous avons établi auparavant que W (q, α) = ±∫ q0dq′

√

2mα −mω2q′2. On cherche doncles nouvelles variables canoniques (θ, J). La variable action peut être déduite comme suit

J = P = β−1(α) =1

2π

∮

∂W

∂qdq =

1

2π

∮

pdq

De par l’expression de l’hamiltonien, la trajectoire dans l’espace des phases est une ellipse

d’équation q2

2α

mω2

+ p2

2mα= 1. Aussi, le chemin fermé sur lequel on intègre est une ellipse.

Les extrémités sur l’axe de q sont q± = ±√

2αmω2

, ces dernières valeurs sont celles du

demi-grand axe de l’ellipse. Une deuxième méthode consiste à calculer les valeurs de qpour lesquelles l’énergie cinétique est nulle pour q± = qmax/min =⇒ p(q±) = 0, d’où

H(q, p = 0) = α =⇒ −

√

2α

mω2≤ q ≤

√

2α

mω2





Variable action-angleSystème à 1 degré de liberté : Oscillateur harmonique

Notons que le chemin fermé que l’on choisit est q− → q+, dans ce cas le mouvementse fait dans le sens positif et donc on prend la racine positive de ∂W/∂q ; ensuite onferme le chemin en partant de q+ → q− et la racine négative est utilisée dans ce cas,ce qui donne

J =1

2π

(

∫

√

2α

mω2

−

√

2α

mω2

√

2mα−m2ω2q2dq −

∫

−

√

2α

mω2

√

2α

mω2

√

2mα−m2ω2q2dq

)

=1

π

∫

√

2α

mω2

−

√

2α

mω2

√

2mα−m2ω2q2dq.

On fait le changement de variable sinu =√

mω2

2αq =⇒ dq =

√

2αmω2

cosudu ainsi

J =2α

πω

∫ π/2

−π/2

cos2udu =2α

πω

∫ π/2

−π/2

1

2(cos2u+ 1) du =

α

ω

J = β−1(α) = αω=⇒ α = Jω = β(J) =⇒ θ̇ = ∂β

∂J= ω et c’est le résultat attendu.





Variable action-angleSystème à d degré de liberté : systèmes séparables

Considérons un système mécanique conservatif à d degrés de liberté intégrable,complétement séparable et que le mouvement est périodique par rapport à chaquepaire (qk, pk). L’équation caractéristique de Hamilton s’écrit alors comme suit

W (q1, · · · , qd;α1, · · · , αd) =∑

k

Wk(qk;α1, · · · , αd).

On cherche une transformation canonique vers des variables angles-actions (θk, Jk)telles que θk(Tk + t) = θk(t) + 2π et les Jk sont constantes.

On applique le même raisonnement alors, les variables actions sont données par

Jk =1

2π

∮

∂Wk(qk;α1 = β1, · · · )

∂qkdqk =

1

2π

∮

pkdqk.

Comme les variables sont séparables, il n’y a pas de sommation sur les k !





Variable action-angleSystème à d degré de liberté : systèmes séparables

On obtient ainsi d équations à intégrer donnant les d variables actionsJk = β

−1k (α1, · · · , αd). On résout ce système d’équations pour obtenir

αk = βk(J1, · · · , Jd)On en tire β1(J1, · · · , Jd) qui nous intéresse et on en déduit les pulsationsωk comme suit

θ̇k = ωk =∂β1(J1, · · · , Jd)

∂Jk.


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Méthode de résolution généraleDémarche à suivreSéparation des variables

Systèmes IntégrablesMouvement périodique : Variables angles-actions

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