КИНЕМАТИКА Кинематиката описва движенията (геометрично), без да се интересува от причините

променящи състоянието на движение. Каква геометрия ще ползваме зависи от разпределението и скоростта на движение на материята. При малки скорости сравнени със скоростта на светлината във вакуум и малка плътност на енергията и импулса се използва евклидова геометрия, която е и най - опростеният модел на реалното физично пространство. В частната теория на относителността (ЧТО) се ползва псевдоевклидова геометрия, а в общата теория на относителността (ОТО) - псевдориманова геометрия

Движение - местположението на едно тяло се определя спрямо други тела. Изменението на местоположението се нарича механично движение. Когато не се променя местоположението, тялото е в покой. Тялото може да е в движиние спрямо едни тела, а спрямо други в покой. Движението и покоят са относителни. Тялото, спрямо което разглеждаме покоя или движението се нарича отправно тяло. С отправното тяло може да свържем часовник и координатна система. Отправното тяло, часовникът и координатната система образуват отправната система.

Материална точка - тяло, на което може да пренебрегнем размерите и формата. Материалната точка е най-опростен модел на реално тяло.

Три метода за определяне на движението:

а) Векторен метод - Ако изберем в отправното тяло отправна точка О и часовник, то с течение на времето местоположението на материалната точка ще се мени. Траектория - мислената линия, която описва материалната точка по време на движението си, r=r(t) задава траекторията на материалната точка и това е законът за движение във векторен вид. Векторният метод не зависи от избoра и ориентацията на координатната система и това е особено ценно за теоретичните разглеждания. Векторният метод е частен случай от по-общo геометричнo (тензорнo) описание.

r=r(t) О траектория

m

б) Координатен метод - избираме определена координатна система в зависимост от симетрията на конкретно решаваната задача. Радиус-векторът r вече има своето координатно представяне. В зависимост от избора и ориентацията на координатната система r има безброй много представяния. В декартова координатна система - r=r(x,y,z), като x=x(t), y=y(t), z=z(t) е законът за движение в декартово координатно представяне.

z

В сферична координатна система представянето е r=r(r,θ,ϕ), като r=r(t), θ=θ(t), ϕ=ϕ(t) е

законът за движение. В цилиндрична координатна система, r=r(ρ,ϕ,z), като ρ=ρ(t), ϕ=ϕ(t), z=z(t) е законът за движение, а ρ е цилиндричният радиус-вектор. Между различните координатни представяния съществуват преходи.

Трансформации от сферична към декартова и обратно: x=r.sinθ.cosϕ , y=r.sinθ.sinϕ , z=r.cosθ

222 zyx ++=r , ϕ=arctg(y/x), θ=arctg( 22 yx + /z)

Трансформации от цилиндрична към декартова и обратно: x=ρ.cosϕ, y=ρ.sinϕ, z=z ρ= 22 yx + , ϕ=arctg(y/x), z=z

y

r θ

m

x ϕ ρ

в) Естествен координатен метод - ползва се когато е известна траекторията. Избираме отправна точка О от траекторията (обикновено съвпадаща с местоположението на движещата се материална точка в началния момент t=0) и положителна посока върху нея.

Така траекторията се ползва като криволинейна координатна ос. Разтоянието Оm по

траекторията е криволинейната координата s, а s=s(t) е законът за движение в естествената координатна система. Естествената координатна система е особено ценна криволинейна координатна система, т.к в нея законът за движение се описва само с една променлива. Сферичната и цилиндричната координатни системи са едни от най-простите криволинейни системи.

tm

s t=0, O

+

Скорост и ускорение Скоростта е векторна величина, определяща бързината на движение, т.е.

на изменение на местоположението. Дефинира се с първа производна спрямо времето от закона за движение:

d d ds ds dv. , v ,dt ds dt dt ds

≡ ≡ = = = =r r rv r τ τ v τ

Векторът v винаги е допирателен към траекторията, т.к. и dr е допирателен и показва посоката на движение.

Ускорението определя колко бързо се променя скоростта с времето:

2 2d d ds v d vv. v . v. v. .dt ds dt d

= = + = + = +va nτ τ

τ τ τρ ϕ ρ

, dτ ⊥ τ

dτ

ds

ρ'

ρ dϕ τ

τ'

τ

τv=a n

2v aan +=ρ

+ τ , и va =τ ρ=

2

nva

dϕ

Ускорението е разложено на тангентно и нормално ускорение. Тангентното ускорение

определя колко бързо се изменя големината на скоростта, а нормалното ускорение определя колко бързо се изменя посоката на скоростта. Нормалното ускорение наричаме още центростремително, т.к. е насочено към центъра на кривата.

O

≤ ≤α π . Различаваме три случая: Да означим с α ъгълът между векторите a и v. Очевидно 0 1. α > π/2 - движението е закъснително

a

a

α

a

v 2. α = π/2 - движението е равномерно 3. α < π/2 - движението е ускорително Най-простото криволинейно движение, е

движението по окръжност, характеризиращо се с постоянен радиус и постоянен център на кривата.

sρ ϕ

xО

За определяне на местоположението вместо

криволинейната координата s, ползваме ъглова координата ϕ=s/ρ . Законът за движение е ϕ=ϕ(t), ω=ϕ )t(

e ъгловата скорост, а ε=ω=ϕ )t()t( е ъгловото ускорение.

В зависимост от стойността на тангентното ускорение (ъгловото ускорение) и радиусът на кривата, може да определим следните видове движения :

Видове движения равномерно равнопроменливо по-сложни криволинейно

0aρ ≠ const, n ≠ праволинейно

0aρ =∞ , n =

0a =τ

v=const s=v.t

0consta ≠=τ

t.avv 0 τ+=

s= 20 t.a

21t.v τ+

consta ≠τ

движение по окръжност ρ=const, 0an ≠s=ρ.ϕ

ε=0

ω=const ϕ=ω.t

ε=const ω= 0ω +ε .t

ϕ= 20 t.

21t. ε+ω

const≠ε

Да уточним, че ъгловата скорост също е векторна величина, като скоростта v. При въртене,

радиус-векторът ρ замита определена площ dS с точна ориентация в пространството. Това може да представим с площен вектор:

dS=dS.n=1/2ρ×ρ′=1/2ρ2.dϕ n =1/2ρ2.dϕ, (n е единичен вектор ⊥ dS)

След делене с dt получаваме ω

ρ' ρ

dϕ dS

ω = dϕ/dt = dtd2

dtd

2

Snρ

=ϕ

,

като ω ⊥ dS, а въртенето e обратно на часовниковата стрелка . Равенството v = ωρ може да

представим във векторен вид: v = ω×ρ

Динамика Принципи на Динамиката

Всяко движение се разглежда спрямо отправно тяло. От кинематична гледна точка всички

отправни тела (точки) са равноправни за описание на движенията. Динамиката изучава механичните движения заедно с причините изменящи състоянието на

движение. Изгражда се на три принципа, които са обобщение на опитните факти при неголеми скорости и малка плътност на енергията и импулса.

Първи принцип на Галилей-Нютон: Всяко тяло запазва състоянието си на покой или на равномерно праволинейно движение, ако не му действат други тела.

Този принцип е много важен и не случайно е първи. Изказан е много абстрактно, но е богат на съдържание. Движението и покоят са относителни, зависят от избора на отправното тяло (отправната система). Не във всяка отправна система движението е равномерно и праволинейно. Инерциални отправни системи са системите, в които е изпълнен първият принцип. Това движение е естествено, не се нуждае от поддържане. Свойството телата да запазват състоянието си на равномерно праволинейно движение, когато не им действат други тела се нарича инерция (движение по инерция) и количествено се определя с набор от запазващи се величини една от които е векторната физична величина импулс p. Освен инерция телата проявяват и инертност, оказват съпротивление при въздействие. Инертността количествено се определя от скаларната величина маса m, по-точно инертна маса. Тя не зависи от отправната система, т.е. е абсолютна. Освен инертна маса съществува и гравитационна маса. Обобщаването на опитните факти ни води до принципа за еквивалетност на тези маси. Ходът на времето е също абсолютен при неголеми скорости и малка плътност. Отправните системи, в които не е изпълнен първият принцип се наричат неинерциални. Произведението от масата и скоростта на тялото е равно на импулса (за v<<c).

p = m.v

Импулсът се запазва p = mv = const, ако няма въздействие, с което се запазва и равномерното праволинейно движение.

Втори принцип на Нютон. Ако на телата действат други тела, те изменят състоянието си на равномерно праволинейно движение и импулса си. Вторият принцип на Нютон гласи: Скоростта на изменение на импулса определя въздействието F.

Fpp =≡dtd

Интензивността на въздействието се определя с векторна физическа величина - сила F= dp/dt. Ако m=const, то dp/dt=mdv/dt=ma=F:

ma = F Последното равенство се нарича основно уравнение на динамиката, т.к. често се

използва. При еднакво въздействие F, телата с по-голяма маса получават по-малко ускорение a = F/m (аналогия със закона на Ом в локален вид j = E/ρ). Вторият принцип на Нютон е валиден само в инерциални отправни системи.

Трети принцип на Нютон: На всяко действие отговаря равно по големина и противоположно насочено противодействие, с обща линия на действие.

1 F12 = -F21 2

Винаги има действие и противодействие,т.е. взаимодействие. Двете сили лежат на една

права, т.е. имат обща линия на действие, но различни приложни точки. Ако двете тела са еднакви, верността на третия принцип е очевидна поради симетрията. При взаимодействие се обменя импулс - едното отдава, а другото приема. Това определя действието и противодействието да са равни по големина и противоположни по посока.

Инерциални отправни системи. Трансформации на Галилей. Механичен принцип за относителността.

Да разгледаме движението на тяло спрямо две отправни системи К и К′. Нека К е инерциална

отправна система, а К′ се движи спрямо К равномерно и праволинейно със скорост V=const. Законите за движение спрямо К и К′ са r=r(t) и r'=r'(t), а ro' = ro'(t) е законът за движение на О′ спрямо О.

Трансформации на Галилей: r = ro' + r' Взимаме производна спрямо времето и получаваме:

v = V + v′ Ако на тялото m не действат други тела, то се движи равномерно и праволинейно v=const, т.к.

К е инерциална. Но V=const и слeдва v′=const, т.е. K' също е инерциална. Следователно ако познаваме поне една инерциална отправна система, всички отправни системи, които се движат равномерно и праволинейно спрямо нея също са инерциални. (Ако V ≠ const , следва v′≠const и К′ е неинерциална.)

Умножаваме двете страни по масата m и получаваме:

p = mV + p′ Ако вземем производна спрямо времето ще получим: pp ′= F= =F′

Следователно вторият принцип на Нютон е инвариантен, не зависи от избора на

инерциалната отправна система. Видът на механичните закони е еднакъв във всички инерциални отправни системи. Това е механичният принцип за относителност или принципът за относителност на Галилей - Нютон. Айщайн обобщи този принцип за всички физически закони в частната теория на относителността, а в общата теория на относителността и

за всички отправни ситеми. Принципът за относителността е един от основополагащите принципи на съвременната физика.

Основното уравнение на Динамиката е частен случай на втория принцип на Нютон и също е инвариатно:

F=ma=ma′=F′ Абсолютност на ускорението и скоростта на изменение на импулса спрямо инерциални

отправни системи. Законите за движението и скоростта не са абсолютни.

Неинерциални отправни системи. Инерциални сили – видове, примери. Принципите на Нютон са невалидни в неинерциални отправни системи, но в тях може да

бъде получено уравнение подобно на основното уравнение на динамиката чрез въвеждане на допълнителни инерциални сили. Нека К е инерциална отправна система, а К′ е неинерциална - върти се с ъглова скорост ω и О′ извършва криволинейно движение спрямо К:

Да разгледаме произволно движение на материална точка m спрямо двете отправни системи. Нека q′ е произволен вектор от К′ с начало в О′ .

•

O

ω Да означим с ' скоростта на изменение на

вектор q′ спрямо К′ , а с скоростта на изменение

на q′ спрямо K (за различаване). Тези изменения ще бъдат свързани:

q

'qK q'K'

' ' 'ω•

= + ×q q q Ако махнем q′ получаваме следното операторно равенство:

m r'

r O'ro'

•

= + ×ω Да приложим този оператор върху r ′ два пъти:

' ( )( ' ') ' ' ( ') 2 '• • •• • •

= + × + × = + × + × × + ×r r r r r r rω ω ω ω ω ω

Но , т.к. r и r••••

−=−=⇒−= ''' '' ooo rrrrrrrr o' са от К.

След заместване изразяваме относителното ускорение : ••

'r

o'' ' ( ') 2 '•• •• •• • •

= − − × − × × − ×r r r r r rω ω ω ω Умножаваме с m и получаваме:

i nm ' m '••

= = +r a F F , F=ma от основното уравнение на динамиката, с Fin са означени инерциалните сили. Инерциалните сили

са преносни и кориолисови, Fin=Ft+Fc , като различаваме три вида преносни сили, които са следствие на: а) неравномерно движение на О′, б) неравномерно въртене на К' спрямо К и в) въртене на К' спрямо К.

1 o '

22

3 c f

m

m( ')

m( ( ')) m( ( ')) m '

••

•

= −

= − ×

= − × × = − × × = =

F r

F r

F r F

ω

ω ω ω ω ρ ω ρ

Преносната сила F3 има свое собствено наименование и се нарича центробежна, а още по-точно особягаща сила. Преносните сили и ускорения съществуват и дори, когато тялото не извършва движение спрямо К′ .

Ако заедно с въртенето, тялото извършва и относително движение спрямо неинерциалната отправна

система, появява се и кориолисова сила: c m( ')•

= − ×F rω С въвеждане на инерциалните сили неинерциалните отправни системи се ползват, както инерциалните с

основното уравнение на динамиката. Според ОТО тези сили действат като гравитационните. Примери: 1. Нека ω=0. В този случай различна от нула е само преносната сила от първи вид. Пътниците се натрупват в задния или предния край на автобуса при рязко потегляне или спиране под действие на този вид сили. 2. Разглеждаме равномерно движение по окръжност,ω=const, v′=0.

2а. Система К е неподвижно свързана с окръжността и е инерциална. От основното уравнние на динамиката получаваме m.an=F, т.к. ускорението е само нормално, а F е центростремителна сила.

2б. Система К′ се върти заедно с тялото и е неинерциална - m.0=F+Fcf или Fcf = - F. Тези две сили се уравновесяват и тялото остава в покой спрямо К′.

2в. В К′′ m.0=F+F1 - инерциалната сила е преносна от първи вид, т.к. О′′ извършва неравномерно движение. Двете сили се уравновесяват и тялото остава в О′′ неподвижно. 3. Разглеждаме въртящ се диск и система К′ неподвижно свързана с него. Над него виси тяло окачено на нишка. Спрямо въртящия се диск тялото кръжи в обратна посока. Различни от нула са центробежната и кориолисовата сили. Затова:

')'((2'

'.2''22

2

ρωρωωρω

ωρω

mmm

mmm ccf

−=×−×−=

×−=+= vFFa

Знакът минус показва, че ускорението е центростремително.

ω

Fcf (F1)

F

ω=const

К''К

К'

Fc + Fcf

v'ω

Под действие на кориолисовите сили вертикално падащите тела се отклоняват на изток, по паралела в посока на въртенето на земята, т.к. векторите v′ и ω са в равнината на меридиана, а Fс е перпендикулярна на тази равнина. По същата причина пасатите, движейки се към екватора, се отклоняват на запад. Колумб достигна Америка с тези ветрове. Тези отклонения могат да бъдат обяснени и със свойството инерция. Скоростта на въртене над земята е по-голяма от тази при повърхността и. Падащите тела запазвайки скоростта си на въртене от започване на падането ще изпреварят в посока изток телата от земната повърхност, т.к. Земята се върти от запад на изток. По отношение на пасатите, скоростта на въртене при полюсите е по-малка от тази при екватора. Затова движещите се към екватора въздушни маси ще изостават в посока запад.

Центробежните сили отклоняват и намаляват земното ускорение и силата на тежестта:

g cf = r.ω2cosϕ

ϕϕωϕαααϕ

2sin'62sin2

sinsinsinsin

2

≈≈=≈⇒=o

cfcf

gr

gggg

ω

Проектирайки go и gcf по g получаваме:

o cf

22 2

oo

g g cos g cos

rg g (1 cos ) 9.832(1 0,0034cos )g

α ϕ

ω ϕ ϕ

≈ −

≈ − = −

α

Корегираме за сплеснатостта на земята при полюсите:

22 /)cos0052,01(832,9 smg ϕ−= Може да обобщим: Локално, гравитационните и инерциалните сили са еквивалентни !

g o g ϕ

О r

Закони за запазване Импулс

Механична система - всяка група от взаимодействащи си тела. Вътрешни сили са силите, с които си взаимодействат телата от системата. Външни сили, с които телата извън системата действат на тези от системата. Ако на механичната система действат външни сили, то тя е отворена, ако ли не - е затворена.

F outFik= -Fki

i k

Импулсът на системата е векторна сума от импулсите на съставящите я части.

n

ii 1=

= ∑p p

На i-то тяло действат както вътрешни така и външни сили. Вътрешната сила може да

представим като сума от въздействията на останалите тела от системата. Ползвайки втория принцип на динамиката може да запишем:

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑= == = = = =

===+=+===n

1ki,

n

1i

outoutiik

outn

1i

n

1i

n

1i

n

1ki,

n

1i

outiik

outi

iniii a,0 ,)( FFFFFFFFFpp

С Fik сме означили, силата с която к-то тяло въздейства на i-то от системата. От третия ринцип на Нютон Fik=-Fki (антисиметрична матрица). Сумирането по i,k е сумиране по редове и стълбове на тази матрица.⇒

outd ,dt

= = =pp F F закон за изменение на импулса на механична система,

Само външни сили могат да променят импулса на механичната система.

Ако равнодействащата на външните сили Fout = 0: p=const Това е Законът за запазване на импулса.

Законът за запазване на импулса се ползва и в следните три случая: out

1. Ако Fout≠ 0, но е нула една от компонентите F =0 , то =const. ξ ξp2. F ≠ 0, но е с постоянно направление. В равнина перпендикулярна на това направление

F =0 и Fout

=0, то p =const и p =const.

out

outξ η ξ η

3. F ≠ 0, но действа за кратко време Δt≈0, то Δp≈ 0 и p≈ const. out

Център на масите - rc. Разделяме мислено телата на достатъчно малки части, материални точки с маси : im

n

i ii 1

c

m .

m=≡∑ r

r , i i i icc

m . m .ddt m m m

≡ = = =∑ ∑r vr pv , c cm= =p v p

Импулсът на механичната система е равен на импулса на центъра на масите. Да приложим закона за изменение на импулса към движение на тела с За определеност да разгледаме движението на ракета.

'm

променлива маса.

С d обозначаваме масата на горивото, което се изхвърля за време dt със скорост u. Изменението на импулса на механичната система ракета-изхвърлено гориво за време dt е dp = mdv + d 'm u, като m+ 'm =mo (с m и mo сме

обозначили масата на ракетата в момент t и в началния момент). Очевидно d 'm = - dm и:

dtdm

dtdm

dtd out uvFp

−==

outdm mdt

= +v F u , като uuF m

dtdm

R == - реактивната сила.

Уравнение за движение на тела с променлива маса (уравнение на Мешчерски Иван Всеволодович - 1897г).

Ако Fout=0 и u=const то: v = - u.ln(mo /m) Това е формулата на Циолковски Константин Едуардович - 1914г. Пълна аеродинамична сила: uvuvR mm)(m =−+=

( е отклоненият масов поток) m

Работа и енергия

Ако на материална точка действа сила F и тя извършва преместване dr , то работата извършена от силата е:

dA≡F.dr=F.dr.cosα=Fτ.ds , dr=ds. Това е едно от определенията за работа.

dA>0 ако 0≤α< π/2, dA<0 ако π/2< α ≤ π, dA=0 ако α=π/2

При преместване от s1 до s2 извършената

работа е А= Ако ∫ τ

2

1

s

s

dsF constF =τ , то А= )ss(F 12 −τ

Мощност - скорост на извършваната работа: P= dA/dt = F.dr/dt = F.v Кинетична енергия Да разгледаме произволна механична система. От втория

принцип на Нютон за i-то тяло от системата може да запишем:

s ds s1 s2 s2s1

Fτ

AdA Fτ

s

Fτ

Fα

r d

outi

inii

i

dtd FFFp

+==

Умножаваме двете страни на равенството с dr i = vi.dt = pi / mi.dt и получаваме:

ik

2ii

i

2i

i dE2vmd

m2pddA === ,

2vm

m2pE

2ii

i

2i

ki≡≡ - кинетична енергия на i-то тяло.

След сумиране по всички тела от системата получаваме:

∑∑∑===

====n

1ikk

n

1ik

n

1ii dEEddEdAdA

ii,

∑=

≡n

1ikk i

EE - кинетична енергия на системата.

dA=dEk След сумиране за крайно преместване от s1 до s2:

A=ΔE k Работата на всички сили (вътрешни или външни) изменя кинетичната енергия на

механичната система. outin

ncinc

outink AAAAAAE ++=+==Δ

Вътрешните сили сме разделили на консервативни и неконсервативни. Силите, на които работата не зависи от траекторията се наричат консервативни (потенциални). Такива сили са функция на местоположението, по-точно те са равни на минус векторна производна от потенциалната

енергия (функция), както ще покажем в примери. Работата на консервативните сили е за сметка на намаляването на потенциалната енергия.

1

A12=Ep(1) - Ep (2)

2p

inc EA Δ−= ⇒ outin

ncpk AAEE +=Δ+Δ Сумата от кинетичната и потенциалната енергии определя

пълната механична енергия , ⇒ pk EEE +≡

outinnc AAE +=Δ

Пълната енергия се изменя под действието на външните сили и вътрешните не

консерветивни сили. Ако системата е затворена и консервативна то: ΔЕ=0 ⇒ Е = const В затворена консервативна система пълната механична енергия се запазва. Може да обобщим понятието работа, като обменено количество енергия между

системите. Енергията в природата не се губи, а само преминава от един вид в друг. Това е законът за запазване на енергията изказан в най-общ вид.

αm

hdd

Примери за потенциални сили: 1. Хомогенно гравитационно поле - g=const.

F = G = mg - сила на тежестта. dA = mg.dr = mg.drcosα = -mg.drcos(π−α)=-mg.dh

dA =- dmgh = - dEp ⇒ Еp = mgh mgdh

dEG p −=−=

Знакът минус показва, че силата на тежеста е насочена надолу срещу нарастването на височината.

2. Гравитационно поле на точков източник (маса):

rrM

2rg γ−= , γ = 6,672.10 N.m , G = mg , −11 22 kg−

p23 dEr

mMddrr

mMd.r

mMd.mdA −=γ=γ−=γ−== rrrg

Векторна производна ∇

rr1r

r1

r1,

rr

d.rrrdrd.,rd).(f)(df),(f),(f

dt).t(f)t(df),t(f),t(f

dx).x(f)x(df),x(f),x(f

22

22

rrrrrr

rrrrr

−=∇−=∇=∇

⇒∇===

∇=∇=

′=′

математическо допълнение

rmMEp γ−= G = - ∇.Ep

3. Потенциална енергия на пружина. F = - kx,

dA = F.dx = - kxdx = - d p

2

dE2

kx−= ⇒

2kxE

2

p =

Пълната енергия е винаги по-голяма или равна на

потенциалната Е , т.к. 0E . pE≥ k ≥Затова, ако Е = const, тялото не може да се намира в подобласти I или III, т.к. Е < Ep. Движението в подобласт II е финитно, а в IV инфинитно отдясно.

Ep

Ek

Ep

E=const

E

IV III II I

x

Момент на импулса Нека О е неподвижна отправна точка. Разглеждаме

материална точка mi движеща се със скорост vi , на която действа сила Fi. Моментът на импулса на i-то тяло спрямо полюс О е:

iiiiii m vrprL ×=×≡

Моментът на импулса на механичната система е векторна сума от моментите на импулса на отделните тела.

ri

vi

mi

O

Fi

-F

1

d

r1 -r2

r2

r1

F

2

О

∑=

≡n

1iiLL

Момент на сила (въртящ момент):

iii FrM ×≡ ,

0, inoutn

1ii ==≡ ∑

=

MMMM

Момента на двойка сили с равни големини и противоположни посоки е:

FdFrrMMM ×=×−=+= )( 2121 . Ако (r1 - r2) и F са колинеарни то d=0 и М=0. Вътрешните сили

образуват точно такива двойки сили и затова моментът им е равен на нула . 0in =MЗа скоростта на изменение на момента на импулса получаваме:

outiiiiiiiii )m(

dtd MFrprvvprL =×=×+×=×= ∑∑ ∑ , т.е.

outddt

≡ = =LL M M

Моментът на импулса се изменя само под действие на въртящия момент на външните сили. Това е законът за изменение на момента на импулса.

Ако , то L = const, това е законът за запазване момента на импулса, (като механичната система може и да не е затворена).

0M =out

Ако полюсът А е подвижен: AiiAii vvvrrr −=′⇒−=′

rA

ri

r'i vi

mi

А

О

vA

∑ ×′= iiiA m vrL

∑ ∑∑

×−=×′+×−=

×′+×=

)(m)m(

)m'(

cAoutAiiiiA

iiiiiA

vvMFrvv

prvrL

outAA A A c

d m( )dt

≡ = − ×LL M v v

Ако vA и vC са колинеарни то (vA║vC):

outAA

ddt

=L M Ако А съвпада с центъра на масите, то:

outCC

ddt

=L M

Въртене на идеално твърдо тяло около постоянна ос

Идеално твърдо тяло - което не променя размерите и формата си. Въртенето около постоянна ос е по-просто от въртенето около полюс или от свободното

въртене. Моментите на импулса и сила спрямо полюс са векторни величини, докато спрямо ос са проекциите на тези вектори върху самата ос.

Li⊥iiiiii , ρρωω +=×=×= drrv ω

iiiiiii ,m vrLvrL ⊥⇒×= Векторите ω и L не са колинеарни, i

не са и перпендикулярни:

∑ ∑ ∑∑ −=××+== iii2iiiiiii ).(m)m()()(m ρωωρρωρ ddLL

∑= )( 2|| iim ρL .ω

∑ ±−=⊥ )(( ii dmL . .ω )iρ Инертност при въртене

ImI ii == ∑ 2|| ρ Инерчен момент спрямо ос (скалар)

∑ ±−=⊥ iii )d(m ρI Особягащ (центробежен) инерчен момент спрямо ос (вектор)

vidi

ρi

Li

Li||

O miri

ωω II == ||||L Момент на импулса спрямо оста на въртене

ω= ⊥⊥ IL Особягащ (центробежен) момент на импулса

Да разгледаме въртене на паралелепипед около трите главни централни оси. Нека I1 >I2 >I3 . Когато тялото бъде оставено да се върти свободно, въртенето около главните централни оси 1 и 3 се запазва - свободни оси на въртене. Въртенето около ос 2 е нестабилно. Ако I1=I2 >I3 , въртенето около ос 3 е нестабилно. Ако I1=I2 <I3 , въртенето около ос 3 е стабилно.

Когато центробежните моменти, L⊥ и I⊥ са равни на 0, съответната ос се нарича главна и тялото е динамично уравновесено. За всеки произволен полюс О, всяко тяло има три главни взаимно перпендикулярни оси. Ако полюсът О съвпада с центъра на масите С, то осите се наричат централни и тялото е статично уравновесено. Ако осите са едновременно главни и централни, то тялото е в статично и динамично равновесие. Когато тялото е с ротационна ос на симетрия, то тази ос е и главна централна ос.

Момент на сила спрямо ос - проекция на вектор М върху оста.

).(.,

|||||| FreMeFrM

×==×=

M

Представяме: F=F|| +F⊥ +Fτ

).().(M |||||| ττ ρ FeFre ×=×= τρ= F.

Fτ - тангентна компонента на силата към окръжността на въртене. ρ - разстояние до оста, радиус на въртене. Ако въртенето е около постоянна ос e|| , то за краткост може да означим: L|| = L , I||=I , M||=M.

outoutout FmaнааналогMIIL ====⇒= εω||.eML

Инерчният момент е адитивна величина - I=Σmiρ2

i . Примери:

кълбозаmR52I

пръстенза)RR(m21I

цилиндърилидискзаmR21I

2

21

21

2

=

+=

=

Теорема за успоредните оси (теорема на Хюгенс-Щайнер) m 2

c maII +=

Въртейки се около произволна ос (ma2), тялото автоматично се върти

около собствената си ос (минаваща през С) IC. Работа и енергия при въртене:

dAd.).d(d).(d. ==×=×= rFFrFrM ϕϕϕ

LLM d.d.dtdd.dA ωϕϕ === rot

k

2

|||||| dE2

IddI.dL.d. =ω

=ωω=ω=ω= Le

∫=2

1

d.A ϕM rotk

21

22 E

2I

2I

Δ=ω

−ω

= , 2

IE2

rotk

ω≡

ω

а

Тензорът на инерчните моменти

Нека ос на въртене е Oz, тогава ω=(0,0,ω) или ω = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω00

∑∑ +=ρ== )( 222|| iiiiiz yxmmII

∑ ∑∑∑ =−−=−=±−=⊥ )0,,()0,,()0,,().( yzxziiiiiiiiiiiii IIzymzxmyxzmdm ρI

Аналогично ос на въртене може да бъде Ox или Oy:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Zyzxz

yzyxy

xzxyx

IIIIIIIII

I , , ω = ω.I=L⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω00

Инерчният момент в общия случай е тензор и може да се представи по компоненти във вид на матрица. Инерчният момент е симетричен тензор и при подходящ избор на координатната система може да се представи в диагонален вид:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Z

y

x

II

II

000000

, ω = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ωωω

z

y

x

Познаването на тензора на инерчните моменти в диагонален вид ни дава възможност да изчислим инерчния момент и особягащия (центробежния) момент спямо произволна ||I ⊥Iос Нека е единичен вектор задаващ направлението на оста на въртене в координатана ||eсистема свързана с главните централни оси:

||.. eL II == ω ω , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Z

y

x

II

II

000000

L

||L

⊥L

ω

∑ ρ≡=

⇒ω=ω==

2||||||

||||||||||

..

,...

iimII

IIL

ee

eeeL

2||||

2||

2||||

2||

2||||

2||

2||

2

)..().(||

.)..().()..().(

eeeI

eeeeee

III

IIIIILLL

−=≡

⇒ω=ω−=ω−ω=−=

⊥⊥

⊥⊥

Жироскопи - нутация и прецесия

Жироскоп – бързо въртящо се тяло, чиято ос на въртене може да изменя направлението си в пространството или да е с една неподвижна точка на закрепване. Свободен жироскоп – ако Mout = 0 спрямо точката на закрепване. Реализация – ако на тялото действа само силата на тежестта G=mg, а точката на закрепване съвпада с центъра на масите С или тялото се движи свободно в пространството.

constL0MM =⇒=≡ out 1. случай - , въртенето е около една от главните централни оси. Въртенето е

(стабилно) устойчиво, ако е около свободна ос. L||ω

',',', zyxiI i

=== constLω L=const

2. случай - , - ъглова скорост

на нутация: L||енеω Lω

'

''

''

sinsin

xL

xx

xLx

IL

IL

IL

=ω

⇒α

==αω=ω

Ъгъл на нутация − между оста на ротационна симетрия z’ и вертикалната ос z. Ъгълът на нутация се изменя, т.к. ω и z' се въртят около L с ъглова скорост . Lω

Прецесия, центърът на масите не съвпада с точката на закрепване, . Наблюдава се

едновременно и нутация и прецесия (

0MM G ≠≡constLL ≈>>≈≈α ,,||',0 Lz ).

2''' mlI

LIL

xxL +

==ω - бърза нутация (L>>).

Оста x” e L и минава през точката на закрепване О. Оста x' e L и минава през C.

⊥⊥

Прецесия:

Прецесията е бавна (L>>) с въртене около вертикалната ос. Координатната система К ' съвпада с главните централни оси, тя е неинерциална и тук ползваме динамичните уравнения на Ойлер:

MLLL=×+

∂∂

= ωtdt

d - уравнения на Ойлер

Решени са в 3 случая: 1. случай – на Ойлер, точка на закрепване е С. 2. случай – на Лагранж, точка на закрепване О не съвпада с С, ОС е ос на въртене и ос на симетрия.

3. случай – на Ковалевска, 321 2III == , а C лежи в равнината на осите 1,2.

Гравитационното въздействие на Слънцето и Луната предизвиква нутация и прецесия на земната ос. Земната ос описва пълен оборот за около 26 000 години (т.н. платоническа година), окръжност с радиус 23,5° с център в съзвездието Дракон. Прецесията е била открита за първи път в II век п.н.е. от Хипарх , който намерил, че координатите на звездите са се променили малко в сравнение с тези от преди сто години. 13 000 години назад небесният се е полюс

, Х

намирал в близост до Вега, от територията на източно-европейската равнина е могло да се наблюдават съзвездията Кентавър и Южен Кръст. След това Полярна звезда последователно са били π η и τ от еркулес , звездите Тубан и Кохаб. Римляните не са имали Полярна звезда, Кохаб и Киносуру (α от Малката Мечка ) са били наричани Стражите. α от Малката Мечка е станала полярна звезда около 1100 година, и най-близко до полюса ще бъде в 2100 година. В 3200 година полярни ще са звездите от съзвездието Цефей, след това Денеб и Вега, за шести път от съществуването на Homo sapiens.

Ч АТЕОРИЯ НА ОТНОСИТЕЛНОСТТА

1. Съществува максимална гран всички отпрaвни системи (c= 3.108 m/s=const, с=1). Скоростта ум е равна на тази скорост.

от

АСТН КИНЕМАТИКА ична скорост обща за на светлината във ваку

Този принцип изтъква, че телата не могат да се движат с безкрайно голяма скорост, т.к. въввсеки момент освен началния ще се намират на безкрайно голямо разстояние по траекториятаначалното си местоположение. Съществува максимална граница на скоростите (универсална скорост) еднаква за всеки наблюдател и във всички отправни системи (инерциални или неинерциални). Добре е универсалната скорост да се ползва за единица мярка, c=1, v=β=v/c. Tози принцип остава валиден и в изкривеното време-простанство.

Да разгледаме две инерциални отправни системи движещи се относително една спрямо друга със скорост V=(± V,0,0). Нека в началния момент t=0=t', O=O'.

Да представим с декартови координати галилеивите трансформации r = r’+V.t:

t.Vx'x't.V'xx −=+=

t'tz'zy'y

'tt'zz'yy

===

===

Да излъчим светлинен сигнал в момент t=0=t', от съвпадащите начала на координатните системи, по посока на абцисните оси. Според 1. законите за движение в двете системи са x=c.t и x'=c.t' (c=1).

От x=t ≠x'=t' следва t ≠ t', т.е . ходът на времето не е абсолютен при скорости сравними или равни на с. От t ≠ t' следва x≠ x'+V.t' и x'≠ x - V.t . Да въведем възтановяващ равенствата множител γ :

t'tz'zy'y

)t.Vx('x

'tt'zz'yy

)'t.V'x(x

≠==

−γ=

≠==

+γ=

Да определим γ от преобразуванията на координатите и закона за движение на светлинния импулс в двете отправни системи:

x = γ (x'+V.t') Заместваме x=t , x'=t' и получаваме: t = γ (t'+V.t') = γ (1+V)t'

x' = γ (x - V.t) t' = γ (t - V.t) = γ (1 - V)t

Умножаваме двете равенства: tt' = γ2 (1 – V2)tt' и след съкращение на tt', определяме γ, β=V:

2β−

=γ1

1 Да определим трансформациите на времето: Заместваме x t, x'↔ ↔ t' в

x' = γ (x - βt) x = γ (x' + βt') и автоматично получаваме трансформациите на времето: t' = γ (t - βx) t = γ (t' + βx')

Трансформации на Лоренц

2

2

2

2

β−

β−=

==

β−

β−=

β−

β+=

==

β−

β+=

1xt't

z'zy'y

1tx'x

1'x'tt

'zz'yy

1't'xx

Физическите обекти не могат да се движат със скорост по-голяма от с=1, трансформациите стават нереални.

Трансформациите на Лоренц преминават в трансформации на Галилей, ако V=β<<c=1.

Трансформации на скоростта Взимаме диференциал от Лоренцовите преобразувания, β=V:

2

2

2

2

β−

β−=

==

β−

β−=

β−

β+=

==

β−

β+=

1dx.dt'dt

dz'dzdy'dy

1dt.dx'dx

1'dx.'dtdt

'dzdz'dydy

1'dt.'dxdx

x

2z

'z

x

2y

'y

x

x'x

'x

2'z

z

'x

2'y

y

'x

'xx

v.11v

v

v.11v

v

v.1Vv

v

v.11v

v

v.11v

v

v.1Vv

v

β−β−

=

β−

β−=

β−−

=

β+β−

=

β+

β−=

β++

=

Делим първите три равенства на четвъртото и получаваме трансформациите на скоростта.

Следствия от трансформациите на Лоренц 1. Скъсяване на дължината по направление на движението.

Прът се движи в система К по Ох със скорост v =(v,0,0). С него свързваме система К', V=v=β. Дължината на пръта в К' е l' = l0 = x'2 - x'1. В система К дължината на пръта ще бъде l=v. Δt, т.е. скоростта по интервала време за преминаване на пръта покрай неподвижен наблюдател с местоположение Р. Горните координати и времето са свързани чрез трансформациите на Лоренц:

20

2221

120

21P

122P

2

1ll

1l

1)tt.(v'x'xl

1t.vx'x,

1t.vx'x

β−=

⇒β−

=β−

−=−=

β−

−=

β−

−=

По направление на движението дължината се скъсява, без да се променят напречните размери!

2. Забавяне хода на движещи се часовници.

Нека l е дължината на траекторията, която описва тяло при движението си спрямо инерциална система К. С t означаваме времето отчетено по часовник свързан със система К, а t' е времето отчетено по часовник свързан с движещото се тяло. От гледна точка на движещото се тяло,

дължината на траекторията ще се скъси 21' β−= ll , т.к. векторът на скоростта v е винаги

тангентен към траекторията, а тя е в относително движение спрямо него със скорост -v. Лесно определяме връзката между отчетените времена по двата часовника за обикаляне по затворената крива:

t't

1tv

1lv'l't 2

2

Δ<Δ

⇒β−Δ=β−

==Δ

Забавяне на хода на движещия се часовник!

τΔ=Δ=ΔΔ>β−

Δ=Δ 002

0 t't,t1

tt ,

Δτ е собственото време.

Горните резултати лесно може да обобщим и за неравномерно движение по траекторията:

∫Δ

β−=τΔ⇒β−=τ

β−=β−

==τ

t

0

22

22

)t(1dt1dtd

1dtv

1dlv

'dld

Забавянето на хода на движещите се часовници е експериментален факт. Например положително заредените пиони имат време на живот 2,5.10-8 s. Разпадат се на мюон и мюонно неутрино - π+ → μ+ + ν. Разтоянието което могат да изминат за това време е ограничено от максимално възможната скорост - с. В ускорителите при скорости близки до с, обаче те изминават по-големи разтояния от максимално възможното. Възникващият псевдопарадокс се обяснява с това, че посоченото време е всъщност собственото време:

20

0max1

tΔ - за скорости близки до с спрямо ускорителя,

.vt.vst.csβ−

=Δ=<Δ=

но s' = v.Δt o < smax , от гледна точка на пиона.

Всички елементарни частици от даден вид си приличат като тъждествено неразличими близнаци, но вместо така наречения “парадокс на близнаците” ще преразкажем една стара притча от Шримад Бхагаватам - едно от свещените писания на древна Индия:

Веднаж един велик раджа завел своята дъщеря до равнището на Създателя Брама, за да попита, кого именно да избере за добър съпруг на дъщеря си. След като пристигнал в двореца на Брама, почакал няколко мига и направил своето искане. За негово учудване Брама му отговорил: “О, царю, когато ти се върнеш на земята, ти не ще намериш твоя народ, нито твоите приятели и роднини, дори и твоите градове и палати. Въпреки че ти пристигна тук преди няколко мига, тези няколко мига са равни на няколко хиляди години за хората от земята. Когато се върнеш на земята, там ще е нова ера и ще видиш брата на бог Кришна - Бала Рама, който ще бъде подходящ съпруг за твоята дъщеря.” Когато царят се върнал обратно на земята след своето няколко минутно пътешествие в Брама Лока, той видял един нов свят и една съвсем различна цивилизация, народ, култура и религия. На земята наистина били изминали няколко хиляди години, макар че той бил пътувал само няколко минути. Така, дъщерята родена в предишна ера се омъжила за Бала Рама след няколко хиляди години.

3. Едновременност

Да разгледаме две събития

(t1, x1, y1, z1 ) и (t2, x2, y2, z2 ), които са едновременни в К (t1=t2, Δt=0).

В К', Δt' = - γ βΔx≠0. Δt' = 0, само ако Δx=0.

Едновременността на събитията е относителна.

4. Причинно следствена връзка

Да разгледаме две събития

(t1, x1, y1, z1 ) и (t2, x2, y2, z2 ), които са причинно свързани в К, t2 > t1, Δt > 0.

Събитията свързани с причинно следствена връзка са с времеподобен интервал. 0s01dtdds 2 >τΔ=Δ⇒>β−=τ=

Абсолютни величини Поотделно тримерното пространство и времето не са абсолютни, но могат да бъдат обединени в четиримерно пространство ( време-пространство), което е абсолютно, но е псевдоевклидово. То дори е псевдориманово при голяма плътност на енергията и импулса. Движението на едно тяло може да бъде наблюдавано от произволно избрана отправна система. Преместването dr, времето dt и скоростта v са различни в различните отправни системи, но те са свързани чрез собственото време, което е уникално, а затова e и абсолютно. Да въведем нова абсолютна величина - четиримерен интервал, интервал.

22

222

ddtds

dt.d,ddt1dtd.1ds

r

vrrv

−=

=−=−=τ=

Времето t, като променлива има подобно поведение с променливите x, y, z. Да заместим (t, x, y, z) с (x0 , x1 , x2 , x 3).

Въвеждаме четиримерно псевдоевклидово пространство (пространство на Минковски ) с

четиримерен радиус-вектор →

с представяне (r x 0 , x 1 , x 2 , x 3) в четиримерна декартова кординатна

система. А →

е преместването в четирипространството. Големината на преместването не зависи от избора на отправната система.

rd

τ=−=−==→

d1dtddt|d|ds 222 vrr

Пространството на Минковски е псевдоевклидово, т.к. пространствените координати вместо със знак плюс са добавени със знак минус.

Четиримерни скорост и ускорение Определяме четиривектора на скоростта като първа производна от закона за движение спрямо собственото време:

1)v1(||,),1(1dt

)d,dt(dd 22

2=−γ=γ=

β−=

τ=

→→

→

uvrru

Всички движения в пространството на Минковски се извършват с една и съща големина на скоростта с=1. Затова четиривекторът на ускорението ще бъде винаги ортогонален на четиривектора на скоростта:

→→→

→→→→

→→

⊥⇒τ

==τ

==τ

uauaauuuudd,.

dd.0

d)(d

21 2

Ускорението не е абсолютно (а≠а')!

Ускорението е пространствено подобен четиривектор (а2 < 0), а скоростта е времеподобен (u2 > 0). Вектор, чийто квадрат е нула, е изотропен (светоподобен).

Динамика Първият принцип на Галилей - Нютон може да бъде обобщен. Физическите обекти, които не взаимодействат с други обекти, запазват състоянието си равномерно праволинейно движение или в частност на пространствен покой. Движението и покоят са относителни, зависят от избора на отправното тяло (отправната система). Не във всяка отправна система движението е равномерно и праволинейно. Инерциални отправни системи са системите, в които е изпълнен първият принцип. Това движение е естествено, не се нуждае от поддържане. Свойството физическите обекти да запазват състоянието си на равномерно праволинейно движение, когато не взаимодействатдействат с други обекти се нарича инерция (движение по инерция) и количествено се определя с набор от запазващи се величини една от които е четиривекторът на импулса.

Фотоните са без маса, но имат импулс и се движат по инерция, ако не взаимодействат.

Импулсът се запазва , ако няма въздействие, с което се запазва и равномерното праволинейно движение.

→→→

== constm up

)1m,

1m(m

22 β−β−==

→→ vup

Вторият принцип на Нютон (dp/dt = F) остава валиден, но се обобщава в четиримерен инвариантен вид, не зависи от избора на инерциалната отправна система:

→→→→

== FaFp mиdd ,

τ ,

dt1d

dd

2βτ −=

pp

21 β−=

F

Пространствената част на четиримерната

сила се изразява чрез силата F от нютоновата динамика.

20

00

1mpE

ddp

ddEP.F0.m.

β−==

⇒τ

=τ

===⇒==→→→→

vFuauF

Р – мощност Е е пълната енергия.

2222

0

mE)(

.E.p

=−=

==→

pp

vvp

Ако р = 0, получаваме енергията на покой E0=m. Това равенство изразява еквивалентност между енергия на покой и маса. По-общо еквивалентността е между масата и големината на 4-вектора на импулса, p ≡ m!

Законите за запазване на масата, импулса и енергията са обединени в общ закон за запазване чрез 4-вектора на импулса.

Компонентите на четиривекторите се трансформират като координатите на . →

r

Пълната енергия на тяло може да се представи като сума от енергията на покой и кинетичната енергия - Е = Е0 + Т.

1cvако,2vm

2mm

1mEET

22

20 =<<=β

≈−β−

=−=

Разглеждаме механична система в отправна система, в която p = 0:

UТmUТЕМЕ iii00 i++=++== ∑∑∑∑

∑∑∑ ≠++= iii mUТmМ , U е енергията на взаимодействие.

Масата е абсолютна, но не е адитивна величина! Използването на "понятието релативна маса" е едно недоразумение и трябва да се избягва.

Енергията на свързване се определя с:

∑∑ −=+= iib mMUТE

Масата на атомните ядра е по-малка от сумарната маса на съставящите ги нуклони, а това е само едно от експерименталните потвърждения на горните съотношения.

Механика на флуидите Флуидостатика

Движението на флуидите (течности или газове) също се подчинява на принципите на динамиката, но е със специфични особености - заемат формата на съда, в който са поставени. Лесно текът, преместване на слоеве почти без усилие. Течностите почти не променят обема си, а обемът на газовете лесно се изменя при промяна на външното налягане.

Флуидостатика - няма движение на флуид или на други тела в него. Свободната повърхност на течностите е винаги перпендикулярна на силите действащи

върху нея, т.к. сили насочени по повърхността биха предизвикали движение. Затова свободната повърхност на течност, налята в неподвижен съд спрямо земята, е хоризонтална.

Налягане p – скаларна величина, плътността на енергията, равна на големината на силата, действаща нормално (┴) върху единична повърхност. Силата на налягане е dF = ± pdS, с посоката към повърхността dS.

Закон на Паскал (1623-1662) Външното налягане се предава във флуида без изменение (във всички посоки).

Хидростатично налягане, в полето на силата на тежеста по-горе лежащите слоеве натискат по-долулежащите:

pх=G/ΔS=ρΔSh.g/ ΔS=ρgh

Закон на Архимед: На всяко тяло потопено във флуид действа подемна сила равна на теглото на изместения от тялото флуид:

FA= -ρVg

Да разгледаме произволен обем от течността. Очевидно теглото на течността от този обем

ρVg се уравновесява от силите на налягане, като равнодействащата им FA минава през центъра на тежестта, иначе би възникнало въртене. Ако заменим този обем с тяло със същата форма, няма да се промени нито архимедовата сила нито нейната приложна точка. Ще се промени теглото на тялото запълващо този обем със или без промяна на приложната му точка.

Флуидодинамика

При движение на флуид възникват сили на вътрешно триене. Идеален флуид, ако силите на вътрешно триене могат да бъдат пренебрегнати. Идеалният

флуид е опростен модел на реален флуид. Несвиваем флуид, ако флуидът има постоянна плътност. Токова линия, траекторията на движение на частиците. По точно, криви линии, за които

скоростите на частиците са тангентни към тях.

Токова тръба, ако във флуида вземем малък затворен контур и през всички негови точки прекараме токовите линии, се получава така наречената токова тръба.

Ламинарно движение, ако течението е слоисто и няма смесване. Турболентно движение, ако слоевете се смесват Потокът на флуида се характеризира с векторно поле на скоростите и скаларни полета на

налягането и плътността: v=v(r,t) p=p(r,t) ρ=ρ(r,t) Ако зависят от времето, течението на флуида е нестационарно. Ако не зависят от времето е

стационарно v=v(r), p=p(r), ρ=ρ(r). При стационарно течение общият вид на токовите линии не се променя.

Масов поток q = m – масата на флуида преминаващ през напречното сечение на токова тръба за единица време:

q = m = ρSv За всеки флуид масовият поток остава

постоянен по токовата тръба, следствие от закона за запазване на масата:

ρSv=const Sv=const , за несвиваем флуид - ρ=const Последното равенство е уравнението за непрекъснатост на потока. Уравнение на Бернули (швейцарски физик 1700 – 1782), основно уравнение в динамиката на флуидите,

следствие от закона за запазване на енергията. За движение на малка част от идеален флуид:

constVpmgh2

mvE2

=Δ+Δ+Δ

=

Делим на ΔV или Δm и получаваме уравнението на Бернули: 2v gh p const

2ρ ρ+ + = или

2v pgh const '2 ρ

+ + =

2v gh p const2

ρ ρ+ + ≠ или 2v pgh const '

2 ρ+ + ≠ , ако флуидът не е идеален

Пълна аеродинамична сила: За реален флуид uvuvR mm)(m =−+=

Въздушният поток, взаимодействащ с крилото, се отклонява на ефективен ъгъл α . Той е равен на ефективения ъгъл на атака за цялото крило. Масовият поток, взаимодействащ с летящия обект, е означен с | m |. Отделящият се от крилото отклонен масов поток е 0<m , а присъединяващият се поток е 0m− > . Тъй като въздушният поток следва формата (кривината) на крилото, масовият поток m е пропорционален на

обтекаемата площ на крилото , скоростта на потока и масовата плътност на въздуха wS v ρ - v wm Sρ∼ .

Ако се изрази чрез площта на крилото в план , се получава wS S vm C S= ρ , където е коефициент на пропорционалност.

C

Възникващата върху крилото пълна аеродинамична сила R е резултат от въздействието на присъединяващия се и отклонения импулсен поток

u)uv(vR mmm =++−=(1) . При полет с постоянна скорост и пренебрегване на загубите на енергия за реален флуид с малък

вискозитет - vv u+ ≈ , а ( )2 vsin 2u = α . Тогава от израза (1) следва

(2) ( ) ( )2vv 2 vsin 2 4 sin 2 .

2R C S C S ρ

= ρ α = α .

Векторът u се представя с перпендикулярна и успоредна на присъединяващия се поток компоненти vsinu⊥ = α

2 2

v vcosvv(1 cos ) 2 vsin .

2 2

u = − α

α= − α = ≈ α

За подемната сила и силата на челно съпротивление (фиг. 1) и техните безразмерни коефициенти и се получава

L D LC

DC

(2')

2

22

v2 sin .2

v.2

L mu C S

D mu C S

⊥ρ

= = α

ρ= ≈ α

(2′') 2

22

2 sinv / 2

v / 2

L

D

LC CS

DC CS

= =

= ≈

αρ

αρ

С отчитане на загубите на енергия, v ' | | vv u= + < , а ъгълът между R и L расте (α′ > α/2):

(3)

2

2

2

22

v ' | | (1 ).vv'sin (1 ).vsinv v'cos v[1 (1 )cos ]

v[1 (1 )(1 / 2)]v v(1 ) / 2

v2 (1 )sin .2

v[2 (1 ) ]2

2

v u

pr

uu

L mu C S

D mu C C S

C C

⊥

⊥

= + = − ε= α = − ε α= − α = − − ε α

≈ − − ε − α

≈ ε + − ε α

ρ= = − ε α

ρ= ≈ ε + − ε α

= ε

(3') 2

2 (1 )sin

(1 )L

D pr

C C

C C C

= −

≈ + −

ε α

ε α

С Cpr е означено профилното съпротивление, а с ε − модула от относителното изменение на скоростта по големина : | v | / v | v ' v | / vε = Δ = − .

(4)

2 arcsin( / 2 v) 2arcsin( / 2 v)/ v / v

u ru r

= =≈ =

α ωα ω

Ефект на Магнус (при обтичане на въртящ се цилиндър възниква подемна сила. При въртене на цилиндъра с ъглова скорост ω , изменението на скоростта на въздушния поток е u rω= , а ефективният ъгъл на отклонението му:

Зависимостите на CL и CD от ефективния ъгъл на атака се потвърждават от експеримента, като те зависят и от удължението на крилото 2AR l S= .

Пълната аеродинамична сила, действаща на цилиндъра е

(5) l

2

, | | v v 2 . , .

| | 2 v . 2 v / 2, 2 .Cm m S r l u r

R m r l S r S r

= ρ = ρ π = ω

= = π ρ ω = π ρ ω =

R u

u

∼

Тук SC е околната повърхност на цилиндъра, а l - дължината му. Получените резултати се потвърждават от експеримента и константата на пропорционалност е точно

равна на 1, т.е. | | v v 2 .r l= ρ = ρ π за l r . Това е аналог на условието на Кутта-Жуковски и съгласува теорията с експеримента.

Cm S

При пренебрегване на профилното съпротивление, обтичането на крилото може да се замени с еквивалентно обтичане на въртящ се цилиндър.

(6) 2

v/ 2 sin / 2

| | 2 v / 2 4 sin( / 2). v / 2

u rr

R m S r S

ω α

π ρ ω π α ρu

= =

= = =

От сравнението на (2) и (6) за константата С на крило с голямо удължение AR се получава C = π .

Връзка с теоремата на Жуковски-Кутта: От установеното взаимно еднозначно съответствие между обтичането на крило и въртящ се цилиндър за циркулацията на скоростта се получава:

(7) / 2 , валидно и за двете обтичани тела. 2 2 4 vsinr r ru rΓ = π ω = π = π α

От (6) и (7) следва

(8) vR l= Γρ .

Този резултат е обобщение на теоремата на Жуковски – Кутта, при обтичане на крило от флуид с малък вискозитет.

Подемната сила е 2 2

cos( / 2) v 4 vsin( / 2)cos( / 2).v v2 2 sin 2 sin , 2 ,2 2

L R r l

rl S r b

α ρ π α α

ρ ρπ α π α

= =

= = = където b е хордата на крилото.

При обтичане на крилото, в двата му края възникват противоположни вихри, намаляващи отклонения масов поток и коефициента С. За крило с голямо удължение C π= , а с нулево удължение 0C = . От получената зависимост на CL от удължението:

(9) 2 sin ,1 2LC

ARπ α=

+ за С би се получило:

1 2C

AR=

+π

.

Във формулата за коефициента на челно съпротивление CD се въвежда корекция , поради допълнителни загуби на енергия за завихряне:

κ

(10) 2 , 4D prC C C C AR , ≈ + =κ α κ π

Повече от 100 години теоремата на Жуковски-Кутта с много голям успех се ползва от авиоинженерите за дозвукови скорости на полета.

3. Вместо заключение.

Жуковски относно физиката на полета:

''.... движейки се под малък ъгъл спрямо хоризонта с голяма хоризонтална скорост, наклонената плоскост отклонява огромно количество от последователно прилягащи към нея въздушни маси с малка скорост надолу и развива голяма подемна сила нагоре, при незначителни загуби на енергия за хоризонтално преместване'' .