mecanique des fluides. milieu poreux

lments de mcanique des fluides

Application aux milieux poreuxpar Jean-Claude CHARPENTIER

Professeur et directeur de lcole suprieure de chimie, physique, lectronique de LyonDirecteur de recherche au CNRSAncien directeur scientifique du dpartement Science pour lIngnieur du CNRSAncien directeur de lcole nationale suprieure des industries chimiques de Nancy

1. coulement des fluides dans une canalisation ............................... J 1 065 - 21.1 Fluides parfaits incompressibles en coulement permanent .................. 21.2 Fluides rels. Viscosit ................................................................................ 2

1.2.1 Dfinition ............................................................................................. 21.2.2 Effet de la viscosit sur lcoulement ............................................... 31.2.3 coulement laminaire (Re < 2000)..................................................... 31.2.4 coulement turbulent (Re > 3000) ..................................................... 3

2. Sdimentation........................................................................................... 42.1 Mouvement dune particule solide dans un fluide immobile .................. 42.2 Sdimentation dune suspension de particules en rgime de Stokes .... 6

3. Mouvement de gouttes et de bulles ................................................... 73.1 Vitesse de dplacement dune goutte........................................................ 73.2 Vitesse de dplacement dune bulle .......................................................... 7

4. coulement travers un lit de particules ......................................... 84.1 Loi de Darcy. Dfinition de la permabilit ............................................... 84.2 Modle de Kozeny. Relation de Kozeny-Carman ...................................... 84.3 Rgimes laminaire et turbulent. Relation dErgun.................................... 9

5. Fluidisation ................................................................................................ 9

6. Filtration ..................................................................................................... 116.1 Lois gnrales .............................................................................................. 11

6.1.1 Relation entre lpaisseur Z du gteau et le volume de filtrat V..... 126.1.2 Vitesse de filtration............................................................................. 126.1.3 Rsistance du support R et rsistance spcifique du gteau .Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 1 065 - 1

armi les nombreux problmes de gnie des procds que rencontrentlingnieur et le pharmacien travaillant dans les industries chimiques, ptro-

lires, pharmaceutiques, cosmtiques et agroalimentaires, lcoulement dun oude plusieurs fluides travers un milieu poreux fixe ou mobile tient une placeprpondrante. Il suffit de citer les principaux procds unitaires du gnie desprocds (schage, fluidisation, sdimentation, cristallisation, distillation,change dions, extraction liquide-liquide...) pour voir le nombre plthorique decanalisations, de colonnes, de cuves et de racteurs au sein desquels le ou lesprocds sont raliss.

De mme, pour les industries de la sant, la formulation ncessite la concep-tion, le dveloppement, la production et lcoulement de matriaux poreux (ou

Squation de Ruth ................................................................................ 12

6.1.4 Filtration pression et dbit variables.............................................. 126.1.5 Filtration continue sous vide ............................................................. 12

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. J 1 065

P

LMENTS DE MCANIQUE DES FLUIDES ___________________________________________________________________________________________________

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dJ 1 065 - 2 Techniques de lIngnieur,

non poreux) fonctionnant par leur composition, leur prparation et leur agence-ment pour dlivrer une action et rendre un service (par exemple la galnique).

Aprs un bref rappel des principes fondamentaux de la mcanique des fluidesappliqus aux cas dcoulements de fluides parfaits ou visqueux newtoniensdans les conduites, ce texte fournit les notions de base indispensables surlhydrodynamique des coulements dans les milieux poreux rencontrs dans lesprocds de sdimentation et granulation, de ractions ncessitant un garnis-sage, de fluidisation et de filtration.

Notre but est de proposer la ou les relations qui existent :

entre le dbit de fluide et les proprits caractristiques du milieu poreuxmobile et des fluides pour maintenir ce milieu poreux dans les conditions opti-males de fonctionnement afin de raliser le procd et dlaborer le produitvoulu (sdimentation, fluidisation) ;

ou

entre les pertes de charge ncessaires pour assurer un dbit connu et opti-mum de fluide, compte tenu des proprits caractristiques du milieu poreuxfixe (racteurs, filtration).

Il est bien entendu que ce texte ne se veut nullement exhaustif et le lecteur sereportera utilement aux ouvrages hautement spcialiss prsents dans labibliographie, pour une connaissance plus approfondie sur tel ou tel procd.

1. coulement des fluides dans une canalisation

1.1 Fluides parfaits incompressibles en coulement permanent

On considre le fluide de masse volumique initialement entreles sections A1B1 et A2B2 puis entre les sections autemps dt. On dsigne par A1 laire de la section normale laxe A1B1et par u1 la vitesse dans cette section, A2 laire en A2B2 et par u2 lavitesse dans cette section (figure 1).

Les quations de bilan sont les suivantes : conservation de la matire

A1 u1 = A2 u2 = qm (1)

avec qm dbit massique du fluide (kg s- 1) ;

conservation de la quantit de mouvement (quationdEuler)

(2)

avec rsultante des forces extrieures (pesanteur, pression) ; conservation de lnergie (quation de Bernouilli)

(3)

avec g acclration due au champ de pesanteur (m s - 2), P1, P2 pression statique (Pa), z1, z2 cote, altitude (m).

A1 B1 , A2 A2

qm u2 u1( ) Fe=Fe

u12

2g-------

P1r g------- z1+ +

u22

2g-------=

P2r g------- z2+ + Cte=

Figure 1 coulement dun fluide parfait incompressible

A1

B1

A2

B2

A1'

A2'

B2'

B1'

u1

u2exploitation du droit de copie est strictement interdite.trait Gnie des procds

1.2 Fluides rels. Viscosit

1.2.1 Dfinition

Les seules forces qui existent dans un fluide parfait sont normales la paroi. Dans les fluides rels que considre la mcanique desfluides interviennent en plus des forces de frottement ou de visco-sit, qui sont dans le plan de la paroi (fluides newtoniens).

La vitesse ux des filets de fluide, paralllement laxe Ox de lacanalisation, varie suivant laxe perpendiculaire Oz de la quantit

par unit de longueur.

Ce gradient de vitesse est accompagn dune force sexerantentre deux filets voisins et dirige suivant Ox. Cette force par unitde surface sparant deux filets voisins, appele contrainte de frotte-

dans une canalisation

duxdz

---------

__________________________________________________________________________________________________ LMENTS DE MCANIQUE DES FLUIDES

ment , est proportionnelle au gradient de vitesse (relation deNewton) :

Le coefficient de proportionnalit , parfois not , est la viscosit

dynamique du fluide. On considre souvent aussi le quotient

qui est la viscosit cinmatique du fluide.

Le tableau 1 rassemble les units, dans diffrents systmes, deces deux grandeurs.

1.2.2 Effet de la viscosit sur lcoulement

Dans une canalisation de diamtre d = 2R, on considre le fluidenewtonien contenu dans un cylindre de rayon r et de longueur dx ;

p est la pression qui sapplique sur la face gauche et celle

qui sapplique sur la face droite (figure 2).

En rgime permanent, la vitesse u ne dpend que de la distance r laxe de la conduite.

Un bilan des forces exerces sur le petit lment de volume pir2 dx

1.2.3 coulement laminaire (Re < 2000)

Dans le cas o la vitesse dcoulement est nulle lorsque le cylin-dre de fluide considr a le mme rayon que la canalisation (u = 0pour r = R), la vitesse u sexprime :

Le profil des vitesses est parabolique.

Le dbit volumique qv est :

La vitesse moyenne, ou vitesse dbitante, est :

La chute de pression est donne par la formule fondamentale dePoiseuille :

(4)

et la perte de charge linaire :

(5)

Nota : Le signe - rappelle que les pressions dcroissent au fur et mesure que lonprogresse dans le sens de lcoulement.

Avec les termes adimensionnels :

facteur de frottement

et critre de Reynolds

lexpression de la perte de charge (5) devient :

Tableau 1 Units courantes des viscosits dynamiqueet cinmatique

Viscosit Dimensions SI CGS MKS

(dynamique) M.L- 1 T- 1 Pa s

Poise(Po)

10- 1 Pa s

Poiseuille(dap) (1)

10 Po

(cinmatique)L2 T- 1 m2 s- 1

Stokes(St)

10- 4 m2 s- 1

Myriastokes (maSt)

104 St = 1 m2 s- 1

(1) dap : dcapoise.

t h duxdz

---------=

n

h

r

---=

n

h

r

---=

p dpdx------- dx+

u 14 h------- R2 r2( ) dp

dx-------

=

qv u 2 p r rdp d4

128 h-------------- dp

dx-------

=0

/2d

=

umqv

p d24

-------------------

d2

32 h---------- dp

dx-------

= =

dpdx-------

32 h

d2----------um=

dHdx--------

32 h

r gd2-------------um=

f2---

gd4um2-----------dH

dx--------=

Rer umd

h

---------------=

f2--- 8

Re-------=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 1 065 - 3

scrit :

Force de pression + Force de frottement = 0

do la relation fondamentale pour les vitesses :

1.2.4 coulement turbulent (Re > 3000)

n Profil des vitesses (profil de von Karman)

On dfinit une vitesse fictive .

l Au voisinage de la paroi, lcoulement reste laminaire sur une

paisseur y telle que . Dans ce cas :

(6)

l Au centre de la canalisation, il existe un noyau turbulent qui

commence une distance y de la paroi telle que . Dans ce

cas :

(7)Figure 2 Cylindre lmentaire de fluide newtonien en coulement

p r2 dpdx------- dx 2 p r dx h du

dr------- 0=

dudr-------

r2 h------- dp

dx-------

=

Rdx

x

x x + dxp p + dp

dxdx

u * umf2---=

u * yn

----------- 5

u

u *------ 5,75 log u

* yn

-----------= 5,5+



l Dans la zone intermdiaire pour laquelle , on a :

(8)

Ces relations sont valables pour des conduites dites lisses.

Pour des conduites rugueuses, o la hauteur moyenne e des

asprits dpasse lpaisseur de la couche laminaire , on

remplace * par e dans les quations (6), (7) et (8) donnant les vites-ses.

Le tableau 2 prsente quelques valeurs moyennes de hauteursdes asprits e de canalisations industrielles en diffrents mat-riaux.

n Perte de charge

n On utilise labaque de la figure 3 reprsentant les variations de

en fonction de Re pour diffrentes valeurs de rugosit relative de

la paroi.

Tableau 2 Hauteurs moyennes des asprits de canalisations industrielles

Type de canalisation e (mm)

Tube tir (cuivre, plomb, inox, verre) 0,001 0,010

Tube en acier neuf 0,01 0,10

Tube galvanis 0,05 0,20

Tube asphalt 0,01 0,20

Tube en fonte neuf 0,8 1,5

Tube en fonte oxyd 0,8 1,5

Tube en fonte incrust 1 3

Ciment poli, bois rabot 0,3 0,7

Ciment brut, planches rugueuses 0,7 2,5

Maonnerie 5 15

Exemple 1 : soit une canalisation en acier galvanis de 2 (tubegaz, srie lgre, NFE 29027) de diamtre intrieur rel d = 53,8 mm,

de rugosit moyenne e = 0,15 mm ( = 2,8 10 - 3). Cette conduite

vhicule de leau 20 C ( ; dcapoi-ses). On considre successivement trois dbits volumiques.

l soit 4 10 - 5 m3 s - 1.

On a , do .

Le rgime dcoulement est donc laminaire .

On en tire , valeur que lon peut bien sr aussi

lire directement sur labaque de la figure 3.La perte de charge linaire sera

.

La perte de charge est donc de lordre de 2 mm de colonne deaupour 100 m de conduite.

5 u* yn

----------- 30<

n

f2---

ed---

ed----

1 000 kg m 3= 10 3=

qv 2,4 L min 1=

umqv

p d 2 4----------------- 1,76 10 2= = m s 1 Re

umd

--------------- 947= =

Re 2 103


avec Ne critre de Newton, appele aussi CD, coefficient de tranedune particule.

Le mouvement du grain obit des lois diffrentes suivant lesvaleurs du critre de Reynolds conduisant diffrents rgimes desdimentation. Les expressions du critre de Newton Ne et de lavitesse de sdimentation U pour les diffrents rgimes sont regrou-pes dans le tableau 4.

Dans la quasi-totalit des cas, on connat les masses volumiquesdu fluide et du grain, ainsi que la viscosit du fluide. Le problmepos est alors :

soit de calculer la vitesse de chute U dun grain de diamtre d

On utilise alors les critres adimensionnels X, proportionnel ,et Y, proportionnel U3 :

Les valeurs limites de X et Y en fonction du rgime sont reportesdans le tableau 5.

Donc, si dg est connu et U inconnu, on calculera X que lon

Figure 3 Variation du facteur de frottement

en fonction du critre de Reynolds Re pour

diffrentes valeurs de rugosit relative

5 . 1024 . 1023 . 1022 . 1021,5 . 1021028 . 1036 . 1034 . 103

2 . 103

8 . 104103

6 . 1044 . 1042 . 104104

5 . 105

105

103 104 1082 3 4 5 6 8

1052 3 4 5 6 8

1062 3 4 5 6 8

1072 3 4 5 6 8 2 3 4 5 6 8

0,010,0090,0080,007

0,006

0,005

0,004

0,003

0,0025

0,0020

0,0015

0,001

Critre de Reynolds Re =umdh

Facteur de frottementf

=g d dH

2 4 um2 dx. Rugosit

relative ed

Tube lisse

ed

= 5 .106ed

= 106

r

Perte de charge dans une canalisation

f2---

ed----

dg3

X Ne Reg24 r f r g r f( ) g dg3

3 h 2-------------------------------------------------- Kdg3= = =

YRegNe----------

3 r g2 U 3

4 h r g r f( ) g------------------------------------- K U3= = =Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 1 065 - 5

gdonn ;

soit de dterminer le diamtre dun grain, ayant mesur savitesse de sdimentation.

comparera aux valeurs limites 24 et 440 000. Si, au contraire, U est

donn et dg inconnu, on calculera Y que lon comparera et

2 270.

124------

Tableau 4 Expression de la vitesse de sdimentation en fonction du rgime

Rgime Reg Ne Vitesse de sdimentation

Stokes Reg < 1(9)

Intermdiaire(Allen)

1 < Reg < 103

(10)

Newton 103 < Reg < 4 105 Ne = 0,44 0,02

(11)

Ne 24Reg----------=

Udg2 r g r f( ) g

18 h------------------------------------=

Ne 18,5Reg0,6--------------= U

dg1,14 r g r f( ) g[ ]0,7146,55 h 0,428 r f

0,286------------------------------------------------------------=

U3dg r g r f( ) g

r f

----------------------------------------1 2

=



2.2 Sdimentation dune suspensionde particules en rgime de Stokes

Tant que la teneur volumique de la suspension en matires soli-des reste infrieure 0,4, on considre que la suspension se com-porte comme un liquide newtonien dont la viscosit apparente est :

A = 101,82

et la masse volumique apparente :

A = g + (1 - ) f

Pour dterminer la vitesse de sdimentation U, on utilise la rela-tion (9) pour une particule, prsente dans le tableau 5 en rempla-ant f par A et par A.

Par ailleurs, lorsque la sdimentation a lieu de faon discontinuedans un rcipient ferm sa base (figure 4 a), laccumulation degrains dans le fond du rcipient chasse un volume gal de liquidequi remonte avec une vitesse ascensionnelle u par rapport laparoi.

Par suite, la vitesse U, qui est la vitesse de la particule par rapportau fluide, sera gale la vitesse W (vitesse de la particule par rap-port la paroi fixe du rcipient) augmente de la vitesse ascension-nelle u :

U = W + u

Lgalit des volumes solides descendants et des volumes liqui-des ascendants se traduit par :

W = (1 - ) u

En combinant ces deux quations, on a :

W = (1 - ) U

Enfin, pour tout le domaine de variation de , les rsultats expri-

mentaux peuvent tre reprsents par le rapport , fonction de

Reg, et (relation empirique de Richardson et Zaki) :

Lexposant r dpend du rgime dcoulement et du diamtre durcipient dR.

Dans le cas limite dun rcipient de trs grand diamtre (dR >>dg),on a :

r = 4,6 en rgime de Stokes, avec Reg 500.

La variation de r en fonction de Reg et de entre ces deux limi-

tes est donne dans le tableau 6.

Tableau 5 Valeurs limites des critres adimensionnelsX et Y en fonction du rgime

Rgime X Y

Stokes X < 24

Intermdiaire 24 < X < 440 000

Newton 440 000 Y > 2 270

Figure 4 Sdimentation collective dune suspension de particules dans une colonne

Y 124------

Repr umpdp

h

--------------------= Repr um

1 e( ) ag h-----------------------------

Rep4T

----------= =

D PZ

------- hB ag 1 e( )

e

3------------------------- r um2=

D PZ

------- hK h ag2 1 e( )2

e

3-------------------------------- um hB

r ag 1 e( )e

3---------------------------- um2+=

Figure 9 Fluidisation

Z

HPlaque poreuse

P = g H

um

DB C

A

,n

,n

D P

umumin

= 1

e

a

b

D Dr

D

B fluidisation en rgime stationnaire.

fluidisation initiale : la force correspondant la perte de charge doit vaincre non seulement le poids du lit (point D) mais encore les forces de tassement qui assurent une cohsion entre les particules.

A

C fluidisation maximale et dbut de transport pneumatique

umindg2 e i3 r g r f( ) g36 hK h 1 e i( )-------------------------------------------=

ZZi----

1 e i

1 e-------------=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 1 065 - 9

avec

5. Fluidisation

On considre un lit de particules de diamtre dg, disposes surune plaque poreuse. Ce lit est travers par un fluide ascendant donton augmente progressivement la vitesse um en ft vide (figure 9 a).

Pour un certain dbit, la perte de charge dans le lit, de hauteur ini-tiale Zi et de porosit i, est la suivante :

Lorsquelle est gale au poids du lit par unit de surface (1 Pa =1 N m - 2), cest--dire :

D P = Zi (g - f)(1 - i)g,

Si on augmente encore le dbit, on va atteindre la vitesse corres-pondant celle quauraient les grains sils tombaient en chute libredans le fluide immobile (figure 9 b, point C). On aura alors entrane-ment des grains qui seront limins dans le sens courant. Cest lavitesse maximale de fluidisation (qui correspond la vitesse desdimentation des grains) :

On a alors :

qui oscille gnralement entre 50 et 100.

Cette reprsentation du lit fluidis est idalise. Elle correspond une fluidisation homogne dans laquelle les grains sont uniform-

f 2---

hKRep---------- hB+=

f 2---

e

3

ag 1 e( ) r um2---------------------------------------- D P

Z-------=

D P Zi 36 hK h

dg2------

1 e i( )2e i

3-------------------- umin=

umumin-----------

1 e i

e i3

------------- e3

1 e-----------

=

umaxdg2 r g r f( ) g

18 h-----------------------------------=

umaxumin------------

10 1 e i( )e i

3---------------------------=



ment disperss dans tout le lit, la porosit locale tant constante

dun point un autre du lit .

Mais la plupart des oprations industrielles sont ralises en

phase gazeuse . Dans ce cas, la fluidisation devient ht-

rogne. Certaines parties du lit sont immobiles, tandis que dautressont traverses par de grosses bulles gazeuses de vitesse uB etcontenant une faible proportion de grains en suspension. Ces bullesviennent clater la surface du lit : cest le bullage ou bouillonnage,et mme le pistonnage si ces bulles occupent la section droite du lit.

Pour mieux connatre le comportement dune poudre vis--vis de la fluidisation htrogne, Geldart a propos une classifi-cation des poudres quil rpartit en quatre classes en fonctionde leur masse volumique et de leur diamtre moyen (figure 10).

Cette classification est reprise par Castel dans Manutention des produits en vrac,A 9 301, trait Lentreprise industrielle.

n Classe A : les poudres fusantes. Elles se caractrisent par : une fluidisation particulaire qui se traduit par une forte

expansion du lit avec la croissance de la vitesse de fluidisation etlapparition du bullage quand la vitesse du gaz est nettementsuprieure la vitesse minimale de fluidisation ;

une dsaration lente (3 6 mm s - 1) quand la fluidisationest interrompue : ces poudres restent longtemps fluides ;

une tendance au fusage lors de la vidange dune trmie,cest--dire un coulement de type fluide travers lobturateur.

n Classe B : les poudres sableuses. Elles ont en commun : une fluidisation agrgative avec une faible expansion du lit

tant que la vitesse minimale de fluidisation, laquelle apparais-sent dj les premires bulles de gaz nest pas atteinte ; ces bul-les sont exemptes de solide et grossissent rapidement parcoalescence au cours de leur ascension ;

une dsaration quasi instantane larrt de la fluidisa-tion.

n Classe C : les poudres fines cohsives. Les forces de surfaceinterparticulaires y sont du mme ordre de grandeur que les for-ces arodynamiques de trane exerces par le gaz sur les parti-cules. Ces forces de surface peuvent avoir des originesmultiples : attractions molculaires, lectricit statique, eauadsorbe ou adhsivit du produit. Ces poudres sont difficiles fluidiser et sont le sige de renardages (formation de canaux degaz) dans les lits de grand diamtre ou de pistonnages (alter-nance de couches de gaz et de particules) dans les lits de petitesection. Leur fluidisation, quand elle est possible, ne peut sefaire quavec lappoint dnergie mcanique (agitation ou vibra-tion).

n Classe D : les poudres granuleuses. Les particules y sont degrande taille (dg > 1 mm) ou de masse volumique leve ; ellesse caractrisent par une vitesse de fluidisation leve (lits gey-ser) et une fluidisation turbulente avec explosion de bulles ensurface du lit.

Exemple 2 : Schage de granules en lit fluidis. Mise en fluidi-sation du lit. Domaine de fluidisation.

On dsire scher des granules sphriques de diamtre 500 m messentiellement constitus de lactose de lamidon et pour une trs fai-ble part de principe actif. La masse volumique de la matire sche estde 1 500 kg m - 3. La teneur en eau des granules est ns = 4 kg deaupar kilogramme de matire sche et des mesures prliminaires indi-quent quils suivent la loi dhygroscopicit standard.

Le schage est effectu par de lair 50 C dont lhumidit relativeest 0,15. La viscosit de lair 50 C est 1,9 10 - 5 dap et sa massevolumique dans les conditions normales de temprature et pressionest de 1,292 kg m - 3.

r g

r f

------ 1=

r g

r f

------ >> 1

La porosit du lit au repos est .

n Dterminons tout dabord la vitesse limite sparant les coule-ments laminaire et turbulent de lair dans le lit de granuls et laperte de charge correspondante.

Lcoulement laminaire cesse quand le nombre de Reynolds de poremodifi dpasse 1 :

donc pour

Dans le cas des sphres, la surface spcifique de la particule est

.

On en dduit

La perte de charge rsultante par unit de hauteur de lit est alorsdonne par la loi de Kozeny-Carman (14) avec hk = 5 et

.

Si Z est la hauteur de lit, il vient donc

n Comparons maintenant de cette perte de charge avec le poids dulit par unit de hauteur et par unit de section droite.

Si S est la section droite de la colonne et Z la hauteur du lit, le poidsdu lit sera

avec masse volumique du matriau humide.

La masse volumique du matriau humide est la moyenne harmo-nique des masses volumiques de la matire sche et de leau pond-re par les titres massiques de la matire sche et de leau dans legranul :

0,4=

Rep um

1 ( ) ag ------------------------------- 1= =

um1 ( ) ag

-------------------------------=

ag6dg------ 1,2 104= = m 1

um0,6 6 1,9 10 5

5 10 4 1,3 273323----------

--------------------------------------------------- 12,55 10 2 m s 1= =

1 ( )23

------------------- 0,6( )20,4( )3---------------- 5,65= =

D PZ

------- 5 1,9 10 5= 12,55 10 5 1,2 104( )2 5,65

9 720 Pa m 1=

P SZ 1 ( )= sgs

PSZ------- 1 ( )= sgexploitation du droit de copie est strictement interdite.trait Gnie des procds

Le poids du lit par unit de section droite et unit de hauteur devient

alors : .

Cette grandeur est infrieure la perte de charge calcule prc-demment : au dbut de la fluidisation du lit, lcoulement de lairest donc laminaire.

n Calculons la vitesse minimale de fluidisation, en dbut deschage.

Daprs les rsultats prcdents (rgime laminaire), on peut calculerla vitesse minimale de fluidisation en utilisant le modle de Kozeny : laperte de charge doit quilibrer le poids du lit par unit de section droite.

Il vient

1s----- 1 14

M--------------= 0,4 1,4

e---------------------+ 0,713

1 500---------------= 0,286

1 000---------------+ 0,760 10 3 m3 kg 1=

s 1 300 kg m 3

PSZ------- 1 300 0,6 9,81 7 650 Pa m 1= =

PSZ------- 7,680 103 Pa m 1 D P

Z------- hK ag2= = =

1 ( )23

------------------- umin

umin7,680

5 1,9 1,44 5,65------------------------------------------------------- 10 1 m s 1= =


n Filtration sur support

On amne la suspension au-dessus dun support (toile, feutre,membrane, grille...) sur lequel les particules vont se dposer sous laforme dun gteau dpaisseur croissante. Le filtrat est recueilli sousle support.

6.1 Lois gnrales

On considre lexprience de filtration dune suspension schma-tise sur la figure 11.

linstant t, lpaisseur du gteau est Z et le volume du filtratrecueilli est V.

Une pression D P est applique au-dessus de la suspension.

Le problme pos par la filtration consiste dterminer les varia-tions du volume de filtrat V, de la perte de charge D P et de la hauteurdu gteau Z en fonction du temps t, compte tenu des proprits duprfiltre et du gteau.

Appelons le dbit volumique instantan de filtrat et posons

, (17)

tant la surface filtrante. Supposons par ailleurs que le gteau esthomogne et incompressible et que le rgime dcoulement tra-

Nota : supposons des grains dix fois plus gros, soit 5 mm de diamtre, toutes choses ga-les par ailleurs. La surface spcifique serait donc divise par 10, la perte de charge par 100, lepoids du lit ne variant pas. Le dbut de la fluidisation se passerait donc en coulement turbu-lent et la vitesse minimale de fluidisation devrait tre calcule non plus partir de la formule deKozeny-Carman (14), mais partir de celle dErgun (16).

n Calculons enfin la vitesse dentranement en fin de schage.Admettons que le grain soit compltement sec, sans avoir subi de

variation de volume. Leau tant remplace par de lair dans les pores,la masse volumique du grain (et non de la matire sche) a diminu.Ngligeons la contribution de lair, 1 500 fois plus lger que le matriau.

1 m3 de matriau pesait lorigine 1 300 kg. La fraction pondrale0,297 deau lui est totalement enleve. Le volume de 1 m3 de matriaupse alors 1 300 x 0,713 = 930 kg. La masse volumique du granuldevient alors .

Pour connatre le rgime dcoulement, on calcule le nombre X :

On se trouve donc en rgime intermdiaire dAllen (10).

On sait que dans ce rgime et

Il vient donc .

On en dduit ,

il vient On peut aussi calculer la vitesse en rgime intermdiaire de Allen

(10) qui donne .Il en rsulte que lon peut fluidiser entre les deux vitesses

limites

s 930 kg m 3=

X 43---

s ( )gdg32

------------------------------------ 43---1,09 930 9,81 5( )3 10 4( )3

1,9( )2 10 5( )2------------------------------------------------------------------------------------------ 4 590== =

X Reg2 Ne= Ne18,5Reg0,6--------------=

Reg1,4X

18,5------------ 248= =

RegUdg

--------------=

u 1,80 ms 1=

U 1,89 m s 1=

0,1 m s 1 U 1,90 m s 1

mecanique des fluides. milieu poreux

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