I fluidiApprofondimento I

statica dei fluidiLegge di Stevino, Principio di Pascal, Principio di Archimede e applicazioni

dinamica dei fluidi idealiFlusso di un fluido e continuitàEquazione di Bernoulli e applicazioni

fluidi reali Viscosità, resistenza del mezzoTensione superficiale

Sostanze caratterizzate dal non avereforma propria e in grado di scorrere

statica

Equilibrio statico nei fluidi:pressione e profondità

Fsup = Pat A

W = Mg = ρVg = ρ(hA)g

Finf = Fsup + W

Finf = PatA + ρ(hA)g

Pinf = Pat + ρghP = F/A Legge di Stevino

La relazione tra pressione e profondità è valida per due punti qualunque del liquido

Nel 1985 fu ritrovato il relitto del TitanicSul fondo dell’Atlantico del Nord a una profondità di 4000 m.

Quale è la pressione a questaprofondità?

P = Pat + ρgh= 4.1 107 Pa= circa 400 atmosfere

ad esempio, nell’acqua la pressione varia linearmente con la profondità h: ∆P = ρg ∆h

al contrario, nei gas ovela densità non è costante, la relazione tra pressione e quota h è di tipo esponenziale.

come è possibile mostrare mediante l’equazione di statodei gas ideali

Misura diretta della pressione atmosferica

h = Pat / (ρg) = 760 mmUtilizzando il mercurio come liquido barometrico

Barometro di Torricelli

Pat = ρgh

Una atmosfera è la pressione esercitata da una colonna di 760 mm di mercurio

L’acqua tende a livellarsi …

questoè vero se la pressione sulla superficie dell’acqua (o di un qualunque fluido)è la stessa in ogni punto della superficie

L’acqua tende a livellarsi …

Una componente tangenziale alla superficiecostringerebbe il liquido a muoversi …

In condizioni di equilibrio, la superficie libera di un liquido assume una configurazione ben definita,esattamente tale che ogni molecola che si trova sulla superficie sia sollecitatada una risultante di tutte le forze ad essa applicate perpendicolare alla superficie stessa

Esempio: la superficie di un lago in assenza di ventoContro esempio:un secchio pieno di acqua ruota attorno al suo asse …La superficie del liquido si mantiene normale alla risultante delle forze applicate ad una molecola di acqua (forza peso e forza centrifuga)

L’acqua tende a livellarsi …

∆P = 0∆P = ρgh

equilibrio Flusso da destra verso sinistra

Principio di Pascal

∆P = Fsup / A

Psup = Pat + ∆P

Pinf = Pat + ρgh + ∆P

La pressione esterna applicata ad un fluido racchiuso in un recipienteviene trasmessa inalterata in ogni punto del fluido

Principio di Pascal- L’elevatore idraulico

∆P = F1/A1 = F2/A2

F2 = ∆P/A2

F2 = F1(A2 / A1) > F1

A1d1 = A2d2N.B.

Principio di Archimede

Un cubo è immerso in un liquido di densità ρ …

P2 = P1 + ρgL

F2 = F1 + ρg L3Ftot = F2 - F1 = (ρV) g

Un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto di intensità uguale al peso del liquido spostato

Il Principio di Archimedeè del tutto generale e la spinta di Archimede

non dipende dalla forma del corpo immerso …

Peso del liquido spostato

Baricentrodel liquidospostato

FArchimede

Peso del corpo

Forze (dovute alla pressione del liquidosul corpo) delle quali la spinta di Archimedeè la risultante

… ma solo dal peso del volume di liquido spostato dal corpocome si deduce dalla condizione di equilibrio del fluido (Fig. B)

Quindi è sempre diretta lungo la verticale verso l’alto …

FArchimede = (ρV)g… ed è applicata nel baricentro del liquido spostato

galleggiamento…

mg

FArchimede

Un corpo galleggia se sposta una quantità di liquido pari al suo peso

galleggiamento

per oggetti di densità più grandedi quella dell’acqua …

galleggiamento:equilibrio statico

La nave è in equilibrio se ... ΣF = 0Στ = 0

mg

FArchimede

G baricentroC centro di spinta

galleggiamento:equilibrio stabile e instabile

mg

FArchimede

La nave è in equilibrio se ... ΣF = 0Στ = 0

M è il metacentro (intersezione tra GC e GC’ )È facile verificare che se M è più alto di G si ha equilibrio stabile

galleggiamento…

in acqua dolce e in acqua molto salata …

L’acqua del mar Morto è eccezionalmente densa …

Sostanze caratterizzate dal non avereforma propria e in grado di scorrere

Dinamica dei fluidi idealiIn moto stazionario

Un fluido ideale è un fluido incomprimibilee privo di viscosità

Un fluido è in moto stazionario quandola velocità delle sue particelle in una qualunque sezione del condottonon dipende dal tempo

Flusso di un fluido e continuità

La quantità di fluido che passa per il punto 1 (sezione grande) è ugualea quella che passa per il punto 2 (sezione piccola).

Altrimenti nel condottoci dovrebbero essere pozzi o sorgenti …

Flusso di un fluido e continuità

∆x1

∆x2

∆V1 =A1 (v1∆t) con ∆x1 = v1∆tNel tempo ∆t …

Quindi …

analogamente

∆m1 = ρ1∆V1 = ρ1 A1 (v1∆t)

∆m2 = ρ2∆V2 = ρ2 A2 (v2∆t)

Flusso di un fluido e continuità

Nell’intervallo di tempo ∆t, la quantità di fluido che attraversa la sezione 1 è ugualea quella che attraversa la sezione 2: ∆m1 = ∆m2

ρ1 A1 (v1∆t) = ρ2 A2 (v2∆t)Quindi …

Analogamente

e se ρ è costantecome per i liquidi …

Equazione di continuitàρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2

A1 v1 = A La portata ∆V/∆t = Av è costante!2 v2

A1 v1 = A2 v2

la portata ≡ Av è costante!

La portata di un condotto ∆V/∆t è il volume di fluido che attraversala sezione del condotto nell’unità di tempo. Se il fluido è incomprimibile

Equazione di Bernoulliper un fluido ideale

Incomprimibile ein grado di muoversi senza attrito

W = ∆K

P + ½ ρv2 + ρgy = costante

In ogni punto del liquido in movimentole grandezze fisiche pressione, velocità e quotasono collegate dalla relazione di Bernoulli

P1 + ½ ρv12 + ρgy1 = P2 + ½ ρv2

2 + ρgy2

∆K = ½ ∆m v22 - ½ ∆mv1

2

= ½ ρ ∆V (v22 – v1

2)

Wg = - ∆m g (y2-y1)

WP = -P2∆V +P1 ∆V

W = Wg + WP

∆m = ρ∆V

F∆x = P(A∆x) = P ∆V

Equazione di Bernoulliper un fluido ideale

W = ∆K

Equazione di Bernoulli

Condotto orizzontale …Variazione di velocità

P1 + ½ ρv12 = P2 + ½ ρv2

2

v2 > v1 ----- P2 < P1Se la velocità aumenta, la pressione diminuisce N.B. per i liquidi ρ1 = ρ2 = ρ

Equazione di Bernoulli

Condotto a sezione costante …Variazione di quota

P1 + ρgy1 = P2 + ρgy2

y2 > y1 ----- P2 < P1Se la quota aumenta, la pressione diminuisce N.B. per i liquidi ρ1 = ρ2 = ρ

Equazione di Bernoulliapplicazioni

La forza verso l’alto (detta portanza) è dovuta alla diminuzione della pressionenella parte superiore dell’ala e rende possibile il volo …

P + ½ ρv2 = costante

Equazione di Bernoulliapplicazioni

Legge di Torricelli

Pat + 0 + ρgy1= Pat + ½ ρv2

2 + ρgy2

vuscita = √ 2gh

P1 + ½ ρv12 + ρgy1 = P2 + ½ ρv2

2 + ρgy2

Fluidi reali

La caratteristica di un fluido di opporsi al motoè chiamata viscosità

Liquido ideale

Il sangue è un tipico esempio di fluido reale. Infatti occorre una differenza di pressione ∆P per mantenerlo in movimento …

Le lamine di fluido scorrono una sull’altracon attrito,per questo è necessario esercitare unaforza sul fluido reale per mantenerlo in movimento

Liquido reale

Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005

viscosità

misura della viscosità

Moto laminareLe lamine di fluido scorrono una sull’altra con attrito

A ∝ v

[η] = [ML-1T-1]

tipicaunità di misura nel cgs è il poisepoise = dine s /cm2

A = -η S (v/L)

Moto vorticosonel fluido si formano macrovortici e l’attrito è più rilevante

A ∝ v2

Velocità critica

vC = R (η/ρ) (1/r)

R = 1200Numero di Reynolds

Legge di Poiseuilleè necessario esercitare unaforza sul fluido reale per mantenerlo in movimentoLa forza è fornita dalla differenza di

pressione∆P = P1 – P2 ai capi del condotto …

sperimentalmente si osserva che∆P è direttamente proporzionalealla lunghezza L del condotto e allavelocità media v* del fluido e inversamente proporzionale alla sezione A

P1 – P2 = 8πη (vL/A)

η è il coefficientedi viscosità del fluido

Fluido viscosità ( N s /m2)

Glicerina 1.50Sangue 0.0027Acqua (0°) 0.00179Acqua (100°) 0.00030

Liquido reale in moto laminare *La velocità media è la media delle velocità delle particelle di liquido sulla sezione A

17. Esempio svolto

Velocità del sangue nella arteria polmonareL’arteria polmonare è lunga 8.5 cm e ha una differenza di pressioneai suoi estremi di 450 Pa.Se il raggio interno è 2.4 mm, determinare la velocità media del sanguenella arteria.

P1 – P2 = 8πη (vL/A) v = A (P1 – P2) / (8πη L) = 1.4 m/s

Equazione di Poiseuille

v = A (P1 – P2) / (8πη L)

Portata: Q = ∆V/∆t ≡ vA= A2 (P1 – P2) / (8πη L)

… dipende dalla sezioneed essendo per un condotto

a sezione circolare A = π r2

Q = π r4 (P1 – P2) / (8πη L)

R = ∆P/Q = (8 η L)/ (π r4)È detta resistenza del condotto

Per condotti di sezione molto piccola (capillari) l’effetto è fortemente esaltato

Resistenza del mezzo

Quando un corpo si muove in un fluido reale è soggetto ad una forzache si oppone al suo movimento ed è direttamente proporzionale alla velocità del corpo rispetto al fluido.

La costante di proporzionalità k dipende dalla forma del corpo e dalla viscositàdel fluido

Esempio 1: caduta verticale in aria (si trascura la spinta di Archimede)

La velocità aumenta fino a quandola resistenza del mezzo bilanciaesattamente la forza peso (e il corporaggiunge la velocità limite vLimite)

Se il corpo ha forma sfericak = 6 πη r

(legge di Stokes)e la velocità limite può essereespressa in funzione del raggio della sfera r e della viscosità del fluido η

Velocità limite

kVelocità limite vL

Velocità in assenza della resistenza del mezzo

La rapidità con la quale viene raggiunta la velocità limitedipende dal rapporto τ = m/k, costante che caratterizzal’evoluzione temporale del fenomeno

N.B. vedasi anche Walker A 30-31

Esempio 2: caduta verticale in acqua

Velocità limite

Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005

Tensione superficiale

per r ∼ r0F = - K ∆r repulsiva

attrattiva

r0

r

F

Forza esercitata tra due molecolevs. la distanza intermolecolare r

Per portare una molecola del liquido in superficie,e quindi aumentarla, occorre compiere un lavoro …

Che si traduce in un aumento della energiapotenziale del sistema

Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005

Tensione superficialeLa tensione superficiale di un liquido èil lavoro necessario ad aumentare la suasuperficie di una superficie unitaria: repulsiva

attrattiva

r0

r

F

τ = ∆W/∆S

Forza esercitata tra due molecolevs. la distanza intermolecolare r

La forma sferica corrisponde al minimo di energia potenziale …