mécanique des fluides géophysiques version preliminaire

UNIVERSIT E DE LI EGEFaculte des Sciences

Mecanique des fluides geophysiquesVERSION PRELIMINAIRE

J.M. Beckers

Annee academique 2004-2005

Table des matieres

I Th eories generales: MECA053 partim I 9

1 Rappels mecaniques des fluides homogenes 131.1 Milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141.3 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Energie interne, travail mecanique et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Lois constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19

1.5.1 Fluides newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 Autres fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Equations d’etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 Volume de controle en mouvement [TD] . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.2 Energie potentielle [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.3 Production d’energie interne [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Fluides non-homogenes 272.1 Constituants et melanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

2.2.1 Conservation d’un constituant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 302.2.2 Conservation de la masse totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

2.3 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Energie interne, travail mecanique et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Lois constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 332.6 Equations d’etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1 Melange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6.2 Fluides geophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Eau de mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Atmosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.3 Temperature potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7 Notion de turbulence et adaptation des lois constitutives . . . . . . . . . . . . . 382.8 Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8.1 Energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9.1 Modelisation [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

4 TABLE DES MATIERES

2.9.2 Diffusion de sel [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9.3 Equation d’etat [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9.4 Energie potentielle [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9.5 Sedimentation [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9.6 Temperature potentielle d’un gaz parfait [N] . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Approximation des fluides geophysiques 453.1 Particularites de l’atmosphere et des oceans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Systeme d’axes en rotation, couche mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

3.2.1 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Gravite apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 543.3.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.3 Autresequations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.4 Equation pour la densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.5 Frequence de Brunt-Vaisala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Approximation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 593.5 Approximation du planβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6 Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.1 Energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .673.6.3 Energie potentielle disponible . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 69

3.7 Mesure dynamique de la stratification . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 713.7.1 Controle hydraulique d’unecoulement externe . . . . . . . . . . . . . 713.7.2 Ecoulement interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8 Vorticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.8.1 Vorticite relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.8.2 Vorticite absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.8.3 Vorticite potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.9 Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.10.1 Analyse d’importance de la force de Coriolis [N] . . . . . . . . . . . . 793.10.2 Le Thalys et la rotation de la terre [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.10.3 Vorticite [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10.4 Brunt-Vaisala pour un gaz parfait [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10.5 Equation pour la densite [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10.6 Ondes acoustiques [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10.7 Conservation d’energie [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10.8 Conditions aux limites cinematiques [N] . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10.9 Equation du bilan thermique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.10.10 Energie potentiellevsAPE [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.10.11 Energie potentielle [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

TABLE DES MATIERES 5

3.10.12 Courant cotier [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.10.13 Ecoulement au-dessus d’un ”ridge” [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Ondes internes 874.1 Phenomenes et approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Ondes internes dans un milieu infini stratifie uniformement . . . . . . . . . . . 89

4.2.1 Ondes internes dans le planf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Ondes hydrostatiques et non-hydrostatiques . . . . . . . . . . . .. . . 89Ondes de gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Oscillations d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.2 Ondes internes longues dans le planβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3 Ondes internes avec frontieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.1 Spectres discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.2 Onde de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.1 Oscillation d’inertie [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.2 Vitesse de groupe des ondes internes [F] . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.3 Ondes non-hydrostatiques avecf ? 6= 0 [N] . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.4 Conditions sur une surface libre [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.5 Vitesse de groupe verticale [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.6 Onde interne generee par une maree [N] . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.7 Ondes de lee [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4.8 Ondes internes sans restriction d’amplitude [N] . . . . . . . . . . . . . 1074.4.9 Energie d’une onde de gravite-inertie interne [D] . . . . . . . . . . . . 1074.4.10 Relation de dispersion avec surface libre [TD] . . . . . . . . . . . . . 1084.4.11 Ondesequatoriales [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Equilibre geostrophique 1115.1 Grandesechelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2 Equilibre geostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Vent thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4 Colonnes de Taylor pour un fluide homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.5 Degenerescence de l’equilibre geostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5.1 Pression de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.6 Circulation generale oceanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.7.1 Flux d’eaua travers une section hydrographique [N] . . . . . . . . . . 1245.7.2 Deux mesures ponctuelles [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.7.3 Gyre oceanique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.7.4 Vent thermique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.7.5 Geostrophie dans l’atmosphere [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


6 Couches limites 1316.1 Grandesechelles et couches limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2 Traitement mathematique des couches limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3 Couche limite de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1356.4 Couche limite du fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Ekman pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.7 Transport d’Ekman et circulation generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.8 Transport d’Ekman et ”upwellings” . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1476.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.9.1 Vent atmospherique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.9.2 Marc de cafe [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.9.3 Depot de dechets en profondeur [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.9.4 Vents dans le Pacifique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.9.5 Alizesa l’equateur [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.9.6 Estimation de l’apport de nitrates par upwelling [N] . . . . . . . . . . 1616.9.7 Vent thermique lors d’un upwelling [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.9.8 Frictiona la base de la couche de surface [F] . . . . . . . . . . . . . . 1616.9.9 Upwelling le long d’une banquise arctique [N] . . . . . . . . . . . . . 161

7 Instabilit es 1657.1 Notion de stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.2 Traitement mathematique general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.3 Ecoulement stratifie/cisaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3.1 Equation de Taylor-Gouldsmith . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1707.3.2 Conditions de raccord pres d’une discontinuite . . . . . . . . . . . . . 1727.3.3 Instabilite de Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Analyse de l’equation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4 Analyseenergetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.5 Criteres globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.5.1 Critere de Miles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.5.2 Critere de Howard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.1 Kelvin-Helmholtz [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.2 Ecoulement cisaille [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.3 Criteres globaux [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8 Turbulence 1898.1 Notion de stabilite et turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.2 Traitement mathematique general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.3 Moyennes et fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1948.4 Modele pour l’ecoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.5 Fermeture turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2018.6 Parametrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

TABLE DES MATIERES 7

8.7 Phenomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.8 Transfert d’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.8.1 Energie de l’ecoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.8.2 Energie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 208

8.9 Theorie de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.10 Exemple de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 213

8.10.1 Approche longueur de melange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.10.2 Equation pour la dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2168.10.3 Turbulence enequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.11.1 Modele de Prandtl [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.11.2 Diffusion du sel en mer [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9 Turbulence geophysique 2219.1 Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.2 Microturbulence et fluides geophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2.1 Rapport d’aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.2.2 Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.3 Micro et macroturbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2269.3.1 Effet de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269.3.2 Filtrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.4.1 Turbulence enequilibre [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

A Formulaire 239A.1 Notations matricielles, algebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240A.2 Notations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240A.3 Operations sur tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240A.4 Theoremes integraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.5 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 241A.6 Coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

A.6.1 Operateurs en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 243A.6.2 Equations d’Euler en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . 243

A.7 Quelques fonctions particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243A.8 Integrales et autres notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244A.9 Analyse d’uneequation cubique par perturbation reguliere . . . . . . . . . . . 244

Partie I

Theories generales: MECA053 partim I

9

Introduction

Ce cours a pour objectif de permettre l’application des concepts appris en mecanique desfluides et milieux continus aux fluides geophysiques.

Les particularites des fluides geophysiques (large spectre de mouvements, faible rapportd’aspect, rotation du systeme, compositions non-homogenes...) demandent en effet des adapta-tions specifiques des theories d’une part, mais donnent lieua des mecanismes de mouvementset propagations particuliers, d’autre part.

Nous commencons par un rappel de la mecanique des fluides classique (chapitre 1), pourlesetudiants n’ayant pas une base suffisante dans ce domaine.

Ensuite (chapitre 2), nous allonsetablir les lois decrivant l’evolution d’un fluide non-homo-gene, puisqu’en l’occurrence, les fluides geophysiques sont constitues de composants differents,variables dans le temps et l’espace. Cette non-homogeneite est une premiere caracteristiqueimportante des fluides geophysiques.

Nous passons ensuite (chapitre 3)a l’adaptation desequationsa un systeme en rotationuniforme et d’epaisseur verticale faible. Ces deux aspects induirontegalement des proprietesparticulieres des fluides geophysiques.

Ensuite (chapitre 4), les effets de stratification et de rotation sont illustres par l’etude desmodes propres d’oscillations du fluide. On y rencontrera notamment les oscillations d’inertieli esa la rotation de la terre et les ondes de gravites internes duesa la stratification.

L’effet combine de la rotation et du gradient de pression (induitegalement par des effets dedensite) donne aux grandesechelles lieua l’equilibre geostrophique (chapitre 5), essentiel pourla comprehension de la circulation atmospherique et oceanique.

Cetequilibre geostrophique ne peut cependant pas exister pres des frontieres du systeme desorte que des couches limites (chapitre 6) apparaissent. Ici, nousetudierons les couches limitesd’Ekman qui expliquent notamment des remontees ou descentes d’eau.

Une des caracteristiques desecoulements geophysiques est le large spectre de mouvementsobserves. Une partie de cette variabilite est due au fait que certainsecoulements ne sont pas sta-bles et donnent lieua des amplifications rapides de toute perturbation presente dans le systeme.Ce processus de changement de type d’ecoulement estetudie par uneetude de stabilite analy-tique (chapitre 7).

Comme les instabilites peuvent devenir de plus en plus complexes, nous allons ensuite abor-der la notion de turbulence (chapitre 8). Ceci permet notamment de ne plusetudier en details lastructure fine de l’ecoulement mais de se limitera la description de structuresa grandeechelle.Nous faisons alors un bref resume du probleme classique de fermeture turbulente

Il faut cependant adapter les fermetures classiques pour les fluides geophysiques pour tenircompte de la particularite des fluides geophysiques qui sont stratifies, en rotation, et d’un rapportd’aspect faible (chapitre 9).

11

12

18

Figure 1 : Dr. Carl Gustav Rossby avec une placque tournante pour l’etude des mouvements atmo-spheriques en 1926

Chapitre 1

Rappels mecaniques des fluides homogenes

13

14 CHAPITRE 1. RAPPELS MECANIQUES DES FLUIDES HOMOGENES

Dans ce chapitre, nous allons brievement rappeler leselements de la mecanique des fluidesessentiels pour la suite. Il s’agit de montrer comment la loide conservation de la masse, laloi de Newton et la conservation d’energie sont formulees pour un milieu continu en generalet comment lesequations constitutives et d’etat completent la description pour chaque fluideparticulier.

1.1 Milieu continu

Comme nous ne sommes interesses que par les aspects macroscopiques du milieu, nousutilisons le concept de milieu continu afin de ne pas devoir decrire les interactions indivi-duelles entre molecules ou particules. A cette fin, on considere generalement un petit volumerepresentatif. Ce volume (figure1.1) est du type ”infinitesimal” si le volume est de taille suf-fisamment petite pour justifier la notion de derivee (d’une grandeur macroscopique), mais suf-fisamment grande pour contenir un grand nombre de molecules (afin que les interactions entremolecules puissentetre regroupees statistiquement, ce qui aboutit notamment auxequationsconstitutives).

Les variables macroscopiques comme la densite et la vitesse d’un milieu continu doiventdoncetre considerees comme des moyennes statistiques sur ce volume ”infinitesimal”.

1.2 Conservation de la masse

Tout comme on peut facilement faire un bilan de masse pour un volume de controle fixe enfonction des masses ponctuelles entrantes et sortantes (figure1.2), indiquant que la variation dela massea l’interieur d’un volume fixe est du au bilan des masses entrantes et sortantes

dm = (m + dmin) − (m + dmout) = dmin − dmout (1.1)

on peut faire le meme type de bilan dans le cas d’un milieu continu en mouvementa travers unvolume fixe (figure1.3).

A cette fin, nous definissons la densite ρ (ou mieux la masse volumique) du fluide (enkg m−3) commeetant la masse par unite de volume, soitρ =

∑mi/δV ou la somme reprend

toutes les masses des molecules du fluide contenu dans l’unite de volumeδV . La vitesse macro-scopiquev du fluide est alors definie a travers la quantite de mouvement du fluide calculeecomme la somme des quantites de mouvements des molecules ou particules contenues dans lememe volume.ρv =

∑mivi/δV . Il est alors aise de calculer le bilan de matiere pour ce

volumeV en stipulant que la variation temporelle (∂∂t

) de la masse dans le volume considereegale la quantite nette de matiere qui rentrea travers sa surfaceS pendant ce laps de temps1:

∂

∂t

∫

Vρ dV = −

∫

Sρv·n dS = −

∫

V∇· (ρv) dV (1.2)

1Nous utilisonsevidemment le theoreme de Gauss et la definition classique de l’operateur∇

∇ = e1

∂

∂x1

+ e2

∂

∂x2

+ e3

∂

∂x3

en axes cartesiennese1, e2, e3.

1.2. CONSERVATION DE LA MASSE 15

µI ? 6

* I

j

I

*

j

K¸

¾µ

Rµ*

jR

R j

-

U

R 1

Á

IY

¸+

*

11

1*

Y

*

K

61

j*

Figure 1.1 : Volume ”infinitesimal” sur lequel on definit les variables macroscopiques.


mdmin

dmout-

q t

t + dtm

dmin

dmout

--

Figure 1.2 : Variation de masse pour un systemea masse variable.

1.3. LOI DE NEWTON 17

-

-

-

V

Sµn

v

6

-

Figure 1.3 : Bilan sur un volume de controle fixe de volumeV, de surfaceS et de normale exterieuren.

Puisque le volume est quelconque et fixe, nous obtenons aisement la forme classique de laconservation de la masse sous forme Eulerienne (en un endroit fixe)

∂ρ

∂t+ ∇· (ρv) = 0 (1.3)

que nous pouvons reecrire sous forme Lagrangienne (”en suivant la parcelle fluide”)

Dρ

Dt+ ρ∇·v = 0 (1.4)

a l’aide de la definition de la derivee materielle

D

Dt=

∂

∂t+ v·∇ (1.5)

Notons au passage que la conservation de la masse (1.3) et la definition de la derivee materielle(1.5) permettent d’ecrire pour toute proprieteF

∂

∂t(ρF ) + ∇· (ρvF ) = ρ

DF

Dt(1.6)

1.3 Loi de Newton

Tout comme nous avons puetablir une loi de la conservation de la masse pour un volume fixetraverse par unecoulement, nous pouvons utiliser la loi de Newton pour un systeme inertiel mais


”de masse variable”, qui stipule que la variation de la quantite de mouvement est due aux entreeset sorties de la quantite de mouvementa travers la surface du volume et l’impulsion appliquee(cours de mecanique [12]). Selon la directionx, l’ evolution de la quantite de mouvementNx

d’un systemea masse variable s’ecrit en effet

dNx = uindmin − uoutdmout +∑

fxdt (1.7)

ou uin etuout sont respectivement les vitesses d’entree et de sortie des masses entrantesmin etsortantesmout etfx la somme des forces appliquees dans la directionx.

Il est aise d’appliquer cette loi au cas du milieu continu (figure1.4) en distinguant les forcesinternes du volumef et les forces de surfacet qui s’appliquent au fluide (les tensions de surfacet sont donnees part = n·T, ou T est le tenseur des tensions appliquees)

∂

∂t

∫

Vρv dV = −

∫

Sρv v·n dS +

∫

Vρ f dV +

∫

Sn·T dS

L’utilisation du theoreme de Gauss

∂

∂t

∫

Vρv dV = −

∫

V∇· (ρv v) dV +

∫

Vρ f dV +

∫

V∇·T dV (1.8)

et le fait que le volume de controle est quelconque fournissent alors la loi de Newton en forma-lisme de la mecanique des fluides

∂

∂t(ρv) + ∇· (ρv v) = −∇p + ρ f + ∇·Tv (1.9)

ou le tenseur des tensionsT a ete separe en sa partie visqueuseTv et la partie associee a lapressionp.

T = −pI + Tv (1.10)

1.4 Energie interne, travail mecanique et entropie

Nous pouvonsegalementetablir un bilan d’energie pour le fluide en constatant que la varia-tion d’energie totale est due aux entrees et sorties advectives, aux flux de chaleur par conductionq (contenanteventuellement la radiation), aux sources de chaleur localesQe et au travail desforces appliquees (le travail des forces de surface vaut notammentt ·v = n ·T ·v). Commel’ energie est constituee de la somme de l’energie cinetique et l’energie specifiquee (en J/kg),elle doit satisfaire

∂

∂t

(ρe+ 1

2 ρv·v)

+ ∇·(ρev + 1

2 ρv·v v)

=

−∇·q + ρQe + ρ f ·v + ∇· (T·v)(1.11)

Nous pouvons extraire de cetteequation la composante lieea l’energie interne en utilisant la loide Newton (1.9) multipliee scalairement par la vitessev

v·

(ρDv

Dt− ρ f − ∇·T

)= 0

1.5. LOIS CONSTITUTIVES 19

-

-

-

V

Sµn

v

6

-

j

f

tª

Figure 1.4 : Bilan de quantite de mouvement sur un volume de controle. f est la force volumique ett latension de surface qui s’exerce sur le volume.

soit l’evolution de l’energie cinetique

12 ρ

D(v·v)

Dt=

∂

∂t

(12 ρv·v

)+ ∇·

(12 ρv·v v

)= ρ f ·v + v·∇·T

Par soustraction de l’equation pour l’energie totale (1.11), on obtient uneequation pour l’energieinterne

∂

∂t(ρe) + ∇· (ρev) = −∇·q + ρQe − p∇·v + Tv:∇v (1.12)

Cetteequation pour l’energie interne montre bien qu’elle est modifiee par le transport, lesflux de chaleur, les sources internes de chaleur, le travail de compression et la friction.

Notons que nous pouvonsegalement decrire l’evolution de l’entropie specifiques qui satis-fait une loi du meme type

∂

∂t(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs − ∇·ds (1.13)

ou Qs represente le taux de production/destruction d’entropie (par unite de masse) etds le fluxmoleculaire d’entropie. Dans ce cas, la production d’entropieest duea la chaleur apportee (ouexportee), par radiation et d’autres transformations irreversibles (contribution positive ou nulle).

1.5 Lois constitutives

Lesequationsetablies jusqu’a present contiennent plus d’inconnues que d’equations et ellessont d’ailleurs valables pour n’importe quel fluide, que ce soit du verre fondu, du lait, ducaoutchouc ou encore un metal liquide.


La formulation des proprietes macroscopiques du fluide qui le caracterise va alors permettrede trouver des relations additionnelles entre les inconnues. Ainsi, les lois constitutives sontspecifiquesa chaque type de fluide et differencient donc lesecoulements:a titre d’exemple,nous pouvons donner quelques caracterisations usuelles.

1.5.1 Fluides newtoniens

Pour des fluides newtoniens soumisa la seule acceleration de gravite g, la force appliquees’ecrit

f = g (1.14)

alors que le caractere newtonien du fluide est traduit par un tenseur des tensions visqueusesproportionnel au tenseur des deformationsD du fluide

Tv = (ρλ∇·v) I + 2ρνD (1.15)

D =1

2

(∇v + (∇v)T

)(1.16)

Notons au passage que la trace du tenseur vaut

traceD = ∇·v (1.17)

et que l’on utilise souvent la formule de Stokes

λ + 23 ν = 0 (1.18)

qui fait en sorte quetraceTv = 0.Le parametre ν qui intervient dans la loi constitutive d’un fluide newtonien est alors la

viscosite cinematique du fluide en question.Tout comme les tensions de surface, les flux de chaleur sont lies aux proprietes physiques

(et in fine a la structure moleculaire non explicitement resolue) du fluide et une loi de Fourierpour un flux de chaleur de conduction est souvent appropriee

q = −k∇T (1.19)

Dans ce cas,k est la conductivite supposee isotrope (autrement, il faudrait remplacer le scalairepar un tenseur de conductionK). En principe, ce flux de chaleur pourrait aussi inclure les fluxpar radiation mais que l’on introduit souvent par un terme additionnel en∇·i pour l’equationdeeet ou le rayonnementi doit faire l’objet d’une modelisation propre. Le plus simple dans unenvironnement qui attenue l’intensite I de la lumiere dans une directionz est une loi du type

dI

dz= −κI (1.20)

ou κ est le coefficient d’attenuation.


1.5.2 Autres fluides

Si les fluides newtoniens sont les fluides que l’onetudie classiquement, il convient d’insistersur le fait que chaque fluide possede sa propre caracterisation et que les lois constitutives sontfort diversifiees. A titre d’exemple, nous pouvons en indiquer quelques unes:

⊕Les fluides non-newtoniens ne se mettent pas en mouvement des que l’on applique une force et les

tensions de surface ont une ”certaine memoire”, c.a.d. que l’etat a un moment donne depend de lasituation precedente. Une modelisation (dite de Maxwell) de cette ”memorisation” introduit une deriveetemporelle ˙

Tv =1

τ

(−1

ρTv + 2νD

)(1.21)

qui lie effectivement les tensions observees aux instants precedents. Cette formulation tend vers la ver-sion Newtonienne si1/τ est suffisamment ”grand” pour les fluides incompressibles. A la placed’unederivee temporelle, un autre modele lineraire fait dependre le tenseur de l’histoire de la deformation

Tv(x, t) =

∫ t

−∞G(t − t′)D(x, t′)dt′ (1.22)

ou la fonctionG est generalement definie positive.Bien sur, selon les proprietes physiques, les tensions peuvent dependre non-lineairement des defor-

mations et l’on utilise alors des relations non-lineaires

µ = µ (|D|) (1.23)

D’autres fluides encore peuventetre des conducteurselectriques. S’ils sont soumisa une inductionmagnetiqueB, des forces de Lorentz apparaissent dont il faudra tenir compte

f =1

ρJΛB (1.24)

ou J est la densite de courant. Ce courantelectrique au sein du fluide peut lui-memeetre du a differentsmecanismes comme le deplacement par un courant advectifv de chargeselectriquesγ et d’un courantσE par la loi d’Ohm pour le champelectrique (qu’il soit applique: E ou induit: vΛB)

J = γv + σ (E + vΛB) (1.25)

Une derniere illustration d’uneequation constitutive particuliere est celle des fluides ferro-magne-tiques au sein desquels de minuscules particules aimantees donnent au fluide une aimantation qui permetde le mettre en mouvement via un champ magnetique applique. Dans ce cas, la force magnetique dansle vide qui agit sur le fluide s’ecrit en fonction du champ magnetiqueH

fm = µ0H∇·H, = ∇·Tm Tm = µ0HH − 12 µ0H

2I (1.26)

ou µ0 est la permeabilite magnetique du vide.

⊕


1.6 Equations d’etat

Si les equations constitutives permettent effectivement de caracteriser les proprietes phy-siques du fluide et lient les differents flux et sources aux variables d’etat elles-memes, cesequations ne sont pas en nombre suffisant pour fermer le systeme d’equations. Il y a plusd’inconnues que d’equations et il faut completer le systeme par lesequations d’etat qui relientles variables d’etat entre-elles

ρ = ρ(e, s, p, ...) (1.27)

L’ equation d’etat pour un gaz parfait relie par exemple la pression, la densite et la temperatureselonp = ρRT .

Nous reviendrons auxequations d’etat dans le cadre des fluides geophysiques reels.

1.7 Exercices

1.7.1 Volume de controle en mouvement [TD]

Etablir les lois de conservation pour un volume de controle en mouvementa une vitessevV . Distinguer la vitesse du fluidev et la vitessevV a laquelle bouge le volume de controle, etdefinir

D

Dt=

∂

∂t+ v·∇ (1.28)

d

dt=

∂

∂t+ vV ·∇ (1.29)

Le volume se deplacea une vitessevV et la derivee ddt

designe la derivee quand on sedeplacea la vitessevV . SivV = v, alors on suit une particule fluide et on obtient une approchelagrangienne.

Demontrer le theoreme de Reynolds

d

dt

∫

V(t)

F (x, t) dV =

∫

V∂F

∂tdV +

∫

SF (x, t)n·vV dS (1.30)

Pour la demonstration du theoreme de Reynolds, on utilise

d

dt(dV) = ∇·vV dV (1.31)

dont on essaiera de donner une interpretation.Note: si le volume ne bouge pasa la vitesse du fluide, il y a lieu de tenir compte des flux

advectifsa travers le volume (faire apparaıtrevV − v).

1.7.2 Energie potentielle [N]

Soit un lac allonge de longueurLx, de largeurLy et de profondeur constanteh. On sup-pose que l’eau du lac est de densite constante et qu’un vent a souffle pendant un certain tempsaboutissanta creer une surelevation du niveau d’eau de hauteurd a l’extremite x = Lx du

1.7. EXERCICES 23

bassin. Si l’on suppose que l’on peut approximer la forme de la surface libre par un plan inclinedans la directionx, calculez l’augmentation de l’energie potentielle par rapporta la situation derepos initiale ou l’ elevationetait nulle partout. On suppose que la quantite d’eau aete conservee.

Chiffrez le resultat pourρ = 1000 kg/m3, Lx = 15 km, Ly = 2 km, h = 50 m d = 30 cm etestimez le temps qu’il faudraita une centrale nucleaire pour fournir cetteenergie.

1.7.3 Production d’energie interne [N]

Demontrer que, pour un fluide newtonien, la production d’energie interne par friction vaut

Tv:∇v = 2ρνD:D

ou D est le tenseur de deformation.

Bibliographie

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[2] G.K. Batchelor.An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press, 1967.

[3] E. Delhez and J.C.J. Nihoul.Mecanique Rationnelle - Modele mathematique de Newton.Etienne Rigaediteur, 1996.

[4] L. Landau and E. Lifschitz.Fluid Mechanics. Pergamon Press, 1959. 536p.

[5] R.E. Rosensweig.Ferrohydrodynamics. Dover publications, 1997.

[6] D. Tritton. Physical fluid dynamics. Oxford Science Publications, 1988. second edition,520p.

25

26 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 2

Fluides non-homogenes

27

28 CHAPITRE 2. FLUIDES NON-HOMOGENES

Dans le chapitre precedent, nous avions resume les fondements de la mecanique des flui-des sans specifier la nature ou la composition du fluide. Or, il est bien clair que les fluidesgeophysiques ne sont nullement des fluides purs mais sont composes de differents constituants.De ce fait, le fluide doitetre considere comme non-homogene si la composition du fluide n’estpas constante. Nous allons donc examiner comment nous devons adapter les formulations clas-siques de la mecanique des fluides au cas ou le fluide n’est pas homogene mais est un melange.

2.1 Constituants et melanges

Afin d’introduire la notion d’un fluide compose (figure2.1), nous consideronsn constitu-ants reperes par l’indicea ∈ [1, n]. Chaque constituanta peutetre quantifie en indiquant sonpoids par unite de volume du melange. A l’echelle moleculaire, cela reviendraita definir ladensite1 du composanta par

ρa =

∑i mi

δV

ou comme precedemment, la somme porte sur toute les molecules ou particules (de massemi)du composant en question du volumeδV .

En plus deρa qui est la densite du constituanta ( kg par unite de volume du melange), nouspouvonsegalement calculer une quantite de mouvement associe au constituant

ρava =

∑i miwi

δV

Il est alors naturel de definir

• la masse par unite de volume du fluide

ρ =∑

ρa (2.1)

• la quantite de mouvement (par unite de volume) du fluide

ρv =∑

ρava (2.2)

• la concentration du composant

ca =ρa

ρ(2.3)

puisque les deux premieres definitions sont coherentes avec la definition habituelle de la massevolumique et de la quantite de mouvement d’un ensemble de particules de masses differentes.

Quanta la concentrationca, elle mesure donc le poids du composant en question par rapportau poids du melange dans un volume du melange donne.

1Il s’agit de la densite du composantpar unite de melangeet non de la masse/unite de volume du seul com-posant.

2.1. CONSTITUANTS ET MELANGES 29

...................................................................................................................................

I

Y

Y

9

6

¸¸ Á

µµµ

7 ¸

µ

-

µ

*

-

?1

MY

¾

6

Figure 2.1 : Volume ”infinitesimal” sur lequel on definit les variables macroscopiques du melange.


Avec les definitions (2.1) et (2.3), il est clair que

∑ca = 1

Si le composant designe para = 1 est l’eau pure contenue dans l’eau de mer (ou la combi-naison azote/oxygene (de rapport fixe), dominant dans l’air), il est clair quec1 ∼ 1, puisque lesautreselements trouves dans l’eau de mer ou l’atmosphere sont relativement dilues.

Nous pouvons deja constater que si deux (ou plusieurs) constituants sont toujours presentsdans le meme rapport, une seule variable d’etat suffit pour definir l’ etat du systeme puisque laconnaissance d’une des deux permet le calcul de l’autre. Il va aussi de soi que si la compositionest la meme partout dans le fluide (fluide homogene), il n’est pas necessaire de distinguer lesdiff erents constituants.

2.2 Conservation de la masse

2.2.1 Conservation d’un constituant

Comme nous sommes en presence de melange de constituants, nous devonsa priori ac-cepter l’idee que certains des composants reagissent entre-eux. En d’autres termes, pour chaquecomposant, il peut y avoir creation ou destruction locale, designe ici parQa. Dans ce cas, la”conservation” du constituant est obtenue via le bilan suivant (ρa = ρca)

∂

∂t

∫

VρcadV =

∫

VρQadV −

∫

Sρcava

·ndS (2.4)

ou Qa designe le taux de production (destruction, lorsqu’il est negatif) du constituanta parunite de massedu melangeet ou n est le vecteur unitaire selon la normalea S (pointant versl’exterieur). Notons que le bilan pour le constituanta fait intervenir l’advection par la vitessedu constituantva, puisque c’esta cette vitesse que le composanta se deplace, et non la vitessedu melangev. Sous sa forme locale, elle s’ecrit

∂ρca

∂t+ ∇· (ρcava) = ρQa (2.5)

En general, nous sommes moins interesses par l’advection individuelle de chaque com-posant que par l’ecoulement du melange. D’ailleurs, si nous voulionsetudier la dynamique dechaque composant, nous devrions utiliser la loi de Newton pour chaque composant, interactionsentre les composants inclues. Ceci est necessaire quand onetudie desecoulement bi-phasiquesdans certains reacteurs, mais dans le cadre des fluides geophysiques, nous avons souvent unmelange dont la vitesse est peu differente des vitesses individuelles des composants. Nous pou-vons alors decomposer la vitesse du composant en la vitesse du melange et unecart par rapporta celle-ci. Cetecart est en realite du aux forces qui agissent sur le composant, mais commenous n’allons pasetudier la dynamique du composant, nous devonsa priori connaıtre l’effet decesecarts de vitesse par rapporta l’ecoulement du melange (figure2.2). Cetecart est de deuxnatures.

2.2. CONSERVATION DE LA MASSE 31

S

V

ρcama

da

ρcav

Qa

Figure 2.2 : Bilan de masse d’un constituanta sur un volume fixeV. La variation de la masse est dueaux sources internesQa et a l’export/importa travers la surfaceS du a l’advectionv dumelange, la migrationma du constituant par rapport au melange et la diffusionda.

• D’une part, le composant peutetre soumis systematiquementa une force differente dumelange. C’est, par exemple, le cas d’un composant constitue de sediments dont lesparticules solides sont soumisesa la gravite. Dans ce cas, cette force peut engendrerun mouvement ordonne du composant par rapport au melange et nous regroupons cemouvement dans ce que l’on appelle la vitesse de migration oude sedimentation.

• D’autre part,a cote de ce mouvement systematique, il peut y avoir des fluctuations devitesses du composant relativement aleatoires dont l’effet est analoguea une diffusion.

La decomposition de la vitesse du composant est alorsecrite de la facon suivante

ρcava = ρcav + ρcama + da (2.6)

ou ma designe la vitesse de migration etda le flux de diffusion.A l’aide de cette decomposition, nous pouvons reformuler la loi de conservation d’un cons-

tituant en fonction de l’advection du melange (que l’on tentera ensuite de predire via une loi deNewton pour le melange)

∂ρca

∂t+ ∇· (ρcav) = ρQa − ∇· (ρcama) − ∇·da (2.7)

2.2.2 Conservation de la masse totale

Si l’on accepte que certains composants disparaissent ou apparaissent localement, il va desoi que la quantite de matiere totale ne peutetre modifiee que par advection. Autrement dit, ilfaut que la somme des termes de production/destruction soitnulle pour que tout ce qui est detruit


d’un constituant apparaisse comme production d’autres composants. Nous pouvons exploitercette propriete pour aboutira une loi de conservation de la masse du melange. En effet, sous laforme originale, la ”conservation” d’un constituant s’ecrit

∂ρa

∂t+ ∇· (ρava) − ρQa = 0 (2.8)

En additionnant sur tous les constituants et en tenant compte du fait que∑

Qa = 0 (2.9)

nous aboutissonsa la loi escomptee

∂ρ

∂t+ ∇· (ρv) = 0 (2.10)

Nous constatons qu’elle a la meme forme que (1.3), mais que la densite du melange peutetremodifiee selon la composition locale du melange.

2.3 Loi de Newton

Comme nous venons de l’evoquer, il n’est pas toujours utile de detailler la loi dynamiquede Newton pour chaque constituant, et pour les fluides geophysiques, c’est le mouvement dumelange qui nous interesse car il resume bien l’advection des composants. Nous allons doncdirectementetablir la loi de Newton pour le melange. Dans ce cas, les forces internes entre lescomposantsa l’interieur du volume de controle se compensent mutuellement et leur interactiondynamique interviendra via les forces de surface, c’est-a-dire, finalement,a travers lesequationsconstitutives. Nousecrivons donc la loi de Newton classique des fluides

∂

∂t(ρv) + ∇· (ρvv) = ρf + ∇·Tv (2.11)

et pour un fluide geophysique (voir section 3.2), qui est rapporte a des axes en rotation (devecteur rotationΩ), la somme des forces appliquees au melange est donnee par

ρf = −∇p − 2ρΩΛv + ρg (2.12)

ou p est la pression. Les forces astronomiques, comme les forcesde marees, derivent d’unpotentiel et on peut, si on le souhaite, considerer qu’elles sont implicitement contenues dansp.

2.4 Energie interne, travail mecanique et entropie

Tout comme pour la quantite de mouvement, nous pouvonsetablir un bilan d’energie pourle melange. L’approche est identiquea celle utilisee precedemment (chapitre 1). L’equationpour l’energie interneedevient ainsi

∂

∂t(ρe) + ∇·(vρe) = −∇·q − p∇·v + Tv:∇v + ρQe (2.13)

ou


• Tv est le tenseur de tensions visqueuses par unite de masse du melange

• Qe la chaleur produite par les reactions chimiques internes et

• q le flux de chaleur pouvanteventuellement inclure l’effet de radiation.

Quanta l’entropies du melange, sa loi d’evolution est

∂

∂t(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs − ∇·ds (2.14)

ou Qs represente le taux de production (destruction) d’entropie (parunite de masse) etds leflux moleculaire d’entropie. Ici aussi, la production d’entropie est duea la chaleur apportee (ouexportee) par radiation eta l’ensemble des transformations irreversibles se produisant au seindu fluide, incluant le melange par diffusion moleculaire des differents constituants.

2.5 Lois constitutives

De la meme facon que pour un fluide homogene, nous devons completer la description dusysteme non-homogene par lesequations constitutives qui permettent de calculer les fluxdechaleur, les tensions visqueuses etc ... en fonction des variables d’etat. De facon generale etd’apres la thermodynamique generale, les flux sont une combinaison lineaire des affinites etdans les cas les plus simples et isotropes, nous retrouvons les lois classiques

• la loi de Fick de diffusion d’un constituanta

da = −ρλa∇ca (2.15)

• la loi de Fourier pour le flux de chaleur

q = −ρcpλT∇T (2.16)

• la loi de Stokes pour les fluides newtoniens

Tv = −ρν(∇v + (∇v)T − 2

3 ∇·v I

)(2.17)

cp etant la chaleur specifiquea pression constante ,T la temperature,λT le coefficient dediffusion de la temperature (enm2/s) etλa le coefficient de diffusion du constituanta (enm2/s).

2.6 Equations d’etat

Ce qui differencie les fluides geophysiques des fluides homogenes au niveau des proprietesphysiques, c’est la presence de differents composants dans le melange, ce qui se ressentiraegalement sur l’equation d’etat. Il semblerait en effetevident qu’un fluide qui contiendraitacertains endroits un composant tres lourd voit la densite du melange augmenteea cet endroit.


2.6.1 Melange

L’ equation d’etat du melange reliera donc la densite du fluide aux autres variables d’etatthermodynamiques comme, par exemple, la pressionp, l’entropies et les concentrations descomposantsρ = ρ(p, s, cα) .

Ici, cα designe l’ensemble des concentrations de tous les constituants moins une, puisqueseulesn − 1 des variablesca sont independants en vue de (2.1).

Si l’entropie est choisie comme variable d’etat, la temperature (que l’on mesure en pratique)doit etre donnee par une loi la reliant aux variables d’etat

T = T (p, s, ca). (2.18)

Cette derniere est souvent donnee : - soit sous une forme differentielle

dT =

(∂T

∂p

)

s,ca

dp +

(∂T

∂s

)

p,ca

ds +∑

a

(∂T

∂ca

)

p,s,c 6adca, (2.19)

- soit sous la forme plus classique

cpdT =αT

ρdp + Tds − T

∑

a

sadca, (2.20)

ou nous avons defini des parametres thermodynamiques usuels

•α ≡ −1

ρ

(∂ρ

∂T

)

p,ca

= −ρ

(∂s

∂p

)

T,ca

(2.21)

est le coefficient d’expansion thermique

• cp est la capacite thermiquea pression et composition constantes

cp ≡ T

(∂s

∂T

)

p,ca

=

(∂e∂T

)

p,ca

+ p

(∂v

∂T

)

p,ca

(2.22)

• et ou

sa ≡ ∂s

∂ca− ∂s

∂cn. (2.23)

(cn etant la variableeliminee en vertu de∑

ca = 1).

2.6.2 Fluides geophysiques

Pour chaque fluide geophysique que l’on souhaiteetudier, il faudra donc specifier l’equationd’etat et les parametres thermodynamiques. Ainsi l’equation d’etat d’une eau de lac chargee enminerais de rivieres sera differente de l’equation d’etat de l’eau de mer, de meme que l’equationd’etat de l’enveloppe gazeuse de Venus sera differente de celle de l’atmosphere terrestre. Nousallons dans la suite presenter,a titre illustratif, l’equation d’etat de l’eau de mer et de l’airatmospherique.

2.6. EQUATIONS D’ETAT 35

a0 = 999.842594 a1 = 6.7939520 10−2

a2 = −9.0952900 10−3 a3 = 1.0016850 10−4

a4 = −1.1200830 10−6 a5 = 6.5363320 10−9

b0 = 8.2449300 10−1 b1 = −4.0899000 10−3

b2 = 7.6438000 10−5 b3 = −8.2467000 10−7

b4 = 5.3875000 10−9 c0 = −5.7246600 10−3

c1 = 1.0227000 10−4 c2 = −1.6546000 10−6

d0 = 4.8314000 10−4

Tableau 2.1 : Coefficients de l’equation d’etat de l’eau de mer.

Eau de mer

Dans l’ocean, les differents sels dissous se rencontrent quasiment toujours dansles memesproportions (table 2.2) et on peut ainsi les regrouper en uneseule variable d’etat: la salinite S,puisque la connaissance d’une seule concentration de ses sels mineraux permet le calcul desautres via le rapport constant de la composition de l’eau de mer. Sans entrer dans les details dela definition exacte de la salinite et de la facon de la mesurer, nous pouvons donc utiliser uneequation d’etat du type2

ρ = ρT (T, S, p). (2.24)

Les mesures indiquent que l’on peut raisonnablement bien representer l’effet de la pression (enrealite, la surpression par rapporta la pression atmospherique) enecrivant l’equation d’etat dela facon suivante

ρT (T, S, p) =ρT (T, S, 0)

1 − p/K(T, S, p)(2.25)

ou ρ(T, S) etK(T, S, p) sont des fonctions polynomiales enT , et√

S

ρT (T, S, 0) = a0 + a1T + a2T2 + a3T

3 + a4T4 + a5T

5

+S(b0 + b1T + b2T

2 + b3T3 + b4T

4)

+S3/2(c0 + c1T + c2T

2)

+ S2d0

(2.26)

Nous donnons,a titre illustratif, les coefficients de l’eau de mer selon l’equation d’etat del’UNESCO (table 2.1) en unites MKS des temperatures enC et la salinite en0/00.

Quelques valeurs typiques sont

• ρ(5, 0, 0) = 999.96675 kg/m3

• ρ(5, 35, 0) = 1027.6755 kg/m3

Il est bien clair que c’est cetteequation d’etat qui est utilisee pour l’utilisation de donneesreelles ou la modelisation, mais en ce qui concerne desetudes theoriques, dont le but est de met-tre enevidence des mecanismes plutot que de calculer exactement une valeur, une linearisation

2 Comme nous mesurons la temperature, en pratique uneequation d’etat formulee directement en fonction dela temperature en lieu et en place de l’entropie est preferee.


Ion Pourcentage en poids de tous les sels dissousCl− 55.04Na+ 30.61SO−−

4 7.68Mg++ 3.69Ca++ 1.16K+ 1.10

Tableau 2.2 : Composition de l’eau de mer.

de cetteequation d’etat autour d’une situation de reference est souvent preferee. Ainsi, les effetsde compressibilite sont relativement faibles et lesecarts de temperature et de salinite pour unbassin oceanique donne restent generalement dans une plage restreinte de valeurs. Dans ce cas,la linearisation autour d’unetat de referencea pression atmospheriquep = 0, de temperatureT0 et de saliniteS0 , s’ecrit

ρ = ρ0 (1 − α(T − T0) + β(S − S0)) (2.27)

avec comme valeurs typiques

• α =∼ 1.7 10−4 (C)−1

• β =∼ 7.6 10−4

Nous constatons qu’uneelevation de temperature donne lieua une diminution3 de la densitealors que l’ajout de sels l’augmente.

Notons que comme la densite ne varie pas beaucoup par rapporta une valeur typique de1000 kg/m3, on utilise souvent la variableσt pour caracteriser la densite de l’eau de mer

σt = ρ − 1000 (2.28)

Atmosphere

Contrairementa l’eau de mer qui est peu compressible, l’air, qui est un gaz,peutetre com-prime et par la meme occasion, rechauffe. Sonequation d’etat est donc semblablea celle d’ungaz parfait et sonetat thermodynamique dependra clairement de la pression. En dehors d’unesituation dans laquelle un changement de phase a lieu (condensation et creation de nuages, parexemple), l’utilisation d’uneequation d’etat d’un gaz parfait peut se justifier pour lesetudestheoriques

p = ρRT (2.29)

alors que l’energie interne est donnee par

e = cvT (2.30)

3 Nous excluons ici la plage de temperature rencontree lors de la formation des glaces et de la temperature dumaximum de densite.

2.6. EQUATIONS D’ETAT 37

ou cv est la capacite thermiquea volume et composition constantes (cp − cv = R). Si nousdeplacons une parcelle fluide de facon adiabatique, nous savons aussi que dans l’approximationd’un gaz parfait, la quantite

pρ−γ (2.31)

reste constante avecγ = cp

cv.

2.6.3 Temperature potentielle

Le fait que la compression modifie la temperature de l’air (et dans une moindre mesure, del’eau de mer) rendra difficile la comparaison de la densite de parcelles de fluides soumisesades pressions differentes quand on mesure leur temperature. En effet, si on ramenait les deuxparcelles d’air que l’on souhaiterait comparera la meme pression, leur temperature respectiveserait modifiee ainsi que leur densite. Pour comparer la densite de parcelles d’air ou d’eausoumisesa des pressions differentes, nous allons introduire la notion de temperature potentiellerepresentative de l’entropie.

Nous partons de l’equation de Gibbs

de = Tds − pdv +∑

a

µadca (2.32)

ou v = ρ−1 etµa = − 1T

∂s∂ca est le potentiel chimique du constituanta. Le long d’une trajectoire,

cetteequation permet d’ecrire que

DeDt

= TDs

Dt− p

ρ∇·v +

∑

a

µaDca

Dt, (2.33)

ce qui fournit,a l’aide de l’equation differentielle d’etat (2.20),

DeDt

= cpDT

Dt− αT

ρ

Dp

Dt+ T

∑

a

saDca

Dt− p

ρ∇·v +

∑

a

µaDca

Dt, (2.34)

en utilisant finalement l’equation pour l’energie interne (2.13), nous obtenons l’equation d’evolutionpour la temperature

cpDT

Dt− αT

ρ

Dp

Dt= Qe − 1

ρ∇·q +

1

ρTv:∇v. (2.35)

Nous constatons que la temperature est modifiee par le travail des forces visqueuses, la con-duction (ce compris la radiation, si necessaire) et de la compression. Comme le travail desforces visqueuses est generalement negligeable, seules la radiation, conduction et la compres-sion doiventetre retenues

DT

Dt− αT

ρcp

Dp

Dt= − 1

ρcp

∇·q +Qe

cp

. (2.36)

L’ equation indique qu’effectivement, si l’on deplace une masse d’eau de facon adiabatique(pas d’echange de matiere et de chaleur avec son environnement :Qe = 0, q = 0, Tv:∇v = 0),


elle sera plus chaude si on l’amene vers des zones plus profondes. Ceci est du a une faiblecompressibilite de l’eau oua la compressibilite de l’air.

Nous pouvons alors introduire la notion de temperature potentielleθ: par definition, c’estla temperature que l’eau (ou l’air) aurait si on l’amenait de son niveau de pression donne a unepression de reference de facon adiabatique. Cette temperature potentielle est donc ”conservee”si on deplace une parcelle fluide de facon adiabatique pour laquelle DT

Dt− αT

ρcp

DpDt

= 0 lors decette transformation.

Pour un gaz parfait, la temperature potentielle par rapporta une pression de referencep0 estainsi

θ = T

(p

p0

) (1−γ)γ

(2.37)

Afin de montrer l’interet du concept de temperature potentielle, imaginons unetat de referen-ce (indice0) qui est caracterise par une situation de repos, de composition homogene, sansechanges de chaleur et une entropie uniforme. Dans ce cas, cet etat de reference satisfait

dp0

dz= −ρ0g (2.38)

et le systeme adiabatiquedθ = 0 est caracterise par (2.20)(

∂T0

∂z

)

θ,ca

= −αT0g

cp

= −Γ (2.39)

Γ est appele le gradient adiabatique de temperature

• Pour l’airαT0 ∼ 1 etΓ = O(10−2 Cm−1)

• Pour l’eau de merΓ = O(10−4 Cm−1)

Ces gradients sont donc les gradients de temperature pour unetat de reference isentropique, decomposition homogene et au repos. D’autre part, si nous deplacons une parcelle fluide de faconadiabatique dans le champ de pressionp0(z), la variation de temperature est simplement celleduea ce gradient adiabatique de temperatureΓ. Nous retrouvons l’estimation des trekkeurs quievaluenta 1C la diminution de temperature quand on monte de 100 metres en montagne.

2.7 Notion de turbulence et adaptation des lois constitutives

Nous allons voir dans la suite (chapitre 8) que lesequationsetablies jusqu’a present decriventtous les processus, ce compris les fluctuations rapides et erratiques duesa la turbulence. Commedans la suite nous sommes souvent interesses par des processusa plus grandeechelle seule-ment, nous devons tenir compte de l’effet de ces fluctuationssur lesecoulementsa plus grandeechelle. Pour l’instant, nous nous bornonsa indiquer que ces fluctuations (tout comme lesfluctuations moleculaires sonta la base de la diffusion moleculaire) entraınent un melange sem-blable au melange du a la diffusion moleculaire, mais sensiblement plus efficace. L’efficacite dece melange turbulent dependra en realite des conditions de l’ecoulementa grandeechelle, maispour l’instant, nous pouvons supposer que l’effet de la turbulence se resumea un remplacement

2.8. ENERGIES 39

des coefficients de diffusion moleculaire par des coefficients dits de diffusion turbulente.Sansprecisions sur le niveau de turbulence, on ne peut donner une valeur a ces coefficients maisseulement une idee sur l’ordre de grandeur. Du point de vue pratique, il suffira pour l’instantde modifier lesequations constitutives en y, remplacant les coefficientsde diffusionsλ et deviscositeν par leursequivalents turbulentsλ et ν.

2.8 Energies

Nous pouvons introduirea ce stade les notions d’energie cinetique et potentielle d’un melange.Comme nous avons caracterise le melange pour une masse volumiqueρ et une vitesse d’advectionv, nous definissons tout naturellement lesenergies suivantes pour un bassin (figure2.3) a sur-face libre:

2.8.1 Energie cinetique

De meme, nous pouvons calculer l’energie cinetique:

KE = 12

∫

Vρ ‖v‖2 dV (2.40)

2.8.2 Energie potentielle

PE=

∫

Vρgz dV (2.41)

ou le volumeV est delimite en surface par la positionη de la surface libre.

ez

ex

h

η

Figure 2.3 : Distribution de densite dans une section verticale pour le calcul d’uneenergie potentielle.

2.9 Exercices

2.9.1 Modelisation [N]

En observant la flamme d’un bruleur (figure2.4), imaginer quels ”ingredients” un modeledecrivant ce processus devrait contenir et quels effets sontprobablement negligeables.

En particulier comment interviendraient les facteurs suivants:


Figure 2.4 : Tete d’un bruleur de methane.

• Composants chimiques

• Thermodynamique

• Inertie

• Gravite

• Coriolis

2.9.2 Diffusion de sel [F]

On considere que l’ocean peutetre represente par une masse d’eau au repos, homogenehorizontalement, dont la salinite initiale est donnee par

S = S0 − ∆S cos(π

z

H

)(2.42)

et qu’il n’y a pas de diffusion de sela travers le sol et la surface.Quel signe devrait avoir∆S si la temperature est uniforme?Calculer comment le sel est diffuse verticalement dans un systeme au repos, si le coefficient

de diffusion moleculaire estλS.Combien de temps faut-il pour que la difference de salinite ∆S entre la surface et le fond

soit reduite de moitie?Chiffrer pourH = 1000 m, λS = 10−9 m2/sEst-ce un modele realiste pour l’evolution de la salinite dans les oceans?Suggestion:Chercher une solution du typeS = a(t) cos

(π z

H

)

2.9.3 Equation d’etat [F]

Soient deux bassins au repos, de meme profondeur (1000 m) et de meme niveau d’eau,separes par un detroit ferme. Le bassin 1 possede une salinite nulle (du type lac) et unetemperature de 15C.

L’autre bassin est de temperature constante de 20C , mais sa salinite vaut 37.Lors d’un tremblement de terre, le detroit s’ouvre sur une hauteur de100 m. Quelle est la

diff erence de pression dans le detroit entre les deux bassins a) en surface b) sur le seuil? Aquelle hauteur d’une colonne d’eau pure correspond cette diff erence de pression?

Decrivez sans calculs ce qui se passera apres l’ouverture du detroit.

2.9. EXERCICES 41

ρ1

ρ2

6

ez 6

?6

?

6

h

h

-¾L

Figure 2.5 : Section verticalea travers un bassin carre stratifie.

Note: pour le calcul de la densite, on negligera l’effet de pression sur la densite et on peututiliser

http://gaea.es.flinders.edu.au/˜mattom/Utilities/density.html


Comment doit-on calculer l’energie potentielle d’un fluide contenu dans un bassin donne etdont la densite n’est pas constante?

Quelle est la valeur de l’energie potentielle (par rapport au niveau de referencez = 0) dansle cas de la figure d’un bassin carre (figure2.5) ou dans chaque couche, la densite est constanteet ou les gradients horizontaux sont nuls?

Dans ce dernier cas, analyser si le fait de melanger de l’eau qui est stratifiee (de l’eau pluslourde en-dessous de l’eau plus legereρ1 < ρ2 ) augmente ou diminue l’energie potentielle.

Suggestion:Calculer l’energie potentielle en ajoutant les contributions individuelles desmasses d’eau de densiteρ(x, t)

2.9.5 Sedimentation [N]

Comment pourrait-t-onevaluer la vitesse de sedimentation d’un traceur constitue de parti-cules spheriques de densiteρs de rayonr en supposant que les particules sedimentent de faconlente par rapport au fluide en mouvement (ecoulement de Stokes)?

Comment pourrait-t-on modifier l’equation d’etat de l’eau de mer pour tenir compte de cetraceur en supposant qu’il ne modifie pas la structure moleculaire du melange mais remplaceseulement le melange d’eau ?

Est-ce que l’utilisation d’une vitesse de migration pourrait etre justifiee si la concentrationdu traceur devient comparable au contenu en eau ?

http://gaea.es.flinders.edu.au/~mattom/Utilities/density.html


2.9.6 Temperature potentielle d’un gaz parfait [N]

Demontrer (2.37) pour un gaz parfait.

Bibliographie

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[2] C. Crowe, M. Sommerfeld, and Y. Tsuji.Multiphase flows with droplets and particles.CRC press, Boca Raton, Florida, 1998.

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[5] J.C.J. Nihoul.Modeles mathematiques et Dynamique de l’environnement. e. t. a. b.e. t. y.p. Liege, 1977.

[6] J.C.J. Nihoul. Introduction a l’ etude de la turbulence et la modelisation des fluidesgeophysiques. Modelenvironment, 1997.


[8] The open University course team.Seawater, its composition, properties and behaviour.Butterworth-Heinemann, 1997. 168p.

43

44 BIBLIOGRAPHIE

46 CHAPITRE 3. APPROXIMATION DES FLUIDES GEOPHYSIQUES

Chapitre 3

Approximation des fluides geophysiques

3.1. PARTICULARITES DE L’ATMOSPHERE ET DES OCEANS 47

Jusqu’a present, nous avons modifie lesequations de base de la mecanique des fluides poury inclure la possibilite de decrire des fluides non-homogenes tels que les fluides geophysiques.Nous avonsegalement introduit les proprietes physiques de l’eau de mer et de l’aira traversdesequations constitutives et d’etat, mais nous n’avons encore en rien analyse les particularitesdynamiques des fluides geophysiques.

3.1 Particularit es de l’atmosphere et des oceans

En effet, a la difference de la mecanique des fluides rencontres en laboratoire ou en in-dustrie, nous pouvons relever un certain nombre de particularites qui auront une influence surla description des fluides geophysiques. D’une part, il y les aspects liesa la dynamique elle-meme (et qui font l’objet de ce cours) et d’autre part, les problemes de l’approche scientifiqueclassique,a savoir la repetition d’experiences controlees pour verifier des theories.

En ce qui concerne les problemes du controle sur les experiences, il est bien clair quenous ne pouvons modifier de facon controlee l’evolution desecoulements geophysiques. Ilestegalement difficile de repeter les experiences ou d’isoler le systeme. Si ces problemes nesont pas de naturea interdire toute modelisation du systeme, elles auront cependant des im-plications pratiques non negligeables, notamment en ce qui concerne la validation, calibrationet initialisation des modeles (que ce soient des modeles analytiques semblablesa celles de cecours ou des versions numeriques plus complexes). Ce probleme est rendu encore plus crucialdans la mesure ou les donnees d’observations sont relativement rares, dispersees dans le tempset l’espace et difficilesa obtenir. Nous n’aborderons pas ces problemes dans le cadre de ce courset nous nous limiteronsa aborder les problemes de modelisation mathematique de la mecaniquedes fluides geophysiques.

En effet, la modelisation desecoulements geophysiques doit tenir compte des particularitesde la dynamique observee; parmi celles-ci, nous pouvons deja evoquer l’influence de la rotationde la terre que nous pourrons inclure facilementa l’aide du concept de la force de Coriolis.D’autres aspects vont avoir des influences plus subtiles. Ainsi, lesecoulementsa la surface dela terre ont lieu dans une couche superficielle tres fine par rapporta l’etendue horizontale desoceans. Ce faible rapport d’aspect aura une influence sur le typede mouvements observes etles forces dominantes de l’ecoulement. De meme, la presence de stratifications (des variationsde densite a travers l’ecoulement et en particulier, sur la direction verticale) vont engendrerdes mecanismes de propagation particuliers. Ajoutonsa cela que les fluides geophysiques sontcontraints par la presence de frontieres complexes (que ce soient des cotes, montagnes ou fondsmarins complexes) et nous entrevoyons deja les adaptationsa fournir aux modeles classiquesde la mecanique des fluides.

Finalement, pour mieux guider lesetudes theoriques qui suivront, nous pouvons faire l’in-ventaire des mouvements observes avec leursechelles spatiales et temporelles typiques. Ainsi,pour le systeme marin, nous observons (figure3.1) un large spectre de mouvements, chacuncaracterise par uneechelle spatiale particuliere et un temps caracteristique. De facon generale,plus le mouvement est de petiteechelle, plus il est rapide. Nous verrons dans la suite que lesdiff erents mouvements indiques se differencient par les forces dominantes qui interviennent etle mecanisme de propagation ou de mouvement. C’est l’etude de ces mecanismes qui constituele sujet principal de ce cours.


100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

marees

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

melange

accoustiques

temps caracteristique (s)

longueurcaracteristique

(m)

micro

turbulence

1 seconde 1 minute 1 heure 1 an1 jour

tourbillons

geostrophiques

fronts

circulation

circulation

thermo-haline

houle

tempetes

[35]

Figure 3.1 : Mouvements observes dans l’ocean et fenetres spectrales associees. Lesechelles des mou-vements des oceans vont de la microturbulence rapidea la circulation thermo-haline ob-serveea l’ echelle de la planete avec des temps de parcours d’un millier d’annees.

Notons que nous observons un large spectre de mouvementegalement dans l’atmosphere(figure 3.2), mais que dans ce cas, les mouvements ont desechelles spatiales plus grandes etsont plus rapides. Ceci est notamment du a l’absence de frontieres laterales pour l’atmosphere,alors que l’ocean voit ses mouvement contraints.

Parmi les differences entre les mouvements oceaniques et atmospheriques, nous pouvonsegalement mentionner la difference de capacites de stockage d’energie thermique des deuxsystemes, conduisant au fait que l’ocean (qui possede une capacite nettement pluselevee) estplus inerte.

Alors que dans l’ocean, nous rencontrons des sels et des changements de phase eau-glacequi influenceront les mouvements, dans l’atmosphere, nous avonsa fairea de la vapeur d’eauet a des changements de phase liquide-gaz qui entrent en jeu.

Finalement, meme siin finela force motrice majeure des deux systemes est l’apport d’energiesolaire, les forcages directs agissent differemment: dans l’atmosphere, ce sont les flux radiatifsqui constituent le forcage exterieur, alors que pour l’ocean, ce sont les vents atmospheriques quile mettent en mouvement en plus des flux de chaleura la surface et les forces de marees.

Nous allons dans la suite identifier les modifications que nous devons apporter auxequationsavant d’entamer l’etude des differents types de mouvements.

3.2. SYSTEME D’AXES EN ROTATION, COUCHE MINCE 49

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

onde

s acco

ustiq

ues

planetaires

Ondes

Cyclones

Cluster de

nuages



(m)

micro

micro

turbulence

turbulence


Tempetes

orages

Cumulus

et convection

Turbulence

de la couche

limite

[35]

Figure 3.2 : Mouvements observes dans l’atmosphere et fenetres spectrales associees.

3.2 Systeme d’axes en rotation, couche mince

Comme nous l’avons indique et euegard aux temps caracteristiques tres grands, la rotationde la terre ne sera en general pas negligeable car le temps caracteristique associe (un jour) peutetre semblablea ceux des processusetudies.

3.2.1 Rotation

La prise en compte de la rotation de la terre est facilitee par l’utilisation d’un systeme d’axesli e a la terre (de toute facon, en tant qu’observateur, nous sommes concernes par le mouvementdes oceans par rapporta la terre). Dans ce cas, nous devons tenir compte du fait que ce systemed’axes n’est pas un systeme inertiel.

Si nous reperons la position d’un point par le vecteurr (figure3.5) et la position du systemed’axes liesa la terre parr0, nous pouvons facilementecrire lesequations dans un systeme enrotation uniforme (en supposant que le centre de la terre estfixe) en constatant que la deriveeabsolue d’un vecteur (dans un referentiel d’inertie, indiceabs) peutetre relie a la derivee relative


Figure 3.3 : Image satellitaire du Gulf Stream montrant l’effet de la rotation de la terre et des fronts dedensite.


µ

6Ω

µ

I

r

M7

λR

r0

Y

e3

Figure 3.4 : Referentiels sur un systeme en rotation.

(dans le referentiel en rotation, indicerel) et au produit vectoriel entre le vecteur de PoissonΩ

de la rotation et du vecteur en question [12]:

dabs

dt=

drel

dt+ ΩΛ (3.1)

Ainsi la vitesse relativevrel et absoluevabs d’un point de positionr sont relies par

vrel =drelr

dt(3.2)

vabs = vrel + ΩΛr (3.3)

et l’acceleration absolueaabs est lie a l’acceleration relativearel par

aabs = arel + 2ΩΛvrel + ΩΛ (ΩΛr) (3.4)


Pourecrire l’evolution dans le systeme d’axes relatif en rotation, il suffit d’introduire lesforces fictives de Coriolisfc

fc = −2ΩΛvrel (3.5)

et centrifuge1.fr = −ΩΛ (ΩΛr0) (3.6)

puisque la loi de Newton dans un systeme d’axes liesa la terre s’ecrit alors

ρDrelvrel

Dt= ρf + ρfc + ρfr (3.7)

ou f est la somme des forces reellement appliquees. Dans la suite, nous omettrons la notationrel et les derivees temporelles designeront toujours les derivees relatives.

3.2.2 Gravite apparente

Parmi les forces qui agissent au sein des fluides geophysiques, nous rencontrons bien en-tendu la gravitation.

Si nous imaginons une mesure de la force de gravite apparente sur un point immobilea lasurface de la terre, nous voyons immediatement que cette force apparente contient une com-posante lieea la force centrifuge de la rotation de la terre. En realite, la force duea l’attractiongravitationnelle proprement dite est differente et nous la notons parγ. C’est la gravitationmesuree en l’absence de rotation.

En premiere approximation, la terre spherique est symetrique etγ est dirige vers le centrede la terre;g ne varie que par la force centrifuge et n’est donc plus perpendiculairea la surfaced’un globe spherique. La presence d’une force laterale (par rapporta γ) fait en sorte que lasurface de la terre (que ce soit les oceans ou meme les terres) se deplace jusqu’au moment ou laforce apparenteg est perpendiculairea la surface du globe. C’est seulementa ce moment que laforce centrifuge ne possede plus de composante dans le plan tangenta la surface et en absenced’autres forces, qu’il n’y ait plus de raison de deplacements. La terre a donc pris une forme(appelee le geoıde) ou la gravite apparente est perpendiculairea cette surface. Dans ce cas, laforce qui intervient dans nosequations est la somme de la vraie gravite et de la force centrifuge

g = γ − ΩΛ (ΩΛr) ∼ γ − ΩΛ (ΩΛr0) (3.8)

Sans autres forces internes, la loi de Newton devient dans cecas

ρDv

Dt+ 2ΩΛv = ρg + ∇·T = ρg − ∇p + ∇·Tv (3.9)

et il suffit de considerer queg est dans la direction verticale locale avec en bonne approximation

g = γ − Ω2R cos2(λ), γ =GM

R2, G = 6.67 10−11 m3s−2kg−1 (3.10)

pour une planete de rayonR et de masseM .

1 On exploite deja le fait quer ∼ r0 puisque la profondeur des oceans et la hauteur de l’atmosphere sont faiblespar rapport au rayonR de la terre


6Ω

ª ®-

γ

g

λR

- −ΩΛ (ΩΛr)

Y

Figure 3.5 : Difference entre la gravite reelleγ et apparenteg duea la force centrifuge−ΩΛ (ΩΛr) .


Notons qu’a ce stade, nous pouvonsa nouveau considerer sans trop d’erreur que la terreest de geometrie spherique ou la gravite apparente est dirigee selon la normalea la surfacemais avec une intensite variable selon la latitude! Insistons encore une fois sur le fait quenous n’avons pas neglige la force centrifuge mais qu’elle est incorporee dans la definition de lagravite apparente mesuree localement et orientee selon une verticale locale.

3.3 Approximation de Boussinesq

Les mesures, que ce soit dans l’ocean ou l’atmosphere, indiquent que les variations de den-site sont relativement faibles par rapporta la valeur typique de la densite. Si nous decomposonsla densite en sa valeur type de referenceρ0 et les variationsρ′, nous allons pouvoir analyser lesordres de grandeurs associes aux variations de densite.

3.3.1 Conservation de la masse

Dans le cas de la conservation de la masse, nous pouvons detailler (2.10)

∂ρ

∂t+ ρ∇·v + v·∇ρ = 0

Comme nous avons separe la densite en sa valeur de reference constante et ses variations

ρ = ρ0 + ρ′

et que les variations sont faibles par rapport aux valeurs typiques de la densite

|ρ′| ¿ ρ0

nous pouvons estimer les ordres de grandeur des differents termes comme suit

∂ρ′

∂t︸︷︷︸+ (ρ0 + ρ′)∇·v︸︷︷︸ +v·∇ρ′

︸︷︷︸ = 0

U

Lρ′ ¿ ρ0

U

LÀ U

Lρ′

si L est uneechelle horizontale typique de variation etU une vitesse horizontale typique.Nous constatons que le terme central domine largement les autres et que nous pouvons, parconsequent, negliger ces autres termes pour aboutira

∇·v = 0 (3.11)

Les faibles variations de densite nous permettent donc de remplacer la loi de la conservationdela masse (2.10) par une condition d’incompressibilite. Notons que nous ne pouvons plus utiliserensuite l’equation de la conservation de la masse (2.10)et la condition d’incompressibilite(3.11)

∂ρ

∂t+ ρ∇·v=0 + v·∇ρ = 0 ⇒ ∂ρ

∂t+ v·∇ρ = 0

3.3. APPROXIMATION DE BOUSSINESQ 55

pour aboutira une nouvelleequation. (3.11) remplace (2.10) dans le cadre de l’approximationfaite et (2.10) ne peut plusetre utilisee dans ce cas.

Tout comme nous avons fait l’analyse de l’ordre de grandeur dans l’equation de la conser-vation de la masse, nous pouvons analyser des termes du type

L[ρF ] (3.12)

ouL est un operateur de derivation quelconque. On demontre alors aisement que

L[ρF ] ∼ ρL[F ] ∼ ρ0L[F ] (3.13)

a condition queF varie de facon significative sur desechelles semblablesa celles sur lesquellesvarie la densite.

3.3.2 Loi de Newton

Ici, les faibles variations deρ peuventegalementetre utiles pour simplifier l’equation dy-namique

ρDv

Dt+ 2ρΩΛv = −∇p + ρg + ∇·

ρν

(∇v + (∇v)T

)

en

Dv

Dt+ 2ΩΛv = − 1

ρ0

∇p +ρ

ρ0

g + ∇·(ν∇v)

soit

∂v

∂t+ ∇·(vv) + 2ΩΛv = − 1

ρ0

∇p +ρ

ρ0

g + ∇·(ν∇v) (3.14)

Notons que pour l’instant, nous n’avons pas remplace ρρ0

g parg. La raison mathematique estli ee au fait queg ne varie pas et que nous ne pouvons pas utiliser (3.13). Physiquement, nouspouvons constater que l’acceleration de la gravite est de plusieurs ordres de grandeurs plusimportantes que les accelerations observees. Dans ce cas, meme si les variations de densite sontfaibles, le fait de les multiplier par un terme qui depasse de loin les autres pourra donner lieuaune contribution non negligeable. En realite, le terme peutetre reecrit comme suit

ρg = ρ0g + (ρ − ρ0)g = ρ0g − ρ0b (3.15)

avec la definition de la poussee2

b = −ρ − ρ0

ρ0

g (3.16)

Ici, il est clair que|b| ¿ g. D’autre part, si nous definissons

q ≡ p

ρ0

+ gx3, (3.17)

2Il s’agit bien de la poussee d’Archimede (a un facteur multiplicatif pres) que la parcelle d’eau de densite ρsubirait dans un environnement de densiteρ0 .


1022 1025

-800

-600

-400

-200

ρ

z

0.01 0.02 0.03

-800

-600

-400

-200

b

z

-5 -3

-800

-600

-400

-200

log N2

z

Figure 3.6 : Profils typiques deρ, b et ∂b∂z = N2.

nous pouvons successivement reduire

ρ

ρ0

g − 1

ρ0

∇p =

− ρ

ρ0

ge3 −1

ρ0

∇p =

−ge3 + be3 −1

ρ0

∇ (ρ0q − ρ0gx3)

−ge3 + ge3 + be3 − ∇q = be3 − ∇q

= b − ∇q

(3.18)

Le terme de poussee aete defini de telle sorte que, selon la verticale, au lieu d’avoir deuxtermes dominants− 1

ρ0

∂p∂x3

,− ρρ0

g dans l’equation pour la vitesse verticalev3, on ait une pressiongeneraliseeq, caracteristique de l’ecarta l’equilibre hydrostatique, quantite petite par rapportachaque terme pris independamment. Ainsi, tous les termes de l’equation (3.14) projetee sur laverticale sont, a priori, du meme ordre de grandeur.

Pour illustrer ce propos, nous pouvons montrer un profil vertical de densite (figure3.6) ainsique la poussee correspondante. Si nous comparons ensuite le champ de pression associe (figure3.7), nous constatons qu’il n’est pas distinguable de la pression hydrostatique−ρ0gz de l’etatde reference alors que la pressionρ0q associee aux variations de densite est de plusieurs ordresde grandeur plus faible mais sera dynamiquement importante, alors que−ρ0gz ne l’est pas.

3.3.3 Autresequations de conservation

En ce qui concerne la conservation des traceurs, la loi de conservation d’un composant (2.7)et la loi constitutive de diffusion (2.15) peuventetre simplifieesegalement

∂ca

∂t+ ∇· (cav) = Qa − ∇· (cama) + ∇· (λa

∇ca) (3.19)

3.3. APPROXIMATION DE BOUSSINESQ 57

5000000 10000000

-800

-600

-400

-200PSfrag

p

z

-8000 -4000

-800

-600

-400

-200

ρ0q

z

5000000 10000000

-800

-600

-400

-200

−ρ0gz

z

Figure 3.7 : Profils dep, ρ0q et−ρ0gz associes .

De meme, pour la salinite S de l’eau de mer (l’augmentation de la salinite a lieu parevaporation et est inclue dans les conditions aux limites plutot que comme terme source), laloi de conservation peut se simplifier en

∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS

∇S)

(3.20)

alors que l’equation pour la temperature (2.36) devient, dans le cadre de cette approximation deBoussinesq

∂T

∂t+ ∇· (vT ) − αT

ρ0cp

Dp

Dt= ∇·

(λT

∇T)

+Qe

cp

(3.21)

3.3.4 Equation pour la densite

Pour lesetudes theoriques, il peutetre utile de combiner lesequations pour la temperatureet la salinite en une seuleequation. Pour cela, nous faisons les hypotheses suivantes:

• on neglige les sources de chaleur:Qe = 0

• on linearise l’ equation d’etat (2.27)

• on suppose que la diffusion de chaleur et de sels sont identiques (non moleculaires maisturbulents) (λT = λS)

• on neglige les effets de compressibilite.

Dans ce cas, la combinaison desequations des constituants (S) (3.20) et thermodynamiques (T )(3.21) fournit uneequation d’evolution pour la poussee

∂b

∂t+ ∇· (vb) = ∇·

(λT

∇b)

(3.22)

Malgre le lien direct avec la densitece n’est pasequivalenta la conservation de la masse, memesi on deduit formellement

∂ρ

∂t+ ∇· (vρ) = ∇·

(λT

∇ρ)

(3.23)


6

e3

ρ(z0)

z0

6

s ?

ρ(z0 + s)

F

Figure 3.8 : Deplacement vertical d’une masse d’eau de facon adiabatique dans unenvironnement stra-tifie non perturbe par le deplacement. Le gradient de couleur indique un gradient de den-site.

Nous utiliserons dans la suite regulierement (3.22) si nous souhaitons tenir compte des varia-tions de densite induites par une dynamiquea la place d’etudier lesevolutions de la temperatureet de la salinite combineesa l’utilisation d’uneequation d’etat.

3.3.5 Frequence de Brunt-Vaisala

La presence de masses d’eau ou d’air de densites differentes donne lieua la possibilited’existence de situations stratifiees ou un fluide plus leger se superposea un fluide plus dense,par exemple.

Cette stratification aura des consequences importantes. Une des consequences peutetreillustree de la facon suivante. Imaginons que nous ayons un fluide stratifie verticalement maisuniforme horizontalement (figure3.8). Si nous deplacons rapidement une parcelle d’eau (dedensite ρ(z0)) vers le haut et que nous considerons que cette masse n’echange pas de chaleurpendant ce deplacement, qu’elle n’est pas comprimee et que le fluide environnant n’est pasmodifie (densite ρ(z0 + s)), cette parcelle subira de la part du fluide environnant une poussee

3.4. APPROXIMATION HYDROSTATIQUE 59

d’Archimede. La force (par unite de volume) qui agit sur cette parcelle deplacee d’une distances vaut donc

F = − (ρ(z0) − ρ(z0 + s)) ge3

La loi de Newton pour cette parcelle s’ecrit alors

ρ(zo) s = ρ(z0 + s)g − ρ(z0)g (3.24)

En supposant que les variations de densite sont faibles, nous avons

ρ(z0 + s)g − ρ(z0)g ∼ ∂ρ

∂z

∣∣∣∣∣z0

g s = −ρ0∂b

∂zs (3.25)

et la definition de la frequence de Brunt-VaisalaN

N2 =∂b

∂z(3.26)

fournit l’ equation de mouvement

ρ(zo) s = −ρ0N2 s (3.27)

En accord avec l’approximation de Boussinesq, elle peut davantageetre simplifiee en

s = −N2 s (3.28)

Cetteequation nous permet d’interpreter facilement la signification deN :

• Pour une stratification (statiquement) stable (N2 > 0), la frequence de Brunt-Vaisala estla frequencea laquelle la parcelle d’eau va osciller autour de sa position d’equilibre.

• Dans le cas d’une stratification instable (N2 < 0), la parcelle s’ecartera davantage de saposition d’equilibre.

Dans le cas d’une stratification stable, cette force de rappel (poussee d’Archimede) rendra pos-sible la propagation d’ondes, ce que nous verrons dans la suite.

3.4 Approximation hydrostatique

L’approximation de Boussinesq permet deja une simplification substantielle mais nous pou-vons encore exploiter une propriete desecoulements geophysiques,a savoir leur faible rapportd’aspect. Lesetendues etechelles horizontales de mouvement sont en generalement nettementplus grandes que lesechelles verticales. Ainsi, un gyre oceanique (figure3.3) a peut-etre uneprofondeur de quelques centaines de metres alors que son rayon est de quelques centaines de


ez

6 η

h

L

D

Figure 3.9 : Section verticale definissant le rapport d’aspect desechelles verticalesD par rapport auxechelles horizontalesL. Ici, nous avons fortement exagere l’etendue verticale pour desraisons de representation graphique.

kilometres. Nous designons donc parD uneechelle de variation verticale typique et parL uneechelle de variation horizontale typique, avecD ¿ L (figure3.9).

Nous pouvonsa present utiliser le fait que le rapport d’aspect est faible lors d’une analysed’echelles cinematiques A cette fin, nous partons de la condition d’indivergence du courant etseparons la partie verticale de la partie horizontale. Si nous designons parW uneechelle typiquepour les vitesses verticales (a priori differente desechelles pour les vitesses horizontalesU euegarda l’anisotropie), nous pouvons estimer les ordres de grandeurs suivants

∇·v = 0 =∂u

∂x︸︷︷︸+

∂v

∂y︸︷︷︸+

∂w

∂z︸︷︷︸= 0 (3.29)

U

L

U

L

W

DComme

D ¿ L

nous constatons que la vitesse verticale doitetre nettement plus faible que la vitesse horizontale,et que le rapport des ordres de grandeur pour ces composantesde la vitesse n’est rien d’autre


6Ω = f

2e3 + f?

2e2

I

λ0

3o

e3

e2

Figure 3.10 : Decomposition du vecteur rotation dans des axes locaux dans le plan tangent : f =2Ω sinλ etf? = 2Ω cos λ.

que le rapport d’aspect.

W ≤ D

LU ¿ U (3.30)

Nous pouvons aussi nous convaincre aisement que le faible rapport d’aspect permet de rem-placer∇2F par ∂2F

∂z2 tant queF varie de facon significative dans les trois directions.L’analyse cinematique nous a permis de montrer que la vitesse verticale est faible mais nous

pouvonsegalement effectuer une analyse d’echelles dynamiques. A cette fin, nous partons bienentendu de l’equation de la quantite de mouvement que nous projetons dans un systeme d’axeslocal a la latitudeλ0 afin de pouvoir projeter l’equation sur la verticale locale (figure3.10).

∂v

∂t+ ∇·(vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇·(ν∇v) . (3.31)

En effet, la projection selon la verticale fournit les estimations suivantes pour les differentstermes

∂w

∂t︸︷︷︸+ ∇·(vw)︸︷︷︸− f ?u︸︷︷︸ = − ∂q

∂z︸︷︷︸+ b︸︷︷︸ + ∇·(ν∇w)︸︷︷︸ (3.32)


W

T

WU

Lf ?U ?

δρ

ρg

νW

D2

en designant parT en temps caracteristique d’evolution. Par l’analyse cinematique precedente,nous pouvons estimerW ≤ D

LU; si de plusT = L/U, les estimations des differents termes

deviennent

∂w

∂t︸︷︷︸+ ∇·(vw)︸︷︷︸− f ?u︸︷︷︸ = − ∂q

∂z︸︷︷︸+ b︸︷︷︸ + ∇·(ν∇w)︸︷︷︸ (3.33)

U2D

L2

U2D

L2f ?U ?

δρ

ρg

νU

DL

Pour unecoulement typique en anticipant l’effet de la turbulence (8) (ν → diffusion turbulenteO(10−2 m2 s−1)), l’ordre des grandeurs des differents termes enms−2 pour un rapport d’aspectD/L = 0.01 et U ∼ 0.1 − 1 m/s valent:

10−4 − 10−2

L

10−4 − 10−2

L10−5 − 10−4 ?

1 − 10

100010

0.1 − 1

L2

PourD ¿ L, nous constatons qu’en premiere approximation, la poussee doitetreequilibreepar le gradient vertical de la pression reduite

∂q

∂z= b (3.34)

L’utilisation de cetteequationa la place de (3.32) est appelee l’approximation hydrostatique.Cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas de mouvement vertical maisque selon la verticale, lesvariations de densite sont essentiellement reprises par un gradient de pression. Notons aussi quenous avons trouve cette estimationa l’aide de la poussee et de la pression reduite quietaientapriori du meme ordre de grandeur que les autres termes et nona l’aide de la pression et de lagravite qui de toute facon sont quasiment identiques et largementdominantes (mais contiennentune partie dynamiquement inactiveρ0g).

En resume, le faible rapport d’aspect implique que les perturbations par rapporta l’etat dereferenceρ = ρ0 sont enequilibre hydrostatique. Il faut noter que meme si ces perturbationssont enequilibre hydrostatique, ils generent des champs de pression dont le gradient horizontaln’est pas nul, ce qui peut donc generer des mouvements.

⊕ Notons que la simplification de la loi de quantite de mouvement selon la verticale en uneequation d’equilibre a des implications mathematiques profondes. Ainsi, la loi de Newton classiqueselon la verticale permet le calcul de la vitesse verticale et la conservation de la masse apparaıt commeune contrainte (il faut que le champ de pression ait une forme particuliere pour que la divergence de lavitesse resultante soit nulle). Schematiquement, l’utilisation desequations est la suivante

∂w

∂t+ ... = −∂q

∂z+ b... → w

∇·v = 0 → q


∇·v = 0 (3.41)

∂v

∂t+ ∇·(vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇·(ν∇v) (3.42)

∂T

∂t+ ∇· (vT ) − αT

ρ0cp

Dp

Dt= ∇·

(λT

∇T)

+Qe

cp

(3.43)

∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS

∇S)

(3.44)

∂ca

∂t+ ∇· (cav) = Qa − ∇· (cama) + ∇· (λa

∇ca) (3.45)

ρ = ρ(T, S, p, ...) (3.46)

Tableau 3.1 : Approximation de Boussinesq.

Or, apres l’approximation hydrostatique, la loi de Newton selon la verticale ne permet plus le calcul de lavitesse verticale (elle n’y intervient plus!), mais bien le calcul de la pression q a partir de la connaissancedu champ de densite b. C’est l’equation de la conservation de la masse qui servira alors au calcul de lavitesse verticale, puisque la pression est deja connue. Schematiquement, l’utilisation desequations estmodifiee

0 = −∂q

∂z+ b → q

∇·v = 0 → w

Finalement, nous pouvonsegalement constater que l’approximation hydrostatique aelimine le termede Coriolisf?u. Or, la force de Coriolis n’effectue pas de travailv·(ΩΛv) = 0. Comme une partie decette force a disparu desequations, si nous voulons assurer que lesequations modifiees ne produisentpas de travail associe a la partie de la force de Coriolis retenue, nous devons poserf? = 0. Ceci n’estpas en contradiction avec l’analyse des ordres de grandeur, car le terme neglige dans l’equation deNewton selon l’horizontale estf?w et commeW ¿ U, cette composante est negligeable devantfv, dumoins en-dehors de la zoneequatoriale.⊕

En resume, nous pouvonsecrire lesequations de base desecoulements geophysiques dansle cadre de l’approximation de Boussinesq (table 3.1) ou, si de plus, nous sommes en presenced’un rapport d’aspect de mouvement faible, dans le cadre de l’approximation hydrostatique(table 3.2).

Le probleme n’estevidemment pas completement determine sans les conditions auxiliairesadequates. A titre d’exemple (figure3.11), les conditions aux limites suivantes sont appliquees:

• aux frontieres impermeables fixes:

– annulation du flux d’eaua travers la surfacev·n = 0


∇·v = 0 (3.55)

∂u

∂t+ ∇·(vu) + fe3Λu = −∇hq +

∂

∂z

(ν∂u

∂z

)(3.56)

∂q

∂z= b (3.57)

∂T

∂t+ ∇· (vT ) − αT

ρ0cp

Dp

Dt=

∂

∂z

(λT ∂T

∂z

)+

Qe

cp

(3.58)

∂S

∂t+ ∇· (vS) =

∂

∂z

(λS ∂S

∂z

)(3.59)

∂ca

∂t+ ∇· (cav) = Qa − ∇· (cama) +

∂

∂z

(λa ∂ca

∂z

)(3.60)

ρ = ρ(T, S, p, ...) (3.61)

v = u + we3 (3.62)

Tableau 3.2 : Approximation de Boussinesq et approximation hydrostatique.

3.5. APPROXIMATION DU PLANβ 65

6 η

6

?

h

6e3

ª

n

Figure 3.11 : Notations pour les conditions aux limites.

– annulation du flux de matiere a travers la surfacen · ∇ca = 0 (aussi pour latemperature)

• en surface (similairement au fond):

– continuite des tensions visqueuses avec les tensions du vent:ρ0ν∂u∂x

= τx

– continuite des flux de chaleur et de sels imposesa la frontiere.

3.5 Approximation du plan β

Dans le cadre d’etudes theoriques, il n’est pas toujours aise de travailler avec des coor-donnees spheriques pourtant parfaitement adapteesa la description desecoulementsa la surfacede la terre. Comme les phenomenes concernes se passent souvent dans une region relative-ment petite par rapporta la taille de la terre, nous pouvons essayer d’utiliser des coordonneescartesiennes locales (figure3.12).


e1

e2e3

φ

R x

y z

λ0

λ0

Ω

Figure 3.12 : Planβ.

L’approximation du planβ consiste alors en la definition de nouvelles coordonnees locales

x = R(φ − φ0) cos λ0, (3.63)

y = (λ − λ0)R, (3.64)

z = r − R, (3.65)

et l’hypothese que l’on ne s’ecarte pas trop de l’origine des axes locale

|λ − λ0| ¿ 1, (3.66)

z ¿ R. (3.67)

On peut demontrer que l’on peut alors travailler avec des coordonnees cartesiennes localesacondition d’utiliser

2ΩΛv → fe3Λv + f ?e2Λv, (3.68)

mais ou les parametres de Coriolisf etf ? peuvent varier selon la directiony

f ≡ 2Ω sin λ = 2Ω sin(λ0 +

y

R

)∼ f0 + βy,

f ? = 2Ω cos λ ∼ f ?0 + β?y,

β =df

dy=

2Ω cos λ0

R,

β? =df ?

dy= −2Ω sin λ0

R,

f ?0 β? + f0β = 0.

(3.69)

L’utilisation de coordonnees cartesiennes locales avec des parametres de Coriolis qui varientavec la latitude3 s’appelle l’approximation de planβ alors que la simplification additionnelle

3 Cette approximation seraevidemmenta priori difficile a reproduire avec des modeles reduits en laboratoireou la vitesse de rotation d’une table tournante ne peut pas varier selon l’endroit auquel on se trouve.

3.6. ENERGIES 67

d’utiliser des parametres de Coriolis constants4 (β? = β = 0) donne lieua ce qu’on appellel’approximation du planf .

3.6 Energies

Dans la cadre de l’approximation de Boussinesq, nous pouvonssimplifier le calcul desenergies.

3.6.1 Energie cinetique

Ainsi, l’ energie cinetique (2.40) se simplifie

KE = 12

∫

Vρ0 ‖v‖2 dV (3.70)

Dans le cadre d’unecoulementa faible rapport d’aspect, seule la composante horizontaleu

intervient de facon significative et KE peutetre calcule comme suit:

KE = 12

∫

Vρ0 ‖u‖2 dV (3.71)

Ici, l’int egration peut generalementetre effectuee sur un volume fixe de reference (figure3.14)a la place du volume reel (figure3.15) en negligeant les variations de la position de la surfacelibre5.

ez

ex

h

Figure 3.13 : Distribution de densite dans une section verticale pour le calcul d’uneenergie potentielledisponible associee au champ de densite de (figure2.3).

3.6.2 Energie potentielle

Le calcul de l’energie potentielle peutetre reformule en constatant queρg = ρ0g − ρ0b

PE= 12

∫

Sρ0gη2 dS −

∫

Vρ0bz dV + C (3.72)

4 Cette approximation suppose donc que l’on reste davantage plus pres de l’origine des axes.5 De facon generale, et excepte pour l’energie potentielle, on peut remplacer les integrales sur le volume reel

par une integrale sur le volume de reference. L’erreur relative de cette approximation est de l’ordre du rapportd’uneelevation d’eau typique par rapporta la profondeur du systeme:η/D.


ez

ex

h

Figure 3.14 : Distribution de densite dans une section verticale pour un melange complet du champ dedensite.

et nous voyons apparaıtre les contributionsa l’energie potentielle du deplacement de la surfacelibre η et les effets de stratificationb. Comme toujours, l’energie potentielle n’est definie qu’aune constanteC pres.

Une valeur de reference que l’on pourrait adopter serait par exemple l’energie potentielle dumeme systeme, mais pour lequel on aurait melange completement la structure de densite (figure3.14):

ρ =1

V

∫

Vρ dV (3.73)

Pour cette densite moyenne et pour une surface libre plane l’energie potentielle (3.72) vaut

PE=

∫

V(ρ − ρ0)gz dV + C (3.74)

et un choix deC = −∫V (ρ−ρ0)gz dV definirait6 alors l’energie potentielle de reference comme

celle du systeme au repos completement melange.Notons qu’a ce stade nous pouvonsa nouveau effectuer les integrales sur le volume de

reference (figure3.14), puisque la contribution du deplacement de la surface libre aete ex-plicitementevaluee dans le calcul de l’energie potentielle.

6On constatera que les volumes sur lequels on integre ne sont pas les memes, mais que les contributions as-sociees aux deplacements de la surface libre sont negligeables, excepte pour les termes enρ0gz seuls.

Nous voyonsegalement qu’un choix naturel de la valeur de la densite de reference est bien entendu la densitemoyenneρ0 = ρ.

3.6. ENERGIES 69

ez

ex

h

η

Figure 3.15 : Contribution de la position de la surface libre sur le calcul d’uneenergie potentielle.

3.6.3 Energie potentielle disponible

Une autre mesure de l’energie potentielle peutetre obtenue en supposant que la situationtypique n’est pas la situation du melange complet, mais celle qui corresponda la situation quel’on obtiendrait par le deplacement adiabatique (sans melange) des masses d’eau, amenant lesmasses les plus denses au fond (figure3.13). Ce deplacement libere dans ce cas un maximumd’energie potentielle (les eaux les plus denses ontete amenees le plus bas possible) donne lieua une stratification horizontalement uniforme: la difference entre l’energie potentielle de lasituation de depart et l’energie potentielle de la situation de la stratification uniforme est alorsappelee l’energie potentielle disponible (figure3.17).

Le calcul de cetteenergie potentielle disponible n’est pas toujours aise dans la pratique (car

6ez

j

Figure 3.16 : Transformation adiabatique du champ de densite.


6

-

ez

ex

6

6η

Figure 3.17 : Deplacement local d’une interface de densite.

il faut redistribuer le champ de densite tout en conservant la masse totale pour chaque niveaude densite donne). Ainsi nous montrons seulement comment calculer l’energie potentielledisponible associee a une faible perturbation d’un champ de densite stratifie uniformement.Si la densite est stratifiee uniformement au reposb = b0(z), un deplacement des masses d’eaufournira, par definition, uneenergie potentielle disponible.

Si nous considerons un parcelle d’eau associeea une interface, la variation d’energie poten-tielle associeea son deplacement (figure3.16) vaut

ρ(z − η/2)gη

2− ρ(z + η/2)g

η

2= −g

∂ρ

∂z

η2

2=

ρ0

2N2η2

et nous pouvons calculer l’energie potentielle disponible APE

APE =ρ0

2

∫

Vη2N2dV ,

ou η est le deplacement de chaque isoligne de densite. Comme le domaine est considere ferme,la position moyenne de l’interface ne bouge pas, puisque lesmasses d’eau sont conservees etnous avons dans ce cas: ∫

SηdS = 0 (3.75)

b′ = − ρ′

ρ0

g = −ρ(z − η/2) − ρ(z + η/2)

ρ0

g ∼ −N2η

APE =ρ0

2

∫

Vb′2

N2dV (3.76)

Cette formulation est utile pour le calcul de l’energie potentielle disponible d’un fluide stratifiede facon continue. Si nous sommes en presence de deux masses d’eau de densites differentesρ1 et ρ2, un calcul direct de l’energie potentielle associe a la situation d’energie minimale estpossible et fournit alors la valeur de APE (figure3.28).

3.7. MESURE DYNAMIQUE DE LA STRATIFICATION 71

6e3

6η

66

?

h

Figure 3.18 : Configuration d’unecoulement externe au-dessus d’un obstacle de largeurL et hauteurh

3.7 Mesure dynamique de la stratification

3.7.1 Controle hydraulique d’un ecoulement externe

Conservation du transportU :

U = u(x) [h(x) + η(x)] (3.77)

Conservation de l’energie (Bernouilli)

Φ =u(x)2

2+ g η(x) (3.78)

Conservation du transportU :

η(x) =U

u(x)− h(x) (3.79)

Conservation de l’energie (Bernoulli)

η(x) =Φ

g− u(x)2

2g(3.80)

Equation cubique enu. Point critique quand le point tangent donne par ∂η∂u

est identique pourles deux courbes:

−U

u2= −u

g→ u2 = g (h + η) Fr = 1 (3.81)

Pour un debit faible et unh(x) donne, deux racines sont possibles. Si le courant doit passerpar des hauteurs variablesh, la courbe (3.79) se deplace et le couple (η, u) egalement. Si lecourant passe par un point ou h est minimum et tel queu2 = g (h+η) Fr = 1, le couple (η, u)peut suivre deux chemins possibles apres cet endroit.

De plus, pour unh avec un minimum donne, le debit maximal que l’on peut faire passerpour un niveau d’energie donne, corresponda la situation ou h est minimum quandu2 = g (h+η) Fr = 1


0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Figure 3.19 : Relations(3.79)(rouge clair et rouge fonce) et(3.80)(jaune). Pour une valeur critique deh, une seule racine existe.

6e3

z0

-¾

6

?

D

2L

:

Figure 3.20 : Stratification verticale et deplacement au-dessus d’un obstacle d’echelle verticaleD et delargeur L.

3.7. MESURE DYNAMIQUE DE LA STRATIFICATION 73

3.7.2 Ecoulement interne

Nous avons deja une mesure de la stratification (la frequence de Brunt-Vaisala), mais rienne permet de savoir si une stratification donnee aura une importance ou non sur unecoulementdonne.

Afin d’introduire cette possibilite nous allons introduire le nombre de Froude Fr: En con-siderant (figure3.20) le deplacement d’une masse d’eau au-dessus d’un obstacle dans un fluidestratifie, nous allons examiner le rapport de la force necessaire au deplacement verticala l’inertiede la masse d’eau:

Si le deplacementa vitesse horizontaleU sur une distanceL suit la topographie, on auradonc un deplacement vertical deδz ∼ D. Comme nous devons deplacer une masse d’eau dehauteur∼ D, cela induit une perturbation dans le champ de densite et de pression:

δp = (ρ(z0) − ρ(z0 + δz))gD ∼ ρ0N2δzD

de sorte que le rapport du terme d’advection et du gradient depression est (pourδz ∼ D)

U2/L

δp/ρ0L= Fr2, (3.82)

si l’on definit le nombre de Froude7 comme

Fr =U

ND(3.83)

Si le nombre de Froude Fr¿ 1 , alors l’inertie n’est pas suffisante pour vaincre l’obstacle(car le gradient de pression adverse serait trop grand) et enrealite, la vitesse verticale n’estpasW ∼ D

LU mais sera donnee par l’egalite entre la force d’inertie et le gradient de pression

associe a la perturbation dans le champ de densite:

δp

ρ0L∼ U2

L→ ρ0N

2δzD

ρ0L∼ U2

L(3.84)

soit δz = U2

N2D, de sorte que la vitesse verticale associee estW ∼ δz U

L

W /D

U/L= Fr2 (3.85)

et une forte stratification reduit la vitesse verticale.Ainsi, nous savons qu’unecoulementa surface libre au-dessus d’un obstacle (figure3.21)

demande soit que le nombre de Froude externe8 soit suffisamment grand (l’inertie emportele fluide au-dessus de l’obstacle), soit que la hauteur d’eau(la pression) soit suffisante pourpermettre le passage.

Dans le cas d’un fluide stratifie (figure3.21), la situation est analogue et le nombre de Froudeinterne Fr mesure l’inertie par rapporta la stratification.

7 On pourra constater que le carre du nombre de Froude mesure le rapport de l’energie cinetique d’une massed’eau en amont par rapporta la variation d’energie potentielle associee au deplacement vertical

8Le nombre de Froude externe classique rencontre en hydraulique vautU√gD


8

Figure 3.21 : Section verticale pour unecoulement hydraulique classique au-dessus d’un obstacle.

8

Figure 3.22 : Section verticale pour unecoulement stratifie au-dessus d’un obstacle .

3.8 Vorticit e

Autre candidate pour une integrale premiere: vorticite

∇·v = 0 (3.86)

∂v

∂t+ ∇·(vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇·(ν∇v) (3.87)

∂b

∂t+ ∇· (vb) = ∇·

(λT

∇b)

(3.88)

3.8.1 Vorticite relative

En definissant la vorticite relativeω par

ω ≡ ∇Λv,

∂v

∂t+ ∇

(v·v

2

)+ (2Ω + ω)Λv = −∇q + b + ∇·(ν∇v). (3.89)

on arrive (en prenant le rotationnel et en supposant la viscosite constante)a

∂ω

∂t+ ∇Λ(ω + 2Ω)Λv = (∇b)Λe3 + ν∇2w. (3.90)

3.8. VORTICITE 75

3.8.2 Vorticite absolue

Nous pouvons alors definir la vorticite absolue$ par

$ ≡ ω + 2Ω, (3.91)

pour trouver l’equation d’evolution suivante

∂$

∂t+ ∇Λ($Λv) = (∇b)Λe3 + ν∇2

$, (3.92)

que l’on peut aussiecrire

∂$

∂t+ v·∇$ = $·∇v + (∇b)Λe3 + ν∇2

$, (3.93)

en utilisant le fait que∇·$ = 0. Cetteequation montre que la vorticite absolue est changeepar des effets baroclines (variations de densite horizontales) et le ”vortex stretching”$·∇v.

3.8.3 Vorticite potentielle

Loi de conservation

Si φ est une propriete du fluide qui est conservee le long d’une trajectoire, nous pouvonsutiliser (3.92) pourecrire que, en l’absence de friction,

∇φ·∂$

∂t+ ∇φ·∇Λ($Λv) = e3 ·(∇φ)Λ(∇b), (3.94)

a l’aide des formules (A.23) et (A.17). On a alors

∇φ·∂$

∂t− ∇·(∇φ)Λ($Λv)e3 ·(∇φ)Λ(∇b), (3.95)

Sachant queφ est conserve, nous avons alors

(∇φ)Λ($Λv) = $ v·∇φ − v(∇φ)·$ = −$∂φ

∂t− v(∇φ)·$ (3.96)

ce qui nous permet d’arriver finalementa

∇·((∇φ)Λ($Λv)) = −$·∂∇φ

∂t− v·∇ ((∇φ)·$) (3.97)

puisque∇·v = 0,∇·$ = 0. Nous obtenons donc9

9 J (α, β) ≡ ∂α∂x

∂β∂y

− ∂α∂y

∂β∂x


dΠ

dt= e3 ·(∇φ)Λ(∇b) = J (φ, b) (3.98)

ou nous avons tout naturellement defini la vorticite potentielleΠ

Π ≡ (∇φ)·(2Ω + ∇Λv). (3.99)

Si φ = φ(b), alors nous avons une conservation de la vorticite potentielleΠ le long d’unetrajectoire

∂Π

∂t+ v·∇Π = 0. (3.100)

En particulier, si la poussee n’est pas diffusee, on a par exempleφ = b/g.

Interpr etation

................................................................................................................................ ~

...................... ...... ....... ........ ......... ......... .................. .................. ......... ......... ....... ...... ...............

...................

........................ ....... ......... .......... .......... .......... ...................

Figure 3.23 : Conservation de la masse+ conservation du moment cinetique = conservation deΠ

• Conservation dem → ρhr2 est constant

• Pour une rotation solide de vitesse angulaireω le moment cinetiqueJω est conserve. Jest le moment d’inertie autour de l’axe vertical.

• Pour un cylindre de massem, de rayonr et hauteurh : J = mr2

2.

• Commem est conserve (ρhr2 conserve) la conservation du moment cinetiqueJω induitque ω

hest conserve.

• Pour un systeme en rotation , la vitesse de rotation de la parcelle d’eau =vitesse derotation relative + vitesse de rotation du systeme :f/2.

3.9. ENERGIES 77

• Le vecteur de Poisson de la rotation relative est12 ∇Λv

• ⇒ la conservation du moment cinetique selonez s’ecrit

f + (∇Λv)·ez

h= Cte (3.101)

6ez z

ρ + ∆ρ

ρ

Figure 3.24 : Conservation de la masse+ conservation du moment cinetique = conservation deΠ

Pour un systeme continu, on imagine que le tube entre deux isopycnes est conserve et quesa hauteur esth−1 = − 1

∆ρ∂ρ∂z

∝ ∂b∂z

Π1

g(∇b)·(2Ω + ∇Λv). (3.102)

3.9 Energies

Finalement, nous pouvons nous interessera l’energie du systeme. Nous pouvons en effetdefinir lesenergies cinetiques et potentielles suivantes

KE ≡ 1

2

∫

Vρ0v·v dV , (3.103)

PE1 ≡∫

Vρ0gx3 dV , (3.104)

PE2 ≡∫

Vρ0(−b)x3 dV , (3.105)

PE= PE1 + PE2 ≡∫

Vρgx3 dV. (3.106)

Il est aise de montrer que PE1 contient une contribution duea la topographie. Etant donneque celle-ci reste constante dans le temps et que le potentiel n’est, de toute facon, defini qu’aune constante pres, nous pouvons alors remplacer PE1 par

PE1 =

∫

Sρ0g

η2

2dS, (3.107)

ou η designe la hauteur du niveau d’eau,S la surface de la mer,V le volumeetudie.


Nous pouvonsa present calculer la loi d’evolution de cesenergies, ceci en utilisant notam-ment le fait que

v3 =dx3

dt, (3.108)

∇·v = 0 (3.109)

v·∂v

∂t+ ∇·(vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇·(ν∇v) (3.110)

−x3·∂b

∂t+ ∇· (vb) = ∇·

(λT

∇b)

(3.111)

∂

∂t

(v·v

2

)+ ∇·

(vv·v

2

)=

−∇·(vq) + ∇·(νv·∇v) − ν∇v:∇v + bv3.(3.112)

∂(−bx3)

∂t+ ∇·(−vbx3) =

−bv3 + λT ∂b

∂x3

+ ∇·(−x3λT∇b),

(3.113)

En integrant cesequations sur le volumeetudie, on obtient

dKEdt

= ˆPE2KE + ˆPE1KE − DKE + SKE, (3.114)

dPE2

dt= − ˆPE2KE − DPE+ SPE, (3.115)

dPE1

dt= − ˆPE1KE (3.116)

avec les definitions du transfert d’energie ˆ , et des dissipationsD∗

DPE≡ ρ0

∫

V−λT ∂b

∂x3

dV, (3.117)

DKE ≡ ρ0

∫

Vν∇v:∇vdV ≥ 0, (3.118)

ˆPEKE≡ ρ0

∫

Vbv3dV (3.119)

Les termes sourcesS∗, quanta eux, s’obtiennent en integrant, par le theoreme de Gauss, lestermes en divergence. Si le domaine est ferme (sans friction aux cotes) et sans flux de poussee,sans tension de vent et sans variations de la pression atmospherique en surface, on montre queles termes sources sont nuls.

3.10. EXERCICES 79

SKE ≡ ρ0

∫

V∇· (νv·∇v) dV , = ρ0

∫

Sv·tdS (3.120)

ou t est la tension du fluide surS. En l’absence de frictiont = 0.

ˆPE1KE = −ρ0

∫

V∇· (v q) dV = −ρ0

∫

Sn·v q dS, (3.121)

qui devient, en sachant queq = gη en surface,

ˆPE1KE = −ρ0

∫

Sgηn·v dS. (3.122)

On verraa titre d’exercice que la condition cinematique de la surface d’eau permet de cal-culer

n·v =∂η

∂t, (3.123)

et nous voyons que

ˆPE1KE = −dPE1

dt. (3.124)

Ceci permet de constater que l’energie totale du systeme reste conservee s’il n’y a pas de dis-sipation et qu’il y a un transfert d’energie entre lesenergies potentielles et cinetiques par lesmouvements verticaux.

3.10 Exercices

3.10.1 Analyse d’importance de la force de Coriolis [N]

En sachant que l’on a observe la tache rouge de Jupiter depuis 300 ans et que ses dimensionssont de l’ordre de20000 km, est-ce que la rotation de Jupiter autour de lui-meme (un jourjupiterien dure 9.9 heures) doitetre prise en compte dans l’etude de cette tache? On supposeque les vitesses du courant sont de l’ordre de100 m/s

En connaissant le rayon de Jupiter (448600 km) et l’acceleration de gravite mesureea l’equa-teurg = 26.4 m s−2, que peut-on dire de la force centrifuge?

3.10.2 Le Thalys et la rotation de la terre [F]

Est-ce que,a votre avis, les ingenieurs qui ont construit la ligne TGV Liege-Bruxelles (max300 km/h) ont du tenir compte de la rotation de la terre? Pourquoi?

Suggestion:Comparer la force aux autres forces en jeu.


PE2

KE PE1

?

SKE

¼

¸

ˆPE1KE

ˆPE2KE

N

SPE

DKE

DPE26º

ª

Figure 3.25 : Echanges entre lesenergies potentielles et cinetique

15

Figure 3.26 : Surface de Jupiter.

3.10. EXERCICES 81

3.10.3 Vorticite [D]

Etablir loi d’evolution de la vorticiteω = ∇Λv en l’absence de viscosite. Passer ensuiteala vorticite totale2Ω + ∇Λv et demontrer que

∂

∂t

(2Ω + ∇Λv

ρ

)+ v·∇

(2Ω + ∇Λv

ρ

)=

(2Ω + ∇Λv

ρ

)·∇v +

(∇ρ)Λ(∇p)

ρ3(3.125)

3.10.4 Brunt-Vaisala pour un gaz parfait [N]

Demontrer que pour un gaz parfait adiabatique, l’oscillation autour d’une position d’equilibredans un environnement stratifie a lieua une frequenceN donnee par

N2 =g

T

(dT

dz+

g

cp

)(3.126)

Interpreter en termes de temperature potentielle.

3.10.5 Equation pour la densite [N]

En utilisant l’equation d’etat linearisee pour l’eau de mer autour deT0 etS0, commentecrit-on la loi d’evolution pour la densite en supposant que la radiation de l’insolation (en surfaceI0

(en W/m2)) penetre verticalement dans les oceans avec un coefficient d’attenuationk ?

3.10.6 Ondes acoustiques [F]

A votre avis, lesequations utilisant l’approximation de Boussinesq permettent-elles la priseen compte d’ondes acoustiques?

3.10.7 Conservation d’energie [N]

Comment devrait-on adapter l’equation du travail mecanique dans le cadre de l’approximationhydrostatique et de Boussinesq? En particulier, que se passerait-il si on n’avait pas posef ? = 0dans l’equation de la quantite de mouvement horizontal?

3.10.8 Conditions aux limites cinematiques [N]

Demontrer que les conditions aux limites de la vitesse verticale s’ecrivent (figure3.11)

∂η

∂t+ u

∂η

∂x+ v

∂η

∂y= w en z = η (3.127)

−u∂h

∂x− v

∂h

∂y= w en z = −h, (3.128)

en supposant que le fondz = −h(x, y) ne bouge pas, tandis que le niveau d’eauz = η variedans le temps.


6

ez

-¾l

L-¾

6

?

?

6d

h

L

ρ1

ρ2

Figure 3.27 : Section verticalea travers d’un champ de densite que l’on refroidit localement.

3.10.9 Equation du bilan thermique [N]

Si on suppose queΓ = αTgcp

est constant et que la pressionest dominee par la composante hydrostatique, demontrez que la loi d’evolution pour la

temperature peut s’ecrire

D

Dt(T + Γx3) = ∇·

(λT

∇T)

+Qe

cp

(3.129)

3.10.10 Energie potentiellevs APE [N]

Soit un systeme au repos de densite uniforme. Si nous refroidissons une region isoleedans une couche de surface (figure3.27), comment vontetre modifiees l’energie potentiellehabituelle et la APE? Qu’en est-il si nous chauffonsa la place de refroidir?Suggestion:Onconsidere que la situation est 2D dans un plan vertical et queL = 2l


Pour la situation suivante, dans laquelle un fluide plus dense de densite ρ2 se trouve endessous d’un fluide plus leger de densite ρ1, calculer l’energie potentielle en fonction de lapenteε = d/L. La position de l’interface est donnee parη = d

Lx Pour quelle valeur l’energie

potentielle est-elle minimale? Que vaut l’energie potentielle disponible en fonction deε? On

3.10. EXERCICES 83

-

6 ez

ex 6ηρ1

ρ2

-¾

6

?

6

?

h

h

L

Figure 3.28 : Notations pour le calcul de APE dans le cas de deux masses d’eau.

distinguera les casd ≤ h et d > h. Suggestion:On considere que la situation est 2D dans unplan vertical

3.10.12 Courant cotier [N]

6

?

h2

h1L1

L2

u1

u2

Figure 3.29 : Configuration d’un courant cotier; f = 10−4 s−1, u1 = 0.5 m/s, L1 = 10 km, h1 =200 m, h2 = 160 m

Un courant cotier de forme triangulaire est force au-dessus d’un saut de topographie. Ensupposant (pourquoi?) que le courant est toujours de forme triangulaire au-dela de ce saut,determiner sa largeur et intensite dans la partie moins profonde en fonction des parametres dansla partie profonde.

Que se passe-t-il sih1 = 100 m ?Suggestion:Utiliser la conservation de la vorticite potentielle et la conservation du debit


3.10.13 Ecoulement au-dessus d’un ”ridge” [N]

Un ecoulement uniforme rencontre un ”ridge sous-marin” enx = 0 avec un angle d’entreeθin. Calculer l’angle de sortieθout en fonction de l’integrale de la hauteurd(x) du ridge. Onutilisera l’approximation du rigid-lid dans le planf et supposera qu’a la sortie, l’ecoulement estuniformea nouveau.

3

3

3

33

-ex

6ey

6

-ex

ez

-¾L

6

?

h

6?d(x)

--------

uin

uout

θin

θout

Figure 3.30 : Ecoulement au-dessus d’un ”ridge”

Bibliographie

[1] J.R. Apel. Principles of ocean physics. volume 38 ofInternational geophysics series, pages1–632. Academic Press, 1987.

[2] B. Cushman-Roisin.Introduction to Geophysical fluid dynamics. Prentice Hall, 1996.


[4] A. Gill. Atmosphere-ocean dynamics. Academic press, 1982. 662p.



[7] H. Thurman.Essentials of oceanography. Merrill Publishing Company, 1990. third edition,398pp.

[8] H. von Storch, S. Guss, and M. Heimann.Das Klimasystem und seine Modellierung.Springer, 1999. 256pp.

85

86 BIBLIOGRAPHIE

88 CHAPITRE 4. ONDES INTERNES

Chapitre 4

Ondes internes

4.1. PHENOMENES ET APPROCHE 89

Apres avoiretabli desequations simplifiees et adaptees aux fluides geophysiques, nous al-lonsa present effectuer une premiereetude pour determiner les modes propres de mouvementsdu systeme decrit par cesequations. On inclura donc les particularites des fluides geophysiques,a savoir la stratification et la rotation.

4.1 Phenomenes et approche

Afin d’ etudier les modes propres du systeme oceanique, lesechelles inherentes et les me-canismes de propagation, nous allons davantage simplifier la description du systeme afin d’endegager les processus dominants. Ainsi, nous allons dans un premier temps supposer que les ef-fets diffusifs/visqueux sont negligeables, ce qui se justifie aisement quand on est loin des bordset des couches limites. D’autre part, nousetudierons des perturbations du systeme par rapporta une situation de repos afin d’etudier les mecanismes de propagation par ondes. Finalement,comme nous sommes dans le cas d’un systemea faibles variations, nous utiliserons une versionlinearisee de l’equation d’etat (2.27), ce qui permet d’utiliser l’equation pour la pousseeb (3.22)a la place desequations pourT et S. Nous negligeonsegalement les forcages externes. Cecirevient donca identifier les modes propres des oscillations et lesechelles naturelles du mouve-ment. On identifiera de la sorte les fenetres spectrales dans lesquelles le systeme est susceptibled’etre efficacement alimente enenergie. L’objectif n’etant pas de simuler la propagation d’uneonde particuliere dans une geometrie particuliere, nous nous limiteronsa des analyses dans desgeometries relativement simples. Celles-ci seront une idealisation des geometries reelles. Ainsi,une cote rectiligne supposera que l’onetudie des ondes dont la longueur d’onde est petite parrapport aux longueurs de variations typiquesLg de la cote. Dans ce cas, on peutegalementconsiderer que le domaine est infini dans beaucoup de cas ou une frontiere est suffisammenteloignee (et en toutetat de causea une distance nettement plus grande que la longueur d’ondeetudiee).

4.2 Ondes internes dans un milieu infini stratifie uniforme-ment

Considerons pour commencer un ocean hypothetique au repos de stratification uniforme.

4.2.1 Ondes internes dans le planf

Nous nous placons dans un plan tangenta l’endroit considere et ferons usage de l’approximationde planf .

Ondes hydrostatiques et non-hydrostatiques

L’ etat de reference choisietant une situation de repos avec une stratification uniforme nouspouvons decomposer les champs en leur valeura l’etat de reference 0 et leur ecart ′ parrapporta celle-ci en cas de perturbations. Les champs sont alors donnes parv = 0 + v′, b =b0 + b′, q = q0 + q′ avec∂b0

∂z= N2 uniforme.


Pour commencer, nous allons utiliser en plus l’approximation hydrostatique (3.57) de sorteque le systeme est decrit par lesequations suivantes

∇·v′ = 0 (4.1)

∂u′

∂t+ ∇·(v′u′) + fe3Λu′ = −∇h (q0 + q′) +

∂

∂z

(ν∂u′

∂z

)(4.2)

∂ (q0 + q′)

∂z= b0 + b′ (4.3)

∂(b0 + b′)

∂t+ ∇· (v′(b0 + b′)) =

∂

∂z

(λ

∂(b0 + b′)

∂z

)(4.4)

comme∂q0

∂z= b0 et que l’ecoulement de base est au repos, on doit bien entendu avoir∇hq0 = 0

faute de quoi (4.2) ne peut-etre satisfait en l’absence de perturbations (correspondant a la situa-tion de repos). L’utilisation des hypotheses de faibles amplitudes des mouvements et l’absencede diffusion-viscosite permet de lineariser lesequations en negligeant les termes quadratiquesen les perturbations devant les termes lineaires

∇·v′ = 0

∂u′

∂t+ fe3Λu′ = −∇hq

′

∂q′

∂z= b′

∂b′

∂t+ w′∂b0

∂z= 0

Ce sont cesequations qui permettront l’etude de propagation d’ondes. Afin de simplifier lesnotations, nous allonsa partir d’ici laisser tomber les indications′ (en retenant que les champscalcules designent la composante ”perturbation”). En projetant sur les axes locaux cartesiens,nous obtenons

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (4.5)

∂u

∂t= fv − ∂q

∂x, (4.6)

∂v

∂t= −fu − ∂q

∂y, (4.7)

∂q

∂z= b, (4.8)

∂b

∂t+ N2w = 0. (4.9)

ou b est bien la perturbation de la poussee par rapporta l’etat stratifie b0.

4.2. ONDES INTERNES DANS UN MILIEU INFINI STRATIFIE UNIFORMEMENT 91

L’ etude des solutions de cesequations peutetre approchee de differentes facons. Ici, nousaborderons le probleme eneliminant certaines variables entre lesequations. Ainsi, il est aised’eliminer la pression reduiteq par derivation de (4.6) et (4.7) et l’utilisation de (4.8), ce quifournit

∂2u

∂z∂t= f

∂v

∂z− ∂b

∂x, (4.10)

∂2v

∂z∂t= −f

∂u

∂z− ∂b

∂y, (4.11)

et ensuiteb par derivation de (4.10) et (4.11) et l’utilisation de (4.9), ce qui fournit

∂3u

∂z∂t2= f

∂2v

∂t∂z+ N2∂w

∂x,

∂3v

∂z∂t2= −f

∂2u

∂t∂z+ N2∂w

∂y,

et finalement l’elimination dew par derivation de ces deuxequations et l’utilisation de (4.5)fournit

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2− N2 ∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)(4.12)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2− N2 ∂

∂y

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)(4.13)

Ces deuxequationsa deux inconnuesu etv sont lineairesa coefficients constants (f est constantpar hypothese du planf ).

A present, uneequation de dispersion pour un domaine infini s’obtient en supposant que lesfrontieres sont suffisamment lointaines du centre des axes (typiquement quelques dizaines delongueurs d’ondes)

(u, v) = (U ,V)ei (kxx+kyy+kzz−ωt) (4.14)

kx, ky, kz etant les nombres d’ondes selon les trois directions,ω la frequence de l’onde eti 2 = −1. L’introduction de ce type de solution dans les deux dernieresequations fournit bienevidemment un systeme lineaire homogene pourU ,V:

(−k2z)(−ω2)U = f(−i ω)(−k2

z)V − N2(i kx) (i kxU + i kyV)

(−k2z)(−ω2)V = −f(−i ω)(−k2

z)U − N2(i ky) (i kxU + i kyV)

qui n’admet de solution non nulle que si∣∣∣∣

ω2k2z − N2k2

x − (N2kxky + i ωfk2z)

− (N2kxky − i ωfk2z) ω2k2

z − N2k2y

∣∣∣∣ = 0 (4.15)

soit si la relation de dispersion cherchee est satisfaite

ω2 = f 2 + N2k2

x + k2y

k2z

(4.16)


Nous avons donc obtenu la relation de dispersion des ondes hydrostatiques dans un systemestratifie uniformement. Nous constatons que leur frequence est toujours pluselevee que lafrequence de Coriolis (ω2 ≥ f 2) et que la norme du nombre d’onde n’intervient pas dans la re-lation de dispersion1. D’autre part, nous constatons que les frequences propres sont non borneespour des ondes suffisamment longues selon la verticale (kz → 0). Il faut noter que l’analysed’ondes longues selon la verticale, nous amenea violer les hypotheses de depart: d’un cote lesondes longues subiront l’effet des conditions aux limites du fond et de la surface du systemereel, mais plus fondamentalement, les ondes plus longues surla verticale que selon l’horizontalesont en contradiction flagrante avec l’hypothese d’un rapport d’aspect faible (necessairea ladeduction de l’approximation hydrostatique). Ceci est confirme par le fait que dans le cas desondes longues selon la verticale, la frequence propreω estelevee, indiquant que l’accelerationverticale∂w

∂t(proportionnelleaω) ne peut plusetre negligee devant les autres termes. Nous al-

lons donc reprendre notre analyse, mais en tenant comptea present de l’acceleration verticale2.Pour l’etude de la propagation des ondes non-hydrostatiques, nousremplacons donc (4.8)

par∂w

∂t+

∂q

∂z= b, (4.17)

et utilisons la meme strategie d’elimination que precedemment pour arriver au systeme suivant

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2−

[N2 ∂

∂x+

∂3

∂x∂t2

](∂u

∂x+

∂v

∂y

)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2−

[N2 ∂

∂y+

∂3

∂y∂t2

] (∂u

∂x+

∂v

∂y

)

dont nous pouvons toujours chercher une solution du type onde plane pour un domaine infini:

(u, v) = (U ,V)ei (kxx+kyy+kzz−ωt) (4.18)

Finalement, l’equation de dispersion s’obtient en cherchant une solutionnon nulle quin’existe que si

∣∣∣∣ω2k2

z − (N2 − ω2)k2x − ((N2 − ω2)kxky + i ωfk2

z)− ((N2 − ω2)kxky − i ωfk2

z) ω2k2z − (N2 − ω2)k2

y

∣∣∣∣ = 0 (4.19)

soit

ω2 =f 2k2

z + N2(k2x + k2

y)

k2x + k2

y + k2z

(4.20)

Comme dans l’oceanN2 À f2, nous demontrons aisement3 que

1 Il suffit de constater que si nous multiplions chaque nombre d’ondes par une meme constante la relation dedispersion reste inchangee

2Dans ce cadre, nous pourrionsegalement reintroduire l’autre composante de la force de Coriolis lie auparametref?. Ce cas sera traite en exercice car il n’est pas fondamentalement different du casetudie dans lasuite

3 Si N2 ≤ f2, nous demontrerions queω2 ∈ [N2, f2]


ω2 ∈ [f 2, N2] . Ceci indique que le fluide stratifie pourra repondre efficacementa dessollicitations exterieures de frequences comprises entre ces deux bornes et propager le signalimpose par ces sollicitations.

Comme dans le cas hydrostatique, la frequence de l’onde ne depend pas de la norme‖k‖ duvecteur d’onde mais seulement de son orientation. Siθ designe l’angle forme entrek et le planhorizontal, nous pouvons en effetecrireω2 = f 2 sin2 θ + N2 cos2 θ. Ceci indiqueegalementque pour chaque onde, dans une directionθ, une onde dans la direction−θ de meme frequenceet de meme longueur d’onde existe (en effet, changer la valeur deθ en−θ ne modifie pas larelation de dispersion). Pour chaque onde se propageant dans la direction du vecteur d’ondek,il y a une onde similaire qui se propage dans la direction opposee (siω est solution−ω l’estaussi).

Nous pouvonsetudier deux cas limites de ces ondes internes:

Ondes de gravite

En l’absence de rotationf = 0 (autrement dit pour des frequencesω2 À f2 qui permettentde negliger la force de Coriolisfe3Λu = O(fU) devant∂u

∂t= O(ωU)), nous pouvons placer

nos axes dans le plan du vecteur d’onde. Comme il n’y a pas de force de Coriolis ni de variationperpendiculaire au plan defini par le vecteur d’onde, le probleme reste bidimensionnel et nouspouvons expliciter la structure de la solution d’onde dans ce plan

u = U0 sin (kxx + kzz − ωt) (4.21)

w = −kx/kzU0 sin (kxx + kzz − ωt) , (4.22)

b = N2ω−1kx/kzU0 cos (kxx + kzz − ωt) (4.23)

q = (N2 − ω2)ω−1kx/kzU0 sin (kxx + kzz − ωt) (4.24)

La representation de cette structure dans le plan vertical (figure4.2) montre alors le meca-nisme de propagation de l’onde: la vitesse du courant est transversale par rapporta la directiondu vecteur d’onde et souleve l’interface de densite en amont d’un creux dans la structure dedensite (dans le creuxb > 0 puisque nous y trouvons du fluide plus leger). Ceci fait avancer lacrete vers lesx positifs et propage donc l’onde. La propagation de ces ondespeutetre visualiseeen laboratoire ou une massea l’interieur du systeme est animeea une frequence donnee. Par unemethode Schlieren, on visualise les creux et cretes (en clair et fonce) qui se propagent. Selonla frequence de l’excitation, l’angle de ces lignes varie (figure4.1) en accord avec la relation dedispersionω2 = N2 cos2 θ.

Nous pouvonsegalement voir que la force qui est responsable du mecanisme de rappelnecessairea la propagation d’ondes est la poussee d’Archimede. En analysant une onde quise deplace quasi-horizontalement (θ ∼ 0) pour laquellekz ∼ 0, nous voyons en effet que lesequations de la quantite de mouvement verticale et de la poussee

∂w

∂t+

∂q

∂z= b,

∂b

∂t+ N2w = 0.


Figure 4.1 : Les ondes se propagent de la source avec un angle impose par la frequence de forcage. Agauche: frequence de forcage intermediaire; au milieu: frequence pluselevee et prochedeN . A droite: forcage impulsionnel donnant lieua des ondes de differentes frequencesse propageanta des angles differents. Si la frequence de forcage est pluselevee que lafrequence de Brunt-Vaisala, il n’y a pas d’ondes.

se simplifient en∂w

∂t= b,

∂b

∂t+ N2w = 0.

Nous retrouvons alors l’oscillation d’une parcelle d’eaua la frequence de Brunt-Vaisala (enaccord avec la relation de dispersion pourf = 0 etkz = 0)

∂2w

∂t2= −N2w (4.25)

Il est donc clair que la force de rappel est dans ce cas duea la poussee.

Oscillations d’inertie

Nous pouvons analyser un autre cas limite qui concerne les ondes de vecteur d’onde quasivertical. Sikx, ky → 0, ω ∼ f et les composantes de la vitesse horizontale sont controlees par

∂u

∂t= fv (4.26)

∂v

∂t= −fu (4.27)

donnant lieua une oscillationa la frequencef , appelee oscillation d’inertie. Dans l’hemispherenord (f > 0), le vecteur vitesse tourne, dans ce cas, dans le sens des aiguilles d’une montre(conformementa l’effet de la force de Coriolis qui devie les trajectoires vers la droite par rapporta la direction du mouvement). La force de rappel pour la propagation d’une onde inertielle estdonc cette force de Coriolis. On observe ce type d’oscillations quand on mesure les courants enun endroit donne de l’ocean loin des cotes (figure4.4).

Ceci montre que la force de Coriolis joue le role de la force de rappel. Comme le couplagevertical a disparu des deuxequations pouru, v, tout se passe comme si une couche horizontaled’eau oscille ”en bloc”a la frequence de Coriolis, independamment des couches en-dessouset au-dessus, qui, eux, oscillentegalementa la meme frequence mais avec des amplitudes etphases differentes.


1

M

N

M

6

-ex

ez

k

Figure 4.2 : Ondes de gravite. Les plans d’ondes (representes par des lignes reliant les cretes ou lescreux) sont perpendiculaires au vecteur d’ondek qui fait un angleθ avec l’horizontale.Les fleches indiquent la direction du vecteur vitesse du au passage de l’onde.

8

Figure 4.3 : La presence d’ondes internes peut expliquer le phenomene des eaux mortes, qui fait en sorteque l’energie normalement utilisee pour faire avancer un bateau genere des ondes internesa la place, ondes qui se deplacent ensuite.


Figure 4.4 : Progressive vector diagramme (hodographe) d’un courantometre. Ce graphique est obtenuen connectant, instant apres instant, les differentes vitesses mesurees. Si le courantetaithomogene horizontalement (cohernet avec l’analyse limitekx, ky → 0), ce diagrammerepresenterait la trajectoire d’une masse d’eau. On y observe clairement les oscillationsd’inertie superposeesa un courant moyen vers le nord-nord/ouest.


Dans le cas general, la combinaison des forces de rappel d’Archimede et de la force deCoriolis donne lieu aux ondes appelees de gravite-inertie dont nous avons trouve la relation dedispersion (4.20). Notonsegalement que dans le cas des ondesa un rapport d’aspect faible(θ ∼ π/2, k2

z À k2x + k2

y , appelees ondes longues), la relation de dispersion (4.20) estcoherente avec la relation de dispersion des ondes hydrostatiques (4.16).

4.2.2 Ondes internes longues dans le planβ

Nous allons d’ailleurs poursuivre l’etude des ondes longues pour lesquelles nous pouvonsdonc utiliser l’approximation hydrostatique. Comme nous allons analyser des ondes longues,nous pouvons nous demander si le fait que ses ondes varient seulement sur des distances hori-zontales importantes justifie encore l’utilisation d’un parametref constant.

Afin d’ elucider cette question, nous allons doncetudier les ondes longues dans le planβ.Ici, on reutilisera donc l’ hypothese d’un rapport d’aspect faible, mais avecf=f0+βy. Commenous sommes en presence d’un systeme dont un parametre varie selony, nous ne pouvons plusa priori chercher une solution du type onde dans cette direction

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (4.28)

∂u

∂t= (f0 + βy)v − ∂q

∂x, (4.29)

∂v

∂t= −(f0 + βy)u − ∂q

∂y, (4.30)

∂q

∂z= b, (4.31)

∂b

∂t+ N2w = 0. (4.32)

Par contre, l’elimination des variables effectuee reste valable (on n’a jamais du deriverselony) et nous fournit comme precedemment

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2− N2 ∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2− N2 ∂

∂y

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)

mais ou f n’est plus constant. Etant donne la dependance des coefficients eny, nous cherchonsune solution dans un domaine infini du type suivant

(u, v) = (U(y),V(y))ei (kxx+kzz−ωt) (4.33)

ou les fonctionsU(y) etV(y) doivent satisfaire lesequations homogenes

k2zω

2U = i fk2zωV − i N2kx

(i kxU +

dVdy

)(4.34)


k2zω

2V = −i fk2zωU − N2 d

dy

(i kxU +

dVdy

)(4.35)

L’ elimination4. de(k2zω

2 − k2xN

2)U mene alorsa l’equation differentielle ordinairea co-efficients variables suivante

−ω2N2 d2Vdy2

+(ω2(f 2 − ω2)k2

z + ω2N2k2x + βkxωN2

)V = 0 (4.36)

Comme nous avons explicitement introduit la variation def (le terme enβ qui provient d’unederivee), nous pouvonsa ce stade (dans lequel il ne faut plus deriver selony) approximerf parf0, puisque les variations def sont supposees faibles dans la mesure ou l’on ne peut s’ecartertrop de l’origine des axes. Ici, on peut donc supposera presentf = f0 et une solution du typeV(y) = ei kyy nous fournit la relation de dispersion

ω(k2y + k2

x) + ω(f 2 − ω2)N−2k2z + βkx = 0 (4.37)

ou nous notonsf a la place def0. Cette relation de dispersion est uneequation cubique enω etpourβ = 0, nous retrouvons la relation de dispersion des ondes internes hydrostatiques. Lesdeux solutions correspondantes seront peu perturbees5 par un terme correctif proportionnelaβ.Par contre, une troisieme racine de l’equation sera du typeω = 0 + O(β) et satisfaitω2 ¿ f2.Elle donne lieua une relation de dispersion particuliere d’ondes appelees ondes de Rossby

ω =−βkx

k2x + k2

y + k2zf

2N−2(4.38)

Commeβ est un petit parametre, nous constatons que c’est une onde de basse frequencecoherente avec l’approximation hydrostatique (ω2 ¿ N2 et ω2 ¿ f2). Sa vitesse de phaseest negative selonex, ce qui veut dire que les ondes se deplacent vers l’ouest. Ceci est parti-culierement bien visible quand on effectue un diagramme de Hovmoller (coupe(x, t)) du niveaud’eau dans l’ocean indien (figure4.5). On y detecte clairement le deplacement vers l’ouest desondes.

D’autre part, le calcul de la vitesse de groupecg = ex∂ω∂kx

+ ey∂ω∂ky

+ ez∂ω∂kz

revele que selonl’axe ex

cg ·ex =β

(k2

x + k2y + k2

zf2N−2

)2

(k2

x − k2y − k2

zf2N−2

)(4.39)

peut changer de signe selon les valeurs relatives dek2x etk2

y + k2zf

2N−2.Ainsi un paquet d’ondes transporte l’energie vers l’ouest sik2

x < k2y + k2

zf2N−2, alors que

pour des ondes plus courtesk2x > k2

y + k2zf

2N−2, l’ energie se propage vers l’est.Nous sommes donc en presence d’ondes longues qui propagent l’energie vers l’ouest, alors

que les ondes plus courtes les propagent vers l’est. Comme lesondes longues se brisent souvent

4 On supposera que(k2

zω2 − k2

xN2)6= 0 pour l’instant. Le cas contraire sera traite dans la suite dans le cadre

de l’etude de l’onde de Kelvin p.1025 Pour un traitement par une methode des perturbations de l’equation cubique voir section A.9.

4.3. ONDES INTERNES AVEC FRONTIERES 99

Figure 4.5 : Diagramme de Hovmoller des perturbations de surface dans l’ocean indien.

en plus petits paquets quand ils rencontrent une cote, ces ondes plus courtes propagent ensuitel’ energie vers l’est. Comme de plus, la dissipation d’energie est generalement plus efficaceaplus petiteechelle, il y aura des systemes moinsenergetiquesa l’est des oceans qu’a l’ouest.

En ce qui concerne le mecanisme de propagation de ces ondes, nous constatons queω2 ¿f 2 et que l’equation de la quantite de mouvement se reduit en premiere approximationa unequilibre entre gradient de pression et force de Coriolis (puisque la derivee temporelle estnegligeable). Cetequilibre geostrophique (chapitre 5) fera donc en sorte que les courants autourd’une basse pression tournent dans le sens antihorlogique dans l’hemisphere nord, puisque laforce de Coriolis devie les trajectoires vers la droite par rapporta la trajectoire ”haute pressionvers basse pression” que l’on observerait en l’absence de rotation.

De plus, l’equation de l’evolution de la vorticite (3.125) se reduit essentiellement6. a uneconservation de la vorticite totale f + ∂v

∂x− ∂u

∂yle long d’une trajectoire. Dans ce cas, si

nous imaginons une parcelle de fluide prise dans l’engrenagedes cellules de circulation quise deplace vers le sud (figure4.6), elle doit augmenter sa vorticite relative puisquef diminue.Cette parcelle introduira donc une tendancea la rotation antihorlogique. Cet ajouta une cir-culation antihorlogiquea gauche d’une autre circulation antihorlogique fera alorsen sorte quecette derniere structure est deplacee vers la gauche. Comme le meme deplacement est cree pourune structure qui tourne dans le sens horlogique, tout le systeme se deplace vers la gauche.

4.3 Ondes internes avec frontieres

Dans la realite, les domaines ne sont pas infinis mais limites. La presence de frontierespourra induire, outre des reflexions d’ondes, des processus particuliers que nousetudieronsdans la suite. A cette fin, nous nous limitonsa l’analyse de cas relativement simples,a savoirla presence d’un fond et d’une surfacea distance finie ainsi que la presence d’une cote lateralerectiligne.

6Sans entrer dans le detail des calculs, la vorticite totale est essentiellement verticale (membre de gauche) alorsquee3·∇v est essentiellement horizontal et de meme pour le dernier terme. Il s’ensuit que la composante verticalede la vorticite absolue est conservee le long d’une trajectoire


H L

L H

?

6-

¾

¾

?-

6

¾

6 6

-

?

¾-

?

6∇f? 6

6/

¾

¾

Figure 4.6 : Mecanisme de propagation des ondes de Rossby parequilibre quasi-geostrophique et con-servation de la vorticite dans l’hemisphere nord.


Si nous placons la cote rectiligne eny = 0 et considerons le demi-plany > 0 commeregion d’interet, une dependance enz et/ouy ne permet plusa priori une solution basee sur desfonctions du typeekyy+kzz.

Dans un premier temps, nous analysons les solutions dans un plan f entre deux couchesrigides enz = −h et z = 0 impermeables, maintenuesa la meme poussee (perturbationbnulle aux parois). Nous reutilisons, dans ce cas, les memesequations que precedemment pourl’ etude des ondes non-hydrostatiques dans le planf et recherchons des solutions du type

(u, v, q) = (U(y),V(y),Q(y)) ei (kxx−ωt) cos(kzz) (4.40)

(w, b) = (W(y),B(y)) ei (kxx−ωt) sin(kzz) (4.41)

aveckz = nπh

pour satisfaire les conditions aux limites.Les fonctions recherchees doivent alors satisfaire

i kxU +dVdy

+ kzW = 0 (4.42)

−i ωU = fV − ikxQ (4.43)

−i ωV = −fU − dQdy

(4.44)

−kzQ = B (4.45)

−i ωB + N2W = 0 (4.46)

4.3.1 Spectres discrets

Nous pouvons procedera uneelimination similairea celle utilisee dans le cas du domaineinfini ou nous pouvons, comme le domaine est infini eny, rechercher une solution du typeei kyy

pour (4.42)a (4.46), ce qui donnera l’equation de dispersion du planf

ω2 =f 2k2

z + N2(k2x + k2

y)

k2x + k2

y + k2z

(4.47)

mais ou les valeurs admises dekz forment un spectre discret

ω2n =

f 2(

nπh

)2+ N2(k2

x + k2y)

k2x + k2

y +(

nπh

)2 n = 1, 2, 3, ... (4.48)

Pour une stratification uniforme continue il y en a une infinites de modes. Le premier moden =1 est caracterise par un seul extremum de la perturbation de densite, alors que le moden = 2 ena deux etc .... Ceci peut facilementetre mis enevidence dans une experience de laboratoire ou


16

Figure 4.7 : Les deux premiers modes pour une stratification en couches. Section verticale a travers lescouches de densite differentes colories differemment.

l’on remplace la stratification uniforme par une superposition de quelques couches de fluidesde densites differentes (figure4.7). Dans ce cas, on observe que pour le premier mode, lesinterfaces bougent toutes dans la meme direction (un seul extremum de perturbation de densite)alors que pour le mode 2, des interfaces oscillent en opposition de phase.

Si en y=0, on introduit une cote, la solution reste valable et la condition aux limitesV(y) = 0eny = 0 imposera simplement la reflexion de l’onde sur cette cote.

4.3.2 Onde de Kelvin

La presence d’une cote permet neanmoins un autre type de solutions. Nous pouvons obtenircette solution particuliere directement en cherchant une solution qui permetv = 0 partout dansle domaine (et on particulier, sur la cote). Cette demarche est justifiee par le fait que lorsde l’elimination des variables entre (4.34) et (4.35), nous avons multiplie certains termes par(k2

zω2 − k2

xN2). Ceci n’estevidemment pas licite quand ce terme est nul et on peut se poser la

question de savoira quelle situation correspond ce cas particulier. En reprenant (4.34) et (4.35)(avec le spectre discret pourkz)

k2zω

2U = i fk2zωV − i N2kx

(i kxU +

dVdy

)

k2zω

2V = −i fk2zωU − N2 d

dy

(i kxU +

dVdy

)

nous observons que la premiereequation necessite alorsV = 0 si (k2zω

2 − k2xN

2) = 0, alorsque la seconde se reduita

dUdy

= −fωk2z

N2kx

U (4.49)

Nous trouvons alors une solution pour des ondes (dites ”de Kelvin”) internes non disper-sives. La solution s’ecrit

U(y) = U0e− fωk2

zN2kx

y (4.50)


Figure 4.8 : Champ de vitesses et de densite dans un planx, z d’une onde de Kelvin pour le modefondamentaln = 1. Le champ de densite est represente par les niveaux de gris.

et comme nous nous interessons au domainey > 0, il faut queω/kx ≥ 0, ce qui veut direque l’onde se deplace, la cote a droite. Comme de plusk2

zω2 − k2

xN2 = 0, ceci peut s’ecrire

(kz = nπ/h)U(y) = U0e

− yRn , (4.51)

Rn =hN

nπf(4.52)

ou nous avons defini le rayon de deformation de Rossby interne. Pour le mode fondamental(n = 1), le rayon de deformation associe7

RI =hN

f(4.53)

est souvent appele LE rayon de deformation de Rossby (en realite, il est le premier d’une serie).Il est particulierement important puisque les modes pluseleves ont un rayon de deformationplus faible, ce qui se traduit ici par une disparition rapidede l’onde vers le large. Nous notonsque la vitesse de propagation associeea chaque mode est

cn =ωn

kx

=Nh

nπ(4.54)

qui est d’autant plus petite que le mode esteleve et que la structure spatiale est rapidementamortie vers le large.

La structure de la solution nous renseigne sur le mode de propagation

u = U0e− y

Rn cos(nπ

z

h

)cos [kx(x − cnt)] , v = 0 (4.55)

7Le facteurπ n’est du qu’a la geometrie particuliere choisie et on prefere souvent definir le rayon dedeformation de Rossby sans ce facteur.


6¾ey

ez

Figure 4.9 : Structure verticale d’une onde de Kelvin dans un plan(−y, z). Il existe unequilibre entrela force de pression et la force de Coriolis dans la directiony. (Voir egalement la notion devent thermique . (chapitre 5))

w =kx

kz

U0e− y

Rn sin(nπ

z

h

)sin [kx(x − cnt)] (4.56)

b = −N2kx

ωkz

U0e− y

Rn sin(nπ

z

h

)cos [kx(x − cnt)] (4.57)

q =N2kx

ωk2z

U0e− y

Rn cos(nπ

z

h

)cos [kx(x − cnt)] (4.58)

Comme precedemment,b > 0 indique une descente d’eau legere (perturbation de poussee).Nous constatons d’abord que, selony, nous avons l’equilibre entre la force de pression et laforce de Coriolis (4.44) puisqueV = 0. Dans une section verticale selonx (figure4.8), nousobservons qu’en un endroit pres du fond ou les interfaces sont pluseleves,b < 0 et la perturba-tion de pression est positive. Son gradient selony est negatif (car nous avons une decroissanceexponentielle (figure4.9)), ce qui engendre unu positif (la force associeea la perturbation depression pousse le fluide dense accumule a la cote vers le large, mais la force de Coriolis deviel’ ecoulement vers la droite). Comme en aval de cette vitesseu positive, la vitesse verticalewest positive, celle-ci fera remonter les interfacesa cet endroit et propage donc l’onde vers ladroite.

Comme les ondes de Kelvin ont une amplitude qui decroıt exponentiellement vers le largedes cotes, on parle d’ondes piegees. Elles constituent un mode de propagation particulier as-socie a la rotation du systeme (figure4.10) et interviennent notamment dans la propagationd’ondes de marees internes8.

Si nous revenonsa notre schema des processus observes (figure4.11), nous devons constaterque les relations de dispersionetablies ne sont pas valables pour toutes les longueurs d’ondes,car nous avons neglige les effets de diffusion, de refraction par les cotes non rectilignes etc.... Comme uneechelle inherente au systeme est le rayon de deformation de RossbyNh

f, cette

echelle sera particulierement sensible aux sollicitations exterieuresa cetteechelle, et c’est dansla fenetre spectrale, autour de cetteechelle spatiale et les frequences associees via la relation dedispersion, que ces ondes internes observees sont les plusenergetiques.

8 Le meme types d’ondes existe pour l’interface libre de la surface des oceans. Dans ce cas, la force de rappelest la gravite qui tente de ramener la surface libre vers sa position d’equilibre horizontale. L’onde de Kelvin quiintervient dans ce cas propage alors les marees le long de cotes.


Figure 4.10 : Ondes internes sans rotation et avec rotation dans un domaine ferme. Dans le cas dubassin ferme en rotation une onde cotiere se deplace en laissant la cotea droite pour unerotation antihorlogique. Vue d’en haut d’un systeme excite par un battement dans le coininferieur gauche. Les couleurs correspondent aux deplacement d’une interface.

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

marees

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couchede

melange

accoustiques


longeurcaracteristique

(m)

microturbulence


tourbillonsgeostrophiques

fronts

circulation

circulationthermo-haline

houle

tempetes

[35]

Figure 4.11 : Ondes internes dans le spectre des mouvements oceaniques.


4.4 Exercices

4.4.1 Oscillation d’inertie [F]

En observant une oscillation dans l’enregistrement d’un courantometre d’une periode de15h et une rotation du vecteur vitesse dans le sens antihorlogique, que peut-on dire de l’endroitou se trouve le courantometre?

4.4.2 Vitesse de groupe des ondes internes [F]

Demontrer que la vitesse de groupe et la vitesse de phase des ondes de gravite-inertie (non-hydrostatiques) sont perpendiculaires pourf = f0

4.4.3 Ondes non-hydrostatiques avecf ? 6= 0 [N]

Demontrer que dans le cas des ondes non-hydrostatiques avecf? 6= 0, la relation de disper-sion est (negliger les variations def etf ?)

ω2 =

((2Ω·k

)2

‖k‖2+

k2x + k2

y

‖k‖2 N2

). (4.59)

4.4.4 Conditions sur une surface libre [N]

Demontrer que pour des petites perturbations par rapporta unetat de reference au repos, lacondition dynamique en surface s’ecrit

∂q

∂t= gw en z = 0 (4.60)

4.4.5 Vitesse de groupe verticale [F]

Pour les ondes d’inertie gravite dans un domaine infini du planf , calculez la vitesse degroupe verticale et compareza la vitesse de phase verticale.

4.4.6 Onde interne generee par une maree [N]

Une onde interne est generee par une mareeM2 de periode 12.42 heures. Si la frequencede Brunt-Vaisala N vaut 10−3 s−1, dans quelles directions l’energie des ondes internes peut-elle etre propagee si l’on suppose la rotation de la terre negligeable ?Suggestion:Calculer lavitesse de groupe qui est perpendiculairea la vitesse de phase.

4.4. EXERCICES 107

6

-ex

ez

-----

UN

?

62H

-¾2πkx

Figure 4.12 : Section verticale pour l’etude des ondes de lee.

4.4.7 Ondes de lee [D]

Soit une topographie cosinusoıdaleh = H cos(kxx) de nombre d’ondekx (figure4.12). Unvent uniforme de vitesseU souffle au-dessus dans un environnement stratifie uniformement.En negligeant la rotation de la terre, calculez les ondes generees au dessus de la topographieen supposant que les variations deh sont faibles. Distinguer le casN2 ≥ U2k2

x et N2 ≤U2k2

x. Suggestion:Reformuler le probleme par un deplacement uniforme de referentiel danslequel le fond bougea une vitesse−U et y appliquer la condition d’impermeabilite pour lavitesseu dans le nouveau systeme d’axes. Negliger la friction et appliquer la seule conditiond’impermeabilite. Simplifier la condition d’impermeabilite en utilisant le fait que les variationsdeh sont faibles de sorte que l’on peut negliger les termes enu·∇h.

4.4.8 Ondes internes sans restriction d’amplitude [N]

Demontrer qu’une onde plane seule (satisfaisant la relationde dispersion) dans le planf estsolution desequations non-lineaires:

∂b

∂t+ v·∇ (b0(z) + b) = 0 (4.61)

∇·v = 0 (4.62)

∂v

∂t+ v·∇v + fe3Λv = −∇q (4.63)

ω2 =f2k2

z+N2(k2x+k2

y)

k2x+k2

y+k2z

4.4.9 Energie d’une onde de gravite-inertie interne [D]

Pour les ondes d’inertie gravite dans un domaine infini du planf , calculez l’energie cinetiquemoyenne (sur une longueur d’onde). Pour calculer l’energie potentielle moyenne associeea uneonde, constatez que le deplacement verticalη d’une isoligne de densite permet de calculer lavariation d’energie potentielle associee.


Que se passe-t-il en absence de rotationf = 0 ?Suggestion:Etablir quew = ∂η

∂tet que l’energie potentielle locale est proportionnellea

N2η2.

4.4.10 Relation de dispersion avec surface libre [TD]

Pourf ? = 0, β = 0 et une hauteur d’eauh, etablir la relation de dispersion

tanh(γh)

γh=

ω2 − f 2

gh(k2x + k2

y)(4.64)

γ =

√(k2

x + k2y)(ω

2 − f 2)(N2 − ω2)

ω2 − f 2(4.65)

Analysez ce qui se passe pourγ imaginaire et|γ|h À 1.D’autre part, analysez le mode de plus basse frequence et demontrez qu’il disparaıt quand

on utilise une condition aux limitesw = 0 en surface (rigid lid). Demontrez aussi que ce mode(barotrope) possede une vitesse horizontale qui ne s’annule nulle part sur laverticale (pour cettepartie, supposez queky = 0).

4.4.11 Ondesequatoriales [D]

Etablir la relation de dispersion pour les ondes internes d’un fluide stratifie uniformementpres de l’equateur en supposantf ? = 0 et f = βy. Demontrer que l’equation pour la com-posante sud-nord de la vitesse se reduita

ω(ω2 − N2

) d2Vdy2

+[(

ωk2x(N

2 − ω2) + βkx(N2 − ω2) + ωk2

z(β2y2 − ω2)

)]V = 0. (4.66)

La relation de dispersion s’obtient alors en imposant que lasolution de cetteequation (des fonc-tions paraboliques cylindriques) est borneea l’infini (et est alors liee aux polynomes d’Hermite).

Bibliographie

[1] J.-M. Beckers. Mecanique des fluides geophysiques. Notes provisoires des repetitions1994-95. Universite de Liege, 150 p., 1994.


[3] W. Krauss.Methoden und Ergebnisse der Theoretischen Ozeanographie,II, Interne Wellen.Gebr. Borntraeger, Berlin - Stuttgart, 1973.

[4] P. H. LeBlond and L.A. Mysak.Waves in the ocean. Elsevier, New York, 1978. 602 pp.




109

110 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 5

Equilibre geostrophique

111

112 CHAPITRE 5. EQUILIBRE GEOSTROPHIQUE

Dans le chapitre precedent, nous avonsetudie quelques modes propres d’oscillations dusysteme. A present, nous allons au contraire supposer que les variationsdans le temps (etl’espace) ne sont pas rapides pour degager un mecanisme d’equilibre des forces que nous ob-servons tous les jours sur les cartes de prevision meteorologique: l’equilibre entre la force depression de la force de Coriolis, appele equilibre geostrophique.

5.1 Grandesechelles

L’ etude de cetequilibre necessite une analyse des ordres des grandeurs des differents termesde l’equation de quantite de mouvement afin de determiner sous quelles conditions les termesde pression et de Coriolis pourraientetre dominants. Nous nous placons dans le cadre d’unecoulementa faible rapport d’aspect et comme deja montre, seule la viscosite/diffusion verti-cale importe dans ce cas. Ici, cela sera la diffusion turbulente ν, car le nombre de ReynoldsmoleculaireUL

νmontre que les fluides geophysiques sont toujours turbulents. Avecv = u+wez,

nous avons∇·v = 0 (5.1)

∂u

∂t+ ∇·(vu) + fe3Λu = −∇hq +

∂

∂z

(ν∂u

∂z

)(5.2)

∂q

∂z= b, b = −ρ − ρ0

ρ0

g (5.3)

L’analyse des ordres de grandeur de l’equation de la conservation de la masse nous indiqueque la vitesse verticale ne depasse pasW ∼ D

LU a cause du rapport d’aspect faible.

D’autre part, l’equation de la quantite de mouvement horizontale fournit les estimationssuivantes pour les differents termes

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇·(vu)︸︷︷︸ + fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸ +

∂

∂z

(ν∂u

∂z

)

︸︷︷︸

U

T

U2

LfU

Q

L

νU

D2

ou U est une vitesse horizontale de reference,L l’ echelle horizontale,D l’ echelle verticale etTune periode caracteristique d’evolution.

Comme nous sommes interesses par lesecoulements pour lesquels la force de Coriolis estimportante, nous allons comparer les termes par rapporta celle-ci

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇·(vu)︸︷︷︸ + fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸ +

∂

∂z

(ν∂u

∂z

)

︸︷︷︸

fU · 1

fT

U

fL1

Q

fUL

ν

fD2

Nous introduisons donc tout naturellement les nombres sansdimension suivants :

5.2. EQUILIBRE GEOSTROPHIQUE 113

• Nombre de Rossby Ro

Ro =U

fL(5.4)

• Nombre de Rossby temporel Rot

Rot =1

fT(5.5)

• Nombre d’Ekman Ek

Ek =ν

fD2(5.6)

5.2 Equilibre geostrophique

L’analyse des ordres de grandeur en fonction de ces nombres sans dimension indique lesimportances relatives des termes par rapporta la force de Coriolis

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇·(vu)︸︷︷︸ + fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸ +

∂

∂z

(ν∂u

∂z

)

︸︷︷︸

fU · 1

fT

U

fL1

Q

fUL

ν

fD2

fU · Rot Ro 1Q

fULEk

Si Ro¿ 1, Rot ¿ 1 et Ek¿ 1, alors l’equation de la quantite de mouvement se reduita 1

fe3Λu = −∇hq = − 1

ρ0

∇hp (5.7)

∂q

∂z= b (5.8)

Cet equilibre est appele l’equilibre geostrophique. Par une mesure ou une estimation relative-ment simple des nombres sans dimension en question, il est donc possible de determiner si unecoulement est proche de l’equilibre geostrophique (et sinon, quel autre mecanisme intervientdans la balance des forces).

Nous constatons aussi que l’equilibre entre la force de pression et la force de Coriolis in-dique que la bonneechelle pour la pression dynamique estρQ ∼ ρfUL, nettement plus faibleque la pression hydrostatiqueρgD. Ceci indique donc bien que ce n’est pas la pression hydro-statique de l’etat de reference qui est dynamiquement importante.

Nous rencontrons cetequilibre tous les jours lors des previsions meteorologiques (figure5.1).

1 q = p/ρ0 + gz


Figure 5.1 : Prevision du 20/10/2003 pour le 23/10/2002 13:00 et copie journal du 23/10/2002.L’ equilibre geostrophique permet le diagnostique des courants pour un champ de pres-sion et les mouvements d’air suivent en premiere approximation les isobares. La previsionnecessite cependant une prevision de l’evolution de ce champ de pression. Selonl’h emisphere, la denomination de cyclone (qui est associe a une basse pression) fait doncreferencea une circulation antihorlogique (hemisphere nord) ou horlogique (hemispheresud). De meme, l’anticyclone designe une haute pression et le sens de la circulationgeostrophique associee change avec l’hemisphere.

Cette equation d’equilibre geostrophique est uneequation diagnostique dans le sens qu’ilfaut connaıtre le champ de pression qui permet le calcul des vitesses. L’ equation de la conser-vation de la masse n’est pas d’utilite pour la determination de ce champ de pression puisquela conservation de la masse est trivialement satisfaite. Eneffet, pourf constant et une vitessepurement geostrophique

fv =∂q

∂x(5.9)

fu = −∂q

∂y(5.10)

et nous avons∂u

∂x+

∂v

∂y=

1

f

(− ∂

∂x

(∂q

∂y

)+

∂

∂y

(∂q

∂x

))= 0 (5.11)

de sorte que∂w∂z

= 0. La vitesse verticale est donc constante sur une verticale et nulle si le fondou la surface libre est horizontale.

Si l’on utilise l’equation geostrophique pour determiner les vitessesa partir d’un champ depression, on doitetre conscient du fait que cela enleve toute possibilite de satisfaire les con-ditions aux limites et initiales du probleme physique non simplifie. Tout comme lesequationsd’Euler simplifiant lesequations de Navier-Stokes ne permettent pas de satisfairedes condi-tions aux limites dynamiques et sont seulement valables en dehors des couches limites, iciaussi, l’equilibre geostrophique ne peutetre utilise qu’en-dehors des couches limites (chapitre6).

Le calcul du champ de pression peutetre effectue a partir du champ de densite s’il estconnu. En effet, via l’integration de l’equilibre hydrostatique des perturbations de densite, nous

5.3. VENT THERMIQUE 115

.......................................................................................................................

L

L

Cyclones Anticyclones

H

H

¾

-

6

?

-

?

66

-

?

¾

6

¾

?

-

6

¾

S

6-?¾N

E EquateurW

Figure 5.2 : Definition des cyclones et anticyclones dans les deux hemispheres.

pouvons calculer la pression,a une constante locale pres. Si le champ de densite est connu,nous pouvons effectivement integrer,

∂q

∂z= b (5.12)

ce qui determine la pression reduiteq

q =

∫ z

zref

b dz + qref (5.13)

mais on doit connaıtre la pressiona une profondeur de reference donnee. Cette constanted’integrationqref peutetre differente en chaque point(x, y) et nous devons en realite determinerun champ bidimensionnel.

5.3 Vent thermique

Nous pouvonseviter le probleme de ce champ bidimensionnel de pression inconnue eneliminant la pousseea partir de l’equilibre hydrostatique (5.12) et une derivation de l’equilibregeostrophique (5.9) et (5.10), ce qui fournit

∂v

∂z=

1

f

∂b

∂x(5.14)

∂u

∂z= − 1

f

∂b

∂y(5.15)

Ici, le cisaillement vertical du courant geostrophique horizontal est entierement determinepar les gradients horizontaux de densite. Bien entendu, si nous voulions determiner la vitesse


Figure 5.3 : Schema d’un front thermique dans l’atmosphere au dessus d’un sol plat. En rouge, airchaud, en bleu, air froid (en dessous). Les fleches indiquent le cisaillement du au ventthermique.

absoluea la place du cisaillement, nous devrions integrer cesequations (dites du vent thermique)selon la verticale, ce qui reintroduirait le probleme des constantes d’integration.

En fonction de la densite le vent thermique s’exprime comme suit

∂v

∂z= − g

fρ0

∂ρ

∂x(5.16)

∂u

∂z=

g

fρ0

∂ρ

∂y(5.17)

Un gradient horizontal de densite cree donc bien un cisaillement vertical du courant geostro-phique. Inversement, en l’absence de gradients horizontaux de densite la vitesse geostrophiqueest uniforme sur la verticale.

Historiquement, la denomination ”vent thermique” provient de l’utilisation decetequilibrepour determiner les vents associesa un front atmospherique au debut de la prevision meteorolo-gique (figure5.3).

Comme les airs froids et plus denses ont tendancea glisser en dessous des airs chauds, laforce de Coriolis les devie, un vent thermique apparaıt et maintient le front de sorte que toutel’ energie potentielle associeea la masse d’air plus dense n’est pas liberee.

Si la structure de densite pres d’un front peutetre schematisee par la presence de deuxmasses d’air homogenes de densite differentes, la relation du vent thermique prend une forme

5.4. COLONNES DE TAYLOR POUR UN FLUIDE HOMOGENE 117

6

-ex

ez

ρ2

ρ1

v1

v2

∆x

∆z

Figure 5.4 : Front thermique discontinu. Deux masses de fluide de densitesρ1 et ρ2 sont separees parune interface de pente∆z/∆x.

”discrete”2 et s’appelle la relation de Margules pour deux masses de densite uniformeρ1 etρ2

v1 − v2 = − g

ρ0f(ρ2 − ρ1)

∆z

∆x(5.18)

Nous pouvonsegalement mentionner que cetequilibre geostrophique aura une importancecapitale sur l’evolution des transitoires liesa un ajustement d’une situation de desequilibre. Siune masse d’eau legere isolee est placee au centre d’une masse d’eau plus dense dans un systemesans rotation (figure5.5), la force de pression agira dans le sens d’unetalement de cette napped’eau legere jusqu’a ce que cette eau legere soit distribuee sur une couche d’epaisseur constanteau-dessus du fluide plus lourd. Par contre, en presence de rotation (figure5.6), une situationd’equilibre geostrophique est possible et la nappe d’eau legere reste confinee au centre, prisedans une circulation duea l’equilibre geostrophique.

5.4 Colonnes de Taylor pour un fluide homogene

Le fait que la divergence horizontale de la vitesse geostrophique est nulle, neglige bien-entendu le fait que les vitesses reelles ne sont pas en parfaitequilibre geostrophique.

Comme l’ equilibre geostrophique aete obtenu en negligeant les termes en Ek, Ro et Rot,nous avons donc en realite un terme correctif proportionnel aux termes negliges

fv =∂q

∂x+ fU O (Ro, Rot, Ek) (5.19)

2On suppose le front uniforme selony


Figure 5.5 : Ajustement d’une nappe legere en l’absence de rotation. La nappe continuea s’etaler.

Figure 5.6 : Ajustement d’une nappe legere avec rotation. Uneequilibre geostrophique s’installe et lanappe cesse de s’etaler.

fu = −∂q

∂y+ fU O (Ro, Rot, Ek) (5.20)

Comme sur le planf , ∂∂x

(1f

∂q∂y

)− ∂

∂y

(1f

∂q∂x

)= 0, nous avons

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (5.21)

0 +U

LO (Ro, Rot, Ek) +

∂w

∂z= 0 (5.22)

de sorte que l’echelle correcte pourW dans unecoulement proche de l’equilibre geostrophiquen’est pasD

LU mais

W /D

U/L= Ro¿ 1 (5.23)

si l’on suppose Rot ≤ Ro et Ek≤ Ro. En resume, pour unecoulement purement geostrophique,∂w∂z

= 0 alors que les composantes non-geostrophiques font en sorte que l’echelle de la vitesseverticale est donnee par (5.23). Comme cetteechelle de vitesse verticale est nettement plusfaible (Ro ¿ 1) que la vitesse verticale pour un mouvement de rapport d’aspect D/L, onpeut dire que la tendance geostrophique reduit fortement les vitesses verticales par rapportaune situation habituelle (dans laquelle le courant suit le rapport d’aspect de la topographie, parexemple).

5.4. COLONNES DE TAYLOR POUR UN FLUIDE HOMOGENE 119

6

-

ez

ex

-6

ex

ey

:-

-

-

-

Áµ

js

1

Figure 5.7 : Ecoulement schematique autour d’un obstacle. Pour unecoulement purementgeostrophique tout se passe comme si l’obstacle occupait toute la colonned’eau.

Si nous sommes en presence d’unecoulement purement geostrophique et que nous im-posons la condition aux limites d’impermeabilite au fond

w = u·∇h, z = −h

l’ equation de continuite pour unecoulement purement geostrophique impose

∂w

∂z= 0

et pour unecoulement geostrophique, la vitesse verticale est nulle (si elle est nulle en surface:rigid-lid ), de sorte que l’ecoulement au fond suivra les lignes deh constant:u·∇h = 0.

Comme en l’absence de stratification et donc de vent thermique∂u

∂z= 0, il s’ensuit que

l’ ecoulement en surface suit, dans ce casegalement, les lignes deh constant. Cette proprietedonne lieua un processus particulier, les colonnes de Taylor (”TaylorColumn”). En effet,pour unecoulement geostrophique d’un fluide homogene au-dessus d’un obstacle situe sur lefond (figure5.7), tout se passe pour l’ecoulement geostrophique comme si l’obstacleetait unecolonne virtuelle qui s’etend du fonda la surface, puisque l’ecoulement geostrophique con-tourne l’obstacle sur toute la hauteur de la colonne d’eau envertuu·∇h = 0.

Ces colonnes sont aisement mises enevidence en laboratoire. Apres avoir mis un fluide enrotation uniforme, on decelere quelque peu la plaque tournante. A ce moment, par rapportaureferentiel de la plaque en rotation, nous avons unecoulement relativement lent par rapportacette plaque. Cetecoulementevitera alors l’obstacle qui est situe sur le fond. Les trajectoiresen surface (reperees par des particules flottantes) sont bien deviees par cette colonne virtuelleassocieea l’obstacle sur le fond.

Si l’ ecoulement n’est pas purement geostrophique mais reste domine par la geostrophie,(c’est-a-dire pour des faibles valeurs de Rossby), l’echelle de la vitesse verticale est donnee par

W /D

U/L= Ro¿ 1

Ceci impliquera que l’ecoulementevitera les obstacles de rapport d’echelleD/L puisque sur lefond, la condition d’impermeabilite impose

w = u·∇h


9

Figure 5.8 : Experience sur une table tournante.

6-

ez

ex

-------

-----

-6

ex

ey

--------

zzzzzzzz

Figure 5.9 : Si unecoulement geostrophique est force de passer au-dessus d’un obstacle, la geostrophieest detruite et des effets non-lineaires interviennent.

alors que l’echelle de la vitesse verticale est donnee d’autre part par (5.4). La vitesse verticalepour un obstacle de rapport d’echelle D

Lest bien RoU D

L, alors la condition d’impermeabilite

impose

w ∼ u·∇h ∼ RoU

LD ⇒ u·∇h ∼ Ro ‖u‖‖∇h‖

ce qui n’est possible que si l’angle entreu et ∇h est proche de90. L’ ecoulement est ainsiquasi perpendiculaire aux gradients de topographie, c’est-a-dire quasi parallele aux lignes deniveau.

Comme il n’est pas toujours possible de contourner des obstacles, (notamment s’ils barrenttout un passage entre deux parois) et si l’on force l’ecoulement au-dessus d’une topographietrop importante, le systeme ne peut pas rester geostrophique (sinon, il suit la topographie) etle nombre de Rossby doit augmenter: effets non-lineaires et deviations du courant font leurapparition.

5.5. DEGENERESCENCE DE L’EQUILIBRE GEOSTROPHIQUE 121

5.5 Degenerescence de l’equilibre geostrophique

Nous revenonsa present sur le probleme de l’indetermination partielle de l’equilibre geo-strophique.

5.5.1 Pression de reference

Il faudrait en effet, pour completement determiner la pressiona partir de la densite, connaıtrela pression en un endroit de chaque verticale locale.

Nous pourrions ainsi imaginer de mesurer la pressionpmes a une profondeur donnee puisquedans ce cas, cette pression mesuree permettrait le calcul direct de la pression par integration

q =

∫ z

zref

b dz +pmes(zref )

ρ0

+ gzref (5.24)

C’est la demarche qui est appliquee en meteorologie, car on y connaıt la position du point demesure sur terre de facon precise et les barometres permettent la mesure de la pression. Dansles oceans, la situation est toute differente. En effet, les mesures en mer utilisent la mesure dela pression pour determiner la profondeur3 de la sonde et on ne connaıt pasa la foispmes etzref

en profondeur.Une possibilite de determiner le champ de pression dans l’ocean est la determination de la

position de la surface de la mer puisqu’on y connaıt la pression (atmospherique)patm

q =

∫ z

η

b dz +patm

ρ0

+ gη (5.25)

Ici, le probleme est la determination precise deη impossiblea determiner de facon suffisammentprecisea partir d’un navire (quelques centimetres de precision sont necessaires) (figure5.10).En l’absence d’autres informations, les experimentateurs font alors souvent l’approximationdite du level of no motionqui suppose l’existence d’une pression uniformepref a un niveaudonne zref , auquel cas

q =

∫ z

zref

b dz +pref

ρ0

+ gzref (5.26)

On introduit alors la hauteur dynamiqueηd par rapport au niveau de referencezref definie par

g ηd =

∫ 0

zref

b dz (5.27)

C’est donc (a une constante independante dex, y pres et sans tenir compte de la pression at-mospherique) la position de la surface libre qui assure qu’a la profondeurzref , la pression estconstante dans le plan. On aevidemment neglige

∫ η

0b dz devant le reste de l’integrale.

Cette approche est utile quand on effectue des mesures en mer exclusivement mais depuisquelques temps, une utilisation de satellites s’avere utile. Ainsi, les satellites actuels Topex-Poseidon (figure5.11) comportent des capteurs permettant de mesurer des variations de la sur-face libre de quelques centimetres et sont alors utilises pour determinerη.

3 Des methodes de mesure de profondeur basees sur la mesure d’une longueur par un cable ne sont pas suff-isamment precises car, comme on peut le montrer facilement, la positionverticale devraitetre connuea quelquescentimetres pres.


Figure 5.10 : Rosette utilisee pour les mesures de caracteristiques dans les oceans.

5.5. DEGENERESCENCE DE L’EQUILIBRE GEOSTROPHIQUE 123

Figure 5.11 : Mesures du niveau d’eau.


Dans ce cas4, on calcule la pression par

q =

∫ z

η

b dz +patm

ρ0

+ gη (5.29)

5.6 Circulation generale oceanique

Des l’instant ou l’on connaıt la position de la surface libre (ou la hauteur dynamique siunlevel of no motionest d’application), on peut en deduire les courants geostrophiques partout eten particulier, en surface. Les courants de surface sont en effet donnes par

q =patm

ρ0

+ gη (5.30)

fv =∂q

∂x(5.31)

fu = −∂q

∂y(5.32)

Dans l’hemisphere nord, la circulation s’effectue dans le sens antihorlogique autour d’une bassepression (niveau d’eau plus bas) et horlogique autour d’unehaute pression (niveau d’eau pluseleve) que l’on peut mesurer par les altimetres satellitaires (figure5.12).

La circulation de surface dans les oceans telle que observee (figure5.13) en mer, peut alorsetre compareea la topographie de la surface d’eau eta celle deduite directement de la surfacelibre et de l’equilibre geostrophique (figure5.14).

L’utilisation d’altimetres et des mesures de densite permettent donc le calcul diagnostiquedes courants marins (ou des vents dans l’atmosphere). Mais cette methode ne permet pasd’expliquer pourquoi la structure de densite possede la forme particuliere observee, ni pourquoila surface libre a la forme observee. Ce n’est donc qu’un outil diagnostique (voir ce qui est)mais non prognostique (predire ce qui sera).

5.7 Exercices

5.7.1 Flux d’eaua travers une section hydrographique [N]

En supposant qu’une mesure hydrographique sur une section droite (figure5.15) fournit unprofil de densite que l’on peut approximer par

ρ = ρ0

(1 − N2

x

gx − N2

gz

)

et que par mesure satellitaire altimetrique, on sache que la position de la surface d’eau peutetreapproximee parη = d

Lx.

5.7. EXERCICES 125

Figure 5.12 : Niveau d’eau detecte par altimetrie.


17

Figure 5.13 : Circulation de surface. On peut remarquer le lien avec la topographie de lasurface d’eau

Figure 5.14 : Niveau d’eau et courants geostrophiques deduits.

5.7. EXERCICES 127

-

6ez

ex

6η

?

6

h

-¾L

..................................................

...........................................................................

...............................................................................................

...................................................................................................

..................................................................................

.........................................................

.......................

..............................

Figure 5.15 : Section droite avec champ de densite.

Calculez le debit d’eaua travers la section. Chiffrer pour une latitude de40 nord,N2x =

10−7 s−2, N2 = 10−5 s−2, d = 0.1 m, L = 100 km, h = 200 m.Suggestion:Constater que selon la directiony, aucune information n’est necessaire si l’on

calcule l’equilibre geostrophique de gradient de pression selonx.

5.7.2 Deux mesures ponctuelles [F]

Supposons que deux profils verticaux de densite ontete mesures en deux endroits differents:ρ1 = ρ0(1− ε1

zh) etρ2 = ρ0(1+ ε2

(zh

)2) (z = 0 en surface et negatif vers le bas). En supposant

qu’a une profondeur dez = −h, il existe unlevel of no motion, quelle difference du niveaud’eau observera-t-on entre les deux points?

5.7.3 Gyre oceanique [N]

Un gyre observe de rayonR et de profondeurh possede une structure de densite que l’onpeut approximer par

ρ = ρ0

(1 + ε tanh(r2 − z)

)

z = z/h, R2r2 = x2 + y2. Quelle sera la forme de la surface libre, si l’on suppose qu’a uneprofondeur de10h, il n’y a plus de mouvement? Quelle est la circulation en surface? Chiffrerpourd = 100 m, R = 50 km, ε = 0.01.

4 N.B.: Pour un ocean homogene,

q =patm

ρ0

+ gη (5.28)

et a une haute pression dans l’ocean correspond un niveau d’eau pluseleve.


5.7.4 Vent thermique [N]

Un observateur sur la mer Caspienne constate que la temperature de l’aira la surface de lamer diminue de 1C ,tous les20 km, vers le nord. Si l’on suppose que ce gradient ne change pasavec l’altitude et qu’il n’y a pas de venta la surface de la mer, quel est le venta une altitude de2 km ? On pourra en premiere approximation negliger l’effet du gradient de pression horizontaldans le calcul du gradient horizontal de densite. Comment pourrait-on neanmoins tenir comptede ce gradient de pression?

5.7.5 Geostrophie dans l’atmosphere [N]

En utilisant l’equilibre geostrophique et hydrostatiquesansutiliser l’approximation de Boussi-nesq

ρfezΛug = −∇hp

∂p

∂z= −ρg

Demontrer que le courant geostrophique s’ecrit

ug =g

fezΛ∇hZ

ou ∇hZ est le gradient horizontal de la position verticaleZ d’une isobare, autrement dit lapente des isobares

Suggestion: Utiliser un changement de coordonnees qui utilise la pression comme coor-donnee verticalex = x, y = y, z = p(x, y, z)

Bibliographie

[1] J.R. Apel. Principles of ocean physics. volume 38 ofInternational geophysics series, pages1–632. Academic Press, 1987.






[7] H. Thurman.Essentials of oceanography. Merrill Publishing Company, 1990. third edition,398pp.

129

130 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 6

Couches limites

131

132 CHAPITRE 6. COUCHES LIMITES

Figure 6.1 : Le FRAM pris dans les glaces.

Le chapitre precedent a montre qu’aux grandesechelles, la circulation peutetre raisonnable-ment bien decrite en utilisant l’equilibre geostrophique. Or, la vitesse deduite de cetequilibren’a aucune raison de satisfaire les conditions aux limites.Comme la vitesse reelle doit satisfairedes conditions aux limites, nous devons avoir une region proche des frontieres ou l’ equilibregeostrophique n’est plus satisfait. Nous aurons donc apparition de couches limites dans laquel-le la vitesse passe de la vitesse geostrophiquea celle imposee par les conditions aux limites. Ici,nous allonsetudier les couches limites qui se developpent en surface et au fond d’un ocean.

6.1 Grandesechelles et couches limites

La premiere decouverte de la presence de couches limitesa la surface des oceans est duea l’observation de la derive des banquises par F. Nansen sur le FRAM (1893) (figure6.1) lorsde son expedition en Arctique. Il observait que la banquise dans laquelle le bateauetait prisne derivait pas dans la direction du vent mais entre 20 et 40 vers la droite par rapporta ladirection du vent. L’explication de ce phenomene est du a Ekman qui a fait appela l’effet de laforce de Coriolis (1905).

En effet, il s’etait imagine l’action du vent sur une banquise qui ne subit pas de frictionpar la base mais seulement par le vent en surface. Suitea l’action du vent, la banquise estacceleree dans la direction du vent dans un premier temps mais des l’apparition d’une vitessede deplacement, la force de Coriolis la devie vers la droite. L’acceleration continue alorslegerement vers la droite, la force de Coriolis augmente jusqu’au moment ou la force de Coriolisest enequilibre avec la force du vent (figure6.2).

Dans l’hemisphere nord, le deplacement est alors perpendiculairea la tension du vent etvers la droite par rapporta la direction du vent (voir aussiequilibre geostrophique ).

Comme en realite il y a une frictiona la base de la banquise, si l’on suppose que cettefriction est du typeτ f = −αu, alors cette friction diminue l’angle entre le vent et le transportd’Ekman puisqu’unequilibre des forces est trouve avant d’atteindre un angle de 90 par rapporta la tension du vent (figure6.3).

Ceci expliquait la deviation de la banquise observee mais Ekman a pousse son raisonnementplus loin. Si en lieu et place de la glace, nous avons des couches individuelles d’eau, alors lapremiere couche est deviee par rapport au vent, une deuxieme couche au-dessous de celle-ci

6.1. GRANDESECHELLES ET COUCHES LIMITES 133

6τ

-

6

x

y

u

Fc?

-

Figure 6.2 : Equilibre des forces.

6τ

-

6

x

y

µ

RFc

ªτ f

u

Figure 6.3 : Equilibre des forces avec friction.


.....................

.....................

6

-

ez

ex

?

6

6

?

δE

δE

Figure 6.4 : Couches limites de fond et de surface d’epaisseurδE .

voit une tension appliquee au-dessus maisa cause de la friction d’au-dessous, est legerementdeviee par rapporta la couche de-dessus et ainsi de suite, avec l’apparition d’une spirale enpartant de la surface. Dans la suite, nous allonsetudier ce processus de facon quantitative.

6.2 Traitement mathematique des couches limites

L’ equilibre geostrophiqueetait valable loin des frontieres. En realite, pres des frontieres,soit L, soit D, devient tres petit, car la solution auxequations completes doit satisfaire desconditions aux limites et les longueurs caracteristiques ne sont plus celles du large mais cellesqui permettent de satisfaire une condition aux limites (figure6.4).

Afin d’ etudier ces couches, nous utilisons les approximations usuelles quand onetudie unecouche limite:

• La derivee dans la direction normalea la frontiere est beaucoup plus importante que lesderivees le long de la frontiere.

• La solution en sortant de la couche limite doit correspondrea la solution au large qui netient pas compte de la couche limite (matching).

6.3. COUCHE LIMITE DE SURFACE 135

• Comme les couches limites sont mincesδE, une distance de quelquesδE est semblablea∞ pour la solution dans la couche limite.

En ce qui concerne les couches limites verticales (que ce soit en surface ou la vitessegeostrophique ne satisfait pas la condition aux limites imposee par la tension du ventτ ou aufond ou la vitesse geostrophique n’est pas nulle), l’analyse des ordres de grandeur des termesen fonction des nombres sans dimensions nous fournit les estimations suivantes

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇·(vu)︸︷︷︸ + fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸ +

∂

∂z

(ν∂u

∂z

)

︸︷︷︸

fU · Rot Ro 1Q

fULEk

Dans la couche limite, le nombre d’Ekman (Ek) ne sera plus negligeable, car la hauteurδE de lacouche limite est faible et le nombre d’Ekman associe Ek∼ ν

fδ2E

n’est plus petit. En realite, le

nombre d’Ekman dans la couche limite s’ajusteνfδ2

E

∼ 1 pour que l’ecoulement puisse satisfaire

les conditions aux limites de surface (d’ou δE ∼√

νf−1).

6.3 Couche limite de surface

En surface, la condition aux limites imposera une continuite des tensions normales, ce quidemande que la tension du vent appliquee soitegalea la tension dans le fluide.

Sans entrer dans le detail des interactions air-mer, la tension du vent peutetre calculeeapartir de la vitesse du vent de la facon suivante:

• La tensionτ du vent (N par m2 de surface de l’ocean) est proportionnelle au carre de lavitesseV du vent eta la masse volumique de l’airρair (en kg/m3).

• La direction de la force est celle du vent.

• Le coefficient de dragcd est un coefficient de friction, l’equivalent du coefficientcx desvoitures, qui depend de l’etat de la mer (vagues) et de la stabilite de la colonne d’air(cd ∼ 10−3 mais dependant de l’etat de la mer et de la stabilite de la colonne d’air).

La tension du ventτ est donc supposee connue en fonction du vent

τ = cdρair ‖V‖ V (6.1)

Ici, w ∼ 0 en surface (car on suppose que la couche de melange de surface est homogenehorizontalement et stationnaire) et par la l’equation de continuite , w = 0 partout. En toutehypothese, si l’on supposew ¿ δEf , alors le terme advectif est negligeable. On suppose queRot ¿ 1 et Ro¿ 1, ce qui fournit l’equilibre des forces suivant

fe3Λu = −∇hq +∂

∂z

(ν∂u

∂z

)


6

-

ez

ex

?

6δE

...........................................

---

-

----

---

ug

Figure 6.5 : Raccord de la couche limite de surface au courant geostrophiqueug.

.Comme nous travaillons avec un tres faible rapport d’aspect (couche limite verticale mince

et echelles horizontales tres grandes), l’equilibre hydrostatique est d’application dans la couchelimite

∂q

∂z= b

soit∂

∂z

(∂q

∂x

)=

∂b

∂x∼ 0 (6.2)

∂

∂z

(∂q

∂y

)=

∂b

∂y∼ 0 (6.3)

de sorte que, dans la couche limite, le gradient de pression peutetre considere constant selonz,puisque les gradients horizontaux de densite sont faibles en vue des hypotheses de depart. Il enva alors de meme avec la vitesse geostrophique(ug, vg) associee

ug = − 1

f

∂q

∂y, vg =

1

f

∂q

∂x(6.4)

qui ne dependra donc pas de la coordonnee verticale. A l’aide de la definition de la vitessegeostrophique, nous pouvons reecrire lesequations

−f(v − vg) =∂

∂z

(ν∂u

∂z

)(6.5)

f(u − ug) =∂

∂z

(ν∂v

∂z

)(6.6)


soit en analysant l’ecart par rapporta la vitesse geostrophiqueu′ = u − ug, v′ = v − vg (et enutilisant le fait que la vitesse geostrophique ne depend pas dez)

−fv′ =∂

∂z

(ν∂u′

∂z

)(6.7)

fu′ =∂

∂z

(ν∂v′

∂z

)(6.8)

Nous avons deuxequations (a deux inconnues) auxquelles nous devons encore adjoindre lesconditions aux limites adequates. En surface, la tension dans le fluide doitegaler la tension desurface appliquee par la vitesse du ventV: (Tv ·n)

ρ0ν∂u

∂z= τ = cdρair ‖V‖ V (6.9)

Comme la vitesse geostrophique peut-etre consideree comme constante dans la couche limite,

ρ0ν∂u′

∂z= τx (6.10)

ρ0ν∂v′

∂z= τy (6.11)

en surface.Une couche de melange de surface homogene est caracterisee tres souvent par un niveau de

turbulenceelevee (l’action du vent agitera tres efficacement la couche de surface) et relativementuniforme. Afin de simplifier l’analyse et sans faire une approximation trop restrictive nouspouvons supposer le coefficient de viscosite turbulenteν constant, et nous obtenons une solutiondu typeeλz avecλ4 = −f2

ν2 . En gardant la solution bornee pourz → −∞, nous avons

u = ug +

√2

ρ0fδE

ez

δE

[τx cos

(z

δE

− π

4

)− τy sin

(z

δE

− π

4

)](6.12)

v = vg +

√2

ρ0fδE

ez

δE

[τx sin

(z

δE

− π

4

)+ τy cos

(z

δE

− π

4

)](6.13)

ou

δE =

√2ν

f(6.14)

est la profondeur de la couche limite (profondeur d’Ekman).Nous constatons que la vitessehorizontale de la couche de surface se raccorde bien (figure6.5) avec la vitesse geostrophiquede l’interieur, ceci sur une distance typique de cetteepaisseurδE.

L’analyse de la norme de l’ecart par rapporta la vitesse geostrophique

‖u′ ‖=√

2 ‖τ ‖ρ0fδE

ez

δE


τ

u′

Figure 6.6 : Couche limite de surface, spirale d’Ekman vue d’en haut. En rouge (vecteurs les pluslongs), le courant en surface, puis successivement des courantsa des profondeurs pluselevees.

indique que cetecart decroıt en effet exponentiellement enzδE

vers les profondeurs. D’autrepart, la direction de cette partie du courant (associee au vent) varie en fonction de la profondeur

v′

u′ =τy − τx

τy + τx

, pour z → 0

La vitesse de surface est ainsia 45 de la tension du vent et on observe une rotation du vecteurvitesse vers les couches plus profondes (figure6.6).

Une propriete interessante de cette couche est obtenue en effectuant une integration del’ equation (valable pour toutν, constant ou non) pour obtenir le transport(U, V) (en m2/s)associe a cette spirale

−fV = −f

∫ 0

−∞v′dz =

∫ 0

−∞

∂

∂z

(ν∂u′

∂z

)dz =

τx

ρ0

fU = f

∫ 0

−∞u′dz =

∫ 0

−∞

∂

∂z

(ν∂v′

∂z

)dz =

τy

ρ0

U =τy

ρ0f, V = − τx

ρ0f(6.15)


*τ

*-6z

x

y

Figure 6.7 : Colonne d’eau pour l’equilibre global.

Le transport d’eau associe a la couche limite est ainsi perpendiculairea la tension du ventτ . Ilva de soi que nous retrouvons le meme resultat en integrant lasolution((6.12) et (6.13) obtenuepour ν constant) au lieu de l’equation(valableegalement pour desν non constants).

L’interpretation physique du transport d’Ekman stationnaire estevidente. Si l’on consideredirectement le deplacement moyen de la couche de surface et si l’on neglige la frictiona la basede la colonne d’eau deplacee1, alors on peut analyser une couche dans son ensemble, sans re-garder les details interieurs. Si l’on considere le deplacement moyen de cette masse d’eaua unevitesseu, vitesse responsable du transport d’eau, l’equilibre entre la force de Coriolis pour cettemasse d’eau et la tension du vent (figure6.8) permet alors de retrouver le transport d’Ekman .

Dans l’hemisphere nord, le transport d’eau (transport d’Ekman) est donc perpendiculaireala tension du vent et vers la droite par rapporta la direction du vent. Dans l’hemisphere sud, letransport est alors vers la gauche par rapporta la direction de la tension du vent.

La situation de la couche de surface peutetre resumee de la facon suivante. A la vitessegeostrophique, s’ajoute une vitesse associee au vent. Cette partie donne lieua un transportd’eau moyena angle droit par rapporta la tension du vent en creanta l’interieur de la couchelimite une spirale dite d’Ekman (figure6.9).

Cette spirale peutetre visualisee en laboratoire. En mettant en rotation un bassin (ici, dansle sens antihorlogique) sur lequel on fixe une camera et une soufflerie (qui genere un ”vent” dedroitea gauche), une couche d’Ekman s’installe que l’on peut visualiser en laissant tomber unegoutte de coloranta travers la colonne d’eau. Ainsi, le filet d’encre se deplace selon la spirale,visible a la fois lateralement et d’en haut (figure6.10).

1On doit alors considerer une couche suffisamment grande (quelques dizaines de metres,À δE), au-dessousde laquelle l’effet direct du vent et du melange associe est negligeable (figure6.7).


6τ

-

6

x

y

U

Fc?

-

Figure 6.8 : Equilibre entre la tension du vent et la force de Coriolis du au transport d’Ekman,hemisphere nord.

Figure 6.9 : Couche d’Ekman, spirale d’Ekman et transport perpendiculaire au vent.

6.4. COUCHE LIMITE DU FOND 141

τ ←

6

Figure 6.10 : Experience en laboratoire. On applique une tension de surface sur un systeme en rotationet on injecte un filet d’encre pour visualiser la spirale d’Ekman. Section verticalea gaucheet section horizontalea droite. La tension est de droitea gauche.

6.4 Couche limite du fond

Nous pouvons refaire une analyse semblable pour la couche limite du fond,a la differencepres que nous n’y appliquons plus une force exterieure mais imposons l’adhesion de la vitessetotalea la paroi (en vue de la friction du systeme). La friction au fond apparaıt, dans ce cas,comme une partie de la solution et non plus, comme une condition aux limites. D’autre part,nous devonsegalement mentionner que l’utilisation d’un coefficient deviscosite turbulenteνconstant est moins justifie en presence d’une paroi2, mais nous maintenons cette approxima-tion pour illustrer le mecanisme de la couche d’Ekman au fond, sans vouloir pretendrea unerepresentation realiste. Ici, nous travaillons avec un fond horizontal ce qui imposew = 0 aufond et par la continuite aux grandesechelles,w = 0 partout. De toute facon, si l’on sup-posew ¿ δEf , alors le terme advectif est negligeable. On applique la meme approche queprecedemment , avec les conditions aux limites d’adhesiona la paroi

(u, v) = (0, 0) z → 0 soit (u′, v′) = −(ug, vg), z → 0

et de raccord avec l’ecoulement geostrophique en dehors de la couche limite (figure6.11)

(u, v) = (ug, vg) z À δE soit (u′, v′) = (0, 0) z À δE

La solution dans l’hemisphere nord est alors

u − ug = e−zδE

[−ug cos

z

δE

− vg sinz

δE

](6.16)

v − vg = e−zδE

[ug sin

z

δE

− vg cosz

δE

](6.17)

2 Nous allons en effet voir que les tourbillons pres d’une paroi ne peuvent se developper aussi librement queles tourbillons pluseloignes, reduisant par la le melange turbulent pres de la paroi


-

6

ex

ez

?6

6δE

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

.. -------

--

--

ug

Figure 6.11 : Raccord pour la solution d’une couche limite de fond.

et on verifie sans peine queu = 0 au fond et qu’en sortant de la couche limite (”z → +∞”),on obtient un raccord avec la vitesse geostrophique.

Pres du fond,z → 0, (u, v) → zδE

(ug − vg, ug + vg), ce qui indique que le courant pres dufond esta 45 du courant geostrophique(ug, vg). Nous constatons (figure6.12) que la spiraled’Ekman du fond devie le courant vers la gauche par rapporta la vitesse geostrophique (lecourant est bien devie vers la droite par rapporta la force de friction du fond).

Cette deviation du courant dans la couche limite par rapporta la direction du courantgeostrophique donnera lieua un transport d’eau transverse par rapporta ce courant geostro-phique. Pourν constant, le transport associe a la couche limite est

U =

∫ ∞

0

(u − ug)dz = −δE

2(ug + vg) (6.18)

V =

∫ ∞

0

(v − vg)dz =δE

2(ug − vg) (6.19)

ce qui signifie qu’il y a un transport dans la direction perpendiculaire(−vg, ug) ‖ ug ‖−1 parrapporta la direction du courant geostrophique(ug, vg) donne par

U⊥ =δE ‖ug ‖

2(6.20)

Ce transport est oriente vers la gauche du courant geostrophique dans l’hemisphere nord. Memesi ce transport perpendiculaire est faible par rapport au transporth ‖ug ‖ associe a un courantgeostrophique de hauteurh À δE, il jouera un role important.

6.5. EKMAN PUMPING 143

ey

exu

Figure 6.12 : Couche limite du fond, spirale d’Ekman vue d’en haut. En bleu (vecteurs les plus longs), lecourant en dehors de la couche limite tendant vers une vitesse geostrophiqueug = Uex,puis successivement des courants plus faibles en se rapprochant du fond.

6.5 Ekman pumping

En effet, le transport transverse pourraetre responsable de remontees d’eau comme nousallons le demontrer dans la suite. Pour demonter cela, nous partons de la conservation de lamasse dans la couche limite (avec la vitesse geostrophique qui est indivergencielle)

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (6.21)

et en integrant de la surface jusqu’en dehors de la couche limite (c.a.d z → −∞), nous avons

∂U∂x

+∂V∂y

+ 0 − wE = 0 (6.22)

soit a l’aide de (6.15)

wE =1

ρ0f

(∂τy

∂x− ∂τx

∂y

)=

1

fρ0

ez ·(∇Λτ ) (6.23)

C’est donc une vitesse verticalea la base de la couche limite lie au rotationnel du vent. L’interpre-tation de la raison d’etre de cette vitesse verticale est aisement fournie en considerant, par ex-emple, une situation de vents cycloniques au-dessus de l’ocean dans l’hemisphere nord (figure6.13). Le vent cyclonique cree en chaque endroit un transport d’Ekman transverse (vers la droite


.

..

.

. .

.

.

τs

ez

ez

L

L

Figure 6.13 : Processus du pompage d’Ekman en surface. Le transport d’Ekmanevacue de l’eau ducentre du cyclone vers l’exterieur, ce qui est compense par une remontee d’eau.

6-ex

ez

τy(x) τy(x + ∆x)

- -

6w

U(x) U(x + ∆x)

Figure 6.14 : Calcul de la remontee par bilan d’eau dans une section verticale.

par rapport au vent) et si nous imaginons un cercle qui entoure le cyclone, en chaque point dece cercle, le transport d’Ekmanevacue de l’eau vers le large. Comme ce depart d’eau doitetrecompose pour assurer la conservation de la masse (notons que nous avonsetabli la valeur dewE a l’aide de∇·v = 0), la vitesse verticale au centre du cyclone sera positive pour amenerla quantite d’eau necessaire. Nous pouvons d’ailleurs verifier par un simple bilan (figure6.14)dans une section verticale(x, z), pour un vent qui souffle seloney, que la conservation de lamasse fournit bien (6.23). En effet, si le vent souffle seulement selony, le bilan d’eau donne

U(x) − U(x + ∆x) + w∆x = 0 (6.24)

soit a l’aide du transport d’Ekman

1

ρ0f(τy(x) − τy(x + ∆x)) + w∆x = 0 (6.25)

Pour∆x → 0, on retrouve la relation precedente .Nous pouvonsegalement utiliser le transport lateral associe a la couche d’Ekman de fond

pour determiner une remontee ou une descente d’eau associeea la couche d’Ekman au-dessous

6.6. REMARQUES 145

.

..

.

.

.

.

.

ez

ez ug

L

L

Figure 6.15 : Ekman pumping dans la couche du fond.

d’un ecoulement geostrophique. L’integration du fond jusqu’en dehors de la couche limite (c.a.dz → ∞) de∇·v = 0 nous fournit en effet (la vitesse geostrophique reste indivergencielle):

∂U∂x

+∂V∂y

+ wE = 0 (6.26)

soit

wE =δE

2

(∂vg

∂x− ∂ug

∂y

)=

δE

2ρ0f∇2pg =

δE

2ez ·(∇Λug) (6.27)

Ici, nous avons explicite la vitesse geostrophique en fonction du champ de pression (6.4) pourmontrer qu’une vitesse verticale positive sera observeea l’endroit d’une basse pression oceaniquedans l’hemisphere nord.

Ici aussi, nous pouvons interpreter le mouvement vertical comme une consequence du trans-port d’Ekman transversal. Si nous imaginons une circulation oceanique cyclonique au fond, enchaque point du cercle englobant le cyclone, le transport d’Ekman est oriente vers l’interieur,ce qui impliquera une remontee hors de la couche d’Ekman au centre (figure6.15).

6.6 Remarques

Nous pourrions nous poser la question de savoir si le fait de calculer des vitesses verticalesn’est pas incoherent avec l’hypothese de depart quieliminaitw ∂u

∂zde l’equation pour la quantite

de mouvement. Autrement dit, nous devrionsa present verifier a posteriorique nous obtenonsdes vitesses verticales suffisamment petites pour pouvoir justifier notreelimination dew ∂u

∂z.

Une rapide estimation des ordres de grandeur nous rassure immediatement:


• au fond , la vitesse verticale calculee se comporte commeW ∼ δEUL

et en comparant leterme d’advection verticale par rapporta la force de Coriolis

δEUL

UδE

fU∼ U

fL= Ro¿ 1 (6.28)

nous constatons qu’il est toujours negligeable tant que Ro¿ 1

• en surface , la vitesse verticale duea une convergence/divergence du transport d’Ekmanvaut W ∼ τ

fρ0Let nous pouvons comparer le terme d’advection verticalea la diffusion

(qui se comporte comme la tension du vent, par continuite des tensions verticales pres dela surface)

τρ0fL

UδE

τρ0δE

∼ U

fL= Ro¿ 1 (6.29)

En toutetat de cause, l’advection verticale de la quantite de mouvement horizontale est doncbien negligeable par rapport aux termes dominants et l’estimation des vitesses verticales coherenteavec les hypotheses de depart. Notons dejaa ce stade que les vitesses verticales sont extremementfaibles mais que leur effet, notamment sur l’ecosysteme marin, n’est pas negligeable.

⊕ Mentionnons que la parametrisation de la turbulence par une diffusion turbulenteν constanten’est pas tres realiste. En realite, la theorie de la turbulence nous apprend que,

• en surfaceν ∼ u?δE

• au fondν ∼ u?z

ouu? est la vitesse de friction definie parρ20 u2

? =‖τ ‖, etz, la distance du fond. Cela indique notammentque la couche limite de surface aura plutot uneepaisseur donnee par

ν

fδ2E

∼ u?

fδE∼ 1, (6.30)

soit δE ∼ 0.4u?

f , ou le facteur multiplicatif est obtenu par les mesures.⊕

6.7 Transport d’Ekman et circulation generale

Gyre anticyclonique hemisphere nord La geostrophie permettait de calculer la vitesse enfonction de la structure de densite mais n’expliquait pas l’origine de celle-ci.

Generation du gyre par pompage d’EkmanGrands gyresL’effet du vent n’agitdirectementque dans un couche mince ou le transport associe est per-

pendiculaire au vent ( transport d’Ekman ). C’est le champ de pression modifie qui cree la circu-lation geostrophique profonde et qui peut persister apres l’arret du vent (equilibre geostrophique)

Comparaison des vents dominants avec la circulation generaleComparaison des vents dominants avec la circulation generale

6.8. TRANSPORT D’EKMAN ET ”UPWELLINGS” 147

6-

ee

ex

Figure 6.16 : Structure avec densite variable et exageration de la structure verticale pres de la surface.Si la pression est uniforme dans le fond la presence d’eau plus legeres au centre doitetrecompensee par un niveau d’eau pluseleve

6-

ee

ex

τ

- ¾¾U?

?

?

wEδE

ug

Figure 6.17 : Vent de surface generant un transport d’Ekman en surface, une surelevation au centre etune vitesse verticale en dessous de la couche d’Ekman. Commea l’int erieur geostrophique∂w∂z = 0 cette vitesse verticale deforme les interfaces tres loin et genere la circulationanticyclonique profonde

6.8 Transport d’Ekman et ”upwellings”

Comme deja suggere, les remontees d’eau memes faibles pourront avoir une influence im-portante sur lesecosystemes marins.

Si nous prenons, par exemple, des images satellitaires de concentrations en pigments etd’infrarouge (figure6.21), nous constatons qu’aux endroits ou nous observons des valeurs im-portantes de pigments (souvent une bonne indication de la presence d’algues), nous obser-vons un rayonnement infragouge plus faible et donc des temperatures plus basses. Ce typed’observation peutetre faita differents endroits (figure6.22) et est indicatif de remontees d’eaule long de cotes.

En effet, d’un cote les temperatures plus basses sont en accord avec le fait que les eaux pro-fondes des oceans sont plus froides que les eaux de surface. D’autre part,la production accruede phytoplancton (chlorophylle) necessite, tout comme la croissance des plantes d’un jardin,


10

Figure 6.18 : Convergence des eaux de surface suite au transport d’Ekman

Figure 6.19 : Vents dominants


Figure 6.20 : Courants de surface

Figure 6.21 : Detail de la distribution de chlorophylle (gauche) et de temperature (milieu) dans le Golfedu Mexique (vue d’ensemblea droite).


Figure 6.22 : Distribution de chlorophylle (gauche) et de temperature (droite) en Atlantique sud.

l’apport de sels nutritifs dont les oceans profonds abondent. Il fautegalement de la lumiere quel’on trouve pres de la surface des oceans. Ainsi, une section verticalea travers un endroit de re-montee d’eau le long d’une cote revele bien la presence de sels nutritifs (phosphates et nitrates)en profondeur et les isolignes indiquent clairement la remontee des eaux pres de la cote. On yconstate, par exemple, une temperature plus faible qu’au large,a la meme profondeur. (figure6.23)

L’explication de ces remontees trouve son originea nouveau dans le transport d’Ekman. Sinous imaginons en effet une tensionτ d’un vent qui souffle le long d’une cote (figure6.24),nous pouvons aisement imaginer qu’un transport d’Ekman associe a la couche de surface pourrainduire un transport d’eau vers le large ou vers la cote selon la direction du vent et l’hemisphereconsidere. Pour l’hemisphere nord, un vent laissant la cotea gauche (figure6.24), le transportd’Ekman est oriente vers le largea cause de la force de Coriolis et une remontee d’eau le longde la cote sera observee.

Pour l’hemisphere sud, la situation est bienevidemment inversee (figure6.26).Le vent soufflant le long d’une cote pourra donc engendrer des remontees d’eau chargees en

sels nutritifs qui alimentent alors l’ecosysteme marin (figure6.27).Il nous restea determiner la vitesse de remontee ou la quantite d’eau totale qui retrouve son

chemin vers la surface. Le transport d’Ekman du a la tension du vent est aisement calcule

U =cD

f

ρair

ρeau

V 2 =τ

ρ0f(6.31)

En supposant que les remontees sont uniformes sur une distanceL de la cote (figure6.28),la quantite d’eau qui sort par le transport d’Ekman (ρeauUl) doit etreegalea la quantite d’eauqui remonte (ρeauWlL) et nous en tirons l’estimation

W =cD

Lf

ρair

ρeau

V 2 (6.32)

Malheureusement, la determination de la largeur des remontees necessite un modele pluscomplet que l’equilibre geostrophique et l’utilisation des couches limites. Cette largeur depend


Figure 6.23 : Sections verticales au large de la Namibie: champs de temperature, salinite, phosphateset nitrates en fonction de la profondeur (db ∼ m). La cote esta droite et on y on observeles remontees des eaux.


1 τ

-

6

1x

y

z

Figure 6.24 : Situation schematique d’un vent qui souffle le long d’une cote avec un fond marin quiremonte vers la cote.

1 τ

-

6

1x

y

z

-U-

-

-

Figure 6.25 : Hemisphere nord, action du vent (τ ) , deplacement (U) des masses d’eau vers le largeet compensation par unecoulement du fond, continuite de l’ecoulement et presence descotes.


1 τ

-

6

1x

y

z

U

~~

¾¾

~R

Figure 6.26 : Hemisphere sud, action du vent (τ ) deplacement (U) des masses d’eau vers la cote, com-pensation par unecoulement vers le fond, continuite de l’ecoulement et presence des cotes.

Figure 6.27 : Resume du processus d’upwelling.


..............

..............

..............

..................

.................................

...

...

...

...

...

...

...

6 6 6 6 6 6 6

-------

:

9

l

-¾L

-*

6

x

yz

U

W

Figure 6.28 : Bilan d’eau lors d’une remontee d’eau.


en effet de la stratification du milieu, de la variabilite du vent etc. . Nous aborderons ceprobleme dans la partie II du cours. Nous nous limitons icia une determination deL parobservations en mer afin de trouver une estimation de la vitesse verticale PourV = 10 m/sρair ∼ 1 kg/m3, ρeau ∼ 1000 kg/m3, f = 10−4 s−1, L = 10 − 100 km cD = 10−3, on obtient

W = 10−5 − 10−4 m/s (6.33)

(c’est-a-dire quelques metres par jour) pour un vent de10 m/s. Comme deja indique, ce sontdes vitesses faibles, maisessentiellesa plusieursegards pour les oceans.

Ainsi, et sans entrer dans les details, les remontees interviennent dans les aspects suivants:

• Consequencesecologiques et biologiques

– Productivite accrue, abondance de poissons duea la fertilisation.

.

• Effets sur le climat et le temps local

– Presence de brouillard du a la condensation au dessus d’un ocean froid.

– Tendancesa des cotes desertiques euegard de la faibleevaporation et la condensa-tion.

– Diminution du danger de cyclones tropicaux (ouragans etc ....) qui puisent leurenergie dans des eaux de surface tres chaudes.

• Economiques (Zoneeconomique exclusive 200 miles).

• Liens avec le changement climatique

– Stockage de CO2 par production primaire et export vers les profondeurs maisemissionde CO2 par apport provenant des eaux profondes.

– Modification de l’endroit et de l’intensite des upwellings en fonction de la modifi-cation des vents dominants.

Le dernier point pourrait avoir des consequences majeures. En effet, les vents dominantsactuels d’ete (figure6.29) et d’hiver (figure6.30) engendrent des remontees d’eau bien con-nues (que ce soit en permanence ou seulement pour une saison ou les moussons changent dedirection) et exploitees. Si jamais le changement climatique modifiait ces vents dominants, toutle systeme risque d’etre deregle, d’autant plus que les remontees d’eau ont elles-memes uneinfluence sur le changement climatique.


Figure 6.29 : Vents dominants d’ete boreal. Les pointeurs indiquent des remontees d’eau associees auxvents dominants.


Figure 6.30 : Vents dominants (hiver boreal). A la cote somalienne, le vent change de direction entre lessaisons et cree des situations defavorablesa des remontees en hiver.


2

Figure 6.31 : Productivite importante au large du Perou.

2

Figure 6.32 : Cote somalienne enete (avec effet de remontee) et hiver (sans remontee).

Figure 6.33 : Cote californienne: correlation forte entre la concentration de plancton (a gauche) et latemperature de surface (a droite)(continent en noir).


2

Figure 6.34 : Seawifs instantane: chlorophylle au large de l’Afrique du Sud.


6.9 Exercices

6.9.1 Vent atmospherique [N]

Supposons qu’un champ de vents dans un cyclone de rayonR dans l’atmosphere peutetreapproxime par

τ = cdρairU2 re−(r−1)2 eθ (6.34)

avecr = rR

. Quelle est l’intensite de la remontee d’eau au centre de ce cyclone atmospheriquea une latitude de 30N , si l’on suppose que le coefficient de drag estcd = 10−3, que la vitesseU = 10 m/s que la viscosite turbulente vautν = 10−2 m2/s et que le rayonR = 100 km

6.9.2 Marc de cafe [N]

Expliquer pourquoi au fond d’une tasse de cafe, en ayant tourne avec une cuillere, les grainesdu cafe moulu se concentrent au centre, independamment du sens de la rotation.

Suggestion:Supposer que la rotation du fluide est une rotation solide. Travailler dans unsysteme d’axes en rotationa cette vitesse. Pour un point donne, refaire les calculs d’une couchelimite au fond, mais avec une condition aux limites qui assure que, sur le fond de la tasse, lavitesse absolue s’annule.

6.9.3 Depot de dechets en profondeur [N]

Supposons que vous voulez deposer des dechetsa une profondeur de3000 m a une latitudede 30N dans une region connue pouretre dominee par une circulation oceanique cyclonique derotation uniformea la vitesse angulaire de10−5 s−1. Combien de temps faudrait-il pour que lesdechets remontent en surface, en supposant qu’ils aient la meme densite que l’eau? La viscositeturbulente vautν = 10−2 m2/s.

6.9.4 Vents dans le Pacifique [N]

Les vents dominants entre 15N et 45N dans le Pacifique sont les alizes et les westerliesqui exercent une frictiona la surface du pacifique que l’on peut modeliser par

τ = τ0 sin(πy

2L

)ex, −L ≤ y ≤ L (6.35)

En prenant la frequence de Coriolis correspondanta 30N, calculer la vitesse verticale del’Ekman pumping pourτ0 = 0.15 N/m2 et L = 1670 km. Calculer le debit d’eau qui remontedans le Pacifique (largeur8700 km) en Sverdrup (1Sv=106 m3/s).

6.9.5 Alizesa l’ equateur [F]

Les vents dominantsa l’equateur sont les alizes soufflant de l’est vers l’ouest (figure6.35).Sans faire de calcul, expliquer si cette situation est favorablea une remontee oua une descented’eaua l’equateur? Note: la force de Coriolis devient importante, des que l’on s’ecarte d’unecentaine de kilometres de l’equateur.

6.9. EXERCICES 161

.......................................................................................................................

¾ ¾ ¾

¾ ¾ ¾

6-?¾N

SE EquateurW

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

10N

10S

Figure 6.35 : Representation schematique des alizes.

6ez

Figure 6.36 : Section verticalea travers le champ de densite associe a une remontee d’eau le long d’uncote (a gauche).

6.9.6 Estimation de l’apport de nitrates par upwelling [N]

A l’aide des images du cours et une intensite du vent dominant au large de l’Afrique duSud deV = 10m/s, estimer la quantite de nitrates qui remontent en surface par l’upwellingSuggestion:Estimer la taille de l’upwellinga partir de l’image SeaWifs et la concentration ennitrates du fonda partir de la section hydrographique.

6.9.7 Vent thermique lors d’un upwelling [N]

Soit une remontee d’une interface de densite pres d’une cote(figure6.36). Expliquer pourquoion observe un cisaillement vertical de la vitesse tangentielle a la cote et dans quelle direction lecisaillement a lieu.

6.9.8 Friction a la base de la couche de surface [F]

Si l’on tenait compte d’une frictiona la base de la couche de melange, est-ce que celaaugmenterait ou diminuerait l’upwelling?

6.9.9 Upwelling le long d’une banquise arctique [N]

En supposant que


6

*-

¼

τ

) ¾

Figure 6.37 : Vents soufflant sur un bord de banquise.

• le transport d’Ekman en surface esta 90 par rapporta la direction du vent sur les surfacessans glace,

• le transport d’Ekman en surface esta 90 par rapport au deplacement de la glace endessous de la glace,

• la glace derivea 20 par rapport au vent,

• la tension sur l’eau en dessous de la glace est deux fois plus importante qu’en dessous del’air,

determiner quelles directions du vent par rapport au bord de la banquise (figure6.37) sontfavorablesa une remontee d’eau?

Bibliographie






163

164 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 7

Instabilit es

165

166 CHAPITRE 7. INSTABILITES

6ez

Figure 7.1 : Representation d’unequilibre stable (a gauche) et instable (a droite).

Comme nous l’avons dejaevoque, lesecoulements des fluides geophysiques sont caracterisespar un large spectre d’echelles. Celles-ci sont en partie liees auxechelles et frequences desforcages exterieurs maisegalement creees par uneevolution non-lineaire dynamique. Ainsi,certainsecoulements peuvent donner naissancea desecoulements secondaires via des interac-tions non-lineaires. Dans le chapitre present, nous allonsetudier un des mecanismes qui permetla transition d’unecoulement donne vers un autre, generalement plus complexe. Il s’agit dumecanisme d’instabilite.

7.1 Notion de stabilite

La notion de stabilite nous est familiere dans le cadre de systemes mecaniques classiques(figure7.1) ou nous pouvons qualifier de stable un systeme qui ne s’ecarte pas d’une situationd’equilibre quand on le perturbe et d’instable dans le cas contraire. Dans le cas d’ecoulements,la notion de stabilite doit etre quelque peuelargie dans le sens ou l’on n’etudie pas necessaire-ment la stabilite d’une situation d’equilibre de repos mais bien la stabilite d’un ecoulementdonne. Ainsi, si nous deplacons un cylindrea travers un fluide, l’ecoulement est laminaire pourdes deplacements lents, mais quand le nombre de Reynolds augmente, cetecoulement laminairefait placea unecoulement plus complexe (avec des structures coherentes appelees les allees devon Karman) (figure7.2). On dit que dans ce cas, l’ecoulement laminaire est instable, puisque,sous l’effet d’une perturbation1, l’ ecoulement laminaire disparaıt et est remplace par un autreecoulement. Ce type de passage d’unecoulement donne (dont onetudiera la stabilite) vers unautre peut s’observer dans diverses configurations (figure7.3) et de facon generale, on constateque le passage d’unecoulement vers un autre s’opere quand on depasse un certain seuil pour unnombre sans dimension particulier.

1 Les perturbations peuventevidemmentetre de nature tres differentes, comme par exemple des imperfectionsde la surface geometrique du cylindre ou des frontieres, des perturbations dans les conditions aux limites d’entreeou du deplacement du cylindre etc .... .

7.1. NOTION DE STABILITE 167

16 4

Figure 7.2 : Allees de von Karman en laboratoire et dans l’atmosphere.


L’ etude desequilibres mecaniques classiques du point de vue de leur caractere stable etinstable est generalement effectue par une methode des perturbations autour de la situationd’equilibre [12]. Si le systeme possede une integrale premiere du type

r2 + V (r) = E

et si la position d’equilibre est donnee par l’endroitr0 ou ∂V∂r

= 0, la stabilite peut alorsetreetudiee autour de cetetat d’equilibrer0

r = r0 + ε

ε2 + V (r0 + ε) = E

que l’on peut developper en serie

ε2 + V (r0) + ε∂V

∂r

∣∣∣∣∣r0

+ε2

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

= E

De sorte que si le systeme par perturbation possede uneenergieE = V (r0) + δE, δE ≥ 0,la perturbation satisfait

ε2 +ε2

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

= δE

et la situation est stable si∂2V∂r2 > 0 au point d’equilibre, puisque

ε + m2ε = 0 m2 =1

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

• Si m2 > 0: oscillation de frequencem autour de l’etat d’equilibre.

• Si m2 < 0 : le systeme s’ecarte avec un taux de croissance de l’instabilitem.

7.2 Traitement mathematique general

Dans le cas desecoulements, l’approche est similaire aux differences suivantes pres. Lastructure dont onetudie la stabilite est unecoulement, ce qui veut dire que la situation dereference est unecoulementeventuellement non-stationnaire qui satisfait lesequations de Navier-Stokes (adapteeseventuellement aux fluides d’interet comme les fluides geophysiques dansnotre cas). Comme cetecoulement est soumisa des perturbations, nous devons considerer quecela se traduit au niveau de l’ecoulement par perturbations dans les champs qui varient dans letemps et l’espace. Comme il suffit qu’une de ces perturbationss’amplifie pour que l’ecoulementchange de type, l’etude de la stabilite de l’ecoulement devrait en principe analyser le comporte-ment de toutes les perturbations possibles. Siau moins une seuleperturbation croıt avec letemps, l’ecoulement sera alors instable. Si plusieurs perturbations croissent, l’instabilite quel’on observera dans la realite sera celle de la perturbation instable qui croıt le plus rapidement,

7.3. ECOULEMENT STRATIFIE/CISAILLE 169

16

Figure 7.3 : Instabilites d’ecoulements donnant lieua desecoulement plus complexes.

puisqu’elle apparaıtra le plus rapidement. Il nous reste donca trouver une methode efficace quipermette d’etudier toutes les perturbations imaginables pour unecoulement donne.

L’ etude formelle decomposera tout naturellement l’ecoulement total en l’ecoulement debase0, dont onetudie la stabilite et une perturbation′ dont onetudiera la croissance ou decrois-sance:

v = v0 + v′

et de facon similaire pour les autres variables d’etat2. Il va de soi que cetecoulement de basedoit satisfaire les lois d’evolution, autrement il ne serait pas unecoulement possible. D’autrepart, l’ecoulement perturbe doit egalement satisfaire les lois d’evolution du systeme. Maisace stade, on supposera que les perturbations sont faibles audepart et que l’on peut negligerles produits des perturbations par rapport aux perturbations elles-memes. Ceci fournira alorsun systeme d’equations lineaires en les perturbations qui pourraetre analyse par les methodesanalytiques adequates.

7.3 Ecoulement stratifie/cisaille

Afin d’illustrer cette approche, nous allonsetudier la stabilite d’un ecoulement stratifie etcisaille a relativement petiteechelle (ce qui nous permet de ne pas tenir compte de la rotationde la terre,f = 0). Nous allons aussi negliger les effets diffusifs et de viscosite. Lesequationsdecrivant le systeme sont alors les suivantes

∇·v = 0

∂v

∂t+ v·∇v = bez − ∇q

∂b

∂t+ v·∇b = 0

L’ ecoulement de base dont on souhaiteetudier la stabilite est unecoulement cisaille et strati-fie stationnaire (figure7.4). On considere un cas bidimensionnel3 avec unecoulement oriente

2 ρref designera dans ce cas la densite de reference habituellement designe parρ0, notation reservee ici a ladensite (variable dans le temps et l’espace) de l’ecoulement de base.

3 On peut demontrer que dans le cas 3D la perturbation la plus instable est bidimensionelle.


6

-

ez

ex

-

-

¾

¾

U(z)exρ0(z)

Figure 7.4 : Ecoulement de base cisaille et stratifie dans un plan vertical.

selonex et cisaille dans la direction verticale

v = U(z)ex + v′ (7.1)

avec une stratification verticale

b = −ρo(z) − ρref

ρref

g + b′ = b0 + b′ (7.2)

Le champ de pression est separe egalement en la pression de l’ecoulement de baseq0 et saperturbation. Comme l’ecoulement de base est au repos, la pression associee est enequilibrehydrostatique.

q = q0(z) + q′,dq0

dz= b0 (7.3)

On verifie sans peine que l’ecoulement de base (v′ = 0, b′ = 0, q′ = 0) est une solutionstationnaire du systeme d’equations.

7.3.1 Equation de Taylor-Gouldsmith

Pour ce qui est de l’ecoulement perturbe, il satisfaitegalement lesequations de conservationde la masse et de quantite de mouvement, ce qui s’exprime comme suit (en utilisant le fait quel’ ecoulement de base satisfaitegalement lesequations)

∇·v′ = 0 (7.4)

∂v′

∂t+ v′

·∇v′ + Uex ·∇v′ + v′·∇Uex = b′ez − ∇q′ (7.5)

∂b′

∂t+ Uex ·∇b′ + v′

·∇b0 + v′·∇b′ = 0 (7.6)


Comme indique dans l’introduction, l’analyse de la stabilite par petites perturbations sup-pose que l’on peut negliger les produits de perturbations devant les termes d’ordre un en lesperturbations. Ceci rend lesequations lineaires en les perturbations

∇·v′ = 0 (7.7)

∂v′

∂t+ Uex ·∇v′ + v′

·∇Uex = b′ez − ∇q′ (7.8)

∂b′

∂t+ Uex ·∇b′ + v′

·∇b0 = 0 (7.9)

Nous pouvonsa present supposer une perturbation du type onde

b′ = B(z)ei k(x−ct) (7.10)

q′ = P(z)ei k(x−ct) (7.11)

v′ = (U(z)ex + W(z)ez) ei k(x−ct) (7.12)

puisque n’importe quel signal pourraetre compose via une transformee de Fouriera partir decette solution. Par la meme occasion, nous avons un moyen d’etudier une infinite de perturba-tions possibles dans la mesure ou le nombre d’onde de la perturbation est un parametre libre.

En introduisant ce type de solution (7.10)-(7.12) dans lesequations linearisees (7.7)-(7.9),lesequations pour les fonctionsU(z), W(z), P(z) etB(z) sont les suivantes

i kU +dWdz

= 0 (7.13)

i k(U − c)U + W dU

dz= −i kP (7.14)

i k(U − c)W = B − dPdz

(7.15)

i k(U − c)B + W db0

dz= 0 (7.16)

EneliminantB entre les deux dernieres etU entre les deux premieres et finalement, eneliminantP entre les deuxequations resultantes, on obtient uneequation unique pour la composanteverticale de la vitesse.

(U − c)

(d2Wdz2

− k2W)

+

(N2

U − c− d2U

dz2

)W = 0 (7.17)


Figure 7.5 : Instabilite de Kelvin-Helmholtz entre deux couches en mouvement relatif.

Cetteequation est appeleeequation de Taylor-Gouldsmith et decrit donc la structure spatialed’une perturbation dans un fluide de Boussinesq avec unecoulement de basev = U(z)ex et destratification4

N2 =db0

dz

Afin de completer la definition de l’ecoulement de base, il faut encore appliquer les conditionsaux limites du probleme. Ici, nous supposons que nous travaillons entre deux parois rigides enz = 0 et z = h et l’impermeabilite impose

W(0) = 0, W(h) = 0 (7.18)

Pour chaque profil de vitesseU(z) et de densite ρ0(z) donne, nous devons donc resoudreun probleme lineaire avec des conditions aux limites homogenes. Ainsi, nous obtenons pourchaqueecoulement particulier une serie de valeurs propres specifiques qui determinent lesvaleurs dec admises. Dans ce cas, l’analyse des ces valeurs permet de conclurea la stabilite ouinstabilite de l’ecoulement. En effet, sic est reel, seules des ondes sont propagees et on obtientleur vitesse de propagation (relation de dispersion). Dansce cas, l’ecoulement est stable. Parcontre, sic est complexe, son complexe conjuge c? constitueegalement une solution pour lafonctionW?. Dans ce cas, l’ecoulement est instable puisque l’exponentielle dee−kct contientun terme qui croıt exponentiellement avec le temps. La partie reelle dec donne alors la vitessede propagation de la perturbation instable et la partie imaginaire son taux de croissance.Chaqueecoulement cisaille/stratifie particulier dont on souhaiteetudier la stabilite necessitedonc la resolution du probleme aux valeurs propres. Nous allons en donner un exemple, maisavant nous devons analyser le cas ou la stratification et le cisaillement presentent une variationtellement rapide que l’on peut la modeliser par une discontinuite (typiquement la situation quel’on rencontre en presence de deux masses d’eau de densites differentes superposees).

7.3.2 Conditions de raccord pres d’une discontinuite

Si nous considerons une interface de discontinuite reperee par la positionη (figure 7.6),il va de soi que de part et d’autre de la discontinuite, l’equation de Taylor-Gouldsmith estd’application et peut yetre resolue. Il resterait alorsa raccorder les solutions des deux domainesa l’interface. Ces conditions de raccord s’obtiennent de la facon suivante.

4En l’absence d’unecoulement de base (U = 0) et a stratification uniforme et stable, le probleme aux valeurspropres aboutita la problematique des ondes de gravite internes.


6η′

ρ1, u1

ρ2, u2

6

-

ez

ex

Figure 7.6 : Definition de la position de l’interfaceη′.

Une condition de raccord cinematique exprime que l’interface est une surface materiellepour les deux regions (l’indice1 fait referencea la solution au-dessus de la discontinuite etl’indice 2 a celle d’au-dessous)

w1 =∂η′

∂t+ u1

∂η′

∂xen z = η′

w2 =∂η′

∂t+ u2

∂η′

∂xen z = η′

On linearise cette condition de facon coherente avec l’analyse de stabilite

w1 =∂η′

∂t+ U1

∂η′

∂xen z = η′

w2 =∂η′

∂t+ U2

∂η′

∂xen z = η′

En theorie, cette condition de raccord doitetre appliqueea l’endroit de la discontinuite. Maiscomme le deplacement de l’interface est duea une perturbation (la situation de base corresponda une interface horizontale), nous pouvons developper n’importe quelle fonctionF commeF ′(η′) = F ′(0) + O(η′F ′H−1). Dans le cas de la condition cinematique, on peut appliquerla condition de raccord enz = 0 en lieu et place dez = η, puisque les termes correctifscontiendraient des termes quadratiques en les perturbations.

La solution pour la position de l’interface est aussi de la forme

η′ = Eei k(x−ct)

et la condition de raccord se simplifie en

W1(0) = i k(U1 − c)E , W2(0) = i k(U2 − c)E enz = 0 (7.19)

soit la premiere condition de raccord pour la solution

W1

U1 − c=

W2

U2 − cenz = 0 (7.20)

On peut se rendre compte facilement que cette condition de raccord n’est pas suffisante pourdeterminer le systeme (il reste trop de constantes d’integration). Nous devons encore faire appel


...........................................................................................................

...........................................................................................................

?6

6

?

εd-

6

ex

ez

Figure 7.7 : Integration sur un intervalleε autour de la discontinuite.

a une condition de raccorddynamiquequi exprime que pres de l’interface, la dynamique est in-fluencee par l’ecoulement des deux cotes. Nous negligeons uneeventuelle tension superficiellede l’interface, ce qui nous permet deux approches pouretablir la condition de raccord5

La premiere approche impose la continuite de la pressiona travers l’interface. Nous laissons,a titre d’exercice6, le soin d’etablir que cela se traduit par la condition de raccord

− i (U1 − c)

k

dW1

dz+

i

k

dU1

dzW1 −

ρ1

ρref

gE =

− i (U2 − c)

k

dW2

dz+

i

k

dU2

dzW2 −

ρ2

ρref

gE(7.21)

Nous pouvons obtenir la meme condition en supposant que la ”discontinuite” est en realiteune variation tres rapide des proprietes du fluide. Dans ce cas, nous allons integrer l’equationde Taylor-Gouldsmith (7.17) reecrite sous la forme suivante

d

dz

((U − c)

dWdz

− dU

dzW

)+

(N2

U − c− (U − c)k2

)W = 0

a travers cet endroit de variations rapides (figure7.7), sur une distanceε plus grande quel’ epaisseurd de la ”discontinuite”.

∫ ε/2

−ε/2

[d

dz

((U − c)

dWdz

− dU

dzW

)+

(N2

U − c− (U − c)k2

)W

]dz = 0

Sur la discontinuite,N2 = limd→0ρ2−ρ1

d ρrefg et l’integration fournit

[(U − c)

dWdz

− dU

dzW

]ε/2

−ε/2

+

∫ ε/2

−ε/2

N2

U − cWdz −

∫ ε/2

−ε/2

(U − c)k2Wdz = 0

5les deux fournissent fort heureusement la meme condition de raccord.6 Il s’agit d’analyser la pression totale, ce compris la pression hydrostatique de l’ecoulement de base au repos.


Pourε suffisamment petit maisε ≥ d, les integrants ne varient significativement qu’en passantatravers l’interface et l’on peut approximer des deux cotes l’integrale par la valeur de l’integrantmultiplie par l’intervalle d’integration

[(U − c)

dWdz

− dU

dzW

]ε/2

−ε/2

+

∫ d/2

−d/2

ρ2 − ρ1

d ρref

gW

U − cdz

−εk2 ((U1 − c)W1(ε/4) + (U2 − c)W2(−ε/4))

2= 0

soit

[(U − c)

dWdz

− dU

dzW

]ε/2

−ε/2

+ dρ2 − ρ1

d ρref

g1

2

W1

U1 − c

∣∣∣∣∣d/4

+W2

U2 − c

∣∣∣∣∣−d/4

−εk2 ((U1 − c)W1(ε/4) + (U2 − c)W2(−ε/4))

2= 0

et finalement pourε → 0 etd → 0 et en tenant compte de (7.19)

(U1 − c)dW1

dz− dU1

dzW1 +

ρ2 − ρ1

ρref

gW1

U1 − c= (U2 − c)

dW2

dz− dU2

dzW2 (7.22)

ce qui est la deuxieme condition de raccord pour la solution .La condition de raccord cinematique (7.20) et la condition dynamique (7.22) sont alors

suffisantes pour determiner les constantes d’integration pour un problemea derivee seconde(7.17).

7.3.3 Instabilite de Kelvin-Helmholtz

A present, nous pouvons analyser un cas celebre, celui de l’instabilite de Kelvin-Helmholtz.On considere unecoulement cisaille, uniforme dans chaque couche homogene (figure7.8). Apartir d’ici, nous reprenons les denominations habituelles et remplaconsρref par sa notationhabituelleρ0 (a ne pas confondre avec la densite de l’ecoulement de baseρo(z) qui vautρ2

pourz < 0 et ρ1 pourz > 0 dans le casetudie). On cherchera alors une solution dans chaquecouche et imposera des conditions de raccord.

Solution

Dans chaque couche prise individuellement, l’equation de Taylor-Gouldsmith (7.17) se sim-plifie

d2Wdz2

− k2W = 0

et permet une solution qui satisfait la condition d’impermeabilite aux parois:

• Couche 1W1 = A1 sinh (k(z − h)) (7.23)


-

6ex

ez ρ1, U1

ρ2, U2

-------

------- 6

?6

?

6

h

h

Figure 7.8 : Ecoulement en deux couches uniformes.

• Couche 2

W2 = A2 sinh (k(z + h)) (7.24)

Il nous restea appliquer les conditions de raccord (7.20) et (7.22)a ses deux solutions

A1

A2

= − U1 − c

U2 − c

(U1 − c)kA1 cosh(kh) − ρ1g

ρ0

( −A1

U1 − c

)sinh(kh) =

−(U2 − c)2

U1 − ckA1 cosh(kh) − ρ2g

ρ0

( −A1

U1 − c

)sinh(kh)

pour obtenir la relation qui permet de determinerc en imposant comme d’habitude qu’unesolution non-nulle existe:

(U1 − c)2 + (U2 − c)2 = g′htanh(kh)

kh(7.25)

Ici, nous introduisons la gravite reduiteg′ definie par

g′ =(ρ2 − ρ1)g

ρ0

(7.26)

que nous pouvons reliera une frequence de Brunt-Vaisala N? calculee a partir d’un saut dedensiteρ1 − ρ2 sur une distanceh

N2? h2 = g′h, N2

? =(ρ2 − ρ1)g

hρ0

(7.27)


8

Figure 7.9 : Oscillations d’interfaces entre eau et air (en haut) et eau et huile (en bas). L’onde sepropage moins rapidement quand la difference de densite est plus faible.

Analyse de l’equation de dispersion

De cette relation (7.25), nous pouvons degager un certain nombre de consequences et pro-prietes.

• Pour unecoulement sans cisaillement (U1 = U2) qui est stratifie de facon stable (ρ2 ≥ ρ1)

c = U ± N?h√2

√tanh(kh)

kh

Dans ce cas, nous sommes en presence d’ondes qui se propagent par rapporta la vitesse

du courantU a une vitesseN?h√2

√tanh(kh)

kh. Pour des ondes relativement longueskh → 0,

cette vitesse se comporte commec ∼ U ± N?h√2∼ U ±

√g′h2

. Par rapport au courant, lesondes peuvent se propager en remontant le courant ou en descendant (±). Ces oscillationsde l’interface sont d’autant plus rapides que la stratification est importante (figure7.9)et sont en realite des ondes de gravite deja rencontrees dans le cas d’une stratificationuniforme.

• Si au lieu d’avoir une stratification stable, nous sommes en presence d’une stratificationinstable (de l’eau plus dense au-dessus de l’eau legere), la situation (que le courant soitpresent ou pas) est toujours instable et la perturbation instable est advectee par le courant

c = U ± i|N?|h√

2

√tanh(kh)

kh(7.28)

Le taux de croissance de l’instabilite kci est dans ce cas d’autant plus important que lesondes sont courtes.

• Dans le cas general, la solution de (7.25) est donnee par

c =U1 + U2

2± 1

2

√2N2

? h2tanh(kh)

kh− (U1 − U2)2 (7.29)


– si N2? ≤ 0, l’ ecoulement est toujours instable et la perturbation est advectee a la

vitesse moyenne du courant ;

– si N2? ≥ 0, l’ ecoulement est toujours instable s’il y a un cisaillement. En effet, pour

des ondes tres courteskh → ∞, l’argument de la racine carre devient negatif. Dansce cas des ondes tres courtes, on peut constater que la structure de la perturbationest concentree pres de l’interface ( puisque la solution est du typesinh(k(z ± h)) );

– si N2? ≥ 0, l’ ecoulement devient instable pour des ondes plus courtes quecelles

donnees parkh

tanh(kh)=

2(ρ2 − ρ1)gh

ρ0(U1 − U2)2

– un mode instable se deplacea la vitesseU1+U2

2c.a.d.a la vitesse moyenne du fluide.

Ceci permet en realite a ce mode d’extraire de l’energie de l’ecoulement moyen ;

– l’ ecoulement devient instable quand la vitesse relative(U1 − (U1 + U2)/2) parrapporta la vitesse moyenne depasse la vitesse de propagation des ondes internesN?h√

2

√tanh(kh)

kh.

Les differents types d’instabilites sont illustres aisement en laboratoire (figure7.12), par dessimulations numeriques (figure7.10) ou dans la nature (figure7.11).

Nous pouvonsegalement constater que comme la solution se concentre pres de l’interfacesur une distance1/k, il faudrait kh ∼ 1 pour qu’une instabilite soit presente dans tout ledomaine. Ceci demanderait

(ρ2 − ρ1)gh

ρ0(U1 − U2)2≤ O(1) (7.30)

Pour des stratifications plus importantes, les instabilites possibles sont de longueurs d’ondesplus courtes et donc localisees pres de l’interface.

7.4 Analyseenergetique

Nous pouvons d’ailleurs nous poser la question de savoir s’il est toujours possible quel’instabilite finisse par melanger completement le systeme (figure7.13).

Sans calculer l’evolution non-lineaire de la perturbation (l’analyse lineaire n’estevidemmentpossible que si la perturbation n’est pas encore devenue trop importante en amplitude, souspeine de ne plus pouvoir justifier la linearisation), nous pouvons aborder ce probleme par desconsiderationsenergetiques. Si nous supposons que les instabilites finissent effectivement parmelanger completement le systeme

• qui conserve la poussee moyenne:ρ = ρ1+ρ2

2

• et qui conserve la quantite de mouvement totale:U = U1+U2

2,

nous pouvonsevaluer lesenergies potentielles et cinetiques avant et apres melange complet.Si la stratification est stable, le melange demande une augmentation d’energie potentielle (par

7.4. ANALYSEENERGETIQUE 179

5

Figure 7.10 : En haut, a gauche: instabilite statique sans courant,a droite, instabilite de Kelvin-Helmholtz (en rouge, fluide plus dense) En bas,a gauche: instabilite dominee par ci-saillement,a droite, instabilite dominee par convection (en rouge, fluide plus dense).

Figure 7.11 : Nuages dans une instabilite de Kelvin-Helmholtz.


12

Figure 7.12 : Instabilite en laboratoire en deux couches et trois couches.

-6ex

ez ρ1, U1

ρ2, U2

-------

------- 6

?6

?

6

h

h?

6

2hρ, U

--------------

j

Figure 7.13 : Melange complet du systemea deux couches.

unite de surface horizontale) de

∫ h/2

−h/2

ρgzdz −∫ 0

−h/2

ρ2gzdz −∫ h/2

0

ρ1gzdz =(ρ2 − ρ1)gh2

8

D’un autre cote, la perte d’energie cinetique vaut

∫ 0

−h/2

12 ρ0U

21 dz +

∫ h/2

0

12 ρ0U

22 dz −

∫ h/2

−h/2

12 ρ0U

2dz =(U1 − U2)

2ρ0 h

8

Le melange complet (augmentation de l’energie potentielle) n’est donc possible que sil’ energie cinetique est suffisante pour augmenter l’energie potentielle, ce qui demande

(ρ2 − ρ1)gh

ρ0(U1 − U2)2≤ 1, (7.31)

que l’on peut comparera (7.30) .

7.5 Criteres globaux

Nous venons de voir que desetudesenergetiques permettent de donner des informationssur des effets possibles d’instabilites sans devoir resoudre un quelconque systeme d’equations

7.5. CRITERES GLOBAUX 181

decrivant l’evolution des instabilites. Comme la plupart desecoulements de base ne permettentpas une resolution explicite du probleme aux valeurs propres en termes de fonctions analytiques,on doit se tourner vers des solutions numeriques. Dans ce cas, la recherche de valeurs propres(complexes) peut devenir difficile et le fait de ne pas avoir trouve de racine numeriquementne permet pas d’affirmer avec certitude qu’il n’y en a pas. Il pourrait doncetre interessantde trouver des approches du type ”integrales” (comme l’approcheenergetique precedente) quipermettent de cerner les domaines de stabilite/instabilite.

7.5.1 Critere de Miles

Un premier critere qui sera d’ailleurs utile dans la parametrisation de la turbulence est basesur la substitutionW =

√U − c φ dans (7.17). La nouvelle variableφ doit dans ce cas satisfaire

d

dz

((U − c)

dφ

dz

)−

(14 M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)φ = 0 (7.32)

et ou nous avons defini la frequence de PrandltM par

M2 =

∣∣∣∣dU

dz

∣∣∣∣2

(7.33)

Si nous multiplions l’equation par le complexe conjugue deφ: φ? (methode de Rayleigh),

φ? d

dz

((U − c)

dφ

dz

)−

(14 M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)φ?φ = 0

que nous integrons ensuite sur le domaine

(U − c)φ? dφ

dz

∣∣∣∣∣

h

0

−∫ h

0

(U − c)dφ?

dz

dφ

dzdz =

∫ h

0

(14 M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)|φ|2dz

Nous obtenons donca l’aide des conditions aux limites (7.18)

−∫ h

0

(U − c)

∣∣∣∣dφ

dz

∣∣∣∣2

dz =

∫ h

0

(14 M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)|φ|2dz (7.34)

soit, en definissant la quantite reelle et positive

I =

∣∣∣∣dφ

dz

∣∣∣∣2

+ k2|φ|2 (7.35)

−∫ h

0

(U − c)Idz =

∫ h

0

(14 M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2

)|φ|2dz (7.36)


En supposant quec = cr + i ci,

−∫ h

0

(U − cr − i ci)Idz =

∫ h

0

(14 M2 − N2

|U − c|2 (U − cr + i ci) +1

2

d2U

dz2

)|φ|2dz (7.37)

et en prenant la partie imaginaire de cetteequation, nous obtenons7

ci

∫ h

0

Idz = ci

∫ h

0

(14 M2 − N2

|U − c|2)|φ|2dz (7.38)

Puisque cetteegalite ne peut pasetre vraie siM2 < 4N2 (car, dans ce cas, le membrede gauche est de signe oppose au membre de droite), nous avons une condition de stabilitesuffisante que l’on exprimea l’aide du nombre de Richardson

Ri =N2

M2(7.39)

Si Ri > 14 partout dans le fluide, alors l’ecoulement est stable. A l’inverse, pour qu’une

instabilite soit possible, il faut que Ri< 14 au moins quelque part dans le domaine.

Le nombre de Richardson mesure donc l’effet stabilisant de lastratification (siN2 est posi-tif) par rapporta l’effet destabilisant du cisaillement.

Comme annonce, nous avons obtenu un premier critere qui permet de caracteriser la stabilited’un ecoulement sans devoir resoudre le probleme aux valeurs propres.

7.5.2 Critere de Howard

Un autre changement de variable fournit une deuxieme propriete interessante:W = (U −c) ψ substitue dans (7.17) fournit

(U − c)

((U − c)

d2ψ

dz2+ 2

dU

dz

dψ

dz+

d2U

dz2ψ − k2(U − c)ψ

)

+

(N2 − d2U

dz2(U − c)2

)ψ = 0

(7.40)

d

dz

((U − c)2 dψ

dz

)+

(N2 − k2(U − c)2

)ψ = 0 (7.41)

Comme precedemment, on multiplie par le complexe conjugue ψ? et puis on integre entreles deux parois pour obtenir

∫ h

0

(U − c)2 Jdz =

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (7.42)

Ou

J =

∣∣∣∣dψ

dz

∣∣∣∣2

+ k2|ψ|2 (7.43)

7Nous devons supposerci 6= 0 autrement il s’agit de toute facon d’un mode stable.

7.5. CRITERES GLOBAUX 183

et avecc = cr + i ci:(7.44)

∫ h

0

(U2 − 2(cr + i ci)U + (cr + i ci)

2)Jdz =

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (7.45)

Si une instabilite est presente, nous devons obtenirc = cr + i ci, ci 6= 0. Dans ce cas, la partieimaginaire de l’equation donne

∫ h

0

UJdz = cr

∫ h

0

Jdz (7.46)

alors que sa partie reelle demande que∫ h

0

(U2 − 2Ucr + c2

r − c2i

)Jdz =

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (7.47)

soit, en tenant compte de (7.46)

∫ h

0

U2Jdz = (c2r + c2

i )

∫ h

0

Jdz +

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (7.48)

En designant parUmin et Umax les valeurs minimales et maximales que la fonctionU(z)prend sur l’intervalle[0, h] considere

0 ≥∫ h

0

(U − Umin)(U − Umax)Jdz (7.49)

qui devient en utilisant (7.46) et (7.48)

0 ≥(c2r + c2

i − (Umin + Umax)cr + UminUmax

)︸︷︷︸

∫ h

0

Jdz +

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (7.50)

et le terme mulitplicatif︸︷︷︸ doit etre negatif si nous sommes en presence d’une instabilite.

Et si une instabilite existe pourN2 ≥ 0, elle aura lieu quandc est compris dans le cercledefini par

[cr − 1

2 (Umin + Umax)]2

+ c2i ≤

[12 (Umax − Umin)

]2(7.51)

• L’instabilite n’est donc possible que si le nombre complexec tombe dans le demi-cerclede Howard (la partie inferieure du cercle corresponda une situation stable, car il y adecroissance exponentielle des perturbations).

• Notons que le rayon est plus faible en realite, etant donne le terme enN2.

• cr ∈ [Umin, Umax] : l’onde instable est quelque-part stationnaire par rapport au mouve-ment du fluide: ceci permet l’extraction de l’energie cinetique (critical layer).

• Le critere de Howard permet de limiter les recherches numeriquesa un domaine biendefini.


6

-

1

ci

cr

..........................................

12 (b − a)

12 (a + b)

b = Umaxa = Umin

c

Figure 7.14 : Cercle de Howard. Le nombre complexec d’un mode instable doitetre compris dans cecercle.

7.6. EXERCICES 185

U2 = 0

-

6ex

ez ρ1, U1

?∞

------- 6

?

h

ρ2

Figure 7.15 : Instabilite de Kelvin Helmholtz dans un domaine semi-infini.

7.6 Exercices

7.6.1 Kelvin-Helmholtz [N]

Analyser la stabilite d’un ecoulement en deux couches comme dans le cours , mais ou ladeuxieme couche est tres profonde (infinie) et au repos (figure7.15).

7.6.2 Ecoulement cisaille [N]

En utilisant des argumentsenergetiques, demontrer que le melange complet d’unecoulementcisaille de vitesseu = (z − h/2)M = et de pousseeb = (z − h/2)N2 entre deux parois enz = 0 et z = h pourM etN constants n’est possible que si

N2

M2≤ Ricr

et determiner la valeur critique Ricr. On neglige la force de Coriolis et on suppose que lemelange conserve la densite moyenne et la quantite de mouvement moyenne.

7.6.3 Criteres globaux [N]

Sur la seule base de criteres globaux (sans calculer la solution aux valeurs propres), quepeut-on dire de la stabilite de l’ecoulement (entre deux parois rigides enz = ±h) suivant(figure7.16):

u = u0

(1 − (z/h)2

)

b = N2z

Suggestion:On suppose que l’ecoulement est 2D, sans viscosite et sans diffusion et on negligela force de Coriolis.


Figure 7.16 : Ecoulement parabolique cisaille et stratifie uniformement.

Bibliographie

[1] J.-M. Beckers.La Mediterranee Occidentale: de la modelisation mathematiquea la sim-ulation numerique. Collection des Sciences Appliquees ULG N136, 1992. Ph.D Thesis350pp.




[5] J. Pedlosky.Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 1979.

187

188 BIBLIOGRAPHIE

190 CHAPITRE 8. TURBULENCE

Chapitre 8

Turbulence

8.1. NOTION DE STABILITE ET TURBULENCE 191

16

Figure 8.1 : Route vers la turbulence en passant par des instabilites.

Au chapitre precedent, nous avons montre que certainsecoulements, pourtant solutions desequations (stationnaires dans les exemples), disparaissent rapidement au profit d’unecoulementplus complexe et instationnaire. L’etude avait en effet montre que, parmi toutes les pertur-bations possibles (et inevitables dans la realite), certains modes sont amplifies dans le tempset destabilisent l’ecoulement de base. L’etude lineaire permettait de determiner les modes lesplus instables et leur taux d’instabilite, mais l’evolution ulterieure de cette instabilite ne pou-vait etre decrite par cette approche lineaire. En effet, des non-linearites deviennent rapide-ment importantes (euegard aux croissances exponentielles des amplitudes des modes insta-bles), des harmoniques apparaissent (figure8.1) et un spectre plus large de mouvements estobserve. Cette complexification de l’ecoulement peutetre telle que l’ecoulement paraıt locale-ment completement aleatoire et chaotique, avec des fluctuations rapides du champdes vitesses.L’ etude de l’effet de ces fluctuations rapides sur l’ecoulementa plus grandeechelle constituel’objet du present chapitre.

8.1 Notion de stabilite et turbulence

Dans les chapitres precedents, nous avons couramment neglige l’effet des petitesechellessur les grandes (figure8.2) en considerant que lesecoulementsa grandeechelleetaient non-visqueux. Quand une telle hypotheseetait incompatible avec la situationetudiee, comme c’etaitle cas dans l’etude des couches limites, nous avions simplement suppose que l’effet des fluc-tuationsa petiteechelle se resumaita un effet de melange plus intense, modelise a l’image dela diffusion moleculaire. Ainsi, nous avions introduit la notion de viscosite turbulente ou dif-fusion turbulente, sans toutefois nous attachera la determination des valeurs des coefficientsde diffusion turbulente, certainement dependants de l’intensite de la turbulence. Nous pouvonsdeja notera ce stade que la notion de ”turbulence” peut avoir des significations differentes selonl’ echellea laquelle on s’interesse. Ainsi, pour l’ecoulement atmospheriquea grandeechelle, destourbillons associes aux avions ou navettes spatiales (figure8.3) sont certainement considerescomme ”turbulents”, mais pour le constructeur de l’engin, le calcul de la circulation autour desailes doit inclure le calcul explicite de ces structures. Ilapparaıt donc que la notion d’echelledistingue l’echelle d’interet de l’echelle des fluctuations. On pourrait deja objecter que cettedistinction est academique et qu’il ”suffit” de calculer toutes lesechelles, quittea n’analyser ouexploiter que celles qui sont reellement utiles. Cette approche est possible pour des casetudiesen laboratoire (figure8.4), ou l’on calcule de facon numerique la solution desequations de


100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

accoustiques

marees

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

melange



(m)

micro

turbulence



fronts

circulation

circulation

thermo-haline

houle

tempetes

[35]

Figure 8.2 : Comment lespetitesechellesinfluencent-elles les grandes ? Peut-on les filtrer ou negliger?

8.2. TRAITEMENT MATHEMATIQUE GENERAL 193

15

Figure 8.3 : Turbulencea plus grandeechelle.

Figure 8.4 : Simulation directe d’une turbulence convective de laboratoire.

Navier-Stokesa toutes lesechelles, ce compris les plus petites fluctuations1. Malheureusement,cette simulation directe de la turbulence n’est pas possible pour les fluides geophysiques, euegard aux ressources informatiques necessaires pour ce genre de simulations, et nous devonsaborder le probleme differemment.

8.2 Traitement mathematique general

Si nous admettons que, lorsque l’onetudie la circulation generale, on n’est pas interessepar le detail des structures 3Da microechelle, nous avons conceptuellement deux possibilitesd’extraire la partie (a plus grandeechelle) de la solution qui nous interesse:

• On calcule la solution incluant toutes lesechelles et on applique ensuite un filtre afind’eliminer les structures fines qui ne nous interessent pas. Cette approche n’est pas possi-ble en pratique, puisque nous ne connaissons pas de solutionanalytique generale et parce

1Il va de soi qu’une solution analytique generale desequations de Navier-Stokes n’est pas disponible.


que la resolution numeriquea toutes lesechelles est trop couteuse2.

• On filtre lesequations afin d’eliminer la partie de la solution qui ne nous interesse pas.Autrement dit, on essaiera de filtrer lesequations pour obtenir desequations qui decriventl’ evolution du processusa grandeechelle.

C’est cette derniere approche qui esta la base de toutes les parametrisations de la turbulenceque nous aborderons dans la suite.

8.3 Moyennes et fluctuations

Afin de caracteriser la partie du champ d’interet et cellea filtrer, on decompose chaquechampa en sa moyenne〈a〉 et ses fluctuationsa′

a = 〈a〉 + a′ (8.1)

et on suppose que les proprietes des moyennes〈〉 pour deux champsa, b et un parametreλ (nonperturbe) satisfont

• 〈a + λb〉 = 〈a〉 + λ 〈b〉

• 〈a 〈b〉〉 = 〈a〉〈b〉

• 〈〈a〉〉 = 〈a〉

• 〈a′〉 = 0

•⟨

∂a∂t

⟩= ∂〈a〉

∂t

•⟨

∂a∂xi

⟩= ∂〈a〉

∂xi

Un operateur de moyenne qui satisfait ces proprietes est l’operateur de ”moyennes d’ensem-bles”. Si nous supposons que l’ecoulement depend d’un parametre aleatoireΠi, et si nous pou-vons repeter l’experience, la moyenne d’ensemble est alors definie comme la moyenne statis-tique habituelle

〈a〉 =1

N

N∑

i=1

a(t,x, Πi), N → ∞

En laboratoire, cette approche est possible (figure8.5) et permet non seulement la definitionmaisegalement la mesure de l’ecoulement moyen et des fluctuations.

En ce qui concerne lesecoulement geophysiques, nous sommes confrontes au probleme quenous ne pouvons repeter les experiences, mais seulement les mesures en un endroit donne. Ilapparaıt alors normal de considerer que si nous mesurons, plusieurs fois de suite, en un endroitdonne, un parametre, nous pouvons en deduire une moyenne, qui sera dans ce cas une moyennetemporelle

〈a〉 =1

T

∫ t+T/2

t−T/2

a(t,x) dt

2Pour le calcul de circulations generales cela demanderait1018 points de calcul dans une grille 3D.

8.3. MOYENNES ET FLUCTUATIONS 195

16

Figure 8.5 : Superposition de realisations individuelles pour definir unecoulement moyen.

-

6E

ω

-¾processus filtresecoulement moyen

1Tf

1T

1Ts

Figure 8.6 : Valleeenergetique dans le spectre entre l’ecoulement moyen et les processus filtres de hautefrequence.

De la meme facon, on peut introduire la notion de moyenne spatiale

〈a〉 =1

LxLyLz

∫ z+Lz/2

z−Lz/2

∫ y+Ly/2

y−Ly/2

∫ x+Lx/2

x−Lx/2

a(t, x, y, z) dxdydz

En realite, seule la moyenne d’ensemble satisfait les proprietes souhaitees de l’operateur〈〉.Ainsi l’operateur de moyenne temporelle ne commute en general pas avec l’operateur de deriveetemporelle. Or, on ne peut repeter les experiences en geophysique, alors que l’on peut repeterles observationsa des intervalles reguliers fins. On peut donc se poser la question de savoir, sousquelles conditions on peut utiliser une moyenne temporelleen lieu et en place d’une moyenned’ensemble. Nous allons montrer que ceci necessite la presence d’une valleeenergetique pourpouvoir separer lesechelles.

En effet, si le spectre d’energie possede des maxima bien separes (figure8.6), on peutessayer de filtrer les hautes frequences en utilisant uneechelleT pour les moyennes temporelles. De plus, comme c’est l’operateur de derivee temporelle qui ne commute pas avec l’operateurde moyenne temporelle, nous allons analyser comment ce terme de derivee temporelle peutetrefiltr e.


-¾

-¾

T

Tsφs(t)

φs(t) + φf (t)

-¾

Tf

Figure 8.7 : Moyenne temporelle glissante.

Si un signalφ est compose d’une composante rapideφf et d’une composante lenteφs:φ = φf + φs, nous pouvons calculer

⟨∂φ

∂t

⟩=

1

T

∫ t+T/2

t−T/2

∂φ

∂tdt =

φ(t + T/2) − φ(t − T/2)

T(8.2)

⟨∂φ

∂t

⟩φf (t + T/2) − φf (t − T/2)

T+

φs(t + T/2) − φs(t − T/2)

T(8.3)

En moyenne, les composantesφf s’annihileront siT est plus grand que le temps caracteristiquedes fluctuationsTf ⟨

∂φ

∂t

⟩≈ φs(t + T/2) − φs(t − T/2)

T(8.4)

SiT est nettement plus faible que le temps caracteristiqueTs deφs ( mais superieur au tempscaracteristique des fluctuationsTf , autrement les contributions deφf ne s’annihileraient pas surle laps de tempsT ), on peut remplacer le second membre par une derivee et nous pouvons alorsecrire ⟨

∂φ

∂t

⟩≈ ∂ 〈φ〉

∂t(8.5)

ce qui permet donc l’utilisation d’une moyenne temporelle (figure8.8) a la place d’une moyenned’ensemble. De la meme facon, un filtre spatial peutetre applique si l’echelle spatiale dufiltre est plus grande que lesechelles des fluctuations mais nettement plus fine que lesechellesd’interet (figure8.9).

8.4 Modele pour l’ecoulement moyen

A present, nous pouvons entamer l’elaboration d’equations regissant l’evolution des grandeursmoyennes.

8.4. MODELE POUR L’ECOULEMENT MOYEN 197

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Figure 8.8 : Signal complet (a gauche) et filtre (a droite).

-20

-15

-10

-5

8.85 8.86 8.87 8.88

z / m

T / degC

T

-20

-15

-10

-5

8.85 8.86 8.87 8.88

T / degC

〈T 〉

-20

-15

-10

-5

-0.005 0 0.005

T / degC

T ′

7

Figure 8.9 : Signal complet (a gauche) et filtre (milieu) et fluctuations (a droite). Filtre spatial.


Nous allonsetablir desequations pour les variables d’etats ”moyennes”〈v〉, 〈T 〉, 〈S〉, 〈ca〉.L’ ecoulement dependra aussi de la pression〈q〉. L’ equation d’etat est generalement non-lineairemais on considere les fluctuations locales relativement faibles de sorte que l’on calculera

〈ρ〉 ≈ ρ(〈T 〉 , 〈S〉 , 〈p〉) (8.6)

Dans ce cas, les autres parametres desequations (coefficients de diffusion moleculaire, conduc-tivit e moleculaire etc ...) sont consideres constants ou non soumisa des fluctuations rapideset nous pouvons appliquer les operateurs de moyennes auxequations des fluides geophysiques(table 3.1).

En appliquant l’operateur de moyenne〈〉 a la conservation de la masse

∇·v = ∇· (〈v〉 + v′) = 0

nous avons ainsi∇· (〈〈v〉〉 + 〈v′〉) = 0

ce qui, en utilisant les proprietes des moyennes , fournit immediatement

∇· 〈v〉 = 0 (8.7)

Cetteequation regit donc bien l’ecoulement moyen. Nous constatons que les fluctuations quanta elles satisfontegalement

∇·v′ = 0 (8.8)

Si nous appliquons la meme procedurea uneequation de conservation telle que la conser-vation du sel

∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS

∇S)

en decomposantv = 〈v〉 + v′ etS = 〈S〉 + S ′:

∂ 〈S〉∂t

+∂S ′

∂t+ ∇· (〈v〉〈S〉 + v′ 〈S〉 + 〈v〉S ′ + v′S ′) =

∇·(λS

∇ 〈S〉)

+ ∇·(λS

∇S ′)

et en appliquant l’operateur de moyenne, nous arrivonsa l’equation d’evolution suivante

∂〈S〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈S〉) = −∇· (〈v′S ′〉) + ∇·(λS

∇〈S〉)

Nous pouvonsa present faire apparaıtre un flux que l’on appelle ”flux turbulent” du seljS

jS = 〈v′S ′〉 (8.9)

Dans ce cas, l’equation d’evolution pour le sel (champ moyen) est donne par

∂〈S〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈S〉) = −∇· (jS) + ∇·(λS

∇〈S〉)

(8.10)

8.4. MODELE POUR L’ECOULEMENT MOYEN 199

Si le flux turbulentetait connu, cetteequation ne ferait plus intervenir que les grandeurs moyenneset conviendrait donc pour le calcul de l’ecoulement moyen. En realite, jS est une fonctiondu produit de fluctuations, fluctuations que nous ne voulons pas calculer explicitement. Sepose donc la question de savoir comment ce fluxjS pourraetre calcule en fonction des seulsparametres de l’ecoulement moyen. Ceci constitue un probleme de fermeture turbulente.

Nous pouvons appliquer la meme approchea la quantite de mouvement

∂v

∂t+ ∇·(vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇·(ν∇v) (8.11)

a laquelle on applique l’operateur de filtrage

∂ 〈v〉∂t

+ ∇·(〈vv〉) + 2ΩΛ 〈v〉 = −∇ 〈q〉 + 〈b〉 + ∇·(ν∇〈v〉)

en exploitant le fait que la moyenne d’un produit estegal au produit des moyennes auquel ilfaut ajouter la moyenne du produit des fluctuations

〈vv〉 = 〈v〉〈v〉 + 〈v′ 〈v〉〉 + 〈〈v〉v′〉 + 〈v′v′〉 = 〈v〉〈v〉 + 〈v′v′〉 (8.12)

afin d’etablir uneequation pour l’ecoulement moyen

∂ 〈v〉∂t

+ ∇·(〈v〉〈v〉) + 2ΩΛ 〈v〉 =

−∇ 〈q〉 + 〈b〉 + ∇·(ν∇〈v〉) − ∇· (〈v′v′〉)(8.13)

Nous constatons que la moyenne du produit des vitesses donnelieu a une contribution duproduit des moyennes (un terme advectif habituel), mais quenous avonsegalement un termeli e a la moyenne du produit des fluctuations. Le terme non-lineaire a donc introduit un termequi depend des fluctuations des vitesses que nous ne connaissons pas. On pourrait se poser laquestion de savoir si ce terme ne pourrait pasetre predit par uneequation d’evolution3. Pour cefaire, cherchons4 d’abord uneequation pour les fluctuations (que l’on ne resoudra pas)

∂v′

∂t+ ∇·(v′v′ + v′ 〈v〉 + 〈v〉v′ − 〈v′v′〉) + 2ΩΛv′ =

−∇q′ + b′ + ∇·(ν∇v′)

On ne calculeraevidemment pasv′, mais on aura besoin de connaıtre des termes en〈v′v′〉. Onessaie donc d’etablir desequations pour le tenseur de correlations〈v′v′〉, appele le tenseur destensions de Reynolds.

Uneequation d’evolution pour la composantei,j du tenseur〈v′v′〉 : v′iv

′j peutetreecrite en

partant de la composantei des fluctuations des vitesses5

∂vi′

∂t+

∂

∂xl

(vl′vi

′ + vl′ 〈vi〉 + 〈vl〉 vi

′ − 〈vi′vl

′〉) + 2εimlΩmvl′ =

− ∂q′

∂xi

+ b′δi 3 +∂

∂xl

(ν∂vi

′

∂xl

)

3il est bien entendu hors de question de calculer explicitement les fluctuations elles-memes et d’en deduire parune moyenne les termes〈v′v′〉.

4En faisant la difference entre (8.11) et (8.13)5 Ici nous utilisons les notations incidielles ou εijk est le pseudo-tenseur de rotation etδij le symbole de

Kronecker.


que nous multiplions par la composantej des fluctuations des vitesses

vj′∂vi

′

∂t+ vj

′ ∂

∂xl

(vl′vi

′ + vl′ 〈vi〉 + 〈vl〉 vi

′ − 〈vi′vl

′〉) + 2εimlΩmvl′vj

′ =

−vj′ ∂q′

∂xi

+ vj′b′δi 3 +

∂

∂xl

(ν vj

′∂vi′

∂xl

)− ν

∂vi′

∂xl

∂vj′

∂xl

en interchangeant les indicesi et j nous avonsegalement

vi′∂vj

′

∂t+ vi

′ ∂

∂xl

(vl′vj

′ + vl′ 〈vj〉 + 〈vl〉 vj

′ − 〈vj′vl

′〉) + 2εjmlΩmvl′vi

′ =

−vi′ ∂q′

∂xj

+ vi′b′δj 3 +

∂

∂xl

(ν vi

′∂vj′

∂xl

)− ν

∂vi′

∂xl

∂vj′

∂xl

Comme∂vl′

∂xl= 0 et ∂〈vl〉

∂xl= 0, la somme de ces deux dernieresequations donne immediatement

∂(vi′vj

′)

∂t+

∂

∂xl

(vl′vi

′vj′) + vi

′vl′∂ 〈vj〉

∂xl

+ vj′vl

′∂ 〈vi〉∂xl

+∂

∂xl

(vi′vj

′ 〈vl〉) − vi′ ∂

∂xl

(〈vj′vl

′〉) − vj′ ∂

∂xl

(〈vi′vl

′〉)

+2Ωm(εjmlvl′vi

′ + εimlvl′vj

′) + 2ν∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

=

−vi′ ∂q′

∂xj

− vj′ ∂q′

∂xi

+ vi′b′δj 3 + vj

′b′δi 3 +∂

∂xl

(ν∂(vi

′vj′)

∂xl

)

et pour trouver l’equation recherchee, il faut encore appliquer l’operateur de moyenne〈〉 afind’obtenir uneequation pour〈v′v′〉. Le tenseur des tensions de Reynolds〈v′v′〉 est alors regipar

∂ 〈vi′vj

′〉∂t︸︷︷︸

+∂

∂xl

〈vl′vi

′vj′〉 + 〈vi

′vl′〉 ∂ 〈vj〉

∂xl

+ 〈vj′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl

+

︷︸︸︷∂

∂xl

(〈vi′vj

′〉〈vl〉)

+2Ωm(εjml 〈vl′vi

′〉 + εiml 〈vl′vj

′〉) + 2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

⟩

−⟨

vi′ ∂q′

∂xj

⟩−

⟨vj

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 〈vi

′b′δj 3〉 + 〈vj′b′δi 3〉 +

∂

∂xl

(ν∂ 〈vi

′vj′〉

∂xl

)

et nous pouvons identifier la signification physique de certains termes:

• ︸︷︷︸: La variation locale du tenseur des tensions de Reynolds qui permettrait le calcul del’ evolution du tenseur.

• ︷︸︸︷: L’advection des tensions par le courant moyen〈v〉.

• : La diffusion moleculaire du tenseur de Reynolds.

8.5. FERMETURE TURBULENTE 201

Ces termes font partie d’uneequation d’evolution classique et ne font intervenir que les incon-nues (le tenseur de Reynolds) elles-memes ou le champ de vitesse moyen〈v〉.

D’autres termes sont plus complexes et font intervenir les fluctuations inconnues:

∂ 〈vi′vj

′〉∂t

+∂

∂xl

〈vl′vi

′vj′〉 + 〈vi

′vl′〉 ∂ 〈vj〉

∂xl

+ 〈vj′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl︸︷︷︸

+∂

∂xl

(〈vi′vj

′〉〈vl〉)

+︷︸︸︷2Ωm(εjml 〈vl

′vi′〉 + εiml 〈vl

′vj′〉) +2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

⟩=

−⟨

vi′ ∂q′

∂xj

⟩−

⟨vj

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 〈vi

′b′δj 3〉 + 〈vj′b′δi 3〉 +

∂

∂xl

(ν∂ 〈vi

′vj′〉

∂xl

)(8.14)

• ︸︷︷︸: Interaction entre les tensions de Reynolds et le tenseur de deformation de l’ecoulementmoyen.

• ︷︸︸︷: Redistribution du tenseur par rotation.

• : Correlation entre fluctuations de pression et fluctuations de vitesses.

• : Travail des forces de poussees.

8.5 Fermeture turbulente

Nous arrivonsa ce stade au probleme de fermeture turbulente; en effet, comment pourrait-oncalculer les termes suivants

• triple correlation:〈vi′vj

′vl′〉

• correlation densite/fluctuations de vitesses:〈v′b′〉

• correlation pression/vitesses:−⟨vi

′ ∂q′

∂xj

⟩−

⟨vj

′ ∂q′

∂xi

⟩

• dissipation:

εij = 2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

⟩(8.15)

alors que nous ne connaissons pas les fluctuations? On pourra, bien entendu, essayer d’ecriredesequations d’evolution pour ces termes, mais cette approche fera apparaıtre des tenseursd’ordre superieur encore et ainsi de suite. On devra donc tot ou tard faire des hypotheses afinde pouvoir exprimer les tenseurs inconnus en fonction des variables d’etat resolus du systeme.Ceci constitue alors une fermeture.

Le probleme general peutetre formule comme suit. SiL[ ] est un operateur lineaire quipermute avec l’operateur de moyenne〈〉, uneequation d’evolution du type

∂X

∂t+ L[XX] = 0 (8.16)


permet de calculer

∂ 〈X〉∂t

+ L[〈XX〉] =∂ 〈X〉

∂t+ L[〈X〉〈X〉] + L[〈X ′X ′〉] = 0 (8.17)

et∂X ′

∂t+ L[X ′X ′] + 2L[X ′ 〈X〉] − L[〈X ′X ′〉] = 0 (8.18)

On constate aisement que l’equation d’evolution pour〈X ′X ′〉 fera apparaıtre des termes en〈X ′X ′X ′〉. L’ equation d’evolution pour〈X ′X ′X ′〉 quant a elle fera apparaıtre des termesen 〈X ′X ′X ′X ′〉 etc .... Il faut donc tot ou tard arreter cette serie. La fermeture la plussimple consisteraa trouver une parametrisation qui permette de calculer〈X ′X ′〉 en fonctionde 〈X〉. Les fermetures plus complexes quanta elles formuleront〈X ′X ′X ′〉 en fonction de〈X ′X ′〉 et de 〈X〉, l’espoir general etant que plus on reporte les parametrisations vers descorrelationselevees, moins des erreurs sur ces parametrisations se feront sentir au niveau descorrelations reellement interessantes (〈X ′X ′〉). Autrement dit, on espere qu’une erreur sur laparametrisation de〈X ′X ′X ′〉 se fera moins sentir sur le calcul (par uneequation d’evolution) de〈X ′X ′〉 qu’une parametrisation directe de〈X ′X ′〉 en fonction de〈X〉. En pratique cependant,cet espoir ne se verifie pas toujours et, euegarda la complexite des parametrisations, les fer-metures utilisees mecanique des fluides geophysiques se limitent generalementa une fermeturequi parametrise〈X ′X ′〉 en fonction de〈X〉. Le choix des parametrisations sera, en toutetat decause, guide par une comprehension et une observation des processus physiques associes auxprocessus parametrises.

8.6 Parametrisation

Ainsi le probleme de fermeture necessite de formuler les processus non-resolus en fonc-tion des seules variables que l’on calcule explicitement. Cette fermeture devra faire appela laconnaissance et l’observation des processus modelises/parametrises et nous devons donc car-acteriser la turbulence si nous voulons la parametriser.

8.7 Phenomenologie

La comparaison d’unecoulement laminaire (figure8.10) par rapporta unecoulement tur-bulent (figure8.11) montre des differences essentielles.

Nous pouvons resumer les caracteristiques essentielles de la turbulence comme suit :

• Les mesures locales indiquent que les fluctuations rapides ont un caractere aleatoireapetitesechelles.

• L’observations des structures fines indique que les fluctuationsa petiteechelle s’effectuentdans les trois directions de l’espace.

• La vorticite associeea ces structures fines est importante.

• Au niveau macroscopique, l’effet de des fluctuations rapides sur la distribution d’un col-orant s’apparentea une forte diffusion.

8.7. PHENOMENOLOGIE 203

8

Figure 8.10 : Ecoulement de Poiseuille laminaire.

8

Figure 8.11 : Couche limite instable.

8

Figure 8.12 : Turbulence derriere une grille.


8

Figure 8.13 : Instabilites de jets.

8

Figure 8.14 : Moyenne et fluctuations dans un jet.

16

Figure 8.15 : Isotropie de la turbulence.

8.7. PHENOMENOLOGIE 205

16

Figure 8.16 : Effet du nombre de Reynolds.

• Ce sont les petitesechelles qui sont le plus efficacement dissipees. Ainsi, derriere ungrillage qui genere unecoulement turbulent, un large spectre de mouvements est observe,alors que plus en aval, seuls les plus grands tourbillons persistent, les plus petits ayantetedissipes entre-temps (figure8.12).

• Le comportement est fortement non-lineaire et on ne peut appliquer le principe de super-position.

• Pour une turbulence pleinement developpee, un large spectre d’echelles intervient et nouspouvons, par exemple, observer des tourbillons de toutes tailles dans un jet turbulent(figure8.13).

• Nous observons une isotropie aux petitesechelles et une anisotropie aux grandesechelles.En prenant une photo des petits tourbillonsa un instant donne, nous constatons que nouspouvons tourner une partie de l’image sans que cela ne changeen quoi que ce soit l’image(figure8.15).

• La structure des fluctuationsa petiteechelle n’est pas influencee par la geometrie del’ ecoulement de base qui a genere la turbulence. Autrement-dit, il y a une perte dememoire des fluctuations par rapport au mecanisme qui les a generees et l’aspect desfluctuations est independant du nombre de Reynolds (figure8.16).

On peut donc resumer la situation comme suit. L’ecoulement de base genere des tourbillonsqui, par interactions non-lineaires, creent des tourbillons plus petits, de plus en plus isotropes etde plus en plus efficaces au niveau dissipation d’energie. L’observation de ces caracteristiquesa conduit Richardson (1922)a formuler la description celebre de la turbulence:

”the big whirls have little whirls that feed on their velocities, and little whirls havelesser whirls and so on to viscosity - in the molecular sense”.


16

Figure 8.17 : Etirements d’une parcelle de fluide.

7

Figure 8.18 : Mecanisme qui augmente l’efficacite de la diffusion moleculaire. Plus la surface entredeux regions de concentrations differentes est importante, plus la diffusion moleculaireest efficace.

A ce stade, nous pouvons nous demander comment une turbulence augmente de facon signi-ficative la diffusion apparente, puisque, en l’occurrence,seule la diffusion moleculaire permetle melange physique reel entre molecules, tout le resteetant simplement une redistribution paradvection. La turbulence melange donc toujours par diffusion moleculaire mais l’advection parles fluctuations a pour effet d’etirer les parcelles de fluide dans tous les sens (figure8.17). Cetetirement augmente la surface de contact de plusieurs ordres de grandeur ainsi que les gradients(echelles plus petites) (figure8.18). Les fluctuations de vitesses redistribuent donc les champsde sorte que la diffusion moleculaire puisse agir de facon beaucoup plus efficace car agissantsur des surfaces de contact plus grandes et renouvelees sans cesse.

Nous pouvons donc argumenter que la microturbulence agit comme le melange moleculairemais de facon sensiblement plus efficace. Dans ce cas, nous allons donc tout naturellementchoisir des parametrisations des flux turbulents (responsables du melange plus intense) ana-logues auxequations constitutives de la diffusion et de la friction moleculaire mais ou l’onremplace les valeurs moleculaires par des coefficients de diffusion turbulente et les gradientsdes champs par les gradients des champs moyens

jS = 〈v′S ′〉 = −λS∇ 〈S〉 (8.19)

Une relations similaire sera utilisee pour la temperature et les traceurs biochimiques pour lesquelson considere que le coefficient de diffusion estegalementλS, car il s’agit du meme processusde melange.

En ce qui concerne la parametrisation des tensions de Reynolds, elle est analogue aux rela-tions entre les tensions visqueuses moleculaires et le tenseur des deformations,a la differenceque, dans le cas present, nous devons utiliser le tenseur de deformation du champ moyen et uncoefficient de diffusion turbulente

〈v′v′〉 = −ν(∇ 〈v〉 + (∇ 〈v〉)T

)+ 2

3 k I (8.20)

8.8. TRANSFERT D’ENERGIE 207

Nous constatons que nous avons introduitegalement un terme sur la diagonale du tenseur quiest proportionnela une quantite que l’on appelleenergie cinetique turbulente

k = 12 〈v′

·v′〉 (8.21)

En effet, sans ce terme6, la parametrisation serait mathematiquement incoherente (la trace dutenseur de membre de gauche doitetre egalea la trace du tenseur du membre de droite) etnous souhaitons qu’une parametrisation satisfasse au moins des contraintes mathematiqueselementaires du vrai tenseur de Reynolds.

En ce qui concerne les variables scalaires, les parametrisations des flux turbulents s’ecrivent

〈v′T ′〉 = −λT∇ 〈T 〉 (8.22)

〈v′S ′〉 = −λS∇ 〈S〉 (8.23)

〈v′b′〉 = −λb∇ 〈b〉 (8.24)

⟨v′ca′⟩ = −λa

∇ 〈ca〉 (8.25)

et en general, on choisitλT = λS = λa = λb.Il nous restea determiner les coefficients de viscosite et diffusivite turbulenteν et λS.

Comme le melange turbulent observe est plus ou moins important en fonction de l’energie de laturbulence, nous allons analyser plus en details la maniere dont les grands tourbillons passentleur energie aux plus petitsa travers de ce qu’on appelle la ”cascade de Kolmogorov”.

8.8 Transfert d’energie

Afin d’analyser les transferts d’energie entre l’ecoulement moyen et la turbulence, nous al-lonsetablir un bilan d’energie des fluctuations et de l’ecoulement moyen. On calcule l’energie7

cinetique (E = 12 〈v〉·〈v〉 en m2/s2) de l’ecoulement moyena partir de (8.13) que l’on mul-

tiplie scalairement par〈v〉

1

2

∂ 〈v〉·〈v〉∂t

+ 12 ∇·(〈v〉〈v〉·〈v〉) =

−∇·(〈q〉〈v〉) + 〈w〉〈b〉 + ∇·(ν 1

2 ∇(〈v〉·〈v〉))

−ν∇〈v〉:∇〈v〉 − ∇· (〈v〉·〈v′v′〉) + 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉

6Dans la pratique ce terme est souvent negligeable ou peutetre incorpore dans la pression.7Nous utilisons par abus de langage le termeenergie pour designer un terme quadratique en la vitesse.


8.8.1 Energie de l’ecoulement moyen

Cetteequation pour l’energie cinetique de l’ecoulement moyen contient differents termesdont nous pouvons donner une interpretation directe

∂E

∂t︸︷︷︸+ ∇·(〈v〉E)︸︷︷︸ =

︷︸︸︷−∇· (〈v〉〈q〉) +〈b〉〈w〉 + ∇·(ν∇E)

+ 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉 − ˜∇·(〈v〉·〈v′v′〉) ,

(8.26)

• ︸︷︷︸: derivee materielle par rapporta l’ecoulement moyen

• ︷︸︸︷: travail des forces de pression

• : travail du aux forces de poussee (echange avec l’energie potentielle PE )

• : diffusion moleculaire de l’energie (negligeable ici car lesechelles spatiales del’ ecoulement moyen sont relativement grandes)

• : echange d’energie avec les fluctuations

• : dissipation visqueuse due aux gradients de l’ecoulement moyen (generalement negligeablecaregalement conditionne par lesechelles de l’ecoulement moyen)

• ˜ : redistribution (car sous forme de divergence) par des fluctuations.

8.8.2 Energie des perturbations

Nous pouvonsegalement analyser l’evolution de l’energie des fluctuationsk, soit en multi-pliant l’equation pour les fluctuations scalairement parv′, soit en contractant les indices (calculde la trace) de l’equation pour les tenseurs des tensions de Reynolds (8.14)

2∂k

∂t+

∂

∂xl

〈vl′vi

′vi′〉 + 2 〈vi

′vl′〉 ∂ 〈vi〉

∂xl

+ 2∂

∂xl

(k 〈vl〉)

+2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vi′

∂xl

⟩

−2

⟨vi

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 2 〈w′b′〉 + 2

∂

∂xl

(ν

∂k

∂xl

)

soit sous forme plus classique dont nous pouvonsegalement interpreter les differents termes

∂k

∂t+ ∇·(〈v〉 k)

︸︷︷︸=〈b′w′〉 + ∇·(ν∇k) − 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉

− ν 〈∇v′:∇v′〉 − ˜∇·

⟨( 1

2 v′ ·v′ + q′)v′⟩.

(8.27)

• ︸︷︷︸: derivee materielle par rapporta l’ecoulement moyen

8.8. TRANSFERT D’ENERGIE 209

• : travail du aux forces de poussee (echange avec APE )

• : diffusion moleculaire dek (generalement negligeable car basee sur des gradientsdans l’ecoulement moyen)

• : echange avec l’ecoulement moyen

• : dissipation visqueuseε due aux gradients de l’ecoulement moyen. Ici, nous devonsinsister sur le fait que ce terme n’est pas negligeable du tout, puisque les gradients quiinterviennent dans ce terme sont les gradients des fluctuations. Ce sont ces gradients tresimportants qui dissipent en realite l’energie, meme si la viscosite moleculaire est faible

• ˜: redistribution par des fluctuations

Enecrivant lesequations pour l’energie cinetique de l’ecoulement moyen et des fluctuationsl’une en face de l’autre, nous constatons qu’un terme de transfert existe entre ces deux formesd’energie cinetique

∂E

∂t+∇·(〈v〉E) = −∇· (〈v〉〈q〉) + 〈b〉〈w〉 + ∇·(ν∇E)

+ 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉 − ∇·(〈v〉·〈v′v′〉) ,(8.28)

∂k

∂t+ ∇·(〈v〉 k) = 〈b′w′〉 + ∇·(ν∇k) − 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉

− ν 〈∇v′:∇v′〉 − ∇·⟨( 1

2 v′·v′ + q′)v′⟩ .

(8.29)

Ce transfert (le meme terme apparaıt dans les deuxequations mais avec un signe different)ne peutetreevalue exactement8, mais nous pouvons l’estimer en utilisant les parametrisationschoisies. En effet, avec la parametrisation choisie, ce terme assure que l’energie passe deEversk, puisque si la parametrisation est utilisee

〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 =(−2νD + 2

3 k I):∇ 〈v〉 (8.30)

Comme∇· 〈v〉 = 0, cela se reduita

〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 = −2νD:D (8.31)

ou nous utilisons le tenseur de deformation de l’ecoulement moyen

D =1

2

(∇ 〈v〉 + (∇ 〈v〉)T

)(8.32)

Si ν est positif, le transfert d’energie modelise extrait donc l’energie cinetique de l’ecoulementmoyen pour alimenter l’energie cinetique des fluctuations. En corollaire, le choix d’unν posi-tif suppose donc que l’energie passe de l’ecoulement moyen vers les fluctuations pour yetredissipe.


-ex

U1, p1 U2, p2

-¾L

S

Figure 8.19 : Ecoulement isotrope dans un cylindre.

Afin d’illustrer ce processus de transfert d’energie et de dissipation, considerons un tube(figure8.19) avec unecoulement homogene, stationnaire et periodique, force par une differencede pression.

L’int egration de l’equation pour l’energie cinetique de l’ecoulement moyen (8.26) sur letube se simplifie en le bilan suivant

0 = − 1

ρ0

∫

S〈U2〉〈p2〉 dS +

1

ρ0

∫

S〈U1〉〈p1〉 dS

+

∫

V(〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉) dV

(8.33)

qui, si l’on utilise les parametrisations choisies, peutetre reecrit comme suit:

1

ρ0

∫

S〈U1〉〈p1〉 dS − 1

ρ0

∫

S〈U2〉〈p2〉 dS =

∫

V(ν + ν)

(∂ 〈u〉∂r

)2

dV (8.34)

L’ equation pourk se reduit, quanta elle, toujours en utilisant les parametrisations choisies,a ∫

Vε dV =

∫

Vν

(∂ 〈u〉∂r

)2

dV (8.35)

ou la dissipationε est definie parε = ν 〈∇v′:∇v′〉 (8.36)

Nous supposons dans un premier temps que l’ecoulement est laminaire (ν = 0). Dans cecas, pourequilibrer une difference de pression donne, la friction visqueuse doit agir au seindu fluide (8.34). Si le gradient de pression augmente, la seule facon de dissiper le trop pleind’energie sans turbulence est via une augmentation des gradients de vitesse∂〈u〉

∂r. Cette augmen-

tation va, tot ou tard, induire de tels cisaillements que l’ecoulement devient instable et creerade la turbulence. A ce moment, la turbulence permet d’extraire de l’energie de l’ecoulementmoyenν > 0 (meme si les gradients de l’ecoulement moyen restent faibles), de passer cetteenergie aux fluctuations et finalement de la dissiper via la dissipation visqueuseε (l’ equation(8.35) pourk indique que l’energie venant de l’ecoulement moyen est dissipe parε).

Dans le cas du tube, la turbulence apparaıt donc comme un mecanisme qui permet de dis-siper le trop plein d’energie. Sans cette turbulence, des perturbations dans l’ecoulement moyen

8Sauf si l’on connaissaitv′ ou 〈v′v′〉.

8.9. THEORIE DE KOLMOGOROV 211

auraient une source d’energie importante d’ou ils pourraient tirer leurenergie pour s’amplifieret de donner lieua des instabilites.

La dissipationε est donc un parametre essentiel dans l’evolution de l’energie des fluctua-tions. Malheureusement, ce terme, qui intervient bien sur dans l’equation d’evolution pourk,n’est pas connu, ni parametrise pour l’instant

∂k

∂t+ ∇·(〈v〉 k) = 〈b′w′〉 + ∇·(ν∇k)

−〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ε − ∇·⟨( 1

2 v′·v′ + q′)v′⟩ .

(8.37)

La dissipationε devra etre parametrisee alors que pour les autres termes de l’equation dek, la modelisation basee sur les parametrisations adoptees permet l’ecriture d’uneequationd’evolution pourk

∂k

∂t+ ∇·(〈v〉 k) = −λb ∂ 〈b〉

∂z+ ∇·(ν∇k) + 2νD:D − ε + ∇·(ν∇k)

Comme la frequence de Brunt-Vaisala de l’ecoulement moyen est une grandeur aisement ac-cessible, nous pouvons la faire apparaıtre explicitement

∂k

∂t+ ∇·(〈v〉 k) = −λbN2 + 2νD:D − ε + ∇·((ν + ν)∇k) (8.38)

Il nous reste donca trouver une methode qui permette le calcul de la dissipationε (et biensur, le moyen de calculer les coefficients de diffusion/viscosite turbulente).

8.9 Theorie de Kolmogorov

Une theorie celebre qui permet ceci est la theorie de Kolmogorov. Pouretablir cette theorie,on caracterise un tourbillon par sa vitesse de rotationu et sonechelle spatialel ∼ k−1. Associea ces deuxechelles, nous pouvons calculer unturnover time9 de ts = l/u = 1/(ku), soit unefrequence associeeω = t−1

s = u/l = ku.Le raisonnement de Kolmogorov est le suivant:

• Si le nombre de Reynolds d’un tourbillon est grand, il ne peut dissiper sonenergie en untemps comparablea son turnover timel/u, puisque la derivee temporelle d’une variableφ est proportionnellea ωφ et le terme de diffusion proportionnela νk2φ. Le rapport desdeux termesetant le nombre de Reynolds, grand par hypothese, la diffusion n’est doncpas importantea ce stade.

• Les grands tourbillons tirent leurenergie de l’ecoulement et sont anisotropiques.

• Seuls les plus petits tourbillons dissipent l’energie quand leur nombre de Reynolds10 vautO(1), car dans ce cas seulement, le terme diffusif est du meme ordre de grandeur que lavariation temporelle. Ceci a lieu quand∂

∂t= ν∇2, ce qui indique que la frequence de

dissipationωv se comporte commeωv ∼ νk2v .

9Un temps typique de rotation sur lui-meme d’un tourbillon.10 base sur lesechelles du tourbillon lui-meme


• La dissipation visqueuseε (en m2s−3) doit in finedissiper l’energie extraite de l’ecoulementmoyen et la transformer en chaleur.

• Si un tourbillon a une vitesse de rotationω = ku À νk2 (c.a.d.ul À ν), il ne sera pasamorti (ceci corresponda un grand nombre de Reynolds du tourbillon).

• Ces tourbillons ne peuvent donc dissiper l’energie mais la transmettenta des plus petitstourbillons.

• Seuls les plus petits tourbillons vont finalement dissiper l’ energie (dans le ”puits visqueux”).

• L’ energiea dissiperε est donc ”conservee” dans la cascade.

• ω ne peut alorsetre fonction que deε et k , car la viscosite n’a pas le temps d’agir (etle parametreν n’intervient donc pas) et l’ecoulement aux grandesechelles aete oublie(lesechelles de l’ecoulement moyen n’interviennent donc pas non plus). Par une analysedimensionelle, nous constatons donc que la frequence de rotation du tourbillon est lieeala dissipation visqueuse et sonechelle spatialek−1 par

ω ∼ ε1/3k2/3 (8.39)

avec un facteur de proportionalite que les experiences indiquentetre de l’ordreO(1).

Cette cascade de tourbillons transfere donc l’energieε a dissiper tant queω À νk2. Dans lapartie non influencee par la viscosite ω ∼ ε1/3k2/3, alors que la viscosite intervient enk = kv

ou νk2 ∼ ε1/3k2/3, soitkv ∼ ε1/4ν−3/4. A partir de cetteechelle spatiale (figure8.20) k−1v (la

longueur de Kolmogorov), la dissipation visqueuse est doncefficace et permet de dissiperεPour analyser ce qui se passe au moment de la dissipation, nous resumons que

• Quand il y a dissipation effective,∂∂t

= ν∇2 et dans le puits visqueux,ωv ∼ νk2v (uvlv ∼

ν)

• L’ echelle de la dissipation visqueuse est donnee par

ε = ν∇v′:∇v′ ∼ νu2

v

l2v∼ ν

(ν/lv)2

l2v(8.40)

a un nombre de Reynoldsuvlvν

∼ 1 soit kv ∼ l−1v ∼ ε1/4ν−3/4. La longueur de Kol-

mogorovlv corresponda la taille des tourbillons qui vont dissiper l’energie

lv ∼ ε−1/4ν3/4 (8.41)

• Le temps caracteristique de la dissipation visqueuse est alorstv ∼ ω−1v ∼ ε−1/2ν1/2.

⊕On peut mentionner que la partie la plus connue de la theorie de Kolmogorov concerne la distri-

bution de l’energie en fonction de l’echelle. Cette densite d’energieEk est telle que l’energie totalecontenue entre deux longueurs d’ondesk−1

a etk−1b vaut

∫ kb

ka

Ekdk (8.42)

8.10. EXEMPLE DE FERMETURE 213

kkv

ωνk2

ε1/3k2/3

Figure 8.20 : ω li e a la dissipation eta la cascade de Kolmogorov en fonction dek. Pour desechellesplus grandes que l’echelle de Kolmogorovk < kv, la dissipation n’agit pas car lesfrequences des tourbillons sont tropelevees et donnees par(8.39).

alors que la dissipation (constante le long de la cascade) vautε ∼ ω(kEk) (variation d’energiekEk

par unite de temps). En vue de la relation dans la cascade de Kolmogorov(8.39), nous avons dans unecertaine plage de la cascade

Ek ∼ ε2/3k−5/3 (8.43)

que l’on a pu comparera des mesures et dont la justesseetait remarquable. Notons que l’energie totalecontenue dans une plage entrek0 (echellea laquelle on extrait l’energie de l’ecoulement moyen (figure8.21)) et le puits visqueux vaut

∫ kv

k0

Ekdk =2

3ε2/3k

−2/30

(1 −

(kv

k0

)−2/3)

∼ 23 u2

0 (8.44)

⊕

8.10 Exemple de fermeture

Nous pouvonsa present revenira notre probleme de fermeture. En effet, nous avons vuque la cascade de Kolmogorov extrait de l’energie de l’ecoulement moyen pour la dissiperfinalement en chaleur. En realite, nous ne resolvons pas explicitement toutes les fluctuations deschamps de la cascade de Kolmogorov mais seulement les grandesechelles. Si nous voulons quelesechelles resolues soient bien representees, nous devons assurer que nous extrayons l’energiedu systeme par notre parametrisation. Il faut donc remplacerν par ν de sorte que la dissipation(modelisee) auxechellesl0 soit coherente avec le transfert reel vers la cascade de Kolmogorov.Il faut donc assurer que


6

-

log(k)

log(Ek)

®

j

ε

log(kv)log(k0)

Figure 8.21 : Cascade de Kolmogorov. L’energie extrait de l’ecoulement moyen alimente la cascadedont le spectre est enk−5/3 jusqu’au puits visqueux ou la dissipation a lieu.

• la dissipation pour l’ecoulement moyen a lieua cette longueurl0 (en realite ce n’est pasdissipe, mais extrait et puis passe a la cascade de Kolmogorov). Pour cela, il faut que lenombre de Reynolds base sur la diffusion turbulente soit de l’ordre deO(1)

u0l0ν

∼ 1 ⇒ ν ∼ u0l0 (8.45)

• dans l’ecoulement moyen, on extrait un niveau d’energie correct,a savoir l’energiequi est reellement dissipee au bout de la cascade:ε. Ceci impose que la dissipation (enfait le transfert) dans l’ecoulement moyen (le terme en(ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉) soit egala cettedissipation

ε ∼ νu2

0

l20∼ u3

0

l0(8.46)

Nous en tirons notamment que l’echellel0 des tourbillonsa laquelle l’extraction d’energie del’ ecoulement moyen a lieu est nettement plus grande que la longueur de Kolmogorov puisquel0lv

=(

u0l0ν

)3/4et que le nombre de Reynolds moleculaire associe au tourbillons macroscopiques

est tres grand (autrement, il n’y aurait pas d’instabilites et de turbulence).Nous constatons que nous pouvons calculer une valeur du coefficient de diffusion turbulente

(8.45) si nous connaissons la taille des tourbillons macroscopiquesl0 qui extraient l’energie del’ ecoulement moyen, ainsi que leur vitesse de rotationu0 (ou leurenergieu2

0). A ce stade, nouspouvons noter l’analogie avec l’origine de la viscosite moleculaire. La diffusion moleculaireest lieea la deviation standard des vitesses des molecules

√〈u2〉 et leur libre parcours moyen

8.10. EXEMPLE DE FERMETURE 215

3

6

]+

j 7

Àk

µR

ÀIR

µ

ª

l0

u0

ν ∼√

〈u2〉〈l〉 ν ∼ u0l0

Figure 8.22 : Analogie entre la diffusion moleculaire et la diffusion turbulente.

〈l〉 a la fin duquel ils rentrent en collision avec une autre molecule et rentrent en interaction. Laturbulence au sein du fluide agit similairement: les tourbillonsa macro-echellel0 font en sorteque des parcelles de fluide se rencontrent et interagissent rapidement (figure8.22).

Il nous restea determineru0 et l0, si nous voulons calculer les coefficients de diffusion etviscosite turbulents. Comme l’energie des tourbillons est surtout dans les grandesechelles (voirdensite d’energie de la cascade ), un choix naturel est bien entendu

u20 ∼ k (8.47)

Comme la longueurl0 et la dissipationε sont reliees par (8.46)

ε ∼ u30

l0(8.48)

pour fermer le systeme, il nous restea determiner soitl0, soit ε puisque la viscosite turbulentepourra alorsetre calculee

ν ∼ l0u0 ∼ l0√

k ∼ k2

ε(8.49)

8.10.1 Approche longueur de melange

Si nous travaillons avec une longueurl0 (appelee longueur de melange), plusieurs approchessont possibles:

• la plus simple consistea la fixer a priori sur base d’observations de la taille des plusgrands tourbillons. Ainsi, la presence d’une paroi diminue la taille des tourbillons (figure8.23) et la longueurl0 refletera cette propriete. La connaissance del0 permet alors lecalcul deν ∼ l0u0 ∼ l0

√k.

• On peutegalementetablir uneequation d’evolution modelisee et calculer ensuiteν ∼l0u0 ∼ l0

√k.


16

Figure 8.23 : Effet d’une presence de paroi qui reduit la taille des tourbillons pres de la paroi.

Dans les deux cas, l’evolution dek demande la connaissance de la dissipationε que l’on calculera partir de

ε ∼ k3/2

l0(8.50)

8.10.2 Equation pour la dissipation

Si en lieu et en place del0, on choisit la dissipation comme representative de l’etat de la tur-bulence (depuis peu, il y a des moyens de mesurer directementcette dissipation, ce qui favorisece choix), on peut essayer d’etablir uneequation d’evolution pourε en utilisant l’evolution desfluctuations et des hypotheses de fermeture plus severes que pour l’etablissement de l’equationpour k. Sans entrer dans les details, on peut indiquer uneequation d’evolution pourε tellequ’elle est utilisee actuellement dans les modeles courants

∂ε

∂t+ ∇·(〈v〉 ε) =

ε

k

(−c3ε λbN2 + c1ε νM2 − c2ε ε

)+ ∇·

(( 1

σεν + ν)∇ε

)(8.51)

c1ε ≈ 1.44, c2ε ≈ 1.92, c3ε ∈ [−0.6, 0.3], σε ≈ 1.1

N2 = ∂〈b〉∂z

est le carre de la frequence de Brunt-Vaisala de l’ecoulement moyen.M2 =2D:D est le carre de la frequence de Prandtl de l’ecoulement moyen. Ensuite, il restea rem-placer les autres∼ par uneegalite et un facteur numerique obtenu par des mesures. C’est icique l’equation de la dissipation montre le plus de problemes de calibration. Ceci est notammentdu au fait qu’il s’agit bien d’uneequation modelisee dans laquelle on a du introduire des hy-potheses fortes afin d’etre capable de fermer le systeme. La difficulte de calibration reflete alorssouvent le caractere non universel de ces hypotheses.

8.11. EXERCICES 217

6

ez

-Uh

z0

-

-

--

Figure 8.24 : Schema pour l’etude d’une couche limite turbulente.

8.10.3 Turbulence enequilibre

Si la turbulence est enequilibre (la creation de turbulence estequilibree par la dissipation)et est relativement homogene, l’equation dek (en l’absence de stratification) se reduita

ε = 2νD:D ∼ u30

l0(8.52)

commeν = u0l0 (8.53)

On obtient

2u0l0D:D ∼ u30

l0→ ν ∼ u0l0 ∼ l20M (8.54)

ce qui n’est rien d’autre que le modele de Prandtl de la turbulence avecM =√

2D:D. Dans cecas, on ne calcule plusk par uneequation d’evolution et on doit se donnerl0.

8.11 Exercices

8.11.1 Modele de Prandtl [D]

En utilisantu0 = l0∂u∂z

et l0 = κz (κ = 0.4) pour calculer la viscosite turbulenteν = l0u0,etablir que dans une couche limite au fond, en l’absence de rotation de la terre (figure8.24)u(z) = C1 ln(C2z), en supposant que l’equation de la quantite de mouvement se reduit a laseule action de la viscosite turbulente

∂

∂z

(ν∂u

∂z

)= 0 (8.55)

Determiner les constantes pour que la vitesse soit nulle enz = z0 et vautU enz = h. Que vautla tension dans la couche limite en fonction deU ? .

8.11.2 Diffusion du sel en mer [F]

En utilisant comme valeur pour la diffusion turbulenteν = 5 10−4 m2/s, refaire l’exercice2.9.2 sur la diffusion verticale du sel.

Bibliographie

[1] H. Burchard.Applied Turbulence Modelling in Marine Waters, volume 100 ofLecture notesin earth sciences. Springer, 2002. p216.



[4] H. Tennekes and J.L. Lumley.A first course in turbulence. MIT University Press, 1972.


219

220 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 9

Turbulence geophysique

221

222 CHAPITRE 9. TURBULENCE GEOPHYSIQUE

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102104 106 108

1010

accoustiques

marees

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

melange



(m)

micro

turbulence



fronts

circulation

circulation

thermo-haline

houle

tempetes

[35]

Figure 9.1 : Comment parametriser la microturbulencedans les fluides stratifies a faible rapportd’aspect ?

Quand nous avons introduit la notion de fermeture turbulente et les parametrisations, lesspecificites des fluides geophysiques n’intervenaient que tres peu; on tenait bien compte d’unestratificationeventuelle, mais en dehors de cette particularite, la theorie proposee est une theoriede la turbulence classique des petitesechelles. Dans le chapitre present, nous allons examinercomment nous devons adapter les fermetures dans le cas de fluides geophysiques.

9.1 Echelles

En effet, les fluides geophysiques sont caracterises par un large spectre de mouvements(figure9.1) et si nous ne nous interessons qu’a une fenetre spectrale donnee, tous les processusa plus petiteechelle ne sont pas resolus. Si ces processus non resolus sont non-lineaires, nousretombons sur le probleme de fermeture rencontre en turbulence classique.

9.2. MICROTURBULENCE ET FLUIDES GEOPHYSIQUES 223

9.2 Microturbulence et fluides geophysiques

Dans un premier temps, nous nous posons la question de savoirsi nous pouvons adapter lesfermetures turbulentes si nous voulonsetudier des processus dans une couche limite. Dans cecas, les fluctuations negligees sont des fluctuations de la microechelle tri-dimensionnelles et onpeut adopter les fermetures turbulentes precedentes.

9.2.1 Rapport d’aspect

Par la suite, on omettra l’indication de la moyenne〈〉 pour designer lesecoulementsamacroechelles pour lesquels on a filtre les fluctuationsa microechelles. Nous pouvons cepen-dant adapter les parametrisations de cette turbulence proprement dite en exploitant le fait quel’ ecoulement des fluides geophysiques moyen possede un rapport d’aspect faible. Dans ce cas,le tenseur de deformation se reduit essentiellementa la forme suivante

2D =

0 0 ∂u∂z

0 0 ∂v∂z

∂u∂z

∂v∂z

2D:D ∼(

∂u

∂z

)2

+

(∂v

∂z

)2

=

∥∥∥∥∂u

∂z

∥∥∥∥2

= M2

et la frequence de Prandtl est donnee par le gradient vertical du courant horizontalu de l’ecoulementa macroechelle.

Le faible rapport d’aspect permetegalement de simplifier les parametrisations que l’onecrit alors comme1.

∇· (〈v′v′〉) = − ∂

∂z

(ν∂u

∂z

)(9.1)

∇· 〈v′T ′〉 = − ∂

∂z

(λT ∂T

∂z

)(9.2)

et, de facon similaire, pour les autres scalaires. Il s’agit de la forme que nous avons deja utiliseelors de l’etude des couches limites .

9.2.2 Stratification

Une adaptation particuliere est proposee pour les fluides geophysiques. En effet, la strati-fication peut stabiliser lesecoulements, et par la, reduire la turbulence(figure9.2) dans le casd’une stratification stable oua l’inverse, l’augmenter dans le cas contraire (figure9.3). Cette sta-bilisation/destabilisation intervient deja dans les termes de production/destruction de l’energiecinetique turbulentek, mais la stratification modifieegalement la taille des tourbillons. Ceux-cine peuvent en effet plus se developper aussi librement contre une stratification.

En resume, les parametrisations habituelles doivent doncetre modifiees pour tenir comptedes points suivants:

1On incorpore∇k, de toute facon faible, dans le gradient de pression


16

Figure 9.2 : Effet de la stratification instable et stable sur la turbulence.

16

Figure 9.3 : Effet de la stratification stable et instable sur la turbulence.

9.2. MICROTURBULENCE ET FLUIDES GEOPHYSIQUES 225

• Inhibition des instabilites .

• Tenseurs et gradients de densite simplifies par le rapport d’aspect .

• Dans la cascade de Kolmogorov, siN2 ∼ M2 ou N2 ≥ M2, la stratification peut interagiravec la cascade, car la generation de turbulence a lieu par interaction avec l’ecoulementmoyen pres de la frequenceω = u0

l0∼ M et la dissipationa plus haute frequenceωv .

• La stratification reduita la fois la taille del0 et l’energie des fluctuations.

Ceci menea la parametrisation avec une dependance des parametres turbulents en Ri ouN2 etM2

Un modelek − ε de la couche de melange tenant compte de ces particularites s’obtient2 apartir (8.38) et (8.51):

∂k

∂t+ ∇·(vk) = νM2 − λbN2 − ε +

∂

∂z

((ν + ν)

∂k

∂z

)

∂ε

∂t+ ∇·(vε) =

ε

k

(−c3ε λbN2 + c1ε νM2 − c2ε ε

)+

∂

∂z

(( 1

σεν + ν)

∂ε

∂z

)

M2 ≡∥∥∥∥∂u

∂z

∥∥∥∥2

(9.3)

N2 ≡ ∂b

∂z(9.4)

⊕A titre d’exemple, notons que les modeles utilises font dependre les coefficients de diffu-sion/viscosite d’une fonction dite de ”stabilite”, qui reduit la diffusion pour des stratificationsfortes

ν = (c0µ)3cµ

k2

ε, (9.5)

ainsi que

λT = (c0µ)3c′µ

k2

ε. (9.6)

Ainsi les fonctions de stabilitecµ etc′µ sont, en realite, affectes par la stratification et le cisaille-ment, et une parametrisation courante est :

cµ =s0 + s1αN + s2αM

1 + d1αN + d2αM + d3α2N + d4αNαM + d5α2

M

, (9.7)

c′µ =s4 + s5αN + s6αM

1 + d1αN + d2αM + d3α2N + d4αNαM + d5α2

M

, (9.8)

αM = (c0µ)6 k

2

ε2M2, (9.9)

et

αN = (c0µ)6 k

2

ε2N2. (9.10)


s0 s1 s2 s4 s5 s6

0.7311 5.5528 -0.0386 0.7655 1.4414 0.2805

Tableau 9.1 : Parametres pour les fonctions de stabilite .

d1 d2 d3 d4 d5 c0µ

11.9251 1.3405 18.9086 11.3796 -0.0735 0.527

Tableau 9.2 : Parametres pour les fonctions de stabilite. 11

L’efficacite de ce type de fermeture peutetre demontre en comparant des previsions demodeles utilisant ces fermetures par rapport aux observations. Ainsi, non seulement les vari-ables habituelles sont bien reproduites (figure9.4), maisegalement, les grandeurs turbulentes(figure9.5) que l’on avait,a priori seulement, introduites comme intermediaires de calcul pourν. ⊕

9.3 Micro et macroturbulence

Nous pouvons alors passer au probleme de la parametrisationa plus grandeechelle. Ima-ginons en effet que nous soyons interesses par la circulation generale et que nous ne voulonsplus resoudre les ondes internes. Il serait tentant d’adopter lesmemes techniques de filtrage queprecedemment, mais plusieurs problemes se posent.

Le probleme general de fermeture persistera, mais les processus filtres sont de moins enmoins aleatoires et chaotiques. Ils sont meme souvent tres structures de sorte qu’il n’est pascertain que leur effet net sur lesechelles superieures se resumea un effet de melange. De plus,certains processus organises peuvent alimenter enenergie unecoulementa plus grandeechelle(alors que les parametrisations classiques supposent un flux d’energie des grandesechellesvers les plus petites ).

Il est donc clair que les parametrisations classiques de la turbulence ne pourront pasetreadoptees telles quelles pour les plus grandesechelles.

9.3.1 Effet de la rotation

Un effet particulierement parlant de la structuration des processusa plus grandeechelle estdu a la rotation du systeme. En effet, si nous injectons un filet d’encre dans unecoulementturbulent sans rotation, nous observons bien entendu un melange 3D rapide. Si par contre,nous repetons l’experience avec un systeme homogene en rotation, nous voyons que des gyresmaintiennent des regions isolees les unes des autres (figure9.7). Ceci est du aux colonnesde Taylor, qui font en sorte que pour unecoulement sans stratification proche de l’equilibregeostrophique, le cisaillement vertical est reduit (et par la, une possibilite de deplacements

2 On omet toujour le signe〈〉, car les variables utilisees sont toutes des variablesa macroechelle

9.3. MICRO ET MACROTURBULENCE 227

7

Figure 9.4 : Temperature, salinite et courants en fonction de la profondeur et du temps modelises etobserves.


7

Figure 9.5 : Dissipationε (en couleur) en fonction de la profondeur et du temps modelise (a gauche) etobserve (a droite). Courbes de niveau de la densite superposees.

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

accoustiques

replacements

marees

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

melange



(m)

micro

turbulence



fronts

circulation

circulation

thermo-haline

houle

tempetes

[35]

Figure 9.6 : Comment lesechelles intermediairesinfluencent-elles les grandes? Peut-on parametriserleurs effets?


9

Figure 9.7 : A gauche: sans rotation,a droite avec rotation (effet de∂u

∂z = 0, voir colonnes de Taylor).

2

Figure 9.8 : Simulation de tourbillons geostrophiques et observations.

diff erentiels, favorablesa des melanges). L’effet de la rotation est aussi visible sur les imagessatellitaires (figure9.8) ou des tourbillons geostrophiques maintiennent des masses d’eau enleur centre, sansechange notable avec l’exterieur. L’evolution de ces gyres peutetre simulenumeriquement (figure9.8) et montre notamment qu’une rotation plus ou moins forte structureplus ou moins le systeme selon la verticale (figure9.9). Cette structuration peutegalementetremise enevidence en laboratoire (figure9.10) ou l’on constate que cette structuration est reduitequand la rotation diminue (figure9.11).

La parametrisation de l’effet de ce type de tourbillons structures selon la verticale devraitdonc tenir compte de cette particularite.

9.3.2 Filtrages

Nous devons encore montrer comment nous pouvons appliquer un filtre a desechelles plusgrandes que la microturbulence. Il seraitevidemment tentant de repeter le processus de fil-trage applique a la microturbulence auxechelles plus grandes, de facon successive. Ceci n’estcependant pas aussi trivial que cela, comme nous allons le montrera present.


Figure 9.9 : Tubes de vorticite, rotation forte et rotation faible.

12

Figure 9.10 : Vue de la couche de surface du fond et laterale, rotation forte.


12

Figure 9.11 : Vue de la couche de surface du fond et laterale, rotation moins forte.

Imaginons que nous pouvons decomposer le signal en troisechelles :

• Nous avons une microechelles contentant la turbulence proprement dite. Nous associonsa cetteechelle une moyennea microechelles〈〉1. Les fluctuations de vitessesa cettemicroechelle sont noteesv′ et leurs moyennesa microechelle sont nulles〈v′〉1 = 0.

• Nous souhaitons alors appliquer une moyennea macroechelle〈〉0 qui permet d’eliminerles processus filtres ou non resolus notesv avec une moyennea macroechelle nulle〈v〉0 =0.

• Finalement, nous avons le processus d’interet a grandeechelle〈v〉.

Le signal (figure9.12) possede donc trois composantesenergetiques

v = 〈v〉 + v + v′ (9.11)

et nous pouvons en extraire successivement

〈v〉1 = 〈v〉 + v (9.12)

et la plus grandeechelle〈v〉0 = 〈v〉 (9.13)

comme〈v′〉1 = 0 et 〈v〉0 = 0.Une premiere approche pour aboutira desequations pour lesechelles d’interet 〈v〉 con-

siste en l’etablissement d’equations moyennes filtrant les fluctuations rapides avec, ensuite,l’ etablissement d’equations qui appliquent une moyenne sur la macroechelle

〈vv〉1 = (〈v〉 + v)(〈v〉 + v) + 〈v′v′〉1 (9.14)


-

6

ω1T1

1T0

v′v〈v〉

Eω

Figure 9.12 : Trois echellesenergetiques separees par des vallees.

〈〈vv〉1〉0 = 〈v〉〈v〉 + 〈vv〉0 + 〈〈v′v′〉1〉0 (9.15)

L’autre approche consisterait en l’application directe d’une moyennea macroechelle auxequations,ce qui fera apparaıtre les tensions de Reynolds suivantes

〈vv〉0 = 〈v〉〈v〉 + 〈(v + v′)(v + v′)〉0 (9.16)

〈vv〉0 = 〈v〉〈v〉 + 〈vv〉0 + 〈vv′〉0 + 〈v′v〉0 + 〈v′v′〉0 (9.17)

Comme il faut que les tensions de Reynolds (que ce soit par la premiere ou deuxieme methode)permettent le calcul de〈v〉0, il faut que ces deux approches donnent les memes tensions deReynolds appliquees auxequations pour〈v〉. Il faut donc s’assurer que les tensions de lapremiere methode soientegalesa celle de la seconde: il faudrait que〈〈vv〉1〉0 〈vv〉0, ce quisuppose que

〈〈v′v′〉1〉0 = 〈v′v′〉0 (9.18)

et〈v′v〉0 + 〈vv′〉0 = 0 (9.19)

La premiere condition indique qu’il faut effectivement que les filtres successifs soient independants.La deuxieme condition demande quev etv′ soient decorelles sur les grandesechelles, conditionnaturelle si les deuxechelles sont effectivement bien separees.

Par contre, un probleme apparaıt si nous voulons utiliser les fermetures turbulentes de lamicroechelle telles quelles. En effet, elles ontete etablies pour lier les flux turbulents auxgradients du champ dont on a filtre la microechelle (〈〉1). Or ici, nous n’avons plus accesqu’aux champs filtresa macroechelle (〈〉0). Il faut alors, soit introduire une parametrisationspecifique qui permette de calculer〈〈v′v′〉1〉0 ou 〈v′v′〉1 est parametrise via la fermeture clas-sique, soit accepter que

〈〈v′v′〉1〉0 = 〈v′v′〉1 (9.20)


c’est-a-dire que la micro-turbulence n’est pas modulee a uneechelleT0. Dans ce cas, onpeut utiliser la fermeture classique pour les termes en〈v′v′〉1, mais il faut encore parametriser〈vv〉0.

La parametrisation des tensions de Reynoldsa macroechelle

〈vv〉0 (9.21)

devra alors tenir compte de la structure particuliere des fluctuationsv qui sont des fluctuationsa plus grandeechelle de temps et d’espace. Comme les vitesses associees sont soumises aurapport d’aspect faible (eta la rotation), les tensions de Reynolds associees engendrent des fluxquasi-horizontaux

〈vv〉0 ∼ 〈uu〉0 exex + 〈vv〉0 eyey + 〈uv〉0 (exey + eyex) (9.22)

qu’il faut encore parametriser.La parametrisation de tous les processus sort du cadre de ce cours et est actuellement tou-

jours un sujet de recherches intenses. Nous mentionnerons simplement quelques approcheshabituelles:

• Les instabilitesa petiteechelle (type Kelvin-Helmholtz ): parametrisations en termesde diffusion dependante deN2, M2, k et ε.

• A plus grandeechelle, instabilites d’ecoulements geostrophiques cisailles et stratifies (instabilites baroclines ): parametrisations comme diffusion isopycnale et advection quidiminue l’intensite de fronts.

• Effets de marees structurees sur circulation generale: calcul explicite du tenseur destensions de Reynolds par un modele de maree.

• Melange associe aux gyres quasi-horizontaux: diffusion horizontale .

• etc ....

Nous insistons encore une fois sur le fait que l’etude d’une circulationa uneechelle donneedemandera toujours la parametrisation (correcte si possible...) des processus non resolus.

Nous cloturons ce chapitre en faisant remarquer que certains auteurs pretendent que depuisla theorie du chaos, l’etude de la turbulence est resolue. Si l’etude du chaos d’un systememecanique a effectivement permis de mieux comprendre la route classique vers le chaosa savoir

• instabilite

• bifurcation

• complexifications

• comportement aleatoire,

cela ne permet pas necessairement de trouver des parametrisations adequates. Il fautegalementnoter que pour la turbulence, nous observons des phenomenes semblables au chaos classiquemais qu’en turbulence


100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

accoustiques

marees

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couchede

melange



(m)

microturbulence



fronts

circulation

circulationthermo-haline

houle

tempetes

[35]

Figure 9.13 : Pour chaque processusetudie dans une fenetre spectrale donnee, il faudrait en principeparametriser correctement les processus d’echelle inferieure. Les processus d’echellesplus grandes interviennent alors via les conditions aux limites et initiales.

15

Figure 9.14 : Gyres sur Jupiter.

9.4. EXERCICES 235

• le comportement aleatoire se manifestea petitesechelles seulement alors que les plusgrandesechelles peuvent rester parfaitement predictibles

• il y a activation/creation de nouveaux modes (elargissement de l’espace d’etat) pour dis-siper l’energie (parfois via des structures semi-coherentes)

• ces nouveaux modes peuventeviter le chaos dans les grandesechelles.

9.4 Exercices

9.4.1 Turbulence enequilibre [N]

En supposant que la production de l’energie cinetique turbulente est enequilibre avec ladissipationε et l’extraction par la poussee, analyser comment le modele de Prandtl doitetremodifie quand on tient compte de la stratification. On suppose que ladiffusion turbulente desscalairesλb est proportionnellea la viscosite turbulenteν

λb =ν

σb

(9.23)

On appelleσb le nombre ou coefficient de Schmidt turbulent; il peut dependre de la stratificationet du cisaillement, mais il est en general> 1.

Bibliographie

[1] H. Burchard.Applied Turbulence Modelling in Marine Waters, volume 100 ofLecture notesin earth sciences. Springer, 2002. p216.

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[6] J.C.J. Nihoul.Marine turbulence. Elsevier Publ., Amsterdam, 1980.



237

238 BIBLIOGRAPHIE

Annexe A

Formulaire

239

240 ANNEXE A. FORMULAIRE

A.1 Notations matricielles, algebriques

i nombre imaginaire pur,i 2 = −1

a est un vecteur,ei les vecteurs unitaires des axes,· le produit scalaire etΛ le produit vecto-riel.

A est un tenseur d’ordre 2A est une matrice(A)ij ouAij designe l’elementij de la matriceA ou du tenseurAx est une matrice colonneA

? est la transposee conjugee (ou matrice adjointe) de la matriceA

A est la conjuguee etAT la transposee de la matriceAA

-1 est l’inverse de la matrice carreeA

I est la matrice ”identite”

ei ·a = ai (A.1)

ei ·(ab)·ej = aibj (A.2)

ei ·A·ej = Aij (A.3)

A.2 Notations differentielles

v est un vecteur vitesse.Dans un systeme cartesien

v = v1e1 + v2e2 + v3e3 (A.4)

∇ operateur ”Nabla”, en coordonnees cartesiennes:

∇ = e1∂

∂x1

+ e2∂

∂x2

+ e3∂

∂x3

(A.5)

Exemple d’ecriture:

∇·v =∑

i

∂vi

∂xi

= ∂vi

∂xi(A.6)

Si des indices sont repetes, le signe∑

i est generalement omis

A.3 Operations sur tenseurs

(∇·A)·ei =∑

j

∂Aji

∂xj

(A.7)

ei ·(∇a)·ej =∂aj

∂xi

(A.8)

A.4. THEOREMES INTEGRAUX 241

(b·∇a)·ei =∑

j

bj∂ai

∂xj

(A.9)

∇·(ab) = (∇·a)b + a·∇b (A.10)

T:∇v =∑

i

∑

j

Tij∂vj

∂vi

(A.11)

A.4 Theoremes integraux

∫

V∇·a dV =

∫

Sn·a dS (A.12)

∫

V∇·A dV =

∫

Sn·A dS (A.13)

∫

V∇c dV =

∫

Snc dS (A.14)

∫

V∇Λa dV =

∫

SnΛa dS (A.15)

∫

Sn·(∇Λa) dS =

∫

Γ

a·ds (A.16)

V designe le volume,S la surface etΓ la courbe delimitant le domaine d’integration avecle vecteur normaln vers l’exterieur. s le vecteur tangent le long deΓ dans le sens de la regleclassique du tire-bouchon ou de la main droite.

A.5 Analyse vectorielle

∇Λ(∇c) = 0 (A.17)

∇·(∇Λa) = 0 (A.18)

∇2c = ∇·(∇c) (A.19)

∇2a = ∇(∇·a) − ∇Λ(∇Λa) (A.20)

∇·(ca) = (∇c)·a + c(∇·a) (A.21)


-

6

ex

ey

ez

]*

er

eθ

r

θK

Figure A.1 : Coordonnees polaires.

∇Λ(ca) = (∇c)Λa + c∇Λa (A.22)

∇·(aΛb) = b·(∇Λa) − a·(∇Λb) (A.23)

∇Λ(aΛb) = b·(∇a) − a·(∇b) + a(∇·b) − b(∇·a) (A.24)

∇(a·b) = b·(∇a) + a·(∇b) + bΛ(∇Λa) + aΛ(∇Λb) (A.25)

a·∇a = ∇

(a·a

2

)− aΛ(∇Λa) (A.26)

A.6 Coordonnees cylindriques

v = vrer + vθeθ + vzez (A.27)

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z (A.28)

A.7. QUELQUES FONCTIONS PARTICULIERES 243

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

z/h

sinh(k(z−h))sinh(−kh)

Figure A.2 : ( sinh(k(z−h))sinh(−kh) , z/h) pourkh =1 (presque lineaire), 5, 10 et 20 (couche limite prononcee).

A.6.1 Operateurs en coordonnees cylindriques

∇a =∂a

∂rer +

1

r

∂a

∂θeθ +

∂a

∂zee (A.29)

∇·v =1

r

∂(rvr)

∂r+

1

r

∂vθ

∂θ+

∂vz

∂z(A.30)

∇Λv =

(1

r

∂vz

∂θ− ∂vθ

∂z

)er

+

(∂vr

∂z− ∂vz

∂r

)eθ +

1

r

(∂(rvθ)

∂r− ∂vr

∂θ

)ez

(A.31)

A.6.2 Equations d’Euler en coordonnees cylindriques

1

r

∂

∂r(rvr) +

1

r

∂vθ

∂θ+

∂w

∂z= 0, (A.32)

∂vr

∂t+

∂

∂r

(v2

r + v2θ

2

)− vθ

r

∂

∂r(rvθ) −

∂vr

∂θ

+ w

∂vr

∂z− fvθ = −∂q

∂r, (A.33)

∂vθ

∂t+

1

r

∂

∂θ

(v2

r + v2θ

2

)+

vr

r

∂

∂r(rvθ) −

∂vr

∂θ

+ w

∂vθ

∂z+ fvr = −1

r

∂q

∂θ. (A.34)

A.7 Quelques fonctions particulieres


2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

x

tanh xx

Figure A.3 : tanh xx .

A.8 Int egrales et autres notations

∫ b

−∞(1 + tanh(a + ξ)) dξ = 2b + ln

(e2a + e−2b

)

O: f(x) = g(x) + O(ε) signifie quelimε→0f(x)−g(x)

εreste borne

A.9 Analyse d’uneequation cubique par perturbation reguliere

Une equation que l’on est amene a resoudre regulierement pour obtenir les relations dedispersion est la suivante:

(a + εb)ω3 + cεω2 − (e + εd)ω + εf = 0 (A.35)

ou ε est un petit parametre. Pour resoudre cetteequation de facon approchee, il suffit de chercherdes solutions par une perturbation reguliere en supposant que tous les coefficientsa..f sont dumeme ordre de grandeur.

ω = ω0 + ε ω1 + O(ε2). (A.36)

En injectant dans l’equation cubique et enegalent les coeffcients des differentes puissances enε a zero, on obtient les trois racines suivantes

ω(1) = 0 + εf

e(A.37)

ω(2) =

√e

a− ε

(eba− 1

) √ea

+ f + eca

2e(A.38)

ω(3) = −√

e

a− ε

−(

eba− 1

) √ea

+ f + eca

2e(A.39)

A.9. ANALYSE D’UNE EQUATION CUBIQUE PAR PERTURBATION REGULIERE 245

6

-ex

ey

(x0, y0)

7

*6-

6q

6

w

(u(t)∆t, v(t)∆t)

x(t), y(t)

(x(t + ∆t), y(t + ∆t))

Figure A.4 : Progressive Vector Diagram

6

-ex

ey

(u(t), v(t))

7

(u(t + ∆t), v(t + ∆t))>

*

:

Figure A.5 : Hodographe

PVD (Progressive Vector Diagram)

Formellement: integration de

Dx

Dt= u(x0, y0, t),

Dy

Dt= v(x0, y0, t) (A.40)

ce qui est un bonne estimation des trajectoires

Dx

Dt= u(x(t), y(t), t),

Dy

Dt= v(x(t), y(t), t) (A.41)

si le champ de vitesses est suffisemment homogene.

Hodographe

Vecteurs vitesse en fonction du temps (ou de la coordonnee verticale)

Bibliographie

[1] M. Abramowitz and I. Stegun.Handbook of mathematical functions. Dover Publications,Inc, New-York, 1972.


[3] I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik.Table of integrals, series and products. Academic Press,1965.

247

248 BIBLIOGRAPHIE

Copyrights

1 : http://gaea.es.flinders.edu.au/˜mattom/IntroOc/ 2 : http://seawifs.gsfc.nasa.gov/ 3 : http://www.ulg.ac.be 4 : http://www.Lehigh.EDU/˜fluids/tjp3/flowpics.html 5 : http://fluid.stanford.edu/˜fringer/movies/movies.html 6 : http://www.po.gso.uri.edu/demos/ 7 : http://www.io-warnemuende.de/homepages/burchard 8 : http://www.engineering.uiowa.edu/˜cfd/referenc/ 9 : http://paoc.mit.edu/labweb/ 10 : http://topex-www.jpl.nasa.gov/gallery/videos.html 11 : http://www.gotm.net 12 : http://dennou-k.gaia.h.kyoto-u.ac.jp/library/gfd_exp 13 : http://bd.casterman.com/serie/castchat/ 14 : http://eol.jsc.nasa.gov/ 15 : http://nix.nasa.gov/nix.cgi 16 : http://www.britannica.com/ 17 : http://www.educnet.education.fr/obter/appliped/ocean/theme/accueil. 18 : http://www.photolib.noaa.gov/historic/nws/

249

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mécanique des fluides géophysiques version preliminaire

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