mecanica constr

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI

1

Rigidul liber, condiţii de echilibru, probleme

Se spune despre un rigid că este liber atunci când poate ocupa orice poziţie în spaţiu, neavând nici o

obligaţie de natură geometrică, cum ar fi obligaţia ca un punct al său să rămână pe o curbă sau pe o

suprafaţă, sau să rămână fix în spaţiu. În această situaţie, poziţia pe care o ocupă rigidul liber depinde

exclusiv de sistemul de forţe ce acţionează asupra lui.

Astfel, se poate spune că echilibrul unui sistem de forţe ce acţionează asupra unui rigid este exprimat prin

şase ecuaţii scalare de echilibru, trei ecuaţii de proiecţie şi trei ecuaţii de momente relativ la axele de

coordonate.

Dacă asupra unui solid rigid liber care se găseşte în repaus acţionează un sistem de forţe, condiţia

necesară şi suficientă pentru ca rigidul să rămână în repaus (pentru echilibru) este:

(5.1)

în acest caz şi numai în acesta sistemul de vectori fiind în echilibru (cazul I considerat la reducerea

sistemelor de vectori alunecători, sistem echivalent cu zero).

0,0 OMR

Cap.05 STATICA RIGIDULUI

Având în vedere că şi , condiţiile (5.1) se pot scrie:

(5.2)

respectiv, considerând proiecţiile pe axele de coordonate carteziene:

(5.3)

iFR iiiO MFrM

0,0 ii MF

00

00

00

izi

iyi

ixi

MZ

MY

MX


2

În cazul sistemelor de forţe în plan – spre exemplu planul xOy, pentru care Zi = 0, Mix = 0 şi Miy = 0 – rămân

numai trei ecuaţii de echilibru distincte:

(5.4)

deci echilibrul unui sistem de forţe plane este exprimat prin trei ecuaţii scalare de echilibru, două ecuaţii de

proiecţie şi o ecuaţie de momente.

000 izii MYX

În cazul unui sistem de forţe paralele – alegând spre exemplu axa Ox în direcţia forţelor, caz în care Yi = 0,

Zi = 0 şi Mix = 0 – rămân distincte ecuaţiile:

(5.5)

iar dacă sistemul de forţe paralele este şi plan – planul xOy, pentru care şi Miy = 0 – rămân distincte numai

două ecuaţii de echilibru:

(5.6)

000 iziyi MMX

00 izi MX

În cazul unui sistem de forţe concurente, alegând originea sistemului de axe în punctul de concurenţă al

forţelor, înseamnă că Mix = 0, Miy = 0, Miz = 0 şi deci rămân distincte următoarele trei ecuaţii de echilibru:

(5.7)

care constituie de fapt ecuaţiile de echilibru (2.2) ale punctului material.

000 iii ZYX

În cazul unui sistem de cupluri vor fi identic satisfăcute cele trei ecuaţii de proiecţii, rămânând distincte ca

ecuaţii de echilibru numai cele de momente:

(5.8)000 iziyix MMM


3

În funcţie de natura necunoscutelor, se disting următoarele categorii în care sunt grupate problemele de

statica rigidului liber:

- probleme în care sunt cunoscute forţele ce acţionează asupra rigidului şi se caută poziţia de echilibru a

acestuia;

- probleme în care, cunoscându-se poziţia de echilibru a rigidului, se caută sistemul de forţe care îl

acţionează;

- probleme în care sunt parţial cunoscute atât poziţia de echilibru cât şi sistemul de forţe, şi se caută ca

acestea să fie determinate complet.

Având în vedere numărul ecuaţiilor distincte de echilibru, problemele de statica rigidului liber sunt în general

rezolvabile (determinate) dacă ele comportă determinarea a cel mult şase necunoscute scalare în cazul unui

sistem de forţe oarecare în spaţiu, respectiv a cel mult trei necunoscute scalare în cazul unui sistem plan de

forţe, a unui sistem de forţe paralele sau concurente, sau a unui sistem de cupluri.

În cazul când se cunosc forţele ce acţionează asupra

unui rigid în spaţiu, definirea poziţiei acestuia

comportă cunoaşterea a şase mărimi scalare, care pot

fi: cele trei coordonate xO, yO şi zO ale unui punct al

rigidului în raport cu un sistem de axe ortogonale fix

(O1x1y1z1), respectiv cele trei unghiuri , , şi (ale lui

Euler, precesia, rotaţia proprie şi nutaţia).

Luând în considerare posibilităţile de mişcare ale

rigidului liber în spaţiu, se spune despre acesta că are

şase grade de libertate.


4

Un rigid are un reazem simplu (mobil) într-un punct A

al său, dacă punctul A este silit să rămână pe o

suprafaţă , considerată lucie, fixă şi foarte rezistentă.

Pentru definirea poziţiei unui rigid cu un reazem simplu

sunt necesari numai cinci parametri scalari, cum ar fi

coordonatele curbilinii ale punctului A şi cele trei

unghiuri ale lui Euler.

Rigidul supus la legături fără frecare, generalităţi, reazemul simplu (mobil), articulaţia,

încastrarea, condiţii de echilibru, determinarea grafică a reacţiunilor

În principiu, o problemă de echilibru a unui corp rigid supus la legături se poate rezolva în urma eliberării

acestuia, adică prin înlocuirea legăturilor cu forţe sau cupluri de legătură – reacţiuni. Astfel, rigidul poate fi

considerat liber sub acţiunea forţelor curente date şi a reacţiunilor, toate acestea fiind luate în considerare la

scrierea ecuaţiilor (condiţiilor) de echilibru.

Referitor la numărul de necunoscute scalare dintr-o problemă de echilibru a unui rigid în spaţiu supus la

legături (numărul reacţiunilor adunat cu cel al necunoscutelor ce definesc poziţia de echilibru), se spune că:

- problema este în general determinată atunci când numărul necunoscutelor este şase;

- problema este nedeterminată atunci când numărul necunoscutelor este mai mare decât şase;

- problema este în general imposibilă atunci când numărul necunoscutelor este mai mic decât şase.

Astfel, având în vedere posibilităţile de mişcare ale unui

rigid cu reazem simplu, acesta va avea numai cinci

grade de libertate.

Ştiind că în punctul A obligat să rămână pe suprafaţa lucie reacţiunea este normală la această suprafaţă,

se poate considera că, din punct de vedere mecanic, un reazem simplu poate fi înlocuit cu o forţă normală la

suprafaţa de sprijin.


5

Atunci când un rigid prezintă mai multe reazeme simple, se poate spune că teoretic fiecare dintre acestea

micşorează din punct de vedere geometric numărul gradelor de libertate ale rigidului cu câte o unitate.

Pentru a imobiliza complet un rigid în spaţiu acesta va trebui să fie sprijinit de cel puţin şase reazeme simple

(dacă numărul acestora este mai mare decât şase, problema devine nedeterminată), iar în situaţia în care

rigidul se consideră în plan, pentru imobilizarea acestuia vor fi necesare trei reazeme simple.

Această condiţie necesară nu este şi suficientă întrucât pot apare

situaţii în care rigidul nu este imobilizat:

dacă suporturile celor şase reazeme ale unui rigid în spaţiu întâlnesc

o aceeaşi dreaptă, rigidul se va putea roti în raport cu aceasta;

dacă suporturile reazemelor sunt paralele cu un acelaşi plan, rigidul

se va putea translata în lungul normalei la acel plan;

dacă suporturile celor trei reazeme ale unei plăci plane sunt

concurente într-un acelaşi punct, placa se va putea roti în raport cu

punctul respectiv;

dacă suporturile reazemelor unei plăci plane sunt paralele, placa se

va putea translata pe direcţia normală la cea a suporturilor.


6

Considerând un rigid sprijinit pe un plan în mai multe puncte A1,

A2, …, An, supus acţiunii unui sistem de forţe dat , ecuaţiile

de echilibru (de proiecţii şi de momente) se scriu:

(5.9)

în care X, Y, Z, MOx, MOy, MOz sunt proiecţiile vectorului

rezultant şi ale vectorului moment rezultant pentru sistemul de

forţe în raport cu axele de referinţă (xOy plan de sprijin), iar Ni

sunt scalarii reacţiunilor în punctele de sprijin.

jF

000

000

OziiOyiiOx

i

MxNMyNM

NZYX

Se observă că pentru a avea asigurat echilibrul rigidului, trei dintre condiţiile (5.9) (X = 0, Y = 0 şi MOz = 0)

trebuie să fie îndeplinite de către sistemul de forţe dat. În concluzie, pentru echilibru, sistemul de forţe dat

trebuie să se reducă la o forţă unică normală pe planul de sprijin.

În ceea ce priveşte stabilitatea unui rigid sprijinit pe un plan prin

intermediul unor reazeme simple unilaterale, se pune problema

ca scalarii reacţiunilor să fie toţi pozitivi. În această situaţie

rezultanta forţelor date trebuie să fie dirijată către planul de

sprijin, suportul ei întâlnind planul în interiorul poligonului de

sustentaţie (poligonul convex de arie minimă care conţine pe

laturi sau la interior toate punctele de sprijin).

Celelalte trei ecuaţii de echilibru servesc la determinarea reacţiunilor . Această problemă poate fi

determinată dacă rigidul prezintă numai trei puncte de sprijin, dar este posibil ca şi în această situaţie

problema să fie nedeterminată sau imposibilă (dacă cele trei puncte sunt coliniare).

iN


7

Unui rigid i se poate impune o axă fixă prin intermediul unei

articulaţii cilindrice. Rigidul cu axă fixă va avea un singur grad

de libertate (se poate doar roti în plan perpendicular pe această

axă), deci din punct de vedere geometric articulaţia cilindrică

reduce numărul gradelor de libertate cu cinci unităţi. Pentru

definirea poziţiei acestui rigid este necesar un singur parametru

scalar (unghiul ).

Din punct de vedere mecanic o articulaţie sferică poate fi înlocuită cu o reacţiune de modul şi direcţie

oarecare. Această reacţiune se poate descompune în raport cu axele ortogonale ale sistemului cartezian,

punându-se astfel în evidenţă faptul că o articulaţie sferică introduce într-o problemă de mecanică trei

necunoscute scalare (Rx, Ry, Rz). Astfel o articulaţie sferică poate fi privită ca trei reazeme simple situate în

acelaşi punct şi care nu au suporturile coplanare.

R

Se spune despre un rigid că are într-un punct O al său o

articulaţie sferică dacă acest punct este imobilizat (fix).

Pentru definirea poziţiei rigidului cu un punct fix sunt necesari

numai trei parametri scalari, spre exemplu cele trei unghiuri ale lui

Euler (, , şi ).

În ceea ce priveşte posibilităţile de mişcare ale rigidului, acesta va

avea trei grade de libertate, deci se poate spune că din punct de

vedere geometric articulaţia sferică micşorează numărul gradelor

de libertate ale unui rigid cu trei unităţi.

Din punct de vedere mecanic o articulaţie cilindrică poate fi înlocuită cu o forţă de modul şi direcţie

oarecare şi cu un cuplu de moment conţinut într-un plan normal pe axa de rotaţie. Forţa şi cuplul pot fi

descompuse în raport cu cele trei axe ortogonale, evidenţiindu-se faptul că în cazul general articulaţia

cilindrică introduce într-o problemă de mecanică cinci necunoscute scalare (Rx, Ry, Rz, Mx, My).

RM


8

În ceea ce priveşte componentele necunoscute Z1 şi Z2, ambele intervin

în una şi aceeaşi ecuaţie (cea raportată la axa de rotaţie Oz), iar pentru

a putea fi determinate este necesară o ecuaţie suplimentară (stabilită

din consideraţii privind deformaţiile rigidului).

Se observă că cea de a şasea condiţie (5.10) (Mz = 0) trebuie să fie îndeplinită de către sistemul de forţe dat.

Deci, pentru echilibru este necesar şi suficient ca momentul rezultant al sistemului de forţe dat în raport cu

axa de rotaţie să fie nul.

În cazul în care una dintre articulaţiile sferice ar fi transformată în

articulaţie cilindrică, componenta Z din aceasta ar fi nulă, deci problema

ar deveni determinată (spre exemplu pentru O2 articulaţie cilindrică, Z2 =

0, iar Z1 = -Z).

Dacă se consideră un rigid fixat prin intermediul a două articulaţii sferice O1

şi O2, asupra căruia acţionează un sistem de forţe dat , ecuaţiile de

echilibru (de proiecţii şi de momente) se scriu:

(5.10)

în care X, Y, Z, Mx, My şi Mz sunt proiecţiile rezultantei şi momentului

rezultant pentru sistemul de forţe dat în raport cu axele unui sistem

ortogonal, X1, Y1, Z1, X2, Y2 şi Z2 sunt proiecţiile scalarilor reacţiunilor şi

de mărime şi direcţie necunoscute ce se dezvoltă în articulaţiile sferice,

iar h1 şi h2 sunt cotele punctelor de articulare.

iF

000

000

22112211

212121

zyx MhXhXMhYhYM

ZZZYYYXXX

1R

2R

Totodată se observă că toate cele şase necunoscute ale problemei intervin numai în primele cinci ecuaţii

(5.10), deci problema este nedeterminată. Vor putea fi obţinute numai componentele în raport cu axele Ox şi

Oy ale reacţiunilor, din ecuaţiile raportate la aceste axe:

12

12

12

21

12

1

2

12

2

1hh

YhMY

hh

YhMY

hh

XhMX

hh

XhMX xxyy


9

În mod practic, se consideră vectorul rezultant şi vectorul moment rezultant al tuturor acestor reacţiuni, în

raport cu un punct O oarecare (de obicei centrul de greutate al secţiunii transversale în dreptul încastrării).

Din punct de vedere mecanic ar trebui ca încastrarea să fie

teoretic înlocuită cu atâtea reacţiuni , câte puncte de imobilizare

Ai se consideră pentru rigid.iR

Legătura care imobilizează un număr foarte mare de puncte ale

unui rigid, împiedecând orice posibilitate de mişcare a acestuia,

poartă denumirea de încastrare. Un rigid încastrat nu are nici un

grad de libertate, deci se poate spune că din punct de vedere

geometric încastrarea ia rigidului toate gradele de libertate.

Considerând proiecţiile Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz ale vectorilor rezultanţi forţă şi moment ale reacţiunilor, în

raport cu sistemul ortogonal de axe, se poate spune că în spaţiu o încastrare introduce şase necunoscute

scalare.

Echilibrul rigidului este exprimat de către ecuaţiile:

sau (5.11)

în care şi sunt vectorul rezultant şi momentul rezultant al reacţiunilor, iar şi sunt vectorul

rezultant şi momentul rezultant al sistemului de forţe dat .

00 jjiiji FrRrFR 00 OOMR MR

OMR OMR

jF

În concluzie, pentru cazul general al unui rigid având o legătură fără frecare asupra căruia acţionează un

sistem oarecare de forţe dat, condiţiile de echilibru se scriu:

(5.12)

în care sunt proiecţiile rezultantei şi momentului rezultant al sistemului de forţe

dat în raport cu axele sistemului ortogonal de axe carteziene, iar Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz sunt proiecţiile

rezultantei şi momentului rezultant ale reacţiunilor.

000

000

zzyyxx

zzyyxx

MMM

RRR

MMM

RRR

zyxzyx MMMRRR ,,,,,


10

Se observă că fenomenul de frecare în cazul corpului rezemat este mai complex decât în cazul

punctului material.

Rigidul supus la legături cu frecare

Se consideră un corp supus acţiunii unui sistem de forţe dat , ce sprijină

prin intermediul unui reazem simplu având în mod teoretic un singur punct

de contact O. În realitate corpul se deformează astfel încât contactul se

realizează pe o mică suprafaţă, iar în fiecare punct al acestei suprafeţe se

dezvoltă o reacţiune de mărime şi direcţie necunoscută.

jF

iR

Reducând atât sistemul de forţe dat cât şi sistemul de reacţiuni în raport

cu punctul O, echilibrul este exprimat prin ecuaţiile:

(5.13)00 OO MR MR

Considerând proiecţiile rezultantelor forţe şi momente în raport cu normala

la suprafaţa de contact, respectiv cu planul tangent la această suprafaţă

în punctul O, ecuaţiile de echilibru devin:

(5.14)00

00

rtt

pnn

MT

MN

MR

MR

tinde să deplaseze corpul pe direcţie normală la suprafaţa de contact,

deplasare împiedecată de reacţiunea normală .nR

N

tinde să deplaseze – alunece – corpul în planul tangent la suprafaţa de

contact, deplasare împiedecată de reacţiunea tangentă – forţă de frecare.tR

T

are tendinţa de a roti corpul în jurul unei axe din planul tangent la

suprafaţa de contact – rostogolire –, rotire împiedecată de cuplul reacţiune

– cuplu de frecare de rostogolire.

tM

rM

are tendinţa de a roti corpul în jurul normalei la suprafaţa de contact –

pivotare –, rotire împiedecată de cuplul reacţiune – cuplu de frecare de

pivotare.

nM

pM

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 06 SISTEME DE CORPURI

1

Se observă că prima relaţie exprimă proprietatea că cele două forţe sunt egale în modul, respectiv au

aceeaşi direcţie şi sunt opuse ca sens, iar cea de a doua relaţie exprimă proprietatea că cele două forţe au

suport comun.

Generalităţi

Prin convenţie, două sau mai multe corpuri care se interacţionează formează un sistem de corpuri.

Forţele exercitate între două corpuri ale unui sistem poartă denumirea de forţe interioare, iar forţele

exercitate asupra corpurilor unui sistem ca urmare a acţiunii unor corpuri din afara sistemului respectiv poartă

denumirea de forţe exterioare.

Cap.06 SISTEME DE CORPURI

Se spune despre un sistem că este izolat atunci când asupra lui nu sunt exercitate forţe exterioare.

În virtutea principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele interioare sunt două câte

două egale în modul şi direct opuse. Astfel, dacă un punct material Aj

acţionează asupra altui punct material Ai cu forţa , atunci şi Ai

acţionează asupra lui Aj cu o forţă , egală în modul cu şi direct

opusă acesteia:

(6.1)

unde şi sunt vectorii de poziţie ai punctelor materiale Ai şi Aj.

ijF

jiF

ir jr

0 jiij FF 0 jijiji FrFr

ijF


2

Condiţia de echilibru

Se ştie că pentru ca un punct material (corp) să fie în echilibru (să rămână în repaus) atunci când asupra lui

acţionează un sistem de forţe este necesar şi suficient ca rezultanta acestor forţe să fie nulă (sistemul de

forţe să fie echivalent cu sistemul zero).

Dacă se consideră un sistem de n puncte materiale Ai

asupra cărora acţionează forţele exterioare şi forţele

interioare , , …, , …, , condiţiile de echilibru

corespunzătoare tuturor punctelor materiale (necesare şi

suficiente pentru ca sistemul să rămână în repaus) se vor

scrie:

iF1iF 2iF ijF

inF

(6.2)0......................

.................................................................................

0..............

.................................................................................

0........................

0........................

1,321

1,1,321

222423212

111413121

nnninnnn

iniiiiiiii

ni

ni

FFFFFF

FFFFFFF

FFFFFF

FFFFFF


3

Relaţiile (6.3) şi (6.4) exprimă condiţia pe care trebuie să o satisfacă forţele exterioare ce acţionează asupra

unui sistem de puncte materiale, ele reprezentând aşa numita teoremă a solidificării. Această denumire se

justifică prin faptul că un sistem deformabil de puncte materiale (corpuri) aflat în echilibru (repaus) sub

acţiunea unui sistem de forţe exterioare va continua să rămână în echilibru şi dacă va fi rigidizat prin

introducerea unor legături interioare suplimentare.

Teoreme

Întrucât forţele interioare sunt necunoscute, se urmăreşte uneori ca în condiţiile de echilibru utilizate să apară

numai forţele exterioare sistemului. Eliminarea forţelor interioare din relaţiile (6.2) se face prin adunarea

acestor relaţii membru cu membru. Având în vedere că forţele interioare se reduc două câte două, se obţine:

(6.3)0 iF

Se menţionează faptul că relaţiile (6.3) şi (6.4) constituie o condiţie

necesară pentru echilibru, dar nu şi suficientă. Astfel, spre exemplu

considerând un sistem format din două bare articulate acţionate de

două forţe exterioare egale şi direct opuse având acelaşi suport, deşi

relaţiile menţionate sunt satisfăcute, sistemul nu va rămâne în repaus.

Momentele forţelor interioare de asemenea se reduc două câte două. Astfel, multiplicând vectorial fiecare

relaţie (6.2) cu vectorul de poziţie corespunzător , iar apoi efectuând însumarea membru cu membru, se

obţine:

(6.4)0 ii Fr

ir


4

Teorema echilibrului părţilor se enunţă astfel: dacă dintr-un sistem de puncte materiale (corpuri) aflat în

echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe se izolează o parte (subsistem), această parte va fi în echilibru sub

acţiunea forţelor ce revin punctelor materiale care o alcătuiesc.

Astfel, din totalitatea relaţiilor (6.2) se vor lua în considerare numai cele care exprimă echilibrul punctelor

materiale ce alcătuiesc porţiunea respectivă, relaţii ce vor fi satisfăcute întrucât întregul sistem este satisfăcut.

Statica sistemelor

Problemele de statica sistemelor de puncte materiale (corpuri) presupun în general determinarea tuturor

reacţiunilor (forţelor de legătură exterioare şi interioare), iar aceasta se poate realiza în două moduri:

- prin metoda izolării punctelor materiale (corpurilor), respectiv scrierea condiţiilor de echilibru pentru fiecare

punct în parte;

- prin utilizarea teoremei solidificării şi a teoremei echilibrului părţilor.

Pentru rezolvarea unei probleme de statică a unui sistem corpuri, acesta trebuie eliberat de legături prin

înlocuirea legăturilor (exterioare şi/sau interioare) cu reacţiunile corespunzătoare.

Astfel, pentru rezolvarea sistemului de bare din figura alăturată prin metoda izolării corpurilor, atât legăturile

la exterior (articulaţia A şi încastrarea D) cât şi cele dintre corpuri (articulaţiile B şi C) vor fi înlocuite cu

componentele reacţiunilor corespunzătoare.


5

Sunt multe situaţii în care interesează numai reacţiunile din legăturile exterioare (sau, dacă se studiază poziţia

de echilibru a sistemului de corpuri, interesează numai parametrii ce definesc configuraţia de echilibru). În

aceste situaţii se apelează la teorema solidificării şi la teorema echilibrului părţilor.

În aceste condiţii ecuaţiile de echilibru pentru fiecare bară în parte pot fi scrise:

Bara AB

02

0)(

00

00

hQhHM

VVY

QHHX

ABi

BAi

BAi

Se poate observa că metoda izolării corpurilor presupune scrierea şi respectiv rezolvarea unui număr relativ

mare de ecuaţii, în special în cazul sistemelor cu un număr mare de corpuri.

S-au obţinut în acest fel cinci ecuaţii din care pot fi determinate cele cinci forţe de legătură căutate, VA, HA, VD,

HD şi MD.

din acest sistem de nouă ecuaţii obţinându-se cele nouă forţe de legătură necunoscute:

222

QhM

PVVVV

QHHHH DDCBADCBA

Spre exemplu, dacă în cazul sistemului studiat anterior interesează numai reacţiunile în legăturile la exterior

(în reazemele la teren), după înlocuirea articulaţiei A şi a încastrării D cu componentele reacţiunilor

corespunzătoare, se procedează la solidificarea articulaţiilor B şi C şi la scrierea a trei ecuaţii de echilibru

pentru corpul astfel format, de exemplu: .0,0)(,0)( iAiDi XMM

În continuare, ţinând cont de teorema echilibrului părţilor, se poate scrie o ecuaţie de echilibru pentru bara AB,

respectiv una pentru bara CD: .0)(,0)( ,, CCDiBABi MM

Se menţionează că această a doua metodă poate fi completată cu metoda

izolării corpurilor dacă în continuare se caută şi forţele din legăturile interioare.

00)(

00

00

hHMM

VVY

HHX

CDDi

CDi

DCi

Bara CD

02

0)(

00

00

lPlVM

PVVY

HHX

CBi

CBi

CBi

Bara BC


6

Notă. În studiul sistemelor de corpuri se poate apela la un procedeu prin care corpurile se reprezintă prin

puncte, iar legăturile dintre corpuri se reprezintă prin segmente de linie care unesc punctele corespunzătoare.

Se obţin astfel scheme ale sistemelor, denumite grafuri. Dacă o succesiune de linii reprezentând legăturile

într-un sistem de corpuri formează un poligon închis se spune că graful este cu ciclu, iar dacă liniile nu

formează un poligon închis se spune că graful este arborescent (fără ciclu).

Desigur că în practică se pot întâlni scheme de tip graf mixt.

La reprezentarea sistemelor de corpuri prin intermediul grafurilor se apelează în special în cazul în care se

caută să se determine parametrii ce definesc configuraţia de echilibru a sistemelor, în acest mod putându-se

scrie un număr minim de ecuaţii (în funcţie de alcătuirea sistemului studiat).

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE

1

Generalităţi, ipoteze simplificatoare

Sistemele de bare articulate sunt deseori utilizate în tehnica construcţiilor, sub forma structurilor cu zăbrele

(în special metalice): grinzi de rezistenţă cu zăbrele la podurile metalice, stâlpi metalici de susţinere a

cablurilor, grinzi cu zăbrele la fermele de acoperiş ale clădirilor, maşini grele de ridicat cum ar fi macaralele

sau podurile rulante etc.

Cap.07 SISTEME DE BARE ARTICULATE

Pentru a putea studia aceste sisteme de bare se impun două ipoteze simplificatoare:

a) Barele se consideră articulate în noduri. Deşi barele structurilor metalice sunt prinse între ele prin

intermediul unor plăcuţe metalice (numite gusee) prin nituire, deci rotirea liberă a capetelor de bară este

împiedecată ceea ce determină apariţia unor cupluri, s-a demonstrat prin calcule exacte (ce ţin cont de

deformaţii) că momentele acestor cupluri sunt relativ mici şi pot fi neglijate, astfel că barele pot fi

considerate ca articulate în noduri.

b) Forţele exterioare se consideră ca fiind aplicate numai în noduri. La realizarea acestor tipuri de

structuri se impun măsuri constructive astfel ca forţele exterioare utile să fie aplicate numai în noduri.

Desigur că există forţe exterioare, cum ar fi greutatea proprie a barelor, care nu sunt aplicate în noduri,

dar s-a arătat prin calcule exacte că efectul de încovoiere datorat greutăţii proprii este neglijabil. În mod

practic barele pot fi considerate rigide, iar greutatea proprie a acestora poate fi înlocuită cu câte două

forţe verticale aplicate în nodurile de la extremităţile barelor.


2

Metoda izolării nodurilor

Această metodă se bazează pe teorema echilibrului părţilor, considerând nodurile ca “părţi” iar barele ca

legături. Nodurile sunt astfel puncte materiale acţionate de forţe concurente, forţele exterioare şi forţele

(eforturile) din bare.

Întrucât pentru un punct material în plan se pot scrie două ecuaţii de echilibru, ecuaţiile de proiecţie în raport

cu direcţiile principale ale planului, înseamnă că pentru aflarea forţelor de legătură, eforturi în bare şi reacţiuni

în reazeme, nodurile trebuie considerate în mod succesiv în aşa fel încât într-un nod studiat la un moment

dat să nu fie mai mult de două forţe necunoscute.

Procedeul se desfăşoară după cum urmează: se alege un nod în care sunt numai două forţe (eforturi)

necunoscute, nodul respectiv se eliberează de legături (bare) prin izolarea nodului şi încărcarea acestuia cu

forţele exterioare aferente şi cu forţele de legătură corespunzătoare, se scriu cele două ecuaţii de echilibru şi

se determină forţele necunoscute, se trece la un nod învecinat în care de asemenea apar numai două forţe

de legătură necunoscute pentru care se scriu cele două ecuaţii de echilibru, se continuă cu izolarea

succesivă a nodurilor până la epuizarea tuturor necunoscutelor.

Pentru verificarea rezultatelor calculelor, la final se apelează la teorema solidificării rigidizându-se toate

nodurile considerate iniţial ca fiind articulate. Grinda cu zăbrele, obţinută astfel ca un singur corp rigid, se

eliberează de legăturile din reazeme care se înlocuiesc cu reacţiunile corespunzătoare, acum cunoscute.

Sistemul de forţe exterioare care acţionează asupra grinzii, forţe în rândul cărora intră şi reacţiunile

evidenţiate, trebuie să fie în echilibru, adică trebuie să satisfacă cele trei ecuaţii care caracterizează echilibrul

unui sistem în plan, ecuaţii ce se vor scrie ca identităţi.

În cazul în care la un sistem de bare articulate nu există nici un nod în care de la început să fie doar două

forţe de legătură necunoscute, calculul se începe aplicând mai întâi teorema solidificării în vederea

determinării reacţiunilor prin intermediul celor trei ecuaţii de echilibru posibil a fi scrise pentru rigidul în plan.

Se continuă apoi cu calculul prin izolarea succesivă a nodurilor. Se va constata că la penultimul nod izolat

rămâne o singură forţă de legătură necunoscută, iar la ultimul nod nu va mai fi nici o forţă de legătură

necunoscută. Aceasta se datorează faptului că primele trei necunoscute ale problemei (reacţiunile) au fost

determinate cu alte ecuaţii decât cele de echilibru a nodurilor. Cele trei ecuaţii corespunzătoare ultimelor trei

forţe de legătură vor fi scrise ca identităţi şi vor fi folosite pentru verificarea rezultatelor calculelor.


3

Astfel, se consideră sistemul de bare articulate din figură, pentru

care succesiunea izolării nodurilor este următoarea:

)2

160(cos

3060cos0)(

)2

360(sin

3

2060sin0)(

1312131

12121

PSSSH

PSPSV

i

iNodul 1

3,

3060sin60sin0)(

03

60cos60cos0)(

343234323

34323

PS

PSSSH

PSSV

i

i

Nodul 3

2

3060sin

360sin

3

20)(

32060cos

360cos

3

20)(

222

24242

PV

PPVV

PS

PPSH

i

i

Nodul 2

Nodul 4

0032

60cos3

0)(

2060sin

30)(

444

444

HPP

HH

PV

PVV

i

i

Verificarea echilibrului grinzii considerată ca un singur rigid: .0)(,0)(,0 24 iii MMH


4

În cazul sistemului de bare articulate din figură nu există iniţial un nod

cu cel mult două forţe de legătură necunoscute, deci calculul se

conduce după cum urmează.

2

30

22

320)(

2

30

22

320)(

00

551

115

1

PV

aPPa

aPaVM

PV

aPPa

aPaVM

HH

i

i

i

Determinarea reacţiunilor pe baza ecuaţiilor de echilibru scrise în urma

solidificării articulaţiilor grinzii cu zăbrele:

2

3060cos30)(

302

360sin0)(

13131

12121

PSPSH

PSP

SV

i

i

Izolarea succesivă a nodurilor:

Nodul 1

Nodul 2

3

2060cos360cos

30)(

3060sin360sin0)(

24242

23232

PSP

PSH

PSPPSV

i

i


5

2

3060cos30)(

302

360sin0)(

53535

54545

PSPSH

PSP

SV

i

i

Nodul 5

Se observă că aplicarea metodei izolării nodurilor reclamă o atenţie sporită pe parcursul derulării calculelor

succesive, întrucât o eroare săvârşită la un moment dat se transmite tuturor valorilor ulterioare. Eroarea va fi

semnalată doar la verificările finale, dar şi aici fără a putea fi localizată exact.

060cos360cos33

20)(

343060sin360sin0)(

4

434

PPP

H

PSPPSV

i

iNodul 4

verificare:

În ceea ce priveşte semnul din faţa valorilor obţinute pentru forţele de legătură, acesta indică sensul forţelor

respectiv, în cazul forţelor de legătură interioare (eforturi în bare) efectul acestora în material. Astfel, semnul

“plus” indică faptul că sensul presupus iniţial pe schiţa nodului izolat este cel corect, respectiv că efectul în

bară este de întindere. Dacă valoarea forţei de legătură se obţine cu semn “minus” însemnă că sensul

acesteia este în realitate invers sensului considerat iniţial, respectiv că efectul în bară este de compresiune.

Nodul 3

verificare:

02

360cos

32

360cos

30)(

060sin3

60sin3

0)(

3

3

PPPPH

PPP

V

i

i

verificare:

Un alt dezavantaj al metodei izolării nodurilor constă în faptul că atunci când interesează în mod special

efortul într-o anumită bară, este nevoie să fie determinate din aproape în aproape eforturile în toate barele

până la cea în cauză.


6

Metoda secţiunilor

Această metodă – ce este cunoscută şi sub denumirea de metoda lui Ritter – permite determinarea efortului

căutat într-o bară oarecare a unui sistem de bare articulate, în mod direct, pe baza unei singure ecuaţii de

echilibru.

Metoda constă în secţionarea completă a sistemului cu zăbrele – ansamblul desfăcându-se în două părţi

distincte – în aşa fel încât să fie secţionată şi bara al cărei efort interesează în mod special.

În baza teoremei solidificării, articulaţiile celor două porţiuni se pot considera rigidizate.

Conform teoremei echilibrului părţilor, fiecare din cele două porţiuni obţinute trebuie să fie în echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare date aferente, a forţelor de legătură ce înlocuiesc reazemele aferente, respectiv a

forţelor de legătură ce înlocuiesc barele secţionate.

Având în vedere că pentru exprimarea echilibrului unei porţiuni rigide de structură cu zăbrele în plan pot fi

scrise trei ecuaţii de echilibru, înseamnă că secţionarea completă trebuie să pună în evidenţă (să

exteriorizeze) cel mult trei forţe de legătură interioare necunoscute (secţionarea nu trebuie să străbată mai

mult de trei bare cu efort necunoscut).

Pentru determinarea efortului care interesează se va apela la o ecuaţie de momente în raport cu punctul de

intersecţie al suporturilor celorlalte două forţe (eforturi) necunoscute. În cazul în care aceste două forţe au

suporturi paralele, se apelează la o ecuaţie de proiecţie în raport cu direcţia normală la suporturile paralele.

În situaţia în care în ecuaţiile de echilibru scrise pentru determinarea eforturilor căutate intervin şi forţe de

legătură ce înlocuiesc reazeme (reacţiuni), acestea vor fi determinate în prealabil apelându-se la teorema

solidificării aplicată întregului sistem cu zăbrele. Reacţiunile se obţin pe baza celor trei ecuaţii de echilibru

scrise pentru sistemul cu zăbrele rigidizat.


7

Astfel, dacă în cazul sistemului cu zăbrele din figură se caută spre exemplu

numai eforturile în barele 4-6, 5-7 şi 8-9, se procedează după cum

urmează.

3

20230)( 4646,5

PSaPaSM IIi

Se execută secţionarea I-I, ce străbate trei bare printre

care şi bara 4-6, punându-se în evidenţă

(exteriorizându-se) eforturile din aceste bare. Se reţine

porţiunea superioară a cărei articulaţii se rigidizează, iar

din ecuaţia de echilibru scrisă în momente în raport cu

punctul de intersecţie 5 se obţine efortul căutat:

3

20230)( 5757,6

PSaPaSM IIIIi

Se execută secţionarea II-II, punându-se în evidenţă (exteriorizându-se) eforturile din

cele trei bare printre care şi cel din bara 5-7. Din nou se reţine porţiunea superioară,

efortul căutat obţinându-se din ecuaţia de momente în raport cu punctul de intersecţie 6:

Similar, în urma secţionării III-III, vor fi puse în evidenţă (exteriorizate) eforturile din trei

bare printre care şi cel din bara 8-9. Reţinând porţiunea superioară, efortul căutat se va

obţine dintr-o ecuaţie de proiecţii în raport cu direcţia orizontală:

3

2030cos0)( 8989

PSPSH

IIIIIIi


8

În cazul grinzii cu zăbrele din figură, pentru determinarea

eforturilor în bare trebuie stabilite în prealabil forţele de

legătură exterioare (reacţiunile). În urma rigidizării

articulaţiilor, reacţiunile se pot obţine pe baza următoarelor

trei ecuaţii de echilibru scrise pentru întregul ansamblu:

2

50

22

3

2

5

2

7

2

950)(

2

50

22

3

2

5

2

7

2

950)(

00

11111

1111

1

PV

aP

aP

aP

aP

aPaVM

PV

aP

aP

aP

aP

aPaVM

HH

i

i

i

Se menţionează faptul că în practică există cazuri de sisteme

cu zăbrele în care secţionarea completă străbate mai mult de

trei bare cu efort necunoscut. În general aceste situaţii este

posibil ca numai unele eforturi să fie determinate direct prin

metoda secţiunilor, iar pentru determinarea altora este

necesară aplicarea metodei izolării nodurilor.

În continuare, dacă se caută spre exemplu eforturile numai în barele 4-6, 4-5 şi 3-5, se procedează la

secţionarea I-I, iar în urma rigidizării articulaţiilor uneia din cele două porţiuni (de exemplu porţiunea din

stânga, mai scurtă) eforturile căutate se vor determina pe baza următoarelor ecuaţii de echilibru

independente:

32

110

2

3

2

5

2

30)(

30

2

560sin0)(

32022

32

2

5

2

30)(

3535,4

4545

4646,5

PSPa

aPaSM

PS

PPPSV

PSa

Pa

PaPa

SM

IIi

IIi

IIi

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR

1

Generalităţi, ecuaţia generală, ecuaţii diferenţiale

Prin fir se înţelege un corp având una dintre dimensiuni (lungimea) sensibil mai mare decât celelalte două,

care are o flexibilitate foarte mare şi care se alungeşte foarte puţin sub acţiunea forţelor de întindere.

Astfel, se presupune că firele sunt perfect flexibile – însuşirea de a nu opune nici o rezistenţă atunci când i

se schimbă forma – şi inextensibile – însuşirea de a nu se alungi oricât de mare ar fi forţa de întindere.

Exemple de fire în tehnică: cablurile maşinilor de ridicat, cablurile funicularelor, cablurile podurilor

suspendate, cabluri electrice, funii etc.

Se consideră un fir solicitat de o încărcare oarecare, pe care se alege

un punct A ca origine de măsurare a arcelor şi un punct M, având

poziţia definită prin arcul AM = s denumit coordonată curbilinie a

punctului M.

Se secţionează firul în punctul M, iar pentru restabilirea echilibrului

celor două porţiuni se introduce perechea de forţe şi , egale în

modul şi direct opuse, pe cele două faţete ale secţionării.

TT

Cap.08 STATICA FIRELOR

Întrucât orice secţiune a firului se comportă ca o articulaţie (datorită

proprietăţii de flexibilitate perfectă), pe faţetele secţionării nu trebuie

introdusă şi o pereche de momente (ca în cazul unei secţionări printr-o

bară rigidă), iar în ceea ce priveşte direcţia forţelor şi , aceasta

este necunoscută.

TT


2

Dacă se consideră un al doilea punct M’ având poziţia definită de

coordonata curbilinie s+s, iar apoi se izolează elementul de fir MM’,

acesta va trebui să se găsească în echilibru sub acţiunea forţei

exterioare şi a forţelor interioare exteriorizate, şi .P )()( ssTsT

Sub formă vectorială, ecuaţiile de echilibru ale elementului se scriu:

(8.1)

unde momentele sunt raportate la extremitatea M’.

0''')('

0)()(

PMMsTMM

PssTsT

În urma împărţirii primei ecuaţii cu s şi a trecerii la limită s 0, se obţine:

(8.2)

în care prima limită este creşterea forţei interioare pe parcursul elementului de fir infinit mic , iar cea de a

doua limită reprezintă sarcina exterioară distribuită pe unitatea de lungime a firului (ca de exemplu

greutatea proprie, presiunea vântului, greutatea zăpezii etc., pe o unitate de lungime de fir).

0lim)()(

lim00

s

P

s

sTssT

ss

ds

Td

p

Astfel:

(8.3)

ceea ce reprezintă ecuaţia generală a firelor.

0 pds

Td


3

Efectuând aceleaşi operaţii asupra celei de a doua ecuaţii, se obţine:

(8.4)

Întrucât vectorul , fiind dirijat după coardă, este, la limită, tangent la curbă, înseamnă că şi vectorul

va fi, la limită, un vector tangent la curbă, iar modulul acestuia va fi egal cu unitatea întrucât lungimea arcului

tinde către lungimea coardei. Acest vector reprezintă deci versorul direcţiei tangente la arc şi se notează cu .

În ceea ce priveşte cea de a doua limită din relaţia (8.4), aportul acestuia poate fi neglijat pentru că raportul

reprezintă sarcina exterioară ce se distribuie pe o lungime reprezentată de vectorul care tinde la zero.

0'''lim)('

lim00

s

PMMsT

s

MM

ss

'MMs

MM

'

s

P

'''MM

Astfel, relaţia (8.4) este echivalentă cu:

(8.5)

ceea ce arată că cei doi vectori şi sunt paraleli, adică direcţia forţei interioare este tangentă la fir.

0T

T

Se poate scrie: (8.6)

unde T reprezintă scalarul forţei interioare, întotdeauna pozitiv întrucât firele nu pot fi supuse la compresiune.

TT

Relaţiile (8.3) şi (8.6) stau la baza rezolvării problemelor firelor. Pentru a raporta aceste relaţii la axele

sistemului de coordonate cartezian se notează cu px, py şi pz proiecţiile sarcinii , iar proiecţiile forţei

interioare se scriu în funcţie de cosinusurile directoare ale direcţiei tangentei:

(8.7)

p

T

ds

dzTTT

ds

dyTTT

ds

dxTTT zyx cos,cos,cos

Astfel, ecuaţia (8.3) se poate raporta la axele sistemului cartezian scriind:

(8.8)0,0,0

zyx p

ds

dzT

ds

dp

ds

dyT

ds

dp

ds

dxT

ds

d


4

Cele patru ecuaţii date de relaţiile (8.8) şi (8.9) reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale firelor în sistemul de

coordonate cartezian, iar prin rezolvarea lor se obţin cele patru necunoscute ale problemei firelor:

funcţiile x = x(s), y = y(s), z = z(s) ce definesc forma de echilibru a firului, respectiv funcţia T = T(s) care

reprezintă forţa în fir.

În general, problema poate fi rezolvată practic apelându-se şi la condiţiile la limită (ca de exemplu

coordonatele punctelor ce constituie extremităţile firului şi lungimea firului sau forţele fie la extremităţile firului

fie în anumite puncte caracteristice ale firului).

În ceea ce priveşte cosinusurile directoare ale tangentei într-un punct oarecare de pe fir, între aceştia trebuie

să existe relaţia:

(8.9)1

222

ds

dz

ds

dy

ds

dx

Pentru a raporta relaţiile (8.3) şi (8.6) la un sistem de coordonate

intrinseci (sistemul ce are originea în punctul oarecare M considerat

pe fir), se apelează la triedrul lui Frenet format din direcţiile tangenta

la fir în punctul considerat, normala principală (în planul firului) şi

binormala, a căror versori se notează , şi .

Se aminteşte prima formulă a lui Frenet

(8.10)

în care reprezintă curbura firului în punctul M, fiind raza de curbură.

1

ds

d

1

Introducând expresia (8.6) în relaţia (8.3), rezultă , adică ,

respectiv ţinând cont de expresia (8.10) şi de faptul că vectorul sarcinii exterioare se poate scrie

, se obţine: (8.11)

00)(

pds

dT

ds

dTp

ds

Td

pppp 0

ppp

T

ds

dT


5

Prin urmare se constată că în cazul firului neacţionat de sarcini exterioare scalarul forţei interioare este

constant (prima relaţie), iar forma de echilibru este o linie dreaptă (cea de a doua relaţie).

Se constată prin urmare că în cazul firului acţionat

numai de sarcini normale scalarul forţei interioare

este constant.

Ecuaţia vectorială (8.11) este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:

(8.12)

care reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale firelor în sistemul de coordonate intrinseci.

000

ppT

pds

dT

Fir neacţionat de sarcini exterioare, fir acţionat de sarcini normale, fir acţionat de greutatea

proprie (lănţişorul), fir acţionat de sarcini concentrate

Dacă sarcina exterioară este nulă atunci scalarul componentelor acesteia va fi de asemenea nul, ,

şi , iar relaţiile (8.12) conduc la , , .0000

T

ds

dTp 0p

0p 0p

Considerând un fir continuu petrecut peste scripeţi,

pentru care se neglijează atât greutatea proprie cât şi

frecările, încărcările exterioare vor avea numai

componentă normală pe fir, adică , şi

, şi deci .

00 pp

0ds

dT0p


6

Se consideră un fir omogen suspendat în punctele sale extreme A şi

B situate în planul vertical xOy, firul fiind acţionat numai de propria

sa greutate. Astfel proiecţiile sarcinii exterioare sunt ,

şi , iar ecuaţiile de echilibru (8.8) se scriu:

(8.13)

p ppp yx 0

0zp

000

ds

dzT

ds

dp

ds

dyT

ds

d

ds

dxT

ds

d

Din prima şi a treia relaţie se observă că şi sunt mărimi constante, care se vor nota în continuare

cu H şi, respectiv, cu C. Făcând raportul între aceste două constante se obţine:

de unde prin integrare rezultă (8.14)

în care cu C’ s-a notat o constantă de integrare.

ds

dzT

ds

dxT

dx

dz

H

C 'Cx

H

Cz

Ţinând cont de condiţiile de margine, adică particularizând relaţia (8.14) prin scrierea acesteia în punctele de

suspendare A(x=x1,y=y1,z=z1=0) şi B(x=x2,y=y2,z=z2=0), se obţine

din care, pentru cazul x1 x2, se deduce că şi . Prin urmare ecuaţia (8.14) devine z = 0 , ceea

ce arată că forma de echilibru a firului este o curbă situată în planul vertical (xOy) ce conţine punctele de

suspendare ale firului.

'0'0 21 CxH

CCx

H

C

0'0 CH

C

În cea de a doua ecuaţie din grupul (8.13), forţa interioară T se înlocuieşte în funcţie de constanta H, :

sau (8.15)dx

dsHT

pdx

dy

ds

dHp

ds

dy

dx

dsH

ds

d

0

Pentru integrarea acestei ecuaţii diferenţiale se înlocuieşte , ceea ce conduce la:

sau (8.16)

în care se face schimbarea de funcţie:

(8.17)

dxydxdx

dyds 2

2

'11

H

p

dxy

yp

dxy

dyH

22 '1

''

'1

'

uy sinh'


7

Ţinând seama de faptul că , relaţia (8.16) devine:

sau (8.18)

care prin integrare conduce la

(8.19)

în care C1 este o constantă de integrare.

uuy cosh'''

H

pu

H

p

u

uu

'

sinh1

cosh'

2

1CxH

pu

Reconsiderând schimbarea de funcţie (8.17), ţinând cont de (8.19), se poate scrie:

(8.17’)

de unde prin integrare se obţine:

(8.20)

în care C2 este o altă constantă de integrare.

1sinh' Cx

H

py

21cosh CCxH

p

p

Hy

Notând (8.21) rezultă (8.22)

ceea ce reprezintă ecuaţia lănţişorului, ce corespunde formei de echilibru a unui fir omogen greu.

ap

H 21cosh CC

a

xay

Dacă se raportează curba la un sistem particular de axe având axa Oy

de simetrie, iar vârful curbei este de ordonată a, constantele de

integrare C1 şi C2 se pot obţine din condiţiile: pentru x = 0 y = a şi

pentru x = 0 y’ = 0. Astfel: şi de unde

C1 = 0 şi C2 = 0.121 sinh0cosh CCCaa

Ecuaţia lănţişorului în raport cu sistemul de axe particular considerat este

prin urmare:

(8.23)a

xay cosh


8

În concluzie, problema firului acţionat de greutatea proprie este rezolvată din toate punctele de vedere:

forma de echilibru este dată de funcţia (8.22) sau (8.23), forţa în fir este dată de relaţia (8.24), iar lungimea

arcului de lănţişor este dată de formula (8.25).

Se consideră cazul practic al unui fir foarte întins acţionat numai de

greutatea proprie, suspendat în punctele de nivel A şi B, cu

deschiderea l, de lungime totală L şi de săgeată maximă f. Curba se

raportează la sistemul de axe xOy a cărui ordonată reprezintă axa de

simetrie, respectiv a cărui origine este situată în punctul C de săgeată

maximă a firului.

În secţiunea C, unde tangenta la curbă este orizontală deci ds = dx, se constată că forţa interioară este H.

Întrucât firul este foarte întins, înseamnă că forţa H este foarte mare în raport cu încărcarea p, deci raportul

dintre acestea două, notat cu a (8.21), este de asemenea foarte mare. Ţinând cont de acest lucru, în

dezvoltarea prin serii a expresiilor ce caracterizează lănţişorul, termenii ce conţin la numitor puteri mari ale lui

a pot fi neglijaţi.

Forţa interioară a firului raportat la sistemul particular de axe se obţine pe baza relaţiei în care se

înlocuieşte , funcţia y fiind exprimată prin relaţia (8.23):

(8.24)

dx

dsHT

dxyds 2'1

pya

xa

a

H

a

xH

a

xHyHT coshcoshsinh1'1 22

Lungimea unui arc de lănţişor, măsurată de la punctul C situat pe axa verticală (de simetrie) până în punctul

curent M de coordonată x, se calculează:

(8.25)a

xadx

a

xdx

a

xdxydss

xxx

sinhcoshsinh1'100

2

0

2


9

În aceste condiţii, dezvoltând ecuaţia curbei (8.23) se obţine:

(8.26)

iar dezvoltarea expresiei forţei interioare (8.24) conduce la:

(8.27)

Ceea ce arată că în cazul firelor foarte întinse acţionate de greutatea proprie forma curbei de echilibru

este aproximativ aceea a unei parabole, iar forţa interioară în lungul firului poate fi considerată aproximativ

constantă.

a

xa

a

x

a

xaa

a

xay

2!4!21cosh

2

4

4

2

2

paa

x

a

xpa

a

xpapyT

!4!21cosh

4

4

2

2

În ceea ce priveşte lungimea totală a firului, aceasta se obţine dublând expresia (8.25) în care x ia valoarea

jumătăţii deschiderii l:

(8.28)2

3

5

5

3

3

24!532!3822

2sinh2

a

ll

a

l

a

l

a

la

a

laL

Aceste ultime trei expresii se scriu în mod practic în funcţie de elementele geometrice ale firului. Pentru

aceasta mărimea a se determină pe baza condiţiei de margine: pentru .fyl

x 2

Introducând această condiţie în expresia (8.26) se obţine de unde (8.29)

şi deci:

(8.26’)

(8.27’)

(8.28’)

a

lf

8

2

f

la

8

2

2

2

4x

l

fy

f

plT

8

2

l

flL

3

8 2


10

Ţinând cont de cele stabilite pentru firele neacţionate de sarcini exterioare, porţiunile neîncărcate de fir AM,

M’N şi N’B sunt rectilinii, iar în lungul lor forţele interioare sunt constante (respectiv de modul T1, T2 şi T3).

În concluzie, un fir acţionat de sarcini concentrate are ca formă de echilibru o linie poligonală, forţele

interioare fiind constante în laturile poligonului. Problema formei respectiv a forţelor interioare în cazul unui fir

acţionat de sarcini concentrate se rezolvă prin metode elementare ale staticii.

În cazul unui fir acţionat de sarcini concentrate nu se mai poate aplica

ecuaţia diferenţială a firelor (8.3) stabilită pentru sarcini distribuite, în

locul acesteia considerându-se ecuaţiile de echilibru scrise pentru

punctele de aplicaţie ale sarcinilor concentrate oarecare:

în care cu s-au notat forţele interioare puse în evidenţă prin

secţionările firului.

00 232121 PTTPTT

321 ,, TTT

firul fiind considerat perfect flexibil, se poate scrie

şi

BDBDi

ADADi

HM

HM

0)(

0)(

,

,

EEBEi

CCACi

fM

fM

0)(

0)(

,

,

respectiv pentru determinarea forţelor interioare

EDEDxEBiCDCDxCAi

EDyEBiCDyCAi

BEBExBiACACxAi

BEyBiACyAi

TTHTTH

TVTV

TTHTTH

TVTV

0)(0)(

0)(0)(

0)(0)(

0)(0)(

Spre exemplu, problema firului cu schema din figură se poate rezolva parcurgând următoarele etape:

iar, pentru verificare se poate folosi

sau 0)(0)( DiDi HV

BAiABi VMVM 0)(0)( şi


AAAxAi

AAyAi

THTH

VTV

0)(

0)(

11

În cazul firelor foarte întinse (cu tensiuni mari), cu săgeţi relativ mici, încărcate cu sarcini ce pot fi considerate

ca fiind distribuite în lungul dreptei ce uneşte punctele de suspendare (de nivel), rezolvarea se poate face de

asemenea prin metodele elementare ale staticii.

Spre exemplu, problema firului cu schema din figură se poate rezolva pe baza următoarelor ecuaţii de

echilibru:

ACACi HM 0)( ,

iar HB, fie similar, fie ţinând cont de simetrie HB = HA

BAiABi VMVM 0)(0)(

22

plPVV BA sau ţinând cont de simetrie

şi

ACCAi HTH 0)(

respectiv, de asemenea ţinând cont de simetrie


12

Global, fenomenul poate fi privit după cum urmează.

Considerând firul ce trece peste scripetele din figură

ca fiind perfect flexibil, cele două porţiuni ar fi tangente

la disc în extremităţile diametrului orizontal AB. Totuşi,

din cauza rigidităţii firul va opune o rezistenţă la

trecerea de la forma dreaptă la cea curbă şi respectiv

invers, rezistenţă pusă în evidenţă prin aceea că firul

va fi tangent la disc în extremităţile unui diametru

înclinat A’B’.

Rigiditatea firelor

În natură firele nu sunt perfect flexibile, ci au o rigiditate mai mare sau mai mică de care trebuie să se ţină

seama atunci când mărimea ei influenţează în mod sensibil rezultatele calculelor.

Deci pentru situaţia reală (naturală) echilibrul va fi exprimat prin următoarea ecuaţie de momente scrisă în

raport cu axul scripetelui:

de unde

adică din cauza rigidităţii, pentru ridicarea greutăţii Q este necesară o forţă P > Q.

0)()( 12 RPRQ QR

RP

1

2

Dacă se ţine seama şi de frecarea în lagărul de susţinere al scripetelui, ecuaţia de momente trebuie

completată astfel:

în care S = P + Q este reacţiunea în punctul de sprijin, este coeficientul de frecare în lagăr, iar r este raza

fusului scripetelui.

0)()( 12 SrRPRQ

Astfel de unde (8.30)

Se observă că raportul notat cu este întotdeauna supraunitar.

0)()()( 12 QPrRPRQ QQrR

rRP

1

2

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII

1

Generalităţi

Se studiază câteva dispozitive simple utilizate frecvent în tehnică şi care sunt alcătuite dintr-unul sau mai

multe corpuri având mişcări (deplasări) simple: translaţii rectilinii şi uniforme, rotaţii uniforme în jurul unor axe

(eventual axe de simetrie ale corpurilor), respectiv combinaţii de asemenea mişcări.

Sistemele de forţe ce acţionează asupra acestor corpuri trebuie să fie în echilibru, prin urmare pentru

rezolvarea problemelor respective se vor folosi procedeele şi concluziile staticii.

Pârghia

Prin pârghie se înţelege un corp rigid cu o axă fixă de rotaţie,

acţionat de două forţe, una motoare şi una rezistentă ,

care au suporturile într-un acelaşi plan normal la axa de

rotaţie şi neîntâlnind această axă.

În mod curent, pârghiile sunt realizate din bare drepte, curbe

sau cotite.

QP

Neglijând frecările, ecuaţia de momente în raport cu axa de rotaţie se scrie:

de unde (9.1)

în care cu p şi q au fost notate braţele celor două forţe faţă de axa de rotaţie.p

qQPQqPp 0

Cap.09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII

Ţinând seama şi de frecările în lagăr, ecuaţia de momente devine:

(9.2)

în care au fost introduse modulul reacţiunii S, coeficientul de frecare în lagăr 1 şi raza fusului r.

01 SrQqPp


2

Având în vedere că modulul reacţiunii este dat de expresia:

(9.3)

în care cu s-a notat unghiul dintre suporturile celor două forţe, ecuaţia (9.2) devine:

(9.2’)

cos222 PQQPS

0cos222

1 PQQPrQqPp

Rezolvând această ecuaţie de gradul doi în P, se obţine următoarea soluţie posibilă:

(9.4)

Qrp

rpqqprrpqP

22

1

2

222

1

22

1

22

1 sincos2cos

În cazul particular când cele două forţe au suporturile paralele, adică = 0, expresia forţei motoare devine:

(9.5)Q

rp

rqP

1

1

Comparând expresiile (9.5) şi (9.1), se constată că , ceea ce ilustrează faptul că din cauza

frecării forţa motoare este în realitate întotdeauna mai mare decât cea din cazul teoretic când se neglijează

frecarea în lagăr.

p

q

rp

rq

1

1


3

Scripetele, sisteme de scripeţi

Scripetele este un dispozitiv alcătuit dintr-un disc circular ce prezintă pe periferie un şanţ prin care trece un

cablu sau un lanţ. Dacă axa de rotire a discului este fixă, scripetele este denumit fix, iar în cazul când axa

este mobilă, scripetele este denumit mobil.

În cazul scripetelui fix, neglijând frecările şi rigiditatea firului, ecuaţia de

echilibru în momente raportate la axa discului se scrie PR – QR = 0 (unde

R este raza discului), din care rezultă:

P = Q (9.6)

iar dacă se ţine seama atât de frecarea în lagăr cât şi de rigiditatea firului,

forţa motoare este dată de expresia:

P = Q (9.7)

Se constată că, în cazul scripetelui fix, forţa motoare P inversează sensul forţei rezistente Q, dar prezintă

dezavantajul unei valori mai mari decât a acesteia.

Se constată că scripetele mobil prezintă avantajul că forţa motoare P este

mai mică decât forţa rezistentă Q.

în care > 1 a fost stabilit în expresia (8.30): , r fiind raza fusului scripetelui, 1 coeficientul de

frecare în lagăr, iar 1 şi 2 abaterile datorate rigidităţii firului.rR

rR

11

12

În cazul scripetelui mobil, neglijând frecările şi rigiditatea firului, din

ecuaţia de echilibru în momente în raport cu axa scripetelui PR – TR = 0

rezultă că P = T, iar în continuare din ecuaţia de echilibru a forţelor în

raport cu direcţia verticală T + P – Q = 0, se obţine:

(9.8)2

QP

Ţinând seama de frecarea în lagărul scripetelui şi de rigiditatea firului, din

ecuaţia de momente se obţine P = T, iar apoi din ecuaţia de proiecţii

rezultă: (9.9)QP

1


4

Pentru a obţine un raport cât mai mare între forţa rezistentă Q şi forţa motoare P se pot realiza dispozitive

alcătuite din mai mulţi scripeţi, sisteme de scripeţi.

Palanul este alcătuit din doi suporţi (mufle) pe care sunt

montaţi câte n scripeţi.

Se observă că, neglijând frecările şi rigiditatea firului, forţa în tot

lungul firului este aceeaşi şi egală cu forţa motoare P.

Considerând tronsoanele de fir ca fiind aproximativ verticale,

echilibrul muflei inferioare este reprezentat de ecuaţia

2nP – Q = 0, din care rezultă: (9.10)n

QP

2

Luând în considerare frecările în lagăre şi rigiditatea firului, forţa

în fir va fi diferită pe porţiuni: T1, T2, T3, …, T2n (respectiv T1, …,

T6 în cazul prezentat în figură). Se poate scrie că între aceste

forţe există următoarele relaţii:

P = T1 , T1 = T2 , T2 = T3 , …, T2n-1 = T2n (9.11)

de unde se deduce:

(9.12)nn

PT

PT

PT

PT

2233221 ,,,,

Pentru a găsi relaţia între forţa motoare P şi cea rezistentă Q

se procedează la izolarea muflei inferioare prin secţionarea a-a.

În acest fel firul a fost secţionat în 2·n puncte (2·3 = 6 puncte în

cazul prezentat în figură).


5

Palanul exponenţial este un sistem alcătuit dintr-un scripete fix şi

n scripeţi mobili (3, în cazul prezentat în figură).

Se face observaţia că discurile scripeţilor au fost aici considerate de raze egale.

Din echilibrul muflei inferioare rezultă:

Q = T1 + T2 + T3 + … + T2n (9.13)

care, ţinând seama de expresiile (9.12), devine: (9.13’)PQn

232

1...

111

Însumând progresia geometrică din paranteza acestei expresii, se obţine

de unde (9.14)PQn

11

1112

QP

n

n

1

)1(2

2

În urma secţionării firelor în n puncte (conform figurii), între forţele

interioare se pot scrie următoarele relaţii în care nu se consideră

efectul frecării şi al rigidităţii:

(9.15)

Prin înlocuire dintr-o expresie în cealaltă, se ajunge la:

(9.16)

2,,

2,

2, 3

22

11

QT

TT

TTTP n

n

QP

2

Ţinând seama de frecările în lagărele scripeţilor, respectiv de

rigiditatea firelor, relaţiile dintre forţe devin:

(9.17)

cu care prin înlocuire succesivă se obţine: (9.18)

QTT

TT

TTP n1

,,1

,1

, 32

211

QPn

n

)1(

1

Având în vedere dependenţa exponenţială a raportului dintre forţa rezistentă Q şi forţa motoare P

cu numărul scripeţilor mobili n, acest sistem de scripeţi poartă denumirea de palan exponenţial.


6

Macaraua diferenţială este un dispozitiv alcătuit din doi

scripeţi, unul fix prevăzut cu două roţi (de raze R şi r) solidare

pe acelaşi ax, respectiv unul mobil (de rază R1).

În urma izolării scripetelui mobil prin secţionarea firului în două

puncte, se pot scrie următoarele ecuaţii de echilibru, două de

momente în raport cu axele de rotaţie ale scripetelor şi una de

proiecţii în raport cu direcţia verticală pentru forţele ce

acţionează asupra scripetelui mobil:

PR + T1r – T2R = 0 , T2R1 – T1R1 = 0 şi T1 + T2 – Q = 0.

Planul înclinat

Planul înclinat este un dispozitiv care serveşte la ridicarea şi coborârea corpurilor. Mărimea forţei motoare P

necesară pentru a putea ridica cu viteză constantă un corp de greutate Q (forţă rezistentă) pe planul înclinat

cu unghiul faţă de orizontală, se obţine pe baza ecuaţiei de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu

direcţia planului.

Neglijând frecările (planul este considerat luciu), din ecuaţia de proiecţii

P - Q·sin = 0 se obţine forţa motoare: P = Q·sin (9.20)

Din sistemul de ecuaţii astfel format, se deduc atât forţele în fir

cât şi forţa motoare:

respectiv (9.19)QR

rRP

rR

PRTT

221

Dacă se ţine seama de frecarea dintre corp şi planul înclinat (planul este

considerat aspru), atunci ecuaţiei menţionate trebuie să i se alăture şi ecuaţia

de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu direcţia normală la planul înclinat.

Astfel, din ecuaţiile P – Q·sin – N = 0, respectiv N – Q·cos = 0, se obţine

forţa motoare:

(9.21)

unde reprezintă unghiul de frecare (tan = ).

cos

)sin()cos(sin

QQP


7

Comparând expresiile (9.20) şi (9.21) se observă că forţa motoare necesară în cazul unui plan aspru de

înclinare este mai mare decât cea necesară unui plan luciu ( = 0) de aceeaşi înclinare.

Neîndeplinirea acestei condiţii reflectă faptul că forţa necesară pentru ridicarea corpului pe planul înclinat

este egală sau mai mare decât forţa de ridicare pe verticală, deci planul înclinat îşi pierde utilitatea.

Pana

Pana este un element de îmbinare demontabilă, având forma unei prisme

triunghiulare ce se introduce prin batere între două piese (A şi B).

La nivelul suprafeţelor de contact ale panei cu piesele laterale apar forţe

normale Ni şi forţe de frecare Ti = Ni.

Notând cu 2 unghiul la vârful panei, respectiv cu P forţa de batere, ecuaţia

de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu direcţia forţei P se scrie:

-P + 2Ni·sin + 2Ni·cos = 0

de unde P = 2Ni·(sin + cos) (9.23)

Forţa Q cu care pana împinge lateral piesele A şi B pe care sprijină se

obţine pe baza unei ecuaţii de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu

direcţia perpendiculară pe cea a forţei de batere. Spre exemplu, din

echilibrul piesei A, Q - Ni·cos + Ni·sin = 0, se obţine:

Q = Ni·(cos - sin) (9.24)

Dacă în cazul planului luciu se observă că întotdeauna P < Q, pentru un raport similar în cazul planului aspru

este necesar ca , ceea ce se poate scrie sin(+) < sin(90-) . Rezultă deci condiţia:

+ 2 < 90 (9.22)

1cos

)sin(


8

În situaţia în care pana este scoasă dintre cele două piese A şi B, sensul forţelor de frecare se inversează,

iar în consecinţă forţa de smulgere P va fi dată de relaţia:

P = 2Q·tan(-) (9.26)

Pentru echilibrul panei, se impune ca mărimea forţei P să fie cuprinsă între valorile determinate de expresiile

(9.25) şi (9.26).

Condiţia de autofixare (odată bătută, pana să rămână fixată) se obţine impunând ca expresia (9.26) a forţei

de smulgere să fie negativă:

2Q·tan(-) 0 , de unde (9.27)

Împărţind membru cu membru expresiile (9.23) şi (9.24), se obţine relaţia de legătură dintre forţa de batere P

şi forţa de împingere laterală Q:

(9.25)

relaţie din care rezultă că, cu cât unghiurile şi sunt mai mici, cu atât forţa de împingere Q este mai mare

pentru o aceeaşi forţă de batere P.

)tan(2sincos

cossin2

QQP

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI

1

Cap.10 CINEMATICA PUNCTULUI

Pentru a defini o mişcare, funcţia (10.1) trebuie să îndeplinească următoarele condiţii impuse de fenomenul

mişcării: să fie continuă (drumul parcurs de punct nu poate prezenta întreruperi), să fie uniformă (drumul nu

se poate ramifica întrucât punctul material nu poate ocupa mai multe poziţii distincte în spaţiu în acelaşi

timp), respectiv să fie finită în modul şi derivabilă (primele două derivate reprezintă mărimi fizice).

Locul geometric al poziţiilor succesive ale punctului material în mişcare se numeşte traiectorie. Aceasta poate

fi o curbă (cazul unui punct care parcurge un cerc complet şi se opreşte), un arc de curbă (punctul parcurge

un arc de cerc şi se opreşte), respectiv o succesiune de arce de curbă suprapuse (punctul parcurgând un

cerc de mai multe ori în acelaşi sens sau oscilează de mai multe ori în ambele sensuri parcurgând un acelaşi

arc de cerc).

Elemente generale

Formularea problemei generale. Despre mişcarea unui punct se poate spune că este cunoscută dacă la orice

moment t poate fi determinată poziţia punctului faţă de un reper ales. Vectorul de poziţie al punctului faţă de

originea O a reperului se defineşte ca funcţie de timp:

(10.1))(trr


2

În coordonate carteziene, cele trei funcţii scalare

sunt abscisa x, ordonata y şi cota z, date sub forma:

(10.2)

iar vectorul de poziţie se scrie:

unde , şi sunt versorii axelor fixe.

)(,)(,)( tzztyytxx ktzjtyitxr )()()(

kji

Ca funcţie vectorială de timp, vectorul de poziţie poate fi definit cu ajutorul a trei funcţii scalare.

În coordonate cilindrice, cele trei funcţii scalare sunt

raza polară r, unghiul polar şi cota z, date sub forma:

(10.3))(,)(,)( tzzttrr

Astfel, dacă în cazul coordonatelor carteziene se consideră de exemplu funcţiile scalare x = 2t + 1, y = 2t – 1

şi z = 3t + 2, poziţia punctului la momentul începerii mişcării, respectiv la două secunde după începerea

mişcării se determină înlocuind t = 0, respectiv t = 2 în aceste expresii. Deci la momentul t = 0 punctul

material ocupă poziţia Mo(1,-1,2), iar la momentul t = 2 s punctul material ocupă poziţia M(5,1,8). În

continuare, eliminând parametrul t între funcţiile scalare date, se obţin ecuaţiile unei drepte în spaţiu:

Adică, în cazul considerat curba suport este o linie dreaptă, iar traiectoria este o semidreaptă

ce porneşte în punctul de coordonate Mo(1,-1,2).

3

2

2

1

2

1

zyx

Relaţiile (10.2) şi (10.3) sunt considerate ecuaţiile parametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul t.

Ecuaţiile curbei suport a mişcării (sub formă implicită, f(x,y,z) = 0 sau f(r,,z) = 0, sau sub formă explicită z =

f1(x,y) sau z = f1(r,)) se determină eliminând parametrul t între ecuaţiile parametrice.


3

Considerând mişcarea definită de următoarele ecuaţii parametrice:

în care a şi sunt două constante, din cea de a treia ecuaţie se constată că

mişcarea este plană (având loc în planul xOy), iar ecuaţia curbei suport a

traiectoriei este:

Deci, pentru acest caz, curba suport a mişcării punctului material este un

cerc de rază a şi centru în origine, iar traiectoria este o infinitate de cercuri

suprapuse.

0,sin,cos ztaytax

222222 )sin(cos attayx

Dacă se consideră mişcarea din planul xOy reprezentată prin ecuaţiile

parametrice:

cu o constantă, eliminarea parametrului t conduce la

Astfel curba pe care se realizează mişcarea este o parabolă având Oy axă

de simetrie şi vârful în punctul A(0,-1). Întrucât cost şi cos2t iau valori

numai între -1 şi +1, înseamnă că x şi y pot lua valori de asemenea numai

între -1 şi +1, deci curba este parabola , iar traiectoria este o

infinitate de arce suprapuse peste MoAM1 (ca mişcare oscilatorie).

tytx 2cos,cos

121cos22cos 22 xtty

12 2 xy


4

Pentru caracterizarea mişcării unui punct material nu este suficientă numai cunoaşterea traiectoriei acestuia

(două mobile parcurgând aceeaşi traiectorie se pot mişca diferit, unul “mai repede”, altul “mai încet”).

S-a definit viteza ca fiind mărimea vectorială a cărei expresie matematică este derivata vectorului de poziţie

în raport cu timpul:

(10.4)

Vectorul viteză este tangent la traiectorie în punctul considerat la momentul t, iar sensul lui corespunde

sensului mişcării.

)]([ 1 LTT

Lvr

dt

rdv

Se consideră două mobile care la momentul t se găsesc în acelaşi

punct M ≡ M’ pe aceeaşi traiectorie şi având aceeaşi viteză , iar

la momentul t1 > t se vor afla în puncte diferite M1 şi M1’, având

respectiv vitezele şi diferite atât ca direcţie cât şi ca mărime.

Adică în acelaşi interval de timp t1 – t, vectorii viteză au variat în mod

diferit.

Mărimea care caracterizează variaţia în timp a vectorului viteză este

acceleraţia:

(10.5)

Mărimea vectorială a cărei expresie matematică este derivata vitezei

în raport cu timpul sau derivata a doua a vectorului de poziţie în raport

cu timpul.

)][

]([ 2

2

LTT

L

T

varv

dt

vda

'vv

'11 vv

Continuând derivarea vectorului de poziţie în raport cu timpul se obţin vectori numiţi acceleraţii de ordin

superior. Astfel, derivata a treia în raport cu timpul a vectorului de poziţie, , adică derivata acceleraţiei în

raport cu timpul, reprezintă acceleraţia de ordinul doi şi aşa mai departe (acceleraţia poate fi considerată

acceleraţie de ordinul întâi).

În mecanica clasică studiul mişcării se opreşte la acceleraţia de ordinul întâi.

r


5

Acceleraţia se obţine derivând vectorul de poziţie de două ori în raport cu timpul, în care se ţine seama de

faptul că derivatele versorilor axelor sunt nule:

(10.8)

Deci, proiecţiile acceleraţiei pe axele de coordonate sunt:

(10.9)

kzjyixrva

zayaxa zyx ,,

Componentele vitezei şi acceleraţiei

În coordonate carteziene

Date fiind coordonatele ca funcţii de timp, x = x(t), y = y(t) şi z = z(t), vectorul de poziţie se scrie

, iar viteza se obţine prin derivarea acestuia în raport cu timpul:

(10.6)

în care s-a ţinut cont de faptul că versorii axelor sunt vectori constanţi atât ca mărime , cât şi

ca direcţie şi sens, deci derivatele lor sunt nule.

Astfel, proiecţiile vitezei pe axele de coordonate sunt:

(10.7)

kzjyixr

kzjyixrv

zvyvxv zyx ,,

1 kji


6

În coordonate polare

Sistemul de coordonate este plan, utilizându-se pentru studiul mişcării unui punct

ce are o traiectorie plană. Reperul este format dintr-un pol O şi axa polară Ox, iar

poziţia unui punct se defineşte prin coordonatele r = OM, raza polară, şi unghiul

polar al razei polare faţă de axa Ox.

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(10.10)

ecuaţia curbei suport a mişcării obţinându-se prin eliminarea parametrului t între aceste expresii (fie f(r,) = 0,

fie r = f1()).

)(,)( ttrr

Pentru a stabili direcţiile pe care se proiectează viteza şi

acceleraţia se procedează astfel:

- se consideră pe de o parte că este constant, iar r variază.

Dreapta OM pe care se poate deplasa punctul M reprezintă una din

direcţiile de proiectare, versorul ei notându-se (în sensul de

creştere al razei vectoare);

- se consideră pe de altă parte că r = OM = constant, punctul M

putând să descrie un arc de cerc de rază OM = r. Tangenta în M la

acest arc de cerc reprezintă cea de a doua direcţie de proiectare,

versorul ei notându-se (cu originea în O şi sensul de creştere al

unghiului ).

n

Versorii şi sunt perpendiculari şi definesc axele în raport cu care se proiectează vectorii viteză şi

acceleraţie în coordonate polare. Întrucât unghiul este variabil în timpul mişcării, însemnă că aceşti versori

îşi schimbă direcţia, deci derivatele lor în raport cu timpul sunt în general ne-nule. Derivatele respective se

obţin exprimând pe şi în funcţie de proiecţiile lor pe axele fixe ale sistemului cartezian xOy:

(10.11)

n

n

jinji cossin,sincos


7

Prin derivare în raport cu t, şi ţinând cont de faptul că derivatele versorilor axelor carteziene sunt nule, se

obţin:

(10.12)

)sin(cossincos

)cossin(cossin

jijin

njiji

Întrucât vectorul de poziţie se poate scrie: (10.13)

viteza, determinată prin derivarea acestuia în raport cu timpul, în care se ţine seama de expresiile (10.12),

rezultă:

(10.14)

Astfel, componentele vitezei în coordonate polare sunt:

(10.15)

rr

nrrrrrv

rvrv n ,

Derivând expresia vitezei (10.14) în raport cu timpul se obţine expresia acceleraţiei:

care, în urma introducerii expresiilor (10.12), conduce la:

(10.16)

Deci componentele acceleraţiei în coordonate polare sunt:

(10.17)

nrnrnrrra

nrrrrrnrnrnrra )2()( 2

rrarra n 2,2


8

În triedrul lui Frenet

După cum se ştie, triedrul lui Frenet este mobil, având originea în

punctul M, iar axele: tangenta la curbă, de versor în sensul de

creştere al arcului s, normala principală (în planul osculator al curbei),

de versor înspre centrul de curbură, respectiv binormala (normala

perpendiculară pe planul osculator al curbei), de versor .

Triedrul lui Frenet este caracterizat de următoarele relaţii diferenţiale:

în care reprezintă raza de curbură în punctul considerat.

1,

ds

d

ds

rd

Triedrul lui Frenet se utilizează atunci când traiectoria punctului material

este dată prin ecuaţia intrinsecă de forma:

(10.18)

în care s este arcul de curbă măsurat de la un punct fix dat M0 considerat origine a arcelor.

Mişcarea pe curba este definită de funcţia scalară:

(10.19)

numită ecuaţia orară a mişcării.

)(srr

)(tss

Prin derivarea vectorului de poziţie în raport cu timpul se obţine viteza:

(10.20)

Deci componentele vitezei pe axele triedrului lui Frenet sunt:

(10.21)

sdt

ds

ds

rdrv

0,0, vvvsv

Se observă (aşa cum de altfel este cunoscut din definiţie) că viteza este dirijată după tangenta

la traiectorie, iar scalarul ei este .sv


9

Derivând vectorul viteză se obţine acceleraţia:

de unde, ţinând seama de faptul că:

(10.22)

rezultă:

(10.23)

Astfel, componentele acceleraţiei pe axele triedrului lui Frenet sunt:

(10.24)

ssva

ss

dt

ds

ds

d

1

22 v

vs

sa

0,,22

avs

avsa

Se observă că acceleraţia are în cazul general proiecţii numai pe tangentă şi pe normala principală, deci

vectorul său este conţinut în planul osculator la curbă în M.

De asemenea se observă că acceleraţia tangenţială a poate fi pozitivă sau negativă (după cum este semnul

derivatei vitezei), dar acceleraţia normală a poate fi numai pozitivă (în sensul lui ), deci centripetă, întrucât

atât pătratul vitezei cât şi sunt cantităţi pozitive.

Dacă acceleraţia tangenţială într-un anumit interval de timp este nulă, însemnă că derivata scalarului vitezei

în raport cu timpul este nulă adică scalarul vitezei este o constantă (nu se schimbă). Această mişcare în care

punctul material parcurge arce egale în intervale de timp egale poartă denumirea de mişcare uniformă. Se

face observaţia că în cazul mişcării uniforme curbilinii ( ), acceleraţia nu este nulă întrucât are

componenta , datorită variaţiei direcţiei vitezei.

01

0

2

va

a


10

Exemple:

în mişcarea rectilinie de ecuaţie x = 3t + 7, punctul mobil are viteza v0 = 3,

iar la momentul iniţial se află în poziţia dată de x0 = 7;

pentru ecuaţia x = -4t + 10, viteza punctului mobil este v0 = -4 (în sens

invers axei), iar la momentul iniţial se află la x0 = 10;

Mişcări particulare ale punctului

a. Mişcarea unui punct este rectilinie şi uniformă dacă punctul se deplasează pe o linie dreaptă, scalarul

vitezei rămânând constant.

Datele problemei sunt: vx = v0 = const., y = 0, z=0 (10.25)

din care prin integrare se obţine: (10.26)100 Ctvdtvx Constanta de integrare C1 se determină din condiţia ca la momentul iniţial t = 0 punctul să se afle în poziţia

x0: x(t=0) = x0 = 0 + C1 C1 = x0

şi deci ecuaţia mişcării rectilinii (ecuaţia spaţiului) este:

x = v0t + x0 (10.27)

pentru ecuaţia x = t - 4, viteza punctului mobil este v0 = 1, iar la momentul

iniţial se află la x0 = -4.

În mod convenţional, funcţia (10.27) se reprezintă grafic,

obţinându-se diagrama mişcării rectilinii uniforme.

Ordonata la origine reprezintă spaţiul iniţial, iar tangenta

unghiului de înclinare reprezintă viteza punctului mobil

.0tan vx


11

Constantele de integrare C1 şi C2 se determină ştiind că la momentul iniţial t = 0 punctul se află în poziţia x0,

când are viteza v0: x(t=0) = x0 = 0 + 0 + C2 v(t=0) = v0 = 0 + C1 C1 = v0, C2 = x0.

b. Mişcarea unui punct este rectilinie uniform variată dacă punctul se deplasează pe o linie dreaptă astfel

încât scalarul acceleraţiei sale rămâne constant.

Datele problemei sunt: ax = a = const., y = 0, z = 0 (10.28)

din care prin integrare succesivă se obţine:

(10.29)21

2

112

)( CtCt

adtCatxCatdtax

Astfel, ecuaţia spaţiului în mişcarea rectilinie uniform variată este:

(10.30)

iar ecuaţia vitezei este:

(10.31)

00

2

2

1xtvatx

0vatv

Eliminând parametrul t între aceste relaţii se obţine expresia vitezei ca funcţie de spaţiu:

(10.32)

(10.33)

)(2

2

2

1

0

2

0

2

0

2

0

00

0

2

00

xxavv

a

vvxx

xa

vvv

a

vvax

a

vvt

Dacă punctul mobil pleacă din origine (x0 = 0) şi fără viteză iniţială (v0 = 0) ecuaţiile mişcării rectilinii uniform

variate devin:

(10.30’)

- formula lui Toricelli (10.31’)axv

a

vx

2

2

2


12

În funcţie de sensul relativ al vitezei şi acceleraţiei (deci în funcţie de semnul scalarilor lor), mişcarea uniform

variată poate fi accelerată sau întârziată. Astfel, dacă acceleraţia are acelaşi sens cu viteza (scalarul

acceleraţiei are acelaşi semn cu cel al vitezei), mişcarea este accelerată, iar dacă nu, este întârziată.

c. Mişcarea unui punct pe un cerc, circulară, se studiază în mod uzual

utilizând proiecţiile vectorilor viteză şi acceleraţie pe axele triedrului lui Frenet.

Se consideră ca funcţie de timp unghiul închis de raza OM, corespunzătoare

poziţiei oarecare a mobilului, cu raza origine OM0:

= (t) (10.34)

Având în vedere relaţia dintre unghiul şi arcul s, s = R, ecuaţia orară

(10.19) se poate scrie în cazul mişcării circulare:

s = R·(t) (10.35)

Exemple:

mişcarea de ecuaţie este accelerată pentru t > 0 întrucât

a = 3, v0 = 0 şi v = 3t (de acelaşi semn cu a);

2

2

3tx

mişcarea de ecuaţie este tot accelerată pentru t > 0

întrucât a = -3, v0 = 0 şi v = -3t (de acelaşi semn cu a);

2

2

3tx

mişcarea de ecuaţie este întârziată în intervalul

0 ≤ t < 2s întrucât în acest interval a = -4, v0 = 8 şi v = -4t + 8 (de

semn invers cu a), iar mai apoi, pentru t > 2s este accelerată

pentru că v devine negativă (de acelaşi semn cu scalarul a).

ttx 82 2

În ceea ce priveşte diagrama mişcării uniform variate, aceasta este o parabolă de gradul doi în t, panta curbei

într-un punct oarecare fiind viteza punctului mobil la momentul respectiv: .0tan vatvx


13

În cazul unei mişcări circulare uniforme, scalarul v rămâne constant, deci şi scalarul vitezei unghiulare este

constant. Astfel, prin integrarea relaţiilor (10.37) se obţine (în urma determinării constantei de integrare):

= 0t + 0 = 0 (10.38)

unde = 0 este viteza unghiulară constantă, iar 0 este unghiul la momentul iniţial.

Expresiile componentelor vitezei şi acceleraţiei (10.21 şi 10.24) devin:

(10.36)

în care raza de curbură este R, respectiv au fost folosite notaţiile

(10.37)

având semnificaţia de viteză unghiulară, respectiv acceleraţie unghiulară:

2222

R

R

RvaRRsaRRsv

tdt

d

tdt

d

tt

00limlim

Ecuaţiile dimensionale pentru şi sunt:

care în SI se exprimă în radiani pe secundă, respectiv radiani pe secundă la pătrat.

21

1

][

][][

1

][

][][

T

T

T

tT

Tt

În cazul unei mişcări circulare uniform variate, scalarul a rămâne constant, deci şi scalarul acceleraţiei

unghiulare este constant. Prin integrarea relaţiilor (10.37) se obţine (în urma determinării constantelor de

integrare):

(10.39)

unde = 0 este acceleraţia unghiulară constantă, iar 0 şi 0 sunt valorile corespunzătoare momentului

iniţial.

0000

2

02

1 ttt


14

d. Mişcarea pe cicloidă este cea descrisă de un punct

de pe periferia unui disc circular atunci când discul se

rostogoleşte fără să alunece pe o dreaptă în planul său.

Se consideră că centrul discului se deplasează uniform.

Condiţia de rostogolire fără alunecare se exprimă:

OI = arcMI (10.40)

Coordonatele punctului M la un moment oarecare t relativ la sistemul de axe cartezian (considerat în figură)

se scriu:

x = OM1 = OI – M1I = arcMI – MM2 = R – Rsin y = MM1 = IC – CM2 = R – Rcos (10.42)

acestea reprezentând ecuaţiile parametrice ale cicloidei.

Introducând expresia (10.41), se obţine exprimarea acestor ecuaţii în funcţie de timpul t:

x = R(t – sint) y = R(1 – cost) (10.43)

Se observă că OI = C0C = v0t, respectiv arcMI = R. Introducând aceste relaţii în (10.40) şi având în vedere

că v0 = R (prima relaţie 10.36), se obţine:

R = v0t de unde (10.41)ttR

v 0

Componentele vitezei şi acceleraţiei punctului M se obţin prin derivarea succesivă a expresiilor (10.43):

(10.44)

(10.45)tRya

tRxa

tRyv

tRtRRxv

y

x

y

x

cos

sin

sin

)cos1(cos

2

2


15

e. Mişcarea uniformă de viteză v0 a unui punct mobil

pe o elice de pas p, pe un cilindru circular drept de

rază R.

În coordonate carteziene corespunzătoare sistemului

de axe considerat în figură:

la momentul t punctul mobil se află în poziţia M pentru

care se observă arcA0M = A0M şi M1M = A0M1tan, iar

coordonatele sunt

x = OM1cos = Rcos

y = OM1sin = Rsin (10.47)

z = MM1 = A0M1tan = arcA0M1tan = R tan

În urma desfăşurării cilindrului se obţine o succesiune

de segmente de dreaptă, paralele între ele, ce fac cu

orizontala unghiul :

(10.46)R

p

2tan

proiecţiile vitezei în raport cu axele sistemului se obţin:

(10.48)

cu care modulul vitezei punctului mobil rezultă:

(10.49)

tancossin RzvRyvRxv zyx

costancossin 222222

R

Rvvvv zyx


16

Funcţia = (t) se determină punând condiţia ca modulul vitezei să fie o mărime constantă v0:

de unde (10.50)R

vv

Rv

cos

cos

00

Notând această mărime constantă , prin integrare (şi în urma stabilirii constantei de integrare) se

ajunge la = 0t + 0. Având în vedere că la momentul t = 0 punctul mobil pleacă din poziţia A0, înseamnă că

0 = 0, deci

= 0t (10.51)

0

Astfel proiecţiile vitezei pe axe devin:

vx = -R0sin0t vy = R0cos0t vz = R0tan (10.52)

iar prin derivarea lor în raport cu t, se obţin proiecţiile acceleraţiei:

ax = -R02cos0t ay = -R0

2sin0t az = 0 (10.53)

respectiv modulul acceleraţiei:

(10.54)2

0

222Raaaa zyx

În coordonate intrinseci corespunzătoare triedrului lui Frenet, ecuaţia orară a mişcării uniforme (10.19) se

scrie:

s = v0t + s0 (10.55)

care prin derivare succesivă conduce la componentele:

(10.56)

unde este raza de curbură a elicei.

2

0

2

0 0vs

asavsv

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

1

Definirea unui anumit punct P al rigidului presupune cunoaşterea coordonatelor sale în raport cu un sistem

de referinţă solidar cu rigidul, spre exemplu sistemul Oxyz ce formează triedrul mobil T. Întrucât punctul P nu

îşi schimbă poziţia relativ la acest sistem, coordonatele x, y şi z rămân constante pe parcursul mişcării.

Relativ la un sistem O1x1y1z1, ce formează triedrul fix T1, coordonatele x1, y1 şi z1 ale punctului P sunt

variabile în timpul mişcării.

Elemente generale

Formularea problemei generale. Mişcarea unui solid rigid este definită

atunci când se cunosc în orice moment poziţia, viteza şi acceleraţia unui

punct oarecare P al rigidului în raport cu un reper fix T1 (triedrul fix

O1x1y1z1). Aparent numărul necunoscutelor este foarte mare (câte trei

coordonate pentru fiecare punct al solidului), dar ţinând cont de condiţia

de rigiditate (distanţa între două puncte oarecare rămâne constantă),

numărul necunoscutelor independente este de fapt mult mai mic.

Poziţia triedrului mobil T relativ la triedrul fix T1 este determinată în fiecare moment t prin vectorul de poziţie

al originii O şi prin versorii axelor Ox, Oy şi Oz: .)(,)(,)(,)(00 tkktjjtiitrr

Cap.11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

Poziţia punctului P este definită faţă de sistemul de axe mobil prin vectorul de poziţie , respectiv faţă de

sistemul de axe fix prin vectorul de poziţie . Între vectorii de poziţie există următoarea relaţie:

(11.1)

r

1r

kzjyixrrrr 001


2

Întrucât coordonatele x, y şi z sunt cunoscute (punctul pentru care se caută să se determine mişcarea este

dat), înseamnă că necunoscutele problemei sunt numai funcţiile vectoriale şi

fiecare introducând câte trei necunoscute scalare (proiecţiile pe axe). Astfel numărul total de

necunoscute scalare este 12, dar nici acestea nu sunt independente. Versorii axelor unui triedru ortogonal

au modulul egal cu unitatea şi sunt ortogonali doi câte doi:

(11.2)

)(),(),(00 tjjtiitrr

)(tkk

000

111 222

ikkjji

kji

Semnificaţia vectorilor se determină pe baza proiecţiilor acestora pe axele triedrului mobil T

(produsul scalar dintre vector şi versorul axei în raport cu care se scrie proiecţia):

(11.4)

Aceste produse scalare sunt puse în evidenţă prin derivarea relaţiilor (11.2) în raport cu timpul:

(11.5)

Se observă că din cele nouă proiecţii trei sunt nule, iar celelalte şase sunt două câte două egale în modul şi

de semn schimbat, putând fi scrise:

(11.6)

unde x, y şi z sunt trei mărimi scalare.

kji ,,

kkjkik

kjjjij

kijiii

,,

,,

,,

0,0,0,02,02,02 ikikkjkjjijikkjjii

zyx jijiikikkjkj ,,

Distribuţia vitezelor. Viteza punctului P al rigidului în raport cu triedrul fix T1 se obţine prin derivarea expresiei

(11.1) în raport cu timpul:

(11.3)

în care reprezintă viteza punctului origine a triedrului mobil ( ), iar derivatele coordonatelor x, y şi z

(mărimi constante) sunt nule.

kzjyixrkzjyixkzjyixrrrrv 0001

0r

0v


3

Deci tabloul (11.4) este antisimetric în raport cu diagonala principală şi poate fi scris:

(11.7)

0

0

0

xy

xz

yz

iar în consecinţă rezultă expresiile:

(11.8)jikkijkji xyxzyz ,,

Interpretând scalarii x, y, z drept proiecţii ale unui vector , atunci expresiile

reprezentate de tabloul (11.7) se pot scrie:

- formulele lui Poisson (11.9)

kji zyx

kkjjii ,,

Introducând aceste formule în relaţia (11.3) se obţine:

(11.10)

- formula lui Euler pentru distribuţia de viteze într-un rigid.rvkzjyixv

kzjyixvkzjyixvrvv

00

000

)(

)()()(

Distribuţia acceleraţiilor. Derivând expresia (11.10) în raport cu timpul se obţine acceleraţia punctului

oarecare P al rigidului:

(11.11)

în care reprezintă acceleraţia originii triedrului mobil ( ).

rrvva 0

0v0a

Notând totodată , respectiv ţinând cont de faptul că , se ajunge la:

(11.12)

- formula lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii într-un rigid.

rr

)(0 rraa

MECANICA CONSTRUCŢIILOR

An I – Inginerie Civilăsem.2, 14 săptămâni

nr.ore: 2c+2s / săpt.

nr. credite: 5,

mod de verificare a cunoştinţelor: E + NA

Facultatea de Hidrotehnică, U.P. Timişoara ş.l.dr.ing. Şerban-Vlad NICOARĂ

Februarie 2007

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 00 CUPRINS

2

CUPRINSCap.01 INTRODUCERE – Obiectul Mecanicii Construcţiilor; Spaţiu şi timp; Sistem de referinţă; Viteza,

acceleraţia; Masa; Impulsul; Interacţiunea mecanică, forţa; Principiile mecanicii; Lucrul mecanic; Energia cinetică;

Diviziunile mecanicii; Mărimi fizice; Unităţi de măsură.

STATICA

Cap.02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL – Punct material liber; punct material supus la legături; Sisteme de

forţe concurente; Condiţia de repaus; Axioma legăturilor; Legături ideale; Legături cu frecare.

Cap.03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI – Caracterul de vector alunecător; Momentul unui vector în

raport cu un punct, respectiv în raport cu o axă; Sisteme de vectori alunecători; Invarianţi, vector rezultant, vector

moment rezultant; Reducerea sistemelor de vectori alunecători; Sisteme particulare de vectori alunecători.

Cap.04 CENTRUL MASELOR – Centru de greutate; Proprietăţi; Momente statice; Centrul maselor la corpuri

omogene.

Cap.05 STATICA RIGIDULUI – Rigidul liber, condiţii de echilibru, probleme; Rigidul supus la legături fără frecare:

generalităţi, reazemul simplu (mobil), articulaţia, încastrarea, condiţii de echilibru, determinarea grafică a

recţiunilor; Rigidul supus la legături cu frecare.

Cap.06 SISTEME DE CORPURI – Generalităţi; Condiţia de echilibru; Teoreme; Statica sistemelor.

Cap.07 SISTEME DE BARE ARTICULATE – Generalităţi, ipoteze simplificatoare; Metoda izolării nodurilor;

Metoda secţiunilor.

Cap.08 STATICA FIRELOR – Generalităţi; Ecuaţia generală, ecuaţii diferenţiale; Fir neacţionat de sarcini

exterioare, acţionat de sarcini normale, acţionat de greutatea proprie (lănţişorul), acţionat de sarcini concentrate;

Rigiditatea firelor.

Cap.09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII – Generalităţi; Pârghia; Scripetele, sisteme de scripeţi; planul

înclinat; pana.


3

CINEMATICA – mişcarea în raport cu un sistem de referinţă fix

Cap.10 CINEMATICA PUNCTULUI – Elemente generale; Componentele vitezei şi acceleraţiei; Mişcări

particulare.

Cap.11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID – Elemente generale; Mişcări particulare; Mişcarea generală.

DINAMICA

Cap.12 DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER – Formularea problemelor generale; Mişcarea punctului

material liber sub acţiunea greutăţii proprii; Mişcarea punctului material liber sub acţiunea unei forţe centrale.

Cap.13 TEOREMELE GENERALE ÎN CAZUL PUNCTULUI MATERIAL – Teorema impulsului; teorema

momentului cinetic; Teorema energiei cinetice şi a lucrului mecanic; Teoreme de conservare.

Cap.14 DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI – Generalităţi; Studiul calitativ a mişcării

pendulului simplu, respectiv pendulului sferic.

Cap.15 DINAMICA MIŞCĂRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL – Ecuaţia fundamentală, forţe

complementare; Sisteme inerţiale; Forţe complementare la suprafaţa Pământului (Pendulul Foucault); Repausul

relativ.

Cap.16 TEOREME GENERALE ÎN CAZUL SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE – Teorema impulsului;

Teorema momentului cinetic; Teorema energiei cinetice şi a lucrului mecanic; Putere mecanică, randament

mecanic.

Cap.17 MOMENTE DE INERŢIE – Generalităţi; Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele, respectiv

în raport cu axe concurente; Direcţii principale de inerţie, momente de inerţie principale; Rază de inerţie.

Cap.18 DINAMICA RIGIDULUI CU AXĂ FIXĂ – Ecuaţii de mişcare.

Cap.19 DINAMICA RIGIDULUI CU PUNCT FIX – Generalităţi; Relaţii; Ecuaţii de mişcare; Cazuri integrabilitate.


4

Cap.20 DINAMICA MIŞCĂRII GENERALE A RIGIDULUI – Ecuaţii generale.

Cap.21 MIŞCĂRI IMPULSIVE, CIOCNIRI – Generalităţi; teoremele generale ale dinamicii în cazul mişcărilor

impulsive; Ciocnirea centrală a două sfere; Ciocnirea unui solid liber având o mişcare oarecare.

VIBRAŢII MECANICE

Cap.22 ELEMENTE DE CINEMATICA VIBRAŢIILOR – Mişcarea periodică; Vibraţie armonică;Vibraţie modulată

în amplitudine, respectiv în frecvenţă; Compunerea vibraţiilor; Analiza armonică.

Cap.23 VIBRAŢII LINIARE CU UN GRAD DE LIBERTATE – Grade de libertate; Vibraţia liniară liberă

neamortizată; Vibraţia liniară liberă amortizată; Vibraţia liniară forţată fără amortizare; Vibraţia liniară forţată cu

amortizare; Impedanţa mecanică; Transmisibilitatea; Generalităţi privind combaterea efectelor dăunătoare ale

vibraţiilor; Noţiuni de teoria instrumentelor seismice.

Cap.24 VIBRAŢII LINIARE CU UN NUMĂR FINIT DE GRADE DE LIBERTATE – Vibraţii liniare libere fără

amortizare; Vibraţii liniare libere cu amortizare; Vibraţii liniare forţate.

Cap.25 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE – Generalităţi; Coarda vibrantă; Vibraţiile longitudinale ale unei

bare elastice rectilinii; Vibraţiile la răsucire ale barei drepte; Vibraţiile la încovoiere ale barei drepte.

Cap.26 STABILITATEA MIŞCĂRII – Generalităţi; Stabilitatea unui sistem conservativ; Stabilitatea sistemelor

neliniare; Stabilitatea sistemelor neautonome.

Cap.27 VIBARŢII PARAMETRICE – Generalităţi; Stabilitatea vibraţiilor parametrice.

Cap.28 VIBARŢII NELINIARE – Generalităţi; Metode de determinare a perioadei vibraţiilor neliniare libere

neamortizate.

Cap.29 AUTOVIBRAŢII – Generalităţi; Autovibraţii produse de acţiunea rezistenţei aerului şi a portanţei;

Autovibraţii neliniare, vibraţii de relaxare.

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE

1

Cap.01 INTRODUCERE

Obiectul Mecanicii Construcţiilor

În mecanica teoretică clasică se studiază corpurile materiale, acestea aflându-se într-o permanentă

stare de mişcare.

Mişcare = orice schimbare, proces, care are loc în univers, începând cu mişcarea mecanică,

continuând cu mişcarea fizică, chimică şi biologică.

Mecanica teoretică clasică este ştiinţa naturii care studiază forma cea mai simplă de mişcare a

materiei, care constă din deplasarea relativă a corpurilor materiale “macroscopice” sau a unor părţi din

aceste corpuri. Se menţionează că studiul se limitează la acele deplasări care au loc cu viteze

neglijabile în raport cu aceea de propagare a undelor electromagnetice (respectiv a luminii) în vid.

Spaţiu şi timp

Pentru fenomenele care formează obiectul mecanicii clasice se consideră ca fiind satisfăcătoare:

- modelul spaţiului euclidian tridimensional E3 pentru spaţiul fizic – omogen, izotrop şi infinit, cu

metrica , respectiv

- modelul euclidian unidimensional E1 pentru timpul fizic – omogen, uniform, infinit şi variind într-un

singur sens.

2222 dzdydxds


2

Sistem de referinţă

Pentru a defini deplasarea unui corp, aceasta trebuie raportată la un alt corp care va fi denumit reper sau

sistem de referinţă. În principiu orice corp considerat rigid poate servi ca sistem de referinţă pentru o

mişcare mecanică.

Cel mai vechi sistem de referinţă folosit este sistemul geocentric (Ptolomeu), în care mişcările corpurilor

sunt raportate la Pământ, considerat fix.

Un alt sistem de referinţă, fundamentat ştiinţific, este sistemul heliocentric (Copernic) în care mişcările

corpurilor sunt raportate la Soare, considerat fix.

Având în vedere că rotaţia Pământului atât în jurul axei sale cât şi în jurul Soarelui sunt destul de lente, se

poate considera că pentru nevoile curente ale tehnicii (mecanicii clasice) sistemul geocentric conduce la

rezultate absolut satisfăcătoare în studiul mişcărilor mecanice ce au loc la suprafaţa Pământului (abaterile de

la legile lui Newton sunt foarte mici).

Viteza, acceleraţia

Se consideră deplasarea în raport cu un sistem de referinţă a unui

corp M de dimensiuni neglijabile, în mişcarea sa corpul ocupând

diferite poziţii.

Locul geometric al tuturor poziţiilor ocupate de corp poartă numele

de traiectorie.

Considerând pe traiectorie două poziţii infinit vecine M şi M’ pe

care corpul le ocupă la momentele t şi t+t, mărimea

reprezintă viteza medie în intervalul de timp (t, t+ t).t

arcMM

'


3

Când t tinde către zero se ajunge la noţiunea de viteză în punctul M, căreia i se atribuie în mod

convenţional o direcţie – tangentă la traiectorie – şi un sens – acela al mişcării:

(0.1) Întrucât se obţine

(0.1’) viteza unui corp într-un punct este egală cu derivata vectorului de

poziţie a acelui punct în raport cu timpul.

t

MMv

t

'lim

0

)()('' trttrOMOMMM

dt

rdv

Considerând vitezele corpului în cele două poziţii M şi M’,

diferenţa lor este

Împărţind această diferenţă cu intervalul de timp t se obţine o

mărime ce măsoară iuţeala cu care viteza variază în unitatea de

timp, denumită acceleraţie medie a corpului în intervalul de timp

(t, t+ t).

Când t tinde către zero se obţine acceleraţia în punctul M:

(0.2)

acceleraţia unui corp într-un punct este egală cu derivata a

doua a vectorului de poziţie a acelui punct în raport cu timpul.

)()( tvttvv

2

2

0lim

dt

rd

dt

vd

t

va

t

Se observă că acceleraţia poate fi nulă numai în cazul în care viteza este constantă, adică atunci când atât

direcţia cât şi modulul acesteia rămân constante în intervalul de timp t (cazul mişcării rectilinii şi uniforme).

a v


4

Masa

Se defineşte (Newton):

Cantitatea de materie m – numită masă – este dată prin produsul dintre densitatea şi volumul V al acesteia:

(0.3)

Se va considera că masa este o caracteristică constantă a unui corp.

Vm

Impulsul

Prin definiţie (Newton):

Cantitatea de mişcare – numită impuls – este dată de produsul dintre cantitatea de materie m şi viteza

a acesteia: (0.4)

În cazul unui sistem de puncte materiale de mase mi şi de viteze (cu i = 1,n), mişcarea mecanică este

caracterizată prin vectorul:

(0.4’)

H v

vmH

n

i

iivmH1

iv


5

Interacţiunea mecanică, forţa

Variaţia a impulsului unui sistem de puncte materiale într-un interval de timp t indică faptul că asupra

sistemului a fost exercitată o interacţiune mecanică. Atunci când pentru variaţia impulsului (măsura

interacţiunii mecanice într-un interval de timp) se consideră că t tinde către zero, se ajunge la noţiunea

de măsura a interacţiunii mecanice exercitate la un moment dat:

(0.5)

dt

Hd

t

H

t

0lim

H

Astfel, mărimea fizică vectorială care măsoară interacţiunea mecanică la un moment dat poartă

denumirea de forţă. În cazul unui corp material de dimensiuni neglijabile forţa depinde de poziţia sa, de

viteză şi de timp:

(0.6)),,( tvrFF

În sistemul cartezian de coordonate, proiecţiile vectorului forţă se vor scrie ca funcţii de coordonatele

punctului, de proiecţiile vectorului viteză pe axe şi de timp:

(0.6’)

),,,,,,(

),,,,,,(

),,,,,,(

tdt

dz

dt

dy

dt

dxzyxZZ

tdt

dz

dt

dy

dt

dxzyxYY

tdt

dz

dt

dy

dt

dxzyxXX


6

Principiile mecanicii

Formulate de către Isaac Newton sub denumirea de “Axiomele sau Legile mişcării”, principiile mecanicii se

enunţă astfel:

Legea I. Orice corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare uniformă în linie dreaptă, dacă nu

este constrâns să-şi schimbe starea de către forţe imprimate.

Legea II. Variaţia mişcării este proporţională cu forţa motoare imprimată şi este dirijată după linia

dreaptă în lungul căreia este imprimată forţa.

Legea III. Reacţiunea este totdeauna contrară şi egală cu acţiunea, respectiv acţiunile reciproce a două

corpuri sunt totdeauna egale şi dirijate în sensuri contrare.

La aceste legi sunt adăugate o serie de corolare, dintre care se citează:

Corolarul I. Un corp sub acţiunea a două forţe unite descrie diagonala unui paralelogram în acelaşi timp

în care ar descrie laturile sub acţiunile separate ale forţelor.

Observaţii

1) În formularea legilor mişcării, denumirea de corp are sensul de punct material. Un corp de formă şi

dimensiuni ce nu pot fi neglijate va avea, atunci când nu este acţionat de nici o forţă, o mişcare mai

complicată decât cea de translaţie rectilinie şi uniformă.

2) Enunţurile formulate presupun că mişcarea este raportată la un sistem de referinţă absolut şi imobil.

3) Cea de a doua lege poate fi scrisă: sau, având în vedere că masa este

considerată constantă, respectiv considerând acceleraţia punctului material:

(0.7)

Fdt

vmd

dt

Hd

)(

Fam


7

Lucrul mecanic

Lucrul mecanic al unei forţe de modul şi direcţie constante în parcurgerea unei deplasări rectilinii de aceeaşi

direcţie poate fi scris sub forma produsului scalar .'AAF

În cazul unei forţe variabile al cărei punct de aplicaţie descrie o

traiectorie AB, divizată printr-un număr de puncte A1, A2, …, An,

lucrul mecanic se poate scrie în mod aproximativ de-a lungul

liniei poligonale AA1A2…AnB considerând că pe fiecare porţiune

forţa rămâne constantă ca modul şi direcţie:

Atunci când numărul punctelor de diviziune tinde către infinit,

lungimile laturilor liniei poligonale tind către zero, iar expresia

exactă a lucrului mecanic se obţine sub forma unei integrale

curbilinii:

(0.8)

BAFAAFAAFAAFAAF nnnnn 1132221110

ABAB

dzZdyYdxXrdFL )(

unde produsul scalar poartă denumirea de lucru mecanic elementar, este

forţa, X, Y şi Z sunt proiecţiile acesteia pe axele 0x, 0y şi 0z ale unui sistem ortogonal, este vectorul de poziţie

al punctului ei de aplicaţie, deplasarea elementară a punctului, iar dx, dy şi dz sunt proiecţiile deplasării pe

axe.

dzZdyYdxXrdF Fr

rd


8

Energia cinetică

Plecând de la expresia lucrului mecanic, pentru un singur punct material în parcurgerea unei traiectorii A0A se

poate scrie:

în care s-a notat mărimea scalară (0.9)

ce poartă denumirea de energia cinetică a punctului material considerat.

0

22

00

000

0000

)2

1()

2

1(

EEEEdE

mvdvmdvdvm

dt

rdvmdrd

dt

vdmrdamrdFL

AAAA

AAAAAA

AAAAAAAA

2

2

1mvE

În cazul unui sistem de n puncte materiale, energia cinetică este dată de expresia:

(0.9’)

n

i

iivmE1

2

2

1

Se observă că dacă se presupune că , rezultă că .00 E LE


9

Diviziunile mecanicii

În mod clasic, mecanica se compune din următoarele trei părţi:

Statica – în care se face abstracţie de mişcare şi se studiază forţele ce acţionează asupra unui corp sau

sistem de corpuri, determinându-se clasa sistemelor de forţe echivalente. De asemenea statica se ocupă cu

subclasa sistemelor de forţe care îşi fac echilibrul.

Cinematica – în care se studiază mişcarea corpurilor, făcând abstracţie de forţele care acţionează asupra lor.

Dinamica – în care se studiază mişcarea corpurilor sub acţiunea forţelor care acţionează asupra lor.

Mărimi fizice

În vederea dezvoltării noţiunii de mărime fizică sunt necesare trei condiţii pe care trebuie să le îndeplinească

o mulţime de obiecte fizice de aceeaşi natură pentru ca acestea să fie considerate din punctul de vedere al

unei anumite însuşiri:

a) posibilitatea stabilirii unei relaţii de echivalenţă, a unui criteriu care să permită repartizarea obiectelor

respective în clase de echivalenţă;

b) posibilitatea stabilirii unei relaţii de ordonare între clasele de echivalenţă, a unui criteriu prin care să se

aprecieze dacă, în ceea ce priveşte o însuşire oarecare, obiectele aparţinând unei clase sunt mai mari sau

mai mici decât obiectele aparţinând altei clase;

c) posibilitatea stabilirii unui criteriu de comparaţie care să permită şi stabilirea faptului de câte ori sunt mai

mari sau mai mici obiectele dintr-o anumită clasă de echivalenţă faţă de cele din altă clasă de echivalenţă.

Exemplu: obiecte fizice FORŢELE

însuşiri DIRECŢIA – stabileşte o relaţie de echivalenţă ce grupează în aceeaşi clasă forţele de

aceeaşi direcţie (paralele);

INTENSITATEA – stabileşte o relaţie de ordonare în funcţie de efectul (deformaţia)

produs de fiecare forţă.


10

În ceea ce priveşte criteriul de comparaţie, se fac două convenţii: convenţia de intensitate zero (atunci când

efectul, deformaţia produsă, este nul, adică nu acţionează nici o forţă) şi convenţia de intensitate egală cu

unitatea.

Pe baza criteriului de comparaţie, fiecărei clase de mărimi fizice i se atribuie un număr abstract – valoare

numerică n a intensităţii – astfel încât o mărime fizică poate fi considerată ca un produs între valoarea

numerică atribuită şi unitatea de măsură: M = n·U.

Unităţi de măsură

Mărimile fizice din natură nu sunt independente, între ele subzistând anumite relaţii.

Se pot distinge totuşi câteva mărimi fizice independente – numite mărimi primitive sau fundamentale – în

funcţie de care toate celelalte mărimi – numite derivate – pot fi exprimate prin relaţii.

În consecinţă unităţile de măsură vor fi grupate în unităţi de măsură primitive sau fundamentale şi unităţi

de măsură derivate, toate alcătuind un sistem de unităţi de măsură. În funcţie de mărimile primitive

considerate, respectiv în funcţie de unităţile de măsură considerate pentru aceste mărimi, există diferite

sisteme de unităţi de măsură: sistemul fizic (mărimi primitive: lungime, durată, masă), sistemul tehnic (mărimi

primitive: lungime, durată, forţă), sistemul CGS (unităţi primitive: centimetrul, secunda, gramul), sistemul

internaţional SI (unităţi primitive: centimetrul, secunda, kilogramul).


Mărimea Simbol DimensiuniUnitate de măsură

notaţie denumire1 2 3 4 5

a) Mărimi primitive (fundamentale)

Lungime l L m metru

Timp (durată) t T s secundă

Masă m M kg kilogram

b) Mărimi derivate

Arie A; S L2 m2 metru pătrat

Volum V L3 m3 metru cub

Unghi plan , , …, --- rad. radian

Perioadă T T s secundă

Frecvenţă f T-1 Hz hertz

Pulsaţie (frecvenţă

unghiulară), p T-1 s-1 unu pe secundă

Viteză unghiulară T-1 rad/s radian pe secundă

11

Unităţi de măsură folosite în Mecanică, conform Sistemului Internaţional de unităţi de măsură


1 2 3 4 5

Acceleraţie unghiulară T-2 rad/s2 radian pe secundă

la pătrat

Viteză v LT-1 m/s metru pe secundă

Acceleraţie a LT-2 m/s2 metru pe secundă

la pătrat

Densitate (masă volumică) L-3M kg/m3 kilogram pe metru

cub

Densitate de suprafaţă a

maseiA; S L-2M kg/m2 kilogram pe metru

pătrat

Densitate de lungime a

maseil L-1M kg/m kilogram pe metru

Moment de inerţie al masei

(dinamic)J L2M kg·m2 kilogram metru

pătrat

Forţă F LMT-2 N newton

Presiune p L-1MT-2 N/m2 newton pe metru

pătrat

Greutate specifică

(volumică) L-2MT-2 N/m3 newton pe metru

cub

Momentul unei forţe (cuplu) M; M L2MT-2 N·m newton metru

Impuls H LMT-1 kg·m/skilogram metru pe

secundă

Moment cinetic K L2MT-1 kg·m2/skilogram metru

pătrat pe secundă

12


1 2 3 4 5

Percuţie (impulsul forţei) P LMT-1 N·s newton secundă

Lucru mecanic L L2MT-2 J joule

Energie (mecanică) E; V; U; Et; W L2MT-2 J joule

Putere (mecanică) P L2MT-3 W watt

13

Prefixe şi simboluri pentru multipli şi submultipli zecimali

Submultipli Multipli

prefix simbol Factor de

multiplicare

prefix simbol Factor de

multiplicare

deci d 0,1 = 10-1 deca da 10

centi c 0,01 = 10-2 hecto h 100 = 102

mili m 0,001= 10-3 kilo k 1000 = 103

micro 10-6 mega M 106

nano n 10-9 giga G 109

pico p 10-12 terra T 1012

femto f 10-15

atto a 10-18

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL

1

Punct material liber; punct material supus la legături

Un punct material este liber atunci când poate ocupa orice poziţie în spaţiu, nefiind stânjenit de nici o

obligaţie geometrică. Poziţia punctului se defineşte, în general, prin trei parametrii scalari, independenţi între

ei (de ex. coordonatele carteziene x, y, z). Se spune că punctul material liber are trei grade de libertate.

Punctul material obligat geometric să ocupe anumite poziţii în spaţiu se spune că este supus la legături.

Un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă are două grade de libertate (sunt necesari doi parametri

pentru a-i defini poziţia), un punct material obligat să rămână pe o curbă are un grad de libertate, iar un punct

material obligat să rămână într-un punct fix din spaţiu nu are nici un grad de libertate.

Dacă asupra unui punct material acţionează simultan două forţe, acestea pot fi înlocuite cu una singură –

numită rezultantă –, mărimea, direcţia şi sensul ei fiind date de diagonala paralelogramului construit cu

ajutorul vectorilor celor două forţe – principiul paralelogramului. În cazul când asupra punctului material

acţionează mai multe forţe, se ajunge prin extensie la construcţia numită poligonul forţelor.

Sisteme de forţe concurente

Atunci când un sistem de forţe acţionează asupra aceluiaşi punct de aplicaţie, se spune că forţele sunt

concurente, iar vectorii ce reprezintă aceste forţe se consideră vectori legaţi.

Cap.02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL

Cel mai general sistem de forţe concurente este echivalent cu o forţă unică – rezultanta

sistemului – egală cu suma vectorială a forţelor componente:

(2.1)

nFFF ,,, 21 R

n

i

iF1

R

În particular, dacă , sistemul de forţe este în echilibru.0R


2

Axioma legăturilor

Orice legătură geometrică poate fi întotdeauna înlocuită cu o forţă denumită forţă de legătură (sau reacţiune).

Punctul material, eliberat de legături, acţionat de forţele date şi de reacţiune este echivalent din punct de

vedere mecanic cu punctul material supus la legături.

Relativ la axele de coordonate carteziene Ox, Oy şi Oz, această condiţie se scrie:

(2.2)0,0,0 iii ZYX

În cazul unui sistem de forţe plan, cea de a trei-a ecuaţie devine o identitate, rămânând numai două ecuaţii de

proiecţie:

(2.3)0,0 ii YX

În cazul unor forţe coliniare (spre exemplu pe axa Ox), condiţia de echilibru se exprimă printr-o singură

ecuaţie de proiecţie:

(2.4)0 iX

Condiţia de repaus

Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material liber, aflat iniţial în repaus, să continue să rămână în

repaus sub acţiunea unui sistem de forţe concurente este ca acest sistem de forţe să fie în echilibru.

Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material supus la legături să rămână în repaus este:

(2.5)0 RR


3

Legături ideale

Prin legături ideale (sau lucii) se înţeleg legăturile la care forţele numite de frecare (componenta tangenţială a

reacţiunii) sunt nule. Asemenea legături nu există în realitate, dar pot fi curbe sau suprafeţe la care forţa de

frecare este atât de mică încât, într-o primă aproximaţie, aceasta poate fi neglijată. La aceste legături

reacţiunea prezintă doar componenta normală .NR

Condiţia de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală se scrie:

(2.6)0 NR

Legături cu frecare

În cazul curbelor şi suprafeţelor aspre, componenta tangenţială a reacţiunii, forţa de frecare, nu poate fi

neglijată. Proprietăţile forţei de frecare sunt: direcţia ei este tangentă la curbă sau suprafaţă, sensul ei este

invers tendinţei de alunecare, respectiv pentru ca punctul material să se găsească în repaus este necesar ca

modulul acestei forţe să respecte condiţia:

(2.7)

în care reprezintă coeficientul de frecare la alunecare.

T

NT

Condiţia de echilibru a punctului capătă următorul aspect geometric: suportul rezultantei a forţelor

efectiv aplicate trebuie să facă cu normala la plan un unghi mai mic decât unghiul de frecare.

R

Se consideră un punct material pe o suprafaţă aspră (coeficient de frecare )

acţionat de o forţă rezultantă , notându-se cu unghiul făcut de reacţiune

cu normala la suprafaţă, respectiv cu acelaşi unghi dar în cazul echilibrului

la limită. Se poate scrie:

(2.8)

în care este denumit unghi de frecare.

R

N

Ntg

N

Ttg

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI

1

Caracterul de vector alunecător

Se consideră un corp rigid, adică un corp la care distanţa între oricare două puncte rămâne aceeaşi atunci

când asupra sa acţionează un sistem de forţe finite. Deşi în natură corpurile sunt deformabile, deci această

condiţie nu se realizează niciodată, totuşi materialele ce intervin în tehnică sunt de obicei foarte puţin

deformabile astfel încât, în mod aproximativ, deformaţiile lor pot fi neglijate.

Cap.03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI

Astfel, două forţe egale în modul dar direct opuse, aplicate în

două puncte A şi B nu vor avea nici un efect asupra rigidului.

Fie o forţă aplicată într-un punct A al rigidului, respectiv două forţe egale şi opuse aplicate într-un punct B al

rigidului, pe suportul primei forţe. Se observă că efectul primei forţe nu se schimbă. Suprimând perechea de

forţe formată din cea aplicată în A şi cea de sens direct opus aplicată în B, nu se schimbă de asemenea

nimic în ceea ce priveşte efectul forţelor asupra rigidului.

Astfel, forţele care acţionează asupra unui rigid pot

fi reprezentate prin vectori alunecători (glisanţi).


2

Modulul momentului unui vector în raport cu un punct este egal cu produsul dintre modulul vectorului şi

distanţa de la punct la suportul vectorului (braţul vectorului în raport cu punctul).

Se observă că atunci când punctul în raport cu care se caută momentul se află pe suportul vectorului,

momentul vectorului este nul.

Momentul unui vector în raport cu un punct, respectiv în raport cu o axă

Definiţie: momentul unui vector în raport cu un punct O este produsul vectorial dintre vectorul de poziţie

al punctului de aplicaţie A al vectorului şi vectorul :

(3.1)

VVr

VrVMO )(

Astfel, momentul unui vector în raport cu un punct este un

vector de direcţie perpendiculară pe planul determinat de punct

şi suportul vectorului, având sensul dat de şurubul drept

respectiv modulul egal cu produsul .

(3.2)dVVMO )(

sinVr

dOBOAr sinsin

Proiecţiile momentului vectorului în raport cu punctul O pe axele sistemului cartezian se obţin ţinând seama

de proiecţiile vectorului de poziţie x, y, z (deci coordonatele punctului de aplicaţie A) şi de proiecţiile X, Y, Z

ale vectorului:

Mx = y·Z – z·Y , My = z·X – x·Z , Mz = x·Y – y·X (3.3)

V


3

Notând versorul axei , se poate scrie:

deci

(3.5)

momentul unui vector în raport cu o axă este produsul mixt

dintre vectorii , şi versorul al axei.

u

MVMuVM OO cos1)()(

uVruVMM O )()(

r V u

Oricare ar fi punctul O pe o axă, expresia momentului în raport cu acea axă este aceeaşi.

Definiţie: momentul unui vector în raport cu o axă este proiecţia pe această axă a momentului

vectorului în raport cu un punct O arbitrar de pe axă:

(3.4)

unde cu s-a notat unghiul vectorului faţă de axa .

V

cos)( VMM O

)(VMO

Se consideră axa , suportul D al vectorului şi perpendiculara

lor comună OA. Planul determinat de punctul O şi suportul D se

notează P. Dacă se consideră o paralelă D’ la suportul D şi se

notează cu unghiul format de axa cu D’, atunci se poate

scrie:

(3.6)

momentul unui vector în raport cu o axă este egal cu produsul

dintre modulul vectorului, lungimea perpendicularei comune d

dintre axă şi suportul vectorului şi sinusul unghiului dintre axă

şi vector.

V

sinsin)( dVVMM O


4

Se consideră un plan P normal la axa şi se descompune

vectorul în componentele - după o direcţie paralelă cu

planul P - şi - după o direcţie paralelă cu axa . Se observă

că momentul componentei în raport cu punctul O va fi

perpendicular pe planul P, deci pe direcţia axei , iar momentul

componentei în raport cu punctul O va fi cuprins în planul P,

deci perpendicular pe axa . Astfel rezultă:

(3.7)

momentul unui vector în raport cu o axă este egal cu

scalarul momentului proiecţiei a vectorului pe un plan P

normal pe axă, în raport cu punctul O în care axa înţeapă

planul.

V 1V

2V

uVrVrVMM O )()( 11111

V

1V

1V

2V

Momentul unui vector în raport cu o axă este nul atunci când suportul vectorului este coplanar cu axa.

Caracterizarea unui vector alunecător

În mod teoretic, pentru caracterizarea unui vector alunecător sunt

necesare cinci mărimi scalare independente: proiecţiile sale X, Y, Z în

raport cu cele trei axe de coordonate carteziene (aceştia determinând

şi parametrii directori ai dreptei suport) şi coordonatele punctului în

care dreapta suport înţeapă spre exemplu planul xOy (xo, yo, ceea ce

completează definirea dreptei suport).

V

În mod practic, pentru determinarea unui vector alunecător se

obişnuieşte să fie utilizate şase mărimi scalare: proiecţiile vectorului X,

Y, Z pe axe şi proiecţiile pe axe Mx, My, Mz ale momentului vectorului în

raport cu originea O a sistemului de axe. Aceste şase mărimi nu vor fi

independente, relaţia dintre ele fiind dată de produsul scalar nul dintre

vectorii şi (perpendiculari între ei):

X·Mx + Y·My + Z·Mz 0 (3.8)

V )(VMO


5

Din acestea se deduc diverse operaţii uzuale: înlocuirea unor vectori concurenţi cu rezultanta lor,

descompunerea unui vector după direcţii concurente, introducerea sau suprimarea unei perechi de vectori

egali în modul dar direct opuşi.

Pentru a recunoaşte dacă două sisteme de vectori alunecători aparţin aceleiaşi clase de echivalenţă este

necesar să fie puse în evidenţă elementele caracteristice clasei respective (mărimi care sunt aceleaşi pentru

toate sistemele echivalente între ele) – invarianţii unui sistem de vectori alunecători faţă de operaţiile

elementare de echivalenţă.

Sisteme de vectori alunecători

Considerând un sistem oarecare de vectori alunecători, cu vectorii acestuia se pot face unele operaţii simple

– operaţii elementare de echivalenţă – în urma cărora sistemul rezultat rămâne echivalent cu sistemul

iniţial: a) înlocuirea unor vectori concurenţi ai sistemului dat cu alţi vectori concurenţi în acelaşi punct şi

cu aceeaşi rezultantă

b) alunecarea unui vector pe suportul său.

Invarianţi, vector rezultant, moment rezultant

Toate sistemele de vectori alunecători echivalente cu un sistem dat (sisteme care se pot deduce din sistemul

dat printr-o succesiune de operaţii elementare de echivalenţă) formează o clasă de echivalenţă.

Invarianţii unui sistem de vectori alunecători sunt vectorul rezultant (suma geometrică a vectorilor ) şi

vectorul moment rezultant (suma geometrică a momentelor vectorilor în raport cu un punct O dat):

şi (3.9)

iViV

iV

iVR iiO VrM

Se poate enunţa proprietatea că suma momentelor unui sistem de n vectori concurenţi în raport cu un punct

O este egală cu momentul rezultantei sistemului în raport cu acelaşi punct O (Teorema lui Varignon):

(3.10)R rVrVrVr n21


6

Variaţia vectorului moment rezultant când se schimbă polul

Se consideră un sistem de vectori alunecători aplicaţi în punctele

Ai (i=1,n) şi doi poli distincţi O şi P. Vectorii de poziţie ai punctelor Ai

faţă de O se notează cu (i=1,n), iar faţă de P se notează cu

(i=1,n). Momentele rezultante faţă de cei doi poli se scriu:

iV

ir ir '

iiPiiO VrMVrM ',

Se observă că , deci se poate scrie:

Astfel (3.11)

POrr ii '

iiiiiiiP VPOVrVPOrVrM )('

R POMM OP

Pe baza acestei relaţii se enunţă următoarele proprietăţi:

1. Dacă într-un punct O cei doi invarianţi şi sunt nuli, atunci ei sunt nuli în orice alt punct P.

2. Dacă un sistem de vectori alunecători are vectorul rezultant nul, atunci momentul rezultant al

sistemului este acelaşi în orice punct din spaţiu.

3. Pe drepte paralele cu vectorul (vectorii şi sunt paraleli) momentul rezultant este constant.

4. Produsul scalar dintre vectorul rezultant şi vectorul moment rezultant este acelaşi oricare ar fi polul P

5. Proiecţia momentului rezultant pe direcţia vectorului rezultant este aceeaşi în orice punct din spaţiu

R OM

R

R RPO

OpOp MMPOMM RRRRRR )(

coscoscos,cos POPPOO MMMMMM RRRR

Produsul scalar al celor doi vectori şi

poartă numele de trinom invariant al

sistemului de vectori alunecători.

R OM


7

În consecinţă, teorema de echivalenţă se poate enunţa astfel: două sisteme de vectori alunecători sunt

echivalente dacă au acelaşi torsor într-un punct O.

Echivalenţa a două sisteme de vectori alunecători

Având în vedere cele prezentate până aici, se poate enunţa teorema de echivalenţă a două sisteme de

vectori alunecători: dacă două sisteme de vectori alunecători S’ şi S’’ au acelaşi vector rezultant

şi acelaşi vector moment rezultant în punctul O, atunci cele două sisteme sunt echivalente (se

pot deduce unul din altul printr-o succesiune de operaţii elementare de echivalenţă).

''' RR ''' OO MM

Reducerea sistemelor de vectori alunecători

În baza teoremei de echivalenţă, se urmăreşte înlocuirea unui sistem oarecare de vectori alunecători cu cel

mai simplu sistem care are acelaşi vector rezultant şi acelaşi vector moment rezultant ca şi sistemul dat.

Ansamblul celor doi vectori care reprezintă singurii invarianţi ai unui sistem de vectori alunecători faţă de

operaţiile elementare de echivalenţă poartă numele de torsor al sistemului de vectori alunecători:

(3.12)

),( OMR

),()( OO MS R

În funcţie de valorile vectorilor şi , corespunzători sistemului dat, se disting următoarele cazuri:

I. - sistemul dat este echivalent cu zero (nu ar avea nici un vector).

II. - sistemul dat este echivalent cu

un vector unic aplicat în O.

R OM

0,0 OMR

0,0 OMR

RV


8

IV. - acesta fiind cazul cel mai general în care se deosebesc două situaţii în funcţie

de trinomul invariant al sistemului dat:

deci vectorii şi sunt perpendiculari între ei, iar sistemul dat este echivalent cu

un vector unic

deci vectorii şi fac între ei un unghi oarecare diferit de 90, iar sistemul dat

este echivalent cu un vector şi un cuplu de moment .

0,0 OMR

0 OMR

0 OMR

R OM

R OM

RV

RVrM

III. - sistemul dat este echivalent cu un

cuplu, adică un sistem alcătuit din doi vectori şi

paraleli, egali în modul, dar opuşi şi acţionând pe suporturi

diferite situate într-un plan normal pe vectorul . Distanţa

d între suporturile celor doi vectori se dispune astfel încât

, iar sensurile vectorilor se dispun astfel încât

pentru vectorul moment să fie respectată regula şurubului

drept.

0,0 OMR

V V

OM

OMdV


9

Sisteme particulare de vectori alunecători

Sistemul de vectori alunecători concurenţi – ale căror suporturi trec printr-un acelaşi punct O. Întrucât în

această situaţie momentul rezultant este rezultă că: un sistem de vectori alunecători concurenţi în

punctul O se reduce la un vector unic trecând prin O, sau este echivalent cu zero (cazurile I şi II).

0OM

RV

Sistemul de vectori alunecători coplanari – ale căror suporturi

sunt conţinute în acelaşi plan P. Vectorul rezultant va fi situat în

planul P, vectorul moment rezultant va fi perpendicular pe planul

P şi deci, pentru cazul general când cei doi vectori sunt diferiţi de

zero, rezultă . Astfel, un sistem de vectori alunecători

coplanari se poate reduce fie la un sistem echivalent cu zero, fie

la un cuplu, fie la un vector unic.

0 OMR

Pentru un cuplu oarecare alcătuit din doi vectori şi având suporturile situate în planul P la distanţa d

între ele, momentul este acelaşi în orice punct din spaţiu. Momentul unui cuplu este un vector normal pe

planul cuplului şi al cărui modul este egal cu produsul dintre modulul vectorului şi braţul cuplului (distanţa între

suporturile celor doi vectori).

V V

Două cupluri sunt echivalente atunci când au acelaşi moment,

vectorul rezultant fiind nul întotdeauna. Astfel, un al doilea cuplu

având vectorii şi şi braţul d1, situat într-un plan P1 paralel

cu P, va fi echivalent cu primul cuplu dacă:

(3.13)

1V 1V

dVdV 11


10

În cazul unui sistem de vectori alunecători paraleli , aplicaţi în

punctele Ai determinate de vectorii de poziţie (i=1,n), vectorul

rezultant şi vectorul moment rezultant se scriu:

(3.14)

(3.15)

în care reprezintă versorul direcţiei comune, iar cu Vi s-a notat

scalarul vectorului .

iV

ir

uVuVV iii )(R

urVuVrVrM iiiiiiO )(

u

iV

Vectorul rezultant va avea aceeaşi direcţie ca şi vectorii sistemului, iar vectorul moment rezultant va fi

ortogonal respectivei direcţii. Înseamnă că trinomul invariant va fi şi în consecinţă sistemul de

vectori alunecători paraleli se poate reduce fie la un sistem echivalent cu zero, fie la un cuplu, fie la un

vector unic.

0 OMR

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 CENTRUL MASELOR

1

Centrul de greutate

Câmpul gravitaţional de intensitate g existent la suprafaţa Pământului se manifestă prin aceea că un corp de

masă m este acţionat de o forţă:

(4.1)

Intensitatea g a câmpului gravitaţional este variabilă cu latitudinea şi altitudinea, iar vectorul este dirijat

aproximativ către centrul Pământului.

gmG

g

Cap.04 CENTRUL MASELOR (DE GREUTATE)

Totuşi, întrucât variaţia intensităţii este foarte mică, respectiv corpurile ce intervin într-o problemă de

mecanică sunt de obicei răspândite pe o regiune de dimensiuni neglijabile în raport cu cele ale Pământului,

câmpul poate fi considerat cu o bună aproximaţie ca fiind constant. Astfel, greutăţile ale diferitelor

puncte materiale de mase mi pot fi considerate forţe paralele, acestora putându-le fi aplicate concluziile

studiului vectorilor paraleli.

giG

Considerând un sistem de n puncte materiale Ai de mase mi şi de vectori de poziţie (i=1,n) în raport cu

originea O, suportul rezultantei a forţelor paralele va trece prin punctul C – denumit centru de greutate

– determinat de vectorul de poziţie:

(4.2)

ir

G iG

i

ii

G

rG


2

Înlocuind Gi = mi·g şi suprimând factorul g, rezultă:

sau (4.3)

vectorul de poziţie al centrului de greutate pentru un sistem discret de puncte materiale sau pentru un mediu

continuu.

i

ii

m

rm

dm

dmr

Se constată deci că vectorul de poziţie al centrului de greutate este independent de intensitatea câmpului

gravitaţional, el depinzând numai de distribuţia maselor mi. Astfel se ajunge la noţiunea mult mai generală de

centru al maselor unui sistem oarecare de puncte materiale (coincide cu centrul de greutate).

Pentru coordonatele centrului de greutate se obţin, după caz, expresiile:

(4.4) sau (4.5)

i

ii

C

i

ii

C

i

ii

Cm

zmz

m

ymy

m

xmx ,,

dm

dmzz

dm

dmyy

dm

dmxx CCC ,,

Proprietăţi

a) Dacă un sistem de puncte materiale are un plan, o axă sau un centru de simetrie, centrul maselor se află

în acel plan, pe acea axă sau în acel centru.

b) Dacă un sistem de puncte materiale S se compune dintr-un număr de n sisteme S1, S2, …, Sn ale căror

mase M1, M2, …, Mn şi centre de masă C1, C2, …, Cn se cunosc, atunci centrul de masă al sistemului S

se poate obţine considerând că masele sistemelor componente Mi sunt concentrate în centrele lor de

masă Ci:

c) Dacă un sistem de puncte materiale S poate fi considerat ca provenind dintr-un sistem S1 din care a fost

eliminat un sistem S2 şi dacă se cunosc masele M1, M2 şi centrele de greutate C1, C2 ale celor două

sisteme, atunci centrul de greutate al sistemului S se poate obţine considerând că în C1 şi C2 sunt

concentrate masele M1 şi M2:

i

ii

M

M

21

2211

MM

MM


3

Momente statice

Sumele care intervin ca numărători ai expresiilor (4.4) ale coordonatelor centrului maselor xC, yC, zC poartă

numele de momente statice în raport cu planele de coordonate.

Se defineşte ca moment static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan suma produselor dintre

masele punctelor materiale şi distanţele acestora la plan, distanţe considerate pozitive sau negative după

cum aceste puncte se află de o parte sau de alta a planului. Astfel, este momentul static în raport cu

planul yOz, coordonatele xi reprezentând distanţele punctelor sistemului la acest plan, respectiv în mod

similar şi sunt momentele statice ale sistemului în raport cu planele xOz şi xOy.

iixm

ii ym ii zm

Dacă momentul static în raport cu un plan este nul, atunci centrul maselor sistemului se află în acest plan.

Punând expresiile (4.4) ale coordonatelor centrului maselor sub forma:

(4.6)

se demonstrează teorema momentelor statice care exprimă proprietatea că momentul static al unui sistem

de puncte materiale în raport cu un plan este egal cu produsul dintre masa M a sistemului şi distanţa (cu

semnul corespunzător) de la centrul maselor la plan. În mod echivalent se poate spune: momentul static al

unui sistem de puncte materiale nu se schimbă dacă sistemul dat se înlocuieşte cu un punct material situat în

centrul maselor şi având masa M a întregului sistem.

CiiCiiCii zMzmyMymxMxm ,,

Observaţie

În cazul unui sistem de puncte materiale situate într-un plan – spre exemplu xOy – sumele şi

vor fi interpretate ca momente statice în raport cu axele Oy şi Ox din planul respectiv, iar teorema

momentelor statice se modifică în mod corespunzător.

iixm ii ym


4

Centrul maselor la corpuri omogene

Considerând un mediu continuu din care se detaşează un volum foarte mic V ce conţine punctul A şi care

are masa m, raportul poartă numele de densitate medie, iar limita acestui raport când m şi V tind

simultan către zero, poartă numele de densitate în punctul A. Un corp este omogen atunci când

densitatea sa este aceeaşi în toate punctele, v = const.

V

m

dV

dmV

Pentru un corp omogen vectorul de poziţie al centrului maselor este dat de cea de a doua formulă din

expresia (4.3):

(4.7)

Iar coordonatele centrului maselor sunt date de expresiile:

(4.8)

dV

dVr

dV

dVr

dV

dVr

dm

dmr

V

V

V

V

dV

dVzz

dV

dVyy

dV

dVxx CCC ,,

În mod analog, se determină vectorii de poziţie, respectiv coordonatele centrului maselor în cazul unei plăci

omogene sau a unei bare omogene (fir omogen):

(4.9) (4.10)

şi

(4.11) (4.12)

în care s-a considerat densitatea superficială într-un punct ca fiind limita raportului între masa m a

unui element de placă şi aria A când acestea tind simultan către zero, respectiv densitatea liniară

ca fiind limita raportului între masa m şi lungimea s a unui element de bară când acestea tind simultan

către zero.

dA

dAr

ds

dsr

dA

dAzz

dA

dAyy

dA

dAxx CCC ,,

ds

dszz

ds

dsyy

ds

dsxx CCC ,,

dA

dmA

ds

dml

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII

1

Definire, schematizare

Constructiile sunt sisteme complexe prin forma si dimensiuni, datorita materialelor din care sunt realizate,

respectiv prin scopurile carora le sunt destinate. In vederea desfasurarii calculelor este necesara asimilarea

constructiei reale prin intermediul uneia schematizate, care reflecta dimensiunile si proprietatile esentiale, si

care reprezinta structura schematizata a constructiei.

In vederea unei parcurgeri facile a calculelor de specialitate, structurile spatiale pot fi descompuse in structuri

schematizate plane, care la randul lor se descompun in elemente de structura (de rezistenta).

Cap.04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII –

NOTIUNI FUNDAMENTALE

Elementul de rezistenta este cea mai mica portiune dintr-o structura, care poate functiona independent fara

sa devina mecanism (fara sa fie instabila), si care poate fi confectionata si calculata in mod independent.

D.p.d.v. geometric, elementele structurilor de rezistenta se clasifica in functie de raportul dintre cele trei

dimensiuni (lungime / latime / inaltime) intrei categorii principale: bare, placi, masive.


2

Barele

Bara este elementul de structura la care una din cele

trei dimensiuni (lungimea) este semnificativ mai mare

relativ la celelalte doua.

O bara se defineste prin sectiunea sa transversala –

sectiunea minma obtinuta prin intersectia barei cu un

plan – si prin axa ei – locul geometric al centrelor de

greutate a tuturor sectiunilor transversale.

In mod curent, o bara se raporteaza la sistemul de

referinta ortogonal avand originea in centrul de

greutate al sectiunii de capat din partea stanga, axa z

fiind axa barei, iar axele x si y fiind cuprinse in planul

sectiunii transversale (cu axa y orientata gravitational).Prin schematizare, bara este redusa la axa ei si la

sectiunea transversala.

In functie de forma axei, se disting:

bare drepte – a caror axa este dreapta, bare curbe – cand axa este curba.

Corespunzator pozitiei elementului, a directiei si sensului incarcarii, a modului de transmitere a sarcinilor catre

rezemari, respectiv corespunzator rigiditatii, barele poarta urmatoarele denumiri distincte: tirant (incarcarile

aplicate numai in lungul axei barei produc intinderea acesteia), stalp (incarcarile aplicate preponderent in

lungul axei barei produc comprimarea acesteia), grinda (incarcarile aplicate preponderent transversal pe axa

barei), arc (transmiterea sarcinilor se realizeaza prin impingeri laterale), fir (rigiditatea dupa directia

transversala poate fi neglijata intrucat raportul intre aria sectiunii transversale si lungime este extrem de mic).


3

In functie de forma si alcatuirea sectiunii transversale,

barele pot fi cu sectiune compacta sau cu pereti subtiri

(grosimile peretilor sunt mici in raport cu inaltimea si

latimea sectiunii in ansamblu)

Prin asamblare se pot obtine sisteme de bare: cadre, grinzi cu zabrele, arce cu tirant, alte sisteme complexe.

Placile

Placa este elementul de structura la care doua din

cele trei dimensiuni (lungimea si latimea) sunt

semnificativ mai mari relativ la cea de a treia.

O placa se defineste prin grosimea ei, h, si prin

suprafata sa mediana – locul geometric al

mijloacelor grosimii placii.

In mod curent, unei bare i se ataseaza sistemul de

referinta ortogonal avand axa y orientata normal la

suprafata mediana (in general cu sens gravitational),

iar axele x si z cuprinse in planul suprafetei mediane

(sau tangente la aceasta).Prin schematizare, placa este redusa la

suprafata ei mediana.


4

In functie de forma suprafetei mediane, se disting:

placi plane – denumite dale atunci cand sunt incarcate perpendicular pe suprafata mediana, respectiv

denumite saibe sau grinzi perete daca sunt incarcate in planul suprafetei mediane,

placi curbe, denumite si panze, care pot fi cu simpla sau dubla curbura.

Atunci cand placile sunt atat de subtiri incat

rigiditatea lor dupa directia grosimii poate fi neglijata,

acestea sunt denumite membrane.

Masivele

Masivul este elementul de structura la care toate cele

trei dimensiuni sunt aproximativ de acelasi ordin de

marime:

fundatii, baraje, ziduri de sprijin etc.

Masivele nu se schematizeaza ci se reprezinta ca atare.


5

Legaturi

Structurile se fixeaza in spatiu de o baza fixa de sprijin – fundatia la teren sau o alta structura invecinata.

Dispozitivele care fixeaza structurile in spatiu poarta denumirea de reazeme, iar legaturile care iau nastere in

acestea sunt denumite legaturi exterioare (legaturi din reazeme).

In ceea ce priveste barele unei structuri, acestea sunt fixate intre ele prin intermediul nodurilor, legaturile care

iau nastere in acestea fiind denumite legaturi interioare (legaturi din noduri). Nodurile pot fi rigide –

deplasarile relative ale capetelor barelor concurente sunt nule, sau articulate – fiind posibila rotirea relativa a

barelor concurente.

Incarcari

Incarcarea reprezinta totalitatea fortelor sau cuplurilor care sunt aplicate unei structuri din exteriorul sau din

interiorul acesteia (cu exceptia fortelor de legatura) ca efect al unei actiuni.

In mod schematic incarcarea se reprezinta prin vectori pentru care se precizeaza punctul de aplicatie,

orientarea, intensitatea, frecventa etc.

In functie de modul in care sunt aplicate pe structura, incarcarile pot fi:

de suprafata – presiunea unui fluid, actiunea vantului, actiunea zapezii, greutatea pieselor sustinute etc.

de volum sau masice – provin din distributia unei actiuni (determinata de campul gravitational, de campul

inertial, de campul termic etc.) in intreg volumul unui element de structura.

Dupa marimea suprafetei pe care este repartizata, incarcarea poate fi distribuita (suprafata pe care

actioneaza are dimensiuni comparabile cu ale intregului element) sau concentrata (suprafata pe care

actioneaza este foarte mica relativ la dimensiunile elementului respectiv).


6

In mod curent, incarcarea distribuita pe suprafata unei bare

se reduce in planul median al acesteia, echivalandu-se in

acest fel cu o incarcare distribuita in lungul axei barei.

Distributia incarcarilor de suprafata poate fi intalnita sub diverse forme:

uniforma (constanta), liniara, parabolica, oarecare.

Incarcarile concentrate se considera in unitati de forta (kN, daN) sau moment (kN.m, daN.cm), incarcarile

distribuite pe lungime in kN/m2 sau daN/cm2, iar incarcarile masice in kN/m3 sau daN/cm3.


7

In functie de variatia actiunii in timp, se disting

urmatoarele trei categorii:

incarcari statice – sunt aplicate in mod lent de la

zero pana la valoarea maxima, dupa care raman

constante (greutatea proprie, presiunea unui lichid,

impingerea pamantului, efectul variatiei de

temperatura etc.)

incarcari variabile periodic (ciclice) – intensitatea

se modifica in timp intre doua limite dupa o lege

periodica (incarcari oscilante -cele doua limite sunt de

acelasi semn, incarcari alternante -sensul de actiune

al celor doua limite este diferit, incarcari pulsatorii -

una din cele doua limite este zero)

incarcari dinamice – intensitatea creste brusc in

timp, putandu-se considera incarcarea ca fiind

aplicata cu intreaga intensitate, iar dupa un timp f

scurt se anuleaza.

Corespunzator frecventei cu care apar la anumite intensitati de-alungul perioadei de viata a unei structuri,

incarcarile sunt clasificate in:

incarcari permanente – se aplica in mod continuu cu intensitate constanta (greutatea proprie, impingerea

pamantului, efectul precomprimarii etc.)

incarcari temporare – actiunea variaza sensibil in timp, putand lipsi total in anumite perioade (greutatea

unor piese sustinute, presiunea unui fluid, actiunea zapezii, actiunea vantului, variatia temperaturii etc.)

incarcari exceptionale – actiunea se manifesta foarte rar (posibil niciodata pe parcursul existentei structurii)

si intamplator, putand ave caracter catastrofal (actiunea seismica, efectul distrugerii unor elemente, efectul

inundatiilor, efectul exploziilor etc.)

MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE

1

In expresiile dezvoltate pentru calcululele specifice elementelor de structura intervin anumite marimi care

depind de forma si dimensiunile sectiunii transversale: aria, momente statice, pozitia centrului de

greutate, momente de inertie, raze de inertie, module de rezistenta, pozitia sistemului de axe

principal.

Cap.05 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE

SECTIUNILOR TRANSVERSALE A BARELOR

Toate aceste marimi (mai putin aria), numite caracteristici

geometrice, se stabilesc relativ la urmatoarele sisteme de axe

impuse conventional: sistemul de axe oarecare (sistem de

referinta initial), sistemul de axe central (cu originea in centrul

de greutate al sectiunii transversale), sistemul de axe principal

(deasemenea cu originea in centrul de greutate al sectiunii

transversale).

In timp ce in cazul primelor doua sisteme enuntate pozitia axelor din

planul sectiunii transversale este cea cunoscuta, in cazul sistemului

principal pozitia axelor x si y este tot o caracteristica geometrica,

putand fi rotita in planul sectiunii transversale.

iii yOxyGx

xGy


2

Aria sectiunii transversale a unei bare intervine in expresiile de calcul ale deformatiilor de tip translatie a

sectiunii. Astfel, se spune ca aria unei sectiuni transversale caracterizeaza inertia la translatie a acesteia.

Prin conventie, se noteaza A, masurandu-se in [cm2] sau [m2].

Momentele statice ale unei sectiuni transversale caracterizeaza

pozitia acesteia in raport cu axele din planul sau (x si y). Prin definitie

momentele statice ale unei sectiuni transversale in raport cu axele

sistemului oarecare sunt date de expresiile:iii yOx

A

iix dAyS A

iiy dAxS

n

iiix AyS1

n

iiiy AxS1

Daca sectiunea transversala este alcatuita din figuri geometrice simple

(bara fiind alcatuita din mai multe elemente), integralele expresiilor de

definitie se transforma in sume:

in care n este numarul tuturor elementelor, Ai este aria sectiunii elementului i, iar si sunt distantele de la

axele sistemului de referinta oarecare in raport cu care se calculeaza momentele statice pana la centrul de

greutate al elementului i.

ixiy

Avand in vedere expresiile de definitie, momentele statice pot fi pozitive sau negative si se masoara

in [cm3] sau [m3].


3

Pentru a obtine pozitia centrului de greutate al unei sectiuni

transversale, expresiile de definire a momentelor statice vor fi puse

sub urmatoarea forma specifica considerand intreaga arie

concentrata in centrul sau de greutate G:

AyS Gix AxS Giy

din care, prin alaturarea expresiilor de definitie, se obtin formulele

urmatoare care determina pozitia centrului de greutate a sectiunii

transversale in raport cu un sistem de axe oarecare:

A

dAxx A

i

G

A

dAyy A

i

G

Daca sectiunea transversala este alcatuita din mai multe figuri geometrice simple (bara fiind realizata din mai

multe elemente) expresiile anterioare devin:

n

i

n

ii

G

A

Ax

x

1

1

n

i

n

ii

G

A

Ay

y

1

1

Observatie. Momentele statice ale intregii sectiuni transversale in raport cu axele sistemului central sunt nule.

intrucat si .

0 yx SS

0iy 0ix

Proprietate. Atunci cand sectiunea transversala are o axă sau un centru de simetrie, centrul de greutate se

află pe acea axă sau în acel centru.


4

Momentele de inertie axiale ale unei sectiuni transversale intervin in expresiile de calcul ale deformatiilor

de tip rotire a sectiunii. Astfel, se spune ca momentul de inertie in raport cu o axa caracterizeaza inertia

sectiunii transversale la rotatie in raport cu axa respectiva.

Prin definitie momentele de inertie ale unei sectiuni transversale in raport

cu axele sistemului central sunt date de expresiile:

A

x dAyI 2

A

y dAxI 2

Momentul de inertie polar al unei sectiuni transversale intervine in

expresia deformatiei de tip rotire a acelei sectiuni in raport cu un punct,

denumit pol, din planul sau. Astfel, se spune ca momentul de inertie polar

caracterizeaza inertia sectiunii la rotirea in raport cu un pol, si este dat prin

definitie de urmatoarea expresie:

A

p dAI 2

Intrucat , se constata ca , ceea ce arata ca suma momentelor de inertie este

un invariant egal cu momentul de inertie polar.

222 yx yxp III

Momentul de inertie centrifugal al unei sectiuni transversale este prin definitie dat de urmatoarea

expresie:

AxydAyxI

Astfel, se spune ca momentul de inertie centrifugal caracterizeaza repartizarea materialului sectiunii

transversale in cele patru cadrane formate de axele sistemului central.


5

Se deduc urmatoarele doua proprietati ale momentului de

inertie centrifugal:

- daca sectiunea transversala prezinta axa de simetrie,

momentul de inertie centrifugal in raport cu un sistem de axe

ce contine axa de simetrie va fi nul

- daca sectiunea transversala nu prezinta axa de simetrie, la

fiecare rotire a sistemului ortogonal cu 90o momentul

de inertie centrifugal isi schimba semnul algebric

yGx

0)(22

AAxydAyxdAyxI

yxAA

yx IdAxydAyxI )( 90909090

Avand in vedere expresiile de definitie, momentele de inertie se masoara in [cm4] sau [m4].


6

In ceea ce priveste semnul momentelor de inertie ale unei sectiuni transversale, se observa ca cele axiale si

cel polar sunt intotdeauna cantitati pozitive, pe cand cel centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau nul, in functie

de repartitia materialului.

Sistemul de axe central in raport cu care momentul de inertie centrifugal se anuleaza (deci care determina o

repartitie uniforma a materialului in cele patru cadrane) poarta denumirea de sistem de axe principal.

Momentele de inertie in raport cu axele acestui sistem ( ) vor prezenta valori extreme.xGy


7

Razele de inertie (giratie) ale unei sectiuni transversale sunt definite prin urmatoarele expresii, numai fata de

axele sistemului principal:

A

Ii x

x A

Ii

y

y

Se observa ca razele de inertie pot fi numai marimi pozitive, masurandu-se in [cm] sau [m].

Modulele de rezistenta ale unei sectiuni transversale sunt definite prin

urmatoarele expresii, deasemenea numai in raport cu axele sistemului

principal:

respectiv

si

extrem

xx

y

IW

extrem

y

yx

IW

)(1

1 y

IW x

x )(2

2 y

IW x

x )(3

3 x

IW

y

y )(4

4 x

IW

y

y

Se observa ca modulele de rezistenta pot fi atat pozitive cat si negative, masurandu-se in [cm3] sau [m3].


8

In cazul sectiunilor compuse din mai multe figuri geometrice simple (bara este alcatuita din mai multe

elemente), pentru a ajunge la formulele de calcul ale momentelor de inertie se porneste de la situatia in care

pentru o sectiune transversala simpla se presupun cunoscute momentele de inertie centrale , si , si

se cauta momentele de inertie in raport cu un sistem de axe oarecare translatat fata de cel central cu

distantele a, respectiv b.

xI yIxy

I

iii yOx

ayyi bxxi

AaSaI

dAadAyadAydAaydAyI

xx

AAAAAiix

2

2222

2

2)(

Similar, pentru momentul de inertie in raport cu cealalta axa se obtine:

AbSbII yyiy 22

iar pentru momentul de inertie centrifugal:

AbaSbSaI

dAabdAybdAxadAyx

dAaybxdAyxI

xyyx

AAAA

AAiiiyix

))((

Dar in relatiile stabilite momentele statice se refera la intreaga sectiune in raport cu axele centrale, deci sunt

nule. Astfel se obtine:

AaII xix 2 AbII yiy 2 AbaII yxiyix


9

Aceste relatii se pot transpune pentru cazul sectiunilor compuse prin suprapunerea (insumarea) momentelor

de inertie scrise pentru fiecare element in parte, dar in raport cu axele sistemului central al intregii sectiuni.

Se considera translatia fiecarui sistem central elemental pana la sistemul central al intregii sectiuni

transversale.

n

iiixx AaII1

2)(

n

iiiyy AbII1

2)(

n

iiiiyixyx AbaII1

)(

in care , si sunt momentele de inertie centrale ale intregii sectiuni transversale

, si sunt momentele de inertie centrale elementale, ale fiecarei figuri geometrice

simple in raport cu sistemul central propriu

ai si bi sunt distantele de translatie de la axele centrale si la axele centrale elementale si

Ai sunt ariile fiecarei figuri geometrice simple componente ale sectiunii.

xI yIxy

I

ixI iyIiyixI

x y ixiy

10


Pentru a studia variatia momentelor de inertie cu rotatia axelor la o

sectiune oarecare, se considera ca pentru aceasta se cunosc

pozitia centrului de greutate G si momentele de inertie in raport cu

sistemul central de axe , si , si se cauta momentele de

inertie in raport cu un sistem de axe rotit fata de cel central cu un

unghi oarecare a, , si .

xI yIxy

I

axI ayI aayxI

Pornind de la relatiile de definitie ale momentelor de inertie scrise

pentru sistemul rotit:

A

x dAyI2

aa A

y dAxI2

aa A

yx dAyxI aaaa

in care se considera expresiile coordonatelor si in functie de

coordonatele sistemului central siax ay

x y

aaa sincos yxx aaa sincos xyy

se obtin urmatoarele formule de calcul:

aaaa 2cos2sin2

yx

yx

yx III

I

aaa 2sin2cos22

yx

yxyx

x IIIII

I

aaa 2sin2cos22

yx

yxyx

y IIIII

I

11


Prin definitie, sistemul de axe principal este sistemul de axe cu originea in centrul de greutate al sectiunii

transversale in raport cu care momentul de inertie centrifugal este nul (axele sistemului determina o repartitie

uniforma a materialului sectiunii in cele patru cadrane).

Relativ la acest sistem, momentul de inertie in raport cu axa x prezinta valoarea extrema maxima, iar

momentul de inertie in raport cu axa y prezinta valoarea extrema minima.

Determinarea pozitiei axelor sistemului principal .xGy

Astfel, pozitia rotita a sistemului de axe principal se va determina punand asupra momentului de inertie

doua conditii succesive:

- anularea primei derivate in raport cu unghiul a pentru obtinerea unui extrem,

- situarea celei de a doua derivate in raport cu a in domeniul negativ pentru obtinerea maximului.

axI

Prin impunerea primei conditii, , se ajunge la urmatoarea relatie: ,

care reprezinta o ecuatie trigonometrica avand o infinitate de solutii: unde .

0aa

d

dI x

yx

yx

II

Itg

22a

a n01 22 .....,,2,1,0n

Din intregul sir de solutii pot fi retinute ca posibile pentru problema numai unghiurile de rotire mai mici de 900

(intrucat la o rotire a sistemului de axe cu 900 momentul de inertie centrifugal isi schimba semnul algebric,

adica ar corespunde unei probleme noi, distincta). In vederea stabilirii celor doua solutii posibile pentru unghiul

de rotire 1, se reprezinta pe cercul trigonometric segmentul tangenta dat de relatia obtinuta.

Pornind de la axa origine x de masurare a unghiurilor, se retin cele doua unghiuri

(unul pozitiv si unul negativ) delimitate de diametrul determinat de segmentul tg2a,

deci se retin unghiurile de rotire care satisfac conditia:

21

12


Cele doua solutii posibile pentru unghiul de rotire determina cele doua valori extreme (maxima si minima)

pentru momentul de inertie axial . Astfel, in continuare pentru obtinerea valorii maxime se apeleaza la cea

de a doua conditie: .

xI

0

1

2

2

a

a

ad

Id x

In urma efectuarii acestei a doua derivari se obtine ca pentru satisfacerea conditiei se impune ca unghiul de

rotire al axei , 1, si momentul de inertie centrifugal , sa fie de semne contrare:

semn 1 ≠ semn ,

conditie care impune solutia corespunzatoare pentru unghiul de rotire din cele doua solutii posibile stabilite pe

cercul trigonometric.

xxy

I

xyI

Unghiul de rotire 1 asrfel stabilit defineste pozitia axei principale maxime x. Intrucat sistemul de axe este

ortogonal, pozitia axei y, minima, este deasemnea definita.xGy

In ceea ce priveste valorile momentelor de inertie relativ la sistemul de axe principal, acestea se pot obtine cu

ajutorul relatiilor stabilite prin studiul variatiei momentelor de inertie cu rotatia axelor, in care se considera ca

unghi de rotire marimea 1:

xx II 1aa

yy II 1aa

01

xyyx IIaaa

13


Totusi, in practica se urmareste aplicarea unor relatii de calcul pentru momentele de inertie principale in care

sa nu intervina unghiul de rotire 1, pentru obtinerea acestora apelandu-se la expresia tangentei unghiului

dublu.

Astfel, pentru momentul de inertie in raport cu axa x se obtine:

1112sin2cos

22

aa

yx

yxyx

xx IIIII

II

Dar, din expresia tangentei unghiului dublu:

1

11

2cos

2sin

22

2

yxyx

yx

IItg

III

si deci:1

1

2

1

1

2

1 2cos222sin

2cos22cos

2cos22

yxyxyxyxyx

x

IIIIIIIIIII

in care:yxyx

yx

yx

yx III

II

II

Itg 22

2

2

1

21

4)(

)(

41

1

21

12cos

In consecinta, expresia de calcul pentru momentul de inertie in raport cu axa x se obtine:

iar expresia de calcul pentru momentul de inertie in raport cu axa y, in mod similar, se obtine:

yxyx

yx

x IIIII

I 22 4)(2

1

2

yxyx

yx

y IIIII

I 22 4)(2

1

2

mecanica constr

Documents