1

Mòdul 4 Dualitats sèrie i paral·lel

en robots planars

L. Ros

2

Cinetostàtica = cinemàtica + estàtica

Encaixades gràcies al principi de reciprocitat (o principi de les “potències virtuals”)

3

Recordatori dels

mòduls 2 i 3

4

Analogies estàtica - cinemàtica

f O

w = { f; co }

Torsor

vector moment resp. O

r

w codifica un vector lliscant f sobre una recta r, que representa la resultant del sistema de forces

O

t = { ω; vo }

Rotor

vector moment resp. O

m

t codifica un vector lliscant ω sobre una recta m, que

representa l’estat de velocitat

ω

5

Dues interpretacions del torsor w = { f; co }

f O

r

w codifica una força aplicada sobre una recta r, que representa la resultant del sistema de forces

f

r

co

w codifica una força aplicada sobre una recta r’ paral·lela a r, passant per O, i un parell co compensatori

r’

O

6

Dues interpretacions del rotor

O

t codifica una velocitat angular al voltant de la recta m

t = { ω; vo }

m

ω

O

t codifica una velocitat angular al voltant d’una recta m’, paral·lela a m

passant per O, més una velocitat compensatòria vo

m’

ω

m

vo

7

Més analogies… Anàlisi estàtic del 3RPR Anàlisi cinemàtic del 3R

Falta l’anàlisi cinemàtic Falta l’anàlisi estàtic

Amb el principi de les potències virtuals

8

i més… Singularitats estàtiques del 3RPR Singularitats cinemàtiques del 3R

Falten les singularitats cinemàtiques

det j = 0 det J = 0

Falten les singularitats estàtiques

Amb el principi de les potències virtuals

9

Principi de les Potències Virtuals

10

Potència d’una força aplicada a una partícula (respecte d’una velocitat)

f v

P = f · v •  P és una magnitud escalar •  Unitats de potència: Nm/s = J/s = W •  Mesura l’energia cinètica transmesa a la partícula per unitat de temps •  Si F i v estan a 90º, llavors P = 0 partícula

… s’accelera … manté la velocitat … es frena

f f f

v v v

Exemples on la partícula…

11

Principi de les potències virtuals per una partícula

f1

v partícula

“Una partícula es troba en equilibri si, i només si, la potència generada per les forces exteriors que hi actuen és nul.la, sota

qualssevol velocitats possibles de la partícula”

f2

fn

. . .

12

Potència d’una força aplicada a un sòlid rígid

f

vQ

Es calcula com si f estigués aplicada en un punt Q qualsevol de la recta suport “r”, ja que el producte

P = f · vQ és invariant a la posició de Q damunt r.

Q

r

C

ω

13

Exemples…

… on la força no pot accelerar ni frenar el cos (P=0):

Reacció a una articulació R

Reacció en un contacte lliscant sense fregament

Reacció en contacte rodant

… on la força accelera (P>0) o frena (P<0) el cos:

14

Potència d’un parell aplicat a un sòlid rígid

- f

vB

A B

f

vA

ω

P = (r X f) · ω = π · ω

r rA rB

15

Potència d’una força, a partir del torsor i el rotor

f O

r

co

r’

O

m’

ω

m

vo

f O

r

w = { f; co }

O

m

ω t =

{ ω; vo }

P = f · vo + co · ω P = wT · T

16

Interpretació geomètrica de la potència via el “moment mutu”

P = wT · T

P = (f sT)·(ω S)

P = f ω sT·S

Moment mutu de les dues rectes =

distància r entre les rectes

S s

r

Per tant P = 0 si i només si les dues rectes s i S es tallen

17

Principi de les potències virtuals per un sòlid rígid

v1

v Només compta el treball de les forces i parells exteriors perquè el de les forces interiors s’anul·la. Per què?

“Un sòlid rígid es troba en equilibri si, i només si, la potència generada per les forces i parells exteriors que hi actuen és nul.la,

sota qualssevol velocitats possibles per al sòlid rígid”

fn

P = f1 v1 + ... + fn vn + π1ω+...+πmω = 0

f1

vn

π1

πm

ω

18

Principi de les potències virtuals per un mecanisme

“Mecanisme en equilibri si, i només si, la potència generada per les forces i parells exteriors que hi actuen és nul.la, sota qualssevol velocitats pel

mecanisme, compatibles amb els seus enllaços cinemàtics”

Només compten les forces exteriors...

... perquè la potència de les forces d’enllaç és globalment nul·la

f

- f

19

El principi de les potències virtuals

Les forces desconegudes en problemes “input-output”

Les forces que aguanta estructuralment l’efector d’un mecanisme robòtic

permet determinar...

ínput (conegut)

output?

20

Forces desconegudes en problemes ínput output

θ θ

l l

r

q

Quina força q equilibra

una força r?

A B

C

21

Quines forces pot suportar estructuralment l’efector final?

we Te

wg Tg=0

wgT Tg + we

T Te = 0

weT Te = 0 ∀ Te

Torsors de restricció

Rotors de llibertat

Recíprocs

22

Rotors de llibertat, i torsors de restricció

we Te

El seu espai de “rotors de llibertat”: T = { possibles rotors Te que pot tenir l’element }

El seu espai de “torsors de restricció”: W = { torsors we que pot suportar estructuralment l’element }

Per un element del mecanisme (per exemple l’efector) definim:

T i W són vectorials. I són complements ortogonals l’un de l’altre, ja que:

weT Te = 0 ∀ we , Te

23

Torsors de restricció i rotors de llibertat en robots senzills

1 2

3 4

24

N-sistemes de rotors i torsors

Un n-sistema de rotors és el conjunt de rotors generat per la combinació lineal d’n rotors independents

Un n-sistema de torsors és el conjunt de torsors generat per la combinació lineal d’n torsors independents

3 2-sistema de rotors de llibertat 1-sistema de torsors de restricció

1 1-sistema de rotors de llibertat 2-sistema de torsors de restricció

Exemples:

25

Nota històrica •  Formes diverses del principi de les

potències virtuals foren enunciades per Johann Bernouilli (1667-1748), i el seu fill Daniel Bernouilli (1700-1782). •  El principi es va generalitzar

posteriorment per tractar sistemes accelerats, donant lloc al Principi de d’Alembert, que forma la base teòrica de la Mecànica Lagrangiana.

Johann Bernouilli

Daniel Bernouilli

26

Anàlisi estàtic del manipulador 3R

27

Anàlisi estàtic del manipulador 3R

f

$

$1

$2

$3

El parell és el parell resultant (el que el braç i efectua sobre el

braç i-1)

ω1

ω2

ω3

1

3

2