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MECÂNICA - ESTÁTICA
Esforços Internos
Cap. 7
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2
Objetivos
Mostrar como utilizar o método das seções para determinar forças internas em um elemento.
Generalizar este procedimento pela formulação de equações que podem ser traçadas graficamente, de modo que sejam descritas as camadas internas e os momentos através de um elemento.
Analisar as forças e estudos de geometria de cabos de sustentação de cargas.
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O projeto de um elemento requer a verificação da resistência do material face ao carregamento no seu interior (forças internas)
Estas forças internas podem ser calculadas usando-se o Método das Seções
7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
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Elemento AB está em equilíbrio
As forças internas em C devem ser tais que os
elementos AC e CB estão em equilíbrio
7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
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Diagrama de corpo livre do elemento AB
7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
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Cortando o elemento AB em C esforços internos são:• Força Cortante: VC
• Força Normal ou Axial: NC
• Momento Fletor: MC
As três equações de equilíbrio devem ser aplicadas nos elementos AC ou CB para determinar estes esforços
7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
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Escolha o elemento com os carregamentos mais
simples
• Para determinar NC Aplique Fx=0
• Para determinar VC Aplique Fy=0
• Para determinar MC Aplique M=0
7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
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Esforços internos bi-dimensionais
7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
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Esforços internos tri-dimensionais
7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
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Exemplo 7.4
Determine os esforços internos atuantes na seção B da estrutura de dois elementos mostrada.
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Exemplo 7.4 - Solução
Diagrama de corpo livre:
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Exemplo 7.4 - Solução
Reações de apoio:Desde que CD é um elemento de duas forças, as equações de equilíbrio precisam ser aplicadas somente para o elemento AC
0
3400 (4 ) (8 ) 0
5
333.33 lb
A
DC
DC
M
lb F
F
ft ft
Q
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Exemplo 7.4 - Solução
266.66
333.33
0
4 4333.33 0
5 5
0
3 3400 400 333.33 0
5 5
200
DC
x
x DC x
y
y
y
y
x
DC
F lb
F
A F A
A
F
A lb F
lb
A
A
l
l
b
b
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Exemplo 7.4 - Solução
Esforços internos:
Para o seu cálculo é essencial separar o elemento AC em dois elementos passando uma seção pelo ponto B
Tenha certeza de manter a carga distribuída exatamente como ela era antes do elemento ser separado
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Exemplo 7.4 - Solução
Equações de equilíbrio para o segmento AB:0
266.66 0
0
200 2
267 lb
0
400 lb.ft
0
266.66 lb
0 0
0
200 (4 ) 200 (2 ) 0
800 400
B
B
x
B
y
B
B
B
B B
B
F
N
F
lb lb V
M
M lb ft lb ft
N N
V
MM
Q
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Exemplo 7.4 - Solução
Equações de equilíbrio para o segmento CB:
267 lb
0
0
4333.33 0
5
0
3333.33 200 0
5
0
3333.33 (4 ) 200 (2 ) 0
5
800 400 400 lb.f
x
B
y
B
B
B
B
B
B
B
N
F
V
M
N
F
V
M
M lb ft lb ft
M t
Q
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Exemplo 7.4 - Solução
Obviamente que os resultados da análise do segmento AB são os mesmos daqueles da análise do segmento BC:
NB = 267 lb VB = 0 MB = 400 lb.ft
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Exemplo 7.4 – Solução do Ftool (com diagrama de normais)
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Exemplo 7.4 – Solução do Ftool (com diagrama de cortantes)
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 20
Exemplo 7.4 – Solução do Ftool (com diagrama de momentos)
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 21
Problema 7.3
As forças atuam no eixo mostrado. Determine os esforços normais internos atuantes nos pontos A, B e C.
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 22
Problema 7.3 - Solução
Aplicando a equação de equilíbrio ao segmento esquerdo seccionado no ponto A:
kNN
N
F
A
A
x
5
05
0
5 kN NAA
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 23
Problema 7.3 - Solução
Aplicando a equação de equilíbrio ao segmento direito seccionado em C:
kNN
N
F
C
C
x
4
04
0
NC 4 kNC
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 24
Problema 7.3 - Solução
Aplicando a equação de equilíbrio ao segmento direito seccionado em B:
kNN
N
F
B
B
x
3
074
0
NB 4 kNB
7 kN
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 25
Problema 7.A
Determine a distância entre os apoios do eixo em função do comprimento do eixo tal que o momento fletor no centro do eixo seja nulo.
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 26
Diagrama de corpo livre:
L
Ay
a
By
(w)(a)
4
a)w(L
4
a)w(L
Problema 7.A - Solução
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 27
Devido à simetria Ay=By
)(4
02
2)(2
04
)())((
4
)(
0
aLw
BA
waaLwA
aLwaw
aLwBA
F
yy
y
yy
y
L
Ay
a
By
(w)(a)
4
a)w(L
4
a)w(L
Problema 7.A - Solução
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 28
V
M
4
a)w(L
2
wa
4
a)w(L2
a
2
L
Problema 7.A - Solução
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 29
Problema 7.A – Solução do Ftool (com diagrama de momentos)
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 30
Problema 7.A – Solução do Ftool (com diagrama de cortantes)
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 31
Determine os esforços internos na seção D da estrutura
Problema 7.B
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 32
Elemento BC:
2.25 kN
2.25
0
4.5(
kN
1.5) (3) 0
0
2.25 4.5 0
C
x
x
x
x
x
M
B
F
B
C
C
Q4.5 kN
Cy
1.5 m
By
Bx
Cx
1.5 m
Problema 7.B - Solução
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 33
Elemento AB:
0
2.25(3) 3(1) (3) 0
1.25 kN
A
y
y
M
B
B
Q
3 m
2 m
1 m
2.25 kN
By3 kN
Ay
Ax
Problema 7.B - Solução
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 34
Elemento DB:
2.25 kN
0
2.25 0
0
1.25 0
0
1.25(1.
1.25 kN
1.88 kN.
5
m
) 0
D
D
x
D
D
D
D
D
y
F
N
F
V
V
M
M
M
N
Q
ND 2.25 kN
1.25 kN
1.5 mVDMD
Problema 7.B - Solução
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 35
Problema 7.B – Solução do Ftool (com diagrama de normais)
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TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 36
Problema 7.B – Solução do Ftool (com diagrama de cortantes)
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Problema 7.B – Solução do Ftool (com diagrama de momentos)