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Oscilacoes
PENDULOSMecanica II (FIS-26)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela
IEFF-ITA
15 de marco de 2013
R.R.Pela Oscilacoes
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Oscilacoes
Roteiro
1 OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
R.R.Pela Oscilacoes
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Roteiro
1 OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
R.R.Pela Oscilacoes
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Introducao
Sistemas que vibram: constituem uma classe deproblemas que e muito comum e muito importante.
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Introducao
Carros (um carro vibra por causa do motor e, tambem, porcausa da superfıcie da estrada)
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Introducao
Acionamento de discos de computadorAtomos em redes cristalinas
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Introducao
Cordas de violinosMaquina rotativa (ligeiramente desbalanceada)
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Introducao
Linhas de transmissao (vibracao induzida pelo vento)Asas de avioes (“flutter”)
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Introducao
Estruturas de edifıcios (comportamento de estruturassujeitas a terremotos)
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Classificacoes
Movimento oscilatorio: surge como uma resposta a umaperturbacao na presenca de forcas restauradoras.Ha dois tipos de vibracoes: livres e forcadas.
A vibracao livre ocorre quando o movimento e mantido poruma forca restauradoraA vibracao forcada e causada por uma forca externaperiodica ou intermitente aplicada ao sistema
As vibracoes podem ser tanto amortecidas quantonao-amortecidas. As vibracoes nao-amortecidascontinuam indefinidamente, pois os efeitos de atrito saodesprezados na analise.Como as forcas de atrito internas e externas estao semprepresentes, os movimentos oscilatorios sao na realidadeamortecidos.
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Sistema Massa-Mola
Usando a 2a. Lei de Newton
Mx = −kx
x+k
Mx = 0
A equacao do movimento da massa euma EDOLH de 2a. ordem.Esta mesma equacao poderia ser obtidaatraves do princıpio de conservacao daenergia:
Mx2
2+kx2
2= cte
derivando,
Mx+ kx = 0
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Sistema Massa-Mola
A solucao geral desta EDO e: x(t) = a cos(wt) + b sin(wt),
sendo w =
√k
M.
Esta funcao pode ser escrita de forma equivalente como:
x(t) = A cos(wt+ ϕ)
x(t) = A sin(wt+ φ) = A cos(wt+ φ− π
2
)O movimento de um oscilador (como este) se chamamovimento harmonico simples (MHS).
O perıodo do MHS e: T =2π
w= 2π
√M
k, ao passo que a
frequencia e f =1
T=
w
2π=
1
2π
√k
M.
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Sistema Massa-Mola
As constantes A e φ dependem das condicoes iniciais
x(0) = x0, x(0) = v0
A =
√x2
0 +(v0
w
)2
φ e tal que sinφ =x0
Ae cosφ =
v0
wA.
A constante A fornece a amplitude de oscilacao do MHS.Por outro lado, o termo wt+ φ e chamado de fase doMHS. Em t = 0, a fase e o proprio φ (que pode, por isso,ser chamado de fase inicial)
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Sistema Massa-Mola
A energia cinetica da massa (ao longo do tempo) vale:
Ec =Mv2
2=MA2w2
2cos(wt+ φ)
A energia potencial e:
Ep =kx2
2=kA2
2sin2(wt+ φ) =
MA2w2
2sin2(wt+ φ)
Ja a energia mecanica (que e constante) vale:
Emec =MA2w2
2
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Sistema Massa-Mola
Alem do valor instantaneo da energia cinetica e da energiapotencial, e interessante tambem obter um valor medio.No caso de uma grandeza periodica f(t), denomina-se ovalor medio de f o valor:
f = 〈f〉 =1
T
∫ t0+T
t0
f(t)dt
Para a energia cinetica e potencial, pode-se mostrar que:
Ec = Ep =MA2w2
4=Emec
2
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Pendulo de Torcao
Consideremos uma barra horizontalsuspensa em equilıbrio por um fio vertical.Se defletimos a barra no plano horizontal deum angulo ϕ, o fio reage com um torquerestaurador:
τ = −kϕ
k e o modulo de torcao do fio, que dependedo seu comprimento, diametro e material
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Pendulo de Torcao
Se I e o momento de inercia da barra em relacao ao eixovertical, a equacao de movimento e:
−kϕ = Iϕ
ϕ+k
Iϕ = 0
w =
√k
I
Sistemas deste tipo sao empregados em instrumentos delaboratorio muito sensıveis, como o galvanometro e abalanca de torcao utilizada na experiencia de Cavendish.
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Pendulo Simples
−Mg sin θ = MLθ
θ +g
Lsin θ = 0
Infelizmente, nao ha solucao analıtica paraesta equacao (a EDO e nao-linear).Para angulos pequenos: sin θ ∼= θ.
θ +g
Lθ = 0
Pode-se reconhecer que: w =
√g
Le
T = 2π
√L
g. Esta solucao e valida para
“pequenas oscilacoes” (pequenas amplitudesde oscilacao).
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Pendulo Simples
No caso de “grandes amplitudes”, o movimento nao eharmonico.Mas vejamos como obter o perıodo nesses casos.Suponhamos que o pendulo e abandonado (do repouso)de um angulo θ0. Usando conservacao de energia, temos:
−MgL cos θ0 = −MgL cos θ +ML2θ2
2
AteT
4, podemos dizer que θ = −
√2g
L(cos θ − cos θ0)
12 .
LogoT4∫
0
dt = −
√L
2g
0∫θ0
dθ
(cos θ − cos θ0)12
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Pendulo Simples
T = 2
√L
g
θ0∫0
dθ
(sin2( θ02 )− sin2( θ2))12
sendo sinα =sin( θ2)
sin( θ02 )
∆=
sin( θ2)
k, T = 4
√L
g
π2∫
0
dα
(1− k2 sin2 α)12
como (1− k2 sin2 α)−12 = 1 +
1
2k2 sin2 α+
3
8k4 sin4 α+ . . .
substituindo na integral, temos:
T = 2π
√L
g
[1 +
1
4sin2 θ0
2+
9
64sin4 θ0
2+ . . .
]
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Pendulo Fısico
Seja s a distancia do CM a O. Assim:
τ = −Mg sin θs
τ = Iθ
θ +Mgs
Isin θ = 0
Note que o pendulo composto equivale a um
pendulo simples de comprimento l =I
Ms.
Por isso, o ponto C (distando l de O ealinhado com o CM e O) e chamado decentro de oscilacao do pendulo fısico.
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Exemplo
Calcule o perıodo de pequenas oscilacoes do pendulo
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Solucao
Considerando um angulo θ:
(4Ma2)θ = −Mg(2a) sin θ − ka2 sin θ
subsectionθ ∼= θ,
θ +
(g
2a+
k
4M
)
T = 2π
(g
2a+
k
4M
)− 12
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada emtorno de um disco de 5,00 kg. Se a mola tem uma rigidezk = 200 N/m, determine o perıodo natural de vibracao dosistema.
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Solucao
Ec =Mx2
2+I0
2
(x
r
)2
I0 =mr2
2
∴ Ec =x2
2
(M +
m
2
)Ep =
1
2k(x+ x2
0)−Mgx
E =x2
2
(M +
m
2
)+
1
2k(x+ x0)2 −Mgx
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Solucao
Derivando em relacao a t:
0 = xx(M +
m
2
)+ k(x+ x0)x−Mgx(
M +m
2
)x+ k(x+ x0)−Mg = 0
Fazendo a mudanca y = x+ x0 −Mg
k(M +
m
2
)y + ky = 0
Portanto:
w0 =
√k
M + m2
= 4,00 rad/s
T =2π
w0= 1,57 s
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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos
Desafio
Considere uma barra delgada de comprimento L que seencontra sobre um hemisferio fixo de raio r. Determine operiodo de pequenas oscilacoes da barra.
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