mecanica dos sólidos deformáveis
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Mecanica Dos Sólidos DeformáveisTRANSCRIPT
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DEFINIÇÃO DO TENSOR DAS TRANSFORMAÇÕES
Config. Indeformável Config. Deformável
F
F ⇒ Tensor Gradiente das Transformações
J ⇒ Jacobiano (J = det F ≥ 0)
TRANSFORMAÇÕES(APLICAÇÃO LINEAR)
Seja xri as coordenadas de xr em ℜ e xi as de x em ℜ. O tensor
gradiente da transformação é definido por:
x1
x2
x3
Jacobiano (condição local de impenetrabilidade)
Notação indicial
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EXERCÍCIO: TRANSFORMAÇÕES(APLICAÇÃO LINEAR)
Exemplo: Considere a transformação através das equações:
x1
x2
x3
Tensor das Transformações Jacobiano
Notação indicial
DESLOCAMENTOS
Deslocamento do ponto xr
x1
x2
x3
Gradiente dos deslocamentos em xr
Notação indicial
3
EXERCÍCIO: DESLOCAMENTOS
Exemplo: Considere a transformação através das equações:
x1
x2
x3
Tensor das Transformações
EXERCÍCIO: TENSOR DADEFORMAÇÃO DE GREEN
Tensor de Green (simétrico)
Continuando o exemplo anterior
OBS: Representado na configuração inicial
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EXERCÍCIO: TENSOR DASDEFORMAÇÕES DE CAUCHY
Tensor de Cauchy (simétrico)
Continuando o exemplo anterior
OBS: Chamado também de tensor dos alongamentos quadráticos
de Cauchy.
EXERCÍCIO: TENSOR DASDEFORMAÇÕES DE ALMANSI
Tensor de Almansi (simétrico)
Continuando o exemplo anterior
onde
OBS: Representado na configuração deformada
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TENSORES DAS DEFORMAÇÕES
Config. Indeformável Config. Deformável
ϕϕϕϕ
E ⇒ Tensor das deformações de Green-Lagrange
e ⇒ Tensor de Almansi
EXERCÍCIO: AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
Tensor de Cauchy (simétrico)
Tensor de Cauchy escrito na base (e1, e2, e3)
e1=(1;0;0)
e2 =(0;1;0)
e3 =(0;0;1)
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EXERCÍCIO: AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
Tensor de Cauchy escrito na base (e1, e2, e3)
e1=(1;0;0)
e2 =(0;1;0)
e3 =(0;0;1)
Para escrever o tensor C nas direções principais, deve-se
determinar o polinômio característico
EXERCÍCIO: AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
Determinação do polinômio característico
O polinômio característico é definido por:
onde
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EXERCÍCIO: AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
O polinômio característico é definido por:
Os auto-valores de C são as soluções do polinômio característico:
h1
h2
h3
Escrito na base das direções principais (auto-vetores):
EXERCÍCIO: AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
Tensor de Cauchy escrito na base (e1, e2, e3)
Tensor de Cauchy escrito na base das direções principais
(h1, h2, h3)
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EXERCÍCIO: AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
h1
h2
h3
Os auto-vetores são calculados a partir da expressão abaixo:
Os versores h1, h2, h3 são calculados substituindo respectivamente
os valores de λ1, λ2, λ3 em λ da expressão acima.
Consequentemente:
EXERCÍCIO: TENSOR DOS ESTIRAMENTOS
Tensor dos Estiramentos
Tensor dos Estiramentos escrito na base das direções principais
(h1, h2, h3)
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EXERCÍCIO: TENSOR DOS ESTIRAMENTOS
Invariantes de ΛΛΛΛ que podem ser calculados na base (h1, h2, h3)
Tensor dos Estiramentos escrito na base global (e1, e2, e3)
EXERCÍCIO: TENSOR DOS ESTIRAMENTOS
Exemplo: Tensor dos Estiramentos escrito na base das direções
principais (h1, h2, h3)
Invariantes de ΛΛΛΛ que podem ser calculados na base (h1, h2, h3)
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EXERCÍCIO: TENSOR DOS ESTIRAMENTOS
Tensor dos Estiramentos escrito na base global (e1, e2, e3)
DECOMPOSIÇÃO POLAR
Config. Indeformável Config. Deformável
ϕϕϕϕ
R ⇒ Tensor das Rotações
U ⇒ Tensor Direito dos Estiramentos
V ⇒ Tensor Esquerdo dos Estiramentos
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DECOMPOSIÇÃO POLAR
Conseqüentemente:
Logo:
e
Propriedades do Tensor R:
Então:
EXERCÍCIO: TENSOR DAS ROTAÇÕES
Tensor das rotações
Continuando o exemplo anterior
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MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
PROPRIEDADES – MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
Um material hiperelástico isótropo tem a sua energia de deformação
específica dada por ψ(I1,I2,I3 ) , onde
Logo, as tensões são dadas por
Colocando-se em forma indicial e realizando-se as derivadas, conclui-
se que
MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
Portanto,
Note-se que S(E) é uma função tensorial isótropa. Logo, em materiais
isótropos o tensor das tensões é uma função tensorial isótropa do
tensor das deformações.
Um material isótropo apresenta as mesmas propriedades elásticas em
qualquer direção.
Não existem direções preferenciais em um material isótropo. Materiais
resultantes da mistura aleatória de pequenos grãos são
macroscopicamente isótropos, como é o caso de metais e do concreto
simples.
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MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
TENSORES COLINEARES OU COAXIAIS
Dois tensores simétricos de segunda ordem são ditos colineares ou
coaxiais se possuírem os mesmos autovetores, isto é, as mesmas
direções principais.
Em materiais isótropos os tensores das tensões e das deformações, Se E, são colineares. Isto é fácil de verificar, uma vez que I, E e E2 têm
os mesmos autovetores. Pode-se verificar que:
MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
O tensor dos módulos hiperelásticos de rigidez tangente de um
material isótropo é dado por
Utilizando a regra da cadeia,
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MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
Simplificando
MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
Simplificando
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MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
Resultando em
MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS
Um material hiperelástico isótropo linear para o par {S,E} tem
onde
As constantes
são chamadas de constantes de Lamé. A energia de deformação
específica de um material elástico isótropo linear é dada então por
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PARÂMETROS DOS MATERIAIS
Módulo de Elasticidade (Resiliência = Mód. de Elastic. Dinâmico)
Coeficiente de Poisson
Coeficientes de Lamé (Módulo de Rigidez Transversal)
Coeficientes de Lamé (Bulk e Quantity)
ANÁLISE TENSORIAL
ESTUDO DAS TENSÕESELASTICIDADE DE SAN VENNAT
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ELASTICIDADELEI DE SAN VENNAT
Segundo Tensor de Piola-Kirchhoff
Matriz de rigidez
EXERCÍCIO: ELASTICIDADELEI DE SAN VENNAT
Exemplo: Considere o módulo de elasticidade 210.000 MPa e
coeficiente de Poisson 0,3. Então:
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EXERCÍCIO: ELASTICIDADELEI DE SAN VENNAT
Portanto:
EXERCÍCIO: ELASTICIDADELEI DE SAN VENNAT
Uma vez conhecido o Segundo Tensor de Piola-Kirchhoff, tem-se: