2 * (b-1) * b^t-1 * (e2 - e1 + 1) + 1 Falsa Posio:No mtodo da falsa posio, no possvel, de um modo geral,determinar antecipadamente um nmero de iteraes que garanta umadada preciso na aproximao do zero da funo.- Assim, quando se pretende determinar o valor do zero com um dado erromximo absoluto necessrio calcular estimativas do erro ao longo dasiteraes para verificar a satisfao da preciso requerida.ConvergnciaTeoremaSe a funo f for contnua e estritamente montona no intervalo [a, b] ese f(a) f(b) =< 0, ento o mtodo da falsa posio produz uma sucessoconvergente para o nico zero de f nesse intervaloO grfico pode dar-nos uma ideia da eficincia relativados mtodos da bisseco e falsa posio.O erro para o mtodo da falsa posio decresce muitomais depressa que o mtodo da bisseco devido aoesquema mais eficiente de localizao da raiz.Contudo... Existem casos onde o mtodo da falsaposio tem fraca performance. No que diz respeito aosmtodos de encaixe, nem sempre ao mtodo da falsaposio corresponde uma convergncia mais rpida queao mtodo da bisseco.Tabela|n|a|b |xn |f(a)|f(b) |f(xn) |Erro n+1|0|0|1.3|0.126|-4|37.275|-3.87|3.87Extremo inalteradoTeorema:- Se f for estritamente montona e duplamente diferencivel em [a, b] e- se f(a)*f(b) = |s - a|- Se b fixo ento erro => s - bEnto neste caso o critrio de paragem dever serf(xk) ~= 0 ou k = kmax nmero de iteraesMtodo da falsa posio modificadoO mtodo da falsa posio modificado constitui uma alternativa ao mtodo dafalsa posio que procura evitar que um dos extremos do intervalo permanecefixo durante todo o processo iterativoEste mtodo em tudo anlogo ao da falsa posio, excepto que sempre quef(xn)f(xn+1) > 0 o valor da ordenada do extremo do intervalo que se mantmconstante dividido por 2.Portanto, suponhamos para exemplificar que bn+1 = bnEm vez de se empregarem os pontos:(an , f(an)) e (bn , f(bn)) para traar a sencanteutilizamos (an, f(an)) e (bn, f(bn) /2;Tabelan | an |f(an) |bn |f(bn) |xn+1 |f(xn+1)|En+1 Mtodo Iterativo Simples ou Mtodo do Ponto Fixox = fi(x) (1)Diz-se que que p ponto fixo de uma funo g se g(p) = P O nome est associado ao facto de que o ponto p no alterado pela funo g . O mtodo do ponto fixo consiste em transformar o problema de determinar os zeros deuma funo no problema (equivalente) de calcular os pontos fixos de uma outra funo.ConsiderandoPortanto, no mtodo do ponto fixo procede-se do seguinte modo:- Escolher fi - funo de recorrncia ou funo iteradora - tal quef(x)=0 x=fi(x)- Escolhe-se uma estimativa inicial x0 para o ponto fixo p de fi.- Gera-se a sucesso {xn} por intermdio da relao de recorrnciaxn+1 = fi(xn) Como veremos algumas escolhas de fi no sero apropriadas, ou seromenos apropriadas do que outras, para o objectivo em vista.Dependendo da funo de recorrncia fi e do valor inicial x0, o mtodo pode ter diferentes comportamentos. O mtodo nem sempre converge e, quandoconverge, a sucesso gerada pode ser montona ou no. necessrio ento conhecer algum critrio que permita seleccionar a funoFi adequada. Em particular, necessrio determinar quais as condies quegarantem efectivamente que a sucesso gerada pelo mtodo do ponto fixo uma sucesso convergente para o ponto fixo.ConvergnciaTeorema:Seja Fi continuamente diferencivel em [a, b] tal que:Fi(x) pertece [a,b], para todo x pertencente [a,b] (fi([a,b] contido em [a,b]L = max |fi'(x)