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Geologia Strutturale Corso di laurea in Scienze Geologiche - Cagliari

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GEOLOGIA STRUTTURALE

LAUREA IN SCIENZE GEOLOGICHE

A.A. 2017-2018

CENNI DI MECCANICA DELLE ROCCE: LO SFORZO

(STRESS)

Docente: Antonio Funedda


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QUESTE DISPENSE SONO DESTINATE ESCLUSIVAMENTE AGLI STUDENTI DELLA

LAUREA IN SCIENZE GEOLOGICHE

CHE SEGUONO IL CORSO DI

GEOLOGIA STRUTTURALE

HANNO QUINDI SOLO UNO SCOPO DIDATTICO E VENGONO DISTRIBUITE

GRATUITAMENTE.

NON POSSONO ESSERE ASSOLUTAMENTE MESSE IN VENDITA SOTTO

QUALSIASI FORMA.

I DIRITTI DELLE FIGURE SONO DI PROPRIETÀ DEGLI AUTORI CITATI.

Queste dispense costituiscono il materiale utilizzato durante il corso, ma non sono da

ritenersi esaustive degli argomenti trattati a lezione, che a seconda delle esigenze

didattiche, anche dovute alle sollecitazioni degli studenti, potranno essere modificate in

corso d’opera. Al fine di migliorare questo supporto didattico si prega di contattare il

docente per evidenziare eventuali contraddizioni con i libri di testo consigliati.

Talvolta le figure sono modificate, in genere colorate e le scritte tradotte in italiano, per esigenze

didattiche. Eventuali errori dovuti a queste manipolazioni sono responsabilità del docente.


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Lo sforzo (stress)

Sono numerosi i fenomeni naturali ed in particolare geologici per la cui comprensione (e talvolta

previsione) è necessario studiare lo sforzo, ad esempio:

- In ambito minerario, progettazione di gallerie e scavi a cielo aperto.

- Nella costruzione di Dighe, per definire lo gli sforzi prima durante e dopo la costruzione.

- Nell'industria petrolifera e geotermica, incremento della produttività di un giacimento.

- Comprensione del movimento delle Placche litosferiche.

- Perché, dove e quando avverranno dei terremoti.

Fig. 1 - Il distacco di frammenti in determinate parti di una galleria forniscono informazioni sull'orientazione dello

Stress principale e dello stress deviatorico, da Fossen , 2016.

In Fisica Dinamica due forze che agiscono (applicate) su uno stesso punto con uguale intensità e

direzione ma verso opposto producono un Lavoro W = 0, quindi si annullano, ma quando delle

forze agiscono su un blocco di roccia essendo questo non perfettamente rigido esso si deforma. Si

può quindi affermare che tale blocco di roccia è sottoposto a SFORZO (= stress nella letteratura

anglosassone, e spesso di uso comune anche tra i geologi italiani).

Nelle rocce agiscono due tipi diversi di forze:

Forze di campo (o di volume) che agiscono all'interno del volume della roccia e dipendono anche

dalla distanza e dalla quantità di materia interessata (in pratica dalla sua massa). In geologia la forza

di campo più importante è la gravità F=mg (dove m = massa e g = accelerazione di gravità). Ad

esempio una colonna di roccia di area A ed altezza h, con densità d è soggetta ad una Forza di

gravità F = A h d g. Anche la Forza di Archimede è una forza di campo, che però in questo caso

agisce verso l'alto, in direzione opposta alla Forza di gravità.

Forze di superficie che agiscono sulle superfici che delimitano i volumi di roccia che consideriamo,

sia reali che virtuali. Quando noi spostiamo un oggetto con la mano stiamo applicando una forza di

superficie nell'area di contatto tra la mano ed il corpo, considerando una superficie arbitraria che

divide in due il corpo una parte del corpo esercita una forza di superficie sull'altra metà.

Esiste una stretta relazione tra forze di campo e forze di superficie; immaginiamo che la colonna

sopra detta sia un cubo con volume di 1 m3. Se consideriamo la forza di superficie agente sulla

sezione superficiale della colonna di roccia vista sopra, questa sarà pari al prodotto della pressione

atmosferica (Pa = 0,97 kg/cm2) per l'area A (1 m

2 = 10.000 cm

2) della colonna, e quindi pari a 9.700

kg (Fig. 2).


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Fig. 2 - Colonna di roccia isolata di altezza h; Pa pressione atmosferica, Pl pressione litostatica.

Alla base della colonna di roccia considerata agirà una forza di superficie ad essa ortogonale che è il

risultato della forza di gravità e quindi incrementata rispetto a quella agente sulla faccia superficiale

a causa del peso della colonna stessa. Il rapporto F\A tra tale forza e la superficie della base della

colonna è detta pressione litostatica (Pl). Considerando il peso di volume = 2,7 kg/cm3, tale

pressione litostatica sarà uguale a 2.700 + 9.700 =12.400 kg.

DEFINIZIONE DI SFORZO (O STRESS)

Lo sforzo va quindi considerato come una Forza di superficie σ = F/s, ma non va confuso con la

Forza (F = ma) o con la Pressione (F/s). Se infatti consideriamo lo sforzo su un piano questo è una

quantità vettoriale prodotta tra un vettore (la forza) ed il piano (uno scalare). Ma se consideriamo lo

sforzo in punto (come descritto nei paragrafi successivi) dobbiamo determinare le relazioni con tutti

i piani passanti per quel punto, e quindi lo sforzo sarà il prodotto tra due grandezze vettoriali, e

quindi sarà un cosiddetto tensore del secondo ordine. In alcuni testi (soprattutto anglosassoni),

quando si parla del primo caso, sforzo come forza/superficie, e quindi come pressione, talvolta è

chiamato trazione.

Lo sforzo è definito perciò come il rapporto tra una forza e la sua superficie di applicazione,

entrambi considerati come grandezze vettoriali (un vettore è caratterizzato da una direzione un

verso ed un modulo).

Per meglio comprendere la differenza tra forza e stress consideriamo una superficie ss, in questo

caso lo stress sarà σ = F/ss = F/A. Se però considero una superficie inclinata ss' questa sarà

ss'=A/cosθ, perciò σ = F/A cosθ

(vedi più avanti: analisi bidimensionale dello sforzo uniassiale). Per cui la forza applicata resta

costante, ma lo stress varia essendo variata l'inclinazione della superficie considerata.

h= 1m

Pa=9.700 kg

Pl=12.400 kh


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Fig. 3 -Diagramma delle componenti dello sforzo agente su un piano.

Ne consegue che tra forza e sforzo esiste una differenza fondamentale che ha notevoli risvolti

pratici (Fig. 4).

Fig. 4 - differente considerazione tra forza e sforzo.

Da un punto di vista matematico lo stress va perciò definito come un Tensore.

(Tensore = una grandezza matematica utilizzabile per descrivere lo stato o le proprietà fisiche di un

materiale. Esistono diversi gradi di un tensore, il grado indica quanti componenti scalari sono

necessari per descriverlo. Il numero di tali componenti (c) è uguale alle dimensioni fisiche (d)

elevato la potenza (r) => c = d r. Per esempio in uno spazio tridimensionale (d=3) uno scalare è un

tensore di grado 0 (r=0) e quindi ha solo un componente per definirlo (30=1). E' il caso della

temperatura, del volume ecc. Sono quantità invarianti al variare delle coordinate e definite dalla loro

stessa grandezza.

Un vettore è invece un tensore di 1° grado, che sono definiti da 3 componenti (31=3). E' il caso di

forza, velocità, accelerazione. Il loro valore cambia al cambiare delle coordinate.

Un tensore di 2° grado in uno spazio tridimensionale ha 32=9 componenti, in geologia lo sono ad

esempio stress e strain. Sono usati per descrivere quantità fisiche che sono associate con due

direzioni. Nel caso dello stress le due direzioni associate con ciascun componente sono

l'orientazione della retta normale al piano su cui agisce la componente dello stress e l'orientazione

della componente dello stress agente su quel piano.)

UNITÀ DI MISURA

L'unità di misura dello stress è il Pascal (Fig. 5):

Fig. 5 - Unità di misura dello sforzo

Pam

N

m

s

mkg

A

ma

22

2


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LE COMPONENTI DELLO SFORZO

E' in genere conveniente scomporre le forze di superficie, e quindi lo sforzo agente su una

superficie, in 2 componenti: una parallela ed una perpendicolare alla superficie stessa. Queste

componenti sono dette componente di taglio dello sforzo, o sforzo di taglio σt (in alcuni testi τ), e

componente normale dello sforzo o sforzo normale σN (Fig. 6C).

Fig. 6 - Forza e sforzo su una superficie. (a) Forza su un piano. (b) In condizioni di equilibrio una forza applicata sulla

faccia superiore di una superficie è bilanciata da una forza uguale ed opposta applicata sulla faccia inferiore della

stessa superficie. (c) Sono indicate le tensioni associate a una superficie di area in condizioni di equilibrio. La coppia

bilanciata di tensioni è lo sforzo sulla superficie; le coppie bilanciate delle componenti delle tensioni costituiscono la

componente normale e tangenziale dello sforzo.

Se è verificata la condizione di equilibrio, sulle facce opposte di una superficie esistono forze tali

che la loro somma sia uguale a zero (Fig. 6B). Poiché le forze agiscono sulla stessa area, anche le

tensioni e le relative componenti normale (σN) e tangenziale (τ) sulle facce opposte debbono essere

uguali ed opposte.

CONVENZIONI DEL SEGNO PER LO SFORZO

Le forze di superficie vengono classificate come di compressione o di trazione, se l'applicazione di

una forza su un piano produce l'avvicinamento di due particelle disposte sulle due facce dello stesso

piano, la forza è detta di compressione, se le particelle sono allontanate la forza è detta di trazone.

Quindi si può definire uno sforzo compressivo (per convenzione in geologia positivo) e nel caso

opposto uno sforzo di trazione (o tensile; per convenzione in geologia negativo) (Fig. 7a-b).

Due componenti tangenziali uguali ed opposte (Fig. 7c-d) definiscono uno sforzo di taglio o una

coppia di taglio. Lo sforzo di taglio può essere orario o antiorario, a seconda del modo in cui

ruoterebbe una sfera posta tra le due frecce che rappresentano le componenti di tale sforzo. Si

assumono positive le coppie di taglio antiorarie e negative quelle orarie.

Fig. 7- Convenzioni del segno per le componenti normali dello sforzo (a) e (b), e per le componenti tangenziali dello

sforzo (c) e (d).


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ANALISI BIDIMENSIONALE DELLO SFORZO

L'analisi della distribuzione degli sforzi in un corpo è sempre un problema tridimensionale.

L'utilizzo di equazioni relative a due dimensioni è però molto meno complessa, per cui viene fatto

ogni tentativo per risolvere problemi di sforzo in due dimensioni. La maggior parte dei problemi

geologici possono essere affrontati in due dimensioni.

Negli esempi seguenti per ragioni di chiarezza di solito sono rappresentate solo le tensioni superiori

alle superfici, è sottinteso che queste sono equilibrate da tensioni contrarie e uguale intensità sulla

faccia opposta e pertanto nel testo sono discusse come sforzi.

Analisi delle componenti dello sforzo su un piano

Caso di un piano con direzione ortogonale alla linea di azione della forza applicata, in un corpo

sottoposto a sforzo uniassiale.

Questo è un esempio di analisi dello sforzo importante in geologia strutturale e tettonica "fragile"

perché è il caso di una faglia. Il problema in genere è capire quando un corpo sollecitato da uno

sforzo si deforma e secondo quale orientazione. Lo sforzo agente sul piano sarà σ = F/ss' (Fig. 8).

Fig. 8 - Caso di sforzo uniassiale applicato su un piano.

1) cosFFn

2) FsenFt

Le componenti normale e di taglio dello sforzo saranno:

'ss

Ftt

'ss

Fnn

Poiché cos

'A

ss , sostituendo avremo:

3)

22 coscos

cos

cos nn

A

F

A

F


8

4)

coscos

cos

sensenA

F

A

Fsentt

Riportate in un diagramma con riportate in ascissa i valori di inclinazione del piano ss' avremo: la

linea tratteggiata blu rappresenta gli stress normale e di taglio e quelle rosse le forze normale e di

taglio (Fig. 9).

Fig. 9 - Relazione tra angolo di fratturazione e forze e sforzi applicati.

Come si vede la Fn varia da un valore massimo sull'orizzontale ad un valore nullo per un angolo di

90°. Invece la Ft sarà uguale a 0 sull'orizzontale e massima su un piano inclinato a 90°.

La componente dello stress normale σN non si discosta come comportamento granché dalla F

normale mentre la componente dello stress di taglio σt ha un comportamento nettamente diverso

rispetto alla Ft.

Infatti essendo presenti nell'espressione al punto (4) un seno ed un coseno, il suo valore risulta nullo

per 0° e per 90°, con un valore massimo per 45°.

Questo significa che una superficie sarà sollecitata da uno stress di taglio uguale a 0 a 0° e 90°; in

questo ultimo caso quindi sebbene la Ft sia massima, poiché l'orientazione della superficie rispetto

alla linea di azione della forza è 0, lo stress è pari a 0.

In pratica se noi sollecitiamo un provino di roccia avremo che i valori delle componenti dello stress

aumenteranno all'aumentare del carico imposto, ma in maniera diversa a seconda delle superfici,

soprattutto per la componente di taglio.

Se il materiale ha una soglia di resistenza al taglio questa viene raggiunta dapprima lungo superfici

orientate a 45°, e quindi il provino tenderà a gonfiarsi in corrispondenza di queste superfici

orientate rispetto alla forza applicata.

Tutto questo dimostra che:

a) non si può confondere F e σ

b) E' la σt che provoca la fratturazione con scorrimento.

c) Fn e Ft variano in maniera diversa da σN e σt.

d) In realtà un σt massimo a 45° è un caso teorico, in genere avviene per angoli più vicini a 30°, in

quanto non si hanno in natura materiali ideali.


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ANALISI DELLO SFORZO SU UN PUNTO

Per definire lo sforzo su un singolo punto partiamo considerando lo sforzo agente su un piano

qualsiasi: "Il carico su una superficie qualunque causato da una forza applicata è funzione della

forza, dell'area e dell'inclinazione della superficie". Lo sforzo qualunque si risolve sulla superficie

come due vettori con una componente normale σN ed una componente σt che si distribuisce sul

piano.

Per considerare lo sforzo su un punto immaginiamo di ridurlo a dimensione infinitesima, ad una

particella che possiamo assimilare ad un cubo. Essendo lo sforzo su un punto un tensore di secondo

grado, per descrivere lo sforzo in 3 dimensioni abbiamo bisogno di almeno 9 vettori

di cui 3 sono forze normali al piano e 6 sono forze di taglio che si dispongono parallelamente agli

spigoli del cubo. Nella notazione a pedice, il primo termine identifica il piano indicandone la sua

normale ed il secondo termine mostra a quale asse è parallelo il vettore. Perciò il termine con i due

pedici uguali identificano le componenti perpendicolari alla faccia (stress normale) mentre le altre

indicano le componenti parallele (stress di taglio).

Lo sforzo totale è perciò definito dalla seguente matrice

Le componenti di taglio dello stress con pedici opposti tendono a far ruotare il cubo attorno ad uno

degli assi del sistema, se ammettiamo che il cubo sia in equilibrio e quindi non stia ruotando (ad es.:

σ12 =σ21) avremo che le componenti indipendenti dello stress sono 6 e non 9.


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Ridefinendole coordinate cartesiane del nostro sistema in modo che siano parallele agli stress

normali (quelli con valori a pedice identici) avremo che le componenti di taglio dello stress (quelle

con i valori a pedice differenti) siano nulle posso riscrivere la matrice così:

In questo modo ho definito il campo di stress con solo 3 vettori individuando 3 piani perpendicolari

tra loro dove le componenti di taglio sono nulle.

In pratica ne derivano le seguenti condizioni:

1) In ogni campo di stress esistono 3 piani su cui non si hanno sforzi di taglio

2) Questi 3 piani sono i Piani principali dello stress

3) Le loro normali e le loro intersezioni sono gli Assi principali dello stress

4) Gli stress ad essi paralleli sono gli Stress principali σ1, σ2 e σ3

5) Per convenzione gli stress compressivi sono positivi e quelli tensili sono negativi (in ingegneria

è il contrario) e inoltre σ1 > σ2 > σ3.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLO SFORZO

Lo stato dello sforzo in un punto può essere rappresentato geometricamente disegnando i vettori che

rappresentano gli sforzi che agiscono su ogni piano passante per il punto considerato. Le estremità

di questi vettori disegnano un ellissoide (un’ellissi nel caso di analisi bidimensionali). Partendo

dalle equazioni che analizzano lo sforzo biassiale su un piano (quindi su due dimensioni, noi

abbiamo già trattato il caso dello sforzo uniassiale su un piano) si può ricavare l’equazione

descrittiva dell’ellissi (Fig. 10), dimostrando che i vettori che agiscono su tutti i possibili piani

passanti attraverso un punto descrivono un’ellissi, che viene chiamata ellissi dello sforzo (in tre

dimensioni ellissoide dello sforzo Fig. 11)

Fig. 10 - Ellisse dello sforzo, rappresentazione dello stato dello sforzo in due dimensioni.


11

Fig. 11 - Ellissoide dello sforzo, rappresentazione dello stato dello sforzo in tre dimensioni.

ALCUNE DEFINIZIONI DI PARTICOLARI CONDIZIONI DI SFORZO

Per Sforzo medio. si intende la media dei tre stress principali:

e può essere considerato come un stress idrostatico e che quindi può originare solo variazioni di

volume.

Per Stress deviatorico si intende la differenza tra stress generico e stress medio:

In pratica quella parte di sforzo indotto che non si distribuisce uniformemente e che invece produce

distorsioni all'interno del corpo sul quale agisce.

Casi particolari dello stress

Sforzo uniassiale σ1 o σ3 ≠ 0 Sforzo biassiale con uno degli stress principali = 0

Sforzo triassiale σ 1, σ 2 e σ 3 ≠ 0

Pressione idrostatica uguale sia allo sforzo medio che al peso della colonna di fluidi nei pori della

roccia e quando tutti gli sforzi principali sono uguali.

Pressione litostatica data dal peso della colonna di roccia sovrastante.

3

32

3

32


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Approfondimento su stress bidimensionale e modalità di costruzione del Cerchio di Mohr

N.B.: questa parte non è stata affrontata durante le lezioni, perciò il suo studio non è obbligatorio,

anche se questo approfondimento è consigliato per meglio comprendere, con un'analisi di tipo

geometrico, lo stress bidimensionale. Non costituisce argomento per l'esame.

Componenti dello Sforzo su piani con direzione ortogonale alle linee di azione delle forze applicate in un corpo sottoposto a stress biassiale

In questo caso considero un σ 1 ed σ 2 che si risolveranno sulla superficie che esamino secondo un

σN ed σt che variano al variare della superficie (Fig. 12). Devo trovare delle relazioni che mi

permettano di determinare le componenti dello sforzo su una superficie in funzione della sua

inclinazione e del valore degli stress applicati.

Fig. 12 - Caso di sforzo biassiale agente su un piano

Comincio con il calcolare le componenti delle forze:

Uguagliando FN e Ft parallele alla linea di azione di F1’ con F1 e delle componenti di FN e Ft

parallele alla linea di azione di F2’ con F2 si ottiene la seguente relazione tra F1 e F2 con FN e Ft.

1) F1 = Ft senθ + FN cosθ

2) F2 = FN senθ - Ft cosθ

Per ottenere σ N = f(σ 1; σ 2) e σt = f(σ 1; σ 2), devo sostituire le seguenti relazioni

F1 = σ1 SS cosθ FN = σN SS

F2 = σ2 SS senθ Ft = σt SS

σ1 SS cosθσt SS senθσN SS cosθ

uguagliando a 0 avremo un sistema a due incognite (σN e σt)

σ1 cosθσt senθσN cosθ

σ2 senθσN senθσt cosθ (4)

conoscendo sia σ1 che σ2 avremo e risolvendo per σN avremo:

σt senθ= σ1 cosθσN cosθ

σt = σ1 cosθσN cos / senθ


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σt = cosθ (σ1 - σN) / senθ che sostituita nella equazione (4)

σ2 senθσN senθ cos2θ (σ1 - σN) / senθ

σ2 sen2θσN sen

2θσ1 σN cos

2θ

σ2 sen2θσ1 cos

2θσN (sen

2θ cos

2θ

σN = σ2 sen2θσ1 cos

2θ

Utilizzando le formule trigonometriche della duplicazione

sen2θ = 1 - cos2θ / 2 e cos

2θ = 1 + cos2θ / 2

e sostituendole nella relazione precedente avremo:

σN = σ2 * 1 - cos2θ / 2 + σ1 * 1 + cos2θ / 2

σN = σ2 - σ2 cos2θ + σ1 + σ1cos2θ / 2

che potremo scrivere nella forma:

σN = σ1+σ2 / 2 σ1-σ2 / 2 * cos2θ (5)

da cui risulta evidente che σN è funzione della metà dell'angolo di inclinazione

e di un fattore σ1+σ2 / 2

Risolvendo il sistema per σt avremo con un procedimento del tutto analogo che:

σt = σ1-σ2 / 2 * sen2θ (6)

Visualizzando i diagrammi di queste due funzioni trigonometriche avremo per σ1 e σ2 compressivi:

Si vede che su un corpo sottoposto a compressione da due parti diverse su qualsiasi superficie

comunque inclinata il σN non sarà mai tensile.

Il σt invece si annulla a 0° 90° e 180°. Il fatto che talvolta sia negativo significa che rispetto

all'osservatore si avrà un senso di taglio o scorrimento verso destra o verso sinistra.

L'analisi delle componenti dello sforzo per via analitica può essere fatto anche per via grafica

tramite la costruzione del Cerchio di Mohr, che è un metodo pratico per quantificare le componenti

normali e di taglio delle stress applicato ad una superficie e per determinare l'orientazione e la

forma dell'ellisse dello sforzo.


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RAPPRESENTAZIONE DELLO SFORZO IN 2 DIMENSIONI SUL CERCHIO DI MOHR

Le componenti dello stress che abbiamo esaminato precedentemente in via analitica, possono essere

facilmente rappresentate graficamente, con la costruzione del Cerchio di Mohr. E’ questo un

metodo pratico che ci permette di determinare quanta componente normale σN e di taglio σt c’è su

una superficie sulla quale è applicato un dato stress.

Le equazioni che ho applicato precedentemente dove:

σN = σ1+σ2 / 2 + σ1-σ2 cos2θ

σt = σ1–σ2 / 2 sen2θ

hanno la stessa forma delle equazioni parametriche del cerchio:

x = e + cos;

y = r sen

Impostando:

e = σ1+σ2 / 2 => coordinate del centro del cerchio

r = σ1–σ2 / 2 => raggio del cerchio

Praticamente traccio un cerchio la cui distanza dall'origine del nostro sistema di riferimento, in cui

sull'asse delle ascisse rappresento lo stress normale e su quello delle ordinate lo stress di taglio, sia e

e la cui apertura sia r.

L'intersezione della circonferenza con l'asse delle ascisse ci indica il σ1 ed il σ2.

Per sapere quanto sono le componenti normale e di taglio di uno stress applicato su una superficie

inclinata di un angolo θ sarà sufficiente tracciare a partire dal centro del nostro cerchio di Mohr una

retta avente angolo = 2θ. Le coordinate della sua intersezione con il cerchio di Mohr ci daranno il

valore della componente di taglio sull'asse delle ordinate e della componente normale sull'asse delle

ascisse.

Considerazioni nel caso di stress biassiale

Sono simili a quelle già fatte per via analitica:

1) Lo stress di taglio sarà massimo al punto A, perciò essendo = 2θ quando θ = 45°.

2) Lo stress di taglio sarà minimo nei punti B e C quando θ = 45° o 90° (infatti sen0 e sen180 = 0).

3) Per q = 0 e 90°σN è uguale a σ1 e σ2.

Casi particolari:

Nel caso di stress uniassiale compressivo ho σ1 = 0 e quindi il cerchio di Mohr sarà tangente

all'asse delle ordinate

Nel caso della pressione idrostatica avrò che σ1 = σ2 per cui σ1–σ2 / 2 = 0 e quindi avrò non un

cerchio ma un punto posto sull'asse delle ascisse a una distanza σ1+σ2 / 2 = σ1.


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Se estendiamo il nostro ragionamento alla terza dimensione e costruisco il Cerchio di Mohr per 3

superfici tra di loro a due a due ortogonali allo stress applicato. Costruisco un cerchio di Mohr per

la superficie ortogonale a σ1 e σ2 , un'altra relativa alla superficie ortogonale σ1 e σ3

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