mécanique
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Mécanique
Statique : Introduction.......................................................................2Principe fondamental de la statique..................................................4Statique du solide................................................................................8Cinématique : Introduction................................................................9Mouvement de translation................................................................12Exo : Mouvement rectiligne uniformément accéléré.....................16Mouvement de rotation.....................................................................20Centre instantané de rotation..........................................................25Théorème de l'équiprojectivité........................................................26Applications: cinématique analytique.............................................28Géométrie des systèmes mécaniques...............................................30Intro à la cinématique - Dérivation d'une fct vectorielle...............39Exercice : Matrice de passage -Vecteur Déplacement...................41Exercice : Torseur des petits déplacements....................................45Dynamique : Lois de Newton...........................................................47Énergétique : Travail et puissance d'une action mécanique.........48Rendement d'un système..................................................................50
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Statique : Introduction
Sommaire
1 Introduction 2 Statique du point
o 2.1 La notion de « force » o 2.2 La notion d'« équilibre »
3 Statique du solide
4 Statique des fluides
Introduction
La plupart des phénomènes physiques ne sont pas fixes : les planètes se déplacent, une bougie brûle, une pomme lâchée d'un arbre tombe. Néanmoins, il existe des situations où, aussi longtemps qu'on attendre, un système étudié reste identique à lui-même : la bougie complètement consommée, la pomme une fois tombée au sol…
L'étude de ces cas permet de trouver des conditions pour qu'un système (par exemple, un édifice) reste au repos (et ne s'effondre pas) lorsqu'il est laissé à lui-même.
Statique du point
La statique du point sera notre point de départ pour l'étude de la statique. On y fait l'hypothèse que le système étudié est un point matériel qui subit des forces.
La notion de « force »
L'hypothèse première de la statique est que des objets agissent entre eux par des « forces ». Celles-ci peuvent être plus ou moins intenses, et s'exercer plus ou moins loin de l'objet qui les crée. Par exemple, la Terre exerce une force attractive sur la Lune, à plusieurs centaines de milliers de kilomètres — ou un aimant exerce une force attractive sur une aiguille située à une dizaine de centimètres.
Il existe différentes forces, qui ne sont pas toujours simplement « attractives » ou « répulsives ». Nous en préciserons quelques unes parmi les plus simples. Elles ont pour effet de « faire bouger » le point sur lequel elles s'appliquent.
On représente les forces par des vecteurs, qui indiquent :
la direction vers laquelle la force s'exerce ; l'intensité de la force.
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Nous n'utiliserons pas de résultats avancés concernant les vecteurs.
La notion d'« équilibre »
La statique étudie les systèmes pour voir s'ils sont en équilibres (ou comment les mettre en équilibre). On parle d'équilibre statique : une boîte de crayons posée sur une table est en équilibre statique. En revanche, un enfant qui fait du vélo ne tombe pas — il s'agit d'un équilibre dynamique, que cette leçon n'étudie pas : il faut donc garder à l'esprit que la statique ne permet pas d'étudier tous les équilibres.
D'autre part, du point de vue de la statique, un couteau posé sur sa pointe exactement est en équilibre — quiconque a déjà effectué l'expérience sait bien qu'une telle chose est difficile, si seulement elle est possible. En fait, cet équilibre est « instable » : si on n'est pas exactement sur la pointe, le couteau tombe. Un équilibre « stable » en revanche, comme par exemple le couteau posé à plat sur la table, ne nécessite pas d'ajustement particulier. En ce sens, un équilibre « stable » est plus naturel. La prise en compte de cette notion de stabilité dépasse le cadre de la statique, car il faut supposer des cas où le système bouge… ce n'est donc pas l'objet de cette leçon, mais il faut garder à l'esprit que certains résultats de la statique ne sont pas réalisables.
Statique du solide
La mécanique du solide étend les résultats de la mécanique du point à des systèmes solides ne se déformant pas. On peut alors énoncer des théorèmes similaires, donnant accès à l'étude de la stabilité, par exemple, des pièces dans un mécanisme. L'objet d'étude de base est le solide, quelle que soit sa nature.
Nous supposons que les résultats de statique du point sont bien connus. Nous rappellerons la notion de moment, qui sera nécessaire à cette étude.
Statique des fluides
Les fluides sont des objets physiques complexes. La statique des fluides permet d'étudier certains cas et d'établir des résultats simples de mécanique des fluides.
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Statique : Principe fondamental de la statique
Sommaire
1 Introduction 2 Formulation vectorielle 3 Quelques forces simples
o 3.1 Forces usuelles o 3.2 Forces de réaction
4 Principe d'action-réaction 5 Théorème du moment
6 Exemples
Introduction
La statique peut être résumée à un unique principe physique, appelé principe fondamental de la statique :
Principe fondamental de la statique
Un système est à l'équilibre si et seulement si l'effet de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nul.
Nous allons préciser cet énoncé, en incluant notamment les forces sous forme de vecteurs. Ce principe est tellement général, qu'il s'étend sur plusieurs domaines : la mécanique du point, la mécanique du solide et la mécanique des fluides. Nous donnons dans ce chapitre la formulation adaptée à la mécanique du point, plus simple. Un chapitre dédié précisera les énoncés plus spécifiques.
Formulation vectorielle
Les forces qui s'exercent sur un point matériel peuvent être représentées par des vecteurs. En plus des propriétés des vecteurs (direction, sens et longueur), la physique attribue aux forces un point d'application. Pour un point, le point d'application des forces qui s'exercent sur lui, c'est lui-même. Les forces se cumulent : elles s'additionnent.
Lorsqu'il n'y a pas de force, il est équivalent de dire qu'il s'exerce une force nulle :
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Si le système vérifie le principe fondamental de la statique, l'effet combiné de toutes les forces est le même que l'effet d'aucune force. Par conséquent, l'ensemble des forces s'exerçant est équivalent à la force nulle :
On utilise la notation mathématique « somme » pour donner une formule plus élégante. Cette notation est inspirée des mathématiques. Voici ce que donne cette notation pour un exemple :
(Cela se lit « somme pour i de 1 à 4 des i au carré).
En physique, puisqu'on ne sait pas jusqu'à combien de forces peuvent s'appliquer, on ne place pas de limite au dessus du symbole « somme » :
En conclusion, le principe fondamental de la statique s'écrit, en mécanique du point :
Principe fondamental de la statiqueUn système physique soumis à des forces est en équilibre statique si et seulement si l'ensemble des forces vérifie :
Quelques forces simples
Forces usuelles
Nous présentons quelques exemples classiques de forces simples, d'usage courant. On se
place dans le cas usuel d'un mouvement selon une seule dimension, x. Le vecteur unitaire pointe vers les x croissants. Le point matériel étudié est situé en x et de masse m.
Ressort : (loi de Hooke) avec k une constante appelée constante de raideur et x₀ la longueur à vide du ressort, c'est-à-dire la longueur qu'il a au repos.
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Gravité :
o Dans le champ terrestre : (la terre étant dans la direction des x négatifs), g étant l'intensité du champ de pesanteur (g = 9,81 m.s⁻²) ;
o Cas général : (la Terre étant située en x = 0), G étant la constante de gravitation, M la masse du corps créant la force de gravité.
Forces de réaction
Toutes les forces ne se ramènent pas à l'un des cas précédent. Nous montrons ici qu'il existe des forces indépendantes de leur cause et origine, appelées forces de réaction.
La première étape est de se poser la question suivante : peut-il exister un équilibre avec une seule force ? D'après le principe fondamental de la statique :
Une seule force peut mener à un équilibre si et seulement si... elle n'a aucun effet. Conclusion première : pour avoir un équilibre, il faut qu'il existe au moins deux forces.
Étudions maintenant le cas d'une boîte de crayons posée sur une table. Elle ne bouge pas : elle est en équilibre. Donc, d'après ce qui précède, deux forcent au moins s'exercent sur la boîte. Une force évidente est la gravité, que l'on note F... mais quelles seraient les autres ? Puisque les forces s'additionnent, on peut tout à fait dire qu'une seule autre force s'applique, appelons-la R. D'après le principe fondamental :
Donc :
Il s'exerce sur la boîte une force exactement inverse à celle de la gravité, qui l'empêche de passer à travers la table : c'est une « force de réaction ».
Principe d'action réaction
La Terre attire la pomme — mais pourquoi est-ce dans ce sens ? Eh bien... ça ne l'est pas. La pomme attire la Terre autant que la Terre attire la pomme, ce n'est pas une question de point de vue, c'est une question de temps : la pomme, moins massive, subit très vite cette attraction — alors que la Terre, bien plus massive, mettrait bien plus longtemps à réagir.
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3e loi de Newton
Les forces exercées par un système sur un autre système sont égales et opposées aux forces exercées par ce dernier sur le premier.
Théorème du moment
Nous sommes parfois amenés à traiter des problèmes à symétrie centrale : par exemple les pivots ou les tourniquets. Dans ce cadre, l'utilisation du principe fondamental de la statique sous forme vectorielle devient difficile, à cause notamment des nombreuses projections. Il existe une formulation équivalente et adaptée, appelée théorème du moment.
Un « moment » est la capacité d'une force à faire tourner quelque chose. Par exemple, une force qui pousse une fenêtre possède un certain moment — une force qui pousse uniformément une table n'a aucun moment. Le moment d'une force F est défini par :
Avec O un point fixe (le centre de symétrie, idéalement) et M le point d'application de la force. Le symbole dénote le produit vectoriel. Si cette notion ne vous est pas familière, rappelons que le produit vectoriel de deux vecteurs :
est un vecteur, orthogonal à u et v, de norme :
.
Si les vecteurs impliqués sont ceux du système de coordonnées (u, v, w) , alors on peut utiliser les relations entre eux, ce qui est plus simple :
Enfin, rappelons qu'échanger l'ordre des termes dans le produit vectoriel fait apparaitre un signe « - » devant le résultat.
Le principe fondamental de la statique énonce que la somme des effets des forces sur le point matériel doit être nul, ce qui devient ici :
Théorème du momentUn point matériel est à l'équilibre statique si et seulement si la somme des moments s'exerçant sur lui est nulle :
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Statique : Statique du solide
Introduction
La mécanique du solide étudie les déplacements d'objets solides, c'est-à-dire indéformables. En plus de se déplacer, les solides peuvent tourner — cela doit être pris en compte dans le cadre de l'étude statique. Les solides sont également des objets étendus, avec des contours éventuellement complexes.
Encore une fois, la statique s'attelle à dire si une configuration est en équilibre, et pas si elle va le rester, ni si cet équilibre est « facile » à atteindre, ou au contraire nécessite un ajustement particulièrement précis.
Degrés de liberté et coordonnées
Un solide indéformable possède 6 degrés de liberté.
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Cinématique : Introduction
Sommaire
1 Introduction 2 Système de référence (ou référentiel)
o 2.1 Repère espace o 2.2 Repère temps
3 Mouvement absolu et mouvement relatif 4 Mouvement de translation
o 4.1 Remarque 5 Mouvement de rotation 6 Trajectoire
7 Vecteur vitesse
Introduction
La cinématique est l'étude des mouvements d'un solide supposé indéformable sans tenir compte des actions qui les provoquent. On étudie des déplacements, des trajectoires, des vitesses et des accélérations. Les seules unités utilisées sont celles qui découlent de temps et de longueurs.
Système de référence (ou référentiel)
Repère espace
Le mouvement d'un solide est défini par rapport à un autre solide pris comme référence. Ce dernier est appelé solide de référence.
Repère temps
Pour définir complètement un mouvement, il est nécessaire d'avoir un repère temps.
ExempleSoit un train :
à t = 0, le train était en gare ;
à t = 30min, le train était à 100 km de la gare. On a donc : SYSTEME DE REFERENCE = REPERE TEMPS + REPERE ESPACE
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Mouvement absolu et mouvement relatif
Le mouvement absolu est décrit dans un référentiel au repos ; la terre est assimilée à un système de référence absolu.
Exemple du train: Le mouvement du train par rapport au sol.
Le mouvement relatif est décrit dans un référentiel en mouvement.
Exemple du train : Le mouvement d'une personne par rapport au train.
Mouvement de translation
Un solide S1 est dit en translation par rapport à un solide de référence S0 si deux droites non parallèles liées à S1 restent constamment parallèles à deux droites liées au solide S0
Remarque
Si le mouvement est linéaire, la translation est dite rectiligne.
Exemple
Le mouvement de la tige d'un vérin par rapport à son corps. Si le mouvement est circulaire, la translation est dite circulaire.
Exemple
La nacelle d'un manège par rapport au sol.
Mouvement de rotation
Le solide S1 est en rotation par rapport au solide S0 si deux points du solide S1 coïncident en permanence avec deux points de l'axe de rotation de S0.
Exemple : La roue du manège par rapport au sol.
Trajectoire
Le lieu du point M du solide S1 qui se déplace par rapport au solide S0 est une ligne appelée
trajectoire de M par rapport à S0 notée :
Vecteur vitesse
Quatre caractéristiques définissent un vecteur vitesse:
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Le point d'application du vecteur vitesse.
La direction: c'est la droite support du vecteur vitesse passant par le point d'application.
Le sens: deux sens possibles sur la droite: c'est soit l'un soit l'autre.
La norme: la longueur du vecteur vitesse.
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Cinématique : Mouvement de translation
Des exemples de mouvements de translation: mouvement d'un mobile autoporteur sur un plan, mouvement d'un wagon en ligne droite par rapport à la Terre ou encore le mouvement d'un tiroir par rapport à son meuble.
Nous allons parler de deux types de translation, la translation rectiligne uniforme et la translation rectiligne uniformément variée. Sachez qu'il existe aussi des translations curvilignes (ex:le téléphérique) ou des translations circulaires (exemple: la grande roue).
Sommaire
1 Propriétés du mouvement de translation: 2 Mouvement de translation rectiligne uniforme ou MTRU
o 2.1 Caractéristiques du MTRU o 2.2 Équations de mouvements (équations horaires) o 2.3 Représentations graphiques o 2.4 Exercice
3 Le mouvement de translation rectiligne uniformément varié ou MRUV ou MRUA o 3.1 Caractéristique o 3.2 Équations de mouvement o 3.3 Représentations graphiques o 3.4 Exercice
4 Annexes
Propriétés du mouvement de translation:
Lorsqu'un solide a un mouvement de translation, chaque ligne de celui-ci se déplace au cours du temps parallèlement à sa position initiale (voir schéma ci-dessous montrant différentes positions d'un solide en translation).
Les trajectoires de tous les points du solide sont identiques. Tous les points du solide ont la même vitesse.
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Tous les points du solide ont la même accélération. Le mouvement d'un point du solide permet de définir le mouvement de tous les
points du solide.
Mouvement de translation rectiligne uniforme ou MTRU
axe x.
M0 et M1 sont deux points d'un solide x0 est l'abscisse du point M0 à l'instant t0 (condition initiale). x1 est l'abscisse du point M1 à l'instant t1 v0 = v1.
Caractéristiques du MTRU
L'accélération a est nulle.
Donc la vitesse v est constante.
Équations de mouvements (équations horaires)
Ces équations définissent la position du point M à un instant t donné.
: position du point M à l'instant t en mètres .
: instant initial (0 par défaut) en secondes .
: position initiale du système en mètres .
: vitesse du point M à l'instant t en mètres par seconde .
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: accélération du point M à l'instant t en mètres par secondes carrés .
Représentations graphiques
Exercice
Le mouvement de translation rectiligne uniformément varié ou MRUV ou MRUA
La particularité de ce type de mouvement est que l'accélération est identique entre deux positions successives d'un point d'un solide. Dans le cas d'un solide en translation rectiligne uniforme, c'est la vitesse qui est commune entre deux positions successives d'un point d'un solide.
D'où la caractéristique d'un MRUV/MRUA:
Caractéristique
Accélération constante.
Équations de mouvement
: position du point M à l'instant t en mètres .
: instant initial (0 par défaut) en secondes .
: position initiale du système en mètres .
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: vitesse du point M à l'instant t en mètres par seconde .
: vitesse initiale du système en mètres par seconde .
: accélération du point M à l'instant t en mètres par secondes carrés .
Représentations graphiques
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Exercice : Mouvement rectiligne uniformément accéléré
Exercice n°1
Un homme a abattu sa belle-mère, distante de 500 m avec un fusil de chasse. Il prétend que c’est un accident, et qu’il visait en réalité un sanglier. Alors ? Meurtre ou accident ?
Masse balle = 5g
Vinitiale = Vo = 1000 m/s
Pas de vent = pas de déviations latérales
Solution
1. Par la gravité, la balle sera déviée vers le sol. Décomposons le mouvement 2 Dimensions de la balle en, en 1 mouvement horizontal et 1 mouvement vertical :
Type de mouvement horizontal ? MRU
→ Vx = Vo, constante
Type de mouvement vertical ? MRUA, avec = g (accélération pesanteur) = 9,81 m/s2
→ Vy augmente avec le temps
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2.Pour avoir la réponse à la question, il faut calculer ∆y
Situation décomposée
Vx = Vo = 1000 m/s
X = 500 m
3. Formules à utiliser
X = Vo . t
Vy = g . t
∆y =
4. Résolution
X = Vo . t → 500 = 1000 . t → t = = 0,5s
∆y = = 1,22 m
→ La balle a naturellement dévié de 1,22 m vers le bas par rapport à sa trajectoire prévue → L'homme a touché par accident la belle-mère. Funeste physique !
Exercice n°2
Un cascadeur à moto décolle d’une rampe, suivant une direction qui fait un angle de 30° avec l’horizontale. Il parvient juste à franchir un alignement de camions placés sur une longueur de 36m. Il retombe à la hauteur de son point de départ. Quelle était sa vitesse au moment du décollage ?
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Données :
g = 10 m/s2
Angle de départ: 30°
Longueur du saut: 36 m
Inconnue :
Vitesse initiale V0 ?
Solution
1. Formules à utiliser:
V0X = V0 cos(30°)
V0Y = V0 sin(30°)
X(t) = V0X.t
VY(t) = V0Y – g.t
Y(t) = V0Y.t –
2. Résolution
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Il faut utiliser les équations du mouvement horizontal (1) et vertical (2) :
(1) en t = tf , la moto s’est déplacée horizontalement de 36 m :
X(tf) = 36m = V0X.tf = V0 . cos(30°). tf => tf = =
(2) en t = tf , la moto est revenue à la même hauteur qu’au point de départ :
Y(tf) = 0 = V0Y.tf –
Mise en évidence de tf:
Y(tf) = 0 = [V0 sin(30°) – ].tf
Si on isole V0, on obtient V0 = g. tf
On remplace en (2) tf par l’expression obtenue en (1) :
V0 = g. => V0 . V0 = V02 = g . 41,6 = 416 => V0 = 20.4 m/s (ce qui revient à 73 km/h)
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Cinématique : Mouvement de rotation
Le cylindre d'un treuil, le rotor d'un moteur sont des exemples de solides assujettis à tourner autour d'un axe (ou centre de rotation): des mouvements de rotation d'axe fixe.
Sommaire
1 Définitions et notations du mouvement de rotation d'axe fixe 2 Grandeurs du mouvement de rotation d'axe fixe 3 La vitesse angulaire
o 3.1 Conversion de la fréquence de rotation en vitesse angulaire et inversement: 4 La vitesse tangentielle
o 4.1 Graphiquement 5 Le mouvement circulaire uniforme ou MCU
o 5.1 Équations de mouvement o 5.2 Allure des représentations graphiques
6 Mouvement circulaire uniformément varié o 6.1 Équations de mouvement o 6.2 Représentations graphiques
7 Annexes
Définitions et notations du mouvement de rotation d'axe fixe
Un solide a un mouvement de rotation d'axe fixe si les trajectoires de tous ses points sont des cercles de rayons différents et si tous ces cercles ont le même centre.
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Sur cet exemple, le solide en rotation est représenté par le polygone. M est un point quelconque de ce solide.
O est le centre de rotation de ce solide. Sa vitesse est nulle.
Le vecteur n représente la normale de la trajectoire du point M, le vecteur t la tangente de cette trajectoire.
Le point M0 est la position initiale du point M.
R0(O,x0,y0): Repère fixe. Ce repère ne varie pas au cours du temps; il sert à repérer les différentes positions du point M au cours du temps.
La position du point M est donc une fonction du temps.
θ en radians: angle entre (O;x0) et n. C'est la position angulaire du solide à un instant quelconque t.
Dans le cas d'un mouvement de rotation, trois unités sont utilisées pour positionner le système par rapport à R0:
Le tour, noté tr.
Le radian, noté rad.
le degré, noté °.
Relation entre les unités
1 tr = 2*π rad = 360°.
Grandeurs du mouvement de rotation d'axe fixe
La position angulaire notée θ. C'est un angle qui repère le solide par rapport à sa position initiale. On choisit son unité: le tour (tr) ou le radian (rad).
La vitesse angulaire ou fréquence de rotation notée ω ou N. C'est la dérivée de la position angulaire. Elle a deux unités possibles: les radians par seconde (rad.s − 1) ou les tours pas minutes (tr.min − 1)
L'accélération γ. Dérivée de la vitesse ou fréquence de rotation et dérivée seconde de la position angulaire, elle est en radian par seconde carrée (rad.s − 2) ou en tours par minute carrée (jamais utilisé).
La vitesse angulaire
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Sur le schéma du haut de la page, le point M a une vitesse angulaire égale à ainsi que tous les autres points de ce solide.
PropriétéA un instant quelconque, tous les points d'un solide ayant un mouvement de rotation ont la même vitesse angulaire ω.
Attention: ce n'est absolument pas le cas pour la vitesse tangentielle.
Conversion de la fréquence de rotation en vitesse angulaire et inversement:
La vitesse tangentielle
Le point M du schéma du début a aussi une vitesse tangentielle qu'on note
PropriétésTous les points d'un solide en rotation n'ont pas la même vitesse tangentielle
La vitesse tangentielle d'un point est tangente à la trajectoire de ce point (donc on peut retrouver le centre de rotation d'un solide en rotation en traçant les perpendiculaires de deux de ses vecteurs vitesse.
en m/s
ω en rad/s
r = OM : distance entre le centre de rotation et le point M en m.
Remarque: Si r = 0 (M est le centre de rotation): donc ω = 0
La vitesse d'un centre de rotation est nulle dans le référentiel où on détermine ce centre de rotation. Graphiquement
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Pour tracer le vecteur vitesse d'un point d'un solide en rotation:
On définit une échelle (par exemple 1 cm <-> 5 m/s)
On trace la direction du vecteur vitesse
On trace ensuite la norme du vecteur dans le bon sens.
Le mouvement circulaire uniforme ou MCU
CaractéristiquesAccélération angulaire γ nulle.
Vitesse angulaire ω constante.
Équations de mouvement
θ(t): position du point M à l'instant t en radians (rad).
t0: instant initial (0 par défaut) en secondes (s).
θ0:position initiale du système en radians (rad).
ω(t): vitesse du point M à l'instant t en radians par seconde (rad.s − 1).
γ(t): accélération du point M à l'instant t en radians par seconde carrée (rad.s − 2).
Allure des représentations graphiques
Mouvement circulaire uniformément varié
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Caractéristiques
accélération angulaire γ constante.
Équations de mouvement
θ(t): position du point M à l'instant t en radians (rad).
t0: instant initial (0 par défaut) en secondes (s).
θ0:position initiale du système en radians (rad).
ω(t): vitesse du point M à l'instant t en radians par seconde (rad.s − 1).
γ(t): accélération du point M à l'instant t en radians par seconde carrée (rad.s − 2).
Représentations graphiques
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Cinématique : Centre instantané de rotation
Définition
Le centre instantané de rotation ou CIR est un point qui pour tout solide en mouvement plan a une vitesse nulle à un instant considéré. Ce point ne se situe pas forcément sur le solide en question. On peut trouver ce point si l'on connaît entièrement un vecteur vitesse (c'est-à-dire sa direction, son sens et sa norme) et si l'on connaît la direction d'un autre vecteur vitesse.
Propriété importanteLe CIR est situé à l'intersection des perpendiculaires de tous les vecteurs vitesse d'un solide.
Cette propriété peut nous permettre de trouver les caractéristiques d'un vecteur vitesse.
Exemple
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I est le CIR.
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Cinématique : Théorème de l'équiprojectivité
Théorème de l'équiprojectivitéSoient deux points A et B appartenant au même solide S dans le référentiel R.
La projection orthogonale de sur (AB) est égale à la projection orthogonale de sur (AB).
ConclusionOn peut ainsi déterminer un vecteur vitesse.
Utilisons l'image ci-dessus:
Hypothèses: On connaît entièrement la vitesse du point A et seulement la direction de la
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vitesse du point B. On veut tracer sa vitesse.
On choisit une échelle pour tracer les vecteurs vitesses.
On projette orthogonalement sur (AB) ce qui donne la distance d1.
On reporte sur (AB) la distance BQ = d2 = d1 = AP à partir du point B et dans le même sens.
On trace la perpendiculaire à (AB) passant par Q (ici le segment [OQ]).
L'intersection de et de cette droite est l'extrémité du vecteur .
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Cinématique : Applications: cinématique analytique
Ceci est un exemple d'exercice qui contient des méthodes de résolution.
Quelques exemples d'utilisation de la cinématique analytique (sans utilisation de méthode graphique)
Exemple 1Soient trois piétons 1,2 et 3 se déplaçant de la façon suivante:
1 se déplace sur un trottoir roulant à la vitesse v1 par rapport au sol.
2 est immobile sur ce trottoir roulant et se déplace donc à la même vitesse que celui-ci.
3 se déplace à côté du trottoir roulant à la vitesse v3, en sens inverse des deux autres piétons.
Les conditions initiales du mouvement sont les suivantes:
Piéton 1
Piéton 2
Piéton 3
1) Déterminer les équations de mouvement des trois piétons. 2) A quelle date:
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a. 1 croise 2 ? b. 1 croise 3 ?
c. 2 croise 3 ?
Comment procéder ?
X1 = 5 + 10.8 t X2 = 50 + 6.3 t X3 = 405- 5.2 t
Donc à 45m de X2 , X1 le rejoindra à la vitesse relative de 4.5 km/h en 1/100 h = 36s.
X1 croisera X3 au temps t = 400m/(16km/h)= 1/40 h =90s
X2 croisera X3 au temps t = 355m/11 500 m/h =12780/23 s =~111 s
Cf diagramme horaire sur la WP.
Remarque:
L'équiprojectivité ne sert à rien dans ce problème !?
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Cinématique (Expert) : Géométrie des systèmes mécaniques
Sommaire
1 Problème fondamental o 1.1 Mise en situation o 1.2 Outil mathématique : changement de base
2 Déplacement d'un solide (cas général) o 2.1 Déplacement d'un point d'un solide
2.1.1 Position du point A à l'instant (t 1) 2.1.2 Formule générale du déplacement du point A
o 2.2 Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S ₁ 3 Déplacement d'un solide (système mécanique plan)
o 3.1 Paramétrage o 3.2 Matrice rotation o 3.3 Déplacement d'un point A d'un solide o 3.4 Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S ₁
4 Approximation des petits déplacements o 4.1 Présentation du problème
o 4.2 Torseur des petits déplacements
Problème fondamental
Dans un problème de mécanique, on a souvent besoin de trouver :
Le positionnement d'un solide par rapport au solide de référence. Le positionnement d'un solide S par rapport à un autre solide, car les deux solides
appartiennent au système mécanique étudié. Le positionnement d'un centre de liaison et de son axe de direction.
Mise en situation
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On connait la position du point A au sein d'un solide S₁ (elle ne change pas au cours du temps) :
On souhaite savoir la position du point A par rapport au repère de référence R₀ de centre O :
Pour parvenir à exprimer le vecteur , on va utiliser la relation de Chasles :
Outil mathématique : changement de base
Liberté entre deux solides :
3 translations 3 rotations
Le problème du changement de base intervient lors de rotations entre différentes bases (systèmes d'axes).
Exemple et définition
Rotation d'angle θ autour de l'axe .
Il est possible de définir les vecteurs de la base 1 dans la base 0. Pour cela il faut utiliser la trigonométrie.
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Cette écriture en équation peut être reprise sous forme de matrice.
On l'appelle matrice rotation autour de .
Il s'agit d'une matrice orthogonale, ce qui a deux conséquences importantes :
on a toujours ;
la matrice inverse est sa transposée :
Déplacement d'un solide (cas général)
Déplacement d'un point d'un solide
À l'instant t = 0 (t₀), nous observons un solide S₁ muni d'un repère qui à
cet instant coïncide avec le repère de référence .
On considère un point A(t0) et on observe le déplacement de ce point vers le point A(t1) (déplacement du point A entre l'instant (t0) et (t1)).
Le déplacement du point A appartenant au solide S₁ entre les instants t0 et t1 est défini par le vecteur :
BilanPour connaître le déplacement du point A, il suffit de connaître :
la position du point A à l'instant (t0) (le plus souvent une donnée du problème) ;
la position du point A à l'instant (t1) (la partie qu'on va développer par la suite).
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Position du point A à l'instant (t1)
La position du point A à l'instant (t1) nous pose un problème lorsqu'on utilise la relation de Chasles :
On peut remarquer que dans l'équation écrite un peu plus haut, on veut soustraire deux vecteurs appartenant à des bases différentes (R0 et R1). Pour pouvoir utiliser l'opérateur soustraction entre deux vecteurs, il faut que ces deux vecteurs soient écrits dans la même base.
Pour résoudre ce problème on devra utiliser la matrice de passage entre R0 et R1 :
Définition
Soit un vecteur quelconque . On peut écrire que son image dans le repère R0 est donnée par la relation suivante :
On peut appliquer cette définition à notre vecteur pour le faire passer de R1 à R0 :
Formule générale du déplacement du point A
On peut maintenant réécrire l'expression générale du déplacement du point A.
Définition
Je n'ai pas spécifié les repères de chaque vecteur car on a fait attention qu'ils appartiennent tous au repère R0. On peut maintenant développer les vecteurs par leur coordonnées cartésiens, on a :
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Les deux repères sont coïncidents pour t = 0.
On peut maintenant remplacer les vecteurs par leurs composantes :
Formule générale
Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁
Considérons un point C tel que :
Si nous appliquons la relation générale du déplacement, le vecteur s'écrit :
Pour déterminer la relation qui existe entre les déplacements de deux points d'un solide, nous observons la différence des déplacements.
En écriture matricielle :
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On a noté 1 la matrice identité:
Dans ce cas, on a :
Relation entre les déplacements
Avec xc,yc,zc et xa,ya,za les coordonnées respectives du point C et du point A, exprimées dans le repère lié au solide S₁ (R1).
Déplacement d'un solide (système mécanique plan)
Paramétrage
La position du solide à l'instant t1:
La position angulaire est donnée par l'angle θ:
Remarque
Les variables x et y constituent deux paramètres, θ étant le troisième.
Matrice rotation
Dans le cas d'un système plan, il est intéressant de donner les formules ci-dessus en fonction de la matrice rotation :
Rappel
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Dans le plan, la matrice peut s'écrire :
Déplacement d'un point A d'un solide
x et y sont les coordonnées de O1
Déplacement d'un point
Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁
Relation entre les déplacements de deux points
Avec xc,yc et xa,ya les coordonnées respectives du point C et du point A, exprimées dans le repère lié au solide ₁ (R1).
Approximation des petits déplacements
Surtout valable pour de petites rotations. Étude dans le cas d'un problème plan puis généralisation.
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Présentation du problème
Nous considérons une rotation θ autour de l'axe , nous avons la configuration d'un problème plan. En considérant deux point A et C, nous avons observé :
Supposons que le déplacement θ soit un petit déplacement que nous noterons δθ . En
conséquence, nous avons deux petits déplacements et :
On rappelle le développement limité d'une fonction de x, pour x autour de 0 :
En utilisant cette formule pour les fonctions sinus et cosinus, on obtient :
Si on approche aux dérivées de 1er ordre, on retrouve ainsi :
On a donc :
Approximation des petits déplacements
Torseur des petits déplacements
Soit un vecteur . On peut associer à ce vecteur une matrice : .
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Posons maintenant un vecteur de petite rotation :
Sa matrice associée est :
En utilisant les nouvelles notations, on peut écrire :
Nous sommes en présence d'un torseur de petit déplacement :
Torseur des petits déplacements
Pour appliquer les notions vues dans ce cours, il est vivement conseillé de vous entraîner sur les exercices proposés.
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Cinématique (Expert) : Introduction à la cinématique - Dérivation d'une fonction
vectorielle
Sommaire
1 Notations 2 Définitions
o 2.1 Fonction vectorielle o 2.2 Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la
base B o 2.3 Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la
base B0
o 2.4 Vecteur instantané de rotation dans le cas d'une rotation plane
Notations
Dérivée d'une fonction réelle x :
Vecteur position :
Vecteur vitesse :
Vecteur accélération :
Définitions
Fonction vectorielle
Dans l'espace réel muni d'une base , on définit une fonction vectorielle telle que :
.
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On suppose continue et suffisamment dérivable sur l'espace d'étude.
Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base B
Soit définie dans B telle que :
.
La dérivée de la fonction vectorielle u dans la base B et par rapport au paramètre t est définie de la manière suivante :
Propriété
Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base B0
Soit définie dans B telle que :
.
On définit une deuxième base B0 orthogonale directe . Nous observons la
dérivation dans B0 de la fonction définie dans B :
Vecteur instantané de rotation dans le cas d'une rotation plane
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Exercice : Matrice de passage -Vecteur Déplacement
Sommaire
1 Matrice de passage : angles d'euler o 1.1 Activité 1 o 1.2 Activité 2 o 1.3 Activité 3
2 Déplacement d'un point d'un solide o 2.1 Activité 4
o 2.2 Activité 5
Matrice de passage : angles d'euler
Soit un repère à positionner par rapport à un repère .
Nous définissions le vecteur nodal perpendiculaire au plan défini par les
vecteurs et , d'où :
Une première rotation d'angle ψ (psi) mesuré positivement autour de , nommé précession,
permet de passer du repère au repère .
Une rotation d'angle θ (theta) mesuré positivement autour de , appelée nutation, permet de
passer du repère au repère .
Enfin, une rotation d'angle (phi) mesuré positivement autour de , la rotation propre,
permet d'atteindre le repère
Activité 1
Déterminer les matrices de passage de chaque rotation élémentaire.
Solution de l'activité n°1
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-> ψ angle de précession
-> θ angle de nutation
-> angle de rotation propre
Solution pour ψ angle de précession:
La matrice de passage associé à cette rotation est :
sont les vecteurs unitaires respectif de
Solution pour θ angle de nutation :
La matrice de passage associé à cette rotation est :
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Solution pour angle de rotation propre :
La matrice de passage associé à cette rotation est :
Activité 2
Déterminer la matrice de passage (générale).
Activité 3
En utilisant les résultats obtenus au cours de l'activité 2, déterminer la matrice inverse.
Est-elle une matrice rotation ?
Déplacement d'un point d'un solide
On associe au solide 0 un repère. Le solide 0 est considéré comme solide de référence.
Un solide 3 muni d'un repère se déplace dans l'espace par rapport au solide de référence.
A l'instant initial de l'étude t0, les deux repères et sont coïncidents.
On considère un point A appartenant au solide 3 tel que :
Activité 4
Le solide se déplace d'une translation tel qu'à l'instant t1 :
Il subit une rotation propre autour de l'axe caractérisée par . À l'instant .
Déterminer le vecteur déplacement .
Activité 5
Nous observons un déplacement tel que qu'à l'instant t1 :
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Il subit trois rotations telles qu'à l'instant t1 :
Déterminer le vecteur déplacement .
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Exercice : Torseur des petits déplacements
Sommaire
1 Validation de l'approximation des petits déplacements 2 Montage de roulement à contact oblique
o 2.1 Question 1 o 2.2 Question 2
o 2.3 Question 3
Validation de l'approximation des petits déplacements
Calculer l'erreur relative observée lors de l'utilisation de l'hypothèse des petits déplacements dans le cas d'un déplacement plan d'un solide. Tracer la courbe erreur relative petit angle de déplacement.
Montage de roulement à contact oblique
Une liaison pivot arbre-bâti est réalisée avec deux roulements à billes à contact oblique R1 et R2 montée en X de centre de poussée respectifs C1 et C2 distant de d.
On suppose que tous les solide constituant l'ensemble sont indéformables, exceptées les zones de contactes billes-bagues pour lesquelles on prend en compte les déformations de surface.
Nous supposons connus les déplacements des centres de poussée respectif, considérés comme des points liés à l'arbre indéformable, à savoir :
Pour R1 :
Pour R2 :
Ces déplacements sont définis dans un repère liè au bâti.
Dans l'étude l'arbre est supposé ne pas se déplacer autour de z.
Question 1
Déterminer les éléments de réduction du torseur des petits déplacements de l'arbre par rapport au bâti.
Question 2
Déterminer le déplacement d'un point P quelconque lié à l'arbre, par rapport au bâti.
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P est tel que : avant déformation.
Question 3
Application numérique.
On donne :
, coordonnées en mm.
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Dynamique : Lois de Newton
Newton est considéré comme l’un des deux plus grands physiciens de tous les temps (avec Einstein). Il formula les trois lois fondamentales de la dynamique ainsi que la loi de la gravitation universelle. Pourtant cette dernière a été découverte par un autre : Hooke.
Voici le texte original de Newton :
“Axiomes ou lois du mouvement :
Loi 1 Tout corps persévère en son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces « imprimées »le contraignent d’en changer.
Loi 2 Le changement de mouvement est proportionnel à la force motrice imprimée et s’effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.
Loi 3 La réaction est toujours contraire et égale à l’action : ou encore les actions que deux corps exercent l’un sur l’autre sont toujours égales et dirigées en sens contraire.”
Première Loi
Appelée aussi loi de l'inertie
MRU : Mouvement Rectiligne Uniforme.
Ce qui se traduit par :
" Si un objet est en Mouvement Rectiligne Uniforme, alors on peut dire que la somme des forces extérieures qui s’exercent sur lui est nulle".
" Si on sait que la somme des forces qui s’exercent sur un objet est nulle, alors cet objet est en Mouvement Rectiligne Uniforme".
Deuxième Loi
Appelée aussi loi fondamentale de la dynamique ou théorème du centre d'inertie
Troisième Loi
Appelée aussi Loi de l'action et de la réaction
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Énergétique : Travail et puissance d'une action mécanique
Définitions
Travail : le travail ou l'énergie représente ce qu'il faut fournir à un système pour l'amener d'un état initial à un état final. Il est définit par :
WAB = .
est constant de A à B (en Newton)
en mètre
Puissance : la puissance caractérise le débit d'énergie fourni à chaque instant. Elle est définit par :
P = = .
Mouvement de translation
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Travail : WAB =F.d. cos α
WAB : travail de la force F lors de son déplacement de A vers B, en Joule (J) F : force de direction, de sens et de module constant, en Newton (N) d : déplacement, en mètre (m) α : angle entre la force et le sens du déplacement
Puissance : P =F.V. cos α
P : puissance instantanée développée par la force F, en Watt (W) V : vitesse de translation, en mètre par seconde (m/s)
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Énergétique : Rendement d'un système
A l'intérieur d'un mécanisme, certains facteurs liés à des phénomènes physiques transforment une partie de l'énergie en chaleur. Ces pertes sont généralement dues à :
résistance au glissement, au roulement, pivotement dans les liaisons la viscosité des fluides utilisés pour le transfert d'énergie ou pour la lubrification la déformation des pièces
Le rendement est donc défini par : η = Avec η ≤ 1
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