mecânica clássica x mecânica quântica
DESCRIPTION
Física Quântica se propõe a descrever a natureza para distâncias a ordem de 10^(-8) cm (o átomo). Os fenômenos da natureza parecem ser tão distintos em diferentes escalas de tamanho. Para enteder essas diferenças comparamos a cinemática e a dinâmica da Mecânica Clássica e de Mecânica Quântica.TRANSCRIPT
Mecânica Clássica X Mecânica Quântica Maria Teresa Thomaz (IF/UFF)
Apresentação
1. Mecânica Clássica X Mecânica Quântica
2. Dinâmicas: clássica X quântica
3. Equação de Schrödinger e suas consequências
3.1. Autoestados de energia
3.2. Tunelamento
1
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2
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1. Mecânica Clássica X Mecânica Clássica
. Mecânica Clássica
O que significa na Mecânica Clássica descrever o estado de um objeto?
Dada a posição inicial : r(0) e a velocidade inicial: v(0), somos capazes de saber qual é a posição do objeto em
qualquer outro instante t : r(t).
O que significa velocidade?
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Relembrando o significado geométrico: limite e derivada.
. Limite :
O limite de uma função f(x) é o valor para o qual ela se aproxima à medida que a variável x se aproxima de um valor estipulado, sem jamais ser igual a ele .
Ex. 1. f(x) = 2x2
{
8)(lim2
xfx
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4
Ex. 2. g(x) = 2,10
2,2 2
x
xx{
8)(lim2
xgx
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Relembrando algumas relações do triângulo retângulo :
B A
C
c a
b
catetos: b, c
hipotenusa : a
222 cba
a
b)cos(
a
csen )(
θ
)cos(
)()(
sentg
b
ctg )(
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. Derivada : Consideramos um exemplo particular para entender o significado geométrico da derivada de uma função f(x) em relação a ponto pré-definido x.
Continuamos com : f(x) = 2x2 . A derivada de f(x) no ponto x=2 é definida como:
2x
)2(f)x(f|
dx
)x(dflim
2x2x
x f(x)
3 18
2,1 8.82
2.000001 8.000008
2x
)2(f)x(f
101
10
2.81.0
82.0
000002.800001.0
000008.0
23
)2(f)3(f)(tg
1
Coeficiente angular da reta tangente a curva f(x) em x=2 : 2x2x
|dx
)x(df
2x
)2(f)x(f)(tg
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Outra maneira de escrever a derivada de uma função f(x) no ponto x=2:
.x
)2(f)x2(f
2x
)2(f)x(f|
dx
)x(dflimlim
0xx2x2x2x
Para f(x) = 2x2 :
x
42])x(x44[2
x
22)x2(2|
dx
)x(df 222
0x2x
8x28x
)x(2
x
x8
0x0x
2
0x
A derivada de uma função g(x) calculada num ponto x:
.x
)x(g)xx(glim
dx
)x(dg0x
2x|
dx
)x(df
,)(tg coeficiente angular da reta tangente .
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Algumas propriedades das derivadas:
,0dx
)a(d.1
,dx
)x(dfa
dx
))x(fa(d.2
,dx
)x(dg
dx
)x(df
dx
))x(g)x(f(d.3
sendo que a é qualquer valor constante e f(x) e g(x) são
quaisquer funções .
Exercício: utilize a definição de derivada de uma função g(x) para mostrar as propriedades acima.
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A velocidade v(t) é uma medida de quanto a posição do objeto durante um intervalo muito curto de tempo ∆t. Para um intervalo de tempo ∆t → 0,
A relação entre o momento linear p(t) de uma
partícula de massa m e a sua velocidade v(t) é:
p(t) = m . v(t) .
Para simplificar a apresentação, vamos discutir o movimento em 1 dimensão, por ex. ao longo da direção x .
Veja como é importante o conceito de limite no estudo do movimento.
.t
)t(x)tt(x
m
)t(p)t(v
0t
10
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Em resumo:
O movimento de qualquer objeto está completamente determinado se damos sua trajetória : r(t) e v(t) em
cada instante t. Note que r(t) e v(t) são funções do tempo t .
. Cinemática da Mecânica Clássica :
r(t) e v(t) trajetória
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. Mecânica Quântica
Vamos tratar sistemas quânticos em 1-dimensão, por exemplo
ao longo da direção x .
Princípio da Incerteza de Heisenberg :
∆ x : incerteza na posição da partícula
∆ p : incerteza no momento linear da partícula
h : constante de Planck, mas
sJxh
.1005,12
34
OBS: energia: [mv2] → J
momento: [mvr] → J. s angular
2.
px
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Consequência do Princípio da Incerteza de Heisenberg:
para ∆t → 0 temos
e pelo princípio da incerteza de Heisenberg,
∆ x → 0 ħ = 1,05 x 10-34 Js
Conclusão: não podemos conhecer simultaneamente a posição x(t) e o momento linear p(t) de qualquer objeto
quântico objetos quânticos não seguem trajetórias.
Precisamos de uma nova cinemática para os sistemas quânticos.
.)()()(
0 t
txttx
m
tpt
xp
.2
.
t
)t(x)tt(x~p
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Relembrando o valor da cte de Planck: ħ = 1,05 x 10-34 Js
O valor de ħ nos informa quando a natureza quântica
é importante.
Ex. : chute em uma bola de futebol (momento angular de um sistema macroscópico (dia-a-dia))
O momento angular da bola em relação ao ponto O (o pé do goleiro):
os vetores e formam um ângulo de 90º,
m = 0,5kg, v = 20 m/s (~80km/h) e r = 2m
dia-a-dia: L >>> ħ.
Qdo olhamos a areia da praia ela parece contínua, mas quando cai um grãozinho no olho da gente ... Onde está o
grãozinho do mundo quântico?
vmrprL
mvrL .
!!!1009.12205.0 33 JsL
r
p
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O princípio da Incerteza de Heisenberg tem alguma influência no movimento de um lápis apoiado sobre a sua ponta fina ?
O princípio da incerteza de Heisenberg aplicado ao centro de massa (CM) do lápis:
m lápis = 5g ∆xCM = 0,1mm
Para simplificar as contas: x
p
~
O lápis roda em torno da sua ponta qdo a linha vertical que passa pelo CM não passa por nenhuma parte deste ponto de apoio :
vmx
p
~~
∆v ~2 x 10-26 cm/s = vCM
Distância percorrida pelo CM antes de tombar: CMCM
tvx
x
2~
tCM ~10+25s ; tUniver ~1.5x 10+17s tCM ~108x tUniv !!
2.
px
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2. Dinâmicas: clássica X quântica
O que a Física deseja em cada fenômeno ?
Conhecido o estado inicial do objeto sob estudo, ser capaz de determinar o seu estado após ter decorrido um intervalo de tempo qualquer t.
Vamos estudar a evolução no tempo (dinâmica) de sistemas conservativos (a energia total se conserva). Em sistemas conservativos não temos forças tipo força de atrito em que temos perda de energia do sistema. Sobre esses sistemas estudados agem apenas as forças conservativas.
Exemplo de forças conservativas :
força da gravidade força elástica/mola
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. Dinâmica Clássica
i) condições iniciais : x(0) e v(0)
ii) 2ª lei de Newton : )()(2
2
tmatFdt
xdm
x(t), v(t)
} }
Ex. 1. Força de Hooke (força elástica da mola)
F (x) = - kx
x (t) = A sen (ωt + φ0) ,
onde
x(0) = A sen (φ0) , v(0) = ωA cos(φ0)
e
m
k
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Ex. 2. Força da gravidade
zmgF ˆ
sendo g a aceleração da gravidade .
A 2ª lei de Newton, para a força da gravi- dade, nos dá para qualquer instante posterior t :
)0(2
1)(
0
2 ztvgttz
onde v0 é a velocidade com que o objeto passa na posição z(0).
Resumo : conhecida a força F(t) que age sobre o objeto e
a sua posição inicial x(0) e a sua velocidade inicial v(0), a 2ª lei de Newton nos determina exatamente a sua posição e velocidade em qualquer outro instante t
a dinâmica clássica é determinista.
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. Dinâmica Quântica
i) x(t) e p(t) não são as quantidades para descrever um sistema quântico : princípio da incerteza de Heisenberg.
ii) a lei de conservação de energia continua válida no mundo quântico.
),(2
2
xVm
pE
A lei de conservação da energia total para uma partícula de massa m que possui momento linear p sob a ação de uma força conservativa é:
lembrando que p2/2m é a energia cinética (movimento) e V(x) é a energia potencial (que pode se transformar em movimento). Qual a relação entre força conservativa e V(x)?
.dx
)x(dV
x
)]x(V)xx(V[)x(F
0x
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Exemplos de forças conservativas/energias potenciais :
Ex. 1. Força de gravidade:
dz
zdVzF
)()(
Ex. 2. Força da mola/elástica
2
2
1)( kxxV
dx
xdVxF
)()(
F(x) = - kx.
F(z) = -mg
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Cinemática da Mecânica Quântica:
Postulamos que as grandezas cinemáticas posição, momento e energia deixam de ser funções para serem operadores :
= x , =- x
i
e =
ti
A lei de conservação de energia clássica,
passa a ser no nível quântico escrita em termos dos operadores anteriores:
),x(Vm2
pE
2
t
txitxxV
x
tx
m
),(),()(
),(
2 2
22
Equação de Schrödinger
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A equação de Schrödinger:
t
)t,x(i)t,x()x(V
x
)t,x(
m2 2
22
é uma equação de ondas .
Ψ(x,t) : função de onda. Toda a informação que podemos ter
sobre a partícula.
As funções de onda não são quantidades que podemos
medir experimentalmente. Em geral são funções complexas.
Como relacionar o que calculamos na Mecânica Quântica, ψ(x,t), e o que medimos nos laboratórios?
A Mecânica Quântica descreve um sistema probabilístico:
|ψ(x,t)|2 : probabilidade da partícula ser encontrada na posição x no instante t.
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O que é uma probabilidade ?
Da Estatística temos:
Suponhamos que fazemos uma medida de uma certa quan - tidade cujo o resultado nem sempre é o mesmo .
Para fixarmos um exemplo podemos pensar num dado que jogamos sobre uma mesa. O lado do dado que fica para cima pode ser: {1,2,...,6} . Temos 6 saídas possíveis em cada jogada .
Seja um conjunto cujos resultados tem várias saídas possíveis: { A, B, C,...} .
P(A) : probabilidade de sair o resultado A dentre todas as saídas possíveis.
Para um número MUITO GRANDE de tentativas :
tentativastotalºn
Aresultadocomºn)A(P
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O que caracteriza uma equação de onda ?
O princípio da superposição . O que é esse princípio?
Suponhamos que ψ1(x,t) é solução da eq. de Schrödinger :
t
)t,x(i)t,x()x(V
x
)t,x(
m21
121
22
e ψ2(x,t) também é solução desta equação :
t
)t,x(i)t,x()x(V
x
)t,x(
m22
22
2
22
ψ(x,t) = a1 ψ1(x,t) + a2 ψ2(x,t)
também é solução da equação de Schrödinger.
Em que tipo de fenômeno temos o princípio de superposição?
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Qual a diferença entre Mecânica Clássica e Mecânica Quântica?
Mecânica Clássica : jogamos pedras através de dois buracos.
P1: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 com o buraco 2 fechado.
P2: probabilidade da pedra passar pelo buraco 2 com o buraco 1 fechado. P12: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 ou
pelo buraco 2. Os 2 buracos estão abertos .
2112PPP
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Mecânica Quântica: : um feixe de elétrons incidindo sobre uma parede com dois furos.
A função de onda para pontos após passar pelo anteparo é a soma coerente de funções de onda que atravessam os furos 1 e 2:
),(),(),(2211
txatxatx
A probabilidade de encontrar um elétron na posição x e no instante t é:
)],(),(Re[2
|),(||||),(||||),(|
2
*
12
*
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
txtxaa
txatxatx
termo de interferência
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Temos algum efeito análogo a este na Física ?
Eletromagnetismo : interferência de feixes de luz coerente. .
),(),(),(21
txEtxEtxEP
),(1
txE
: campo elétrico em P devido ao furo 1.
),(2
txE
: campo elétrico em P devido ao furo 2.
O que medimos ? A intensidade da luz em cada ponto P: 2
21
2 |),(),(||),(~|),( txEtxEtxEtxIPP
)cos(|),(||),(|2
|),(||),(|~),(
21
2
2
2
1
txEtxE
txEtxEtxIP
termo de interferência P
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Qual a consequência do termo de interferência na intensidade da luz que vemos sobre uma superfície?
)cos(|),(||),(|2
|),(||),(|~),(
21
2
2
2
1
txEtxE
txEtxEtxIP
Relembrando:
termo de interferência
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3. Equação de Schrödinger e suas consequências Relembrando a eq. de Schrödinger :
t
txitxxV
x
tx
m
),(),()(
),(
2 2
22
Como tiramos informações desta equação ?
3.1. Autoestados de energia
Funções de onda com energia total definida :
iEt
extx
)(),( ),(),( txEtxt
i
A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :
.),(),()(),(
2 2
22
txEtxxVx
tx
m
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A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :
),(),()(),(
2 2
22
txEtxxVx
tx
m
Para cada sistema quântico calculamos os valores possíveis
da energia E . Para estados ligados do sistema os valores
possíveis de energia E são discretos : 1ª Quantização .
Vejamos alguns sistemas quânticos simples (mola, átomo de hidrogênio) e seus respectivos espectros de energia.
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Exemplos de sistemas quânticos com estados ligados :
1. Oscilador harmônico (mola/elástico)
Clássico
22
2
1
2kx
m
pE
))((2 xVEmp
x< -A e x>A : região clássica proibida
Quântico
,)2
1( nEn n= 0, 1, 2, ...
m
k
Energia de ponto zero:
20
E principio da
incerteza de Heisenberg
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Temos regiões proibidas em sistemas quânticos ?
Na região classicamente proibida :
2)(...~)( a
x
ex
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2. Átomo de hidrogênio
Energia potencial sentida pelo elétron pela presença do próton.:
r
erV
2
)(
|e| : módulo da carga elétrica do elétron.
r : distância do elétron ao próton
. Átomo de hidrogênio clássico
Suponha que o elétron possua momento angular l, ele vai sentir a energia potencial efetiva :
2
22
2)(
mr
l
r
erV
ef
Estado ligado: Mm rrr
,0 EEm a energia varia continuamente .
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. Átomo de hidrogênio quântico
.)(2
r
erV
Para estados ligados, E<0, os níveis de energia permitidos :
...,3,2,1,6.132
nn
eVEn
Estado fundamental : E0 = -13.6 eV
(1eV = 1.6 x 10-19 J)
A comparação das escalas da energia atômica e das energias envolvidas no que ocorre no nosso dia-a-dia :
m = 1g, v= 2m/s JmvE c72 102
2
1
Logo :
12
7
190
10~102
106.1||
Jx
Jx
E
E
c
.000.000.000.000.1
|~|0
cEE
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Os orbitais do átomo de hidrogênio nos dão a densidade de probabilidade de localizar o elétron dentro do átomo de hidrogênio :
.|),,r(| 2
nlm
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Mostramos que as energias atômicas são da ordem de um trilhonésimo das energias do nosso dia-a-dia.
Será que temos como verificar experimentalmente se a Mecânica Quântica descreve o mundo dentro do átomo? A Mecânica Clássica ou a Mecânica Quântica descreve corretamente o átomo
de hidrogênio ?
Espectros do átomo de hidrogênio obtidos experimentalmente:
As frequências emitidas e absorvidas pelo hidrogênio
Pela Física Clássica a frequência de emissão /radiação do átomo de hidrogênio deveria variar continuamente : ERRADA !!!
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Como calcular a partir da Mecânica Quântica a frequência da luz absorvida/emitida por átomos de hidrogênio ?
O espectro de emissão/absorção de cada elemento é a sua “impressão digital”.
níveis eletrônicos do hidrogênio
Energia do fóton/luz : , E
,.2 f f é a frequência da luz.
Conservação da energia do sistema “átomo + fóton” :
EEE el
f
el
i
22
6.136.13
fin
eV
n
eV
Finalmente : .)
11(
6.1322
ifnn
eV
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3.2. Tunelamento
barreira de potencial :
E>0 .
i) partícula clássica :
Conservação de energia total : )(2
2
xVm
pE
0)(2
2
xVEm
p
Movimento clássico
ax ax
OU
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38
ii) partícula quântica :
Conservação de energia do sistema quântico:
),(),()(),(
2 2
22
txEtxxVx
tx
m
O movimento de uma partícula quântica sob a ação de uma energia potencial tipo barreira :
efeito de tunelamento
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É possível medir experimentalmente o “efeito de tunelamento” ?
Emissão de partícula α (núcleo do átomo de Hélio 4H2) por núcleos atômicos:
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Temos em alguma outra área da Física um fenômeno análogo ao tunelamento na Mecânica Quântica?
No Eletromagnetismo: ondas evanescentes .
Temos reflexão total quando
ninc > nrefr
para ângulos de incidência θ maiores que o ângulo crítico θcr ,
θ> θcr , sendo .)(inc
refr
crn
nsen
ondas evanescente : aparecem quando tratamos a luz como uma onda eletromagnética .
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Agradecimento
Prof. Dr. Paulo Acioly M. dos Santos
Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt... 42
Obrigada pela sua atenção !!!
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43
As transparências deste seminário estão no blog:
http://mttdivulgacao.blogspot.com
na secção
“Atividades já realizadas junto a professores”