Mecanica Clasica

M. Antonella CidDepartamento de Fısica - Facultad de Ciencias

Universidad del Bıo-Bıo

4 de mayo de 2012

Introduccion

El fısico ruso George Gamow establece quefue el pueblo griego el que dio origen a laFısica como ciencia. En su libro “Biografıade la Fısica” menciona, es interesante notarque mientras las culturas mas antiguas comoBabilonia y Egipto contribuyeron en gran me-dida al desarrollo de las matematicas y la as-tronomıa fueron completamente esteriles enel desarrollo de la fısica. La explicacion po-sible de esta deficiencia, en comparacion conla ciencia griega, es que los dioses de Babilo-nia y Egipto vivıan arriba, entre las estrellas,mientras que los dioses de los antiguos griegosvivıan a unos 10000 pies (3000 m) de alturaen el monte Olimpo.La mecanica es una rama de la Fısica

que analiza el movimiento de los cuerpos.La mecanica clasica es una formulacion de lamecanica que describe el movimiento de cuer-pos que se mueven a velocidades pequenascomparadas con la velocidad de la luz. Otroscampos de estudio de la mecanica son lamecanica cuantica (descripcion de partıculassubatomicas) y la mecanica relativista (des-cripcion de partıculas que se mueven a velo-cidades cercanas a la de la luz).

Gamow menciona a Arquımedes (287-212a.C) como el padre de la mecanica. Arquıme-des fue un matematico, fısico, ingeniero, in-ventor y astronomo nacido en Siracusa capi-tal de Sicilia, entre los avances de Arquıme-des en fısica se encuentran estudios en hi-drostatica (principio de flotacion de Arquıme-des), estatica (principio de la palanca, centrode gravedad), entre otros.

Figura 1: Arriba: de izquierda a derecha,el fısico ruso George Gamow (1904-1968) yel matematico, fısico, astronomo e ingenie-ro griego Arquımedes. Abajo: caricatura delprincipio de flotacion y caricatura del princi-pio de palanca.

La mecanica clasica considera la aplicacionde las leyes de Newton para explicar y prede-cir el movimiento dinamico de partıculas pun-tuales y medios contınuos. Como tal, se refie-re al comportamiento de objetos macroscopi-

1

cos familiares como satelites (naturales y ar-tificiales), la atmosfera, los oceanos, solidosy la Tierra misma. Ademas, el estudio de lamecanica clasica es basico para derivar la des-cripcion cuantica de la materia subatomica.

Conceptos Basicos

Sistema coordenado (SC)

Un sistema coordenado es una construccionpuramente matematica para la presentacionde relaciones matematicas. Los valores medi-dos de las cantidades fısicas son independien-tes de la eleccion del sistema coordenado.

Ejemplo

Cuando calculamos el perımetro de una cir-cunferencia podemos usar un sistema de coor-denadas polares o un sistema de coordenadascartesiano, el resultado sera siempre dos π ve-ces el radio de la circunferencia. Este valorcoincide con el valor medido por una huinchacalibrada.

Sistema de referencia (SR)

Son fısicamente reales y corresponden aun conjunto de instrumentos de medida di-senados para la determinacion de cantidadesfısicas. En el caso mas simple, las medidaspueden ser realizadas con la ayuda de tresvarillas metricas y un reloj. En general, nosreferimos a un observador cuando hablamosde un sistema de referencia particular.

Suceso

Cualquier cosa que ocurre en un punto delespacio en un instante dado.

Posicion

La posicion de un suceso queda operacio-nalmente definida (por medio de trabajo de

laboratorio o trabajo teorico) por cuatro da-tos obtenidos a partir de mediciones:

(~r, t) = xi, t3i=1

Movimiento

El movimiento de un cuerpo (o partıcula)es definido como un contınuo de sucesos de-finidos con respecto a un sistema de refe-rencia inercial (SRI).

Sistema de referencia inercial

Newton lo definio como un sistema de re-ferencia que se encuentra en reposo respectode las estrellas fijas.

Cinematica de la partıcula

Su funcion es describir el movimiento deuna partıcula newtoniana en funcion de suvelocidad y aceleracion. Su objetivo es encon-trar la ecuacion del movimiento que permitadeterminar la posicion y la velocidad de lapartıcula en cualquier instante de tiempo.

Dinamica de la partıcula

Su funcion es describir el movimiento deuna partıcula newtoniana en funcion de lafuerza, la masa y la aceleracion. Si ~r es elvector de posicion de una partıcula y ~v es lavelocidad de la partıcula, entonces:

~v ≡ d~r

dty ~a ≡ d~v

dt

es la aceleracion.

Primera ley de Newton

En un sistema de referencia inercial, loscuerpos permanecen en reposo o se muevencon velocidad constante a menos que unafuerza neta actue sobre ellos.

2

Segunda ley de Newton

La mecanica de la partıcula esta contenidaen la segunda ley del movimiento de Newton,la cual establece que existen sistemas de refe-rencia (inerciales) en los cuales el movimientose describe por la ecuacion diferencial:

∑

~F =d~p

dt= m

d~v

dt= m~a (1)

donde ~p ≡ m~v es el momentum lineal y~a = d~v

dt= d2~r

dt2es la aceleracion. La segun-

da igualdad en (1) es valida solo para masasconstantes.La segunda ley de Newton expresa que la

suma de todas las fuerzas (externas e inter-nas) actuando sobre el cuerpo es proporcionala la aceleracion que experimenta el cuerpo:

∑

~Fi =∑

~F(ext)i +

∑

~F(int)i = m~a (2)

Tercera ley de Newton

A cada accion se corresponde una reaccionigual y opuesta. Esto es, si ~F21 es la fuerzaque ejerce la partıcula 1 sobre la partıcula 2,entonces:

~F21 = −~F12

donde ~F12 es la fuerza que ejerce la partıcula2 sobre la partıcula 1 y las fuerzas actuan alo largo de la lınea que separa las partıculas.

Relatividad de Galileo

Cualquier SR moviendose con velocidadconstante en relacion a un SRI es inercial. Deesta manera, dos observadores que se muevenentre ellos con velocidad constante inferiranlas mismas leyes del movimiento.Si ~r y ~r′ son las coordenadas del objeto

vistas desde dos sistemas de referencia que semueven con velocidad constante ~V uno res-pecto del otro (ver Fig. 2) tendremos que~r′ = ~r − ~V t (dado que el tiempo es absolu-to en la mecnica newtoniana, es decir, todoslos observadores miden el mismo tiempo) de

manera que ~v′ = ~v − ~V y ~a′ = ~a, luego natu-ralmente ~F ′ = ~F debido a la segunda ley deNewton.

Figura 2: Principio de relatividad de Galileo

Teoremas de conservacion

Momentum lineal

Si la suma de todas las fuerzas es cero, en-tonces el momentum lineal se conserva. Laderivacion es directa a partir de la Eq.(1).

∑

~F = 0 ⇒ ~p es constante

Momentum angular

El momentum angular se define como:

~L = ~r × ~p = m~r × ~v

Si ahora calculamos la tasa de cambio del mo-mentum angular para m constante tenemos:

~L =d~L

dt= m~r × ~v +m~r × ~v =

∑

~r × ~F

donde en la ultima igualdad hemos usado lasegunda ley de Newton y el hecho de que ~r =~v, ademas ~v × ~v = 0.

El producto ~r× ~F se denomina torque, lue-go podemos ver que existe una ley de conser-vacion que establece que si la suma de todoslos torques es cero, entonces el momentumangular se conserva.TAREA: A diferencia del momentum li-

neal ~p, el momentum angular ~L depende dela eleccion del sistema coordenado.

3

Trabajo y energıa

Sea ~F una fuerza estatica aplicada sobreuna partıcula durante un intervalo de tiempodt, en el cual esta experimenta un desplaza-miento d~r. Se llama trabajo de una fuerza ~F

a la magnitud fısica escalar dW definida por:

dW = ~F · d~rConsecuentemente, el trabajo hecho para mo-ver la partıcula de prueba una distancia finitadesde el punto 1 al punto 2 a lo largo de alguncamino sera:

W1→2 =

∫ 2

1

~F · d~r

Reescribiendo convenientemente tenemos:

W1→2 =

∫ 2

1

md~v

dt· ~vdt = m

∫ 2

1

~v · d~v

W1→2 =1

2mv22 −

1

2mv21

lo cual es independiente del camino escogido.El termino K = 1

2mv2 se denomina

energıa cinetica, luego podemos decir que,el trabajo hecho al mover la partıcula desdeel punto 1 al punto 2 es precisamente el in-cremento de energıa cinetica.

Fuerzas conservativas

Si el trabajo de una fuerza a lo largo de uncamino cerrado es cero, entonces la fuerza sedenomina conservativa:

W =

∮

c

~F · d~r = 0

Esto significa que el trabajo hecho por unafuerza conservativa no depende del camino.

Teorema

Si ~F es un campo de fuerzas conservativas,entonces existe un campo escalar U(~r) talque:

~F = −∇U(~r)

U(~r) se denomina campo potencial y las su-perficies U(~r) = constante se llaman superfi-cies equipotenciales.

Verificacion

Sabemos que si una fuerza es conservativa,entonces:

W =

∮

c

~F · d~r = 0

Del teorema de Stokes deducimos que si:

∮

c

~F · d~r = 0 entonces

∮

S

(∇× ~F ) · d~S = 0

dado que la superficie S es arbitraria tenemosque ∇ × ~F = 0. Por otra parte, de un cono-cido resultado del calculo diferencial sabemosque ∇ × (∇U) = 0, luego si ∇ × ~F = 0 en-tonces debe existir una funcion escalar U talque ~F = −∇U .Como consecuencia, para fuerzas conserva-

tivas, tenemos la ley de conservacion de laenergıa mecanica:

∆K = −∆U o Ki + Ui = Kf + Uf

donde los subındices i y f denotan valoresincial y final respectivamente.TAREA: Escriba tres propiedades que de-

be satisfacer una fuerza conservativa.

Sistemas de Partıculas

Consideremos un sistema de N partıculasen el cual las masas individuales mi sonconstantes en el tiempo y para el cual las leyesde Newton son validas, las posiciones de laspartıculas son dadas por los vectores ~ri enun SRI.Definimos el vector centro de masa ~R me-

diante:

∑

mi~ri =∑

mi~R o ~R = M−1

∑

i

mi~ri

(3)donde M ≡∑N

i=1 mi es la masa total del sis-tema.TAREA: Considere un sistema de 3

partıculas identicas (de masa 1) que se situanen un plano cartesiano (x,y) formando un

4

triangulo equilatero en el primer cuadrante.Dos partıculas se encuentran en las posicio-nes (0,0) y (3,0). Encuentre la ubicacion dela tercera partıcula y la ubicacion del centrode masa.

Movimiento del centro de masa

Es conveniente separar la fuerza que actuasobre la i-esima partıcula ~Fi en una contribu-cion externa y una contribucion interna, ~F

(e)i

y ~Fij para i 6= j respectivamente, de modoque:

~Fi = ~F(e)i +

∑

j

~Fij para i 6= j

Por ejemplo, para un sistema de 3 partıculas,la fuerza que actua sobre la partıcula 1 debidoa la accion de una fuerza externa y la accionde las partıculas 2 y 3 sera: ~F1 = ~F

(e)1 + ~F12+

~F13. ~Fii es cero puesto que un cuerpo no puedeejercer una fuerza sobre sı mismo.

Momentum Lineal

La segunda ley de Newton para la i-esimapartıcula queda entonces:

d~pi

dt= ~Fi = ~F

(e)i +

∑

j

~Fij para i 6= j

Evidentemente el sistema experimentara unmovimiento complicado debido a la accion detodas las fuerzas presentes. Aun ası, existenciertas cantidades conservadas que ayudan asimplificar la descripcion. En particular, con-sideremos la aceleracion del centro de masaderivando la Eq.(3):

M ~R =∑

mi~ri =∑

~pi =∑

~F(e)i +

∑

ij

~Fij

Ahora, notamos que debido a la tercera leyde Newton

∑

ij~Fij = 0 para i 6= j. Pode-

mos ver esto facilmente para un sistema de 3partıculas,∑

ij

~Fij = ~F12 + ~F13 + ~F21 + ~F23 + ~F31 + ~F32

lo cual se anula debido a que ~Fij = −~Fji porla tercera ley de Newton.Luego tenemos que:

M ~R = M~V =∑

~F(e)i ≡ ~F (e), (4)

es decir, el centro de masa ~R se mueve comosi la fuerza externa total ~F (e) actuara en lamasa total M concentrada en la posicion ~R.Como consecuencia, el momentum total delsistema:

~P =∑

~pi =∑

mi~ri =∑

mi~vi = M ~R = M~V

es un vector constante si ~F (e) es nulo.

Momentum angular

El momentum angular total para un siste-ma de partıculas se define como:

~L =∑

~ri × ~pi,

luego su derivada temporal queda:

~L =∑

~ri × ~pi +∑

~ri × ~pi =∑

~ri × ~pi

donde el primer termino se anula porque losvectores ~ri y ~pi son paralelos, luego tenemos:

~L =∑

~ri × (~F(e)i +

∑

j

~Fij) para i 6= j

donde podemos hacer la siguiente descompo-sicion:∑

ij

~ri × ~Fij =1

2

∑

ij

(~ri × ~Fij + ~rj × ~Fji)

=1

2

∑

ij

(~ri − ~rj)× ~Fij = 0

el ultimo termino se anula puesto que el vec-tor ~ri − ~rj es paralelo al vector ~Fij .Finalmente tenemos:

~L =∑

~ri × ~F(e)i

lo cual indica que si el producto de la derechaes cero (el torque externo total) entonces elmomentum angular sera una constante. No-te que los cambios en ~L solo se deben a lasaccion de fuerzas externas.TAREA: Revisar los capıtulos 1-3 del li-

bro “Mechanics” del autor Symon.

5

Energıa

La energıa cinetica total se define como lasuma de las contribuciones individuales,

K =1

2

∑

miv2i (5)

Podemos separar esta expresion considerandola energıa asociada al movimiento del centrode masa y la energıa asociada al movimientointerno en relacion al centro de masa ~R,

K = Kcm +K ′ (6)

donde Kcm = 12MV 2 y K ′ = 1

2

∑

miv′2i , don-

de v′i es la velocidad de la i-esima partıculadel sistema medida en relacion al centro demasa.

TAREA: Obtenga la Ec.(6) a partir dela Ec.(5) cambiando el sistema de referencia,desde uno general a uno que tiene su origenen el centro de masa.

Ahora, cuando consideramos fuerzas con-servativas podemos tener dos contribuciones:

~Fi = ~F(e)i +

∑

j

~Fij para

~F(e)i = −∇iU

(e)(~ri)

~Fij = −∇ijU(~rij)

donde ∇ij denota el gradiente respecto de la

direccion ~rij = ~ri − ~rj. Recuerde que ~Fij esla fuerza que siente la partıcula i debido a laaccion de la partıcula j.

Supongamos que el sistema cambia de al-guna manera pasando de la configuracion 1a la configuracion 2, moviendo cada partıcu-la a traves de una trayectoria establecida. Eltrabajo hecho por el sistema en este caso sera:

W1→2 =∑

∫ 2

1

~Fi · d~ri

=∑

∫ 2

1

~F(e)i · d~ri +

∑

ij

∫ 2

1

~Fij · d~ri

No es difıcil notar que:

∑

ij

∫ 2

1

~Fij · d~ri =1

2

∑

ij

∫ 2

1

~Fij · (d~ri − d~rj)

= −1

2

∑

ij

∫ 2

1

∇ijU(~rij) · (d~ri − d~rj)

= −1

2

∑

ij

[U(~rij)]21

Al calcular el trabajo hecho por las fuerzasexternas notamos que, al igual que en caso deuna partıcula, encontramos la forma de unaley de conservacion:

K+∑

U (e)(~ri)+1

2

∑

ij

U(~rij) = K+U = constante

(7)TAREA: Utilizando un procedimiento

analogo al que se utiliza en el caso de unapartıcula, muestre que es posible escribir unaley de conservacion de la energıa para un sis-tema de partıculas (en terminos de la energıacinetica total y la energıa potencial total), talcomo se plantea en la Ec.(7).

Movimientos generados

por fuerzas centrales

Para estudiar movimientos generados porfuerzas centrales es conveniente usar coorde-nadas polares.

Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares es unsistema de coordenadas bidimensional en elcual cada punto en el plano esta determinadopor la distancia a un punto fijo y un angulorespecto de una direccion fija (ver Fig. 3).

Vectores unitarios

Podemos relacionar los vectores unitariosen coordenadas cartesianas, ı y , con los vec-tores unitarios en coordenadas polares, r y θ,

6

Figura 3: Los vectores denotados con un gorroson vectores unitarios (vectores de modulo 1).El vector ~r es el vector posicion de un cuerpoen el plano coordenado xy. Notamos que ~r =rr donde r = |~r| denota el modulo del vector~r y r es la direccion radial.

a partir de la geometrıa de la Fig. 3 de lasiguiente manera:

r = |r| cos θı+ |r| sin θ = cos θı+ sin θ

θ = |θ| cos(90− θ)(−ı) + |θ| sin(90− θ)

= − sin θı+ cos θ

Note que dado que los vectores unitarios r yθ cambian de direccion mientras transcurre eltiempo.

Velocidad

~v =d~r

dt=

d(rr)

dt=

dr

dtr + r

dr

dt= rr + r ˙r

= rr + rθθ (8)

TAREA: Mostrar que ˙r = θθ.

Aceleracion

~a =d~v

dt=

d2~r

dt=

d

dt

(

rr + rθθ)

= rr + r ˙r + rθθ + rθθ + rθ˙θ

= (r − rθ2)r + (2rθ + rθ)θ

TAREA: Mostrar que˙θ = −θr.

Rapidez Areolar

Figura 4: Esquema rapidez areolar

En la Fig. 4 consideremos dos posiciones deuna partıcula, en el instante t y en el instantet+∆t. ∆A es el area que barre el vector po-sicion cuando se mueve desde la posicion Q

hasta la posicion Q′.La rapidez areolar se define como:

vA =dA

dt= lım

∆t→0

∆A

∆t

Calculamos ∆A a partir de la Fig. 4 como:

∆A =1

2(r +∆r)∆h =

1

2(r +∆r)r sin∆θ

=1

2(r2 sin∆θ + r∆r sin∆θ)

Dado que nos interesa la situacion cuan-do ∆t es muy pequeno (en ese caso ∆θ tam-bien es pequeno) utilizamos la aproxima-cion de angulos pequenos, la cual indicaque sin θ ≈ θ, luego:

∆A =1

2(r2∆θ + r∆r∆θ)

Dado que ∆r y ∆θ son pequenos, el termino∆r∆θ es mucho mas pequeno que los termi-nos por separado, por lo cual es consideradoun termino de segundo orden y es despreciadoen el analisis. Finalmente, tenemos que:

vA =dA

dt= lım

∆t→0

∆A

∆t

= lım∆t→0

(

r2∆θ

2∆t

)

=1

2r2dθ

dt

=1

2r2θ

7

Fuerza central

Figura 5: Esquema de una fuerza central encoordenadas polares

Un fuerza central es un tipo de fuerza cuyadireccion pasa siempre por un punto fijo O ycuya magnitud es funcion unicamente de ladistancia r al punto O (ver Fig. 5):

~F = f(r)r

Fısicamente, tal fuerza representa una atrac-cion si f(r) < 0 o una repulsion si f(r) > 0.

Teorema

Las fuerzas centrales son conservativas.

TAREA: Demuestre que si ~F = f(r)r en-

tonces ∇ × ~F = 0, luego es posible escribir~F = −∇U y ~F serıa una fuerza conservativa.

Teorema

En un movimiento central la energıamecanica se conserva, es decir,

K + U = constante

TAREA: Mostrar que la energıa se con-serva en un movimiento central.

Teorema

Un movimiento central es un movimientoque ocurre en un plano.

Verificacion

Sea ~L0 el momentum angular con respectoa un eje que pasa por O (ver Fig. 5), entonces,

~τ0 = d~L0

dtes el torque respecto a este eje que

pasa por O. Dado que ~τ0 = ~r × ~F = rr ×f(r)r = rf(r)(r × r) = 0 entonces, d~L0

dt= 0,

es decir, ~L0 es una constante.

Por otra parte, dado que ~L0 = ~r × ~p =m~r × ~v tenemos que ~L0 es perpendicular alplano generado por ~r y ~v luego, para ~L0 cons-tante el movimiento siempre ocurrira en elplano definido por ~r y ~v, por lo tanto, un mo-vimiento central ocurre en un plano.

Ecuacion de Binet

En un movimiento central la fuerza tienesolo una componente radial, por consiguien-te, la aceleracion tambien tiene solo una com-ponente radial, es decir,

~a = arr y ~aθ = aθθ = 0

luego,

aθ = 2rθ + rθ =1

r

d

dt

(

r2θ)

=2

r

d

dt

(

r2θ

2

)

= 0

=2

r

dvA

dt= 0

Lo cual muestra que en un movimiento cen-tral la rapidez areolar vA es constante. Luegoes valido postular que θ = C

r2donde C es una

constante arbitraria.

Por otra parte, dado que r(θ) es la trayec-toria del movimiento tenemos que:

r =dr

dt=

dr

dθ

dθ

dt=

dr

dθθ

=dr

dθ

C

r2= −C

d

dθ

(

1

r

)

(9)

r =dr

dt=

dr

dθ

dθ

dt= θ

dr

dθ

= −Cθd2

dθ2

(

1

r

)

= −C2

r2d2

dθ2

(

1

r

)

8

Ahora, la ecuacion de Binet, la cual determi-na la aceleracion radial de un objeto bajo laaccion de una fuerza central queda:

ar = r − rθ2 = −C2

r2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

Por otra parte, para el momentum angularconstante ~L0 tenemos: L0 = m|~r × ~v| =|mrr × (rr + rθθ)| = mr2θ|r × θ| de dondepodemos ver que C = r2θ = L0

m, finalmente:

ar = − L20

(mr)2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

Puesto que ~F = f(r)r = marr, tenemos:

f(r) = − L20

mr2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

(10)

EJERCICIO: Muestre que la fuerza ne-cesaria para que una masa m se mueva en latrayectoria mostrada en la Fig. 6, con el cen-tro de fuerzas ubicado en el origen del sistemacoordenado xy, es dada por f(r) ∝ 1

r5

Figura 6: Ejercicio fuerzas centrales

Gravitacion Universal

En 1609 Kepler publica sus dos primerasleyes basadas en el analisis del trabajo delastronomo danes Tycho Brahe. La tercera leyfue publicada en 1619. El trabajo de Kepler

fue revolucionario puesto que va contra elpensamiento de la epoca que establecıa quelas orbitas planetarias deberıan ser cırculosperfectos con el Sol en el centro.Las leyes de Kepler establecen que:

La orbita de cada planeta es una elipse,con el Sol en uno de los focos

El radio vector que une un planeta y elSol barre areas iguales en tiempos igualeso, la velocidad areolar es constante

El cuadrado del perıodo orbital de unplaneta es directamente proporcional alcubo de la longitud del semieje mayor

En 1687 Newton publico los “PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica” donde seplantea por primera vez la Ley de Gravita-cion Universal. Esta ley establece que la fuer-za atractiva entre dos masas, debido a la ac-cion de la gravedad, es proporcional a las ma-sas (m1 y m2) e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia (r) que separa estasmasas:

F = Gm1m2

r2

La constante de gravitacion universal G esuna constante fundamental, su valor fue es-timado por primera vez un siglo despues deltrabajo de Newton. El valor actual de la cons-tante G es:

G = (6,67428± 0,00067)× 10−11[Nm2kg2]

En la Ley de Gravitacion Universal las masasson consideradas puntuales. Por otra parte,esta ley es valida unicamente cuando las ma-sas son suficientemente pequenas (o el campogravitacional no es muy intenso). En el ca-so mas general se debe utilizar la RelatividadGeneral, postulada por Einstein en 1915.La Ley de Gravitacion Universal tiene la

misma forma que la ley de Coulomb, la cualestablece el valor de la fuerza electrica entredos partıculas cargadas electricamente, am-bas fuerzas decaen con el cuadrado de la dis-tancia. La diferencia parece ser que la fuer-za electrica puede ser atractiva o repulsiva,

9

mientras que la fuerza de gravedad es soloatractiva.

Figura 7: Tycho Brahe. Johannes Kepler.Isaac Newton

Esta seccion busca mostrar que es posiblededucir las leyes de Kepler (empıricas) a par-tir de las leyes de Newton (teoricas) y el anali-sis de fuerzas centrales que hemos desarrolla-do hasta ahora.

Las leyes de Kepler

Estudiamos el movimiento de un objeto so-metido a la accion de una fuerza central atrac-tiva dependiente del inverso del cuadrado dela distancia. De acuerdo a la Ley de Gravita-cion Universal esta fuerza es dada por:

~F = − k

r2r

donde k es una constante positiva. Dada laforma simple que toma la fuerza es conve-niente usar la ecuacion de Binet en la formade la Ec.(10):

f(r) = − L20

mr2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

= − k

r2

de donde obtenemos la siguiente ecuaciondiferencial lineal ordinaria con coeficientesconstantes:

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r=

km

L20

Por conveniencia, para resolver la ecuaciondiferencial, utilizamos el cambio de variables1r

→ u:

d2u

dθ2+ u =

km

L20

Sabemos que la solucion mas general de estaecuacion diferencial es de la forma u =uh + up donde uh denota la solucion ho-mogenea y up la solucion particular. Es facilnotar que la solucion homogenea correspondea un oscilador armonico simple, mientras queuna solucion particular serıa up = km

L2

0

(cons-

tante), luego la solucion queda:

u = A cos(θ − θ0) +km

L20

Volviendo a la variable original r, obtenemos:

r =

L2

0

km

1 +AL2

0

kmcos(θ − θ0)

Finalmente, definiendo p =L2

0

km, ε =

AL2

0

kmy

eligiendo θ0 = 0 queda:

r =p

1 + ε cos θ(11)

Esta forma para r es conocida en la literatura,representa las denominadas secciones conicas,las cuales dependen del valor del parametroε, que en este contexto se denomina excentri-cidad.

Figura 8: Secciones conicas

Ahora buscamos relacionar la excentrici-dad con las diferentes constantes de movi-miento del sistema para ver que tipo de sec-cion conica nos entregan diferentes condicio-nes.

10

Recordamos que en un movimiento centralla energıa total se conserva (al igual que elmomentum angular):

E = K + U = constante

Para la energıa cinetica tenemos:

K =1

2mv2 =

1

2m(~v · ~v) = 1

2m(

r2 + r2θ2)

donde hemos usado la Ec.(8). Usando laEc.(9) y dado que L0 = mr2θ tenemos: !!

K =1

2

L20

m2

(

[

du

dθ

]2

+ u2

)

Por otra parte, podemos obtener la energıapotencial integrando la fuerza de la siguientemanera:

U =

∫

−~F · d~r = −∫

f(r)dr(r · r)

= −∫

− k

r2dr = −k

r

luego, U = −ku. Sumando K y U , ademas

de utilizar el hecho de queL2

0

mp2= k

p= mk2

L2

0

: !!

E = K + U =1

2

L20

m2

(

[

du

dθ

]2

+ u2

)

− ku

=mk2

L20

(

1

2(1 + ε2 + 2ε cos θ)− 1− ε cos θ

)

=mk2

2L20

(

ε2 − 1)

de donde obtenemos:

ε =

√

2L20E

mk2+ 1 (12)

Entonces, el movimiento de una partıcula so-metida a la accion de una fuerza central de-pendiente del inverso del cuadrado es descritopor la Ec.(11) donde la excentricidad quedadefinida por la Ec.(12).TAREA: Derive la tercera ley de Kepler

utilizando el analisis anterior.

ε Trayectoria Energıaε = 1 parabola E = 0ε > 1 hiperbola E > 0ε < 1 elipse E < 0

ε = 0 circunferencia E = −mk2

2L2

0

Cuadro 1: Clasificacion de las trayectorias (ensecciones conicas) en relacion a la energıa

Figura 9: Elipse. La suma a + b se mantieneconstante.

Ecuaciones parametricas de latrayectoria

Hasta ahora sabemos que las ecuaciones:

ar =f(r)

my aθ = 0

describen el movimiento de un cuerpo some-tido a la accion de una fuerza central. Estasecuaciones pueden reescribirse de la siguientemanera:

L0 = mr2θ (13)

E =1

2mr2 +

L20

2mr2+ U(r) (14)

Para conocer la fenomenologıa involucradacuando un sistema es sometido a una fuerzacentral debemos resolver las ecuaciones an-teriores. En principio, integrando la Ec.(13)podemos conocer el angulo θ:

θ(t) = θ0 +L0

m

∫ t

0

dt

r(t)2(15)

y considerando la Ec.(14) obtenemos:

t =

∫ r

r0

√

2

m(E − U(r))− L2

0

m2r2dr (16)

11

A partir de las Ecs.(15)-(16) podemos, enprincipio, obtener r(t) y r(θ).

Problema unidimensional equivalente

Aunque en la practica el problema que-da resuelto, las integrales (15) y (16) no sonfaciles de manejar. Generalmente, en un casoconcreto resulta mas sencillo realizar la inte-gracion de otra manera. Estudiemos el casogeneral sin hacer uso de una determinada leyde fuerza.Consideremos un movimiento unidimensio-

nal a lo largo del eje x debido a la accion deuna fuerza ~F = ~F (x). Si ~F es conservativa,entonces:

x =

√

2

m(E − U)

de donde vemos que:

t =

∫ x

x0

√

2

m(E − U)dx (17)

Comparando las Ecs.(16) y (17) notamosla gran similitud entre el problema de fuerzascentrales y el problema unidimensional. Estasimilitud motiva la siguiente definicion de unpotencial efectivo Uef como:

Uef = U(r) +L20

2mr2

de modo que ahora tenemos:

E =1

2mr2 + Uef (18)

El termino Uc =L2

0

2mr2es parte de la energıa

cinetica y no es potencial en el sentido usual,pero podemos asociarlo a una energıa po-tencial debido a que es un termino que nodepende de la velocidad (L0 es constanteen un movimiento central). El termino Uc

es la energıa potencial asociada a la fuerzacentrıfuga (fuerza aparente que percibe unobservador en un sistema de referencia noinercial) y se denomina potencial centrıfugo.Notamos que la fuerza asociada a este poten-cial es de la forma Fc = mrθ2 !!.

Lımites de la region de movimiento

Los lımites de la region de movimiento sonlos valores de r para los cuales se cumple que:

E = Uef o r = 0

r = 0 define un punto de retorno de la trayec-toria. Si existe un valor mınimo de r tal quer > rmin entonces el movimiento es infinito,es decir, la trayectoria comienza y termina enel infinito.Si existe rmin y rmax, entonces el movimien-

to es finito, lo cual no necesariamente significaque la trayectoria sea cerrada.Ejercicio: Muetre que la rapidez de una

partıcula en cualquier punto de una trayecto-ria parbolica es

√2 veces la rapidez en alguna

orbita circular que pasa por el mismo punto.

Metodo del potencial efectivo

Examinemos el caso de una fuerza del ti-po f(r) = − k

r2(el potencial correspondiente

sera U = −kr). El analisis cualitativo se lleva

a cabo en un grafico Uef versus r.La barrera centrıfuga impide que la

partıcula caiga al centro de fuerzas, cualquie-ra que sea la energıa que ella tenga. Esta ba-rrera es repulsiva siempre que L0 6= 0.La region permitida para el movimiento

queda delimitada por la condicion E > Uef ,la cual proviene de la Eq.(18).Estudiemos las diferentes situaciones que

se presentan cuando estudiamos un potencialefectivo del tipo:

Uef = −k

r+

L20

2mr2

Caso k = 0 y L0 6= 0: corresponde al ca-so 1 en la Fig. 10, en el cual el potencialefectivo coincide con el potencia centrıfu-go. Solo se presenta cuando L0 6= 0. Unapartıcula se acerca al origen desde el in-finito y se encuentra con una barrera enr = r3, de modo que r > r3. En este casola partıcula se mueve en lınea recta pues-to que no hay una fuerza neta. Recuerde

12

que el momentum angular depende de laeleccion de sistema coordenado.

Caso k < 0 y L0 = 0: corresponde alcaso 2 en la Fig. 10. La partıcula prove-niente del infinito se encuentra con unabarrera en r = r5 debido a un potencialrepulsivo.

Caso k > 0 y L0 = 0: corresponde al caso3 en la Fig. 10. En este caso la partıculaesta confinada a moverse en una regiondonde r < r5. Se trata de orbitas acota-das en un potencial atractivo.

Caso k > 0 y L0 6= 0: corresponde al caso4 en la Fig. 10. En este caso existen tresposibilidades:

• Orbitas abiertas con energıas del ti-po E1, donde se presenta una barre-ra para un valor de r.

• Orbitas acotadas con energıas deltipo E2 donde el objeto puede mo-verse en la region r1 < r < r4. No-te que en este caso particular lasorbitas son cerradas pero en gene-ral podrıan ser solo acotadas y nocerradas.

• Orbitas con r constante (cırculos)para la energıa E3.

Los puntos de retorno de la trayectoria co-rresponden a puntos donde r = 0, es decir,puntos donde E = Uef o los puntos de inter-seccion entre las lıneas horizontales represen-tando las energıas y las curvas representandoel potencial efectivo.

Movimiento de dos cuerpos enun potencial central

Hasta ahora hemos asumido que unapartıcula de masa m se mueve debido a lapresencia de un potencial central. Sin embar-go, este tipo de movimiento generalmente in-volucra dos masas, m1 y m2, que interactuanmutuamente en ausencia de fuerzas externas.

Figura 10: Metodo del potencial efectivo

Para analizar la dinamica de este sistema departıculas estudiamos las relaciones entre losvectores definidos en la Fig. 11.Respecto de un SR O el vector centro de

masa es dado por ~R (Fig. 11), mientras quelos vectores ~r1 y ~r2 se relacionan mediante:~r = ~r1 − ~r2.

De la definicion de centro de masa (Eq.(3))podemos facilmente notar que:

~r1 = ~R +m2~r

My ~r2 = ~R− m1~r

M

donde M = m1 +m2.Por otra parte, para un sistema de partıcu-

las la aceleracion del sistema se debe uni-camente a la presencia de fuerzas externas,

si estas no estan presentes ~R = 0, Eq.(4).Ademas, en ausencia de fuerzas externas:

m1~r1 = −∇1U(r) = −dU

dr

(

~r1 − ~r2

r

)

m2~r2 = −∇2U(r) = −dU

dr

(

~r2 − ~r1

r

)

Combinando las relaciones anteriores final-mente obtenemos:

µ~r = −dU

drr

donde µ = m1m2

M. Esta ultima ecuacion reduce

la dinamica del sistema de dos partıculas aun sistema de una partıcula equivalente, pero

13

Figura 11: Movimiento de dos cuerpos en unpotencial central

reemplazando la masa de la partıcula por lamasa reducida µ del sistema .La energıa cinetica en torno al centro de

masa K ′ en la Eq.(6) sera:

K ′ =1

2m1r

′21 +

1

2m2r

′22

donde prima denota una cantidad medida enun SR que tiene su origen en el centro de masa(cm). Dado que:

~r′1 = ~r1 − ~R y ~r′2 = ~r2 − ~R

tenemos:

~r′1 = ~r1 −m1~r1

m1 +m2

− m2~r2

m1 +m2

=m2(~r1 − ~r2)

m1 +m2

=µ~r

m1

y ~r′2 = − µ~rm2

. Finalmente obtenemos,

K ′ =1

2µr2

Scattering

Consideremos orbitas abiertas donde laenergıa es positiva, en particular, orbitas hi-perbolicas. Una hiperbola se define matemati-camente como la figura geometrica que cum-ple con d′ − d = ±2a (ver Fig. 12), donde

Figura 12: Trayectorias hiperbolicas

el signo positivo es para la rama derecha enla figura y el signo negativo es para la ramaizquierda. Las distancias d′ y d son las distan-cias entre un punto en la hiperbola y cada unode los focos F y F ′ en la figura. La suma deestas distancias debe ser igual a la separacionmınima entre las dos ramas de la hiperbola.De la geometrıa de la Fig. 12 notamos que:

d sin θ = d′ sin β

d cos θ = d′ cos β − 2f

Ejercicio: Combinando estas relaciones en-contramos que:

f 2 + rf cos θ = ar + a2

donde hemos escogido un SR centrado en F ,luego r = d.Por otra parte, geometricamente, para las

secciones conicas tenemos que la excentrici-dad ε se define a partir de la relacion f = aε.Luego, en terminos de la excentricidad, la re-lacion que define la elipse queda:

r =a(ε2 − 1)

1− ε cos θ

Reduerde que el caso de una hiperbola co-rresponde a ε > 1. Comparando esta ultimaexpresion con la que habıamos obtenido pa-ra el caso de una seccion conica en general

(Eq.(11)) tenemos que a(ε2 − 1) = p =L2

0

kµ.

14

De esta relacion notamos que, dado que ε > 1,k > 0 (potenciales atractivos) corresponden ala rama derecha de la hiperbola, mientras quek < 0 (potenciales repulsivos) correspondena la rama izquierda de la hiperbola.Para calcular la energıa asociada al sistema

(constante), podemos considerar el caso par-ticular de la energıa asociada a una partıculaque se encuentra en infinito !!:

E =1

2µr2 +

L20

2µr2− k

r≈ 1

2µr2

=1

2µ

(

pε sin θ

(1− ε cos θ)2L0

µr2

)2

=1

2µ

(

ε sin θL0

pµ

)2

=ε2 sin2 θk2µ

2L20

= · · · = k2µ

2L20

(ε2 − 1)

De aquı notamos que es posible escribir laexcentricidad en terminos de la energıa como:

ε =

(

1 +2L2

0E

k2µ

)1/2

Ademas, considerando que la energıa en elinfinito y el momentum angular en el infini-to son dados por: E = 1

2µv2

∞y L0 = µv∞b

respectivamente TAREA, encontramos que:

ε =

√

1 +

(

µv2∞b

k

)2

Por otra parte, la mınima distancia de acer-camiento es dada por:

rmin = f − a = (ε− 1)a =

√

ε− 1

ε+ 1b

Entonces, de acuerdo a los esperado, rmin seincrementa cuando v∞ se incrementa, esto es,los objetos que se mueven mas rapido se de-flectan menos.Para algunas aplicaciones es muy impor-

tante poder determinar el angulo de deflexionξ en la Fig. 12, el cual corresponde a la dife-rencia angular entre la direccion inicial y ladireccion final.

De la Fig. 12 notamos que ξ = π−2α, luegotenemos:

cotξ

2= tanα =

√ε2 − 1 (19)

donde hemos usado: cosα = 1ε, TAREA.

Notamos que:

v2∞b → ∞ indica ξ → 0

v2∞b → 0 indica ξ → π

Seccion eficaz de scattering

El analisis anterior es valido para un poten-cial gravitacional, es decir, para el comporta-miento de objetos macroscopicos. Es intere-sante notar que en el mundo microscopico losmismos conceptos son validos para partıculasdeflectadas por un potencial.En el caso microscopico, generalmente te-

nemos un haz de partıculas incidente. Carac-terizamos este haz con el flujo F el cual co-rresponde al numero de partıculas que atra-viesa una area transversal unitaria en unaunidad de tiempo.La cantidad experimental realmente im-

portante es el numero de eventos por unidadde tiempo que se describe mejor mediante laseccion eficaz diferencial dσ,

N partıculas

dt= Fdσ

Consideremos como ejemplo la deflexionelastica de un flujo de partıculas que atraviesael area que se muestra tachada a la izquier-da en la Fig. 13. El numero de partıculas porunidad de tiempo que pasa a traves del areatransversal asociada 2πbdb es 2πbdbF . La si-metrıa axial indica que todas las partıculasdeflectadas atravesaran la region que se mues-tra tachada del lado derecho. Note que b y θ

estan relacionados por una funcion del tipode la Ec.(19).La seccion eficaz de scattering es por defi-

nicion:

F 2πbdb = Fdσ

15

El area de la porcion de esfera a la derecha esdada por dA = 2πR2 sin θdθ. El angulo solidocorrespondiente en el cual las partıculas sondefectadas sera:

dΩ =dA

R2= 2π sin θdθ

Notamos que:

dσ

dΩ=

b

sin θ|dbdθ

|

la cual se conoce como seccion eficaz de scat-tering diferencial. La seccion eficaz de scatte-ring total se obtiene integrando:

σT =

∫

dΩdσ

dΩ

Figura 13: Seccion eficaz de scattering

Finalmente note que σ tiene unidades dearea y Ω es adimensional, mide angulos bidi-mensionales en espacios tridimensionales. Susunidades en el SI son estereorradian.

Sistemas de coordenadas

aceleradas

El analisis de dos partıculas interactuan-tes se vuelve particularmente simple para unobservador que se mueve con el centro de ma-sa, debido a que en ese sistema de referencia

(SR) el movimiento se reduce al movimientoequivalente de un cuerpo.

En otros SR la descripcion es mas compli-cada, aunque a veces es preferible trabajar enel SR del observador. Por ejemplo, al estudiaralgun fenomeno donde la rotacion de la Tie-rra no puede ser despreciada.

Coordenadas rotantes

Considere dos sistemas coordenados (SC)ortonormales, e0i y ei, con origen comunrotando uno respecto del otro. Un observadoren el SC e0i ve que los vectores e0i son fijos,mientras que los vectores ei se mueven. Delmismo modo, un observador en el SC ei veque los vectores ei son fijos mientras que losvectores e0i se mueven. Note que los vectoresei y e0i denotan dos trıadas de vectores,unitarios y ortogonales entre sı. Ambos con-juntos de vectores ortonormales definen unabase para expandir vectores.

Escojamos el SC e0i como un SC inercial(SCI), luego ei describira un SC no inercial(SCNI), puesto que rota respecto del primero.

Un vector general ~X puede describirse me-diante sus componentes en cada uno de lossistemas coordenados,

~X =3∑

i=1

X0i e

0i donde X0

i = ~X · e0i

~X =3∑

i=1

Xiei donde Xi = ~X · ei

Al considerar la tasa de cambio temporalde este vector en uno u otro sistema coorde-nado se debe tener en cuenta que un vectorconstante en el tiempo en un SC girara enel otro sistema coordenado. Como consecuen-cia, la derivada temporal de un vector dadosera diferente en los dos sistemas. Supongaque un observador en el SCI ve como ~X cam-

16

bia en el tiempo:(

d ~X

dt

)

SCI

=3∑

i=1

dX0i

dte0i

(

d ~X

dt

)

SCI

=3∑

i=1

dXi

dtei +

3∑

i=1

Xidei

dt

Las expresiones anteriores dejan de manifies-to el hecho de que el observador inercial veque los vectores e0i son fijos, mientras que losvectores ei varıan en el tiempo. Note que eltermino

∑3i=1

dXi

dtei es lo que medirıa, para el

cambio en el tiempo del vector ~X, un obser-vador que se mueve con el SCNI, luego:(

d ~X

dt

)

SCI

=

(

d ~X

dt

)

SCNI

+3∑

i=1

Xidei

dt(20)

Rotaciones infinitesimales

Para analizar con mas detalle el terminodeidt

en la Ec.(20) evaluamos lo que ocurre conuna rotacion cuando consideramos intervalosde tiempo infinitesimales:

ei(t+ dt) = ei(t) + dei

Dado que los vectores ei son vectores ortonor-males tenemos que ei · ej = δij , donde δij es lafuncion delta de Kronecker. Luego, podemosnotar que :

ei · dei = 0 (21)

dei · ej = dej · ei (22)

Por otra parte, dado que ei constituyeuna base para expandir vectores tenemos:

dei =3∑

i=1

dΩij ej

donde dΩij son coeficientes infinitesimales.De las Eqs.(21) y (22) notamos que: dΩii =

0 y dΩij = −dΩji luego podemos redefinir loscoeficientes dΩij de la siguiente manera:

dΩ1 = dΩ23 = −dΩ32

dΩ2 = dΩ31 = −dΩ13

dΩ3 = dΩ12 = −dΩ21

Con esta nueva notacion es posible escribirdei de manera mas compacta como:

dei = d~Ω× ei

El vector d~Ω =∑

i d~Ωi =

∑

i dΩiei se in-terpreta como una rotacion infinitesimal ob-tenida combinando rotaciones infinitesimalesd~Ωi = dΩiei en torno a cada uno de los 3 ejes.A estas rotaciones infinitesimales puede

asignarseles una direccion a lo largo del ejede rotacion y una magnitud igual a la canti-dad infinitesimal de rotacion en torno a eseeje.Ejemplo: Consideremos una rotacion en

torno al eje definido por el vector e1, d~Ω =d~Ω1 = dΩ1e1 (Fig. 14). En este caso tenemos:

de1 = d~Ω1 × e1 = 0

de2 = d~Ω1 × e2 = dΩ1e3

de3 = d~Ω1 × e3 = −dΩ1e2

Figura 14: Rotaciones infinitesimales

Dado que dei = d~Ω× ei, en un elemento detiempo dt el cambio en ei es dado por:

dei =dei

dtdt =

d~Ω

dt× eidt = (~ω × ei) dt

donde ~ω = d~Ωdt

es el vector velocidad angularinstantanea del SCNI (rotante) vista desde elSCI. La direccion de este vector es a lo largodel eje de rotacion d~Ω y su magnitud es larapidez angular.

17

Finalmente, la Ec.(20), que relaciona la va-

riacion temporal de un vector ~X en ambossistemas coordenados, queda:(

d ~X

dt

)

SCI

=

(

d ~X

dt

)

SCNI

+3∑

i=1

Xi (~ω × ei)

(

d ~X

dt

)

SCI

=

(

d ~X

dt

)

SCNI

+ ~ω × ~X (23)

Dado que la ecuacion (23) es valida paracualquier vector, podemos aplicarla para de-terminar la variacion temporal del vector ω,para lo cual obtenemos:

(

d~ω

dt

)

SCI

=

(

d~ω

dt

)

SCNI

luego, dos observadores, uno fijo en el SCI yel otro en el SCNI coinciden al determinar lavariacion temporal de ω.

Aceleracion

Al considerar la variacion temporal del vec-tor posicion en ambos sistemas coordenadostenemos:

~vSCI =

(

d~r

dt

)

SCI

=

(

d~r

dt

)

SCNI

+~ω×~r (24)

Si derivamos la ecuacion anterior respecto deltiempo obtenemos la relacion entre las acele-raciones de ambos sistemas,(

d2~r

dt2

)

SCI

=d

dt

(

d~r

dt

)

SCI

=

(

d~vSCI

dt

)

SCI

=

[(

d

dt

)

SCNI

+ ~ω×]

~vSCI

=

(

d2~r

dt2

)

SCNI

+ 2~ω ×(

d~r

dt

)

SCNI

+d~ω

dt× ~r + ~ω × (~ω × ~r) (25)

Traslaciones

Hasta ahora hemos considerado dos siste-mas coordenados con el origen comun, gene-ralicemos la descripcion para incluir trasla-ciones del origen. Consideremos un SCI con

ejes (x0, y0, z0) y un sistema de coordenadasmoviles (en general rotante) con ejes (x, y, z)y el origen de este sistema ubicado en el pun-to ~A, ver Fig.(15). La aceleracion traslacionalde los ejes moviles queda:

(

d2~r0

dt2

)

SCI

=

(

d2~r

dt2

)

SCI

+

(

d2 ~A

dt2

)

SCI

donde ~r0 = ~r + ~A. El primer termino de laderecha en la expresion anterior correspondeal termino calculado en la seccion anterior,esto es, el cambio en el vector ~r observadoen el SCI y en el SCNI difiere solo debido ala rotacion del SCNI, aun cuando este puntoeste acelerando.

Figura 15: Traslacion y rotacion de dos SC.

~ω es el vector velocidad instantanea delSCNI respecto del sistema coordenado conorigen en ~A y cuyos ejes son paralelos a losejes del SCI, (x0, y0, z0).

Leyes de Newton

Sabemos que la segunda ley de Newton esvalida en sistemas de referencia inerciales, es-to es:

m

(

d2~r0

dt2

)

SCI

= ~F (e)

18

luego al comparar ambos sistemas coordena-dos tenemos:

m

(

d2~r

dt2

)

SCNI

= ~F (e) −m

(

d2~a

dt2

)

SCI

−2m~ω ×(

d~r

dt

)

SCNI

−m~ω × (~ω × ~r)−md~ω

dt× ~r

Ejemplo: Consideremos una partıcula quese mueve en una trayectoria circular. Descri-bamos el movimiento de esta partıcula condos sistemas coordenados con origen comun,uno cartesiano y uno polar. El sistema decoordenadas polar esta fijo a la partıcula querota de modo que, en este sistema el valordel radio de la partıcula es fijo, ası como suposicion angular.

Figura 16: Ejemplo

Hemos visto que las relaciones entre losvectores unitarrios son dadas por:

r = cos θx+ sin θy

θ = − sin θx+ cos θy

luego es facil notar que en un sistema de refe-rencia inercial el vector posicion es dado por:

~r = r cos θx+ r sin θy = rr

~v = (−r sin θx+ r cos θy)θ = rωθ

~a = −r(cos θx+ sin θy)θ

−r(sin θx− cos θy)θ

= −rω2r + rωθ

En el SCNI (que rota con la partıcula con lamisma rapidez angular ω = θ) la posicion dela partıcula es fija y los vectores unitarios r yθ tambien, luego en ese sistema, la velocidady aceleracion son nulas.Al comparar estas relaciones con las

Eqs.(24) y (25) notamos que hay consisten-cia entre ellas puesto que

(

d~rdt

)

SCNI= 0 y

(

d2~rdt2

)

SCNI= 0 donde ~ω es un vector con

modulo ω y que apunta hacia afuera del planosi el sentido de giro es contrario al de las agu-jas del reloj y hacia adentro del plano si elsentido de giro es en el sentido de las agujasdel reloj.

Movimiento en la superficie de laTierra

El movimiento de la Tierra tiene dos com-ponentes principales, la rotacion en torno a sueje y la traslacion en torno al Sol. Considera-mos que estos movimientos tienen un perıodoaproximadamente constante y determinamossu rapidez angular como:

ωr =2π

1 dıa≈ 7,27× 10−5 [s]−1

ωt =2π

1 ano≈ 1,99× 10−7 [s]−1

Consideremos un SCI fijo en el centro delSol y un SCNI fijo en el centro de la Tierra,luego tenemos:

m

(

d2~r

dt2

)

SCNI

= ~F (e) −m

(

d2 ~A

dt2

)

SCI

−2m~ω ×(

d~r

dt

)

SCNI

−m~ω × (~ω × ~r)

donde ~A es el radio de la trayectoria aproxi-madamente circular que sigue el Sol en tornoa la Tierra y ~ω = ~ωt+~ωr es la velocidad angu-lar asociada al SC fijo a la Tierra (asumida

constante). La fuerza ~F (e) incluye la fuerzagravitacional que ejerce el Sol, la fuerza gra-vitacional que ejerce la Tierra y en general,cualquier otra fuerza externa involucrada.

19

El campo gravitacional del Sol es muchomenos intenso que el campo gravitacional dela Tierra sobre la superficie de la Tierra (porun factor del orden de 103). Por otra parte,la aceleracion del centro de la Tierra respecto

del centro del Sol (d2 ~Adt2

) es aproximadamenteigual a la fuerza gravitacional que ejerce elSol sobre la Tierra, luego estos terminos secancelan entre sı. Por otra parte, la contri-bucion a la rapidez angular del termino ωr esaproximadamente 103 veces mayor que ωt. Fi-nalmente, la ecuacion aproximada para des-cribir el movimiento de una partıcula sobre lasuperficie de la Tierra respecto de un SCNIubicado en el centro de la Tierra sera:

m

(

d2~r

dt2

)

T

= ~Fg + ~F ′

−2m~ω ×(

d~r

dt

)

T

−m~ω × (~ω × ~r)(26)

donde hemos separado las contribuciones delas fuerzas externas en la fuerza de gravedad~Fg y otras contribuciones ~F ′. Recuerde que elvector ~r es medido respecto del centro de laTierra, ver Fig. 15. Note que hemos cambia-do el subındice SCNI por T para denotar elSCNI fijo al centro de la Tierra.

Partıcula estacionaria en la su-perficie de la Tierra

En este caso la Ec.(26) queda:

~Fg + ~F ′ −m~ω × (~ω × ~r) = 0

~F ′ +m~g = 0

donde hemos definido una aceleracion de gra-vedad corregida ~g:

~g = −GMT

r2r − ~ω × ~ω × ~r

Notamos que en general, ~g no se dirige exacta-mente al centro de la Tierra, esto solo ocurreen los polos (donde el vector ~ω es paralelo alvector ~r).En el ecuador, donde ~ω es perpendicular a

~r tenemos: ~g = (−g0 + ω2Re)r

Note que hemos asumido que la Tierra tie-ne una forma esferica y que su orbita en tornoal Sol es aproximadamente circular. Estas su-posiciones no son del todo ciertas, luego loscalculos aquı desarrollados constituyen apro-ximaciones a la descripcion real.Tarea: Encuentre un a expresion para el

termino ~ω×~ω×~r. Utilice la relacion que existeentre los vectores unitarios en coordenadascartesianas y coordenadas esfericas.

Caıda libre

Consideremos una partıcula que cae libre-mente sobre la superficie de la Tierra con ve-locidad ~v:

m~v = −2m~ω × ~v +m~g (27)

donde ~F ′ = 0 porque solo actua la grave-dad para una partıcula que cae libremente.Si la Tierra fuera estacionaria la partıculacaerıa directamente hacia abajo (si desprecia-mos las correcciones presentes en ~g). Debido ala fuerza de Coriolis, el punto donde terminala partıcula esta desplazado por una cantidadproporcional a ω. Note que solo estamos con-siderando terminos que son lineales en ω.Dado que la Ec.(27) solo contiene termi-

nos r y r podemos cambiarnos a un sistemacon origen sobre la superficie de la Tierra. Es-cogemos un sistema x, y, z donde estos ejesapuntan al sur, al este y verticalmente haciaarriba, respectivamente.Supongamos que la partıcula es soltada

desde una altura ~r(0) = hz RT z con ve-locidad inicial cero, ~v0 = 0. Es convenienteutilizar un analisis perturbativo,

~r(t) = ~r0(t) + ~r1(t)

donde ~r0(t) describe la trayectoria en una Tie-rra que no rota y ~r1 incorpora pequenas co-rrecciones proporcionales a ω. Considerandoesto en la Ec.(27) obtenemos que:

~r0 + ~r1 = ~g − 2~ω × ~r0

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Figura 17: Cambio a un SR sobre la superficie

de donde notamos que ~r1 = −2~ω × ~gt, dadoque ~r0 = ~g.Finalmente tenemos Tarea:

~r1(t) =1

3~ωgt3 sin θy

~r(t) = (h− 1

2gt2)z +

1

3~ωgt3 sin θy

De este resultado notamos que,

El movimiento vertical es independientede ~ω a primer orden

La partıcula se deflecta hacia el este

El efecto es el mismo en el hemisferionorte y en el hemisferio sur

El efecto es nulo en los polos.

Tarea: Discuta como se compara estadesviacion con el sentido de rotacion dela Tierra

Movimiento horizontal

Al considerar una partıcula con el angulo θ

fijo (Fig. 17) que se mueve con una velocidadhorizontal ~v dirigida en un angulo φ en el sen-tido positivo desde la direccion sur, tenemos:

~ω = ω cos θz − sin θx

~v = v(cosφx+ sinφy)

Luego, al calcular la contribucion de la fuerzade Coriolis tenemos:

~FCor = −2m~ω × ~v

= 2mωv(cos θ(sinφx− cosφy) + sin θ sinφz)

Para una partıcula en el hemisferio norte(cos θ > 0) tenemos los siguientes resultados:

Para una partıcula que se mueve al norte(φ = π) entonces la fuerza ~FCor = FCory

Para una partıcula que se mueve al sur(φ = 0) entonces la fuerza ~FCor =−FCory

Luego, de acuerdo con la Fig. 17, en el he-misferio norte, una partıcula que se mueveal norte se desvıa al este mientras que unapartıcula que se mueve al sur se desvıa la oes-te.Dado que en el hemisferio sur (cos θ < 0)

los efectos se revierten.

Pendulo de Focault

Una de las demostraciones mas interesan-tes de la rotacion de la Tierra es lo que leocurre al pendulo de Focault. El plano de os-cilacion del pendulo rota lentamente con unperıodo comparable a un dıa. Tarea:Mostrarmatematicamente que el plano de oscilaciondel pendulo de Focault cambia en el tiempodebido a la rotacion de la Tierra.

Dinamica Lagrangiana

El objetivo de esta seccion es suministraruna tecnica alternativa a las ecuaciones deNewton para resolver problemas de mecanica.En muchos casos, el movimiento de una

partıcula esta restringido por uno o masvınculos que reducen el numero de grados delibertad del movimiento. Los vınculos ejercenfuerzas sobre la partıcula para mantener sumovimiento restringido. Estas fuerzas vincu-lares pueden ser complicadas debido a que de-penden de la trayectoria de la partıcula. Es

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util formular la mecanica clasica eliminandolas fuerzas vinculares completamente.

Definiciones

Ligaduras y fuerzas vinculares

Las ligaduras o vınculos son modelos (lıneasy superficies) que representan cualquier obje-to que restringe o limita el movimiento de unsistema bajo estudio.

Las fuerzas vinculares son fuerzas que re-emplazan al vınculo con su mismo efecto, porejemplo, la fuerza normal.

Ejemplos:

Pendulo simple: la partıcula es un objetovinculado por los objetos cuerda y plano,ambos restringen el movimiento del ob-jeto, luego son vınculos para el sistema.

Las moleculas de un gas en un deposi-to rıgido es un sistema vinculado. El re-cipiente obliga a las moleculas de gas amoverse en el interior, luego el recipientees un vınculo.

Clasificacion de vınculos

1. Vınculos holonomos: son vınculos sus-ceptibles a expresarse de la formaf(x1, x2, x3, t) = c.

2. Vınculos anholonomos: son vınculos NOsusceptibles a expresarse de la formaf(x1, x2, x3, t) = c.

3. Vınculos escleronomos: son vınculos queno dependen del tiempo

4. Vınculos reonomos: son vınculos que de-penden explıcitamente del tiempo.

Como ejemplo, un vınculo holonomo y es-cleronomo estarıa presente para una partıculaque se mueve en una circunferencia de radioL, x2 + y2 = L2.

Grados de libertad

Los grados de libertad corresponden alnumero de coordenadas independientes. Porejemplo,

Para una partıcula libre, no vinculada osin restricciones en su movimiento exis-ten 3 grados de libertad asociados.

En el caso de una partıcula que se muevesobre una superficie tenemos 2 grados delibertad y 1 vınculo.

Si tenemos una partıcula confinada a mo-verse en la interseccion de dos planos,tendremos 1 grado de libertad y 2 vıncu-los.

Consideremos un sistema de N partıculassometida a m vınculos holonomos descritospor f(~xi) = 0. Para definir la configuraciondel sistema necesitamos en principio 3N coor-denadas (3 por cada partıcula). Por otra par-te, tenemos vınculos holonomos expresadospor m ecuaciones, las cuales pueden ser utili-zadas para eliminarm de las 3N coordenadas,esto es, quedaran 3N −m coordenadas inde-pendientes. En este caso podemos decir queel sistema tiene 3N−m grados de libertad, esdecir, de las 3N coordenadas existen 3N −m

que son independientes.Ejemplo: Una partıcula que se mueve en

un plano Ax + By + Cz + D = 0 pue-de moverse libremente en y y z puesto quex = −By−Cz−D

A. Esto es, la partıcula tiene dos

grados de libertad.

Fuerzas activas

Son fuerzas externas conocidas, es decir, sesabe quien las ejerce.

Desplazamientos virtuales

La posicion de una partıcula en mecanicade Newton esta definida con respecto a unsistema de referencia inercial de 4 variables~x(t) = (x1, x2, x3, t).

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Los mecanicistas encontraron convenienteimaginar, y por tanto definir desplazamien-tos puramente geometricos que se producenfuera del tiempo y son conocidos como des-plazamientos virtuales.La notacion que utilizaremos sera: d~x pa-

ra desplazamientos reales y δ~x para desplaza-mientos virtuales.

Figura 18: Ejemplo de desplazamientos vir-tuales

Ejemplo: En la Fig. 18 el tornillo esta enequilibrio, es decir, no tiene grados de liber-tad. Esto implica que no puede tener ningundesplazamiento fısico d~x.Nada me impide “imaginar” que el tornillo

se puede mover, por ejemplo, a las posicionesA o B. Estos desplazamientos, δ~x(O → A)o δ~x(O → B) son ejemplos de desplazamien-tos virtuales.Los desplazamientos virtuales siempre son

infinitesimales e instantaneos.

Clasificacion de desplazamientosvirtuales

Figura 19: Ejemplo de desplazamientos vir-tuales

En la Fig. 19 supongamos que el objeto A

esta en reposo sobre la mesa H. Demos al ob-jeto A dos desplazamientos virtuales segun la

direccion de la recta L, sean ellos δ~x(A → B)y δ~x(A → C). Estos desplazamientos virtua-les pueden tambien ser imaginados en el sen-tido inverso: δ~x(B → A) y δ~x(C → A).

Ademas de estos desplazamientos podemosimaginar otros, por ejemplo el desplazamien-to virtual δ~x(A → P ), el cual eleva el objetoA por encima de la mesa o el desplazamientoδ~x(A → Q) que baja el objeto por debajo dela mesa (en la practica deberıamos destruir lamesa).

Clasificacion

Desplazamientos virtuales compatiblescon los vınculos: son aquellos que res-petan la condicion de vınculo. Por ej:δ~x(A → B) y δ~x(A → C).

Desplazamientos virtuales incompatiblescon los vınculos: son aquellos que no res-petan la condicion de vınculo. Por ej:δ~x(A → P ) y δ~x(A → Q).

Desplazamientos virtuales invertibles:son aquellos que se pueden realizar enuno u otro sentido y son compatibles conlos vınculos.

Desplazamientos virtuales no invertibles.

Trabajo Virtual

Sabemos que el trabajo realizado por unafuerza ~F en un desplazamiento d~x es dadopor dW = ~F · d~x. Analogamente, el trabajovirtual δW realizado por una fuerza ~F en undesplazamiento virtual δ~x es:

δW = ~F · δ~x

Partıcula libre en equilibrio

Consideremos una partıcula libre en equili-brio, luego se tiene

∑

~Fi = 0. Si δ~x es un des-plazamiento virtual de la partıcula, entonces,δW =

∑

~Fi · δ~x = 0.

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El trabajo virtual de las fuerzas externasaplicadas sobre una partıcula libre (no vin-culada) en equilibrio es cero, cualquiera seael desplazamiento virtual de la partıcula.

Partıcula vinculada en equilibrio

En la Fig. 21 hemos reemplazado los vıncu-los por sus reacciones vinculares, ~φi.Consideremos una partıcula en equilibrio,

sometida a la accion de N fuerzas activas ~Fa

y M reacciones vinculares ~φp, en ausencia deroce.

Figura 20: Partıcula libre en equilibrio

Figura 21: Partıcula vinculada en equilibrio

De la segunda ley de Newton aplicada alequilibrio tenemos:

∑

~Fi+∑

~φp = 0. Si apli-camos a la partıcula un desplazamiento vir-tual δ~x entonces el trabajo virtual sera:

δW =(

∑

~Fi +∑

~φp

)

· δ~x = 0

Si definimos:

δW (a) =∑

~Fi · δ~x

δW (φ) =∑

~φp · δ~x

donde δW (a) es el trabajo virtual realizadopor las fuerzas activas y δW (φ) es el trabajo

virtual realizado por las reacciones vincula-res, tenemos:

δW = δW (a) + δW (φ) = 0

⇒ δW (a) = −δW (φ)

Figura 22: Ejemplo

Consideremos como ejemplo, el caso en elque el trabajo virtual realizado por las reac-ciones vinculares se hace cero. Por definicion,las reacciones vinculares vienen dadas por lasuma de la fuerza normal ( ~N) y la fuerza de

roce (~fr), dado que en nuestro caso ~fr es cero

tenemos que ~φ = ~N . De la Fig. (22) notamosque:

δ~x1: compatible con el vınculo dado quees paralelo a H

δ~x2: incompatible con el vınculo

δ~x3: incompatible con el vınculo

δ~x4: incompatible con el vınculo

Luego, el trabajo virtual debido a cada unode estos desplazamientos queda:

δ~x1 : δW = ~φp · δ~x1 = 0

δ~x2 : δW = ~φp · δ~x2 > 0

δ~x3 : δW = ~φp · δ~x3 > 0

δ~x4 : δW = ~φp · δ~x4 < 0

Entonces, el trabajo virtual realizado por lasreacciones vinculares, en ausencia de roce,puede ser positivo, negativo o nulo.Tambien podemos observar que el trabajo

virtual es diferente de cero cuando los des-plazamientos virtuales son incompatibles con

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los vınculos. Por otra parte, el trabajo virtualde las reacciones vinculares, en ausencia deroce, es cero para desplazamientos virtualescompatibles con los vınculos.Ası, para desplazamientos virtuales compa-

tibles con los vınculos tenemos:

δW (φ) = −δW (a) = 0

Teorema: En ausencia de roce, el traba-jo virtual de las fuerzas activas aplicadas auna partıcula vinculada es igual a cero, pa-ra desplazamientos virtuales compatibles conlos vınculos.Al usar el principio de trabajos virtuales en

presencia de roce, consideramos a la normal~N como una reaccion vincular y a la fuerzade roce como una fuerza activa.

Reacciones vinculares

Hipotesis: La reaccion vincular ~φp essiempre perpendicular a la superficie de con-tacto.Supongamos que el vınculo es un vınculo

holonomo, es decir, es un vınculo que pue-de expresarse mediante una ecuacion del tipof(x1, x2, x3) = 0. Un vector normal al vınculoes el gradiente a dicho vınculo ∇f .La hipotesis puede ser expuesta matemati-

camente como:

~φ = λ∇f

luego tenemos:

~F + λ∇f = 0

puesto que δW = 0 y δ~x 6= 0Tarea: Encuentre las ecuaciones diferen-

ciales que describen el movimiento de unpendulo simple y de un pendulo doble, paraello utilice la dinamica de Newton. Determi-ne el numero de grados de libertad en cadacaso.

Principio de D’ Alembert

Coordenadas generalizadas

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