mecanique analytique smp5f2school.com/wp-content/uploads/2019/11/mec...l’approche hamiltonienne,...
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-
MECANIQUE MECANIQUE
ANALYTIQUE ANALYTIQUE
SMP5SMP5
Professeur de l’enseignement supérieurBureau 37 département de physiqueFaculté des sciencesAgadiremail: [email protected]
Rachid MESRARRachid MESRAR
-
CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIENCHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN
« Le formalisme hamiltonien transforme le système des n équations du second ordre de Lagrange en un système de 2n équations du premier ordre qui nécessite la connaissance des conditions initiales permettant de déterminer les 2n constantes arbitraires issues de leur intégration »
R. Hamilton
(1805-1865)
Préambule
-
Objectifs pObjectifs péédagogiquesdagogiques
�������� Introduire le Introduire le HamiltonienHamiltonien dd’’un systun systèèmeme
�������� Etablir les Etablir les ééquations canoniques de Hamiltonquations canoniques de Hamilton
�������� Comprendre les transformations canoniquesComprendre les transformations canoniques
�������� Introduire la notion de crochets de PoissonIntroduire la notion de crochets de Poisson
�������� Comprendre le formalisme de Comprendre le formalisme de HamiltonjHamiltonj--JacobiJacobi
CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIENCHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN
-
Notions abordNotions abordééeses
�������� Impulsion gImpulsion géénnééralisralisééee
�������� Espace des phasesEspace des phases
�������� Fonction de Hamilton ou Fonction de Hamilton ou HamiltonienHamiltonien
�������� Equations canoniquesEquations canoniques
�������� Crochets de PoissonCrochets de Poisson--Structure symplectiqueStructure symplectique
�������� IdentitIdentitéé de Jacobide Jacobi
CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIENCHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN
-
Notions abordNotions abordéées es -- suitesuite
�������� Transformations canoniquesTransformations canoniques
�������� Fonctions gFonctions géénnéératricesratrices
�������� IntIntéégrale premigrale premièère du mouvementre du mouvement
�������� Equation de HamiltonEquation de Hamilton--Jacobi (EHJ)Jacobi (EHJ)
�������� Equation caractEquation caractééristiqueristique
CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIENCHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN
-
PLAN DU CHAPITRE 5PLAN DU CHAPITRE 5
11-- IntroductionIntroduction
22-- Formalisme de HamiltonFormalisme de Hamilton
33-- Crochets de PoissonCrochets de Poisson
44-- Transformations canoniquesTransformations canoniques
55-- Formalisme de HamiltonFormalisme de Hamilton--JacobiJacobi
CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIENCHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN
-
Formalisme Hamiltonien
Equations canoniques
§-1-
-
Introduction
Le formalisme hamiltonien n’introduit rien de nouveau dans
les concepts de la physique ; il ne simplifie pas énormément
la résolution des équations de Lagrange qui décrivent les
phénomènes de la mécanique, mais il a permis des avancées
considérables dans la résolution des problèmes en mécanique
classique avec la théorie de Hamilton-Jacobi et les calculs
des perturbations.
C’est de plus le langage par excellence de la mécanique
statistique et de la mécanique quantique.
-
William R.Hamilton (1805-1865)
Formalisme canonique de Hamilton
Décrire le système par les variables , au lieu),( ii pq ),( ii qq &
Exprimer en fonction des ii qetpiq&
Philosophie générale
-
Hypothèses :
Les paramètres de configuration sont indépendants
Liaisons parfaites
Existence d’un potentiel
Possibilité d’indépendance du temps
��������
��������
��������
��������
Formalisme canonique de Hamilton
-
Définition 1: impulsion généraliséeOn appelle impulsions généralisées, moments généralisés ou encore
moments conjugués, les quantités définies par :
iii q
T
q
Lp
&& ∂∂=
∂∂=
Définition 2: espace des phasesOn appelle espace des phases du système l’espace (qi, pi) à 2n
dimensions. L’état dynamique du système à un instant t est entièrement
caractérisé par un point de cet espace. Lorsque le temps varie, le point
représentatif du système décrit une courbe dans l’espace des phases,
appelée hypertrajectoire.
Toute hypertrajectoire correspond à des conditions initiales déterminées.
��������
Formalisme canonique de Hamilton
-
Définition 3 : HamiltonienLa fonction de Hamilton ou Hamiltonien H est défini comme la
transformée de Legendre du Lagrangien L en : iq&
∑ −=i
ii LqpH &
où les sont remplacées en fonction de leurs expressions
),,( tpqfq iii =&iq&
H est en définitive une fonction des qi et des pi :
),,( tpqHH ii=
��������
Formalisme canonique de Hamilton
-
Equations canoniques
∑∑
∑∑∑∑
∂∂−
∂∂−=
∂∂−−
∂∂−+=
ii
iiii
dL
iii
ii
i
qpd
iii
iii
dtt
Ldq
q
Ldpq
dtt
Lqdpdq
q
LqdpdpqdH
ii
&
44444 344444 21
&
444 3444 21
&&
& )(
dtt
Hdp
p
Hdq
q
HdH
ii
iii
i ∂∂+
∂∂+
∂∂= ∑∑
Formalisme canonique de Hamilton
-
t
L
t
H
équationsnqp
H
équationsnq
L
q
H
ii
ii
∂∂−=
∂∂
→=∂∂
→∂∂−=
∂∂
&
D’où :
Si H ne dépend pas explicitement du temps, .0t
H =∂
∂
On sait que la trajectoire physique obéit à l’équation
d’Euler-Lagrange:
iiii
ppdt
d
q
L
dt
d
q
L&
&==
∂∂=
∂∂
-
Ce qui donne
=∂∂−=
=∂∂=
n1iq
Hp
n1ip
Hq
ii
ii
,...,
,...,
&
&��������
Equations canoniques
La dynamique du système est régie par 2n équations
différentielles du premier ordre. Ces 2n équations remplacent
les n équations d’Euler-Lagrange.
-
Remarque
L’apparition du signe (-) entre les équations pour les qi et cellespour les moments conjugués, s’appelle symétrie symplectique.
-
t
Hp
p
Hq
q
H
dt
dH
ii
iii
i ∂∂+
∂∂+
∂∂= ∑∑ &&
t
L
t
H
dt
dH
∂∂−=
∂∂=
Les moments conjugués des variables cycliques sont des
intégrales premières, ce qui donne:
Si le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, alors
il y a conservation de l’énergie mécanique totale du système:
CteVTH =+=
Remarque 1
-
t
Hp
p
Hq
q
H
dt
dH
ii
iii
i ∂∂+
∂∂+
∂∂= ∑∑ &&
t
Hpqqp
t
Hp
p
Hq
q
H
dt
dH
iii
iii
ii
iii
i
∂∂+++−=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∑∑
∑∑
&&&&
&&
Sur une trajectoire qui obéit aux équations canoniques, on a:
Remarque 2
t
L
t
H
dt
dH
∂∂−=
∂∂=
D’où:
-
Equations canoniques à partir du principe de moindre action
-
Fiche de synthèse 1
Ce qu’il faut absolument savoir��������
-
ii q
Lp
&∂∂=
∑ −=i
ii LqpH &
ii
ii
p
Hq
q
Hp
∂∂=
∂∂−=
&
&
Impulsion généralisée
Hamiltonien
Equations canoniques
-
Méthodologie à suivre pour résoudre un
problème en utilisant le formalisme
hamiltonien (voir TD4)
1- Calculer H
2- Calculer pi3- Exprimer en fonction de pi4- Reporter le résultat dans H et l’exprimer en
fonction de
5- Ecrire les équations canoniques
iq&
),,( tpq ii
-
Voir applications pédagogiques��������
Mise en œuvre
∑ −=i
ii LqpH &
ii
ii
p
Hq
q
Hp
∂∂=
∂∂−=
&
&
Hamiltonien
Equations canoniques
ii q
Lp
&∂∂=
Moments conjuguésTD4
-
Application pédagogique n° 1
On considère une particule de masse m placé dans
un potentiel de la forme :
r
erV
2
−=)(
Hamiltonien en coordonnées polaires
-
1- Ecrire le lagrangien puis le hamiltonien du système
en coordonnées polaires r et
2- Exprimer le hamiltonien H en fonction de
3- Pourquoi H = E = Cte, pourquoi est une constante
du mouvement.
4- Ecrire les équations canoniques et exprimer
en fonction de
.θ
.θPetPr
θP
.rPetPθret &&θ
-
1-
r
errm
2
1VTH
r
errm
2
1VTL
2222
2222
−+=+=
++=−=
)(
)(
θ
θ
&&
&&
22
rr
mr
Pmr
LP
m
Prrm
r
LP
θθ θθθ
=⇒=∂∂=
=⇒=∂∂=
&&&
&&&
2-
-
r
e
mr2
P
m2
PrH
2
2
22r −+= θθ ),(
0t
H =∂
∂
CteP =θ
3- H = E = Cte car
car θ est une variable cyclique.
-
4- Equations canoniques
=∂∂=
=∂∂=
2
r
r
mr
P
P
Hm
P
P
Hr
θ
θ
θ&
&
-
−=∂∂−=
=∂∂−=
2
2
3
2
r r
e
mr
P
r
HP
0H
P
θ
θ θ&
&
-
Hamiltonien en coordonnées sphériques
-
1-
θϕθϕθ
ϕθθ
222
222222
r
h
r
grfrV
rrrm2
1T
sin
)()()(),,(
)sin(
++=
++= &&&
θϕθ
ϕθθ
222
222222
r
h
r
grf
rrrm2
1VTH
sin
)()()(
)sin(
+++
++=+= &&&
-
=⇒=∂∂=
=⇒=∂∂=
=⇒=∂∂=
θϕϕθ
ϕ
θθθ
ϕϕ
θθ
2222
22
rr
mr
Pmr
HP
mr
Pmr
HP
m
Prrm
r
HP
sinsin &&
&
&&&
&&&
Impulsion généralisée et moments conjugués
-
θϕθ
θϕθ
222
22
2
2
22
r
r
h
r
grf
r
P
r
PP
m2
1H
sin
)()()(
sin
+++
++=
Hamiltonien
-
=∂∂=
=∂∂=
=∂∂=
θϕ
θ
ϕ
ϕ
θ
θ
22
2
r
r
mr
P
P
Hmr
P
P
Hm
P
P
Hr
sin&
&
&
2- Equations canoniques
ii p
Hq
∂∂=&
-
′−=
∂∂−=
−′−=∂∂−=
++′−
+=
∂∂−=
θϕ
ϕ
θθϕθ
θθ
θ
θϕθ
θ
ϕ
ϕθ
ϕθ
22
322
32
232
22
3r
r
hHP
h2g
r
1P
mr
HP
hg
r
2rf
PP
mr
1
r
HP
sin
)(sin
cos)()(
sin
cos
sin
)()()(
sin
&
&
&
ii q
Hp
∂∂−=&
-
Et maintenant, c’est à vous de jouer.
A vos dossiers pédagogiques.
-
Crochets de poisson
§-2-
-
Crochets de Poisson
« On introduit la notion de crochets de Poisson pour leur
analogie avec les commutateurs de la mécanique quantique »
Denis Poisson (1781-1840)
C’est un pont vers la mécanique quantique��������
-
Il est intéressant de reformuler les équations
canoniques a l’aide des crochets de Poisson. Ce
formalisme s’avère en particulier très utile pour
comprendre le passage de la dynamique classique à
la dynamique quantique, que le système possède un
nombre fini de degrés de liberté, comme c’est le
cas dans ce chapitre, ou qu’il possède un nombre
infini de degrés de liberté.
Par ailleurs, la dissymétrie apparente entre les
deux jeux d’équation de Hamilton peut être cachée
pudiquement en introduisant les crochets de
Poisson.
i
i
i
i
q
H
dt
dpet
p
H
dt
dq
∂∂−=
∂∂=
-
On appelle crochets de poisson entre deux fonctions
),,(),,( tpqfettpqf iiii définies dans l’espace des
phases l’expression suivante :
Cette notation permet d’écrire pour toute fonction des
ii petq et éventuellement le temps, la relation bien
plus générale :
{ }iiii i q
g
p
f
p
g
q
fgf
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂=∑,
-
t
f
dt
dp
p
f
dt
dq
q
f
dt
df i
i
i
i i ∂∂+
∂∂+
∂∂=∑
i
i
i
i
q
H
dt
dpet
p
H
dt
dq
∂∂−=
∂∂=
or
{ }t
fHf
t
f
q
H
p
f
p
H
q
f
dt
df
iiii i ∂∂+=
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂=∑ ,
(équations
canoniques)
-
Si f ne dépend pas explicitement du temps :
0t
f =∂∂
Pour qu’elle soit une intégrale première, il suffit que :
{ } 0Hf =,
-
Ceci permet de mettre les équations canoniques de Hamilton
sous forme plus symétrique :
En effet :
{ }{ { i
0
i
i
i
1
i
ii q
H
p
q
p
H
q
qHq
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂=
==
,
{ }{ { i
1
i
i
i
0
i
ii q
H
p
p
p
H
q
pHp
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂=
==
, variablesindépendantes
{ } { }Hpdt
dpetHq
dt
dqi
ii
i ,, ==
-
On en déduit que le hamiltonien lui-même vérifie :
Ce qui établit que le hamiltonien garde une valeur constante
(l’énergie) si il ne dépend pas explicitement du temps.
Plus généralement, on appellera « constante du mouvement »
tout opérateur ne dépendant pas explicitement du temps et
dont le crochet de Poisson avec H est nul.
{ }t
HHH
dt
dH
0∂
∂+==321
,
-
Le crochet de poisson est un élément central de
l’approche hamiltonienne, qui met sur un pied
d’égalité les 2n variables dynamiques. Du point de
vue mathématique, il s’agit d’un produit bilinéaire
antisymétrique qui dote l’espace des phases d’une
structure algébrique dite structure «symplectique ».
Structure symplectique et transformations canoniques
-
On constate que dans le cas particulier où
et on obtient les crochets de Poisson entre les
variables conjugués :
{ } { } { } 0ppet0qqetpq jijiijji === ,,, δ
{ }{
∑∑ ==
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂=
=
kijjkik
k k
j
0
k
i
k
j
k
iji q
p
p
q
q
p
q
qpq δδδ,
kk pgetqf == on a:
-
Propriétés des crochets de Poisson
-
Propriété n° 1
Propriétés des crochets de Poisson
��������
��������
∑=
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
n
1i iiii q
A
p
B
p
A
q
B
-
Propriété n° 2
��������
-
Propriété n° 3
��������
{ }CBA .,
-
Propriété n° 4
��������
-
Pour n = 1
-
Or
d’où :
C’est l’identité de Jacobi��������
-
Voir applications pédagogiques��������
Mise en œuvre
-
Et maintenant, c’est à vous de jouer.
A vos dossiers pédagogiques.
-
Transformations canoniques
§-3-
-
Transformations canoniques (TC)
De même que dans un espace vectoriel euclidien,
on peut s’intéresser à des « isométries », c’est-à-
dire à des transformations qui conservent la
structure euclidienne. Dans l’espace des phases,
on peut considérer des transformations qui
conservent le crochet de Poisson et qui sont alors
appelées « transformations canoniques ».
Translation, rotation, homothétie,…etc.
-
),(),( iiii PQpq →
Changement de variables dans l’espace des phases :
Principe de base
Transformations canoniques (TC)
-
Soit le système canonique associé à l’hamiltonien H(qi, pi, t)
=∂∂−=
=∂∂=
n1iq
Hp
n1ip
Hq
ii
ii
,...,
,...,
&
&
Effectuons la transformation suivante:
==
),,...,,,...,(
),,...,,,...,(
tppqqPP
tppqqQQ
n1n1jj
n1n1jj
-
Définition
Une transformation canonique est une transformation inversible des
2n variables (qi, pi) en 2n variables (Qi, Pi), tel que les équations du
mouvement soient encore canoniques. C’est-à-dire qu’il existe une
fonction K(Qi, Pi, t) telle que:
=∂∂−=
=∂∂=
n1iQ
HP
n1iP
HQ
ii
ii
,...,
,...,
&
&
« Le hamiltonien change mais pas les équations canoniques »
-
Condition suffisante pour qu’une transformation soit canonique
Soit F(qi, Qi) une fonction quelconque, et considérons la
transformation:
n1iQ
FP
q
Fp
ii
ii ,...,;; =∂
∂−=∂∂=
C’est une transformation des variables (qi, pi) en les variables
(Qi, Pi).
-
Pour qu’une telle transformation soit canonique, il
suffit que l’expression suivante :
dFdQPdqp iiii =−
soit une différentielle exacte à t constant.
Voir démonstration
��������
-
En effet :
),( ii QqF
{ {iiiii
P
ii
p
i
dQPdqpdQQ
Fdq
q
FdF
ii
−=∂∂+
∂∂=
−
-
Fonction génératrice :
La fonction est appelée fonction génératrice de la
transformation canonique.
),( ii QqF
Le choix de la fonction F conduit à des équations implicites très
simples pour la transformation canonique.
On exprime cette fonction au moyen des variables (qi, Qi, t) et on
note cette fonction F1(qi, Qi, t) qui est également une fonction
génératrice.
De façon analogue, on peut introduire les différentes fonctions
suivantes:
-
Remarque importante
Les transformations F1(qi, Qi, t), F2(qi, Pi, t) etc., ne génèrent
pas de transformations différentes mais simplement des
façons différentes de générer une transformation donnée.
Evidemment, deux fonctions F1 différentes par exemple vont en
général générer des transformations différentes.
-
Dans la pratique, il suffit de se donner une fonction Fi(i=1,…,4)
de deux groupes de variables. Les deux premières équations
expriment les nouvelles variables en fonction des anciennes,
et la troisième donne le nouveau hamiltonien en fonction des
nouvelles variables.
Si une transformation est engendrée par une fonction Fi, on dit
que Fi est une fonction génératrice de cette transformation.
-
Crochets de poisson et transformations canoniques
Lorsqu’on opère sur un système une transformation canonique:
iiii PpetQq →→
Que deviennent les crochets de Poisson entre les nouvelles
variables?
Théorème
Les crochets de Poisson sont indépendants du jeu de variables
canoniques dans lequel ils sont exprimés, ainsi:
{ } { } PQpq gfgf ,, ,, =
-
Remarque importante
Les crochets de Poisson peuvent être utilisés pour vérifier le
caractère canonique d’une transformation. En effet:
Une transformation est canonique si les crochets de Poisson
sont invariants par rapport à cette transformation:
{ } { } PQpq gfgf ,, ,, =��������
-
Fiche de synthèse 2
Ce qu’il faut absolument savoir��������
-
Variables
indépendantes
Fonction
génératrice Equations de transformation
t
FHK
Q
FP
q
Fp
ii
ii ∂
∂+=∂∂−=
∂∂= 111 ;;
t
FHK
P
FQ
q
Fp
ii
ii ∂
∂+=∂∂=
∂∂= 222 ;;
t
FHK
Q
FP
p
Fq
ii
ii ∂
∂+=∂∂−=
∂∂−= 333 ;;
t
FHK
P
FQ
p
Fq
ii
ii ∂
∂+=∂∂=
∂∂−= 434 ;;
),( ii Qq
),( ii Pp
),( ii Qp
),( ii Pq
),(1 ii QqF
),(2 ii PqF
),(3 ii QpF
),(4 ii PpF
-
Voir applications pédagogiques��������
Mise en œuvre
dFdQPdqp iiii =− { } { } PQpq gfgf ,, ,, =
t
FHK
∂∂+=
Condition suffisante
Nouvel Hamiltonien
(Kamiltonien)
Condition nécessaire
-
Application pédagogique
Soit la transformation :
=
+=
p
qAQ
qp2
1P 22
tan
)(
Montrer que cette transformation est canonique de
deux manières différentes. En déduire la fonction
génératrice correspondante.
-
),()(
)(
qpdFpq2
1dqdppdq
2
1
qp
qdppdqqp
2
1pdqPdQpdq
2222
=
=+=
+−+−=−
pq2
1qpF =),(
d’où :
F est la fonction génératrice correspondante.
- Première méthode
-
- Deuxième méthode
[ ] 1p
P
q
P
p
Q
q
QPQ =
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂= ..,
En effet:
=∂∂
=∂∂
+−=
∂∂
+=
∂∂
pp
P
qq
Pqp
q
p
Qqp
p
q
Q
22
22
-
Et maintenant, c’est à vous de jouer.
A vos dossiers pédagogiques.
-
Formalisme de Hamilton-Jacobi
§-4-
-
Formalisme de Hamilton-Jacobi
0=+∂∂
Ht
S
EHJ
Une transformation canonique très Spéciale
-
Préambule
« Il s’agit d’une méthode d’intégration d’un système
canonique. Jacobi avait remarqué qu’un système
canonique est le système différentiel associé à une
certaine équation aux dérivées partielle du premier ordre
(système appelé système caractéristique) ».
Formalisme de Hamilton-Jacobi
-
Soit la transformation canonique : ),(),( iiii PQpq →
t
FHK
∂∂+=
),( ii PQ
Et soit le nouvel hamiltonien :
Principe : opérer une T.C. tel que les soient
précisément 2n constantes du mouvement.
Dans ce cas on a :
==⇔=∂∂−=
==⇔=∂∂=
CtePQ
KP
CteQP
KQ
iii
i
iii
i
α
β
)2(0
)1(0
&
&
d’où :
====
),,(),,(
),,(),,(
tptPQpp
tqtPQqq
jjijjii
jjijjii
αβαβ
Formalisme de Hamilton-Jacobi
-
Pour y arriver nous cherchons la fonction génératrice, ici choisie de typedonc du type que nous noterons de façon standard tel que:),,(2 tqF ii α
),,(2 tpqF ii),,( tqS ii α
0),,(),,( =∂∂+=
t
StpqHtPQK iiii
De cette façon K = 0 nous assure que les équations (1) et (2) seront satisfaites. La T.C. est de type F2 et donc :
ii q
Sp
∂∂=
Le but recherché est , ce sera notre équation fondamentale après remplacement des pi dans H.
0=+∂∂
Ht
S
Formalisme de Hamilton-Jacobi
-
0),,(),,( =
∂∂+
∂∂
tpq
SH
t
tqSi
i
ii α
iα
C’est l’équation de Hamilton-Jacobi, une équation différentielle pour S. CetteÉquation différentielle du premier ordre en n variables nécessitera n constantes d’intégration qui sont précisément les constantes .Une fois solutionnée, c.à.d. une fois que l’on connaît S, il ne reste qu’à opérer les T.C.
==∂
∂=
∂∂==
=∂
∂=
ijji
i
jj
iii
jjii
jji
tqQ
tqS
P
SQ
tqpq
tqSp
βααα
β
αα
),,(
),,(
),,(),,(
Formalisme de Hamilton-Jacobi
-
Ces n équations peuvent s’inverser en ).,,( tqq jjii βα=
.0=∂
∂t
H
),(),,( 1 iiii qWttqS ααα +−=
Une simplification apparaît lorsqueDans ce cas, par séparations de variables, on peut écrire:
Où on identifie l’un des , ici comme valeur numérique (constante) de H: iα 1α
1α=HComme
ii
ii q
Wp
q
Sp
∂∂=⇒
∂∂=
Formalisme de Hamilton-Jacobi
-
L’équation de Hamilton-Jacobi se ramène à :
ii
i q
WqH α=
∂∂
),(
C’est l’équation caractéristique de H.J pour la fonction
),( iiqW α
Formalisme de Hamilton-Jacobi
-
Fiche de synthèse 3
Ce qu’il faut absolument savoir��������
-
0=+∂∂
Ht
S
0=∂
∂t
HSi
),(),,( 1 iiii qWttqS ααα +−=
ii
i q
WqH α=
∂∂
),(
-
Voir applications pédagogiques��������
Mise en œuvre
0=+∂∂
Ht
S
EHJ
-
Et maintenant, c’est à vous de jouer.
A vos dossiers pédagogiques.
-
MERCI DE VOTRE MERCI DE VOTRE
ATTENTIONATTENTION
FIN DU CHAPITRE 5FIN DU CHAPITRE 5
Rachid MESRARRachid MESRARProfesseur de l’enseignement supérieurBureau 37 Département de physiqueFaculté des sciencesAgadir
email: [email protected]