mecanica 1 probleme rezolvate(itul+haiduc)
TRANSCRIPT
TIBERIU-PAVEL ITUL NICOLAE HAIDUC
MECANICA I
STATICA şi CINEMATICA
PROBLEME REZOLVATE
CLUJ-NAPOCA, 2012
O
ω2
ω11
R 2R
1
Reducerea forţelor Capitolul de reducerea forţelor este important deoarece stă la baza tuturor aspectelor care privesc echilibrul sistemelor materiale. Cu ajutorul cunoştinţelor din acest capitol se pot determina:
a) condiţiile în care un sistem material stă în echilibru; b) modul în care poate fi modificat sistemul de forţe ce acţionează asupra
unui sistem material astfel încât acesta să rămână în echilibru.
Exemple Asupra unui cub de latură a acţionează, conform figurii, un sistem de forţe având mărimile PFF == , 21 223 ⋅⋅= PF şi PF ⋅=3 . 4
1
Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu punctul O şi să se determine apoi momentul minim şi ecuaţiile axei centrale. -------------------------------------------------------
În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei. a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant:
∑=
=⋅+⋅+⋅=4
1iizyx FkRjRiRR ; ∑
=×=⋅+⋅+⋅=
4
1iiizyxO FrkMjMiMM ,
unde:
∑ ∑ ∑=i
; = =
===4
1
4
1
4
1;;
i iizziyyixx FRFRFR
( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==
⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=4
1
4
1
4
1;;
i iixiiyiziziixiy
iiyiizix FyFxMFxFzMFzFyM .
Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul: ixF iyF izF ix iy izi=1 0 0 P a 0 0 i=2 0 0 P 0 a 0 i=3 -2P 2P 0 a 0 0 i=4 0 -3P 0 0 0 a
Aplicând formulele de calcul, se obţin elementele torsorului de reducere în raport cu polul O:
PRPRPR zyx ⋅=−=⋅−= 2;;2 ; PaMPaMPaM zyx ⋅⋅=⋅−=⋅⋅= 2;;4 .
kPjPiPR ⋅⋅+⋅−⋅⋅−= 22 ; kPajPaiPaM O ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅= 24 . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de
calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.
Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: PRRRR zyx ⋅=++= 3222 ; 21222 ⋅⋅=++= PaMMMM zyxO .
F1
F2
F3 aa
a
F4
b) Momentul minim este dat de relaţia
R
RMM O ⋅
=min .
( ) ( )P
PPaPPaPPa
RRR
RMRMRMM
zyx
xzyyxx
⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅
=++
⋅+⋅+⋅=
32224
222min ;
F1
F2
F3
F4
A3(a,0,0)
aa
a
A4(0,0,a)
A2(0,a,0)
A1
PaM ⋅−=min . c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea:
z
xyz
y
zxy
x
yzx
R
RyRxM
R
RxRzM
R
RzRyM ⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
⋅+⋅−.
( ) ( ) ( ) ( )P
PyPxPaP
PxPzPaP
PzPyPa⋅
⋅−⋅+−⋅−⋅⋅=
−⋅⋅+⋅−⋅−⋅−
=⋅−
−⋅+⋅⋅−⋅⋅2
2222224 .
Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa centrală:
⎧
⎩⎨ +⋅=⋅−⋅−⋅
+⋅−=−⋅−⋅axza
azya2442
224⋅−⋅+⋅yxxz
244 ;
⎩⎨⎧
=⋅+⋅−⋅=⋅−⋅+⋅+⋅
04256524zyx
azyx 0 .
Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului în care axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei
fiind definită de rezultantă:
OP
M min
RR
OM
M minM x
M y
M z
R z
R y
R x
axacentrala
P
P0(2/3a, 5/3a, 0)
r
( )0,35,3
20 aaP ⋅⋅ .
Se consideră un cub de latură a asupra căruia acţionează forţele 221 ⋅== FFF şi momentul
22 ⋅⋅⋅= FaM C , orientate ca în figură.
2
Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu punctul O şi să se determine apoi momentul minim şi ecuaţiile axei centrale. -------------------------------------------------------------- În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele
acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei. a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant:
∑=1i
izyx FkRjRiRR =⋅+⋅+⋅=2
;
∑=
×+=⋅+⋅+⋅=2
1iiiCzyxO FrMkMjMiMM ,
unde:
∑ ∑ ∑=i
; = =
===2
1
2
1
2
1;;
i iizziyyixx FRFRFR
( ) ( )∑∑==
⋅−⋅+=⋅−⋅+=2
1
2
1;
iiziixiCyy
iiyiiziCxx FxFzMMFzFyMM ;
( )∑=
⋅−⋅+=2
1iixiiyiCzz FyFxMM .
jFaiFakMjMiMM CzCyCxC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=⋅+⋅+⋅= 22 . Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul:
ixF iyF izF ix iy izi=1 F 0 F 0 0 0 i=2 F F 0 0 0 a
Aplicând formulele de calcul, se obţin elementele torsorului de reducere în raport cu polul O:
FR FRFR zyx ==⋅=2 ;; ; 0;3;3 =⋅⋅=⋅⋅−= zyx MPaMFaM .
kFjFiFR ⋅+⋅+⋅⋅=2 ; jFaiFaM O ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−= 33 . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de
calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor,
adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.
F1
F2
aa
a
MC
Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: 6222 ⋅=++= FRRRR zyx ; 23222 ⋅⋅⋅=++= FaMMMM zyxO .
b) Momentul minim este dat de relaţia
R
RMM O ⋅
=min .
60323
222min
⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=
++
⋅ + ⋅ + ⋅=
FFFFaFFa
RRR
RMRMRMM
zyx
xzyyxx ;
F1
F2
MC
A2(0,0,a)
A1(0,0,0)
aa a
r2 63
minFaM ⋅ ⋅−= .
c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea:
z
xyz
y
zxy
x
yzx
R
RyRxMRxRzMRzRyM
RR
⋅=
⋅+⋅−=
⋅+⋅− +⋅−.
FFyFx
FFxFzFa
FFzFyFa ⋅⋅+⋅−
=⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅
⋅+⋅−⋅⋅− 20232
3 .
Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa centrală:
⎧−
⎩⎨ +−=+⋅−⋅
⋅−⋅=+−⋅yxxza
xzazya223
2463⋅⋅+ ;
⎩⎨⎧
=⋅+⋅−⋅−⋅=⋅+⋅−+⋅
032220952
azyxazyx .
Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului P în care
axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei fiind definită de rezultantă: O
M min
R
ROM
M x
M y
R z
R y
R x
axacentrala
P
P0(-7/2a, 2a, 0)
r
M min
( )0,2,20 aaP ⋅⋅−7 .
Asupra prismei rigide din figură acţionează un sistem de cinci forţe PFFFF ==== 4321 şi
25 ⋅=PF .
3
Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu punctul O şi să se determine apoi momentul minim şi ecuaţiile axei centrale. ------------------------------------------------------- În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei.
a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant:
∑=
=⋅+⋅+⋅=4
1iizyx FkRjRiRR ;
∑=
×=⋅+⋅+⋅=4
1iiizyx FrkMjMiMOM ,
unde:
∑ ∑ ∑=i
; = =
===4
1
4
1
4
1;;
i iizziyyixx FRFRFR
( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==
⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=4
1
4
1
4
1;;
i iixiiyiziziixiy
iiyiizix FyFxMFxFzMFzFyM .
Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul: ixF iyF izF ix iy izi=1 0 P 0 2a 0 0 i=2 0 0 P 2a 0 0 i=3 P 0 0 0 0 a i=4 0 0 P 0 0 0 i=5 0 P -P 0 0 a
Aplicând formulele de calcul, se obţin elementele torsorului de reducere în raport cu polul O:
PRPRPR zyx =⋅== ;2; ; PaMPaMPaM zyx ⋅⋅=⋅−=⋅−= 2;; .
kPjPiPR ⋅+⋅⋅+⋅= 2 ; kPajPaiPaM O ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−= 2 . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de
calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele
momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.
F1
F4
F2
2a
F3F5
a
a
Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: 6222 ⋅=++= PRRRR zyx ; 6222 ⋅⋅=++= PaMMMM zyxO .
b) Momentul minim este dat de relaţia
R
RMM O ⋅
=min .
622
222min
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−=
++
⋅+⋅+⋅=
PPPaFPaPPa
RRR
RMRMRMM
zyx
xzyyxx ;
F1
F4
F2
A2(2a,0,0)A1
2a
A5(0,0,a)A3F3 F5
a
a
A4(0,0,0)
6min
PaM ⋅−= .
c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea:
z
xyz
y
zxy
x
yzx
R
RyRxM
R
RxRzM
R
RzRyM ⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
⋅+⋅−.
PPyPxPa
PPxPzPa
PPzPyPa ⋅+⋅⋅−⋅⋅
=⋅
⋅+⋅−⋅−=⋅⋅+⋅−⋅− 22
22 .
Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa centrală: ⎧ ⋅⋅− Pa2
⎩⎨ ⋅=⋅+⋅−⋅−
⋅⋅+⋅⋅−PyPxPaPxPzPaPxPzPaPzPy
24442
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅−= ;
⎩⎨⎧
=⋅−−⋅−⋅=+⋅−⋅+
0525052
azyxazyx .
Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului în care
axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei fiind definită de rezultantă: OP
R yR x
R z
M xM y
M z
M min
axacentrala
M min
R
OM
R
P0(2/3a, -5/6a, 0)
( )0,652 ,30 aaP ⋅−⋅ .
Asupra unui paralelipiped având dimensiunile a, b, c acţionează, ca în figură, un sistem de forţe PFF == 21 şi PF ⋅=2 . 3
4
Să se găsească relaţia dintre lungimile a, b şi c pentru ca sistemul de forţe să se reducă la o rezultantă unică. ----------------------------------------------------- Condiţia ca un sistem de forţe să se reducă la o rezultantă unică este ca momentul minim să fie nul:
0min ==R
M O ⋅RM
adică 0=⋅+⋅ zzyy RMR+⋅=⋅ xxO MRMR
∑=
==n
iixx PFR
1
∑=
⋅==n
iizz PFR
12
Mn
ix =∑
=
M . Se observă ca, pentru a putea impune condiţia de rezultantă unică, este necesar să determinăm componentele torsorului de reducere în raport cu polul O.
Cu ajutorul tabelului centralizator de proiecţii şi coordonate puncte de aplicaţie ale forţelor din sistem, se obţin:
; ;
;
∑=
==n
iiyy PFR
1
( ) ( ) PcbFzFy iyiizi ⋅−⋅=⋅−⋅ 21
;
; . ( ) PaFxFzMn
iiziixiy ⋅⋅−=⋅−⋅=∑
=2
1( ) 0
1=⋅−⋅=∑
=
n
iixiiyiz FyFxM
Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.
Înlocuind în condiţia de rezultantă unică, se obţine: ( ) 022 =⋅⋅⋅−⋅− ⋅⋅ PPaPPcb ,
deci relaţia între lungimi pentru ca sistemul de forţe să se reducă la o rezultantă unică este:
( )abc −⋅=2 .
F1
F2
F3 a
b
c
F1
F2
F3a
b
c
A3(a,b,0)
A2(0,0,c)
A1(0,0,0)
ixF iyF izF ix iy iz i=1 P 0 0 0 0 0 i=2 0 P 0 0 0 c i=3 0 0 2P a b 0
Determinarea analitică a poziţiei centrului de greutate Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor privind calculul poziţiei centrului de greutate sunt următoarele:
a) în funcţie de datele problemei, se alege formula de calcul;
b) se alege convenabil un sistem de referinţă; c) în cazul mediului discontinuu:
se împarte corpul în figuri geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale după caz;
pentru fiecare figură geometrică simplă componentă se calculează coordonatele centrului de greutate în raport cu acelaşi sistem de referinţă, precum şi masa, lungimea, aria sau volumul, după caz;
se aplică relaţiile scalare de calcul; d) în cazul mediului continuu:
se alege convenabil un element infinitesimal de masă, lungime, arie sau volum, după caz;
se aplică relaţiile scalare de calcul.
Proprietăţile şi forma corpului Omogen
Mediu
Neomogen Uni-dimensional
Bi-dimensional
Tri-dimensional
Discontinuu ∑
∑
=
=⋅
=n
ii
n
iii
C
m
mrr
1
1
∑
∑
=
=⋅
=n
ii
n
iii
C
l
lrr
1
1 ∑
∑
=
=⋅
=n
ii
n
iii
C
A
Arr
1
1
∑
∑
=
=⋅
=n
ii
n
iii
C
V
Vrr
1
1
Continuu
∫∫ ⋅
=dm
dmrrC
∫∫ ⋅
=dl
dlrrC
∫∫ ⋅
=dA
dArrC
∫∫ ⋅
=dV
dVrrC
5
Exemple
6
Să se determine poziţia centrului de greutate al conturului omogen din figură. ------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, spaţial, unidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma
∑
∑
=
=⋅
=4
1
4
1
ii
iii
C
l
lxx ;
∑
∑
=
=⋅
=4
1
4
1
ii
iii
C
l
lyy ;
∑
∑
=
=⋅
=4
1
4
1
ii
iii
C
l
lzz ,
unde reprezintă coordonatele, respectiv lungimea fgurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.
iiii lzyx ,,,
ix iy iz il
a 2a 0 a
2a a 0 a
0 o45cos33 ⋅− COa o45sin33 ⋅− COa 4
2 a⋅⋅π
o45cos4 ⋅OC 0 o45sin4 ⋅OC 4
2 a⋅⋅π
În cazul segmentelor de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se calculează distanţele C
R sinαα
R2α
=a
a
ππ22
4
45 ⋅⋅= aosin33 ⋅=aCO ,
ππ22
4
45 ⋅⋅= aosin4 ⋅=aOC .
Rezultă
22
22
20
24321
44332211
ππ
ππ
π
⋅+⋅++
⋅⋅⋅+⋅⋅++⋅+⋅=
+++
⋅+⋅+⋅+⋅=
aaaa
aaaaaaa
lllllxlxlxlx
x C ;
a
y z x
Ca
1C2C
3C4C
O3
22
20
221
2
4321
44332211
ππ
πππ
⋅+⋅++
⋅⋅+⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⋅+⋅
=+++
⋅+⋅+⋅+⋅=
aaaa
aaaaaaa
lllllylylyly
y C ;
22
2222100
4321
44332211
ππ
ππππ
⋅+⋅++
⋅⋅⋅+⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⋅+⋅
=+++
⋅+⋅+⋅+⋅=
aaaa
aaaaaa
lllllzlzlzlz
z C ;
( ) ax C ⋅+⋅
=π22
5 ; ( ) ay C ⋅+⋅+=π
π22
1 ; ( ) az C ⋅+⋅
=π
π22
.
Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru segmentul de cerc poate fi obţinută tratând conturul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă: a
∫∫ ⋅
=dl
dlxx C
C
x
sinα
dl
α
R2α
= ϕdϕ
R
;
a unde ϕ ; dRdl= ⋅
ϕ . cos=Rx ⋅
Rezultă a
∫
∫
−
−⋅
⋅=
⋅
α
α
α
α
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
d
dR
d cos
∫
∫
−
−
⋅
⋅⋅
=α
α
α
αϕ
dR
RRx C
cos
a
ααsin⋅=Rx C .
Să se determine poziţia centrului de greutate pentru placa omogenă din figură.
7
------------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma
∑
∑
=
=⋅
=3
1
3
1
ii
iii
C
A
Axx ;
∑
∑
=
=⋅
=3
1
3
1
ii
iii
C
A
Ayy ,
unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.
iii Ayx ,,
ix iy i A
a a 24 a⋅
o45cos2 ⋅OC o45sin2 ⋅OC 2
41)( a⋅⋅− π
a⋅⋅232 aa ⋅+
32 ( ) aa⋅⋅⋅− 2
21
În cazul sectorului de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se calculează distanţa
ππ ⋅⋅⋅=⋅⋅=
324
4
45sin32
2aaOC
o
.
a
2a
2a
a
Rezultă
222
222
321
332211
414
34
41
344
aaa
aaaaaa
AAAAxAxAx
x C−⋅⋅−⋅
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
=−−
⋅−⋅−⋅=
π
ππ ;
222
222
321
332211
414
35
41
344
aaa
aaaaaa
AAAAyAyAy
y C−⋅⋅−⋅
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
=−−
⋅−⋅−⋅=
π
ππ ;
( ) ax C ⋅−⋅
=π123
28 ; ay C ⋅−
=π12
8 .
Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru sectorului de cerc poate fi obţinută tratând sectorul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă:
∫∫ ⋅
=dA
dAxx C ;
unde ϕdRRdA ⋅⋅⋅=
21 ;
ϕcos32 ⋅⋅= Rx .
Rezultă
∫
∫
−
−⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
α
α
α
α
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
d
dR
dR
dRR cos
322
1
∫
∫
−
−
⋅
⋅⋅
=α
α
α
α
R
Rx C
21
cos32
ααsin
32 ⋅⋅= Rx C .
ay
x
2a
a
C1C
2C
3C
C
x
dA
R2α
= ϕdϕ
R sinαα
23
R23
2a
2a
2a
a
2a
a
C
R sinαα
R2α
=
23
R2
Să se determine poziţia centrului de greutate pentru placa omogenă din figură.
8
------------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu
discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma
∑
∑
=
=⋅
=3
1
3
1
ii
iii
C
A
Axx ;
∑
∑
=
=⋅
=3
1
3
1
ii
iii
C
A
Ayy ,
unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.
iii Ayx ,,
ix iy iA
0 π⋅⋅
38 R ( )
22 2R⋅⋅π
R− π⋅
⋅−34 R
2
2R⋅π
R π⋅⋅
34 R ( )
2
2R⋅− π
În cazul sectorului de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se calculează distanţele
ππ ⋅⋅=⋅
3⋅⋅=
22
31RROC 890sin2 o
; ππ ⋅⋅=⋅⋅=
34
2
90sin32
3RRC
o
= 322 OCO
zult
.
Re ă
222
2220
222
222
321
332211
RRR
RRRRR
AAAAxAxAx
x C⋅−⋅+⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=
−+
⋅−⋅+⋅=
πππ
πππ;
R
2R
R
222
234
2342
38
222
222
321
332211
RRR
RRRRRR
AAAAyAyAy
y C⋅−⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅
=−+
⋅−⋅+⋅=
πππ
ππ
ππ
ππ ;
R
R
2R
2C
3C
1CC
y
x
O3
O2 2Rx C −= ; Ry C ⋅=
π2 .
Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru sectorului de cerc poate fi obţinută tratând sectorul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă:
∫∫ ⋅
=dA
dAxx C ;
unde ϕdRRdA ⋅⋅⋅=
21 ;
ϕcos32 ⋅⋅= Rx .
Rezultă
C
x
dA
R2α
= ϕdϕ
R sinαα
23
R23
2R
∫
∫
−
−⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
α
α
α
α
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
d
dR
dR
dRR cos
322
1
∫
∫
−
−
⋅
⋅⋅
=α
α
α
α
R
Rx C
21
cos32
R
ααsin
32 ⋅⋅= Rx C .
R
C
R sinαα
R2α
=
23
R2
Să se determine poziţia centrului de greutate al plăcii omogene din figură, mărginită de parabola de ecuaţie xpy ⋅⋅=22 .
9
------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele
pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma
∑
∑
=
=⋅
=2
1
1
ii
iii
C
A
Axx
2
; ∑
∑
=
=⋅
=2
1
2
1
ii
iii
C
A
Ayy ,
unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice
compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.
iii Ayx ,,
ix iy iA
a⋅53 b⋅
83 ba⋅⋅
32
a⋅32 b⋅
31 ( )
2ba⋅−
Poziţia centrului de greutate pentru placa semiparabolică se obţine tratând figura ca un mediu continuu şi aplicând formulele în consecinţă:
∫=
dAx C1
∫ ⋅dAx;
∫∫ ⋅
=dA
dAyC1
y .
Se fracţionează placa într-o infinitate de fâşii verticale de înălţime y şi lăţime dx, de arie
dxydA ⋅= şi centru de greutate
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2
,y
xC i ,
unde x şi y reprezintă coordonatele unui punct curent de pe parabolă. Pentru punctul A al parabolei se poate scrie relaţia
pb ⋅⋅=22
y =2px2
a
b a , de unde rezultă
abp⋅
=2
2,
cu care ecuaţia parabolei devine y =2px2
by
C
a
x
1C2C
x 2
x 1
y2 y1
xa
by ⋅=2
2 .
Prin diferenţiere se obţine
dxa
bdyy ⋅=⋅⋅2
2 , dyyb
adx ⋅⋅⋅=2
2
iar dyy
badA ⋅⋅⋅= 22
2 ; 22
ybax ⋅= .
Rezultă astfel:
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=b
b
A
AC
dyyb
a
dyyb
ayba
dA
dAx
x
0
22
0
22
22
2
2
1; ax C ⋅=
53
1 ; y =2px2
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=b
b
A
AC
dyyb
a
dyyb
ay
dA
dAy
y
0
22
0
22
2
222
1 ; by C ⋅=
83
1 .
b
a
b
Aria semiparabolei este a
( )badyy
badAA
b
A⋅⋅=⋅⋅⋅== ∫∫ 3
220
221 .
Coordonatele centrului de greutate al plăcii compuse sunt deci:
x dx
y =2px2
a
by
x
A
B
iC
dA
1C
1
1 232
23223 ba⋅
3521
2211
baba
abaa
AAAxAx
x C ⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=
−
⋅−⋅= ;
y
232
231
32
83
21
2211
baba
babbab
AAAyAy
y C ⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=
−
⋅−⋅= ;
ax C ⋅=52 ; by C ⋅=
21 .
Să se determine înălţimea triunghiului isoscel ce trebuie decupat dintr-un patrat de latură a pentru ca vârful triunghiului să fie centrul de greutate al suprafeţei rămase şi să se calculeze momentele de inerţie geometrice axiale ale acestei suprafeţe în raport cu sistemul de referinţă xOy.
10
---------------------------------------------------------------- Se utilizează relaţia pentru calculul ordonatei centrului de greutate în cazul mediului discontinuu,
bidimensional şi omogen, căreia i se impune valoarea h:
∑
∑
=
=⋅
=2
1
2
1
ii
iii
C
A
Ayy
hhaa
hahaa
AAAyAy
y C =⋅−
⋅⋅−⋅=
−
⋅−⋅=
2
2322
2
21
2211
2 =⋅a
.
Se obţine astfel ecuaţia de gradul doi în h 62 2 +⋅⋅−⋅ hah 03
cu soluţiile
ah ⋅±
=2
33
dintre care convenabilă este
ah ⋅−
=2
33 .
Momentele de inerţie geometrice axiale ale suprafeţei compuse se obţin, de asemenea, prin însumarea momentelor de inerţie geometrice ale suprafeţelor simple care o compun:
∑=
+==2
1i
tringhix
patratxixx IIII ; ∑
=+==
2
1i
tringhiy
patratyiyy IIII .
Pentru fiecare suprafaţă simplă componentă se utilizează relaţiile de definiţie a momentelor de inerţie geometrice axiale în cazul mediului continuu:
( )∫ ⋅= dAyI 2
Ax ;
( )∫ ⋅= dAxI 2
Ay .
a) patratul de latură a: - se consideră un element de arie paralel cu axa Ox,
de mărime C
a
a
h
a2
. dyadA= ⋅
a
aa
2
ydy
x dxdA
⇒( )∫ ==
a
Ax dyayyI
0
2 ; ∫ ⋅⋅⋅dA23
2a3 1
4AaI x ⋅== .
Pentru calculul lui se consideră un element de arie paralel cu axa Oy având mărimea
dxadA
yI
⋅= .
⇒( )
∫−
⋅⋅∫ ==2
2
2
a
aAy dxaxxI ⋅2 dA ;
12
2a12 1
4AaI y ⋅== .
2C
C
a
h1C y2
y1
aa
2
b) triunghiul isoscel de dimensiuni axh: - pentru calculul lui aria elementară este
xI
dyxdA ⋅= unde, din asemănea triunghiurilor
a
h
a2
ydy
x
dA x dx
y
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝−⋅=
hax 1
⇒
⎞⎛ y .
( )
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅=⋅
h
A= dy
hy
aydAy0
22 1xI ;
6
2h⋅12 2
3AhaI x =⋅= .
Pentru calculul lui se consideră elementul de arie paralel cu axa Oy având mărimea
dA
yI
dxy ⋅= unde, din asemănea triunghiurilor
( )xahy ⋅−⋅= 22
.
⇒ ( )
( )∫∫−
⋅⋅−⋅⋅=⋅=2
2
22 22
a
aAy dxxahxdAxI ;
2448
2
2
3 aAhaI y ⋅=⋅= .
Pentru suprafaţa compusă, rezultatele sunt:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
4333 h
aaI x ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
412
3 haaI y .
11
Să se determine poziţia centrului de greutate şi momentul de inerţie mecanic al corpului omogen din figură, în raport cu axa de simetrie. Se cunoaşte masa M a întregului corp. ---------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,
formula pentru calculul poziţiei centrului de greutate este
∑
∑
=
=⋅
=2
1
1
ii
iii
C
V
Vzz
2
.
Astfel problema revine la a calcula poziţia centrului de greutate pentru fiecare din corpurile regulate componente. Acestea reprezintă medii continui, tridimensionale şi omogene, pentru care formula de calcul este de forma
∫∫ ⋅dVz
=dV
z C .
Se fracţionează cele două corpuri într-o infinitate de discuri de grosime elementară, ca în schiţele de mai jos şi, în caz general, rezultă pentru:
a) Cilindru de rază R şi înălţime h dzrdV ⋅⋅= 2π ;
∫
∫ ⋅
=
⋅
⋅
h
h
dz
dzz
dz
dz
0
0
∫
∫
⋅
⋅⋅
=h
h
C
r
rzz
0
2
0
2
π
π⇒
2hz C = .
b) Con de raza bazei R şi înălţime h – volumul elementar este asimilat cu un cilindru
dzrdV i ⋅⋅= 2π unde ( )zh−⋅=hrri ;
( )
( )∫
∫
∫
∫
⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=h
i
hi
h
i
h
i
C
dzzhh
r
dzzhh
rz
dzr
dzrzz
0
22
20
22
2
0
2
0
2
π
π
π
π ⇒
4hz C = .
4r3r
2r
Cele douăcorpuri simple componente au volumele 32
1 44 rrrVV cil ⋅⋅=⋅⋅⋅== ππ ; 322 3
3 rrrVV con ⋅=⋅⋅⋅== ππ ;
Rezultă astfel, în raport cu sistemul de referinţă al corpului compus
33
33
21
21
44
34 rr ⎞⎛ ⋅⋅ 44221
rr
rrr
VV
VzVzz
CCC
⋅+⋅⋅
⋅⋅⎟⎠
⎜⎝
+⋅+⋅⋅⋅=
+
⋅+⋅=
ππ
ππ;
4r3r
2r
z1
z2C
1C
2C
z
rz C ⋅= 55,2 . Momentul de inerţie mecanic al corpului compus în raport cu axa sa de simetrie rezultă prin însumarea momentelor de inerţie a celor două corpuri simple componente:
∑=
+==2
1i
conz
cilzizz JJJJ .
În cazul cilindrului de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este
1M
2
2rdmdJ cilz
⋅= , ⇒( ) ( )( )
∫ ∫∫⋅
=⋅=⋅==1 11
222
2122
V VV
cilz
cilz
rMdmrdmrdJJ .
În cazul conului de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este
2M
2
2icon
zrdm
dJ⋅
= ,
unde
( )zhhrri −⋅= şi ( ) dz
hz
hM
dzzhhr
hr
MdV
VM
dVdm V ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅=⋅=
22
2
2
2
2
2 13
3
ππ
ρ .
Momentul de inerţie al întregului con va fi
( ) ( )
22
24
0
22r
221031
23
2rMdzr
hz
hM
dmdJJV
hi
V
conz
conz ⋅⋅=⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅
⋅=⋅== ∫ ∫∫ .
Corpul compus fiind omogen, masele celor două corpuri geometrice regulate care îl compun sunt proporţionale cu volumele acestora:
2
2
1
1
21 VMM
VVVM ==+
, ⇒ MMVV
VM ⋅=⋅
+=
51
21
11 ; şi MM
VVV
M ⋅=⋅+
=54
21
22 .
Rezultă astfel momentul de inerţie al întregului corp în raport cu axa sa de
h
2r
dV(dm)
zdz
ri
h
zdz
2r
dV(dm)
simetrie
∑=
⋅⋅⋅+⋅⋅=+==2
1
22
54
103
251
i
conz
cilzizz rMrMJJJJ
2
5023 rMJ z ⋅⋅=
Să se determine poziţia centrului de greutate şi momentul de inerţie mecanic al corpului omogen din figură, în raport cu axa de simetrie.
12
Se cunoaşte masa M a întregului corp. ---------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de
simetrie, formula pentru calculul poziţiei centrului de greutate este
∑
∑
=
=⋅
=2
1
1
ii
iii
C
V
Vzz
2
.
Astfel problema revine la a calcula poziţia centrului de greutate pentru fiecare din corpurile regulate componente. Acestea reprezintă medii continui, tridimensionale şi omogene, pentru care formula de
calcul este de forma
∫∫ ⋅
=dV
dVzz C .
Se fracţionează cele două corpuri într-o infinitate de discuri de grosime elementară, ca în schiţele de mai jos şi, în caz general, rezultă pentru:
a) Cilindru de rază R şi înălţime h dzrdV ⋅⋅= 2π ;
∫
∫ ⋅
=
⋅
h
h
dz
dzzdz
0
0
∫
∫
⋅⋅
⋅⋅
=h
h
C
dzr
rzz
0
2
0
2
π
π⇒
2hz C = .
b) Semisferă de rază R – volumul elementar este asimilat cu un cilindru
dzrdV 2i ⋅⋅=π 22 z−= unde ri ; 2 R
( )
( )∫
∫
∫
∫
⋅−⋅
⋅−⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=h
h
h
i
h
i
C
dzzR
dzzRz
dzr
dzrzz
0
22
0
22
0
2
0
2
π
π
π
π ⇒ Rz C ⋅=
83 .
4r2r
2r
Cele douăcorpuri simple componente au volumele 32
1 44 rrrVV cil ⋅⋅=⋅⋅⋅== ππ ; ( ) 332 3
16232 ; rrVV ssf ⋅⋅=⋅⋅⋅== ππ
Rezultă astfel, în raport cu sistemul de referinţă al corpului compus
33
33
21
21
3164
31634 r ⎞⎛⋅ 2
844
221
rr
rrrr
VV
VzVzz
CCC
⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅⎟⎠
⎜⎝
⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=
+
⋅+⋅=
ππ
ππ; rz C ⋅=
725 .
4r2r
2r
z1
z2C
1C
2C
z
Momentul de inerţie mecanic al corpului compus în raport cu axa sa de simetrie rezultă prin însumarea momentelor de inerţie a celor două corpuri simple componente:
∑=
+==2
1i
ssfz
cilzizz JJJJ .
În cazul cilindrului de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este
1M
2
2rdmdJ cilz
⋅= , ⇒( ) ( )( )
∫ ∫∫⋅
=⋅=⋅==1 11
222
2122
V VV
cilz
cilz
rMdmrdmrdJJ .
În cazul semisferei de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este
2M
2
2issf
zrdm
dJ⋅
=
unde 222 zRri −= şi ( ) dzzR
R
MdV
R
MdV
VM
dVdm V ⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅
⋅⋅=⋅=⋅= 22
32
3
2
2
2
2
3
32
πππ
ρ .
Momentul de inerţie al întregii semisfere va fi
( )( )
( )( )∫∫ ∫∫ ⋅−⋅
⋅
⋅=⋅−⋅
⋅
⋅R Mr 2 3⋅−=⋅==
R
V
i
V
ssfz
ssfz dzzR
R
MdzzR
RzRdmdJJ
0
2223222
32
0
22
4
3
22222
dV(dm)
zdz
R
ri
h
zdz
2r
dV(dm)
22
22 5
852 rMRMJ ssf
z ⋅⋅=⋅⋅= .
Corpul compus fiind omogen, masele celor două corpuri geometrice regulate care îl compun sunt proporţionale cu volumele acestora:
2
2
1
1
21 VM
VM
VVM ==+
, ⇒ MMVV
VM ⋅=⋅
+=
73
21
11 ; şi MM
VVV
M ⋅=⋅+
=74
21
22 .
13
Rezultă astfel momentul de inerţie al întregului corp în raport cu axa sa de simetrie
∑=
⋅⋅⋅+⋅⋅=+==2
1
22
74
58
273
i
ssfz
cilzizz rMrMJJJJ ; 2
7079 rMJ z ⋅⋅= .
Echilibrul solidului rigid În cazul solidului rigid, deoarece forţele care acţionează asupra lui nu sunt, în general, concurente, condiţia pentru echilibrul acestuia este torsorul sistemului de forţe ceacţionează asupra lui să fie nul. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor de echilibru al solidului rigid sunt următoarele:
a) se întocmeşte schema mecanică în care se marchează forţele exterioare (dacă s.r. este liber) şi de legătură (dacă s.r. este supus la legături);
b) se alege convenabil sistemul de referinţă; c) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru; d) se identifică necunoscutele problemei; e) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.
Exemple
Într-un vas semisferic luciu, de rază R, este aşezată o bară omogenă AB de lungime 2l şi greutate G. Să se determine unghiul ϕ şi reacţiunile din A şi D în poziţia de echilibru. ------------------------------------------------------- Asupra barei acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele A şi D.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: 0=+LR ; 0=+ OO MM L .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de
proiecţii şi una de momente: ⎧
=⋅⋅−⋅⋅⋅=+⋅−⋅
=⋅−⋅
0coscos20cossin
0sincos
ϕϕϕϕ
ϕϕ
lGRNNGN
GN
D
DA
A
. ⎪⎩
⎪⎨
Din ecuaţiile (1) şi (3) se obţin ϕtgGN A ⋅= ;
RlGN D ⋅
⋅=2
care, introduse în ecuaţia (2), conduc la
02
coscos
sin 2 ϕ=
⋅⋅+⋅−⋅
RlGGG ϕ
ϕ.
Deoarece 20 πϕ << , se obţine ecuaţia de gradul doi
021cos
4cos 2 =−⋅
⋅− ϕϕ
Rl
cu soluţiile
( )21
88cos
2
2,1 +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅±
⋅=
Rl
Rlϕ
Convine numai soluţia cu (+)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅+
⋅=
21
88arccos
2
Rl
Rlϕ .
Condiţia 20 πϕ << conduce la
RlR ⋅<< 2 .
G
2R
A
BO
D
G
2
R
ϕ
A
BO
2 R cosϕ
cosϕ
ϕ
ϕ
C
NA
ND
D
Ce forţă orizontală F trebuie aplicată tangent cilindrului din figură pentru a putea fi rostogolit peste pragul de înălţime h? Care este valoarea minimă a coeficientului de frecare μ necesar pentru ca rostogolirea să fie posibilă?
14
Cilindrul are greutatea G şi raza R. --------------------------------------------------------------- Asupra cilindrului acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa orizontală F ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din forţa de frecare de alunecare T , în punctul de contact cu pragul.
Obs.1 Trebuie observat faptul că reazemul cilindrului pe planul orizontal este o legătură falsă, deoarece în momentul în care se produce rostogolirea, deci forţa de frecare cu pragul îşi produce efectul, contactul cu planul orizontal încetează.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: 0=+LR ; 0=+ L
OO MM . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de contact cu pragul:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅≤=⋅−⋅
=+⋅−⋅−=+⋅−⋅
NTRFRT
NGFTGF
μ
αααα
00cossin
0sincos
În acest sistem de patru ecuaţii necunoscutele sunt mărimea forţei orizontale F şi a coeficientului de frecare de alunecare μ , care fac posibilă rostogolirea peste prag. Din a treia ecuaţie rezultă
FT = care introdusă în prima conduce la
αα
sincos1+⋅=TG .
Înlocuind în a doua ecuaţie se oţine relaţia NT ⋅
+=
αα
cos1sin ,
de unde
ααμ
cos1sin+
≥ sau 2αμ tg≥ .
Conform figurii ( )
RhhR
RhRR 222 2sin −⋅⋅
=−−
=α ; R
hR−=αcos
şi rezultă condiţia pentru a fi posibilă rostogolirea peste prag sub forma
hRh−⋅
≥2
μ sau 2αμ tg≥ .
Forţa F care face posibilă rostogolitea este :
hRhGGTF−⋅
⋅=+
⋅==2cos1
sinα
α .
Obs.2 Coeficientul frecării de alunecare μ poate fi obţinut direct observând că, pentru echilibru, rezultanta forţelor de legătură L trebuie să treacă prin B (cele trei forţe GLF ,, să fie concurente):
2αϕμ tgtg
NT === .
h
B F
G
O
D
R
(μ)
A
h
B
N
G
F
T
α
O
A
DR-h
R
hR
B
N
G
F
TL
α
ϕ
O
AD
Bara cotită OAB, articulată plan în O şi simplu rezemată în C, este încărcată ca în figură. Să se determine reacţiunile în O şi C.
15
--------------------------------------------------- Asupra cilindrului acţioneză:
1) un sistem de forţe şi momente exterioare format din forţele P şi
P2 şi din momentul ; aPM D ⋅=2) un sistem al forţelor de
legătură format din reacţiunea normală N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅−⋅−=+⋅−−
=+
032202
0
aPaNaPaPaPNPPV
PH.
Rezultă PH −= ; PV ⋅=
32 ; PN ⋅=
37 .
Obs. Semnul (-) al componentei orizontale a reacţiunii din O arată faptul că, în realitate, orientarea acesteia este opusă celei considerate iniţial. Reacţiunea din O este:
22 VHRlO += ; PRlO ⋅=313 .
MD
P 2PP
a a a a
a
O
B
D E CA
MD
P 2PP
a a a a
a
B
D E CA
H
N
V
16
Un corp omogen de greutate P, format dintr-o semisferă de rază R şi un con de înălţime h, având baza comună cu semisfera, se reazemă fără frecare pe un perete vertical şi este legat printr-un fir de lungime l de un punct D al planului. Punctul A de fixare a firului pe corp se găseşte pe cercul de bază comun al semisferei şi conului. Să se determine:
a) poziţia centrului de greutate al corpului; b) relaţia dintre unghiul α format de axa de
simetrie a corpului cu orizontala şi unghiul ϕ format de fir cu planul vertical;
c) ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului ϕ corespunzător poziţiei de echilibru;
d) reacţiunea peretelui şi tensiunea din fir. ----------------------------------------------------------- a) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu Oxyz şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui
mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,
∑
∑
=
=⋅
=2
1
1
ii
iii
C
V
Vzz
2
,
în care: hz C ⋅=
41
1; hRV ⋅⋅⋅= 2
1 31 π ; Rz C ⋅−=
83
2; 3
2 32 RV ⋅⋅= π .
Rezultă
32
32
32
31
32
83
31
41
RhR
RRhRh
⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=
ππ
ππz C ⇒
RR 2
hhz C ⋅+
⋅−⋅=23
41 2
.
b) Se consideră o secţiune după planul definit de fir şi de axa corpului. Conform figurii, se poate scrie relaţia:
αϕ sinsin . +⋅= RlR ⋅
Rezultă relaţia căutată ϕα sin1sin ⋅−=
Rl .
c), d) Asupra corpului acţioneză:
1) forţa exterioară (de greutate) P ;
ϕ
α
ϕ−α
N
P
S
C
D
P
Aϕ
R
h
C
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din tensiunea din fir S .
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: 0=+LR ; 0=+ L
OO MM . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
=⋅− 0sinϕSN
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−⋅⋅+⋅⋅−=⋅+−
0sincos0cos
αϕαϕ
RSzPSP
C
.
Rezultă din primele două ecuaţii:
ϕcosPS = ; ϕtgPN ⋅= .
R
h
Din a treia ecuaţie se obţine ( ) 0cossincossin
coscos =⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅− ϕααϕ
αα RPzP C
în care de înlocuiesc
z1
z2
z
C1C
2Cϕα sin1sin ⋅−=
Rl şi
2sin11cos ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−−= ϕα
Rl
şi rezultă ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului ϕ corespunzător poziţiei de echilibru
( )ϕϕ
ϕϕ
sin2sin
sin
⋅−⋅⋅⋅
⋅−−=
lRl
lRR
ztg C .
ϕ
αϕ−αR
O
A
17
0
Se dă o placă compusă omogenă, de greutate G, situată într-un plan vertical, ale cărei dimensiuni sunt prezentate în figură. Placa este articulată plan în colţul A şi suspendată în colţul O de un arc cu constanta elastică k. Placa se află în echilibru cu faţa OA orizontală, când lungimea arcului în stare deformată este l. Să se determine:
a) coordonatele centrului de greutate al plăcii;
b) reacţiunile din legăturile O şi A; l a arculuc) lungimea i
nedeformat; 0
d) valorile reacţiunilor din O şi A şi lungimea iniţială l a arcului, dacă: NG 1000= , mNk /5000= , . ml 20,0=
------------------------------------------------------------------- a) Pentru calculul coordonatelor centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă Oxy şi se utilizează relaţiile corespunzătoare unui mediu discontinuu, bidimensional şi omogen:
∑
∑
=
=⋅
=3
1
3
1
ii
iii
C
A
Axx ;
∑
∑
=
=⋅
=3
1
3
1
ii
iii
A
Ay
Cy ,
unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice
compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi tabelul centralizator cu mărimile de calcul:
iii Ayx ,,
ix iy i A
π⋅⋅⋅−⋅
3242 rr
π324 r⋅⋅ ( )
42 2r⋅π
rr ⋅⋅+⋅ 4312 r⋅⋅2
31
224 rr ⋅⋅⋅
4r
r2
r⋅2 π⋅
⋅34 r ( )
2
2r⋅− π r
Rezultă
24
224
342
382
222
222
321
332211
rrr
rrrrrrrr
AAAAxAxAx
x C⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅−⋅
=−+
⋅−⋅+⋅=
ππ
πππ ;
24
2344
32
38
222
222
321
332211
rrr
rrrrrr
AAAAyAyAy
y C⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅
=−+
⋅−⋅+⋅=
ππ
ππ
ππ ;
k4r
2r
rAO
0
( ) rx C ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
+=83
162π
; ( ) ry C ⋅+⋅
=83
28π
.
b) Asupra corpului acţioneză:
4r
2r
rA
O
V
H
S
G
C
x
1) un sistem al forţelor exterioare G (de greutate) şi S (elastică);
2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A
4r
2r
r
AO
1C
2C3C
C
y
x
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0=+LR ; 0=+M LOOM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
⎧ =0H
⎪⎩
⎪⎨
=⋅⋅−⋅=−+
060rVxG
GSVC
.
Rezultă:
0=H ; ( ) GGr
xV C ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
+=⋅⋅
=89
831
6 π; ( ) GS ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
−=89
832
π.
2r4
c) Alungirea arcului este
( ) ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛+⋅
−⋅==Δ89
832
πkG
kSl ,
iar lungimea arcului nedeformat era
( ) ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛+⋅
−⋅−=Δ−=89
832
0 πkg
llll .
d) Se obţin valorile: NGV 413413,0 =⋅= ; NGS 587587,0 =⋅= ; ml 117,0
5000587 ==Δ ;
ml 083,0117,020,00 =−= . Echilibrul sistemelor de solide rigide
În cazul sistemelor, asupra rigidelor acţionează trei categorii de forţe:
o un sistem al forţelor exterioare; o un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri;
18
o un sistem al forţelor de legătură interioară, între elementele sistemului, care, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, sunt egale şi direct opuse.
Pentru rezolvarea problemelor de echilibru a sistemelor de corpuri se utilizează, de regulă, teorema echilibrului părţilor, etapele care se pargurg fiind următoarele:
a) se izolează corpurile după care procedura continuă ca la echilibrul rigidului, adică se impune condiţia de torsor nul pentru fiecare parte componentă a sistemului;
b) se întocmesc schemele mecanice în care se marchează forţele exterioare, de legătură exterioară şi de legătură interioară;
c) se alege convenabil sistemul de referinţă, independent pentru fiecare; d) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare corp; e) se identifică necunoscutele problemei; f) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.
Exemple
Se consideră sistemul de corpuri din figură alcătuit din discul (1) de greutate P şi rază R, articulat plan cu bara (2) de greutate P şi lungime l, simplu rezemată pe un perete vertical luciu. Neglijând frecările din O şi B, să se determine coeficienţii frecării de alunecare μ şi de rostogolire s
dintre discul (1) şi planul orizontal, astfel încât echilibrul să se producă în configuraţia din schiţă. --------------------------------------------------------- Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile P şi G ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,
format din componentele ,T N şi rM reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare de alunecare şi de rostogolire dintre disc şi planul orizontal, precum şi din reacţiunea normală BN reprezentând echivalentul mecanic al reazemului fără frecare din B;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LMM OO . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare
la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile:
GP R
α
B
A 2
1
N
TMr
HV
NB
V
H
cosα/2 sinα
- pentru disc: - pentru bară: ⎧ =+HT 0
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⋅≤⋅≤=−⋅=−+
NsMNT
MRTPVN
r
r
μ00
;
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅⋅−⋅⋅
=−−=−−
0sin2
cos
00
αα lGlN
GVNH
B
B
.
Rezultă succesiv necunoscutele problemei μ şi s:
αtgGNHT B ⋅⋅==−=21 ; GV −= ; GPN += ; αtgGRM r ⋅⋅=
2;
( ) αGμ tgGP
⋅+⋅
≥2
; ( ) αtgGP
s ⋅+⋅GR⋅≥
2.
G
P R
(μ,s)A
α
B
2
1 C Obs. Sensul componentelor VH , ale reacţiunii din articulaţie, adoptat în schema mecanică este indiferent, acesta rezultând din ecuaţiile scalare de echilibru;
Sensul reacţiunii normale N este bine definit, el fiind contrar mişcării simple suprimate.
Se consideră sistemul mecanic din figură la cere se cunosc dimensiunile geometrice şi greutăţile G şi Q. Există frecare de alunecare între troliu şi sabot, de coeficient μ . Se neglijează greutăţile sabotului şi a barei OC de lungime l, precum şi frecarea dintre fir şi scripetele mic din D.
19
Să se determine forţa P care menţine sistemul în echilibru, reacţiunile din punctele A, B, E, O, C şi tensiunea din fir. ------------------------------------------ Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutăţile G şi Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunile normale AN şi BN şi din componentele CH , CV şi CM
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele
reprezentând echivalentul mecanic al încastrării plane din C;
H , V ale reacţiunii din articulaţia O precum
şi din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu.
Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu: - pentru bară:
⎧ =−NP 0
A B
OP
a bR
r(μ) G
D
Q
α2
31
CE
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⋅≤=⋅−+⋅
=+−
NTaNbaT
TNN
B
BA
μ0
0
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−⋅=−−⋅+=⋅++
00sin
0cos
rQRTGTQV
QHNα
α
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−⋅=+−=−−
000
CC
C
C
MlVVVHH
; ; .
Rezultă succesiv necunoscutele problemei AN , BN , N , ,T H , V , CH , CV ,
CM :
RrQT ⋅= ; PN = ;
RrQP⋅
⋅≥μ
; a
baRrQN B
+⋅⋅= ; GRrQVV C +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅== αsin ;
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅−=−=R
rQHH C μαcos ; ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅= G
RrQlM C αsin .
22 VHRlO += ; 22CClC VHR += .
Obs.2 Deoarece, conform enunţului, se neglijează fenomenele mai profunde (frecarea şi rigiditatea firului) care au loc în scripetele mic din D, tensiunea în ambele ramuri ale firului este egală cu greutatea atârnată la capătul lui.
A
BP
a b
r Gα
RT
NNB
NA
N
T
H
V
H
VQ
VC
MC
HC
3
21
CE E
20
Să se determine eforturile din barele unei cu zăbrele având dimensiunile şi încărcăturile din figură, precum şi reacţiunile exterioare. ------------------------------------------------ Grinzile cu zăbrele plane sunt sisteme de bare rectilinii şi rigide, legate între ele prin articulaţii numite noduri, situate în acelaşi plan.
Condiţia ca grinda cu zăbrele să formeze un ansamblu rigid, static determinat, este ca între numărul barelor b şi numărul nodurilor n să existe relaţia
32 −⋅= nb . Este evident că această condiţie este satisfăcută:
3527 −⋅= . Forţa de legătură pe care o transmite o
bară se numeşte efort şi poate fi de întindere dacă bara trage de nod, sau de compresiune dacă bara apasă nodul. Metoda izolării nodurilor pentru
determinarea eforturilor din bare se bazează pe
teorema echilibrului
părţilor. Ea constă în a izola fiecare nod şi a introduce
să acţioneze asupra lui forţele exterioare (date) şi forţele de legătură exterioară a grinzii, care revin nodului respectiv. De-a lungul fiecărei bare concurente în nod se introduce câte un efort convenţional considerat de întindere. Forţele fiind toate concurente în nod, pentru echilibrul fiecăruia vor putea fi scrise câte două ecuaţii scalare: (A) (B) (C) ⎧ =⋅++ 0cosαSSN ⎧ =⋅+− 0cosαSH ⎧ −⋅−⋅ coscos αα SS
=⋅+ 0sin71
76
αSSA
=⋅−− 0sin21
2
αSSV B
B
=⋅−⋅−⋅+−=⋅
0sinsinsin0cos
7325
723
αααα
SSSSS
−0sin3
34
αSPS
=−=00
5
64
PS
; ; ; ⎩⎨
⎩⎨
⎩⎨
(D) (E) =⋅+ 0cosαS ⎧ −SS
⎩⎨⎧
=⋅+−; .
⎩⎨
a
B
AP
60°
P
60°
După rezolvarea sistemului de 10 ecuaţii rezultă: - eforturi de întindere
21PS = ; PS ⋅=32 ; PS ⋅=23 ; PS =5 ;
- eforturi de compresiune 34 ⋅−= PS ; 26 ⋅−= PS ; PS −=7 ;
- reacţiuni exterioare grinzii B
AD
C1
4
7
2
3
P6
5
60°
P a 3/2a 3/2
E
60°
PN A ⋅⋅
=2
33 ; PH B ⋅⋅
=2
33 ; PV B ⋅=2 ; 22BBlB VHR += .
Obs.1 Reacţiunile exterioare puteau fi calculate apelând teorema solidificării
conform căreia se consideră grinda ca un singur rigid, supus acţiunii forţelor exterioare (date) şi a forţelor de legătură exterioară:
B
AD
P
HV
BB
NAPa 3/2a 3/2
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
=⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅
=−−=−
0232
23
00
aPaPaH
PPVHN
A
B
BA
⎧
.
Rezultă astfel acelaşi valori
PHN BA ⋅⋅
==2
33 ; PV B ⋅=2 .
Obs.2 În situaţia în care, constructiv, grinda nu dispune de un nod de capăt în care să fie concurente maximum două bare şi care să nu prezinte legături exterioare, adică numărul necunoscutelor scalare ce intervin să nu depăşească două, devine obligatorie parcurgerea în prealabil a etapei de la Obs.1.
A
B
C
D
HV
S2
S1 S7
S6
S3
S2
S7
S3
S4
NA
B
B
P
S1
α
αα α
α
α
S5
PS4S6
S5E
Să se determine eforturile din barele unei cu zăbrele având dimensiunile şi încărcăturile din figură, utilizată pentru o copertină, precum şi reacţiunile exterioare.
21
⎪⎩
⎪⎨
=−⋅
=⋅+
045sin045cos
2
21
PS o
o
⇒
--------------------------------------------------------------- Condiţia ca grinda cu zăbrele să formeze un ansamblu
rigid, static determinat, este ca între numărul barelor b şi numărul nodurilor n să existe relaţia
32 −⋅= nb , condiţie evident satisfăcută: Pentru determinarea eforturilor din bare se utilizează metoda izolării nodurilor care constă în a izola fiecare nod şi a introduce să acţioneze asupra lui forţele exterioare (date) şi forţele de legătură exterioară a
grinzii, care revin nodului respectiv. De-a lungul fiecărei bare concurente în nod se introduce câte un efort convenţional considerat de întindere. Acele eforturi care din calcule vor rezulta negative, semnifică solicitări de compresiune în barele respective. Forţele fiind toate concurente în nod, pentru echilibrul fiecăruia vor putea fi scrise câte două ecuaţii scalare: - nodul I:
⎧ SS22
1
⋅=
−=
PSPS
;
- nodul II: ⎧ −S
⎩⎨ =
=0
0
3
51
SS
⇒ 03
5
=−=
SS P ;
- nodul III:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−⋅+⋅−⋅−
=⋅−⋅−⋅
0245sin45sin45sin
045cos45cos45cos
642
642
PSSS
SSSooo
ooo
⇒222
6
4
⋅⋅=
⋅−=
PSPS
;
- nodul IV:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅+
=⋅++
045sin045cos
47
45o
o
SS
SSN⇒ PS
PN=⋅=
7
2 ;
- nodul V:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−−−
=⋅+−
045sin
045cos
67
6o
o
SSPV
SH⇒ PV
PH⋅=⋅=
42 .
2m
A
C
P
P
2P
B1m 1m
5222 ⋅⋅=+= PVHRlA .
Obs.1 Reacţiunile exterioare puteau fi calculate apelând teorema solidificării conform căreia se consideră grinda ca un singur rigid, supus acţiunii forţelor exterioare (date) şi a forţelor de legătură exterioară:
⎧ =− 0HN
⎪⎩
⎪⎨
=⋅−⋅⋅−⋅=−⋅−−2122
02PPHPPPV
0.
Rezultă astfel acelaşi valori PHN ⋅== 2 ; PV ⋅=4 .
Obs.2 În situaţia în care, constructiv, grinda nu dispune de un nod de capăt în care să fie concurente maximum două bare şi care să nu prezinte legături exterioare, adică numărul necunoscutelor scalare ce intervin să nu depăşească două, devine obligatorie parcurgerea în prealabil a etapei de la Obs.1.
2m
A
C
P
P
2P
B1m 1m
IIIIV
III
V
15
7
34
6
2 2m
A
C
P
P
2P
H
V
N
S2
V
III
IIIIV
45°
45°
45°45°
45°
45°
S1S5
S7 S4
S6S7
S3
S4
S6
S2
P
P
2P
B
H
V
N1m 1m
Se consideră sistemul din figură, format din bara AB de greutate neglijabilă, prevăzută cu un sabot de frână şi un troliu de greutate G articulat în O. Asupra barei acţionează în B o forţă verticală P, iar asupra troliului acţionează, prin intermediul unui fir trecut peste un scripete mic, greutatea Q. Coeficientul de frecare dintre sabot şi troliu este μ .
22
Să se determine: a) valoarea minimă a forţei P, necesară
pentru păstrarea echilibrului sistemului; b) reacţiunile din O şi A;
Aplicaţie numerică: ma 1,0= , , mb 4,0= me 06,0= , kNG 8,1= , kNQ 15= , 25,0=μ
------------------------------------------------------------------------------ Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutăţile G şi Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din AH , AV şi H , V reprezentând componentele reacţiunilor din A şi O;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca
echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se
judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul C. Se obţin astfel ecuaţiile:
Q
O2R
G
2R
e
Pa b
1
AB
C
- pentru sabot: - pentru troliu: ⎧ =−HT 0
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⋅==+⋅−⋅+⋅
=−+
NTbaPeTaN
PNV A
A
μ0
0
min
min
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−⋅⋅=−−=−−
0200
RQRTGNVQTH
; .
Rezultă succesiv
QT ⋅=21 ; QN ⋅
⋅=
μ21 ; ( ) kNea
baQ
P 9,62min =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
+⋅=
μ;
kNQTH A 5,721 =⋅== ; kNkNNPV A 1,2315
25,0219,6min −=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅−=−= ;
kNTQH 5,22=+= ; kNGNV 8,31=+= .
O2R
G
2
R
e
Pa b
1
AB
H
V
A
A
N
TC
N
T C
Q
VH
Se consideră frâna cu sabot din schiţă la care se cunoaşte coeficientul frecării de alunecare μ dintre sabot şi şaiba de frânare a troliului, precum şi dimensiunile geometrice. Se neglijează greutăţile troliului şi pârghiei şi frecarea din articulaţiile O şi . 1O
23
Se cere determinarea forţei minime P cu care trebuie acţionată pârghia OA pentru blocarea căderii greutăţii Q şi reacţiunile din articulaţii. --------------------------------------------------- Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutatea Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din H , V şi 1H , 1V reprezentând componentele reacţiunilor din O şi O ; 1
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu.
Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se
judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul C. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu:
⎧ =−− HT 0
Q
OR
2r
h
Pa b
1
OA
B
1
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⋅==+⋅−⋅−⋅
=−+
NTbaPhTaN
PNV
μ0
0
min
min
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅−⋅=−−
=+
00
0
1
1
RTrQQNV
TH; .
Rezultă succesiv
RrQT ⋅= ;
RrQN⋅
⋅=μ
; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅
+= ha
Rr
baQ
Pμmin ;
TH −= ; NPV −= min ; 22 VHRlO += ; TH −=1 ; QNV +=1 ; 2
1211
VHRlO += .
OR
2
r
h
Pa b
1
OA
H
V
N
T B
N
TB
Q
VH
111
Se consideră sistemul de bare omogene din figură de lungimi OA=2l, DE=l şi greutăţi 2G, respectivG. Bara DE este articulată fără frecare în E cu bara OA, iar în D cu culisa de greutate Q, care se poate deplasa fără frecare pe o tijă aşezată pe verticala articulaţiei O. De culisă este legat un arc cu constanta elastică k, care este nedeformat în poziţia sistemului cu 0=α . La capătul A al barei OA acţionează forţa orizontală P.
24
Să se determine: a) ecuaţia pentru calculul unghiului α care corespunde
poziţiei de echilibru a sistemului; b) forţele de legătură în poziţia de echilibru, considerând
unghiul α cunoscut. ----------------------------------------------------------------------
D În absenţa forţei orizontale P, capătul A coincide cu iar unghiul 0 0=α . Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P , din greutatăţile Q , G şi
G⋅2 , precum şi din forţa elastică eF2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a
sistemului de corpuri, format din reacţiunea normală
;
N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din O;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele
sistemului, format din componentele DH , DV , respectiv EH , EV ale reacţiunilor din D şi E.
P
1
2
3
O
AD
E
k
α
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru culisa din D: - pentru bara DE:
⎩⎨⎧
=−−=−
00
De
D
VQFNH ;
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
=−−=−
0sinsin2
cos
00
ααα lVlGlH
VGVHH
ED
ED
DE
⎧
;
- pentru bara OA: =−+ 0HHP
P
O
AD
E
k
α2 c
osα2
D0 . ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅=⋅−+
0cos2sin2cos02
ααα lPlGVlHGVV
EE
E
E
Rezultă succesiv necunoscutele problemei: - ecuaţia pentru calculul unghiului α
( ) 02272cos14 =⋅−⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅−⋅−−⋅⋅⋅ PtgGQlk αα ;
- reacţiunile din legături în poziţia de echilibru H , V , EH , N , DH , EV , DV
( ) PtgGQlkH −⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−⋅⋅⋅= αα
2cos12 ; ( )αcos123 −⋅⋅⋅−+⋅= lkQGV ;
3
D
P
2
O
A
E
VE
HE
HE
( ) αα tgGQlkHNH DE ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−⋅⋅⋅===
2cos12 ;
( ) GQlkV E −−−⋅⋅⋅= αcos12 ; ( )αcos12 −⋅⋅⋅−= lkQV D .
VE V
H
N
HDVD
HD
VD
α
GQ
Fe
2G1α
(
25
Se consideră sistemul de corpuri omogene (1), (2) şi resortul elestic din figură, situat în planul vertical. Corpul (1) este o camă de greutate G, articulată plan în punctul fix O şi compusă dintr-o placă semicirculară de rază r şi o placă dreptunghiulară de dimensiuni 2rx4r. Corpul (2) este o placă semicirculară de rază R şi greutate Q. Corpul (1) se sprijină fără frecare în punctul A pe corpul(2). Placa (2) este aşezată pe un plan orizontal fix şi aspru, coeficientul frecării de alunecare fiind μ . În centrul de masă al plăcii (2) este fixat capătul unui resort elastic orizontal, de constantă elastică k. În configuraţia iniţială a sistemului mecanic, definită de distanţa d , resortul este nedeformat. Parametrul geometric ce defineşte configuraţia de echilibru este unghiul
0
α pe care axa de simetrie a plăcii (1) îl formează cu orizontala. Să se determine:
a) expresia deformaţiei dΔ a resortului elastic în funcţie de unghiul α ; b) centrele de masă C 1 şi ale corpurilor (1) şi (2); 2Cc) ecuaţia din care se poate calcula unghiul α din condiţia de echilibru
static a sistemului mecanic; d) reacţiunile din legăturile O şi A, respective dintre placa (2) şi planul
orizontal; e) Distanţa dintre suportul greutăţii Q şi suportul reacţiunii normale cu care
planul orizontal acţionează asupra plăcii (2). ---------------------------------------------------------------------- a) Cu notaţiile din figură se poate scrie relaţia
) αsin0 ⋅Δ+= ++ ddRrR
4r A
dd +
α
A
R
O 1O
rR
0
din care rezultă ( )
sinrRd −+
0dR+=Δα
.
b) Se ataşează corpului(1) sistemul de referinţă Oxy, convenabil ales şi se utilizează relaţia pentru calculul coordonatelor centrului de greutate în cazul mediului discontinuu, plan, bidimensional şi omogen, care admite o axă de simetrie ∑
∑
=
=⋅
=2
1
2
1
ii
iii
C
A
Axx
în care:
rx C ⋅=211
; ; 211 8 rA ⋅=
π⋅⋅−=
34
12x C
r ; 212rA ⋅= π
2.
Rezultă
2
234
22
22
rr
rrr
⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅−
π
ππ
8
82
1
rx C
⋅⋅⋅= ; ( ) r⋅
16x C +⋅
=3
92π
.
Pentru corpul (2) se alege sistemul de referinţă ca în figură şi se utilizează
1C
r
2r
2r
11C
12C
O
x 11
x 12x 1
1C 2Ck
r
4r
A
G
21
d0d
α
R
Q
(μ)O
1O
relaţia de calcul pentru sectorul de cerc
ααsin2
3⋅⋅= Ry C
2CR
1O
y2
.
Rezultă
2α
2sin
32
2
π⋅=y C ⋅R ;
π⋅32C⋅= 4 Ry .
c) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa elastică e şi din
greutatăţile F
Q , şi G2) un sistem al forţelor
de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele
;
2CA
2
Q
1C
4r
G
1
α AA
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe
H şi V ale reacţiunii din O, din reacţiunea
normală N şi din forţa de frecare de alunecare T dintre corpul (2) şi planul orizontal;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală AN dintre cele două corpuri.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, dintre corpul (2) şi planul orizontal. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru corpul (1): - pentru corpul (2):
26
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅−⋅+⋅=⋅+−
=⋅−
00cos
0sin
1OCGctgrRNNGV
NH
A
A
A
αα
α;
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⋅=
=⋅−⋅⋅⋅
=⋅−−
NT
aNRF
NQN
e
A
eA
μπ
α
034
0cos⎧ =−−⋅ FTN α 0sin
.
Din a treia ecuaţie
( )( )
( ) απ
α ctgrR
rG
ctgrROCG
N A ⋅+
⋅+⋅
⋅=
⋅+
⋅=
16392
1 .
Pe de altă parte, ( ) ( ) ( )
αα
αμ
αα
μ
α sinsin
cos
sinsin
sin
00 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅+⋅
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅
=+
=dRrRkNQdRrRkNFT
NA
eA ,
de unde
( )
αμαα
μ
cossinsin 0
⋅−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅
=dRrRkQ
N A .
Egalând cele două expresii obţinute pentru , se găseşte ecuaţia pentru determinarea unghiului
ANα :
( )( )
( )
αμαα
μ
απ
cossinsin163
920
⋅−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅
=⋅+
⋅+⋅
⋅ dRrRkQ
ctgrR
rG.
d) După determinarea unghiului α se calculează reacţiunea cu una din cele două relaţii de mai sus şi apoi:
AN
αsin⋅= ANH ; αcos⋅−= ANGV ; αcos⋅+= ANQN ; NT ⋅=μ .
e) Din penultima ecuaţie rezultă
N
Rdka π⋅
⋅⋅Δ⋅= 3
4
; ⇒( )
απα
cos34
sin 0
⋅+⋅⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−+⋅
=ANQ
RdRrRka .
27
Se consideră frâna cu bandă din schiţă. În condiţiile neglijării greutăţilor elementelor din sistem şi a frecărilor din articulaţii, să se determine forţa minimă P necesară bocării greutăţii Q. Se dau: R, r, AC=BC=a, CD=b şi coeficientul frecării de alunecare μ dintre bandă şi troliu. -------------------------------------------- Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutatea Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din H , V şi CH , CV reprezentând componentele reacţiunilor
din O şi C; 3) un sistem al forţelor
de legătură interioară, dintre
elementele sistemului, format din tensiunile 1S şi
2S din ramurile curelei.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare dintre bandă şi troliu. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru troliu: - pentru pârghie:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⋅=
=⋅−⋅+⋅=−+
⋅⋅2
3
21
12
2
1
00
πμeSS
RSRSrQQSV
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅−⋅+⋅=−−
=−
00
0
21
2
1
bPaSaSPSV
SH
C
C
⎧ =+ 0SH
; .
Rezultă succesiv:
1
1
232
−
⋅=⋅⋅ πμ
eRrQS ; ;
123
23
1S
−
⋅=⋅⋅
⋅⋅
πμ
πμ
e
eRrQ ;
OR
2r
1
A
Q
B CP
D
M1
M2 1
1
23
23
−
+⋅⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅
πμ
πμ
e
eba
RrQP ;
1SH = ; QV = ; 22 VHRlO += ;
1SH C = ; 2SPVC += ; 22CClC VHR += .
OR
2r
1
A
BC
P
DM1
M2
Q
S1
S2
S1
S2
H
VC
C
VH
a b
a
28
O
Să se determine forţa minimă de întindere aplicată unei benzi transportoare având rolele de rază r şi acţionată de un cuplu de moment M . Coeficientul frecării de alunecare dintre bandă şi role este μ . Se neglijează greutate benzii şi frecările din cele două lagăre. -------------------------------------------------- Se izolează rola condusă. Asupra acesteia acţionează:
1) un sistem de forţe şi momente exterioare (date) format din forţa de întindere F şi din momentul rezistent OM , egal şi de sens contrar cu momentul motor aplicat roţii conducătoare;
2) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din tensiunile 1S şi 2S din ramurile curelei.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru roata condusă:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Luând în considerare frecarea dintre bandă şi rolă, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
⋅=
⋅+⋅−=−−
⋅
00
21
21
21
OMeSS
rSrSSSF
πμ
.
Rezultă
11
2−
⋅=⋅πμer
MS O ;
11
−⋅=
⋅
⋅
πμ
πμ
ee
rM
S O ;
11
−+⋅=
⋅
⋅
πμ
πμ
ee
rM
F O
Se dă palanul diferenţial din figură alcătuit din doi scripeţi, unul fix şi altul mobil. Sripetele fix este format din două roţi dinţate de raze R şi r, solidare pe acelaşi ax. Scripetele mobil este o roată dinţată de rază R . În acest caz firul este un lanţ. 1
Se cere relaţia dintre forţa motoare şi forţa rezistentă , în condiţiile neglijării frecărilor.
mF
rF----------------------------------------------------- Din ecuaţiile de momente în raport cu centrele
celor doi scripeţi şi din ecuaţia de proiecţii pe verticală pentru scripetele mobil ⎧ ⋅RF
O
R r
Fr
Fm
R 1
FMO O1O
rolaconducatoare
rolacondusa
FO1
rolacondusa
MO
S2
S1
r
R r
Fr
Fm
S1
S2
R 1
⎪⎩
⎪⎨
=−+=⋅−⋅=⋅−⋅+
00
0
21
1112
21
r
m
FSSRSRS
RSrS
rezultă
rFSS ⋅==21
21 ;
rm FRrRF ⋅−=
2⋅.
29
Fr
Fm
Să se determine relaţia dintre forţa motoare şi forţa rezistentă în cazul palanului exponenţial din figură, dacă se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor.
mF
rF
--------------------------------------------------------------------- Izolând fiecare scripete, se pot scrie relaţiile:
1SkFm ⋅= ; 11 SkS ′⋅= ;
112 SSS ′+= ; 22 SkS ′⋅= ;
223 SSS ′+= ; 33 SkS ′⋅= ;
33 SSFr ′+= ; ( ) ( ) ( )
mr Fk
kS
k
kS
k
kS
kkF ⋅
+=⋅
+=⋅
+=⋅+=
4
3
13
3
22
2
31111 .
Generalizând pentru n scripeţi mobili rezultă
( ) rn
n+1
m Fk
kF ⋅+
=1
.
Dacă se neglijează frecările şi rigiditatea firelor, 1=k şi relaţia devine
rnm FF ⋅=210 .
Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m
m
FF 0
=η .
Să se determine relaţia dintre forţa motoare F şi forţa rezistentă în cazul palanului factorial din figură, când se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor.
m
1m
rF
SAU
Fm
Fr
Fr
Fm
muf
la in
ferio
ara
muf
la su
perio
ara
---------------------------------------
Fr
Fm
S3
S1
S2
S1
S2
S3
Fm
Fr
S1
S3
S4
S6
S2
S5
S3
S1
S4
S2
Considerând că în fiecare muflă se află câte n scripeţi, se pot scrie relaţiile:
SkF ⋅= ; 21 SkS ⋅= ;............ . nSn k 212 ⋅=−SRezultă
kF
S m=1 ; 2m
2k
FS = ;............
nm
nk
F22 =S .
Presupunând tensiunile din fire aproximativ verticale,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⋅=+++=
nmnrkkk
FSSSF222211...........11.......... .
Paranteza reprezintă o progresie geometrică şi, însumând după formula
cunoscută ∑−−
⋅=n
n
a1
11 , unde şi q reprezintă primul termen, respectiv raţia
progresiei, rezultă
1a
m
n
r F
k
kk
F ⋅−
−⋅=
11
111 2
; ⇒( )
rn
n
m Fk
kkF ⋅
−
−⋅=
1
12
2
.
Pentru (frecări şi rigidităţi nule) se aplică regula lui l’Hospital 1=k( )
rn
nn
km F
kn
kkknF ⋅
⋅⋅
+−⋅⋅⋅=
−
−
→ 12
212
1 2
12lim ; ⇒ rm F
nF ⋅
⋅=
210 .
Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m
m
FF 0
=η .
Se consideră sistemul de corpuri plane omogene alcătuit din manivela OA de lungime r şi greutate G, biela AB de lungime l şi greutate P şi din discul de rază R şi greutate Q. Discul se sprijină pe o cale de rulare aspră nerigidă, paralelă cu direcţia orizontală OB. Articulaţiile plane din O, A şi B sunt fără frecare. Se notează unghiurile ϕ şi ψ ca în figură. Să se determine:
30
a) relaţia dintre unghiurile ϕ şi ψ , ţinând seama că sistemul mecanic are un singur grad de libertate;
b) expresiile reacţiunilor din legăturile O,A,B şi D corespunzătoare unei configuraţii de echilibru definită de unghiurile ϕ şi ψ (discul nu alunecă şi nu se rostogoleşte). Se presupune că ( )πϕ ,0
c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare la alunecare ∈ ;
μ şi la rostogolire s pentru ca sistemul să rămână în echilibru în condiţiile:
, PQ =2P , G = 3⋅= rl , , o90=+ψϕ mR 05,0= .
------------------------------------------ a) Din relaţiile
ψϕ sinsin ⋅=⋅=′ lrAA
⇒
;
ϕsinsin ⋅ψ =lr .
b) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P şi Q2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,
format din componentele
;
H şi V ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală N , forţa de frecare de alunecare T şi momentul frecării de rostogolire rM reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare din D;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH , BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare de alunecare şi de rostogolire din D. Se obţin astfel ecuaţiile:
O
ϕ
AHA
VA
r
V
H
C1
G
1
( )( )( )32!
;
0cos2
cos
00
=⋅⋅−⋅⋅+
=−+=−
ϕϕϕ rGrV
GVVHH
A
A
A
sin⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅⋅rH A
O
ϕ12
3
R
B
A
ψ
r
(μ,s) D
( )( )( )654
;
0cos2
sin
00
=⋅⋅−⋅⋅
=−−=−
ψψ lPlH
PVHH
A
AB
BA
cos⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−⋅⋅ ψlV
V
B
PVV BA
C2
B
VB
HB
HA
VA
A
ψP
2
.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅≤⋅≤=⋅−=−−
=−
NsMNTrTM
VQNTH
r
r
B
B
μ00
0 ( )( )( )( )( )1110987
Din (5) se obţine −=
O
ϕ
B
A
ψ
r
A
NT
B
DM r
Q R
VB
HB
3
cu care (3) şi (6) devin
ϕψ
ϕψ
ψψψ
ϕϕϕϕ
coscos
sinsin
cos2
cossin
cos2
coscossin
−⋅⋅
⋅⋅
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅=⋅+⋅−
⋅+⋅=⋅+⋅
PVH
GPVH
BA
BA.
Rezultă
( )ψϕψϕ
+⋅
⋅++=sin
sincos22
GPPV B ; ( )
31
ψϕψϕ
+⋅
⋅+−=sin
sincos22
GPPV A ;
( )ψϕψϕ
+⋅
⋅+====sin
coscos2
GPHHTH BA ; ( )ψϕψϕ
+⋅
⋅+−+=sin
sincos22
GPPGV ;
( )ψϕψϕ
+⋅
⋅+++=sin
sincos22
GPPQN ; ( )ψϕψϕ
+⋅
⋅+⋅=sin
coscos2
GPRM r ;
( )( ) ( ) ( ) ψϕψϕ
ψϕμ
sincossin2coscos
⋅⋅+++⋅+⋅⋅⋅+
≥GPPQ
GP ;
( )( ) ( ) ( ) ψϕψϕ
ψϕcoscossin2
coscos⋅⋅+++⋅+⋅
⋅⋅+⋅≥
GPPQGP
Rs ;
22 VHRlO += ; 22AAlA VHR += ; 22
BBlB VHR += ; 22 NTRlD += . c)
Dacă 2⋅=OAAB o
o60=ϕ =ψ
şi , 90−=∠OABrezultă că
şi o30pentru care
93
21
21
23
21
=⋅⋅⋅
⋅
P233
23
min+⋅
⋅⋅=
P
Pμ ; 192,0min ≅μ ;
9305,0min ⋅=s ; mmms 6,90096.0min =≅ .
O B
A =r 3
ϕ
ψ
r
32
Se consideră mecanismul bielă-manivelă OAB din figură, alcătuit din bare omogene. Se cunosc: rOA= , lAB= şi excentricitarea e. Greutăţile elementelor mecanismului sunt G – pentru manivelă, P – pentru bielă şi Q – pentru culisor. Se neglijează frecările din cuple. Pentru o configuraţie a mecanismului dată de unghiul ϕ , să se determine:
a) relaţia dintre unghiurile ϕ şi ψ ; b) expresia forţei F care
echilibrează momentul motor M , în funcţie de unghiurile 0 ϕ şi ψ ;
c) reacţiunile din O, A, B şi reacţiunea ghidajului asupra culisorului.
-------------------------------------------------------- a) Din relaţia
erl +⋅=⋅ ϕψ sinsin ⇒le
lr +⋅= ϕψ sinsin .
b), c) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P , Q şi
forţa F ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,
format din componentele OH şi OV ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală N ;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH , BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0=+LR ; 0=+ LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile:
ϕ
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⋅⋅− cos2rGM O
( )( )( )321
⎧
=⋅⋅−⋅⋅−
=−−=−
0sincos
00
ϕϕϕ rHrV
GVVHH
AA
AO
OA
;
B
A
ψ
2HA
VA
PVB
F
HB
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅⋅+⋅⋅
+−
cos2
sinψ lPlH
VVH
A
BA
B ( )(( )654
87
=⋅⋅−
=−=
0cos
00
ψψ lV
PH
A
A
; )
O
ϕ
B
A
ψr
e
MO
3
21
F
VB
HB
N
Q
F
3
B
. ) ⎩⎨⎧
=−−=−
00
QVNHF
B
B ( )(
Din (1), (4) şi (7) rezultă FHHH BOA === ,
iar din (6) ψtgFPV A ⋅+=
2.
Înlocuind în (3), rezultă
ϕψϕ
ϕ
cossin
cos2⋅+
⋅+−=
tg
PGr
M
F
O
.
Din (5) şi (2) se găsesc
ψtgFPV B ⋅+=2
; ψtgFPGVO ⋅++=2
.
Astfel, 22
OOlO VHR += ; 22AAlA VHR += ; 22
BBlB VHR += .
33
Din (8) rezultă QtgFPN +⋅+= ψ
2.
Sistemul mecanic din figură, situat în planul vertical, este compus din corpul (1), bara (2), culisa (3) şi resortul elastic (4). Corpul (1), articulat cilindric în punctul fix O, este un corp omogen de greutate 3G, constituit din semisfera plină de rază R şi din conul circular drept, plin, de înălţime 4R. Bara omogenă (2), de lungime 4R şi greutate G, este articulată cilindric în punctele A şi B. Culisa (3), de greutate Q, se poate deplasa pe ghidajul vertical Oy, contactul fiind cu frecare de alunecare de coeficient μ . Arcul elastic (4) are constanta de elasticitate k şi, în poziţia iniţială a sistemului mecanic definită prin unghiul 0α , este nedeformat. Poziţia de echilibru a sistemului mecanic este dată de unghiul α , necunoscut. Se cer:
a) relaţia dintre unghiul α şi deformaţia yΔ a resortului elastic;
b) centrul de masă pentru corpul volumetric (1); c) ecuaţia din care se poate determina unghiul α în
configuraţia de echilibru; d) reacţiunile din legăturile
O, A şi B. ------------------------------------------------------------- a) αα cos8cos8 0 ⋅⋅−⋅⋅==Δ rrBBOy ;
b) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu zyOx şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,
111
∑
∑
=
=⋅
=2
1
2
1
ii
iii
C
V
Vzz ,
în care: RRz C =⋅⋅= 4
41
11 ; 321 3
4431 RRRV ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ππ ;
Rz C ⋅−=83
21 ; 32 3
2 RV ⋅⋅= π .
Rezultă
33
33
1
32
34
32
83
34
RR
RRRROCz C
⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==
ππ
ππ ⇒ Rz C ⋅=
2413
1 .
c), d) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , G⋅3 , Q şi
forţa elastică eF2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,
format din componentele
;
OH şi OV ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală BN respectiv forţa de frecare de alunecare BT ,
introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare de alunecare din B;
3B
k
4R
4R
R
y
α
α02
1
0B4
0A A
Rα
4R
3G
α
HO
VO
C
HA
VA
HA
VAHB
VB
G
VB
HBNBQ
Fe
TB
1
3
2
A
B
A
B
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH , BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
( )αα cos0cos8 −⋅⋅=Δ ry .
0=+LR ; 0=+ LOMOM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, al culisorului din
R
4R
z1
z2
z
C1C
2C
11
1
B. Se obţin astfel ecuaţiile:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅−−
=−
0sin3sin4cos403
0
ααα OCGRVRHGVV
HH
AA
AO
AO
; ( )( )( )321
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
=−−=−
0cos4sin4sin2
40
0
ααα RHRVRG
GVVHH
BB
BA
BA
; ( )( )( )654
. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅==−++
=−
BB
BBe
BB
NTQTVF
NH
μ0
0 ( )( )( )987
Forţa elastică este: ( )αα coscos8 0 −⋅⋅⋅=Δ⋅= rkykFe .
Din (8), tinând seama de (9) şi (7), se obţine BeB HFQV ⋅−−= μ
care, înlocuită în (6), conduce la
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
−⋅= eB FQGN
2cossinsin
ααμα .
Exprimând şi din ecuaţia (3), având în vedere (4), (7) şi (5), se obţine BN
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅⋅+−+⋅
+⋅ eC
e FQGRzG
FQG2cossin
sin4
3cossin
sin 1
ααμα
ααμα ,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅⋅+−+⋅
+⋅−⋅
eC
e FQGRzG
FQG24
3cossincossin 1
ααμααμ
.
Urmează, din (1), (4), (7) şi din (8), (5), (2) ţinând seama de (9), BBAO NHHH === ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
−⋅⋅
−−= eeB FQGFQV2cossin
sinααμ
αμ ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
−⋅⋅
−−+= eeA FQGFQGV2cossin
sinααμ
αμ ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
−⋅⋅
−−+⋅= eeO FQGFQGV2cossin
sin4
ααμαμ .
22OOlO VHR += ; 22
AAlA VHR += ; 22BBlB VHR += ; BB NT ⋅=μ .
34
Cinematica punctului Problemele privind cinematica punctului urmăresc, în esenţă, determinări de traiectorii, viteze şi acceleraţii. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea lor sunt următoarele:
a) imaginar, se priveşte punctul în mişcare; b) se alege convenabil un sistem de referinţă; c) se înregistreză poziţia punctului în acest sistem; d) se exprimă ecuaţiile parametrice de mişcare, reprezentând coordonatele
punctului ca funcţii de timp; e) dacă se solicită determinarea traiectoriei, se elimină timpul între
ecuaţiile de mişcare; f) pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei se utilizează expresiile
componentelor acestora, în funcţie de sistemul de referinţă ales:
1
Exemple Se dă o mişcare a unui punct material definită de ecuaţiile parametrice în coordonate carteziene 12 −⋅= tex şi 12 +⋅= tey . Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului. ----------------------------------------------------------------------------------------- Traiectoria de mişcare se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice. Rezultă astfel funcţia
2+= xy reprezentând o dreaptă ( )Δ în planul xOy.
Viteza ⎧
⎪⎩
⎪⎨
⋅==
⋅==
y
x
yv
xv
2
2&
&⇒t
t
e
e ax,y(M )
1,3(M )
22yx vv +v= ; tev ⋅⋅= 22 .
Acceleraţia ⎧ t
⎪⎩
⎪⎨
⋅==
⋅==
y
x
eya
exa
2
2&&
&&⇒t 2
y2x aaa += ; tea ⋅⋅= 22 .
Sistem de referinţă plan
Cartezian Cilindric (polar) Intrinsec
Ecuaţii parametrice ⎩
⎨⎧
==
)()(
tyytxx
⎩⎨⎧
==
)()(
ttrr
ϕϕ )( tss=
Traiectorie ( ) 0, =yxf ( ) 0, =ϕrf cunoscută
Viteză
;xv x &= ;yv y &=
22yx vvv +=
;rv R &= ;ϕ&⋅=rv N 22NR vvv +=
;sv &=τ ;0=ϑv svv &== τ
Acceleraţie
;xa x &&= ;ya y &&=
22yx aaa +=
;2ϕ&&& ⋅−= rra R ;2 ϕϕ &&&& ⋅+⋅⋅= rra N
22NR aaa +=
;vsa &&& ==τ
;22
ρρϑvsa == &
22ϑτ aaa +=
M (s)
τ
ν
s
ρMM (r,ϕ)
RN
ϕ
r
Mx
y
x,y(M )
Să se determine raza de curbură iniţială a traiectoriei unui punct, dacă ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate carteziene sunt tx ⋅=2 şi 2ty = .
2
------------------------------------------------------------------ Raza de curbură a traiectoriei unui punct material apare explicit în expresia componentei normale de acceleraţie în coordonate intrinseci:
ρϑ
2va = ⇒ϑ
ρav 2
= .
Dar 222ϑτ aaa += ⇒ 2222 vaaaa &−=−= τϑ .
Astfel, raza de curbură poate fi exprimată în funcţie de viteză şi acceleraţie
22
2
va
v
&−=ρ ,
care pot fi calculate având la dispoziţie ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate carteziene:
⎩⎨⎧
⋅====
tyvxv
y
x
22
&
& ⇒ 222 12 tvvv yx +⋅=+= şi
21
2212
t
tv+
⋅⋅⋅=& ;
⎩⎨⎧
====
20
yaxa
y
x&&
&& ⇒ 222 =+= yx aaa .
Rezultă astfel ( )
2
2
2
144
14
tt
t
+⋅−
+⋅=ρ ;
( ) 23
212 t+⋅=ρ .
Un punct material M descrie o traiectorie plană cu componenta de viteză în
coordonate polare bv R = constantă şi viteza areolară ra , unde a=constant
şi r reprezintă mărimea razei vectoare a punctului M faţă de originea sistemului de coordonate polare.
⋅=Ω2
Fiind cunoscute condiţiile iniţiale la 0=t , 0rr = , 0=ϕ , să se determine ecuaţia traiectoriei. ----------------------------------------------------------------------------- În coordonate polare, ecuaţia traiectoriei este o funcţie de forma
( )ϕrr= în care r reprezintă raza polară iar ϕ reprezintă unghiul polar.
Raza polară se poate determina cunoscând că brv R == & 1; ⇒ Ctbr +⋅= .
R
N r R
N
ϕ
M
t(M )
t=0( )r0
Aplicând condiţiile iniţiale se găseşte , prin urmare
0r
tbrr
1C =
⋅+= 0 . Unghiul polar se obţine din expresia vitezei areolare
ϕ&⋅⋅ 2
21=⋅⋅=Ω
2rvr N ⇒1 ;
tbra
rr ⋅+===
02
ϕ& aΩ⋅2 .
Sau dt
tbrad ⋅
⋅+=
0ϕ ; ⇒ ( ) 20ln Ctbr
ba +⋅+⋅=ϕ .
Aplicând condiţiile iniţiale se găseşte 02 lnrbaC ⋅−= , prin urmare
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅= t
rb
ba
01lnϕ .
Eliminând timpul între cele două ecuaţii parametrice de mişcare se obţine ecuaţia traiectoriei în coordonate polare:
0ln
rr
ba ⋅=ϕ ; ⇒
ϕ⋅⋅= a
b
err 0 .
În mişcarea unui punct material M, modulul vitezei este o mărime constantă (v=c), iar viteza unghiulară de rotaţie a razei vectoare este de asemenea constantă şi egală cu 0ω .
3
Să se determine ecuaţiile de mişcare în coordonate polare şi traiectoria punctului, dacă la momentul 0=t , 0=r şi 0=ϕ . ---------------------------------------------------------------------------------- Ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate polare sunt:
( )( )⎩
⎨⎧
==
ttrr
ϕϕ.
Traiectoria este o funcţie de forma ( )ϕrr=
care se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice. Componentele vitezei în coordonate polare sunt
⎩⎨⎧
⋅=⋅==
0ωϕ rrvrv
N
R&
& , ⇒ 222NR vvv +=
adică ( )2
022 ω⋅+= rrc & . ⇒ 2
022 ω⋅−= rcr& sau dt
rc
dr =⋅− 2
022 ω
.
Se efectuează schimbarea de variabilă ucr sin
0⋅=
ω; duucdr ⋅⋅= cos
0ω.
Rezultă
dtuc
duuc
=−⋅
⋅⋅
2
0
sin1
cosω ⇒ dtdu ⋅= 0ω ⇒ Ctu +⋅= 0ω ;
( )Ctu +⋅= 0sinsin ω ⇒ ( )Ctcr +⋅⋅= 00
sin ωω
.
Constanta de integrare se determină din condiţiile iniţiale şi rezultă C=0. Prin urmare, ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate polare sunt:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
⋅=r
0
00
sin
ωϕ
ωω
⋅
⋅
t
tc şi traiectoria ⇒ ϕ
ωsin
0⋅= cr .
În coordonate carteziene
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⋅=⋅=
⋅⋅=⋅=
ϕω
ϕ
ϕϕω
ϕ
2
0
0
sinsin
cossincos
cry
rx⇒
⎧ c
; 2
0
2
0 22 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
=⎟⎟⎠
⎞
Manivela motoare OC se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω în jurul articulaţiei O, antrenând în mişcare biela AD ale cărei puncte A şi E culisează pe axele Ox, respectiv Oy. Cunoscând dimensiunile geometrice ale mecanismului, să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului D în funcţie de unghiul ϕ al mecanismului.
2
⋅−
ωωccx ⎜⎜
⎝
⎛+ y .
---------------------------------------------------------- În coordonate carteziene, ecuaţiile parametrice de mişcare sunt:
⎧ = cosax
C
D
A
a
a
a
ω
ϕ
a
E
⎩⎨ ⋅⋅= ϕ
ϕsin3 ay D
D ,
ϕ
C
D
A
a
a
a
y
x
a ω
aE
unde t⋅=ωϕ şi ⇒ ct==ωϕ& . Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă elipsa de ecuaţie
( )1
3 2
2
2
2
=⋅
+a
y
a
x DD .
Viteza
⎩⎨⎧
⋅⋅⋅==⋅⋅−==
ϕωϕω
cos3sin
ayvaxv
DyD
DxD&
&; ⇒ 22
yDxDD vvv += ;
ϕϕω 22 cos9sin ⋅+⋅=av D . Acceleraţia
⎧
⋅⋅⋅−==
⋅⋅−==
ϕω
ϕω
sin3
cos2
2
aya
axa
DyD
DxD
&&
&& ⇒ 22
yDxDD aaa += ; ⎪⎩
⎪⎨
ϕϕω 222 sin9cos ⋅+⋅⋅=aa D .
πϕ
r3π2
π2
O
RM
r
ϕ
Un disc de rază R se roteşte cu vitezaunghiulară constantă ω în jurul unei axe ce trece prin centrul său şi este perpendiculară pe centrul discului. Pe diametrul AB se mişcă, plecând din O, un punct material după legea
tRa ωsin⋅= .
4
Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului. ------------------------------------------------------------- a) Varianta I- coordonate carteziene Se consideră un sistem de referinţă cartezian fix, se înregistreză poziţia
punctului în acest sistem şi se exprimă coordonatele sale ca funcţii de timp. Conform enunţului, discul se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω în jurul centrului O. Prin urmare, unghiul de mişcare este
t⋅=ωϕ , de unde
ct==ωϕ& . Rezultă astfel ecuaţiile parametrice de mişcare în
coordonate carteziene
⎩⎨⎧
⋅=⋅=
⋅⋅=⋅=
tRayttRax
ωϕωωϕ
2sinsincossincos .
Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă
yRyx ⋅=+ 22 sau 22
2
22 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ RRyx
reprezentând un cerc de rază R/2 cu centrul în . 1O Viteza
⎧
⎩⎨ ⋅⋅==
⋅⋅==tRyvtRxv
y
x
ωωωω
2sin2cos
&
& ⇒ 22
yx vvv += ⇒ ω⋅=Rv .
Acceleraţia ⎧
⎪⎩
⎪⎨
⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅−==
tRya
tRxa
y
x
ωω
ωω
2cos2
2sin22
2
&&
&& ⇒ 22
yx aaa += ⇒ 22 ω⋅⋅= Ra .
b) Varianta II- coordonate cilindrice Se consideră un sistem de referinţă cilindric (polar). În acest sistem ecuaţiile parametrice de mişcare sunt
⎩⎨⎧
⋅=⋅==
ttRar
ωϕωsin .
Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă ecuaţia polară a traiectoriei
a ϕ
t(M )
A
B
O
R
ω
ϕsin⋅=Rr . Viteza
==rvr=a ϕ
M
A
B
R
a
O
R
N
O1
(r,ϕ)
ω
⎩⎨⎧
tRrvtR
N
R
ωωϕωω
sincos
&
&⇒
⋅⋅=⋅=⋅⋅ 22
NR vv +v=
⇒
ω⋅=Rv . Acceleraţia
2
⎪⎩
⎪⎨⎧
&&&&
&&&⇒
⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅=
⋅⋅⋅−=⋅−=
tRrratRrra
N
R
ωωϕϕ
ωωϕ
cos22sin2
2
2
22NR aa +=a
⇒ 22 ⋅⋅Ra ϕ
x,y(M )
A
B
R x
ya
O1ω
ω=a . Obs. Sistemul de coordonate intrinseci se poate utiliza numai în ipoteza că se
cunoaşte ecuaţia orară a traiectoriei )( tss= .
ϕM
A
B
R a
O O1
(s)
ωτ
ν
s2ϕ
Considerând cunoscută traiectoria, ecuaţia sa orară este
ϕϕ ⋅=⋅⋅= RRs 22
svv &
.
Viteza == τ ⇒ ω⋅=Rv .
Acceleraţia
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅⋅=⋅===
===
22222
2
2
0
ωωρρϑ
τ
RR
Rvsa
vsa&
&&&
⇒ ϑaa= ⇒ 22 ω⋅⋅= Ra .
α Un con circular drept, de unghi la vârf 2 , se roteşte în jurul axei sale de simetrie cu viteza unghiulară constantă ω . Punctul material M pleacă din vârful O al conului şi se deplasează pe generatoarea OA cu viteza constantă u.
5
Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a punctului după t secunde de la momentul pornirii. -----------------------------------------------------------------
t⋅= Unghiul de mişcare este ωϕ şi ⇒ ct==ωϕ& . a) Varianta I- coordonate carteziene
Ecuaţiile parametrice de mişcare ⎧ ⋅⋅⋅=⋅⋅= αϕα sincossin tuOMx
⎪⎩
⎪⎨
⋅=⋅⋅=
ααωαϕαω
coscossinsinsinsincos
tuOMzttuOMyt
⎪⎩
⎪⎨ ⋅==
⋅==αα
sinsin
vuyvux
z
y
x
&
&
&
⇒
⋅⋅=⋅⋅⋅= .
Viteza ⎧ v
⋅==
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅
αωαωωωαωω
coscossinsinsinsincos
uzttutttut
;
222zyx vvv ++=v ⇒
α2sin⋅ω 221 ⋅+⋅= tuv . Acceleraţia
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==
0sinsincossin2
cossinsinsin22
2
zattutuya
ttutuxa
z
y
x
&&
&&
&&
ωαωωαω
ωαωωαω
;
⇒ 222zyx aaaa ++= ⇒ 224sin tua ⋅+⋅⋅⋅= ωαω .
b) Varianta II- coordonate cilindrice Ecuaţiile parametrice de mişcare
αα sinsin ⋅⋅=⋅= tuOMr ; t⋅=ωϕ ; αα coscos ⋅⋅=⋅= tuOMz . Viteza
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅==⋅⋅⋅=⋅=
⋅==
ααωϕ
α
cossin
sin
uzvturv
urv
z
N
R
&
&
&
⇒ 222zNR vvvv ++=
⇒
αω 222 sin1 ⋅⋅+⋅= tuv . Acceleraţia
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅−=⋅−=
0sin22sin22
zaurra
turra
z
N
R
&&
&&&&
&&&
αωϕϕαωϕ
⇒ 222zyx aaaa ++=
⇒
224sin tua ⋅+⋅⋅⋅= ωαω .
u
O
A
t(M )ω
2α
Un cilindru de rază R se roteşte în jurul axei sale cu viteza unghiulară constantă ω . Pe generatoarea sa se deplasează un punct material M, placând din M fără
viteză iniţială, cu acceleraţia constantă a .
0
0
Să se determine viteza şi acceleraţia punctului m, ştiind că la momentul iniţial 0=t unghiul 0=ϕ .
t(M )ωa0
M0
R
----------------------------------------------------------------- Unghiul de mişcare este t⋅=ωϕ şi
ct⇒ ==ωϕ& . a) Varianta I- coordonate carteziene
Ecuaţiile parametrice de mişcare
tRx ωcos⋅= ; tRy ωsin⋅= ; 2
20 ta
z . ⋅=
Viteza
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅==
⋅⋅==⋅⋅−==
tazvtRyvtRxv
z
y
x
0
cossin
&
&
&
ωωωω
⇒ 222zyx vvvv ++=
⇒ 220
22 taRv ⋅+⋅= ω . Acceleraţia
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
==
⋅⋅−==
⋅⋅−==
0
2
2
sin
cos
azatRya
tRxa
z
y
x
&&
&&
&&
ωω
ωω
⇒ 222zyx aaaa ++= ⇒ 2
042 aRa +⋅= ω .
b) Varianta II- coordonate cilindrice
u
O
A
t(M )ω
RN
ϕ
2α
x
z
y r O
t(M )ω
R
N
ϕ
x
z
y r
a0
M0
R
Ecuaţiile parametrice de mişcare
Rr= ; t⋅=ωϕ ; 2
20 ta
z⋅
= .
Viteza
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅==⋅=⋅=
==
tazvRrv
rv
z
N
R
0
0
&
&
&
ωϕ ⇒ 222zNR vvvv ++= ⇒ 22
022 taRv ⋅+⋅= ω .
Acceleraţia
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===⋅+⋅⋅=⋅−=⋅−=
0
22
02azarra
Rrra
z
N
R
&&
&&&&
&&&
ϕϕωϕ
⇒ 222zyx aaaa ++= ⇒ 2
042 aRa +⋅= ω .
Cinematica mişcării de translaţie
Se consideră o camă triunghiulară care alunecă pe un ghidaj orizontal cu acceleraţia constantă
6
0a . Cama pune în mişcare un tachet care alunecă într-un ghidaj vertical.
Cunoscând unghiul α de înclinare al suprafeţei de contact a camei, să se determine acceleraţia tachetului.
-------------------------------------------------------------------------
Acceleraţia unui punct A al tachetului se reduce la componenta verticală
AA ya &&= .
Cu notaţiile din figură,
αtgxy BA ⋅= ⇒ αtgxy BA ⋅= &&&& ,
unde
0ax B =&& .
Rezultă
αtgaa A ⋅= 0 .
a0
α
a0
α
aA
A 0,y ( )A
y
x
a B
B x ,0 ( )
7
Cinematica mişcării plan-paralele Inelul interior al unui rulment cu role se roteşte cu viteza unghiulară constantă 1ω , iar inelul exterior are viteza unghiulară 2ω , de asemenea constantă. Cele două inele au razele , respectiv . 1R 2R
Presupunând că între role şi inele nu există alunecări, să se determine:
a) viteza unghiulară instantanee ω a unei role; b) viteza centrului O al rolei şi perioada ei de revoluţie;
/c) raportul 21 ωω astfel ca mişcarea rolei să fie de translaţie; d) numărul de rotaţii efectuate de rolă în intervalul de timp în care inelele
fac o rotaţie completă cu aceeaşi viteză unghiulară 21 ωω = . --------------------------------------------------------------------
Inelele execută mişcări de rotaţie cu vitezele unghiulare 1ω şi 2ω , iar rola execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω . După determinarea centrului instantaneu de rotaţie, se exprimă vitezele punctelor A şi B ca puncte comune pieselor în contact.
a) IARv A ⋅=⋅= ωω 11 ; IBRv B ⋅=⋅= ωω 22 .
( )IAIBRRvv AB −⋅=⋅−⋅=− ωωω 1122 ;
b) 2
BAO
vvv
+= ; ⇒ ct
RRv O =
⋅+⋅=
22211 ωω
.
Ov
RR
T 22 21 +⋅⋅
=π
; ⇒( )
2211
212RR
RRT
⋅+⋅
+⋅⋅=
ωωπ
.
c) condiţia este ca
0=ω , ⇒ 01122 =⋅−⋅ RR ωω ⇒1
22
1R
R=ωω .
d) dacă 12 ωω = ⇒ 21 ωωω == , deci rola execută 1 rotaţie.
Bara AB de lungime 2l execută o mişcare cardanică, capetele A şi B deplasându-se respectiv pe axele fixe
şi . 11 xO 11 yO
Să se determine centroidele mişcării barei. Cunoscând viteza capătului A, vv A = , să se determine viteza capătului B. O1
ϕ
B
A
2
O
ω2
ω11
---------------------------------------------------------------------- R1
Centroidele mişcării plane a barei reprezintă locurile geometrice, adică traiectoriile centrului instantaneu de rotaţie I, înregistrate în raport cu un sistem
de referinţă fix, respectiv în raport cu un sistem mobil solidar cu bara. Prin urmare se procedează ca la cinematică de punct:
⇒12
2
R−−ω 112
RRR ⋅⋅
=ω
ω .
- se determină CIR;
- se aleg convenabil sistemele de referinţă;
- se determină ecuaţiile parametrice de mişcare;
- se elimină timpul între acestea.
BAZA ; ⎩⎨⎧
⋅⋅=⋅⋅=
ϕϕ
cos2sin2
1
1
lylx
I
I ⇒ ( )221
21 2 lyx II ⋅=+ ;
- un cerc de rază 2l cu centrul în originea sistemului fix considerat.
R 2
ωO1 I
AB
O
R2
R1 R -R2 1
A
I
O1
O
B
P
ω
a0
aA
aB
ω1
O1
baza
rostogolitoarea
ϕ
B I
A
ω
C
x1I
y 1I
=
2ϕ
yI
x I
ROSTOGOLITOAREA ; ⎩⎨⎧
⋅=⋅=
ϕϕ
2cos2sin
lylx
I
I ⇒ 222 lyx II =+ ;
- un cerc de rază l cu centrul în originea sistemului mobil considerat.
Pentru a calcula viteza punctului B se determină mai întâi viteza unghiulară instantanee a barei:
IAv A ⋅=ω de unde ϕ
ωcos2 ⋅⋅
==l
vIAv A .
Rezultă ϕϕ
ω sin2cos2
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅= ll
vIBv B ; ϕtgvv B ⋅= .
Manivela rOO ⋅=21 a mecanismului planetar din figură se roteşte cu viteza unghiulară constantă 1ω . Ea conduce în mişcare plană un disc de rază r care se rostogoleşte fără alunecare în interiorul coroanei cilindrice de rază rR ⋅=3 .
8
Să se determine vitezele şi acceleraţiile punctelor A şi B ale discului.
Vitezele Se exprimă viteza punctului O ca punct comun atât manivelei care se roteşte cu viteza unghiulară
1ω , cât şi discului care execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω :
⎭⎬⎫
⋅=⋅⋅=
rvrv
O
O
ωω 21 2 ⇒ 1ωω ⋅= .
Astfel, se pot obţine:
rIAv A ⋅⋅⋅=⋅= 2 1 2ωω ; rv A ⋅⋅= 14 ω ;
22 1 rIBv B ⋅⋅=⋅= ωω ; rv B ⋅⋅= 122 ω .
Acceleraţiile Se exprimă acceleraţia punctului O ca punct comun atât manivelei care se roteşte cu viteza unghiulară constantă 1ω , cât şi discului care execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω , de asemenea constantă:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅=
⋅⋅=⋅=
POa
rOOa
O
O2
211
21 2
ω
ωω ⇒24
221
21
2rra
PO O =⋅
⋅⋅==
ω
ω
ω.
Polul acceleraţiilor P este situat pe direcţia dată de Oa Cunoscând polul acceleraţiilor, se pot calcula:
24 2
12 rPAa A ⋅⋅=⋅= ωω ; OA ara =⋅⋅= 2
12 ω ;
222
12
24 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅⋅=⋅= rrPBa B ωω ; ra B ⋅⋅⋅= 2
152 ω .
A
O1
O
B
ω1
r
R=3r
Rotorul unei maşini electrice are o turaţie de regim de n=1000 rot/min când i se întrerupe alimentarea cu curent electric. Ca urmare a rezistenţelor pe care le întâmpină, după 7001 =N rotaţii, din momentul întreruperii alimentării, rotorul se opreşte. Cunoscând raza r=20 cm a rotorului şi considerând mişcarea de rotaţie ca fiind uniform încetinită, să se determine:
a) timpul după care s-a oprit; 1tb) viteza şi acceleraţia unui punct de pe periferia rotoruluidupă ce acesta a
făcut 200 de rotaţii din momentul întreruperii alimentării.
A
I
O1
O
B
P
ω
a0
aA
aB
ω1
-----------------------------------------------------------------
a) Viteza unghiulară iniţială este 300
n⋅=πω ;` 10 72,104 −= sω .
Mişcarea fiind uniform încetinită, se pot scrie relaţiile
2
20
0t
t⋅
−⋅=ε
ωϕ ; t⋅−= 00 εωω .
Pentru , acestea sunt 1tt =20
22
1
100
210
101 tt
ttN
⋅⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−=
⋅−⋅=⋅⋅
εω
εωπ ,
de unde rezultă timpul al opririi, precum şi acceleraţia unghiulară 1t 0ε :
nN
nN
Nt 1
10
11
1203044 ⋅
=⋅
⋅⋅⋅=⋅⋅
=π
πωπ ; st 841 = ;
1
2
11
00 360012030 N
nN
nnt ⋅
⋅=⋅
⋅⋅== ππωε ; 2
0 2467,1 −= sε .
b) Se notează cu timpul corespunzător celor 2t 2002 =N rotaţii. Astfel, există
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−=
⋅−⋅=⋅⋅
2002
220
202 22
t
ttN
εωω
εωπ ,
de unde se obţine viteza unghiulară a rotorului la momentul 2t
02202 4 επωω ⋅⋅⋅−= N ; 1
2 5,88 −= sω .
Rezultă viteza şi acceleraţia unui punct de pe periferie, după 200 de rotaţii:
smrv /7,1722 =⋅=ω ; 242
202 /45,1566 smra =+⋅= ωε .
Cinematica mişcării de roto-translaţie
Două puncte A şi B ale unui cilindru sunt situate pe acelaşi diametru, la distanţele d şi d de axa lui. Cilindrul execută o mişcare de rototranslaţie cu viteza unghiulară
1 2
ω şi cu viteza de translaţie v . 0
9
Ce relaţie trebuie să existe între distanţele şi , dacă vitezele celor două puncte sunt perpendiculare între ele?
1 2d d
--------------------------------------------------------------
Condiţia de ortogonalitate a celor două viteze este ca
0=⋅ BA vv ,
unde:
1d×ω00 vrvv AA +=×+= ω ,
2d×ω00 vrvv BB +=×+= ω .
Conform enunţului, există relaţia
12 dd ⋅−= λ ,
în care
1
2
dd
=λ .
Urmează
( ) ( ) 02010 =×+⋅×+ dvdv ωω ,
( ) ( ) ( ) ( ) 021012020 =×⋅×+⋅×+×⋅+ ddvddvv ωωωω ,
( ) ( ) 011
21
20 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡×⋅−⋅×+ d
dd
dv ωω ,
02
11
220 =×⋅− d
dd
v ω ,
021
2
1
220 =⋅⋅− d
dd
v ω ⇒2
20
21ω
vdd =⋅ .
ABω
d1 d2
d1
d2
B
A
O
ω
rA
rB
d2
d1
10