me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy
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A B
3 aviones
2 trenes
5 buses
Número de maneras de llegar desde A hasta B
Número de maneras de llegar desde A hasta C
avión O tren O bus No suceden simultáneamente
3 + 2 + 5 = 10
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
PRINCIPIO ADITIVO
AB y BC Sí suceden simultáneamente
3 x 2 = 6
A B C
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2 pantalones:
4 camisas:
2 pares de zapatos:
¿De cuantas formas me podría vestir hoy?
¿Qué me pongo?
Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy
cuenta que tengo:
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16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos
Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama
Diagrama de árbol.
Principio de multiplicación: si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2
opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de
maneras de elegir los m objetos es: N = n1 ·n2 ·…·nm
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¿Influye el
orden de
colocación?
NO S I
Son Combinaciones
!
!( )!
m
n
m mC
n n m n
Permutaciones
¿Intervienen
todos los
elementos del
conjunto?
NO
¿Se pueden repetir
los elementos?
NO
m n
nP m
!
( )!
n
k
nP
n k
S I
S I
¿Se pueden repetir
los elementos?
, ,... !
! !... !1 2 rn n n
n
1 2 r
nP
n n n
S I
NO
!P n
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Permutaciones
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Si tres alumnos deben exponer en una clase especial,
y desean analizar todas las posibilidades del orden de
exposición que tienen . . . .
Es simple advertir que una alternativa es . . . . .
Primero expone Pablo
Pablo
luego expone Matías.
Matías
y por último Julio.
Julio
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Una alternativa diferente será si Julio toma el lugar de Matías y éste el de Julio.
Pablo Matías Julio
Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio.
Pablo
Matías Julio
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Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones, tenemos otra alternativa
Pablo Matías Julio
Luego es Matías el que toma el primer turno.
Pablo
Matías Julio
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Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el segundo y el tercer expositor.
Pablo Matías Julio
Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar . . . . . .
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Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos . . .
P3 = 3 ! = 3 2 1 = 6
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Calcular el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras. Solución:
Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en cuatro posiciones diferentes.
P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24
MESA EMSA SMEA AMES
MEAS EMAS SMAE AMSE
MAES ESMA SEMA AEMS
MASE ESAM SEAM AESM
MSEA EAMS SAME ASEM
MSAE EASM SAEM ASME
Ejemplo.
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De cuantas maneras puedo ubicar los jugadores de un equipo de fútbol. ¿Y si el arquero siempre ocupa siempre la primera posición de cuantas maneras se pueden ubicar? Solución:
P11 = 11! = 11 10 9 . . . . . . . 3 2 1 = 39.916.800
Si el arquero ocupa siempre la primera posición
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores)
P10 = 10 ! = 10 9 8 . . . . . . . 3 2 1 = 3.628.800
1 A
Ejemplo.
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Permutaciones con repeticiones.
, ,... !
! !... !1 2 rn n n
n
1 2 r
nP
n n n
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Se sabe que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1.000 byte son 1 Kb, etc.
Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos)
Ese byte con sus 8 símbolos emitirá señales como por ejemplo:
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0
Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos
Ejemplo.
0 0 1 1 0 0 0 1
etc. etc. . .
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¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ?
En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 }
conjunto de 8 elementos,
de los cuales uno se repite 5 veces;
y el otro se repite 3 veces
358
,P
!!
!
35
8
1235
5678
!
!
358
,P 56
Señales diferentes se pueden emitir desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos
y la operación que resuelve . . .
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La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras
De las cuales
I se repite 2 veces
N se repite 3 veces
D se repite 2 veces
E se repite 3 veces
Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez
13P2 3, 2, 3,
!!!!
!
3232
13
1231212312
12345678910111213 43.243.200
palabras
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!
( )!
n
k
nP
n k
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Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras.
debemos resolver
Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par
par cifra 2 cifra 1
Asignamos el lugar de la cifra par al 2
2 cifra 2 cifra 1 y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles
pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4 4 cifra 2 cifra 1
60
Ejemplo.
! !
( )! !
5 5 4 3 2
5 3 2
! !
( )! !
4
2
4 4 3 2P 12
4 2 2
5
3P
! !
( )! !
4
2
4 4 3 2P 12
4 2 2
Luego se tiene 24 cifras pares
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Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal
Podemos pensar que la palabra será:
Si el lugar central debe ocupar una vocal (por ejemplo la A)
A
Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro)
La operación que resuelve esto es:
26
4
)!(
!
426
26
!
!
22
26
!
!
22
2223242526358.800 palabras
Ejemplo.
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Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas
Entonces a lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser
A E I O U
5 x 358.800 = 1.794.000 palabras
26
4P
!
( )!
26
4
265 P 5
26 4
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Combinaciones.
!
! !
n
k
nC
k n k
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Ejemplo.
Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden)
Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación . . .
C
de 20 personas (total de elementos)
)!(!
!
5205
20
!!
!
155
20
!
!
1512345
1516171819203
15.504 maneras distintas
205
tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible)
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Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres
Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con
los 12 hombres disponibles tomados de a 3
123C
)!(!
!
3123
12
!
!
9123
91011122
220 delegaciones de tres hombres
Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8 mujeres disponibles tomadas de a 2
82C
)!(!
!
282
8
!
!
612
6784
= 28 delegaciones de dos mujeres
![Page 25: Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072118/62d8957ca49ee518dc14daa2/html5/thumbnails/25.jpg)
Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente . . . .
para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres
como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres . . .
las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son . . .
8
2123 CC 220 28 = 6.160 formas de componer la
delegación solicitada