mecanique des milieux continus fin mecanique des milieux continus r. fortunier cinematique...

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSfin

MECANIQUE DESMILIEUX CONTINUS

R. FORTUNIER

CINEMATIQUE

DEFORMATIONS

CONTRAINTES

ELASTICITE

METHODES SEMI-INVERSES

METHODES ENERGETIQUES

METHODES NUMERIQUES

CALCUL TENSORIEL

APPLICATION AUX POUTRES

Notions de base

Loi de comportement

Méthodes de résolution

Applications

Compléments


Cadre général

Équilibre d ’un solide

Configuration

Description lagrangienne

Description eulérienne

Continuité de la matière

Tenseur gradient d’une transformation

Transport d’un vecteur élémentaire

Transport d’un volume élémentaire

Transport d ’une surface élémentaire

1 - Cisaillement simple

Ligne d’émission

Equilibre et continuité

Description d’une transformation

Transport de quantités

Exemples

Équations de bilan

Dérivées particulaires

Conservation de la masse

CINEMATIQUE

CINEMATIQUE


P

x

u

P

X

P : point « matériel »

v

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan



Cadre général


forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement

moments) = variation du moment de quantité de mouvement

Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





* vision macroscopique

* « masse » d’un élément de volume : dm = dv

Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





configuration de référence :C0 : description lagrangienne

C(t) : descrition eulérienne

C0

C(t)

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan



Configuration


P

X

C0

P

x

coordonnées d'un point : x = ( X , t ) avec ( X , 0 ) = X

v

vitesse d'un point : v = dx / dt = / t

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





vitesse d'un point : v( x , t)

vP

x

C(t)

coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt

P

X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





maquette du Concorde(document ONERA)

P

ligne d'émission du point P

cargo échoué

trace produite sur la mer(ligne d'émission du cargo)

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan



Ligne d’émission


tenseur gradient de la transformation

* déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I

P

x

u

P

X

* déplacement du point P : u ( X, t) = x - X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





dXdx

dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX

P

x

P

X

u

x = X + u

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





dv

dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F)

dV

dV = [dX, dY, dZ]

P

x

P

X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





n

ds

ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ

N

dS

dS = NdS et dV = dS.dZ

P

x

P

X

ds = J(F-1)t.dS avec J = det(F)

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





P

x

P

X

Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ?

df / dt = f / t + f / xi . dxi / dt = f / t + v.grad(f)

v

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





m = dm = dv = cste d / dt + div(v) = 0

vP

x

P

X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan


Conservation de la masseConservation de la masse


Description lagrangienne : Description eulérienne :

x1 = X1 + 2tX2

x2 = X2

x3 = X3

v1 = x2

v2 = 0

v3 = 0

a

a

1

2

u

X

P

x

P

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement

Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations

Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange

Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations

Tenseur gradient des déplacements

Déformation et rotation de corps solide

Dilatation volumique

Équations de compatibilité

Mesure des déformations

Résumé

Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi

Angle entre deux directions

Conditions aux limites

DEFORMATIONS


Il faut utiliser :

Comment décrire la transformation de ce solide ?

- une déformation- un déplacement de corps solide

- une rotation

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan




Cadre général


vitesse d'un point : v( x , t)

vP

x

C(t)

P

X

C0

vitesse autour du point P : dv = gradX(v).dX = gradX(v).F-1.dx = F.F-1.dx

v+dv

.

Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F-1.

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






Tenseur « taux de déformation »

D = ½ (L+Lt)

Tenseur « taux de rotation »

= ½ (L-Lt)

L = D+

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ?

C0

C(t)

C(2t)etc…

La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps

Configuration « lagrangienne réactualisée »

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






C : tenseur des dilatations

P

C0

P

C(t)

dxdy

dX

dY

dx . dy = dX . Ft.F . dY

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






P

C0

P

C(t)

dx

dXNX

(NX) = dx / dX = NX.C.NX

Dilatation (ou changement de longueur) dans la direction NX :

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






P

C0

P

C(t)

dxdy

dX

dY

NX

NY

Glissement (ou changement d’angle ) entre les directions NX et NY :

cos((NX, Ny)) = dx . dy / dx dy = NX.C.NY / (NX) (NY)

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (FtF-I)

P

C0

P

C(t)

dxdy

dX

dY

dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






tenseur d’Euler-Almansi : e = ½ (I-C-1) = ½ (I-F-tF-1)

P

C0

P

C(t)

dxdy

dX

dY

dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






évolution de la composante ui du déplacement le long de la direction xj de l ’espace

a1

a2

état initial

d = gradX(u) ou dij = ui,jL = gradX(v)

identification de C0 et C(t) : F gradX(v).

faibles changements de forme : F-1 I – grad(u)F = I + grad(u)

état courant

d11 = 0

d12 > 0

d21 = 0

d22 = 0

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






- symétrique- diagonal dans le repère

- antisymétrique- « rotation » des axes

a1

a2

état initial

état courant

d+ avec

= ½ (d+dt) : tenseur des déformations

= ½ (d-dt) : tenseur des rotations

Tenseur desdéformations

Tenseur desrotations

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






F = I+d

dv = det(F)dV = det(I+d)dV (1+tr())dV

En tout point du solide, la variation de volume est donnéepar la trace du tenseur des déformation

dv

P

x

C(t)

dVP

X

C0

d = grad( u )DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






(symétrique) donné est-il toujours le tenseurde déformation d’une ou de plusieurs transformations ?

d = +

Une transformation est caractérisée parun tenseur gradient des déplacements d =

ki,jl+ jl,ik = kj,il + il,kj

6 équations de compatibilité

doit être tel que : d.dX = duoù du est une différentielletotale

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






0° 45°

90°

différents points de mesure

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan






tous les déplacementssont imposés nuls surcette ligne

le vecteur déplacementest imposé ici (chargementde la structure)

u

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan



Conditions aux limitesConditions aux limites


DéformationsHypothèse des petites

perturbations

équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk

vecteur déplacement : u( X ,t)

conditions aux limites :

u = U sur u

tenseur des déformations :

= ½ (grad(u) + grad(u)t)

DEFORMATIONS

Cadre général















Résumé

Bilan




Résumé


Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle

Conditions aux limites en pression

Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé

Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume

Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur

Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan

Résumé

CONTRAINTES

CONTRAINTES


Il faut utiliser le tenseur des contraintes

Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé

Cadre général


Efforts de cohésion dans A

(dus à la déformation)Efforts de sur A

(provoquant la déformation)

A

Densité surfacique de forces t

t

Densité volumique de forces F

F

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé

Hypothèses de base


Vecteur contrainte


Le tenseur des contraintesest symétrique

F dv = t ds

A A

P

x

C(t)

FA

t

F = div()

t = .n

Fx dv = t x ds

A A

= t

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Le vecteur contrainten ’est pas forcémentporté par la normaleà cette surface.

ndf

t

t = lim ds -> 0

df ds

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



surface contraintes vecteur

C(t) C(t)

C0 C0

C(t) C0

Cauchy (eulérien, symétrique)

Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)

Piola-Lagrange

df = .dsCONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



n

ds

t

Contrainte normale

n

Contrainte tangentielle

bt

n = t . n = ij ni nj

t = t . b = ij bi nj

ou

t b = t - n n

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Vecteur contrainte T connu

sur la partie T de t = T .n = T

n

TT

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Dans un repère orthonormé (Oxyz) :

=

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

tn001

xz

yz

zz

xy

yy

zy

xx

yx

zx

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



actions sur A par lemilieu extérieur

- vecteur contrainte t

- forces de volume fv

A

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



=A

dv+A

fv dv

A

tds

A

(div() + )dv = fv

A

dv div() + = fv

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



A

t ds

x=A

dv x+A

fv dv x

A

(div() + - ) dvfv x ( - dv = 0t

A

+

équilibre des forces symétrie du tenseur des contraintes

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



= t Dans le repère « principal » :


III

=

I

II

00

00

0 0

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



symétriquede trace nulle

contrainte moyenne :

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

m = tr ()13

déviateur des contraintes :

S =

11 - m 12 13

21 23

31 32

22 - m

33 - m

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



contrainte équivalente de von Mises :

= Sup(|I -II|, |II -III|, |I -III|)

contrainte équivalente de Tresca :

= Sij Sij

3

2

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



ContraintesHypothèse des petites

perturbations

vecteur contrainte : t ( X, n, t)

tenseur des contraintes :

t = . n avec = ( X, t)

équations d’équilibre :

ij,j + fvi = i


. n = T sur T

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

RésuméRésumé


ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformation

Relation contrainte-déformation

Domaine d’élasticité

Historique

L’essai de traction

Loi de comportement élastique linéaire

Loi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique

Symétrie cubique

Bilan

Résumé


Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotrope

ELASTICITE


Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé




Loi de comportement du matériau

ContraintesDéformationsHypothèse des petites

perturbationsHypothèse des petites

perturbations

vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t)




t = . n avec = ( X, t)



ij,j + fvi = i


u = U sur u


. n = T sur T

ELASTICITE

Cadre général


traction flexion

Discorsi e Demonstrazioni matematicheGalilée (1638) :ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






Hooke (1660) :

Mariotte (1680) :

notion de module d ’élasticité

Relationentre

déformations et

contraintes en

élasticité

même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion)

Young (1807) :

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






partie utile

élas

ticité

Pla

stic

itého

mog

ène

loca

lisat

ion

élasticité

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






Pour passer de F à , il faut connaîtrela section courante S de la partie utilede l ’éprouvette

=

0

0

0

0

0

0

0

0

F/Ssection S

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






x = X1(1-t)X2(1-t)X3(1+t)

v = -x1/(1-t)-x2/(1-t)x3/(1+t)

=

ln (1-t)

ln (1-t)

ln (1+t)

0 0

00

0 0

lagrangien (Green-Lagrange) :

E = -t + ½2t2

-t + ½2t2

t + ½2t2

0 000

0 0

eulérien (Euler-Almansi) :

cinématique :

E =

0 0

00

0 0

1 - 1(1-t)2

1 - 1

1 - 1

(1-t)2

(1+t)2

En pratique, intégrationdu champ de vitesses

de déformation

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






33= ln(1+t)=ln(l/l0)

33=F/S

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






= 33

0

0

0

0

0

0

0

0

1

33= E33

E

Module d ’Young

= 33

-

0

0

0

-

0

0

0

1

Coefficient de PoissonELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






= C:

= S:

Tenseur des rigidités

Tenseur des complaisances

36 coefficients !!!!

Ordre 481 termes !!

11

=

22

33

23

13

12

11

22

33

223

213

212

C1111 C1122 C1133 C1123 C1113 C1112

C2211 C2222 C2233 C2223 C2213 C2212

C3311 C3322 C3333 C3323 C3313 C3312

C2311 C2322 C2333 C2323 C2313 C2312

C1311 C1322 C1333 C1323 C1313 C1312

C1211 C1222 C1233 C1223 C1213 C1212

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






Le tenseur des rigidités a 6x7/2 = 21 composantes indépendantes !!!

de = w + q

Par unité de volume en cours de transformation :

Travail mécanique fourni : .d Taux de chaleur reçu : Tds

ij = w

ij

= CijklklCijkl =

2w

klij

Cijkl = Cklij

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé






11

=

22

33

23

13

12

11

22

33

223

213

212

C11 C12 C12 0 0 0

C12 C11 C12 0 0 0

C12 C12 C11 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C44 0

0 0 0 0 0 C44

même comportement dans trois directions orthogonales

Le tenseur des rigidités a trois composantesindépendantes (C11C1111, C12 C1122, C44 C1212)

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé




Symétrie cubique


11

=

22

33

23

13

12

11

22

33

223

213

212

même comportement dans toutes les directions

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

+2

+2+2

Le tenseur des rigidités a deux composantes

indépendantes ( = C11, = C44) : les coefficients de Lamé

Quel est le lien entre les coefficients de Lamé (, ) et les paramètres (E, ) ?

ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé



Comportement élastique linéaire isotropeComportement élastique linéaire isotrope


ij = 2ij + tr()ij



perturbations

vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t)




t = . n avec = ( X, t)



ij,j + fvi = i


u = U sur u


. n = T sur T


ELASTICITE

Cadre général






Historique





Symétrie cubique

Bilan

Résumé




Résumé



Inconnues et équations

Résolution en déplacements

Géométrie et cinématique

Résolution en contraintes

Équations de base

Le tube sous pression




Résultats

Contraintes et déformations

Approches en déplacements et en contraintes

Résumé





perturbations




u = U sur u





t = . n avec = ( X, t)


ij,j + fvi = i


. n = T sur T

Loi de comportement :

= 2 + tr() ij ij ij






Équations de base





Résultats



RésuméRésumé


15 inconnues(champs)

15 équations(EDP)



perturbations




u = U sur u





t = . n avec = ( X, t)


ij,j + fvi = i


. n = T sur T


= 2 + tr() ij ij ij






Équations de base





Résultats



Résumé



Approche endéplacements

Approche encontraintes



perturbations




u = U sur u





t = . n avec = ( X, t)


ij,j + fvi = i


. n = T sur T


= 2 + tr() ij ij ij






Équations de base





Résultats



Résumé



div() = div( grad(u) + grad(u) ) + div( tr() I)t

( u ) + (+) grad( div( u ) ) + f = 0v

utilisation de la loi de comportement et de la définition des déformations :

équations d ’équilibre (en statique) :

div( ) + f = 0v

déformation pure ( u = grad( ) ) :

( +2 ) ( u ) + f = 0v

matériau incompressible ( div( u ) = 0 ) :

( u ) + f = 0v

thermo-élasticité linéaire ( gradients thermiques ) :

f --> f - ( 3+2 ) grad( t )v v






Équations de base





Résultats



Résumé



() + grad(grad( tr())) = grad(div()) + grad(div())t équations de compatibilité :

loi de comportement :

= - tr( ) I1

2 2 ( 3 + 2 )

() + grad(grad( tr()))

+ grad(fv)+grad( fv) - div( fv) I= 0

2( +)

3 + 2

+ 2t

forces volumiques homognènes (indépendantes de X) :

( ) + grad( grad( tr( ) ) ) = 02( + )

3 + 2






Équations de base





Résultats



Résumé



rr0 r1

coordonnées cylindriques :

pression p0 pression p1

u(r,,z) =

u(r)

0

0






Équations de base





Résultats



Résumé



u’ 0 0

0 u/r 0

0 0 0

(+2)u’+u/r 0 0

0 0

0 0

(+2)u/r+u’

u/r+u’

gradient en coordonnéescylindriques !!!

=

=






Équations de base





Résultats



Résumé



divergence en coordonnées cylindriques !!

( (+2)u’+u/r )’ + 2( u’-u/r) /r = 0

0 = 0

0 = 0

u’’ + u’/r - u/r = 02

u = ar + b/r

div( ) = 0






Équations de base





Résultats



Résumé



Expressions très complexesen coordonnées cylindriques !! ( ) et grad( grad( tr( ) ) ) ?

=

2(+)a-b/r 0 0

0 0

0 0 2a

2

2(+)a+b/r2

On estime en fonction du champ de déplacements : u = ar+b/r :






Équations de base





Résultats



Résumé



face interne (r = r0) :

- (r=r0) = p0rr

2(+)a-2b/r0 = -p02

rr0 r1

(p0) (p1)

face externe (r = r1) :

(r=r1) = -p1rr

2(+)a-2b/r1 = -p12

t =

-p100

.n = t

.n = t

nt

tn

n =

100

t =

p000

n =

-100






Équations de base





Résultats



Résumé



2(+)a-2b/r0 = -p02

2(+)a22b/r1 = -p12

(p1=0) = p0

r0

r1 -r02 2

2

1-

1+

+

r1

r

2

2

r1

r

2

2

0 0

00

0 0

T = 2p0r0

r1 -r02 2

2 r1

r

2

2

T

r0 r1






Équations de base





Résultats



Résumé

Résultats



Résumé

Axiomes d’objectivité et d’équilibre


Principe des puissances virtuelles

Exemple : allongement d ’une barre

Approche en contraintes

Encadrement de la solution

Approche en déplacements

Cadre général

Équations de base

Principe des travaux virtuels – CCA et CSA

Formulation variationnelle


Approche en contraintes – énergie complémentaire

Approche en déplacements – énergie potentielleMETHODES

ENERGETIQUES




perturbations




u = U sur u





t = . n avec = ( X, t)


ij,j + fvi = i


. n = T sur T


= 2 + tr() ij ij ij


Résumé








Cadre général

Équations de base





Approche en déplacements – énergie potentielle

Résumé


Comment estimer la rigidité de ce ressort ?

Il faut le déformer un peu !!!

Travail desforces intérieures

Travail desforcesextérieures

-Fdl + W = 0

l0

l0+l

F(x) = k(l-l0)

W = 1/2 k(l)2l

l0

x

Mouvement virtuel

(il ne sert qu à estimer k)


Résumé








Cadre général

Équations de base






Cadre général


OBJECTIVITELa puissance

virtuelle des efforts intérieurs associés à tout mouvement de corps rigide est

nulle

EQUILIBRELa puissance

virtuelle des efforts intérieurs (Pi) et

extérieurs (Pe) est égale à celle des accélérations (Pa)


Résumé








Cadre général

Équations de base








Equations d’équilibre Définition de OU

Fonctionnelle à annuler

Pi + Pe = Pa avec

Pa = .v dv

Pe = f.v dv + t.v ds d

Pi = div().vdv - (.n).vdv = -:grad(v)dvd

v, (div() + f - ).v dv + (t-.n).v dv = 0

v, :grad(v) dv - f.v dv + .v dv - t.v dv = W(,v) = 0


Résumé








Cadre général

Équations de base






Équations de base


W(, u) : fonctionnelle à annuler

u, :grad(u) dv - f.u dv + .u dv - t.u dv = 0

u C.C.A. u = U sur U

C.S.A. div() + f = .n = T sur T


Résumé








Cadre général

Équations de base








u = u0 + u avec u C.C.A. et u0 solution réelle

= (u) = C : grad(u)

W = W(u,u) = . u = 0

u

p

Energie potentielle (minimale !!)

(u) = (1/2) grad(u):C:grad(u) dv - f.u dv - T.u ds

pt

T


Résumé








Cadre général

Équations de base





Approche en déplacements – énergie potentielleApproche en déplacements – énergie potentielle


Energie complémentaire (maximale !!)

= 0 - avec C.S.A. et 0 solution réelle

grad(u) = S :

W = W(,) = : = 0

c

() = - (1/2) :S: dv + (.n).U ds

cU


Résumé








Cadre général

Équations de base








Borne supérieure

Borne inférieure

u0(X,t), 0(X,t) solution réelle

(X,t) C.S.A. c()

p(u0)

c(0)

u(X,t) C.C.A. p(u)


Résumé








Cadre général

Équations de base








x

L

0

U

Problème uniaxial (u(x)) :

= = u’(x)

= = E u’(x)

xx

xx

Solution réelle :

div() = Eu’’(x) = 0

u(0) = 0

u(L) = U

u(x) = (U/L)x

(x) = E(U/L)


Résumé








Cadre général

Équations de base








x

L

0

U

Recherche d ’un C.C.A. u(x) ?

u(x) = U (x/L)n

Energie potentielle associée p ?

(n) = (1/2) dv

S 0

L

=ESU

2Lp

2 n

2n-1

2

Minimum de l ’énergie potentiel ?

d

dn= 0

pn = 1


Résumé








Cadre général

Équations de base








Recherche d ’un C.S.A. (x) ?

Energie complémentaire associée c ?

Maximum de l ’énergie complémentaire ?

d

da= 0

c

= a

(a)= -(1/2) dvS 0

L

+ Udsc2

S

=SaU-SL

2Ea 2

a= EU

L

x

L

0

U


Résumé








Cadre général

Équations de base








n

p

1/2 1

a

c

EUL

ESL

1/2 U2 ES 2

L1/2 U

Rigidité de la barre !


Résumé








Cadre général

Équations de base








METHODESNUMERIQUES

Cadre général

Théorème des résidus pondérés

Solution analytique

démarche

Exemple : barre sous son poids

Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique

Formulation intégrale faible

Approximation de Galerkine

Méthode des éléments finis

Résolution

Assemblage

Discrétisation

METHODES NUMERIQUES


Il faut faire le bilan des forces sur différents points !!

Bilan au point 2 :

- k1.u2 + k2.(u3-u2) = 0

Bilan au point 3 :

k1

k2

u1=0

u2 ?

u3 ?

Bilan au point 1 :k1.u2 - R = 0

P - k2.(u3-u2) = 0

R ?

P

-k1-k2

k2

k2

-k2

u2

u3=

0

-P

R = k1.u2

Comment se déforme chaque ressort ?

u

Poi

nt 1

Poi

nt 2

Poi

nt 3

P/k1+P/k2

P/k1

0

R = P

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Cadre général


R(u) = div(u) + f = 0 dans

On fait une approche en déplacements(on cherche u(X) C.C.A. tel que ...)

u = U sur U(u).n = T sur T

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Modèle physique


R(u) = div(u) + f = 0 dans u = U sur U(u).n = T sur T

v.(div(u) + f)dv = 0

u = U sur U

(u).n = T sur T

Fonctions de pondération

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation



Théorème de la divergence

v.fdv + v.Tds - grad(v):udv = 0

u = U sur U

(u).n = T sur T

+ v = 0 sur U

v.(div(u) + f)dv = 0

u = U sur U

v = 0 sur U

T

C.L. « naturelles »

C.L. « essentielles »

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique


Approximation de Galerkin


Résolution

Assemblage

Discrétisation



Choix de fonctions identiques et particulières pour u(X) et v(X)

Trouver u(X) C.C.A. tel que pour tout v(X) nul sur U :

v.fdv + v.Tds - grad(v):udv = 0

T

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation



v(x) = P1(x)v1 + P2(x)v2 + P3(x)v3

grad(v(x)) = grad(P1(x)) v1

+ grad(P2(x)) v2

+ grad(P3(x)) v3

v .

grad(P ).udv

P f dv + P T ds

-

= 0e=1 i=1

M Nei i

i

i

ee

e

e

e

eeT

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation Discrétisation


v .

grad(P ).udv

P f dv + P T ds

-

= 0e=1 i=1

M Nei i

i

i

ee

e

e

e

eeT

v . R (u) = 0i=1

N

i i

R (u) = A (T (u)) ii e=1

eM

T (u) ie

Trouver un champ de déplacements u(X),càd des vecteurs u1, …, uN, tels que :

Ri (u1, …, uN) = 0 si ui inconnu

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Assemblage


u

R

Pb : calcul et inversionde la matrice tangente !

Trouver un champ de déplacements u(X),càd des vecteurs u1, …, uN, tels que :

Ri (u1, …, uN) = 0 si ui inconnu

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Résolution


x

L

0 = = u’(x)

= = E u’(x)xx

xx

div() = Eu’’(x) = -g

u(0) = 0

(L) = 0

u(x) = (1-x/2L)x

(x) = gl(1-x/L)

f = g

gLE

u

x

gL2

2EgL

L

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Solution analytique


Calcul des résidus nodaux élémentaires (pour une section unité) :

xL

0

L/2

nœud 1 (u1 = 0)

nœud 2 (u2 ?)

nœud 3 (u3 ?)

élément 1 (1 ?)

élément 1 (2 ?)

1

2

T11= P1

1(x)gdv - (x))dv = +1

P11

x

gL4

T21= P2

1(x)gdv - (x))dv = - 1

P21

x

gL

4

T12=

gL4 +2

T22=

gL4 -2

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Discrétisation


résidus nodaux :

R1 = T11 = +1

gL

4

Equations à résoudre :

u1 = 0R2 = 0R3 = 0

avec 1 = 1(u1, u3, u3)

2 = 3(u1, u3, u3)

Equilibre Loi de comportement

xL

0

L/2

nœud 1 (u1 = 0)

nœud 2 (u2 ?)

nœud 3 (u3 ?)

élément 1 (1 ?)

élément 1 (2 ?)

1

2

R2 = T21+ T1

2 = -1+2gL

2

R3 = T22 = -2

gL

4

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Assemblage


xL

0

L/2

nœud 1 (u1 = 0)

nœud 2 (u2 ?)

nœud 3 (u3 ?)

élément 1 (1 ?)

élément 1 (2 ?)

1

2

Elasticité linéaire :

1 =2E/L(u2-u1) 2 =2E/L(u3-u2) =Eu’(x)

-2

1

1

-12E/L

u2

u3=gL

4

-2

-1

Matrice de rigidité K Vecteur sollicitation F

u1 = 0 u2 = 3/4 u3 =

= gL

2E

2

u

x

L

L/2

3/4

x

gL

LL/2

3gL/4

gL/4

METHODES NUMERIQUES

Cadre général


Solution analytique

démarche


Assemblage

Résolution

Discrétisation

Modèle physique




Résolution

Assemblage

Discrétisation

Résolution



Cadre général

Hypothèse de Navier

Calcul des efforts internes

Cinématique

Méthode de résolution

Équations générales

Exemple

Calcul des déplacements et des rotations

Géométrie



Torseur des efforts

Torseur des déformations

Poutre à plan moyen chargée dans son plan

APPLICATIONAUX POUTRES


Cette structure est un assemblage de poutres !!! Il faut utiliser la RdM


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts



Cadre général


- section S massive et droite- longueur L >> les autres- courbure de L faible- profil sans discontinuité

- section : S = ds = dx2dx3

- moments d ’ordre 1

x2ds = x3ds = 0

- moments d ’ordre 2

quadratique : I2= x32dsI3= x2

2ds

produit : I23 = x2x3 ds

- moments de giration

I = I2 + I3


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts



Géométrie


Au cours de la déformation,la section S reste droite.

Degrés de liberté :- trois déplacements u1, u2, u3- trois rotations r1, r2, r3

Vecteur déplacement au point M :uM = u + r GM

u

r

= torseur des déplacements


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts





Vecteur déplacement au point M :uM = u + r GM

eM = e + GM

e

= torseur des déformations

On introduit le vecteur eM =

11

212

213

M complètement déterminé à partir de 11, 12 et 13


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts





Vecteur contrainte au point M sur un élément de S :

R

M

= torseur des efforts

- moment résultant : M = GMtMds

- force résultante : R = tMds

tM =

11

12

13


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts



Torseur des efforts


R1

R2

R3

M1

M2

M3

e1

e2

e3

1

2

3

= .

ES00000

0

S0000

00

S000

000

I00

0000

EI2

-EI23

0000

-EI23

EI3

R

M= torseur des efforts

e

= torseur des déformations


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts





- couple réparti : c = GMfvds

- force répartie : p = fvds

R

M= torseur des efforts

Conditions aux limites :R et M aux extrémités

Equilibre des moments :M’ + x1R + c = 0

Equilibre des forces :R’ + p = 0


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts





R1

R2

R3

M1

M2

M3

e1

e2

e3

1

2

3

= .

ES00000

0

S0000

00

S000

000

I00

0000

EI2

-EI23

0000

-EI23

EI3

Efforts internescalculés par les

équationsd’équilibre

Caractéristiquesde la poutre(matériau etgéométrie)

Déformationscalculées

par inversiondu système

u

r= torseur des déplacements

Conditions aux limites :u et r aux extrémités

Déformation :u’ + x1r = e

Courbure :r’ = k


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts





Effortnormal

Efforttranchant

Momentde flexion

Equations d’équilibre :

N’ + px = 0

T’ + py = 0

M’ + T + cz = 0

Equations cinématiques :

r’ = kz

u’ = ex

v’-r = ey

Déplacementnormal

Flèche Rotation

u =

uv0

M =

00M

R =

NT0R

M, rx

y

u

r =

00r


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts





Lx

y

F=

0-P0

x

y

z

Forme de la sectionde la poutre : S et Iz

Matériau constituantla poutre :

E et

N’ = 0T’ = 0M’ + T = 0

N = 0

T = -P

M = -P(L-x)

Efforts internes :

M(x)

xDiagramme du moment

r’ = M/EIz

u’ = 0v’ - r = T/S

r = -(Px/2EIz)(2L-x)u = 0v = -(Px2/6EIz)(3L-x) -Px/S

Déplacements et rotations :Contributiondu moment

Contributionde l’efforttranchant

R0

M0 M0

R0

x

Diagramme del ’effort tranchant

T(x) F


Cadre général



Cinématique



Exemple


Géométrie



Torseur des efforts



Exemple


CALCUL TENSORIEL

Covariance et contravariance

Repère naturel

Notions de base (cas euclidien)

Géométrie différentielle

Accélération d’un point

Gradient, divergence

Symboles de Christoffel

Espace vectoriel et espace dual

Algèbre tensorielle

Opérations sur les tenseurs

Composantes mathématiques d ’un tenseur

Les tenseurs euclidiens

Expression de quelques opérateurs

Le tenseur métrique

Différentielle absolue, dérivée covariante

Tenseur métrique

Exemple 1 : coordonnées polaires


Composantes physiques d ’un tenseur

CALCULTENSORIEL


E : e.v. sur un corps K

a1

a2

E* : formes linéaires de E vers K

a2

a1

u

u = xi ai u*(e) = u.e xi= u*(ai) = u.ai

identification de E et de E*

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






E : e.v. sur un corps K

a1

a2

b1

b2

u

u = xi ai = yi bi

Composantes « contravariantes »

xi = u . ai et yi = u . bi

Composantes « covariantes »

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnées

x.y = xi yi = xi yi = gij xi yj = gij xi yj

a1

a2x

y

gij = ai .aj

gij = gij-1

x . y = xiyi = xiyi = gijxiyj = gijxiyj

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






exemple :

u v =

1

2

3

3

-1

4

3 -1 4

6 -2 8

9 -3 12

produit tensoriel = produit des composantes

Tenseur d ’ordre N = élément de EEE … E

N fois

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






Composantesmixtes

Composantescovariantes

Composantescontravariantes

Si u E, alors u = ui ai = ui ai

Si T EE, alors T = Tij ai aj = Tij ai aj = Tij ai aj = Ti

j ai aj

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






Composantes « physiques » d ’un tenseur=

projection sur les axes de coordonnées

Si u E, alors uI= u .ai

ai

Si T EE, alors TIJ = T:ai aj

ai aj

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique



Composantes physiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur


Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type)

X et Y deux tenseurs d’ordre 2 (c’est-à-dire sur EE)

Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type

Z = XY : ordre 4 (produit des composantes)

Z = X.Y : ordre 2 (produit contracté)

Z = X:Y : ordre 0 (produit doublement contracté)

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






M (x1)

(x2)

O

Lignes de coordonnées

ai =OM

xiEn chaque point M de l ’espace :

Tenseurmétriquelocal (gij)

a1

a2

Repère naturel

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique




Repère naturel


M (x1)

(x2)

O


a1

a2

a

ixk = ikj aj

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






uk,i =

uk

xi+ k

ji uj Terme « convectif » dû ausystème de coordonnées

M (x1)

(x2)

O

a1

a2

u

u+du

du = (u)k ak = duk ak + uk dak = (duk + kji uj dxi) ak

(u)k = uk,i dxi

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






M (x1)

(x2)

O

Accélération d ’un point

Trajectoire(courbe paramétrée)

Terme « convectif »

a1

a2

v = dOM

dt=OM

xi

dxi

dt= vi ai

= dv

dt i =

dvi

dt+ i

kl vk vl

Vitesse d ’un point

v

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






M (x1)

(x2)

O

Gradient : Divergence :

A = Aij ai aj

u = ui ai

u

div(u) = ui,i

div(A) = Aij,j a i

grad(u) = ui,j ai aj

grad(A) = Aij,k ai aj ak

a1

a2

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique






(r)

x1

x2 M

O

OM= r cos()

= r sin()

x1

x2

Tenseur métrique : [gij] = 1 0

0 r2[gij] =

1 0

0 1/r2

ur = u1 = u1

u = u2 /r = r u2

Composantes physiques de u :

u = ui ai (contravariantes)

ui = u.ai (covariantes)

Repère naturel : a1

cos()

sin()

-r sin()

r cos()a2

a1

a2

u

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique




Tenseur métrique


[1ij] =

1 0

0 -r

0 1/r

1/r[2

ij] = 0

Symboles de Christoffel :

vr = 0 r = - v /

r

Accélération radiale d’un point : r = 1 = + 1kl vk vl = - r (v /r)2

dv1

dt

dvr

dt

(r)

x1

x2 M

O

OM= r cos()

= r sin()

x1

x2

a1

a2

u

[gij] = 1 0

0 r2[gij] =

1 0

0 1/r2

Tenseur métrique :

CALCUL TENSORIEL


Repère naturel














Tenseur métrique





mecanique des milieux continus fin mecanique des milieux continus r. fortunier cinematique...

Documents