mecanica cuantica 2

5/31/2018 Mecanica cuantica 2

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ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE FSICA Y MATEMTICA

Resumen de mecnica cuntica

Por:

Pedro Cadena. (497)

Semestre: Sptimo - BiofsicaProfesor: Richad Pachacama

Formatted:Justified


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LA NOTACION DE DIRACLa notacin bra-ket,

Tambin conocida como notacin de Dirac por su inventorPaul Dirac,es la notacin estndar

para describir losestados cunticos en la teora de lamecnica cuntica.Puede tambin ser

utilizada para denotar vectores abstractos y funcionales lineales en lasmatemticas puras. Esas llamada porque elproducto interior de dos estados es denotado por el "parntesis angular"

(angle bracket, en ingls), , consistiendo en una parte izquierda, , llamada el bra, y

una parte derecha, , llamada el ket.

Enmecnica cuntica,el estado de un sistema fsico se identifica con un vector en elespacio

de Hilbertcomplejo, . Cada vector se llama un ket, y se denota como . Cada

ket tiene un bra dual, escrito como , esto es unafuncionallinealcontinua de a

losnmeros complejos C, definido como

para todos los kets

Donde () denota elproducto interior definido en el espacio de Hilbert. La notacin est

justificada por el teorema de representacin de Riesz,que establece que un espacio de

Hilbert y suespacio dual son isomtricamenteisomorfos. As, cada bracorresponde a

exactamente un ket, y viceversa.

Incidentemente, la notacin bra-ket puede ser utilizada incluso si el espacio vectorial no es

un espacio de Hilbert. En cualquierespacio de Banach B, los vectores pueden ser notados

como ketsy los funcionales lineales continuos por los bras. Sobre cualquier espacio

vectorial sin topologa, se puede tambin denotar los vectores con ketsy los funcionales

lineales por los bras. En estos contextos ms generales, el braketno tiene el significado de

unproducto interno,porque el teorema de representacin de Riesz no se aplica.

La aplicacin del bra al ket da lugar a un nmero complejo, que se denota:

.

En mecnica cuntica, sta es laamplitud de probabilidad para que el estado

colapse en el estado .

Los bras y kets se pueden manipular de las maneras siguientes:

Dado cualquier bra y ket y , ynmeros complejos c1y c2, entonces, puesto

que los ncleos son funcionales lineales,

dado cualquier ket , ncleos y , ynmeros complejos c1y c2, entonces,

por la definicin de la adicin y la multiplicacin escalar de funcionales lineales,

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http://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Estado_cu%C3%A1nticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Continuohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_representaci%C3%B3n_de_Rieszhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_dualhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Banachhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_internohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amplitud_de_probabilidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amplitud_de_probabilidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Banachhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_dualhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_representaci%C3%B3n_de_Rieszhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Continuohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estado_cu%C3%A1nticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac


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dados cualesquiera kets y , ynmeros complejos c1y c2, de las

propiedades del producto interno (con c* denotando laconjugacin compleja de c),

es dual a

dado cualquier bra y el ket , una propiedad axiomtica del producto

interno da

SiA: HHes unoperador lineal,se puede aplicarAal ket para obtener el ket .

Los operadores lineales son ubicuos en la teora de la mecnica cuntica. Por ejemplo, se

utilizanoperadores lineales hermticos para representar cantidades fsicas observables, tales

como laenerga o elmomento, mientras que losoperadores l ineales unitarios representan

procesos transformativos como la rotacin o la progresin del tiempo. Los operadores puedentambin ser vistos como actuando en los bras del lado derecho. La aplicacin del operadorAal

bra da lugar al bra , definido como funcional lineal en Hpor la regla

.

Esta expresin se escribe comnmente como:

Una manera conveniente de definir operadores lineales en Hes dada por elproducto

exterior:si es un bra y es un ket, el producto externo

denota un operador que mapea el ket al ket (donde es un

escalar que multiplica al ket ). Una de las aplicaciones del producto externo es

para construir unoperador de proyeccin o proyector dado un ket de norma 1,

la proyeccin ortogonal sobre elsubespacio generado por es

Dos espacios de Hilbert Vy Wpueden formar un tercer espacio porproducto

tensorial. En mecnica cuntica, esto se utiliza para describir conjuntos compuestos. Si un

conjunto se compone de dos subconjuntos descritos por Vy Wrespectivamente, entonces el

espacio de Hilbert del conjunto entero es el producto tensorial de los dos espacios. La

excepcin a esto es si los subconjuntos son realmentepartculas idnticas; en ese caso, la

situacin es un poco ms complicada.

Si es un ket en V y es un ket en W, el producto tensorial de los dos kets es un ket

en . Esto se escribe como

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http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Valor_absoluto.2C_conjugado_y_distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_herm%C3%ADticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_de_proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas_id%C3%A9nticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas_id%C3%A9nticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_de_proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Momentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_herm%C3%ADticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Valor_absoluto.2C_conjugado_y_distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo


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o o .

En mecnica cuntica, es a menudo conveniente trabajar con las proyecciones de los vectores

de estado sobre una base particular, ms bien que con los vectores mismos. Este proceso es

muy similiar al uso de vectores coordinados enlgebra lineal. Por ejemplo, el espacio de

Hilbert de partculas puntuales deespn cero es generado por una base de posicin ,

donde el ndice x se extiende sobre el conjunto de los vectores de posicin. Partiendo de

cualquier ket en este espacio de Hilbert, se puede definir una funcin escalar compleja

de x, conocida comofuncin de onda

.

Es entonces usual definir operadores lineales que actan sobre funciones de ondas en

trminos de operadores lineales que actan en kets, como

.

Aunque el operador A en el lado izquierdo de esta ecuacin, por convencin, se

etiqueta de la misma manera que el operador en el lado derecho, debe considerarse

que los dos son entidades conceptualmente diversas: el primero acta sobre funciones

de ondas, y el segundo acta sobre kets. Por ejemplo, el operador demomento p tiene

la forma siguiente

.

Se encuentra de vez en cuando una expresin como

.

Esto es unabuso de notacin, aunque bastante comn. El operador

diferencial debe ser entendido como un operador abstracto, actuando en kets,

que tiene el efecto de diferenciar funciones de ondas una vez que la

expresin se proyecta en la base de posicin. Para otros detalles,

vaseespacio equipado de Hilbert.

La notacin bra-ket de Dirac unifica en una misma smbologa la descripcin de los operadores y

las cantidades observables que podemos llevar a cabo en la Mecnica Matricial (con matrices

actuando como operadores) y la descripcin que podemos llevar a cabo en la Mecnica

Ondulatoria (con operadores diferenciales actuando como operadores).

Considrese la siguiente representacin del vector x= (x1, x2, x3) que podemos llevar a cabo

utilizando vectores unitarios de base (los super-ndices noson exponentes):

x= x1(1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) + (0, 0, x3)

Ahora supngase que llevamos a cabo la misma representacin usando vectores columna enlugar de vectores rengln, identificando tras esto a cada vector columna de una manera que alprincipio parecer algo peculiar:

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http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_ondahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momentohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Abuso_del_lenguaje&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_equipado_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_equipado_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Abuso_del_lenguaje&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Momentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_ondahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal


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La representacin que tenemos destacada de color amarillo formada por una lnea vertical a laizquierda y un parntesis angulado a la derecha es esencialmente lo que llamamos un ket.

Retendremos la convencin segn la cual dada una cantidad compleja z cualesquiera:

z = x + iy

el conjugado complejo de dicha cantidad se representa con un asterisco puesto como super-ndice:

z*= x - iy

La notacin bra-ket de Dirac se basa en dos smbolos fundamentales, siendo uno de ellos elbra:

y siendo el otro el ket:

El uso ms sencillo de ambos smbolos consiste en unirlos para representar con ello el productointerno de dos vectores o dos funciones. Cuando esto se hace, el bra siempre se pone a laizquierda, y el ket siempre se pone a la derecha, estando de este modo encerrado todo entre dosparntesis angulados (las palabras bra y ket derivan de la palabra inglesabracket).

La operacin ms sencilla que se puede llevar a cabo consiste en la adicin de dos kets:

Para que dos kets puedan ser sumados, deben ser del mismo tipo , lo cual implica queno podemos sumar las funciones de onda propias de la Mecnica Ondulatoria a los vectores ymatrices propios de la Mecnica Matricial, y si vamos a sumar vectores y matrices propios de laMecnica Matricial stos tienen que ser del mismo tipo. A modo de ejemplo, si partimos de lassiguientes dos funciones de onda:










http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19WZwHxBPI/AAAAAAAAKVw/caNjh7NDcwg/s1600-h/definicion_ket.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bKD6YO9_I/AAAAAAAALWg/qrXV5VuAacI/s1600-h/suma_de_kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bKD6YO9_I/AAAAAAAALWg/qrXV5VuAacI/s1600-h/suma_de_kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bKD6YO9_I/AAAAAAAALWg/qrXV5VuAacI/s1600-h/suma_de_kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19WZwHxBPI/AAAAAAAAKVw/caNjh7NDcwg/s1600-h/definicion_ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19V8vNIFVI/AAAAAAAAKVo/QUPddh2Y5tA/s1600-h/definicion_bra.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FE-8smzzI/AAAAAAAAJy8/EG_bZEuAnik/s1600-h/expansion_vectorial_en_kets_de_base.gifhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bKD6YO9_I/AAAAAAAALWg/qrXV5VuAacI/s1600-h/suma_de_kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19WZwHxBPI/AAAAAAAAKVw/caNjh7NDcwg/s1600-h/definicion_ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19V8vNIFVI/AAAAAAAAKVo/QUPddh2Y5tA/s1600-h/definicion_bra.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FE-8smzzI/AAAAAAAAJy8/EG_bZEuAnik/s1600-h/expansion_vectorial_en_kets_de_base.gifhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bKD6YO9_I/AAAAAAAALWg/qrXV5VuAacI/s1600-h/suma_de_kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19WZwHxBPI/AAAAAAAAKVw/caNjh7NDcwg/s1600-h/definicion_ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19V8vNIFVI/AAAAAAAAKVo/QUPddh2Y5tA/s1600-h/definicion_bra.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FE-8smzzI/AAAAAAAAJy8/EG_bZEuAnik/s1600-h/expansion_vectorial_en_kets_de_base.gifhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bKD6YO9_I/AAAAAAAALWg/qrXV5VuAacI/s1600-h/suma_de_kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19WZwHxBPI/AAAAAAAAKVw/caNjh7NDcwg/s1600-h/definicion_ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19V8vNIFVI/AAAAAAAAKVo/QUPddh2Y5tA/s1600-h/definicion_bra.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FE-8smzzI/AAAAAAAAJy8/EG_bZEuAnik/s1600-h/expansion_vectorial_en_kets_de_base.gif


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entonces tras representar estas funciones de onda como kets:

podemos representar la adicin de dichos kets en la notacin de Dirac de la manera siguiente:

PROBLEMA:Sumar todos los kets que sea posible sumar de los mostrados a continuacin:

Puesto que para poder sumar dos kets estos tienen que ser del mismo tipo, las nicas sumas dekets que pueden ser llevadas a cabo aqu son las siguientes:








http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_r_BcOcI/AAAAAAAALt4/g1kthSg1JaQ/s1600/problema_suma_de_kets_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_r_BcOcI/AAAAAAAALt4/g1kthSg1JaQ/s1600/problema_suma_de_kets_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_r_BcOcI/AAAAAAAALt4/g1kthSg1JaQ/s1600/problema_suma_de_kets_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_r_BcOcI/AAAAAAAALt4/g1kthSg1JaQ/s1600/problema_suma_de_kets_1.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_Rpl3UUI/AAAAAAAALtw/N-VFJnIxgIw/s1600/estados_mezclados_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_BDl5KvI/AAAAAAAALto/OFTLGZ-eUMU/s1600/estados_mezclados_2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o-z1giZ-I/AAAAAAAALtg/0npazL9CTno/s1600/estados_mezclados_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_r_BcOcI/AAAAAAAALt4/g1kthSg1JaQ/s1600/problema_suma_de_kets_1.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_Rpl3UUI/AAAAAAAALtw/N-VFJnIxgIw/s1600/estados_mezclados_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_BDl5KvI/AAAAAAAALto/OFTLGZ-eUMU/s1600/estados_mezclados_2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o-z1giZ-I/AAAAAAAALtg/0npazL9CTno/s1600/estados_mezclados_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_r_BcOcI/AAAAAAAALt4/g1kthSg1JaQ/s1600/problema_suma_de_kets_1.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_Rpl3UUI/AAAAAAAALtw/N-VFJnIxgIw/s1600/estados_mezclados_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_BDl5KvI/AAAAAAAALto/OFTLGZ-eUMU/s1600/estados_mezclados_2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o-z1giZ-I/AAAAAAAALtg/0npazL9CTno/s1600/estados_mezclados_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_r_BcOcI/AAAAAAAALt4/g1kthSg1JaQ/s1600/problema_suma_de_kets_1.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_Rpl3UUI/AAAAAAAALtw/N-VFJnIxgIw/s1600/estados_mezclados_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o_BDl5KvI/AAAAAAAALto/OFTLGZ-eUMU/s1600/estados_mezclados_2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6o-z1giZ-I/AAAAAAAALtg/0npazL9CTno/s1600/estados_mezclados_1.png


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Cada ket puede ser multiplicado por una constante numrica cuyo cuadrado d la probabilidad

de ocurrencia del estado representado por el ket, de modo tal que podemos hacercombinaciones como la siguiente:

en la cual la probabilidad de que en un experimento se d el estado simbolizado por el primerket es |a| y la probabilidad de que se d el estado simbolizado por el segundo ket es |b| . Por logeneral, cuando se suman dos o ms kets lo que tenemos es una superposicin de estadosqued lugar a una nueva situacin, como lo muestra la siguiente figura en la cual tenemos una sumade dos los nicos dos estados posibles:

Habiendo nicamente dos estados posibles en el ejemplo que se acaba de dar, la relacin deabajo nos indica que la suma de las probabilidades de obtener cualquiera de los dos estadosdebe ser igual a la unidad, a la certeza.

Tanto en el Analisis Vectorial como en el Algebra Lineal estamos familiarizados con el conceptodelproducto escalaroproducto internode dos vectores aybdefinido en su quintaesencia en

un espacio tridimensional Euclideano como el producto de las magnitudes de dichos vectoresmultiplicado por el coseno del ngulo que forman dichos vectores.

ab= |a| |b| cos()

Bajo un sistema de coordendas rectangulares Cartesianas en donde cada uno de losvectoresaybest especificado por las tres componentes que son iguales a sus proyecciones







http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bNUQvxoII/AAAAAAAALWw/CnC3PlRsfjA/s1600-h/superposicion_de_estados.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bNUQvxoII/AAAAAAAALWw/CnC3PlRsfjA/s1600-h/superposicion_de_estados.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bLX_MTDPI/AAAAAAAALWo/8-Zsxxt9vkg/s1600-h/combinacion_linear_de_kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pAm5mrs5I/AAAAAAAALuA/HE90iBv6q8A/s1600/problema_suma_de_kets_2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bNUQvxoII/AAAAAAAALWw/CnC3PlRsfjA/s1600-h/superposicion_de_estados.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bLX_MTDPI/AAAAAAAALWo/8-Zsxxt9vkg/s1600-h/combinacion_linear_de_kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pAm5mrs5I/AAAAAAAALuA/HE90iBv6q8A/s1600/problema_suma_de_kets_2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bNUQvxoII/AAAAAAAALWw/CnC3PlRsfjA/s1600-h/superposicion_de_estados.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bLX_MTDPI/AAAAAAAALWo/8-Zsxxt9vkg/s1600-h/combinacion_linear_de_kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pAm5mrs5I/AAAAAAAALuA/HE90iBv6q8A/s1600/problema_suma_de_kets_2.png


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sobre cada uno de los ejes coordenados:

a= (a1, a2, a3)

b= (b1, b2, b3)

en donde las componentes vectoriales son nmeros reales, no resulta difcil el comprobar que elproducto interno de los vectores a y b en funcin de sus componentes sobre los ejes coordenadosest dado por la siguiente relacin:

ab= a1b1+ a2b2+ a3b3

Si queremos definir un concepto similar dentro de la Mecnica Cuntica, el problema que se nospresenta de inmediato es que las componentes de los vectores no slo pueden ser nmeros

reales, tambin pueden ser nmeros complejos o imaginarios. Necesitamos antes que nadaredefinir de alguna manera, desde el punto de vista estrictamente matemtico sin entrar todavaa ningn detalle, el concepto de producto interno de dos cantidades cuando una de ellas oambas pueden ser nmeros complejos. Se ha comprobado en la prctica que una de las formasms convenientes de hacerlo es de la manera siguiente:

en donde el asterisco para los componentes del vector a(destacados de color rojo) indica que sedebe tomar el conjugado complejo del elemento (invirtiendo el signo del factor imaginario iendonde lo haya). Obsrvese que aqu se ha dado un paso importante, se ha supuesto que ladefinicin ser vlida para vectores con una dimensin mayor que tres, lo cual aunque no tenga

mucho sentida desde el punto de vista fsico s puede ser adoptado desde el punto de vistamatemtico sin problema alguno. Obsrvese tambin que el orden en el cual se especifica elproducto de los vectores aybes importante, ya que si se sigue un orden inverso entonces deacuerdo a la definicin que se acaba de dar el producto interno ser:

Resalta el hecho de que, bajo esta definicin, el producto interno de dos vectores no esconmutativo. Sin embargo, observando el hecho de que si tomamos el conjugado complejo enambos miembros de la igualdad anterior(usando el hecho de que el conjugado de la suma denmeros complejos es igual a la suma de sus conjugados complejos, y el hecho de que elconjugado complejo de un producto es igual al producto de los conjugados):

Esto significa que:








http://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-um0vAeXXvO8/TbXjLzc2N7I/AAAAAAAAQkU/GJbnHaqv5Vk/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+3.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-um0vAeXXvO8/TbXjLzc2N7I/AAAAAAAAQkU/GJbnHaqv5Vk/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+3.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-um0vAeXXvO8/TbXjLzc2N7I/AAAAAAAAQkU/GJbnHaqv5Vk/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+3.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-eEAOeV00YZQ/TbXgwcK7l-I/AAAAAAAAQkI/NOfHwS7C-wI/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+1.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-um0vAeXXvO8/TbXjLzc2N7I/AAAAAAAAQkU/GJbnHaqv5Vk/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+3.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-eEAOeV00YZQ/TbXgwcK7l-I/AAAAAAAAQkI/NOfHwS7C-wI/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+1.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-um0vAeXXvO8/TbXjLzc2N7I/AAAAAAAAQkU/GJbnHaqv5Vk/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+3.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-D5WB_DHB89I/TbXhbtNwyFI/AAAAAAAAQkM/GZz0JBzzGJY/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-eEAOeV00YZQ/TbXgwcK7l-I/AAAAAAAAQkI/NOfHwS7C-wI/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+1.png


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En la Mecnica Matricial, representamos el producto interno de dos vectores xiy xjcon lanotacin bra-ket simbolizado de la siguiente manera con un bra puesto a la izquierda unido a unket puesto a la derecha juntando ambos bra y ket de la siguiente manera:

Obsrvese que al llevarse a cabo la unin de un bra con un ket la doble lnea vertical que seforma con la lnea vertical venida del bra y la lnea vertical venida del ket se funden en unasola lnea vertical (|). Esto es algo que siempre se hace cuando surgen dobles lneas verticalesen operaciones llevadas a cabo con bras y kets. Siendo el producto interno de dos vectores unnmero, lo que tenemos arriba es esencialmente un nmero.

Tomando como base la conclusin que se haba obtenido para dos vectores con componentescomplejos:

procediendo por analoga podemos asentar como relacin fundamental para la definicin delproducto interno entre un bray un ketlo siguiente:

El caso ms frecuente en la Mecnica Cuntica es que los componentes que son usados a modode vectores que sean ortogonales (independientes el uno del otro) estando cada uno de ellosnormalizado (con su longitud igual a la unidad), o sea, vectores ortonormales. En este caso,podemos destacar el uso de vectores normalizados con algn otro tipo de notacin, por

ejemplo uiy uj, juntando ambos bra y ket de igual manera:

En este caso, cuando los vectores uiy ujson vectores ortogonales y normalizados, esto es,ortonormales, entonces el producto interno de los mismos debe ser el siguiente:

En esta definicin utilizamos el delta de Kronecker para el cual ij.=.1 cuando i.=.j y ij.=.0

cuando i..j. El bra asignado al vector ui le d una representacin matricial como un vector

rengln, mientras que el ket asignado al vector ujle d una representacin matricial como












http://3.bp.blogspot.com/-BNWWbYB0h28/Tbhzq9kmo3I/AAAAAAAAQnc/FUlVbPm9iYw/s1600/relacion+fundamental.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14BHrJwR7I/AAAAAAAAKS8/CE1-dAqb8PE/s1600-h/1_bra-ket_definicion_conjunto_de_vectores_ortonormales.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14BHrJwR7I/AAAAAAAAKS8/CE1-dAqb8PE/s1600-h/1_bra-ket_definicion_conjunto_de_vectores_ortonormales.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-BNWWbYB0h28/Tbhzq9kmo3I/AAAAAAAAQnc/FUlVbPm9iYw/s1600/relacion+fundamental.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19VAenTalI/AAAAAAAAKVg/D-FtvZCgj9k/s1600-h/definicion_producto_bra-ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14BHrJwR7I/AAAAAAAAKS8/CE1-dAqb8PE/s1600-h/1_bra-ket_definicion_conjunto_de_vectores_ortonormales.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-BNWWbYB0h28/Tbhzq9kmo3I/AAAAAAAAQnc/FUlVbPm9iYw/s1600/relacion+fundamental.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19VAenTalI/AAAAAAAAKVg/D-FtvZCgj9k/s1600-h/definicion_producto_bra-ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14BHrJwR7I/AAAAAAAAKS8/CE1-dAqb8PE/s1600-h/1_bra-ket_definicion_conjunto_de_vectores_ortonormales.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-BNWWbYB0h28/Tbhzq9kmo3I/AAAAAAAAQnc/FUlVbPm9iYw/s1600/relacion+fundamental.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19VAenTalI/AAAAAAAAKVg/D-FtvZCgj9k/s1600-h/definicion_producto_bra-ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14BHrJwR7I/AAAAAAAAKS8/CE1-dAqb8PE/s1600-h/1_bra-ket_definicion_conjunto_de_vectores_ortonormales.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-BNWWbYB0h28/Tbhzq9kmo3I/AAAAAAAAQnc/FUlVbPm9iYw/s1600/relacion+fundamental.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19VAenTalI/AAAAAAAAKVg/D-FtvZCgj9k/s1600-h/definicion_producto_bra-ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14BHrJwR7I/AAAAAAAAKS8/CE1-dAqb8PE/s1600-h/1_bra-ket_definicion_conjunto_de_vectores_ortonormales.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-BNWWbYB0h28/Tbhzq9kmo3I/AAAAAAAAQnc/FUlVbPm9iYw/s1600/relacion+fundamental.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19VAenTalI/AAAAAAAAKVg/D-FtvZCgj9k/s1600-h/definicion_producto_bra-ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14BHrJwR7I/AAAAAAAAKS8/CE1-dAqb8PE/s1600-h/1_bra-ket_definicion_conjunto_de_vectores_ortonormales.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14SFaP6TAI/AAAAAAAAKUE/yu3Wd7poeQA/s1600-h/simplificacion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-BNWWbYB0h28/Tbhzq9kmo3I/AAAAAAAAQnc/FUlVbPm9iYw/s1600/relacion+fundamental.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19VAenTalI/AAAAAAAAKVg/D-FtvZCgj9k/s1600-h/definicion_producto_bra-ket.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/-RoQSVuaJu40/TbXi1uJvrWI/AAAAAAAAQkQ/ieoN74i6dZM/s1600/producto+escalar+de+dos+vectores+con+elementos+complejos+4.png


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un vector columna. Si se trata del mismo vector, con i.=.j, entonces la longitud del vector es 1puesto que el vector se supone que est normalizado, y si se trata de dos vectores diferentestomados de la misma base entonces con i..j el producto interno es igual a cero re flejando elhecho de que los dos vectores son ortogonales.

A todo ket le podemos asignar un bra que es su dual correspondiente. Dado un ket, podemosobtener su bra dual tomando el conjugado complejo del ket, lo cual significa cambiarle el signo atodas las instancias en donde aparezca el nmero imaginario i.

PROBLEMA:Dado el siguiente ket:

obtngase un bra que sea su dual de modo tal que al tomar el producto interno de ambos elresultado sea igual a la unidad.

Puesto que la longitud del ket proporcionado no es igual a la unidad, multiplicaremos dicho ket

por una constante de normalizacin A:

El bra que corresponde a este ket lo obtenemos tomando el conjugado complejo del ket:

Para que el producto de este bra con su ket que es su dual sea igual a la unidad, la condicin de

normalizacin requiere que:

Con esta condicin podemos obtener la constante de normalizacin A:

De este modo, tanto el bra como el ket normalizados que forman un par dual son los siguientes:










http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDCD4Ft1I/AAAAAAAALuY/isEkyv4jxbc/s1600/problema_bra_de_ket_3.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDdgU1bWI/AAAAAAAALug/TX13ZiGiscc/s1600/problema_bra_de_ket_4.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDdgU1bWI/AAAAAAAALug/TX13ZiGiscc/s1600/problema_bra_de_ket_4.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDsuvtLbI/AAAAAAAALuo/XnReRoQBWbU/s1600/problema_bra_de_ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDsuvtLbI/AAAAAAAALuo/XnReRoQBWbU/s1600/problema_bra_de_ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDdgU1bWI/AAAAAAAALug/TX13ZiGiscc/s1600/problema_bra_de_ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDCD4Ft1I/AAAAAAAALuY/isEkyv4jxbc/s1600/problema_bra_de_ket_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pCd9e2QXI/AAAAAAAALuQ/Pe-GXOD3un8/s1600/problema_bra_de_ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pBuz-tzmI/AAAAAAAALuI/MhATsWGX0Ac/s1600/problema_bra_de_ket_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDsuvtLbI/AAAAAAAALuo/XnReRoQBWbU/s1600/problema_bra_de_ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDdgU1bWI/AAAAAAAALug/TX13ZiGiscc/s1600/problema_bra_de_ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDCD4Ft1I/AAAAAAAALuY/isEkyv4jxbc/s1600/problema_bra_de_ket_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pCd9e2QXI/AAAAAAAALuQ/Pe-GXOD3un8/s1600/problema_bra_de_ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pBuz-tzmI/AAAAAAAALuI/MhATsWGX0Ac/s1600/problema_bra_de_ket_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDsuvtLbI/AAAAAAAALuo/XnReRoQBWbU/s1600/problema_bra_de_ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDdgU1bWI/AAAAAAAALug/TX13ZiGiscc/s1600/problema_bra_de_ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDCD4Ft1I/AAAAAAAALuY/isEkyv4jxbc/s1600/problema_bra_de_ket_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pCd9e2QXI/AAAAAAAALuQ/Pe-GXOD3un8/s1600/problema_bra_de_ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pBuz-tzmI/AAAAAAAALuI/MhATsWGX0Ac/s1600/problema_bra_de_ket_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDsuvtLbI/AAAAAAAALuo/XnReRoQBWbU/s1600/problema_bra_de_ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDdgU1bWI/AAAAAAAALug/TX13ZiGiscc/s1600/problema_bra_de_ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDCD4Ft1I/AAAAAAAALuY/isEkyv4jxbc/s1600/problema_bra_de_ket_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pCd9e2QXI/AAAAAAAALuQ/Pe-GXOD3un8/s1600/problema_bra_de_ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pBuz-tzmI/AAAAAAAALuI/MhATsWGX0Ac/s1600/problema_bra_de_ket_1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDsuvtLbI/AAAAAAAALuo/XnReRoQBWbU/s1600/problema_bra_de_ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDdgU1bWI/AAAAAAAALug/TX13ZiGiscc/s1600/problema_bra_de_ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pDCD4Ft1I/AAAAAAAALuY/isEkyv4jxbc/s1600/problema_bra_de_ket_3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pCd9e2QXI/AAAAAAAALuQ/Pe-GXOD3un8/s1600/problema_bra_de_ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pBuz-tzmI/AAAAAAAALuI/MhATsWGX0Ac/s1600/problema_bra_de_ket_1.png


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En forma similar a como lo hacemos con los vectores de la Mecnica Matricial, en laMecnicaOndulatoria representamos el producto interno de dosfunciones del mismo tipo pero con unnmero cuntico diferente de una manera como la siguiente:

En general, dadas dos funciones y , la notacin bra-ket:

representa algo como:

Aunque tengamos dos funciones diferentes (x) y (x), estas deben estar definidas sobre elmismo espacio vectorial (de la misma dimensin), y para llevarse a cabo el producto interno delas mismas tomamos el conjugado complejo de la funcin que aparece en el bra, en estecaso *(x), para que el resultado final sea un nmero real, ya que si el resultado final fuese unnmero imaginario o complejo la base matemtica no nos sirve para representar cantidadesfsicas en la Mecnica Cuntica.

PROBLEMA:Demostrar que:

La demostracin pedida se puede llevar a cabo de la siguiente manera:










http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FK4-F05pI/AAAAAAAAJzM/1jymNJ416bI/s1600-h/notacion_Dirac_bra-ket_2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVuY2b6EeI/AAAAAAAAO5Y/6_lsZgDGkz8/s1600/problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVuY2b6EeI/AAAAAAAAO5Y/6_lsZgDGkz8/s1600/problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVuY2b6EeI/AAAAAAAAO5Y/6_lsZgDGkz8/s1600/problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FK4-F05pI/AAAAAAAAJzM/1jymNJ416bI/s1600-h/notacion_Dirac_bra-ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19m1sOxRUI/AAAAAAAAKXw/Ut1LThX1QFs/s1600-h/definicion_producto_de_dos_funciones.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FJWaLNZQI/AAAAAAAAJzE/c7TROq6fmo4/s1600-h/bra-ket_en_la_Mecanica_Ondulatoria.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pD8XkiIkI/AAAAAAAALuw/8CkyQ-U7Ssc/s1600/problema_bra_de_ket_6.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVuY2b6EeI/AAAAAAAAO5Y/6_lsZgDGkz8/s1600/problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FK4-F05pI/AAAAAAAAJzM/1jymNJ416bI/s1600-h/notacion_Dirac_bra-ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19m1sOxRUI/AAAAAAAAKXw/Ut1LThX1QFs/s1600-h/definicion_producto_de_dos_funciones.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FJWaLNZQI/AAAAAAAAJzE/c7TROq6fmo4/s1600-h/bra-ket_en_la_Mecanica_Ondulatoria.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pD8XkiIkI/AAAAAAAALuw/8CkyQ-U7Ssc/s1600/problema_bra_de_ket_6.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVuY2b6EeI/AAAAAAAAO5Y/6_lsZgDGkz8/s1600/problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FK4-F05pI/AAAAAAAAJzM/1jymNJ416bI/s1600-h/notacion_Dirac_bra-ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19m1sOxRUI/AAAAAAAAKXw/Ut1LThX1QFs/s1600-h/definicion_producto_de_dos_funciones.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FJWaLNZQI/AAAAAAAAJzE/c7TROq6fmo4/s1600-h/bra-ket_en_la_Mecanica_Ondulatoria.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pD8XkiIkI/AAAAAAAALuw/8CkyQ-U7Ssc/s1600/problema_bra_de_ket_6.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVuY2b6EeI/AAAAAAAAO5Y/6_lsZgDGkz8/s1600/problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FK4-F05pI/AAAAAAAAJzM/1jymNJ416bI/s1600-h/notacion_Dirac_bra-ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19m1sOxRUI/AAAAAAAAKXw/Ut1LThX1QFs/s1600-h/definicion_producto_de_dos_funciones.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FJWaLNZQI/AAAAAAAAJzE/c7TROq6fmo4/s1600-h/bra-ket_en_la_Mecanica_Ondulatoria.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pD8XkiIkI/AAAAAAAALuw/8CkyQ-U7Ssc/s1600/problema_bra_de_ket_6.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVuY2b6EeI/AAAAAAAAO5Y/6_lsZgDGkz8/s1600/problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FK4-F05pI/AAAAAAAAJzM/1jymNJ416bI/s1600-h/notacion_Dirac_bra-ket_2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19m1sOxRUI/AAAAAAAAKXw/Ut1LThX1QFs/s1600-h/definicion_producto_de_dos_funciones.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S0FJWaLNZQI/AAAAAAAAJzE/c7TROq6fmo4/s1600-h/bra-ket_en_la_Mecanica_Ondulatoria.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6pD8XkiIkI/AAAAAAAALuw/8CkyQ-U7Ssc/s1600/problema_bra_de_ket_6.png


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En general, podemos sacar constantes fuera de un producto bra-ket, siempre y cuando se tengacuidado de observar en qu parte del producto bra-ket se encuentra la constante que ser sacadafuera, ya sea en el bra o en el ket. Si una constante K se encuentra en el bra, entonces al sersacada fuera debe salir como el conjugado complejo de K, esto es, como K*; y si la constante se

encuentra en el ket, entonces al ser sacada fuera deber salir tal cual, esto es, como K, sin que sele tome su conjugado complejo al sacarla fuera.

En trminos de algo que los matemticos puros reconocen como un espacio funcional (el cual estema de estudio del Anlisis Funcional que a su vez trata acerca de las funciones de funciones),podemos concebir al bra como una instruccin para llevar a cabo la siguiente operacin:

sobre algo que se le ponga al bra del lado derecho, en donde el hueco simbolizadocomoAA representa el espacio vaco a espera de ser llenado por la funcin que el bra encuente asu lado derecho, por ejemplo el ket que representa a la funcin m:

PROBLEMA:Demostrar, usando la notacin bra-ket para ello, que el siguiente conjunto defunciones:








http://3.bp.blogspot.com/-5MX3XJ3V5Zc/TcQ8u8n6WSI/AAAAAAAAQ0o/GwkTwf8buTY/s1600/bra+funcional+1.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-qr2v37muiXo/TcQ_POgkVVI/AAAAAAAAQ0s/MHSizvgWiyY/s1600/bra+funcional+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-qr2v37muiXo/TcQ_POgkVVI/AAAAAAAAQ0s/MHSizvgWiyY/s1600/bra+funcional+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-qr2v37muiXo/TcQ_POgkVVI/AAAAAAAAQ0s/MHSizvgWiyY/s1600/bra+funcional+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-qr2v37muiXo/TcQ_POgkVVI/AAAAAAAAQ0s/MHSizvgWiyY/s1600/bra+funcional+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-5MX3XJ3V5Zc/TcQ8u8n6WSI/AAAAAAAAQ0o/GwkTwf8buTY/s1600/bra+funcional+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Fw0kSV8b-OA/Teffx37UP2I/AAAAAAAARVA/9YwEh6vNLpA/s1600/sacando+constantes+fuera+de+bras+y+kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVukjDaFvI/AAAAAAAAO5c/PtabeMi5lMo/s1600/solucion_problema.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-qr2v37muiXo/TcQ_POgkVVI/AAAAAAAAQ0s/MHSizvgWiyY/s1600/bra+funcional+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-5MX3XJ3V5Zc/TcQ8u8n6WSI/AAAAAAAAQ0o/GwkTwf8buTY/s1600/bra+funcional+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Fw0kSV8b-OA/Teffx37UP2I/AAAAAAAARVA/9YwEh6vNLpA/s1600/sacando+constantes+fuera+de+bras+y+kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVukjDaFvI/AAAAAAAAO5c/PtabeMi5lMo/s1600/solucion_problema.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-qr2v37muiXo/TcQ_POgkVVI/AAAAAAAAQ0s/MHSizvgWiyY/s1600/bra+funcional+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-5MX3XJ3V5Zc/TcQ8u8n6WSI/AAAAAAAAQ0o/GwkTwf8buTY/s1600/bra+funcional+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Fw0kSV8b-OA/Teffx37UP2I/AAAAAAAARVA/9YwEh6vNLpA/s1600/sacando+constantes+fuera+de+bras+y+kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVukjDaFvI/AAAAAAAAO5c/PtabeMi5lMo/s1600/solucion_problema.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-qr2v37muiXo/TcQ_POgkVVI/AAAAAAAAQ0s/MHSizvgWiyY/s1600/bra+funcional+2.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-5MX3XJ3V5Zc/TcQ8u8n6WSI/AAAAAAAAQ0o/GwkTwf8buTY/s1600/bra+funcional+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Fw0kSV8b-OA/Teffx37UP2I/AAAAAAAARVA/9YwEh6vNLpA/s1600/sacando+constantes+fuera+de+bras+y+kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TOVukjDaFvI/AAAAAAAAO5c/PtabeMi5lMo/s1600/solucion_problema.png


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es un conjunto ortonormal. Cul ser la dimensin del espacio vectorial en este problema?

Evaluaremos primero el producto interno de la funcin 0consigo misma:

Puesto que el producto interno de la funcin 0consigo misma es igual a la unidad, podemosver que la funcin est normalizada.

Ahora evaluaremos el producto interno de la funcin 1consigo misma:

Puesto que el producto interno de la funcin 1 consigo misma tambin es igual a la unidad,podemos ver que la funcin tambin est normalizada.






http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19ibWq8pkI/AAAAAAAAKXQ/e-5pqF36Dyo/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_3.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19ibWq8pkI/AAAAAAAAKXQ/e-5pqF36Dyo/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_3.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19h2qMoGoI/AAAAAAAAKXI/vMttN1R_UHw/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19hKnqGeII/AAAAAAAAKXA/NTsxQQ9x1xw/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19ibWq8pkI/AAAAAAAAKXQ/e-5pqF36Dyo/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_3.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19h2qMoGoI/AAAAAAAAKXI/vMttN1R_UHw/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19hKnqGeII/AAAAAAAAKXA/NTsxQQ9x1xw/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19ibWq8pkI/AAAAAAAAKXQ/e-5pqF36Dyo/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_3.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19h2qMoGoI/AAAAAAAAKXI/vMttN1R_UHw/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19hKnqGeII/AAAAAAAAKXA/NTsxQQ9x1xw/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket.png


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En general, para cualquiera de las funciones ndel conjunto, tenemos:

Resulta claro que todas las funciones estn normalizadas.

Falta ver si las funciones son ortogonales entre s, para lo cual tenemos que evaluar el siguienteproducto interno:

siendo mn. Recurriendo a la frmula de Euler:

tenemos entonces dos integrales a evaluar:

Llevando a cabo ambas integraciones:








http://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-sDnxk1PwvO8/ThdO6nnIvYI/AAAAAAAAR8Q/J8Lsnsd3P0Y/s1600/problema+ortogonalidad+1.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-sDnxk1PwvO8/ThdO6nnIvYI/AAAAAAAAR8Q/J8Lsnsd3P0Y/s1600/problema+ortogonalidad+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jaeDbfYI/AAAAAAAAKXg/QsfU27873bE/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jBw6PgRI/AAAAAAAAKXY/6ymSlp1jBHk/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-sDnxk1PwvO8/ThdO6nnIvYI/AAAAAAAAR8Q/J8Lsnsd3P0Y/s1600/problema+ortogonalidad+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jaeDbfYI/AAAAAAAAKXg/QsfU27873bE/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jBw6PgRI/AAAAAAAAKXY/6ymSlp1jBHk/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-sDnxk1PwvO8/ThdO6nnIvYI/AAAAAAAAR8Q/J8Lsnsd3P0Y/s1600/problema+ortogonalidad+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jaeDbfYI/AAAAAAAAKXg/QsfU27873bE/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jBw6PgRI/AAAAAAAAKXY/6ymSlp1jBHk/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_4.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-sDnxk1PwvO8/ThdO6nnIvYI/AAAAAAAAR8Q/J8Lsnsd3P0Y/s1600/problema+ortogonalidad+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-t8lHV43jofw/ThdMobeV5uI/AAAAAAAAR8M/HKLSORZLwjU/s1600/formula+de+Euler.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jaeDbfYI/AAAAAAAAKXg/QsfU27873bE/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_5.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19jBw6PgRI/AAAAAAAAKXY/6ymSlp1jBHk/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_4.png


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El segundo trmino (destacado en color rojo), siendo una funcin par, al ser evaluado entre loslmites -1 y +1 se vuelve cero, dejndonos nicamente con el primer trmino, que tras la toma delmites se vuelve:

Por hiptesis, estamos considerando que my nson dos enteros diferentes. En tal caso, elargumento de la funcin senoidal ser un mltiplo entero de . Pero el seno de un mltiploentero de siempre ser igual a cero. Entonces, cuando my nson diferentes, el productointerno las dos funciones de onda ser igual a cero, esto es, sern ortogonales.

Se concluye que el conjunto dado de funciones es ortonormal, esto es, ortogonales entre s ynormalizadas a la unidad, lo cual podemos expresar con la ayuda del delta de Kronecker:

cumplindose de este modo la condicin para que un conjunto de funciones pueda serconsiderado una base ortonormal.

Puesto que tenemos un total de 9 funciones independientes la una de la otra, la dimensin delespacio vectorial en este problema es igual a 9. Si utilizamos un nmero adicional de funcionessimilares, puesto que para un sub-ndice mximo N tenemos 2N+1 vectores (funciones) de base

linealmente independientes la dimensin del espacio vectorial ser igual a 2N+1.

Si tenemos una funcin expandible sobre una re presentacin en series ortogonales como es elcaso de las series de Fourier en las que la funcin peridica que est siendo expandida es igual ala suma de una cantidad infinitamente grande de las amplitudes de una frecuencia fundamental

y sus harmnicas, podemos entresacar una de las componentes de la serie ( i) en particulartomando el producto interno de la siguiente manera:






http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19kqOy6rLI/AAAAAAAAKXo/wm_g-eVFVz4/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_8.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19kqOy6rLI/AAAAAAAAKXo/wm_g-eVFVz4/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_8.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19kqOy6rLI/AAAAAAAAKXo/wm_g-eVFVz4/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_8.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-q3bV80WVrYQ/ThdVRPLO7cI/AAAAAAAAR8c/sFGNJa7xlmE/s1600/problema+ortogonalidad+3.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Yvgh4DC-c6Q/ThdTVD2bc9I/AAAAAAAAR8Y/d-x7C7HXvzw/s1600/problema+ortogonalidad+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19kqOy6rLI/AAAAAAAAKXo/wm_g-eVFVz4/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_8.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-q3bV80WVrYQ/ThdVRPLO7cI/AAAAAAAAR8c/sFGNJa7xlmE/s1600/problema+ortogonalidad+3.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Yvgh4DC-c6Q/ThdTVD2bc9I/AAAAAAAAR8Y/d-x7C7HXvzw/s1600/problema+ortogonalidad+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19kqOy6rLI/AAAAAAAAKXo/wm_g-eVFVz4/s1600-h/problema_funciones_ortonormales_en_notacion_bra-ket_8.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-q3bV80WVrYQ/ThdVRPLO7cI/AAAAAAAAR8c/sFGNJa7xlmE/s1600/problema+ortogonalidad+3.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Yvgh4DC-c6Q/ThdTVD2bc9I/AAAAAAAAR8Y/d-x7C7HXvzw/s1600/problema+ortogonalidad+2.png


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La expansin de una funcin en una serie infinita de componentes i separados el uno del

otro con los componentes ui tomados de una base ortonormal se representa de la siguientemanera:

En la notacin bra-ket tenemos adems operadores. Por regla general, un operador Oactasobre un ket que est puesto a su derecha. En la Mecnica Matricial, el operador por lo generales una matriz que acta sobre un vector u:

mientras que en la Mecnica Ondulatoria el operador puede ser un operador diferencialactuando sobre una funcin de onda :

Un operador, despusde haber actuado sobre un ket, generalmente resulta en otro ket, el cualpuede ser utilizado para formar posteriormente un producto con un bra:

En la Mecnica Ondulatoria hemos visto ya que una cantidad observabletal como la energa quepueda ser representada como un operador acta sobre una funcin de onda en una eigen-ecuacinque nos regresa (del lado derecho de la eigen-ecuacin) la funcin de ondamultiplicada por una cantidad que es a su vez eleigenvalorque se medir en el laboratoriorelacionado con dicha observable:










http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bIB1IalpI/AAAAAAAALWQ/_Kg5tf7A2tg/s1600-h/operador_diferencial_sobre_ket.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bIB1IalpI/AAAAAAAALWQ/_Kg5tf7A2tg/s1600-h/operador_diferencial_sobre_ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bHYwQW67I/AAAAAAAALWI/jfWyBdtmJ40/s1600-h/operador_matricial_sobre_ket.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14Eib4nfyI/AAAAAAAAKTM/bVBESvVSXr4/s1600-h/3_bra-ket_expansion_de_vector_de_estado_en_sus_componentes_de_base.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14EG1cuMXI/AAAAAAAAKTE/MusYtKWVBVY/s1600-h/2_bra-ket_definicion_componentes_de_un_vector_de_estado.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bIB1IalpI/AAAAAAAALWQ/_Kg5tf7A2tg/s1600-h/operador_diferencial_sobre_ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bHYwQW67I/AAAAAAAALWI/jfWyBdtmJ40/s1600-h/operador_matricial_sobre_ket.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14Eib4nfyI/AAAAAAAAKTM/bVBESvVSXr4/s1600-h/3_bra-ket_expansion_de_vector_de_estado_en_sus_componentes_de_base.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14EG1cuMXI/AAAAAAAAKTE/MusYtKWVBVY/s1600-h/2_bra-ket_definicion_componentes_de_un_vector_de_estado.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bIB1IalpI/AAAAAAAALWQ/_Kg5tf7A2tg/s1600-h/operador_diferencial_sobre_ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bHYwQW67I/AAAAAAAALWI/jfWyBdtmJ40/s1600-h/operador_matricial_sobre_ket.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14Eib4nfyI/AAAAAAAAKTM/bVBESvVSXr4/s1600-h/3_bra-ket_expansion_de_vector_de_estado_en_sus_componentes_de_base.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14EG1cuMXI/AAAAAAAAKTE/MusYtKWVBVY/s1600-h/2_bra-ket_definicion_componentes_de_un_vector_de_estado.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bIB1IalpI/AAAAAAAALWQ/_Kg5tf7A2tg/s1600-h/operador_diferencial_sobre_ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bHYwQW67I/AAAAAAAALWI/jfWyBdtmJ40/s1600-h/operador_matricial_sobre_ket.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14Eib4nfyI/AAAAAAAAKTM/bVBESvVSXr4/s1600-h/3_bra-ket_expansion_de_vector_de_estado_en_sus_componentes_de_base.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14EG1cuMXI/AAAAAAAAKTE/MusYtKWVBVY/s1600-h/2_bra-ket_definicion_componentes_de_un_vector_de_estado.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S6PyWQYJlbI/AAAAAAAALlQ/4jhabt2Q5cY/s1600-h/orden_de_operaciones_en_notacion_bra-ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bIB1IalpI/AAAAAAAALWQ/_Kg5tf7A2tg/s1600-h/operador_diferencial_sobre_ket.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5bHYwQW67I/AAAAAAAALWI/jfWyBdtmJ40/s1600-h/operador_matricial_sobre_ket.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14Eib4nfyI/AAAAAAAAKTM/bVBESvVSXr4/s1600-h/3_bra-ket_expansion_de_vector_de_estado_en_sus_componentes_de_base.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14EG1cuMXI/AAAAAAAAKTE/MusYtKWVBVY/s1600-h/2_bra-ket_definicion_componentes_de_un_vector_de_estado.png


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siendo laeigenfuncinde onda asociada con el eigenvalor. Con la notacin bra-ket, larepresentacin de algo como lo anterior se lleva a cabo utilizando ketssobre los cuales acta eloperador que los antecede:

escribindose entonces una eigen-ecuacindel modo siguiente:

En un sistema con estados ligados, habr ciertos kets de importancia especial,loseigenketspropios del sistema, que podemos denotar como:

con la propiedad de que:










http://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-mDAi6Qrtajc/TbsZ2ktMG9I/AAAAAAAAQqQ/Og-qROq_2GI/s1600/conjunto+de+eigenecuaciones.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-mDAi6Qrtajc/TbsZ2ktMG9I/AAAAAAAAQqQ/Og-qROq_2GI/s1600/conjunto+de+eigenecuaciones.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-r2AKh79ArZs/TbsWCHfXW7I/AAAAAAAAQqI/JXrlcjyBv6U/s1600/eigenecuacion+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/--0Vi4lVfvy8/TbsUlkIlRvI/AAAAAAAAQqE/uR1N_vxKITo/s1600/operador.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-MthBAA9gHQw/TbsTNxUwEOI/AAAAAAAAQqA/YhsDN7mmH-g/s1600/eigenecuacion.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-mDAi6Qrtajc/TbsZ2ktMG9I/AAAAAAAAQqQ/Og-qROq_2GI/s1600/conjunto+de+eigenecuaciones.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-r2AKh79ArZs/TbsWCHfXW7I/AAAAAAAAQqI/JXrlcjyBv6U/s1600/eigenecuacion+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/--0Vi4lVfvy8/TbsUlkIlRvI/AAAAAAAAQqE/uR1N_vxKITo/s1600/operador.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-MthBAA9gHQw/TbsTNxUwEOI/AAAAAAAAQqA/YhsDN7mmH-g/s1600/eigenecuacion.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-mDAi6Qrtajc/TbsZ2ktMG9I/AAAAAAAAQqQ/Og-qROq_2GI/s1600/conjunto+de+eigenecuaciones.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-r2AKh79ArZs/TbsWCHfXW7I/AAAAAAAAQqI/JXrlcjyBv6U/s1600/eigenecuacion+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/--0Vi4lVfvy8/TbsUlkIlRvI/AAAAAAAAQqE/uR1N_vxKITo/s1600/operador.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-MthBAA9gHQw/TbsTNxUwEOI/AAAAAAAAQqA/YhsDN7mmH-g/s1600/eigenecuacion.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-mDAi6Qrtajc/TbsZ2ktMG9I/AAAAAAAAQqQ/Og-qROq_2GI/s1600/conjunto+de+eigenecuaciones.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-r2AKh79ArZs/TbsWCHfXW7I/AAAAAAAAQqI/JXrlcjyBv6U/s1600/eigenecuacion+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/--0Vi4lVfvy8/TbsUlkIlRvI/AAAAAAAAQqE/uR1N_vxKITo/s1600/operador.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-MthBAA9gHQw/TbsTNxUwEOI/AAAAAAAAQqA/YhsDN7mmH-g/s1600/eigenecuacion.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-mDAi6Qrtajc/TbsZ2ktMG9I/AAAAAAAAQqQ/Og-qROq_2GI/s1600/conjunto+de+eigenecuaciones.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Xt0V2_e1V-g/TbsXgwi4sEI/AAAAAAAAQqM/a6opyRh-3Tk/s1600/conjunto+de+kets.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-r2AKh79ArZs/TbsWCHfXW7I/AAAAAAAAQqI/JXrlcjyBv6U/s1600/eigenecuacion+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/--0Vi4lVfvy8/TbsUlkIlRvI/AAAAAAAAQqE/uR1N_vxKITo/s1600/operador.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-MthBAA9gHQw/TbsTNxUwEOI/AAAAAAAAQqA/YhsDN7mmH-g/s1600/eigenecuacion.png


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en donde a, b, c, ... son simples nmeros (las cantidades observables a ser medidas con algnaparato). El conjunto de nmeros:

es el conjunto de eigenvaloresdel operador.

Habiendo visto que existe una dualidad importante entre los bras y los kets, esto nos sugiereque un operador no slo debe ser capaz de actuar sobre kets, tambin debe ser capaz de actuarsobre bras, lo cual resulta ser cierto aqu, excepto que para que un operador pueda actuar sobreun bra tiene que hacerlo sobre el bra que est situado inmediatamente a su izquierda.

Un operadorXacta siempre sobre el ket que est situado a su derecha, y el productoresultante viene siendo otro ket:

Un operadorXacta siempre sobre el bra que est situado a su izquierda, y el productoresultante viene siendo otro bra:

Adaptarse a esta nueva realidad requiere algo de prctica, del mismo modo que una persona quetoda su vida ha estado acostumbrada a escribir con su mano derecha no necesariamenteempezar a escribir de inmediato con su mano izquierda con la misma facilidad. La eigen-ecuacin en la cual se utiliza un bra en lugar de un ket es la siguiente:

Este detalle nos permite llevar a cabo de una manera sencilla algunas demostraciones que deotra manera nos confundiran fcilmente al obscurecerse los detalles con la notacin.

Si el operador Oes una matriz, y si lo que queremos hacer es entresacar cierto componente de lamatriz, lo hacemos tomando el triple producto matricialque se muestra a continuacin:








http://1.bp.blogspot.com/-PAhuoP1W8u4/Tbh2SOF-kkI/AAAAAAAAQnk/rI7JyQaMmkQ/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+bra+a+su+izquierda.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-Ew02OKXvwIk/Tbscj0ADe6I/AAAAAAAAQqU/Z1Z6Vkw6_-c/s1600/operador+actuando+sobre+bra.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-Ew02OKXvwIk/Tbscj0ADe6I/AAAAAAAAQqU/Z1Z6Vkw6_-c/s1600/operador+actuando+sobre+bra.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-Ew02OKXvwIk/Tbscj0ADe6I/AAAAAAAAQqU/Z1Z6Vkw6_-c/s1600/operador+actuando+sobre+bra.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-PAhuoP1W8u4/Tbh2SOF-kkI/AAAAAAAAQnk/rI7JyQaMmkQ/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+bra+a+su+izquierda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Qpn_V7PYQsk/Tbh14UcSdBI/AAAAAAAAQng/apVhxnERsqI/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+ket+a+su+derecha.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-YN3FIUcr8kM/TbsnDtjqPmI/AAAAAAAAQqc/VfSmnH9dCuo/s1600/eigenvalores+del+operador.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-Ew02OKXvwIk/Tbscj0ADe6I/AAAAAAAAQqU/Z1Z6Vkw6_-c/s1600/operador+actuando+sobre+bra.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-PAhuoP1W8u4/Tbh2SOF-kkI/AAAAAAAAQnk/rI7JyQaMmkQ/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+bra+a+su+izquierda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Qpn_V7PYQsk/Tbh14UcSdBI/AAAAAAAAQng/apVhxnERsqI/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+ket+a+su+derecha.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-YN3FIUcr8kM/TbsnDtjqPmI/AAAAAAAAQqc/VfSmnH9dCuo/s1600/eigenvalores+del+operador.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-Ew02OKXvwIk/Tbscj0ADe6I/AAAAAAAAQqU/Z1Z6Vkw6_-c/s1600/operador+actuando+sobre+bra.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-PAhuoP1W8u4/Tbh2SOF-kkI/AAAAAAAAQnk/rI7JyQaMmkQ/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+bra+a+su+izquierda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Qpn_V7PYQsk/Tbh14UcSdBI/AAAAAAAAQng/apVhxnERsqI/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+ket+a+su+derecha.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-YN3FIUcr8kM/TbsnDtjqPmI/AAAAAAAAQqc/VfSmnH9dCuo/s1600/eigenvalores+del+operador.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-Ew02OKXvwIk/Tbscj0ADe6I/AAAAAAAAQqU/Z1Z6Vkw6_-c/s1600/operador+actuando+sobre+bra.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-PAhuoP1W8u4/Tbh2SOF-kkI/AAAAAAAAQnk/rI7JyQaMmkQ/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+bra+a+su+izquierda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-Qpn_V7PYQsk/Tbh14UcSdBI/AAAAAAAAQng/apVhxnERsqI/s1600/operador+X+actuando+sobre+el+ket+a+su+derecha.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-YN3FIUcr8kM/TbsnDtjqPmI/AAAAAAAAQqc/VfSmnH9dCuo/s1600/eigenvalores+del+operador.png


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En esta representacin, se utiliza el bra para simbolizar un vector renglnui, y el ket para

simbolizar un vector columnauj. El producto matricial de Ocon ujnos entresaca una columna

completa de la matriz O, la columna j, mientras que el producto posterior de uicon Onosentresaca el elemento situado en el rengln i del vector columna obtenido de la operacin

previa, dndonos de este modo el elemento Oijde la matriz O.

PROBLEMA:Definir el bra y el ket requeridos para entresacar de la siguiente matriz:

el elemento situado en el segundo rengln y en la tercera columna .

El elemento situado en el segundo rengln y en la tercera columna es el nmero 2. Lo podemosextraer de la siguiente manera con el producto matricial triple mostrado:

La multiplicacin de la segunda matriz por la tercera matriz nos producir un vector columnacuyos elementos sern todos los elementos de la tercera columna de la segunda matriz, entre loscuales est el nmero 2 quequeremos entresacar. Y la multiplicacin de la primera matriz por lamatriz resultante de la operacin anterior nos producir una matriz de un solo elemento, que esel nmero 2. Entonces el bra y el ket requeridos para la extraccin vienen siendo los siguientes:








http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19v41EvMyI/AAAAAAAAKYQ/kCunfyqEhbo/s1600-h/bra_ket_de_entresacado.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19v41EvMyI/AAAAAAAAKYQ/kCunfyqEhbo/s1600-h/bra_ket_de_entresacado.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19v41EvMyI/AAAAAAAAKYQ/kCunfyqEhbo/s1600-h/bra_ket_de_entresacado.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19v41EvMyI/AAAAAAAAKYQ/kCunfyqEhbo/s1600-h/bra_ket_de_entresacado.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19s-VTM7zI/AAAAAAAAKYI/kk_SHVF_c2A/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19qiBK_VwI/AAAAAAAAKYA/BATBsGfvpo4/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14F23ATedI/AAAAAAAAKTU/XLsiUTZ4eNQ/s1600-h/4_bra-ket_elemento_de_una_matriz.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19v41EvMyI/AAAAAAAAKYQ/kCunfyqEhbo/s1600-h/bra_ket_de_entresacado.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19s-VTM7zI/AAAAAAAAKYI/kk_SHVF_c2A/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19qiBK_VwI/AAAAAAAAKYA/BATBsGfvpo4/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14F23ATedI/AAAAAAAAKTU/XLsiUTZ4eNQ/s1600-h/4_bra-ket_elemento_de_una_matriz.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19v41EvMyI/AAAAAAAAKYQ/kCunfyqEhbo/s1600-h/bra_ket_de_entresacado.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19s-VTM7zI/AAAAAAAAKYI/kk_SHVF_c2A/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19qiBK_VwI/AAAAAAAAKYA/BATBsGfvpo4/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14F23ATedI/AAAAAAAAKTU/XLsiUTZ4eNQ/s1600-h/4_bra-ket_elemento_de_una_matriz.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19v41EvMyI/AAAAAAAAKYQ/kCunfyqEhbo/s1600-h/bra_ket_de_entresacado.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19s-VTM7zI/AAAAAAAAKYI/kk_SHVF_c2A/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S19qiBK_VwI/AAAAAAAAKYA/BATBsGfvpo4/s1600-h/matriz_de_problema.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S14F23ATedI/AAAAAAAAKTU/XLsiUTZ4eNQ/s1600-h/4_bra-ket_elemento_de_una_matriz.png


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En las expresiones que se muestran a continuacin:

tenemos un operador matricial Xal cual con la expresin en la primera lnea se le entresaca elelemento situado en el primer rengln y la primera columna de la matriz, en la segunda lnea setiene al elemento situado en el segundo rengln y en la segunda columna de la matriz, en latercera lnea se tiene al elemento situado en el tercer rengln y en la tercera columna de lamatriz, y as sucesivamente. Puesto que, por definicin, la suma de los elementos de una matrizsituados a lo largo de su diagonal principal se define como la traza de la matriz, esto nos permitedefinir la traza de un operadorde la siguiente manera:

En notacin bra-ket, representamos una expansin Fourier(sobre cualquier base de funcionesortonormales, no necesariamente trigonomtricas) de la siguiente manera:

PROBLEMA: Ya se ha visto previamente que cuando el conmutador de Born de dosoperadores es igual a cero, se tienen observables compatibles que pueden ser medidassimultneamente sin lmite terico a la precisin de las mediciones simultneas que se llevan acabo. Supngase que se tienen dos observables compatibles cuyos operadores asociadossonAyB, y supngase que los eigenvalores de Ano son degenerados formando los mismosuna matriz diagonal. Demustrese entonces que los elementos matriciales deloperadorBtambin sern todos diagonales (esto es, la matriz asociada con el operador Bsertambin una matriz diagonal).

La condicin de Born para dos observables compatibles es la siguiente:








http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TMR70Jv6yeI/AAAAAAAAOmM/J4Sc2B7Tl0Q/s1600/expansion_Fourier.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TMR70Jv6yeI/AAAAAAAAOmM/J4Sc2B7Tl0Q/s1600/expansion_Fourier.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-wqjLnvdJkzw/TbnDdQcQbGI/AAAAAAAAQow/yyIn-rJ2VUo/s1600/traza+de+un+operador+X.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-TJR86POFL1o/TbnCWXPQUWI/AAAAAAAAQos/6-0f0gL3mcc/s1600/entresacado+de+elementos+diagonales.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TMR70Jv6yeI/AAAAAAAAOmM/J4Sc2B7Tl0Q/s1600/expansion_Fourier.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-wqjLnvdJkzw/TbnDdQcQbGI/AAAAAAAAQow/yyIn-rJ2VUo/s1600/traza+de+un+operador+X.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-TJR86POFL1o/TbnCWXPQUWI/AAAAAAAAQos/6-0f0gL3mcc/s1600/entresacado+de+elementos+diagonales.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TMR70Jv6yeI/AAAAAAAAOmM/J4Sc2B7Tl0Q/s1600/expansion_Fourier.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-wqjLnvdJkzw/TbnDdQcQbGI/AAAAAAAAQow/yyIn-rJ2VUo/s1600/traza+de+un+operador+X.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-TJR86POFL1o/TbnCWXPQUWI/AAAAAAAAQos/6-0f0gL3mcc/s1600/entresacado+de+elementos+diagonales.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S191RKNob0I/AAAAAAAAKYY/yR-1q2O5CKM/s1600-h/expansion_Fourier.png


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Encapsulando ambos lados de lo anterior entre un bra y un ket, tenemos entonces el siguientedesarrollo:

Obsrvese que en la sexta lnea del desarrollo, mientras que en el segundo trmino se ha hechoactuar al operadorAsobre el ket que est a su derecha devolvindonos el ket y eleigenvalor a (un nmero) con el cual est asociado el ket, en el primer trmino se ha hechoactuar al operadorAsobre el bra que est a la izquierdadevolvindonos un ket y eleigenvalor bcon el cual est asociado el ket. De la sptima lnea podemos ver que para a..blanica manera en la cual la expresin obtenida puede ser cierta ser teniendo:

lo cual es la principal caracterstica de una matriz diagonal. Y para a.=.b, la expresin ser vlidaaunque ninguno de los elementos del operador Bsea igual a cero. Entonces la matrizBes unamatriz diagonal. Esto refleja algo que habamos visto con anterioridad: para que dos matricessean conmutativas (generalmente hablando, dejando fuera los casos triviales) ambas matricesdeben ser diagonales, o deben poder ser diagonalizadas simultneamente.

Ahora bien, al actuar un operador Osobre un ket que representa a una funcin que puede serexpandida en una serie ya sea finita o infinita de funciones ortonormales de base, en la notacinbra-ket esto permite meter el operador Odentro de la sumatoria para actuar directamente sobrelas funciones de base usadas para la expansin de una funcin :








http://2.bp.blogspot.com/-0ogXHoVTkas/Tbsq7Tpp_jI/AAAAAAAAQqk/v2tHn7hSSfI/s1600/deduccion.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-0ogXHoVTkas/Tbsq7Tpp_jI/AAAAAAAAQqk/v2tHn7hSSfI/s1600/deduccion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-Z8bH4cHTdd4/TbsesJslVRI/AAAAAAAAQqY/lSRO8ETUGVQ/s1600/problema+conmutador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-5QZjkETebl4/TbsoeDXVCdI/AAAAAAAAQqg/nAn9JII54Ng/s1600/condicion+de+Born+para+dos+observable+compatibles.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-0ogXHoVTkas/Tbsq7Tpp_jI/AAAAAAAAQqk/v2tHn7hSSfI/s1600/deduccion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-Z8bH4cHTdd4/TbsesJslVRI/AAAAAAAAQqY/lSRO8ETUGVQ/s1600/problema+conmutador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-5QZjkETebl4/TbsoeDXVCdI/AAAAAAAAQqg/nAn9JII54Ng/s1600/condicion+de+Born+para+dos+observable+compatibles.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-0ogXHoVTkas/Tbsq7Tpp_jI/AAAAAAAAQqk/v2tHn7hSSfI/s1600/deduccion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-Z8bH4cHTdd4/TbsesJslVRI/AAAAAAAAQqY/lSRO8ETUGVQ/s1600/problema+conmutador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-5QZjkETebl4/TbsoeDXVCdI/AAAAAAAAQqg/nAn9JII54Ng/s1600/condicion+de+Born+para+dos+observable+compatibles.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WG-wyuqLI/AAAAAAAALVA/ElhSJmqET3E/s1600-h/5_bra-ket_operador_actuando_sobre_una_funcion_de_onda.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-0ogXHoVTkas/Tbsq7Tpp_jI/AAAAAAAAQqk/v2tHn7hSSfI/s1600/deduccion.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-Z8bH4cHTdd4/TbsesJslVRI/AAAAAAAAQqY/lSRO8ETUGVQ/s1600/problema+conmutador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-5QZjkETebl4/TbsoeDXVCdI/AAAAAAAAQqg/nAn9JII54Ng/s1600/condicion+de+Born+para+dos+observable+compatibles.png


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Podemos hacer operaciones con bras y kets haciendo substituciones como sea necesario anuestros propsitos, tal como aplicar un bra a la anterior expansin Fourier para obtener losiguiente:

Supngase ahora que tenemos un conjunto ortonormal completode funciones jque satisfaceque satisface la definicin de ortonormalidad:

Puesto que los jforman un conjunto completo, cualquier funcin de onda permisible puedeser expandida (expansin de Fourier) sobre dicho conjunto de funciones ortonormales:

Del mismo modo:

Supngase ahora un operador Q que acta sobre una funcin de onda tal:

Multiplicando ambos miembros por el conjugado complejo k* de ke integrando sobre todo elespacio:










http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5zCCA36I/AAAAAAAALTw/59CTg4y1c_U/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_02.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6GUEn3jI/AAAAAAAALT4/O2KtY5ybJwI/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6Yg-Kk7I/AAAAAAAALUA/Vzaetv7GgCw/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_04.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6Yg-Kk7I/AAAAAAAALUA/Vzaetv7GgCw/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_04.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6GUEn3jI/AAAAAAAALT4/O2KtY5ybJwI/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5zCCA36I/AAAAAAAALTw/59CTg4y1c_U/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_02.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5KZ5AaYI/AAAAAAAALTo/c-yLv7NXMas/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_01.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WHVLAZl6I/AAAAAAAALVI/o9FgqyVp4VY/s1600-h/6_bra-ket_aplicacion_de_bra_a_ket_con_operador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6Yg-Kk7I/AAAAAAAALUA/Vzaetv7GgCw/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_04.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6GUEn3jI/AAAAAAAALT4/O2KtY5ybJwI/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5zCCA36I/AAAAAAAALTw/59CTg4y1c_U/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_02.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5KZ5AaYI/AAAAAAAALTo/c-yLv7NXMas/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_01.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WHVLAZl6I/AAAAAAAALVI/o9FgqyVp4VY/s1600-h/6_bra-ket_aplicacion_de_bra_a_ket_con_operador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6Yg-Kk7I/AAAAAAAALUA/Vzaetv7GgCw/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_04.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6GUEn3jI/AAAAAAAALT4/O2KtY5ybJwI/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5zCCA36I/AAAAAAAALTw/59CTg4y1c_U/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_02.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5KZ5AaYI/AAAAAAAALTo/c-yLv7NXMas/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_01.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WHVLAZl6I/AAAAAAAALVI/o9FgqyVp4VY/s1600-h/6_bra-ket_aplicacion_de_bra_a_ket_con_operador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6Yg-Kk7I/AAAAAAAALUA/Vzaetv7GgCw/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_04.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6GUEn3jI/AAAAAAAALT4/O2KtY5ybJwI/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5zCCA36I/AAAAAAAALTw/59CTg4y1c_U/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_02.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5KZ5AaYI/AAAAAAAALTo/c-yLv7NXMas/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_01.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WHVLAZl6I/AAAAAAAALVI/o9FgqyVp4VY/s1600-h/6_bra-ket_aplicacion_de_bra_a_ket_con_operador.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6Yg-Kk7I/AAAAAAAALUA/Vzaetv7GgCw/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_04.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6GUEn3jI/AAAAAAAALT4/O2KtY5ybJwI/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5zCCA36I/AAAAAAAALTw/59CTg4y1c_U/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_02.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V5KZ5AaYI/AAAAAAAALTo/c-yLv7NXMas/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_01.pnghttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5WHVLAZl6I/AAAAAAAALVI/o9FgqyVp4VY/s1600-h/6_bra-ket_aplicacion_de_bra_a_ket_con_operador.png


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En la expresin que tenemos del lado derecho de la igualdad, podemos sacar fuera de la integral

el smbolo de la sumacin, ya que generalmente hablando los signos de integracin y sumacin

son intercambiables, adems de sacar fuera tambin a las constantes a'j:

Pero lo que tenemos en el lado derecho de la igualdad ya haba sido definido como algo que

cumple con la condicin de ortonormalidad por ser el conjunto de funciones jque satisface ladefinicin de ortonormalidad, o sea:

Obsrvese que en el paso intermedio se ha aplicado la propiedad del delta de Kronecker queelimina todos los trminos de la sumatoria excepto aqul trmino para el cual j.=.k. Entoncesesto nos deja en nuestra relacin inicial lo siguiente:

Podemos compactar esto mediante la notacin bra-ket de Dirac teniendo entonces:










http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V8twJfjvI/AAAAAAAALUY/qiUj7nNpk8k/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_07.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9nonVzaI/AAAAAAAALUo/7cMxOtuWL4s/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_09.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9nonVzaI/AAAAAAAALUo/7cMxOtuWL4s/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_09.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V8twJfjvI/AAAAAAAALUY/qiUj7nNpk8k/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_07.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V7FJ7J6JI/AAAAAAAALUQ/973TaEkEYAA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_06.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6rvpOgvI/AAAAAAAALUI/-mZEbQK3nEo/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_05.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9nonVzaI/AAAAAAAALUo/7cMxOtuWL4s/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_09.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V8twJfjvI/AAAAAAAALUY/qiUj7nNpk8k/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_07.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V7FJ7J6JI/AAAAAAAALUQ/973TaEkEYAA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_06.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6rvpOgvI/AAAAAAAALUI/-mZEbQK3nEo/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_05.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9nonVzaI/AAAAAAAALUo/7cMxOtuWL4s/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_09.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V8twJfjvI/AAAAAAAALUY/qiUj7nNpk8k/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_07.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V7FJ7J6JI/AAAAAAAALUQ/973TaEkEYAA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_06.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6rvpOgvI/AAAAAAAALUI/-mZEbQK3nEo/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_05.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9nonVzaI/AAAAAAAALUo/7cMxOtuWL4s/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_09.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V8twJfjvI/AAAAAAAALUY/qiUj7nNpk8k/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_07.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V7FJ7J6JI/AAAAAAAALUQ/973TaEkEYAA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_06.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6rvpOgvI/AAAAAAAALUI/-mZEbQK3nEo/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_05.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9nonVzaI/AAAAAAAALUo/7cMxOtuWL4s/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_09.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V9RzuzHnI/AAAAAAAALUg/S9NkYNrOoLA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_08.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V8twJfjvI/AAAAAAAALUY/qiUj7nNpk8k/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_07.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V7FJ7J6JI/AAAAAAAALUQ/973TaEkEYAA/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_06.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/S5V6rvpOgvI/AAAAAAAALUI/-mZEbQK3nEo/s1600-h/elemento_matricial_de_un_operador_05.PNG


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Obsrvese que en la segunda lnea se ha substitudo el producto bra-ket por Q kj, definido comoun elemento matricialdel operador Q:

En notacin matricial lo que hemos obtenido lo podemos escribir de la siguiente manera:

Qa = a'

Hemos dejado de trabajar entonces con la Mecnica Ondulatoria y estamos trabajando yaplenamente dentro de la Mecnica Matricial? No precisamente, porque al hablar d

mecanica cuantica 2

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