MEC8470

Éléments Finis en Mécanique des Solides

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MEC 8470Éléments Finis en Mécanique des Solides

École Polytechnique de Montréal

Hiver 2018

Transparents préparés par Prof. Martin Lévesque

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MEC 8470 - Éléments Finis en Mécaniquedes Solides

Professeur:

→ Frédérick Gosselin→ frederick.gosselin@polymtl.ca→ (local A115.2, tel. 514-340-4711, ext 3747)

Chargés de laboratoires:

→ Pierre Faucheux→ Pierre.faucheux@polymtl.ca→ Wassime Siguerdidjane→ wassime.siguerdidjane@polymtl.ca

Assistants de laboratoires:

→ Boris Burgarella→ Jean-François Chauvette

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Quels problèmes peut-on résoudre avec la méthode des élémentsfinis ?

Figure 1: Exemple du pont de Québec

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Place du cours dans le cheminement de génie mécanique

Introduction

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Éléments finis

Matériauxcomposites

Matériauxplastiques

Résistance desmatériaux IIVibrations

Résistance desmatériaux I

MatériauxStatique

Dynamique

Algèbre vectorielle

Calcul matriciel

Équations différentielles

Figure 2: Notions sur lesquelles le cours MEC8470 s’appuie

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Déroulement du cours

Introduction

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Évaluation

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Comme son sigle l’indique (4-2-3), le cours MEC8470 comprend 4heures de théorie, 2 heures de laboratoires et 3 heures de travauxpersonnels.

COURS THEORIQUES

1. Les cours théoriques sont divisés en deux parties:

(a) Notions pratiques – cours 1 à 9(b) Notions théoriques – cours 10 à 26

2. Les objectifs des cours théoriques sont:

(a) Assimiler les concepts théoriques et mathématiques debase à la méthode des éléments finis

(b) Développer des aptitudes à la simplification des problèmespour en faire ressortir les caractéristiques essentielles

(c) Connaître les différences entre les divers éléments finisainsi que leurs domaines d’utilité

(d) Reconnaître les diverses sources d’erreurs possibles et lescorriger

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Déroulement du cours – suite

Introduction

Introduction

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LABORATOIRES

1. Les objectifs des laboratoires sont:

(a) Apprendre à utiliser des logiciels commerciaux(b) Apprendre à choisir les éléments et le maillage

correctement afin de représenter le comportement de lastructure

(c) Apprendre à interpréter les résultats obtenus(d) Faire des liens entre la théorie vue en cours et les

applications(e) Valider les résultats par diverses méthodes

2. Deux logiciels : NASTRAN et ANSYS3. La classe est séparée en deux groupes de laboratoire4. La présence aux laboratoires est obligatoire

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Évaluation

Introduction

Introduction

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Déroulement

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Particularités

Le Professeur

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Unités

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Vos connaissances seront évaluées de la manière suivante:

1. Travaux pratiques → 35%

(a) Présence aux laboratoires → 10%(b) Feuilles de résultats (×7) → 10%(c) Examen de laboratoire → 15%

2. Mini-quiz → 30%

(a) ∼ aux deux semaines(b) 5 mini-quiz, on ne compte que les 4 meilleurs

3. Examen final → 35%

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Particularités

Introduction

Introduction

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Déroulement

Évaluation

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Le Professeur

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Unités

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Le site web

→ Le site web est un outil essentiel au cours.→ Les notes, des exercices, des solutions, des annonces, les TP,

etc. y sont postés à toutes les semaines→ Le consulter régulièrement

Disponibilité

→ Mercredis de 10h45 à 11h45 au A115.2→ Sur rendez-vous

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Le professeur

Introduction

Introduction

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Le Professeur

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Attentes

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Professeur à Polytechnique depuis 2012

Études

Post-Doc École Polytechnique de Montréal 2011Doctorat École Polytechnique – Paris 2009Maîtrise Université McGill 2006Baccalauréat Université McGill 2004

Intérêts de recherche

→ Mécanique des structures élancées→ Interactions fluide-structure

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Mes attentes

Introduction

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Le Professeur

Background

⊲ Attentes

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Unités

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Valeurs véhiculées par l’Ordre des ingénieurs

→ Accessibilité→ Diligence→ Rigueur→ Intégrité→ Imputabilité

Mes attentes

→ Ponctualité→ Discipline→ Rigueur→ Intégrité

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Mes attentes

Introduction

Introduction

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Le Professeur

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1

Merci de votre compréhension!

Merci de votre compréhension!

Figure 3: Conduite en classe

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Introduction à la méthode des élémentsfinis

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Introduction

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Pb. Méca

Géométrie

Localisation

Globalisation

Solution

Conclusion

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Définition d’un problème de mécanique des solides

Introduction

Introduction

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Géométrie

Localisation

Globalisation

Solution

Conclusion

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Unités

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Les ingrédients suivants sont nécessaires pour définir correctementun problème de mécanique:

1. Géométrie du problème2. Loi de comportement des matériaux3. Déplacements imposés4. Chargement appliqué (optionnel)

Figure 4: Éléments nécessaires pour définir entièrement un problèmede mécanique du solide

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Définition d’un problème de mécanique des solides

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Notes

→ Les déplacements et les chargements sont appliqués parl’extérieur et sont la donnée du problème

→ Les réactions aux déplacements imposés, les déplacements où lechargement est imposé ainsi que les déplacements, contrainteset déformations dans le domaine de la structure étudiée sont lesinconnues recherchées.

→ On ne peut appliquer à la fois une force et un déplacement aumême point car cela reviendrait à changer le matériau (exempledu ressort).

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Définition d’un problème de mécanique des solides

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Notes

→ Par convention, lorsqu’aucune force ou aucun déplacement n’estdessiné en un point donné on suppose que la force y est nulle.

– Alors dans le problème de la figure on aura:

1. Un déplacement ~U appliqué en un point2. Deux déplacements nuls aux appuis3. Une force distribuée ~w sur une portion de ∂Ω4. Une force nulle partout ailleurs sur ∂Ω

– Ceci constitue la définition des conditions aux rives duproblème (forces et déplacements)

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Problème du cadre à barreaux droits - Géométrie

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Conclusion

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Soit le problème suivant:

(1)

(2)(3)

~F (2, 1)

1 2

3

x

y

→ (i) fait référence à un barreau i

→ Barreaux de section A(i), de moduled’Young E(i) et de longueur L(i)

constants→ Système d’axes global x− y

→ Pivot au noeud 1→ Appui simple au noeud 2→ Force ~F au noeud 3

On cherche les quantités suivantes:

f1x

u1x

f1y u1yf2x u2x

f2y u2y

f3x u3x

f3y u3y

(1)

(2)(3)

x

y → Les forces f aux noeuds i→ Les déplacements u aux noeuds i→ Par convenance, on va noter:

f =

f1xf1yf2xf2yf3xf3y

, u =

u1x

u1y

u2x

u2y

u3x

u3y

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Problème du cadre à barreaux droits - Localisation

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On va faire exploser la géométrie en éléments de base:

x(1)

y(1)

(1)

x(2)

y(2)(2)

x(3)y(3)

(3)

x

y

→ Chaque élément (i) est doté de sonsystème d’axes x(i) − y(i) qui luiest propre

→ Notation: u est un déplacementdans le repère global et u(i) est undéplacement exprimé dans lerepère local de l’élément (i)

→ Ces systèmes d’axes sont bien surexprimés dans le repère global

Considérons un élément (i) dans son repère local:

u(i)ix f

(i)ix

f(i)jx u

(i)jx

f(i)iy

f(i)jy

u(i)iy u

(i)jy

i j

x(i)

y(i)

→ L’axe x(i) est positif dei → j

→ y(i) ⊥ x(i)

→ Le barreau transmet desefforts axiaux uniquement

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Problème du cadre à barreaux droits - Localisation – suite

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Unités

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u(i)ix f

(i)ix

f(i)jx u

(i)jx

f(i)iy

f(i)jy

u(i)iy u

(i)jy

i j

x(i)

y(i)

On s’intéresse à la relation entre les forces et les déplacementsappliqués sur le barreau. On a:

→ Matériau élastique: σ = Eε

→ σ = FA= E∆L

L= Eε, d’où F = AE

L∆L = k∆L

→ On peut assimiler ce système à un ressort→ Quand il est en tension, la force en i < 0 et en j > 0→ Dans ce système d’axes, on aura:

f(i)ix = k

(

u(i)ix − u

(i)jx

)

, f(i)jx = k

(

u(i)jx − u

(i)ix

)

(1)

f(i)iy = f

(i)jy = 0 (2)

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On peut ré-écrire cela sous une forme plus compacte:

f(i)ix

f(i)iy

f(i)jx

f(i)jy

=E(i)A(i)

L(i)

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

u(i)ix

u(i)iy

u(i)jx

u(i)jy

(3)

f (i)

=[

K(i)]

u(i)

(4)

où la matrice[

K(i)]

est appelée matrice de rigidité de l’élément(i) donnée dans son repère local.

On peut ainsi calculer une matrice de rigidité pour chacun deséléments du modèle. Cette matrice dépend de:

→ Du matériau (module E)→ De la géométrie de l’élément (L et A)→ De la formulation de l’élément (ici on ne transmet que des

efforts axiaux)

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Maintenant que l’on a les matrices de rigidité de tous les élémentsdans leurs repères locaux, il serait intéressant de les connaître dansle système global. Considérons l’élément:

x(3)y(3)

(3)

x

y

u(3)jx

u(3)jx

u(3)jyu

(3)jy

u(3)ix

u(3)ix

u(3)iyu

(3)iy θ

i

j

Par la géométrie du problème, on a que:

u(3)ix = u

(3)ix cos θ + u

(3)iy sin θ , u

(3)iy = −u

(3)ix sin θ + u

(3)iy cos θ

(5)

u(3)jx = u

(3)jx cos θ + u

(3)jy sin θ , u

(3)jy = −u

(3)jx sin θ + u

(3)jy cos θ

(6)

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u(3)ix = u

(3)ix cos θ + u

(3)iy sin θ , u

(3)iy = −u

(3)ix sin θ + u

(3)iy cos θ

u(3)jx = u

(3)jx cos θ + u

(3)jy sin θ , u

(3)jy = −u

(3)jx sin θ + u

(3)jy cos θ

Qui peut se mettre sous la forme (en généralisant):

u(i)

=[

R(i)]

u(i)

(7)

où:

[R] =

cos θ sin θ 0 0− sin θ cos θ 0 0

0 0 cos θ sin θ0 0 − sin θ cos θ

(8)

La matrice [R], appelée matrice de rotation, est particulière...

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[R] =

cos θ sin θ 0 0− sin θ cos θ 0 0

0 0 cos θ sin θ0 0 − sin θ cos θ

La matrice [R] est orthogonale, ce qui entraîne que:

[R]−1 = [R]T (9)

Pour être orthogonale, il faut que les vecteurs colonnes formant lamatrice forment une base orthonormée. C’est bien le cas ici.

On aura donc sans difficulté que:

u(i)

=[

R(i)]

u(i)

(10)[

R(i)]T

u(i)

=

u(i)

(11)

On a évidemment les mêmes relations pour les forces.

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Rappelons la relation entre les forces et les déplacements auxnoeuds d’un élément dans son repère local:

f (i)

=[

K(i)]

u(i)

En utilisant les dernières relations on a:[

R(i)]

f (i)

=[

K(i)] [

R(i)]

u(i)

(12)

Si l’on multiplie chaque côté par [R]−1 = [R]T, on obtient:

f (i)

=[

R(i)]T [

K(i)] [

R(i)]

u(i)

(13)

f (i)

=[

K(i)]

u(i)

(14)

où[

K(i)]

est la matrice de rigidité de l’élément (i) exprimée dans lerepère global. On a donc atteint notre objectif ! Il reste maintenantà assembler toutes les contributions des éléments à la solution duproblème...

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Il nous faut maintenant reconnecter tous les éléments ensemble pourdonner un sens physique au problème qui reflète bien la réalité.

Première règle: Compatibilité géométrique

→ Les éléments qui partagent des noeuds doivent avoir les mêmesdéplacements en ces noeuds.

Considérons le noeud 3 auquel est attaché les éléments (3) et (2).

(1)

(2)(3)

1 2

3

x

y

3 3(3) (2)

~u(3)3 ~u

(2)3

Pour qu’il y ait compatibilité géométrique, il faut que, u(3)3x = u(2)3x et

u(3)3y = u

(2)3y . On peut généraliser aux autres noeuds de la structure.

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Deuxième règle: Équilibre statique à chaque noeud du système

Considérons encore le noeud 3. On se rappelle que les forces sontpositives selon les axes positifs dans les systèmes locaux. Parréaction, on aura:

−~f(3)3 −~f

(2)3

~f3

On peut tout de suite voir que:

~f3 − ~f(3)3 − ~f

(2)3 = ~0 (15)

pour qu’il y ait équilibre au noeud 3. On rappelle que ~f3 est la forceappliquée par l’extérieur sur la structure.

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On peut aussi écrire que:

f3xf3y

=

f(1)3x

f(1)3y

+

f(2)3x

f(2)3y

+

f(3)3x

f(3)3y

(16)

où f(1)3x et f (1)

3x sont interprétées comme les forces appliquées aunoeud 3 par l’élément (1). Or, l’élément (1) n’est pas connecté aunoeud 3. Ces forces sont donc nulles. On peut ré-écrire les vecteurs

f (i)

sous la forme:

f1xf1yf2xf2xf3xf3y

=

f(1)1x

f(1)1y

f(1)2x

f(1)2x

f(1)3x

f(1)3y

+

f(2)1x

f(2)1y

f(2)2x

f(2)2x

f(2)3x

f(2)3y

+

f(3)1x

f(3)1y

f(3)2x

f(3)2x

f(3)3x

f(3)3y

(17)

ou encore:f =

f (1)

+

f (2)

+

f (3)

(18)

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On a vu précédemment que

f (i)

=[

K(i)]

u(i)

. Si l’onconsidère l’élément 1 (qui a son système d’axes parallèle au systèmeglobal), on avait:

f(1)1x

f(1)1y

f(1)2x

f(1)2y

=E(1)A(1)

L(1)

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

u(1)1x

u(1)1y

u(1)2x

u(1)2y

On peut ré-écrire la matrice[

K(1)]

et le vecteur

u(1)

de sorteque:

f(1)1x

f(1)1y

f(1)2x

f(1)2y

f(1)3x

f(1)3y

=E(1)A(1)

L(1)

1 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0−1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

u(1)1x

u(1)1y

u(1)2x

u(1)2y

u(1)3x

u(1)3y

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Écrite sous cette forme, la compatibilité géométrique devient:

u(1)

=

u(2)

=

u(3)

= u (19)

On aura donc:

f (1)

=[

K(1)]

u ,

f (2)

=[

K(2)]

u

f (3)

=[

K(3)]

u

Comme f =

f (1)

+

f (2)

+

f (3)

, on aura:

f =([

K(1)]

+[

K(2)]

+[

K(3)])

u (20)

qui conduit à l’équation fondamentale et la plus importante pour cecours:

f = [K] u (21)

On appelle la matrice [K] la matrice de rigidité du système. Elle faitle lien entre tous les déplacements et les forces appliquées sur lesystème.

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f1x

u1x

f1y u1yf2x u2x

f2y u2y

f3x u3x

f3y u3y

(1)

(2)(3)

x

y

Dans cet exemple, on a que E(1)A(1) = 100, E(2)A(2) = 50,E(3)A(3) = 200

√2, L(1) = 10, L(2) = 10 et L(3) = 10

√2. De plus,

on a que f3x = 2 et f3y = 1. Remarquez qu’aucune unité à étéintroduite...

Au niveau des déplacements, on a un pivot au noeud 1, ce quientraîne que u1x = u1y = 0. On a un appui simple au noeud 2, cequi entraîne que u2y = 0 et f2x = 0.

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Après les calculs des matrices de rigidité et des matrices de rotation,on a le résultat suivant:

f1xf1y0f2y21

=

20 10 −10 0 −10 −1010 10 0 0 −10 −10

−10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 −5

−10 −10 0 0 10 10−10 −10 0 −5 10 15

00u2x

0u3x

u3y

(22)

→ On peut remarquer qu’il y a certaines équations où u est connu→ Dans notre cas particulier, ces composantes connues sont nulles

– On pourra donc effacer les colonnes qui multiplient cesquantités

→ Que faire si les déplacements connus n’étaient pas nuls ?

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Il restera donc:

f1xf1y0f2y21

=

−10 −10 −100 −10 −10

10 0 00 0 −50 10 100 10 15

u2xu3xu3y

(23)

→ On voit que si l’on connaît u, on pourra connaître les forcesqui sont inconnues

→ On peut remarquer que l’on a aussi autant de forces connuesque de déplacements inconnus

– On pourra donc générer autant d’équations que nécessairepour calculer tous les déplacements.

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Au final, on aura:

021

=

10 0 00 10 100 10 15

u2xu3xu3y

(24)

La solution de ce système d’équations conduit à:

00.4−0.2

=

u2xu3xu3y

(25)

Comme l’on connaît tous les déplacements, on peut calculer lesforces avec la matrice de rigidité.

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Introduction

Introduction

Plan du cours

Le Professeur

Intro E.F.

Pb. Méca

Géométrie

Localisation

Globalisation

Solution

⊲ Conclusion

Vocabulaire

Unités

Intro. TP

34 / 53

En conclusion, la solution d’un problème de structure se résoud parla technique des éléments finis en suivant le schéma suivant:

1. Idéalisation du problème physique

→ Choix du type d’éléments (solide, poutres, plaques,barreaux)

→ Définition de la géométrie du problème (noeuds)→ Détermination les forces et déplacements appliqués sur la

structure→ Étape entièrement réalisée par l’homme et la plus

importante

2. Localisation

→ Calcul du système d’axes local des éléments (ordi.)→ Définition des propriétés des éléments (rigidité, section,

inertie, etc.) (humain)→ Calcul des matrices de rigidité locales (ordi.)→ Calcul des matrices de rotation des éléments (ordi.)

MEC8470

Problème du cadre à barreaux droits - Conclusion - suite

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Géométrie

Localisation

Globalisation

Solution

⊲ Conclusion

Vocabulaire

Unités

Intro. TP

35 / 53

3. Globalisation

→ Calcul des matrices de rigidité des éléments dans le systèmeglobal

→ Calcul de la matrice de rigidité du système→ Entièrement réalisée par l’ordinateur

4. Solution

→ Réorganisation des systèmes d’équations→ Solution numérique→ Entièrement réalisée par l’ordinateur

5. Analyse des résultats

→ Calcul des forces, contraintes, déformations, etc. dans toutle modèle (ordi)

→ Critique des résultats (humain)

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Problème du cadre à barreaux droits - Conclusion - suite et fin

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Géométrie

Localisation

Globalisation

Solution

⊲ Conclusion

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Unités

Intro. TP

36 / 53

On peut voir que l’ordinateur est impliqué dans les étapes de calculmatriciel uniquement.

L’ordinateur va toujours donner une solution... mais laquelle ?

→ Celle qui s’appuie sur les hypothèses simplificatrices introduitespar l’homme

Une des devises des éléments finis:

Garbage in, garbage out !

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Vocabulaire et terminologie

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⊲ Vocabulaire

Unités

Intro. TP

37 / 53

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Vocabulaire et terminologie

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Vocabulaire

Unités

Intro. TP

38 / 53

Élément

→ Entité mathématique qui représente le phénomène physique quel’on veut se représenter

→ Brique de base de la structure que l’on veut modéliser→ Exemple: barreaux, poutres, plaques, solides, etc.

Noeud

→ Points qui servent à connecter les différents éléments entre eux

Système de coordonnées global

→ Système de coordonnées universel attaché à l’Univers→ La position des noeuds est habituellement donnée dans ce

repère

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Vocabulaire et terminologie

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Vocabulaire

Unités

Intro. TP

39 / 53

Système de coordonnées local

→ Système de coordonnées défini par rapport à une entité→ Les éléments possèdent tous un système de coordonnées local

qui sert à exprimer les lois de la physique

Degrés de liberté (définition plus générale plus tard)

→ Déplacements aux noeuds qui sont activés par les éléments etpour lesquels on cherche une solution

→ Dans l’exemple du cadre de barreaux, chaque élément activaitdes translations dans le plan. On avait donc deux degrés deliberté (ux et uy) par noeud

→ En mécanique des solides, les noeuds peuvent avoir 6 degrés deliberté: 3 translations et 3 rotations

Conditions aux rives

→ Valeurs affectées aux degrés de liberté de la structure parl’extérieur

→ Pivot, appui simple, etc.

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Vocabulaire et terminologie

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Vocabulaire

Unités

Intro. TP

40 / 53

Chargement (définition plus générale plus tard)

→ Forces appliquées sur la structure

Modèle éléments finis

→ Tous ces concepts assemblés pour représenter le problèmephysique que l’on veut résoudre

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Les unités cohérentes

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Vocabulaire

⊲ Unités

Intro. TP

41 / 53

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Introduction TP1

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Vocabulaire

Unités

⊲ Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

42 / 53

MEC8470

Introduction

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Vocabulaire

Unités

Intro. TP

⊲ TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

43 / 53

→ Nous allons étudier un bouclier anti-radiation construit pour lacentrale nucléaire de Pickering en Ontario

Figure 5: Centrale nucléaire de Pickering en Ontario

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Schéma du réacteur nucléaire

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Unités

Intro. TP

TP1

⊲ Schéma réact.

Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

44 / 53

Figure 6: Élements de la centrale nucléaire

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Schéma global de la centrale nucléaire

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Vocabulaire

Unités

Intro. TP

TP1

Schéma réact.

⊲ Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

45 / 53

Figure 7: Circuit de la centrale nucléaire

MEC8470

Cuve du réacteur

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Vocabulaire

Unités

Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

⊲ Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

46 / 53

Figure 8: Cuve du réacteur

MEC8470

Machine de remplacement des grappes d’uranium

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Unités

Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

⊲Mach.remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

47 / 53

Figure 9: Machine de remplacement des grappes d’uranium

MEC8470

Machine de remplacement des grappes d’uranium en action

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Unités

Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

⊲Mach.remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

48 / 53

Figure 10: Fonctionnement de la machine de remplacement desgrappes d’uranium

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Usage du bouclier

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Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

⊲Mach.remplace.

Bouclier

Maillage

Chargement

49 / 53

Bouclier

Anti-radiation

Figure 11: Position du bouclier anti-radiation. Le bouclier sert àprotéger les machines des radiations du réacteur.

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Schéma du bouclier anti-radiation

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Unités

Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

⊲ Bouclier

Maillage

Chargement

50 / 53

Figure 12: Schématisation du bouclier anti-radiation

MEC8470

Maillage de la structure avec des éléments de poutre

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Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

⊲ Maillage

Chargement

51 / 53

11

12

13

14

20 40 41 42 43

21 30 31 32 33

22

23 24 25 26 27

4443424140

3433323115

26252423

22

21

1

2

3

CL

Plan de

Symétrie

0 2000 3152 4304 5402 6500

0

480

915

16 50 51

Figure 13: Maillage de la structure

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Répartition des charges sur le modèle

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Unités

Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

Maillage

⊲ Chargement

52 / 53

11

12

13

14

20 40 41 42 43

21 30 31 32 33

22

23 24 25 26 27

CL

21 30 31 32

23 25 26

21 30 31 32

23 24 25 26

52 kN 52 kN

13 13 13 6.5

6.5131313

13

Béton - 2.83 N / mm

Figure 14: Répartition des charges

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Calcul des charges équivalentes aux noeuds du modèle

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Unités

Intro. TP

TP1

Schéma réact.

Schéma global

Cuve

Mach. remplace.

Bouclier

Maillage

⊲ Chargement

53 / 53

157 mm

~P

~Feq

~P

~Feq

~MeqBéton lourd

Poids de la dalle

Transfert de la charge

équivalente de la dalle

au centroïde du profilé

Figure 15: Transfert de la charge équivalente de la dalle de béton aucentroïde de la poutre