mecanique des fluides

canique des fluidesémCours de

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

L’Institut Supérieur de l’Education et de la Formation Continue

Département des Sciences Techniques

GM 205

MECANIQUE DES FLUIDES COURS DE

1

canique des fluideséCours de m

SOMMAIRE

Chapitre 1: Généralités Chapitre 2 : Statique des fluides Chapitre 3 : Dynamique des fluides parfaits Chapitre 4 : Dynamique des fluides réels Chapitre 5 : Notions sur les tensions superficielles Annexe : Devoirs surveillés et examens

2


PLAN DE COURS DE MECANIQUE DES FLUIDES

Pré requis :

Le principe fondamental de la statique

Le principe fondamental de la dynamique

Théorème de l’énergie cinétique

But du cours:

L’utilisation du théorème de Bernoulli appliqué à des circuits hydraulique

industrielle.

Contenu:

• Généralités sur les fluides

• Statique des fluides parfaits incompressibles

• Dynamique des fluides parfaits incompressibles

• Dynamique des fluides réels incompressibles

• Notions sur les tensions superficielles

Evaluation:

Examen de fin d’année.

3


CHAPITRE 1 : GENERALITES

Objectifs spécifiques :

A la fin de ce chapitre, l’étudiant doit être capable de :

- Définir les différents types des fluides.

- Connaître la masse volumique, la densité et la viscosité d’un fluide.

Contenu:

• Définition d’un fluide

• Masse volumique - densité

• Compressibilité d’un fluide

• Viscosité

4


CHAPITRE 1 :

GENERALITES 1 – Définition d'un fluide : Un solide est un milieu qui a une forme bien déterminée qui le caractérise, tant disque

un fluide est un milieu qui n'a pas de forme propre; il prend la forme du récipient qui le

contient.

La déformation d'un fluide est très facile à obtenir (même sous l'action des forces faibles)

Les fluides sont : des liquides et des gaz.

Les liquides ont un volume propre tant disque les gaz occupent tout le volume qui leur est

offert.

2 - Masse volumique et densité d'un fluide : Masse volumique ρ :

C'est la masse de l'unité de volume de fluide ρ = M/V en kg/m3 Exemples : ρ eau = 1000 kg/m3

ρ air = 1,293 kg/m3

Densité d : masse volumique du liquide

* Pour les liquides : d = masse volumique de l'eau

masse volumique du gaz

* Pour les liquides : d = masse volumique de l'air

3 – Compressibilité d'un fluide : Lorsqu'on étudie une masse de fluide, plusieurs grandeurs interviennent :

- la pression (p)

- la température (T)

- la masse volumique (ρ)

- la vitesse (v)

5


D'une façon générale, la masse volumique varie avec la température et la pression ;

ρ = f ( T, p )

Théoriquement : lorsque la masse volumique est indépendante de la pression et de la

température; on dit que le fluide est incompressible.

Pratiquement : On considère les liquides comme des fluides incompressibles et les gaz

comme des fluides compressibles.

3 – Viscosité : Observation et définition :

L'eau coule vite et le miel coule lentement les fluides coulent différemment. La viscosité est la capacité de s'écouler, elle caractérise les frottements internes ou

intermoléculaires à l'intérieur du fluide.

L'huile s'écoule en hiver moins rapide qu'en été. Donc la viscosité dépend de la

température.

Viscosité dynamique μ : Soit deux plaques planes et parallèles de surfaces S, distantes d’une longueur L, entre

les quelles se trouve un fluide. La plaque inférieure est maintenue au repos et la deuxième se

déplace d’un mouvement de translation uniforme de vitesse v.

F v L

La force nécessaire pour déplacer la plaque supérieure est F. Cette force est

proportionnelle à la vitesse v, à leur surface S et inversement proportionnelle à la distance L.

Ce facteur de proportionnalité μ est appelé coefficient de viscosité dynamique du fluide.

F = μ . S . L

v

Unité : Dans le système international (SI), le coefficient de viscosité dynamique est exprimé

en Pascal seconde ( Pa.s ) ou le Poiseuille ( Pl ) ; 1 Pa.s = 1 Pl

6


Autres unités : Le Poise ( Po ) ; 1 Pl = 10 Po (système CGS )

Degré Engler E ; unité empirique pour les huiles industriels.

Viscosité cinématique ν : C'est le rapport de viscosité dynami la masse volumique du fluide : que et μ

ν = ρ Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité cinématique est : (m²/s )

Dans le système CGS, l'unité de viscosité cinématique est le Stokes (St) : 1m²/s = 104 St

Viscosité dynamique de quelques fluides à 20 °C à la pression atmosphérique :

Liquide μ (Pa.s) Gaz μ (Pa.s)

Eau 10-3 Air 1,8 10-5

Essence 2,9 10-4 Oxygène 1,95 10-5

Huile SAE 10 0,09 Hydrogène 0,86 10-5

Huile SAE 50 0,7

7


CHAPITRE 2 : STATIQUE DES FLUIDES

Pré-requis :

Généralités sur les fluides.

Le principe fondamental de la statique

Le principe fondamental de la dynamique

Théorème de l’énergie cinétique


A la fin de ce chapitre, l’étudiant doit être capable :

- d’appliquer le principe de Pascal

- de déterminer la force de pression exercée sur une paroi plane

- de déterminer la poussée d’Archimède appliquée sur les solides immergés dans un

fluide.

Contenu:

• Pression en un point d'un milieu fluide

• Théorème de Pascal

• Pression atmosphérique, pression absolue et pression effective

• Force de pression sur une paroi

• Poussée d’Archimède

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CHAPITRE 2 :

STATIQUE DES FLUIDES (HYDROSTATIQUE)

Statique des fluides : Etude d'un milieu fluide au repos.

L'étude d'un milieu liquide au repos est souvent appelée : Hydrostatique.

1 – Pression en un point d'un milieu fluide :

M

dV1

dV2

ds

dR1/2 dN1/2

dT1/2

n Soit un élément de surface ds très petit qui sépare deux

volumes élémentaires dV1 et dV2 d’un milieu fluide.

Soit n la normale à ds passant par un point M de ds.

Dans le cas générale, l'action de dV1 sur dV2 est exprimée par :

dR1/2 = dN1/2 + dT1/2

dT½ : Composante tangentielle à ds due à la viscosité du fluide lorsqu'il y a un mouvement

relatif (glissement de dV2 par rapport à dV1)

En statique le fluide est au repos dT1/2 = 0

dN1/2 : Composant normale à ds appelé force de pression.

║dN1/2 ║

On pose ║dN1/2 ║ = p . ds p = ds

║dN1/2 ║ exprimé en N

ds exprimé en m²

p : c'est la pression au point M exprimée dans le S.I en Pascal ( Pa ) ; 1 Pa = 1 N/m²

La pression en un point dans un milieu fluide ne dépend pas de l'orientation de la

surface ds.

9


2 – Théorème de PASCAL :

Etudions l'équilibre d'un cylindre élémentaire de petites dimensions entourant un point

M, de masse dm, de hauteur dh et de surface de base ds.

z dN

M •

M •dh

dN'

dP Inventaire des actions :

• Action à distance : Le poids du cylindre élémentaire : dP = dm . g = - dm.g. z

• Actions de contact :

* Sur la face supérieure : soit une pression p qui résulte un effort dN = - p.ds. z

* Sur la face inférieure : soit une pression p' qui résulte un effort dN' = p'.ds. z

on pose p' = p + dp dN' = (p +dp).ds. z

* Sur la surface latérale : les efforts de pression sont horizontaux.

Bilan des actions : On applique le principe fondamentale de la statique suivant l'axe z :

dP + dN + dN' = 0 - dm.g – p.ds + (p+dp).ds = 0

dp.ds = dm.g or dm = ρ. dV = ρ.ds.dh

dp = ρ.g.dh Application :

Déterminons la pression en un point M situé à une distance h dans un fluide

incompressible de masse volumique ρ.

Isolons le cylindre vertical (c) débouchant à la surface libre du liquide et de surface de

base infiniment petite ds.

10


z

Inventaire des actions :

• Action à distance : Le poids du cylindre (c) : P = m . g = - m.g. z appliqué au centre de

gravité G du cylindre (c)

• Actions de contact :

* Sur la face supérieure : la force de pression N = - patm.ds. z

* Sur la face inférieure : la force de pression N' = pM.ds. z

* Sur la face verticale : les efforts de pression sont horizontaux.

Bilan des actions : On applique le principe fondamentale de la statique suivant l'axe z :

P + N + N' = 0

m.g + patm.ds - pM.ds = 0

(pM – patm).ds = m.g or m = ρ.h.ds

(pM – patm).ds = ρ.g.h.ds

(pM – patm) = ρ.g.h

pM = patm + ρ.g.h

3 – Pression atmosphérique, pression absolue et pression effective :

• La pression atmosphérique est la pression de l'air en un lieu donné. Elle est due au

poids de l'air atmosphérique. Au niveau de la mer patm = 105 Pa = 1 bar.

• La pression absolue est mesurée positivement à partir d'une valeur nulle

correspondant à la pression du vide absolue.

• La pression effective est la différence entre la pression absolue et la pression

atmosphérique : p effective = p absolue – p atmosphérique

M •

H

N

N'

PG •

11


4 – Force de pression exercée sur une paroi plane :

Force élémentaire

Sur une surface plane, les forces élémentaires dues à la pression sont parallèles entre

elles, perpendiculaires à la paroi et dans le même sens.

4.1 – Surface plane horizontale :

On considère un réservoir ouvert à l'air libre contenant du liquide de masse volumique ρ .

A

B C F1

F2

l

L

h B’

A’

D

●

Liquide

Sur la paroi BB’CC’ de surface S, la pression en tout points est la même. (On l'appelle surface

isobare)

F1 : Force due à la pression du liquide ; F1 = pB.S = (pB atm + ρgh).S

F2 : Force due à la pression atmosphérique. F2 = patm.S

La résultante des forces de pression est ; F = F1 – F2

F = (patm + ρgh).S - patm.S

F = ρghS = ρghLl

F = ρghS = ρghLl

12


A

B

dF1dF2

l

h

z

dz

M ●

A’ 4.2 – Surface plane verticale :

Soit un élément de surface ds de largeur l et de hauteur dz au voisinage d'un point M

dF1 = pM.ds = [patm + ρg(h - z)].ds

dF2 = patm.ds

dF = dF1 – dF2

dF = [patm + ρg(h - z)].ds - patm.ds

dF = ρg(h – z).ds

dF = ρg(h – z)l.dz

F = ∫hdF

0

F = ρghS = ρghLl

4.3 – Cas générale :

H

A

M

dF F

hM

B

13


Soit une paroi en contact avec un fluide. La surface de contact est S.

En un point M quelconque de S entouré par un élément de surface ds on a :

pe(M) = p(M) – patm = = ρgh(M)

L’action mécanique de contact exercée par le fluide sur la paroi au niveau de l’élément de

surface ds est : dF = pe(M).ds

La résultante des forces de pression sur la surface S est : F = Σ dF = Σ pe(M).ds

F = pe moy . S

Pour une surface plane AB 2ppp BA

moy e+

=

4.3 – Centre de poussée :

C’est le point d’application de la résultante des forces de pression sur une paroi.

Le centre de poussée H est la projection orthogonale du barycentre du diagramme de la

répartition des pressions.

4 – Force de pression sur un corps immergé : Poussée d'ARCHIMEDE : Soit un liquide (1) de masse volumique ρ

(1)

P1’

Etudier l’équilibre d’une quantité (1’) de ce fluide

de volume V .

Ce volume est soumis à :

- son poids P1’ / P1’ = ρ V g

- la résultante des forces de pression sur la

surface de contact (1) et (1’) F1/1’

Ce volume est en équilibre ∑ Fext = o F1/1’ + P1’ = o F1/1’ = P1’ F1/1’ = ρ V g

F1/1’

g V ρ Fhaut le vers: sens

verticale:direction )(1' du volume gravité de centre

1/1'⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

Remplaçant le fluide (1’) par un solide (2) de même forme et de même volume.

14


Ce solide est soumis à son poids et à la même résultante des forces de pression appelée :

Poussée d’Archimède.

Théorème d’Archimède : Un corps immergé dans un liquide est soumis à une poussée verticale, dirigée vers le

haut et égale au poids du liquide déplacé. Cette force est appliquée au centre de gravité du

liquide déplacé.

Remarque :

- si le poids du solide (2) P2 > F1/1’ le solide sera totalement immergé

- si le poids du solide (2) P2 < F1/1’ le solide sera partiellement immergé

La formule d’Archimède est : immergéLiquideP VgF ..ρ=

15


CHAPITRE 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

INCOMPRESSIBLES Pré-requis : Généralités sur les fluides et l’hydrostatique.


A la fin de ce chapitre l’étudiant doit être capable d’appliquer le théorème de

Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible avec ou sans

échange d’énergie.

Contenu:

• Généralités (fluide parfait, débit, écoulement permanent, …)

• Equation de conservation de masse

• Théorème de Bernoulli

. différentes formes

. Applications (tube de Pitot, tube Venturi et théorème de Torricelli)

. Cas d’un écoulement avec échange d’énergie

16


CHAPITRE 3 :

DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS INCOMPRESSIBLES

I – Généralités :

1- Dynamique de fluide : Etude d'un milieu fluide en mouvement.

2- fluides parfaits : On ne tiendra pas compte des effets de viscosité ( μ = 0 )

3- Fluide incompressible : les liquides.

4- Débit : c’est la quantité de matière qui traverse une section droite d’une conduite par

unité de temps.

En pratique, on distingue : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

/s)m ( miquedébit volu le

kg/s) ( massiquedébit le

3

dtdVqdtdmq

V

m

Vm qdtdV

dtdmqdVdm

dVdm ρρρρ ====⇒= donc : aOn

Vm qρq =

5- Ecoulement permanent ou stationnaire :

Un écoulement est dit permanent ou stationnaire, si les paramètres qui caractérisent le

fluide (pression, vitesse, température, masse volumique, …) sont indépendants du temps en

chacun des points de l’écoulement.

II – Equation de conservation de masse :(Equation de continuité)

Ligne de courantTube de courant

1- Définition :

- Ligne de courant : En régime permanent, on appelle ligne de courant, la

trajectoire d’une particule de fluide.

17


- Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s’appuyant sur une courbe

fermée.

ds2

ds1

ds’2

ds’1

M1

M2

M1’

M2’

● ●

● ●2- Conservation de débit :

Soit une masse m de fluide qui se trouve à l’instant t entre deux sections ds1 et ds2

d’un tube de courant.

A l’instant (t + dt), cette masse se déplace et se trouve entre deux sections ds’1 et ds’2 .

Cette masse se conserve de même si pendant dt la quantité dm1 qui se trouve entre ds1 et ds’1

devienne entre ds2 et ds’2 .

La masse se conserve dm1 = dm2 = dm ρ ds1.M1M’1 = ρ ds2.M2M’2

Or v1 = .M1M’1/ dt et v2 = .M2M’2/ dt

M1M’1 = v1 dt et M2M’2 = v2 dt

dm = ρ ds1 v1 dt = ρ ds2 v2 dt dm /dt = ρ ds1 v1 = ρ ds2 v2 = ρ ds v

dsvqm ..ρ= et dsvqV .=

3- Vitesse moyenne :

Réellement, la vitesse v n’est pas uniforme sur une section S d’un tube de courant à cause des

forces de frottement. Le débit massique ou le débit volumique s’obtient en intégrant la

relation précédente.

On défini la vitesse moyenne par Sq

uv Vm ==

L’équation de continuité est : CteSuSuqV === 2211 ..

18


III – Théorème de BERNOULLI :

Soit un écoulement permanent d’un

fluide parfait incompressible dans une

conduite.

Les deux section S1 et S2 délimitent à

l’instant t une certaine masse de fluide.

Les caractéristiques du fluide à l’instant t

sont :

z2 S1

S2

z1

z

- sur S1 : ρ , v1 , p1 , z1

- sur S2 : ρ , v2 , p2 , z2

- entre S1 et S2 : ρ , v , p , z

A l’instant t’ = t + dt , le fluide qui était entre les sections S1 et S2 devient entre (A’1B’1 et

A’2B’2) et puisque l’écoulement est permanent, ce qui est entre A’1B’1 et A2BB2 reste inchangé

et tout se passe comme si la masse dm incluse entre (A1B1B ,A’1B’1) est passé à (A2BB2,A’2B’2)

durant dt [ de la position (1) à la position (2) ].

Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à dm : (La variation de l’énergie cinétique est

égale à la somme des travaux des forces extérieures)

(I) 21)( →∑=Δ WdmEc

La variation de l’énergie cinétique : ²)²(21)( 12 vvdmdmEc −=Δ

Travail de force de pesanteur : dmgzz .).( 21−

Travail des forces intérieures est nul car le fluide est parfait ( μ = 0 )

Travail des forces de pression : En bout Sur S1 : dtvSp ... 111

Sur S2 : dtvSp ... 222−

Latérale sur SL nul

(I) dmgzzdtvSpdtvSpvvdm .).(......²)².(21

2122211112 −+−=−

dmgzzdtvSpdtvSpvvdm ..).(........²)².(.21

2122211112 ρρρρ −+−=−

Or , d’après l’équation de continuité on à : dtvSdtvSdm ...... 2211 ρρ ==

19


Donc dmgzzdmpdmpvvdm ..).(..²)².(.21

212112 ρρ −+−=−

gzzppvv ).(²)²(21

2121

12 −+−=−ρρ

ρρ2

221

11 .²21.²

21 p

zgvp

zgv ++=++

gp

gv

zg

pg

vz

.2²

.2² 22

211

1 ρρ++=++

Donc Cteg

pg

vz =++.2

²ρ

1- Différentes formes de théorème de Bernoulli :

- 1er forme : Energie / unité de masse ( en j/kg )

Ctepzgv =++ρ

.²21

masse de e/unitéhydrauliqu énergiel'est

masse de e/unitépotentiell énergiel'est .

masse de unitécinétique/ énergiel'est ²21

ρp

zg

v

- 2ème forme : Pression (en Pa )

Ctevzgp =++2².. ρρ

cinétiquepression laest 2²

pésanteur depression laest ..statiquepression laest

vzg

p

ρ

ρ

- 3ème forme : Hauteur ( en m )

Cteg

pg

vz =++.2

²ρ

20


quepiézométrihauteur appeléest .

cinétiquehauteur laest 2

²

pression dehauteur laest .

talehauteur to laest Het cote laest

gpz

gv

gp

z

ρ

ρ

+

2- Application :

2.1- Tube de Pitot :

hA’

Soit un écoulement de fluide dans une conduite. B’

A B

Deux tubes ouverts à l’air libre sont plongés dans le

liquide. (voir figure)

En A, point d’arrêt, la vitesse est nulle.

En B, le liquide a la même vitesse « v » que dans la

conduite.

Le liquide dans les deux tubes est au repos, donc :

).(. ' AAatmA zzgpp −+= ρ

).(. ' BBatmB zzgpp −+= ρ

hgpp BA ..ρ=−

Le fluide dans la conduite est en mouvement : Appliquons le théorème de Bernoulli entre les

deux points A et B : 2

²..2

².. BBB

AAA

vzgpvzgp ρρρρ ++=++

Or, zA = zB et vA = 0 donc 2

²BBA

vpp ρ+= hgvB ..2

² ρρ =

Conclusion : le tube de Pitot nous permet de déduire la vitesse d’écoulement d’un fluide en

mesurant la dénivellation h .

1

2

•

h

2.2- Théorème de Torricelli :

Soit un réservoir de grande dimension

contenant un liquide et muni d’un petit orifice à sa

base.

21


Appliquons le théorème de Bernoulli entre (1) et

(2) :

ρρ2

221

11 .²21.²

21 p

zgvp

zgv ++=++

Or p1 = p2 = patm

v1 ≈ 0 puisque v1 << v2

z1 – z2 = h

d’où hgv ..22 =

Conclusion : la vitesse d’écoulement est indépendante de la nature du fluide.

2.3- Tube Venturi :

Soit un écoulement de fluide parfait dans une canalisation d’axe horizontale de section

cylindrique en amont et en aval S1 et contenant un rétrécissement de section S2.

1 2 3

Δh

Appliquons le théorème de Bernoulli entre (1) et (3) :

2²..

2².. 3

331

11vzgpvzgp ρρρρ ++=++

Or et puisque S332211 ... SvSvSvqV === 1 = S3 alors 31 vv = et on a 321 zzz ==

Donc 31 pp =

Appliquons le théorème de Bernoulli entre (1) et (2) :

2²..

2².. 2

221

11vzgpvzgp ρρρρ ++=++

2²

2² 2

21

1vpvp ρρ +=+

Or 1

1 Sqv V= ,

22 S

qv V= et hgpp Δ=− ..21 ρ

D’où VqSS

hg )²

1²

1(21..

12

−=Δ ρρ h

SS

gqV Δ−

=)

²1

²1(

2

12

22


Conclusion : le tube de Venturi nous permet de déduire le débit d’écoulement d’un fluide en

mesurant la dénivellation Δh entre deux sections différentes.

3- Cas d’un échange d’énergie avec une machine : 2

z2, p2, v2, S21

Mz1, p1, v1, S1

Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, alors il y a un échange d’énergie

entre le fluide et la machine.

Soit E l’énergie par unité de masse échangée entre le fluide et la machine.

On pose E > 0 si la machine est motrice ( pompe)

E < 0 si la machine est réceptrice ( turbine)

Le bilan énergétique appliqué entre (1) et (2) : E(1) + E = E(2)

Théorème de Bernoulli s’écrit alors : ρρ2

221

11 .²21.²

21 p

zgvp

zgv E ++=+++

La puissance échangée est : mqEdtdmE

dtdWP ..

=== VqEP ..ρ=

23


CHAPITRE 4 : DYNAMIQUE DES FLUIDES REELS INCOMPRESSIBLES Pré-requis :

Généralité sur les fluides.

Dynamique des fluides parfaits incompressibles.


A la fin de ce chapitre l’étudiant doit être capable :

- de distinguer les différents régimes d’écoulement d’un fluide

- d’appliquer le théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide réel

incompressible

- de déterminer les pertes de charge.

Contenu:

• Les régimes d’écoulement : (régime laminaire, régime turbulent, régime transitoire)

• Théorème de Bernoulli pour un fluide réel

• Les pertes de charge

Pertes de charge régulières

Pertes de charge singulières

24


CHAPITRE 4 :

DYNAMIQUE DES FLUIDES REELS INCOMPRESSIBLES

Dynamique de fluide : Etude d'un milieu fluide en mouvement.

Fluide réel on tiendra compte des effets de viscosité (μ ≠ 0 ) .

I – Les régimes d’écoulement :

Expérience :

Soit un courant d’eau qui circule dans une conduite à section circulaire.

On introduit un filet de colorant dans l’axe de cette conduite.

Suivant la vitesse d’écoulement de l’eau, on peut observer les phénomènes suivants :

Eau

b°/ Vitesse plus élevée

c°/ Vitesse très élevée

a°/ Vitesse faible

- Pour des vitesses faibles, le filet colorant traverse le long de la conduite en

position centrale.

- Pour des vitesses plus élevées, le filet colorant se mélange brusquement dans

l’eau après avoir parcouru une distance.

- Pour des vitesses très élevées, le colorant se mélange immédiatement dans

l’eau.

1. Régime laminaire : (cas a°/ ) le fluide s’écoule en couches cylindriques coaxiales

ayant pour axe le centre de la conduite.

2. Régime turbulent : (cas c°/ ) formation de mouvement tourbillonnante dans le fluide.

3. Régime transitoire : (cas b°/ ) c’est une transition entre le régime laminaire et ce lui

turbulent.

25


Cette expérience a été faite par Reynolds en faisant varier le diamètre de la conduite, la

température, le débit, etc…, pour des divers fluides.

La détermination du régime d’écoulement est par le calcul d’un nombre sans dimension

appelé nombre de Reynolds (Re) :

νμρ uDuD ...Re ==

avec : D : diamètre de la conduite (en m)

u : vitesse moyenne d’écoulement ( en m/s)

ρ : masse volumique du fluide ( en kg/m3)

μ : coefficient de viscosité dynamique ( en Pa.s)

ν : coefficient de viscosité cinématique ( en m²/s)

Si Re < 2000 le régime est laminaire

Si Re > 3000 le régime est turbulent

Si 2000 < Re < 3000 le régime est transitoire

Si 2000 < Re < 3000 le régime est transitoire

Si Re > 3000 le régime est turbulent

Si Re < 2000 le régime est laminaire

Remarque : si la section n’est pas circulaire, on définit le diamètre équivalent ( De) par :

fluide lepar mouillé périmètre leconduite la desection *4

=De

II – Théorème de BERNOULLI pour un fluide réel : Lorsque le fluide est réel, la viscosité est non nulle, alors au cours du déplacement du fluide,

les différentes couches frottes les unes contre les autres et contre la paroi qui n’est pas

parfaitement lisse d’où il y a une perte sous forme de dégagement de chaleur ; cette perte

appelée perte de charge.

La relation de Bernoulli peut s’écrire sous la forme :

2,122

211

1 .2²

.2²

Hg

pg

vz

gp

gv

z Δ+++=++ρρ

ΔH1,2 : c’est l’ensemble des perte de charge entre les points (1) et (2) exprimé en hauteur.

Les pertes de charge peuvent être exprimé en pression / Δp1,2 = ρ.g. ΔH1,2

26


III – Pertes de charge : Les pertes de charge sont à l’origine :

• Des frottements entre les différentes couches de fluide et entre le fluide et la paroi interne

de la conduite le long de l’écoulement : ce sont les pertes de charge régulière .

• De la résistance à l’écoulement provoquée par les accidents de parcours ( vannes,

coudes,etc…) ; ce sont les pertes de charge singulières ou localisés .

1. Pertes de charge régulières : ΔHr

Soit un écoulement permanent d’un fluide dans une conduite de diamètre D. La perte de

charge entre deux points séparés d’une longueur L est de la forme :

gv

DLHr 2

².λ=Δ

Avec v : vitesse moyenne du fluide

λ : coefficient de perte de charge régulière.

Pour déterminer le coefficient de perte de charge régulière λ, on fait souvent appel à des

formules empiriques tel que :

• Si l’écoulement est laminaire, nous avons la loi de Poiseuille

R64 =λ

• Si l’écoulement est turbulent, on a deux cas :

Turbulent lisse R<105 : on a la loi de Blasius :4/14/1 )100(316.0 −− == RRλ

Turbulent rugueux R>105 : il y a d’autres lois tel que la loi de Blench.

2. Pertes de charge singulières : ΔHs

gv

DLHr 2

².λ=Δ

Avec k : coefficient de perte de charge singulière qui dépend de la géométrie de la

conduite.

27


ANNEXE

28


EXAMEN

Classe : Date : Matière : Mécanique des fluides Durée : 1,5 heure Enseignant : Bouajila sofiane Document : non autorisé

On considère l’installation suivante :

T P

Conduite 3

Conduite 2

Conduite 1

Z 3

Z 5

Z 4

Z 2 Z 1

Cette installation se compose de :

Un barrage (altitude du plan d’eau Z1= 1600 m)

Une conduite 1 de section S1 = 100 cm² ; altitude de départ de

conduite Z2= 1400 m

Une conduite 2 de section S2 = 150 cm² d’altitude Z3= 400 m

Une conduite 3 de section S3 = S1 ; altitude d’arrivée de conduite

Z4= 1200 m

29


Un réservoir de capacité V = 50 m3 (altitude du plan d’eau Z5=

1300 m)

Une turbine T de puissance utile PT = 15 kW

Une pompe P de puissance utile PP = ?

Le temps nécessaire pour le remplissage du réservoir est t = 2 heures

On suppose que l’eau est un fluide parfait de masse volumique = 1000

kg/m3 et on prendre g = 10 m/s².

Questions:

1. Déterminer la résultante des forces de pression de l’eau sur le

barrage et son point d’application sachant que la largeur du barrage

est l = 40 m.

2. Calculer la pression effective de l’eau au départ de la conduite 1.

3. Calculer le débit volumétrique Q.

4. Calculer la vitesse moyenne de l’eau à l’entrée du turbine.

5. Calculer la vitesse moyenne de l’eau à l’entrée du turbine.

6. Déterminer la pression effective de l’eau dans la conduite 2.

7. Déterminer la puissance utile nécessaire de la pompe pour soulever

l’eau au réservoir.

N.B : Tout repérage nécessaire pour le calcul doit–être représenter sur un

schéma.

30


MECANIQUE DES FLUIDES

- Généralités - Dynamique des fluides incompressibles - Viscosité - Pertes de charge - Tension superficielle

GÉNÉRALITÉS

Définition :

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

Liquides et gaz :

Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité. • l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions

de l'espace. • la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du

récipient qui les contient. • la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d’un fluide réel

s'accompagne d'une résistance (frottements).

Forces de volume et forces de surface : Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de

mécanique des fluides passe par la définition du système matériel S, particules de fluide à l'intérieur d'une surface fermée limitant S. À ce système on applique

les principes et théorèmes généraux de mécanique et thermodynamique :

31


• principe de la conservation de la masse. • principe fondamental de la dynamique. • principe de la conservation de l'énergie.

32


DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES

DEFINITIONS : Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de

la conduite par la durée de cet écoulement. a) Le Débit massique :

tmqm Δ

Δ=

Si Δm est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition le débit massique est :

unité : kg.s-1

b) Le Débit volumique :

tVqV Δ

Δ=

Si ΔV est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition le débit volumique est :

unité : m3.s-1.

c) Relation entre qm et qV

La masse volumique ρ est donnée par la relation : ρ =ΔΔmV

Vm q.q ρ= d'où :

Remarques :

Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements iso volumes. Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume.

Écoulements permanents ou stationnaires Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.

33


Équation de conservation de la masse ou équation de continuité 1) Définitions :

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au

vecteur vitesse du fluide en ce point. Tube de courant : Ensemble de lignes

de courant s'appuyant sur une courbe fermée.

Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface ΔS.

ligne de courantsurface S entourant le point MΔ

filet de courant

tube de courant

Mv

section S2

section S1

La section de base ΔS du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

2) Conservation du débit : Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps Δt, infiniment petit, la masse Δm1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse Δm2 ayant traversé la section S2.

En régime stationnaire, le débit massique est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

2m1m qq =

2m1m qq = ( = Cte) : Dans le cas d'un écoulement isovolume (ρ

2v1v qq = En régime stationnaire, le débit volumique est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant 3) Expression du débit en fonction de la vitesse v :

Le débit volumique est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du

trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.

Il en résulte la relation importante : S.vqv =

4) Vitesse moyenne : En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement). Le

S S vmoy

34


débit massique ou le débit volumique s'obtient en intégrant la relation précédente : Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la

vitesse telle que : Sqv V

moy =

La vitesse moyenne vmoy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses. Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite. CteS.vS.vq 2moy21moy1V === C'est l'équation de continuité.

1

2

2

1

SS

vv

= La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est

faible.

35


Théorème de BERNOULLI Le phénomène : Observations : • Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air incliné. • Une feuille de papier est aspirée lorsqu'on souffle dessus.

Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente. Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait

incompressible Un fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement.

On considère un écoulement permanent isovolume d’un fluide parfait, entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il

n’y a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine).

z

z1

z2

0

p2, v2, S2, z2

p1, v1, S1, z1

Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S1 entre les instants t et t+Δt. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide était passé de la position (1) à la position (2). En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à ce fluide entre les instants t et t+Δt (la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes), on obtient :

Ctepgz2v2

=+ρ+ρ

CteHg

Pz2gv2

==ρ

++

p est la pression statique, est la gzρ pression de pesanteur, 2v2

ρ est la pression

cinétique. Tous les termes s’expriment en pascal. En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit ρg, on écrit

tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide). H est la Hauteur totale,

gPρ

est la Hauteur de

Pression,

z est la cote, 2gv2

est la Hauteur cinétique, g

Pzρ

+ est la Hauteur

piézomètrique.

36


Cas d'un écoulement (1)→(2) sans échange de travail : Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

( ) ( ) 0pp)zz(gvv21

121221

22 =−+−ρ+−ρ ou

( ) ( ) 0gpp)zz(vv

g21 12

1221

22 =

ρ−

+−+−

Cas d'un écoulement (1)→(2) avec échange d’énergie Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail ΔW pendant une durée Δt. La puissance P échangée est

tWPΔΔ

= 1 2

pompe

qv

Unités : P en watt (W), W en joule (J), t en seconde (s). • P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe) ; • P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine). Si le débit volumique est qv, la relation de Bernoulli s’écrit alors :

( ) ( )v

121221

22 q

Ppp)zz(gvv21

=−+−ρ+−ρ

37


Application du Théorème de Bernoulli : Tube de pitot : On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide pB = p.

h

A B

En A, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression est pA. D'après le théorème de Bernoulli,

p vB + ⋅ =12

2ρ pA Soit 12

2ρ ρ⋅ = ⋅ ⋅v g h

En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide. Phénomène de Venturi : Un conduit de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. La vitesse d’un fluide augmente dans l’étranglement, donc sa pression y diminue : v

A B

B

B > vA ⇒ pB < pA Le théorème de Bernoulli s'écrit ici :

222

21

21

CCBBA vpvpv ⋅ρ+=⋅ρ+=⋅ρ21

Ap +

D'après l'équation de continuité, vAABB qSvSv == et donc p AB vv > BA p>

2222

1121 q.kq).

SS.(pp

ABBA =−ρ=−

La différence de pression aux bornes aux extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit ; application à la mesure des débits (organes déprimogènes). On peut citer aussi la trompe à eau, le pulvérisateur...

38


Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli

Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2),

z

z2

z1

jetparabolique

v1=0

v2s22

22

11 2pzgvpzg +⋅⋅ρ+⋅ρ=+⋅⋅ρ+

21

2v⋅ρ

Or p1 = p2 = pression atmosphérique. Et v1<<v2 d'où zgv ⋅⋅= 22 La vitesse d'écoulement est la même que la vitesse de chute libre entre la surface libre et l'orifice, quelle que soit la masse volumique du liquide.

39


VISCOSITE Le phénomène: Observations: • L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des

tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière. • La chute d'un parachutiste se fait à vitesse constante, contrairement à la loi de

la chute libre. • La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans

laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli.

Conclusion: • Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux

éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres.

• Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement.

Viscosité dynamique - Viscosité cinématique : Profil des vitesses : Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules de fluide et des forces d'interaction entre les molécules de fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse. Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe lieu des

extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse.

vmax

vv+Δvz

z+Δz

v=0

Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe : v = v(z).

40


Viscosité dynamique : Considérons deux couches de fluide contiguës distantes de Δz. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit Δv, à leur surface S et inversement proportionnelle à Δz :

Le facteur de proportionnalité η est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.

Dimension : [η] = M.L-1.T-1.

é de viscosité , l'unit)SI(me international èsystDans le : éUnitdynamique est le Pascal seconde (Pa⋅s) ou Poiseuille (Pl) :

1 Pa⋅s = 1 Pl = 1 kg/m⋅s Viscosité cinématique :

Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique η et de la masse volumique ρ.

Ce rapport est appelé viscosité cinématique ν : νηρ

= Dimension : [ν

] = L2.T-1. n'a pas de nom é de viscosité , l'unit)SI(me international èsystDans le : éUnit

particulier : (m2/s). 410= s /2m1 ) : St(est le Stokes é , l'unit)galénon l(me CGS èsystDans le

St Ordre de grandeur ; influence de la température

Fluide η (Pa·s)

eau (0 °C) 1,787·10–3

eau (20 °C) 1,002·10–3

eau (100 °C) 0,2818·10–3

huile d'olive (20 °C) ≈ 100·10–3

glycérol (20 °C) ≈ 1000·10–3

H2 (20 °C) 0,86·10–5

O2(20 °C) 1,95·10–5

La viscosité des liquides diminue beaucoup lorsque la température augmente.

:

zv.S.F

ΔΔ

η=

41


Viscosimètre d’Ostwald : On mesure la durée d'écoulement t d'un volume V de liquide à travers un tube capillaire. On montre que la viscosité cinématique ν est proportionnelle à la durée t. Si on connaît la constante de l'appareil (K) fournie par le constructeur : ν = K·t Si on ne connaît pas cette constante, on la détermine préalablement à l'aide de l'eau.

Viscosimètre à chute de bille ou viscosimètre d'Hoepler :

Une bille sphérique tombe lentement dans un tube bien calibré renfermant le liquide visqueux. On mesure la durée t que met la bille pour parcourir une certaine distance. On montre que la viscosité dynamique η est proportionnelle à la durée t : η = K·t Viscosimètre rotatif ou viscosimètre de Couette :

Un cylindre plein (A) tourne à vitesse constante dans un liquide contenu dans un récipient cylindrique (B) ; celui-ci, mobile autour de son axe de révolution, est entraîné par le liquide. Un ressort, exerçant un couple de torsion après avoir tourné d'un angle α, retient (B) en équilibre. On montre que la viscosité dynamique η est proportionnelle à l'angle α : η = K·α

Applications ; conséquences La propulsion par hélice d’un avion ou d’un bateau est possible grâce à la viscosité de l’air ou de l’eau. A cause de sa viscosité, la pression d’un fluide réel diminue en s’écoulant dans une canalisation ; cela nécessite parfois d’introduire des pompes à distance régulière tout au long de la canalisation.

α

A

B

42


PERTES DE CHARGE Le phénomène : Observations: • La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans

laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli.

• La pression d'un fluide réel diminue après le passage à travers un coude, une vanne ou un rétrécissement.

Conclusion • Un fluide réel, en mouvement, subit des pertes d'énergie dues aux

frottements sur les parois de la canalisation (pertes de charge systématiques) ou sur les "accidents" de parcours (pertes de charge singulières).

Les différents régimes d'écoulement : nombre de Reynolds Les expériences réalisées par Reynolds (1883) lors de l'écoulement d'un liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : Laminaire et turbulent.

écoulement laminaire écoulement turbulentvue instantanée

écoulement turbulentvue en pose

filetcoloré

En utilisant des fluides divers (viscosité différente), en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par :

ηρ

=vDRe Ou ν

=vDRe avec :

ρ= masse volumique du fluide, v = vitesse moyenne, D = diamètre de la conduite η = viscosité dynamique du fluide, ν = viscosité cinématique ν η

ρ=

43


L'expérience montre que :

si Re < 2000 le régime est LAMINAIRE si 2000 < Re < 3000 le régime est intermédiaire

si Re > 3000 le régime est TURBULENT

Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un type d'écoulement à un autre se faisant progressivement.

Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel avec pertes de charge : Lors d'un écoulement d'un fluide réel il peut y avoir des pertes de charge entre les points (1) et (2) : dans le cas d’une installation ne comportant pas de machine hydraulique (pompe ou turbine) on écrira la relation de Bernoulli sous la forme :

( ) ( ) ppp)zz(gvv Δ−=−+−ρ+−ρ 121221

222

1

• Δp représente l’ensemble des pertes de charge entre (1) et (2) exprimées en

Pa.

Expression des pertes de charge : Influence des différentes grandeurs Lorsqu'on considère un fluide réel, les pertes d'énergie spécifiques ou bien comme on les appelle souvent, les pertes de charge dépendent de la forme, des dimensions et de la rugosité de la canalisation, de la vitesse d'écoulement et de la viscosité du liquide mais non de la valeur absolue de la pression qui règne dans le liquide.

La différence de pression Δp = p1 - p2 entre deux points (1) et (2) d'un circuit hydraulique a pour origine : • Les frottements du fluide sur la paroi interne de la tuyauterie ; on les appelle

pertes de charge régulières ou systématiques : • La résistance à l'écoulement provoquée par les accidents de parcours (coudes,

élargissements ou rétrécissement de la section, organes de réglage, etc.) ; ce sont les pertes de charge accidentelles ou singulières.

Le problème du calcul de ces pertes de charge met en présence les principales grandeurs suivantes : Le fluide caractérisé par : • sa masse volumique ρ. • sa viscosité cinématique ν. Un tuyau caractérisée par :

44


• sa section (forme et dimension) en général circulaire (diamètre D). • sa longueur L. • sa rugosité k (hauteur moyenne des aspérités de la paroi). Ces éléments sont liés par des grandeurs comme la vitesse moyenne d'écoulement v ou le débit q et le nombre de Reynolds Re qui joue un rôle primordial dans le calcul des pertes de charge. Gén Pertes de charge systématiques : Généralités : Ce genre de perte est causé par le frottement intérieur qui se produit dans les liquides ; il se rencontre dans les tuyaux lisses aussi bien que dans les tuyaux rugueux

Entre deux points séparés par une longueur L, dans un tuyau de diamètre D

apparaît une perte de pression Δp. exprimée sous la forme suivante :

DL

2vp

2ρλ=Δ D

Lg2

vh2

λ=Δ

Différence Perte de charge exprimée en de pression (Pa). mètres

de colonne de fluide (mCF)

λ est un coefficient sans dimension appelé coefficient de perte de charge linéaire. Le calcul des pertes de charge repose entièrement sur la détermination de ce coefficient λ. Cas de l'écoulement laminaire : Re < 2000 Dans ce cas on peut montrer que le coefficient λ est uniquement fonction du nombre de Reynolds Re ; l'état de la surface n'intervient pas et donc λ ne dépend pas de k (hauteur moyenne des aspérités du tuyau), ni de la nature de la tuyauterie.

λ =64Re avec ν

=vDRe

Il est alors immédiat de voir que Δh est proportionnel à la vitesse v et donc au débit q, ainsi qu'à la viscosité cinématique ν.

45


Loi de Poiseuille : Pour un écoulement laminaire, dans une conduite cylindrique horizontale, le débit volumique d'un fluide est donné par :

avec : • qv : débit volumique (m3·s–1), • r : rayon intérieur (m),

( )21

4

v pp8

rq −⋅⋅η⋅

⋅π=

l

l

p1 p2

Δh

2r

v

• η : viscosité dynamique du fluide (Pa·s), • : longueur entre les points (1) et (2) (m), l

• p1 et p2 : pression du fluide aux points (1) et (2) (Pa). Cas de l'écoulement turbulent : Re > 3000 Les phénomènes d'écoulement sont beaucoup plus complexes et la détermination du coefficient de perte de charge résulte de mesures expérimentales. C'est ce qui explique la diversité des formules anciennes qui ont été proposées pour sa détermination. En régime turbulent l'état de la surface devient sensible et son influence est d'autant plus grande que le nombre de Reynolds Re est grand. Tous les travaux ont montré l'influence de la rugosité et on s'est attaché par la suite à chercher la

variation du coefficient λ en fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité k du tuyau. La formule de Colebrook est actuellement considérée comme celle qui traduit le mieux les phénomènes d'écoulement en régime turbulent. Elle est présentée sous la forme suivante:

1 23 7

2 51λ λ= − +log(

,,

Re)k

D

L'utilisation directe de cette formule demanderait, du fait de sa forme implicite, un calcul par approximations successives ; on emploie aussi en pratique des représentations graphiques (abaques). Pour simplifier la relation précédente, on peut chercher à savoir si l'écoulement est hydrauliquement lisse ou rugueux pour évaluer la prédominance des deux termes entre parenthèses dans la relation de Colebrook.

46


Remarque :

On fait souvent appel à des formules empiriques plus simples valables pour des cas particuliers et dans un certain domaine du nombre de Reynolds, par exemple : Formule de Blasius : (pour des tuyaux lisses et Re < 105)

−λ = 0 316 0 25, Re ,

Pertes de charge accidentelles : Ainsi que les expériences le montrent, dans beaucoup de cas, les pertes de charge sont à peu près proportionnelles au carré de la vitesse et donc on a adopté la forme suivante d'expression :

2vKp

2ρ=Δ g2

vKh2

=Δ

Différence Perte de charge exprimée en de pression (Pa). mètres de colonne de fluide (mCF) K est appelé coefficient de perte de charge singulière (sans dimension). La détermination de ce coefficient est principalement du domaine de l'expérience.

47


Théorème de Bernoulli généralisé : Lors d'un écoulement d'un fluide réel entre les points (1) et (2) il peut y avoir des échanges d'énergie entre ce fluide et le milieu extérieur : • par travail à travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance échangée

étant P • par pertes de charge dues aux frottements du fluide sur les parois ou les

accidents de parcours ; la différence de pression étant Δp Le théorème de Bernoulli s'écrit alors sous la forme générale :

( ) ( ) pq

Ppp)zz(gvv21

v1212

21

22 Δ−=−+−ρ+−ρ ∑

avec : • ΣP : somme des puissances échangées entre le fluide et le milieu extérieur, à

travers une machine, entre (1) et (2) : P >0 si le fluide reçoit de l'énergie de la machine (pompe), P <0 si le fluide fournit de l'énergie à la machine (turbine), P = 0 s'il n'y a pas de machine entre (1) et (2).

• Δp : somme des pertes de charge entre (1) et (2) :

48


TENSION SUPERFICIELLE

Le phénomène : Observations : • La surface libre de l'eau dans un tube forme un ménisque près des bords. • Les poils d'un pinceau sec se rassemblent lorsqu'ils sont mouillés. • Une aiguille fine en acier flotte à la surface de l'eau. • L'eau monte dans un capillaire alors que le mercure descend. • Une plaque de verre adhère très fortement à une surface plane lorsque celle-

ci est mouillée. • Une lame de savon prend une forme telle que sa surface soit minimale. Conclusion : • La surface libre d’un liquide tend à se contracter spontanément de façon à

acquérir une aire minimale. • La surface d’un liquide se comporte un peu comme la membrane tendue d’un

ballon.

La force de tension superficielle : Force de tension superficielle appliquée à un solide tiré par une lame

liquide Considérons un cadre ABCD dont le coté AB, de longueur l, peut glisser sur DA et CB. Plongé initialement dans un liquide (par exemple de l'eau de savon), ce cadre est rempli d'une lame mince liquide. Le liquide tire AB vers DC par une force f sur chaque face de la lame, proportionnelle à la longueur l, telle que f = γ·l. B

A

C

D

Pour maintenir AB en équilibre, il faut lui appliquer une force F (qui ne dépend pas de la position de AB) telle que F = 2·f ou F = 2·γ·l avec F en N , l en m et γ en N·m–1. Définition : Dans la relation précédente, le coefficient γ s'appelle tension superficielle du liquide. Dimension : [γ] = M. T-2. Unité : Dans le système international (SI), l'unité de tension superficielle n'a pas de nom particulier : (N·m–1).

49


Ordres de grandeur (dans le cas d'interface liquide-air)

liquide γ (N·m–1) à 20 °C

eau (à 20 °C

73·10–3

eau (à 0 °C)

75,6⋅10−3

huile végétale

32·10–3

éthanol 22·10–3

éther 17·10–3

mercure 480·10–3

Angle θ de raccordement liquide/solide Une goutte de liquide déposée sur une plaque solide plane et horizontale peut : • soit s'étaler largement (par exemple de l'eau sur du verre propre) ; dans ce cas, on dit que le liquide mouille parfaitement le solide, et l'angle de raccordement θ vaut 0°,

θθ

• soit former une lentille : • si θ < 90°, le liquide mouille imparfaitement le solide (par exemple

l'eau sur du verre sale) • si θ > 90°, le liquide ne mouille pas le solide (par exemple le mercure

sur du verre). Le même angle de raccordement se retrouve à la surface libre d'un liquide près des bords du récipient et provoque la formation d'un ménisque dans les tubes.

Tube capillaire - loi de Jurin Un tube capillaire (du latin capillus : cheveu) est un tube de petit diamètre intérieur. Lorsqu'on plonge un tube capillaire, ouvert aux deux extrémités, dans un liquide, celui-ci "monte" (si θ < 90 °) ou "descend" (si θ > 90 °) dans le tube d'une hauteur h telle que :

h r : rayon intérdu tube capillaire

hr g

=⋅ ⋅⋅ ⋅

2 γ θρcos où

ieurr : rayon intérieur du tube ρ : masse volumique du liquide g : intensité de la pesanteur γ : tension superficielle du liquide

50


θ : angle de raccordement liquide/solide

Mesurages de tension superficielle : Méthode du capillaire : On applique la loi de Jurin. On mesure la dénivellation h et connaissant les autres paramètres, on en déduit une valeur de γ. Méthode de la lame immergée ou de l'anneau immergé : Une lame de platine, parfaitement propre, de longueur L, plongée dans un liquide de tension superficielle γ, est soutenue par le levier d'une balance de torsion qui permet de mesurer la force F exercée sur la lame (le zéro est réglé lorsque la lame est dans l'air). On soulève doucement la lame jusqu'à ce qu'elle affleure le liquide (la poussée d'Archimède est alors nulle) et on mesure alors la force F = 2·γ·L . On en déduit une valeur de γ.

l

l : longueurde la lame

La lame peut être remplacée par un anneau de rayon R, soutenu par un dynamomètre. On soulève lentement l'anneau et, au moment de son arrachement de la surface du liquide, on mesure la force F = 4 ·π·R ·γ· . On en déduit une valeur de γ.

R : rayonde l'anneau

R Méthode du stalagmomètre : Lorsqu'un liquide, de masse volumique ρ, s'écoule par un tube fin, le poids des gouttes obtenues est proportionnel à la tension superficielle γ du liquide et au rayon extérieur R du tube : m·g = k·R·γ On compte le nombre N de gouttes qui s'écoulent pour un volume V donné délimité par deux traits de jauge gravés sur le tube. : N = V·ρ·g/(k·R·γ) Le stalagmomètre est étalonné avec de l'eau pure à 20 °C : N0 = V·ρ0·g/(k R·γ0)

On obtient : γ γρρ

= ⋅ ⋅00

0NN

Applications: agents tensioactifs Le rôle des agents tensioactifs est d'abaisser la valeur de la tension superficielle des liquides dans lesquels ils sont ajoutés pour les rendre mouillants, moussants, détergents, émulsifiants...

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Annexes

Bibliographie : Mécanique 2 – AGATI (Dunod) Mécanique expérimentale des fluides − COMOLET (Masson) Mécanique des fluides – HANAUER (Breal) Mesure des débits et vitesses des fluides – LEFEBVRE (Masson) Mécanique des fluides (cours et exercices résolus) – MEIER (Masson) Mécanique des fluides appliquée – OUZIAUX (Dunod Universités) Mécanique / Phénomènes vibratoires – PRUNET (Dunod) La Mécanique des fluides – SALIN (Natan Universités)

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mecanique des fluides

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