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Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019
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Meccanica (8/8) oscillazioniLezione 9, 28/10/2019, JW 13.1-13.6
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1. Moto periodico –moto che si ripete
Periodo 𝑇: tempo necessarioper compiere un ciclo completo
Frequenza 𝑓 : numero di oscillazioni per unità di tempo
𝑓 = $%
Nel SI si misura in cicli al secondo o Hertz (Hz):
1 Hz = 1 ciclo/secondo
1 kHz = 1000 cicli/secondo
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2. Moto armonico sempliceUna molla esercita una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio: 𝐹 = −𝑘𝑥
Una massa attaccata ad una molla e spostata dalla posizione di equilibrio oscilla:
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2. Moto armonico sempliceLo spostamento di una massa attaccata a una molla ha un andamento temporale sinusoidale o cosinusoidale.
A è detta ampiezza del moto.
2. Moto armonico semplice
Possiamo esprimere la posizione 𝑥 in funzione del tempo 𝑡 :
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos2𝜋𝑇𝑡
La posizione all’istante 𝑡 + 𝑇 è uguale alla posizione all’istante 𝑡:
𝑥 𝑡 + 𝑇 = 𝐴cos2𝜋𝑇 (𝑡 + 𝑇) = 𝐴cos
2𝜋𝑇 𝑡 + 2𝜋 = 𝐴cos
2𝜋𝑇 𝑡
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3. Relazioni tra moto circolare uniforme e moto armonico semplice
Un oggetto in moto armonico si muove come una delle componentidi un oggetto che segue un moto circolare uniforme.
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡
dove 𝜔 = 89%= 2𝜋𝑓 è la pulsazione,
misurato in radianti al secondo (rad/s)
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La velocità del moto circolare è 𝑣 = ?
@ =89A% = 𝐴𝜔,
tangente alla traiettoria.
La componente 𝑥 della velocità 𝑣(𝑡) = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡
3. Relazioni tra moto circolare uniforme e moto armonico semplice
L'accelerazione del moto circolare è
𝑎 = EF
G =(AH)F
A = 𝐴𝜔8,verso il centro.
La componente 𝑥 dell'accelerazione𝑎(𝑡) = −𝐴𝜔8 cos 𝜔𝑡
3. Relazioni tra moto circolare uniforme e moto armonico semplice
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3. Il moto armonico semplice
posizione: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 ampiezza 𝐴velocità: 𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 ampiezza 𝐴𝜔accelerazione: 𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔8cos 𝜔𝑡 ampiezza 𝐴𝜔8
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𝑣 = −𝐴𝜔 sen(𝜔𝑡)
4. Massa collegata a una molla
La forza su una massa attaccata a una molla è proporzionale allo spostamento: 𝐹 = −𝑘𝑥
e anche proporzionale all'accelerazione: 𝐹 = 𝑚𝑎
Dunque: 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥
Sostituendo 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 e 𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔8cos 𝜔𝑡
troviamo −𝑚𝐴𝜔8cos 𝜔𝑡 = −𝑘𝐴 cos 𝜔𝑡
o 𝑚𝜔8 = 𝑘
Dunque: 𝜔8 = KL
, 𝜔 = KL
𝑇 = 89H = 2𝜋 L
K
NB: il periodo è indipendente dall'ampiezza!
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4. Periodo di una massa collegata a una molla
ll periodo è
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5. Conservazione dell’energia nel moto oscillatorio
In assenza di forze non conservative, l’energia meccanica si conserva. Per una massa attaccata a una molla:
Conoscendo la posizione e la velocità in funzione del tempo possiamo calcolare il massimo dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
5. Conservazione dell’energia nel moto oscillatorio
Dipendenza temporale:
Perciò l’energia totale è costante: all’aumentare dell’energia cinetica diminuisce quella potenziale e viceversa.
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6. Il pendolo semplice
Massa puntiforme appesa ad un filo di massa trascurabileForza di richiamo: 𝐹 = 𝐹M sin 𝜃 ≈ 𝐹M𝜃 = 𝑚𝑔 Q
R (per 𝜃 ≪ 1) 𝐹 ∝ 𝑙 ⇒ moto armonico!
Come molla con 𝑘 = LMR
periodo 𝑇 = 2𝜋 LK= 2𝜋 L
LM/R= 2𝜋 R
M
NB: periodo non dipende dalla• massa• ampiezza ( per ampiezze piccole!)
𝑇 = 2𝜋𝐿𝑔 → 𝑇8 = 4𝜋8
𝐿𝑔 → 𝐿 =
𝑔𝑇8
4𝜋8
𝐿 =9,81ms_8 ` 2s 8
4𝜋8 = 0,99m
𝑇 = 2𝜋𝐿𝑔 → 𝑇8 = 4𝜋8
𝐿𝑔 → 𝑔 =
4𝜋8𝐿𝑇8
𝑔 =4𝜋8 ` 0,64m
2,6s 8 = 3,74ms_8