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Departamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos IParte 5 – Tensões de Flexão
Prof. Arthur M. B. Braga
2008.1
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Mecânica dos Sólidos I
Mecânica dos Sólidos
ProblemaCorpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar• Esforços internos (tensões)• Deformações• Deslocamentos
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Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
F7
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F8
P (x,y,z) ),,( zyxσ
x
z
y
σxyσxx
σxz
σzyσzx
σzz
σyy
σyx
σyz
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Mecânica dos Sólidos I
F
Barras Carregadas Axialmente
Fσxx
z
y
x
σxx
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000xx
σσ
AF
xx =σ
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Mecânica dos Sólidos I
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
JTrr =)(τ
1φ
xT
T2φ
GJTL
=∆φ
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Mecânica dos Sólidos I
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
A
xT
T
y
zA
x
y
z)0(>= xzστ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000
00
xz
xz
σσ
σ
JTDDxz 2
)2( ==τσ
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Mecânica dos Sólidos I
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)
p
tPD2
=θθσ
tPD
xx 4=σ
xxσ
θθσ
Vasos cilíndricos
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Mecânica dos Sólidos I
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)
p
tPD4
=θθσ
tPD4
=ϕϕσϕϕσ
θθσ
Vasos esféricos
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Momento fletor e esforço cortante atuando na seção transversal de uma viga carregada no plano xy
x
y
zM
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Seção tranversal simétrica em relação ao plano xy
x
y
z
y
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Flexão Pura
x
yM M
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Flexão Pura (viga de seção transversal simétrica)
A B C
D E F
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
A′ B′ C′
D′ E′ F ′
OFlexão Pura
M M
φ∆φ∆
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Curvatura
O
O′
φ∆
φ∆φ
s∆
ρ
B
C
A curvatura no ponto B édefinida como:
ρφφ 11limlim
00=
′=
∆∆
==→∆→∆ BOsds
dkssy
x
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
A′ B′ C′
D′ E′ F ′
OFlexão Pura
M M
φ∆φ∆
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
M NI J y x
y
Deformação do segmento IJ
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Eixo Neutro(deformação nula)
Compresão
M ′ N ′
I ′ J ′
Tração
ρ
y−ρ
y
NMNMJI
IJIJJI
xx ′′′′−′′
=−′′
=ε
Deformação do segmento IJ
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
φρ ∆=′′NMDeformação do segmento IJ
φρ ∆−=′′ )( yJI
Eixo Neutro(deformação nula)
Compresão
M ′ N ′
I ′ J ′
Tração
ρ
y−ρ
y
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Deformação longitudinal
NMNMJI
IJIJJI
xx ′′′′−′′
=−′′
=ε
φρ ∆=′′NM
φρ ∆−=′′ )( yJI
ydydy
xxφ
ρε −=−=
Deformação cisalhante
021
== xyxy γε
Simetria (flexão pura)
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Relação tensão vs. deformação
( )[ ]ρ
σσνσε yE zzyyxxxx −=+−=1
022
1===
Gxy
xyxy
σγε
022
1===
Gxz
xzxzσγε
Tensões cisalhantes são nulas no caso de flexão pura
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Equilíbrio
x
y
M
Axx ∆σ
z
y
z
MdAyM
dAzM
dAF
A xxz
A xxy
A xxx
=−=
==
==
∫∑∫∑∫∑
σ
σ
σ
0
0
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
• Hipótese:
• Balanço de forças na direção longitudinal
0=== yzzzyy σσσ
ydsdEyExxφ
ρσ −=−=
0=−=−== ∫∫∫∑ dAyEdAyEdAFAAA xxx ρρ
σ
Eixo neutro está localizado sobre o centróide da área da seção transversal
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
• Balanço de momentos na direção y
0=−=−== ∫∫∫∑ dAyzEdAzyEdAzMAAA xxy ρρ
σ
Simetria da seção transversal em relação ao plano xy 0=⇒ ∫ dAyz
A
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
• Balanço de momentos na direção z
MdAyEdAyEdAyMAAA xxz ===−= ∫∫∫∑ 2
2
ρρσ
dAyIA∫=
2 Momento de inércia da área da seção transversal
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
⇒==
IMy
EIMy
EIM
dsd
xx
xx
σ
ε
ρφ 1
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
xxσ
x
y
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000)(
),,(y
zyxxxσ
σ
IMyyxx −=)(σ
Tensões Normais de Flexão
MM
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
F
x
y
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000),(
),,(yx
zyxxxσ
σ
IxMyyxxx)(),( −=σ
Tensões Normais de Flexão
xxσ
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Mecânica dos Sólidos I
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
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Mecânica dos Sólidos I
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
P
Lâminas “Coladas”
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Mecânica dos Sólidos I
P
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Lâminas Independentes
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Mecânica dos Sólidos I
P
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
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Mecânica dos Sólidos I
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Lâminas “Coladas” Lâminas Independentes
Tensões de cisalhamento horizontais impedem o deslizamento entre as lâminas
Lâminas deslizam umas sobre as outras
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Mecânica dos Sólidos I
xyσ
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Forças de cisalhamento
horizontal
Tensões Cisalhantes
xyσ
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
)(xq
)( xxM ∆+
)( xxV ∆+)(xM
)(xV
x
y
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
y
x
),( yxxxx ∆+σ),( yxxxσ
y
xz
y
xz
y
xz
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
21
2
0),(),()( 22
cyccy
dAxxdAxyVc
y xx
c
y xxH
<<−<<
=∆++−− ∫∫ξ
ξσξσ
y
),( yxxxx ∆+σ
),( yxxxσ2c
1cx
ξ)(yVH
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
IxxMxx
IxMx
xybyyV
dAxxdAxyV
xx
xx
xyH
c
y xx
c
y xxH
)(),(
)(),(
)()()(
0),(),()( 22
∆+−=∆+
−=
∆=
=∆++−− ∫∫
ξξσ
ξξσ
σ
ξσξσ
),( yxxxx ∆+σ
),( yxxxσ
)(yVH
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
0)()()()( 22 =∆+
−+∆− ∫∫c
y
c
yxy dAI
xxMdAI
xMxyby ξξσ
definindo ∫=2)(
c
ydAyQ ξ
xM
ybIyQ
xxMxxM
ybIyQyxy ∆
∆−=⎟
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⎜⎝⎛
∆−∆+
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)()()(σ
fazendo e recordando que dxdMxV −=)(0→∆x
IybyQxVyxy )()()()( =σ
),( yxxxx ∆+σ
),( yxxxσ
)(yVH
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Exemplo: Viga de seção retangular
y
zh
b
ξdbdAbhIhyhbyb ==<<−= ,12,22,)( 3
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−== ∫
22 2
418
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h
yξξ
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⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
4123)(
hy
bhVyxyσ
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Viga de seção retangular:
y
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
4123)(
hy
bhVyxyσ
bhVy xyxy 2
3)0(})(max{ ==σσ
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Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Viga de seção Circular:
y
AVy xyxy 3
4)0(})(max{ ==σσ
IybyQVyxy )()()( =σ