Rwnanie Bernoulliego strh zpgvzpgv+ + + = + +222211212 2 strp p gzvp gzvA + + + = + +2 2221 1212 212, hstr, Apstr straty tarcia na dugoci i straty tarcia lokalne opory miejscowe strsr srh zpgvzpgvA + + + = + +2222 21121 12 2 oo,o wspczynnik Coriolisa Wynika ze zjawisk w przekroju normalnym do osi przewodu. W takim przekroju p=const, v=c. Rwnanie Bernouliego, ktre obowizujedla linii prdu tu jest odniesione dla caego przekroju przepywu.Wspczynnik Coriolisa Wspczynnik Coriolisa uwzgldnia rnic midzy energi kinetyczn rzeczywist, a odniesion do redniej prdkoci przepywu w rurocigu. 2 23 2sr srkvAvQ Esr = =, }=AsrvdAAv1

} }= =AkdAv vvdA Eneu2 23 2 3333122srAsrAkkvdA vAvAdAvEEsrneu} }= = =o Rodzajeprzepywwlepkich,dowiadczenieReynoldsa Przepywlaminarnyiturbulentny Rodzaj przepywu okrela si w oparciu o warto tzw liczby Reynoldsa - Re. Re=v.d/ W przepywie turbulentnym czsteczka cieczy posiada pulsacje prdkoci. W zasadzie jest to zawsze przepyw 3D. Z turbulencj zwizana jest tzw. lepko turbulentna. Liczba Reynoldsa przy ktrej zachodzi zmiana rodzaju ruchu nosi nazw liczby krytycznej Rekr. Nie jest to warto absolutna (cisa). Szeregczynnikw ubocznych ma wpyw na jej warto: -wlot do przewodu -chropowato rury, miejscowe nierwnoci, drgania, zanieczyszczenia cieczy itp. Czsto mwimy o dolnej i grnej liczbie Reynoldsa.Rekr d warto, poniej ktrej nie udao si obserwowa ruchu burzliwego jako trwaego. Rekr d=23002400 Rekr g nie ma mowy o przepywie laminarnym GeneralnieprzejciezlaminarnegowturbulentnyprzywikszejliczbieReynoldsa.Zturbulentnegowlaminarnyprzymniejszejliczbie Reynoldsa Rekr d. Przepywy w przyrodzie Woda t=10oC, v=1,31 10-6m2/s d [m] Rekr=2300 vkr [m/s] 50000 vkr [m/s] 0,020,153,26 0,100,030,652 0,50,0060,1304 W normalnych warunkach przepywy turbulentne s przepywami dominujcymi. Tylko w szczeglnych przypadkach moemy mwi o przepywach laminarnych. Wystpuj one przy bardzo maych prdkociach i obszarach przepywu (np. szczeliny, oyska lizgowe, itp.). Szczegowa analiza pola prdkoci w pobliu cianki wykazaa, erzeczywisty przepyw skada si z podwarstwy laminarnej (gdzie jest suszny model cieczy newtonowskiej), warstwy przejciowej i rdzenia turbulentnego. W takim modelu o stratach decyduje przede wszystkim tzw. lepko turbulentna, ktra jest wielokrotnie wiksza od lepkoci przepywu laminarnego. Przepywyturbulentne Przy duych liczbach Reynoldsa (przepywy turbulentne), bezporednie rozwizanie rwna N-S wymaga stosowania bardzo gstych siatek, coprowadzidoolbrzymiejliczbyrwna.Ograniczatostosowanietegosposobupostpowaniadoanalizyopywudlabardzoprostych geometrii.WliteraturzedoopisuprzepywwturbulentnychwykorzystujesirwnierwnaniaReynoldsa.Opierajsionena urednieniu prdkoci w ruchu burzliwym w oparciu o rwnania N-S. Prowadzi to do pojawienia si dodatkowego czonu po prawej stronie ukadu rwna N-S. Czon ten nosi nazw tensora napre turbulentnych. W kartezjaskim ukadzie wsprzdnych oznacza to pojawienie si6skadowychtensoranapreturbulentnych.RwnaniaReynoldsaniestanowiwiczamknitegoukadurwna.Brakjest przesanekfizycznychdookreleniazwizkwnapreturbulentnychzinnymiwielkociamicharakteryzujcymipyn.Dlazamknicia ukadu rwna zbudowano szereg hipotez, wicych naprenia turbulentne z parametrami przepywu i pynw. Przepywyturbulentnehipotezy Hipotezytewykorzystujesidorozwizaniatzw.urednionychrwnaN-S.Wrwnaniachtychprzyjmujesi,enapreniastycznes sumnaprelaminarnychiturbulentnych.Prowadzitodozaoenia,ewspczynniklepkoci(dynamicznylubkinematyczny),mona przedstawi jako sum dwch wspczynnikw laminarnego i turbulentnego. Rwnanie N-S ma wwczas posta: V p FdtV dT2) ( grad V + + =

Hipotezy dzieli si na: -algebraiczne (zerorwnaniowe), -jednorwnaniowe, -dwurwnaniowe. ModelPrandtlahipotezadrogimieszania Dla przepywu trjwymiarowego ma on posta: 2131312(((

cc||.|

\|cc+cc == =jiiijij im Txuxuxul Wskaniki i, j przyjmuj wartoci: 1,2,3 i odpowiadaj w ukadzie kartezjaskim wsprzdnym x,y,z. Wielko lm okrela drog mieszania i przyjmuje si, e jest ona proporcjonalna do odlegoci od cianki ys. Dla przepywu jednowymiarowego, rwnanie (6.5) przyjmuje posta: dyduydydusTT2 2_t = = Modeldwurwnaniowyk- Lepko burzliw okrela si w oparciu o kinetyczn energi turbulencji k i prdko dysspacji energii turbulencji c: c 2kCT =(1) Energi i prdko wyznacza si w oparciu o rwnania rniczkowe. Dla przepywu dwuwymiarowego, rwnania te maj posta: -rwnanie transportu energii: c vovvvo +cc||.|

\|+ +cccc=cc+cc||.|

\|ccyVxTkT Tky xykyky ykVxkV2221(2) -rwnanie prdkoci dyssypacji energii: kC Ck y y y yVxVyVxT lT Ty x222221 cvc covvc voc cc cc c +cc||.|

\|+ +cccc=cc+cc||.|

\|cc (3) Modelk- W rwnaniach (1) do (3), wystpuj 5 stae dowiadczalne: C, ok, oc, Ccl, Cc2. Cztery pierwsze stae przyjmuj odpowiednio wartoci: 0.09; 1.0; 1.2 1.3; 1.44. Co do ostatniej staej literatura podaje wartoci znacznie rnice si, w zakresie 1.92 do 0.18. Modelk-c,jestmodelem,ktrymodelujeprzepywwpewnejodlegociodopywanejciany(nieuwzgldniaistnieniapodwarstwy laminarnej).Dlategowarunekbrzegowyniejeststawianybezporednianaciance.Skadowstycznprdkociwwarstwieprzycianie traktujesijakoznan.Najczciejzakadasi,ejesttologarytmicznyrozkadprdkoci.Porozwizaniurwna(2)i(3)otrzymujemy rozkadlepkociturbulentnejwprzepywie,copozwalawnastpnychkrokachrozwizarwnaniaN-S.Metodnajczciejstosowanw rozwizywaniu tych rwna jest obecnie metoda objtoci skoczonych. Metoda DNS (Direct Navier-Stocks) H=0,05 m l=0,1 m Re=30000 N=8*107 Dt=48000 Metoda DNS, wymagania Re=103 104 obliczenia moliwe przy wykorzystaniu superkomputerw Re=107 109 - moliwe za ok. 50 lat, przy zaoeniu e co 6 lat istnie bdzie moliwo podwajania wzw siatek numerycznych. ( )49) (3elDNSR N ~ =qZasada zachowania pdu i momentu pdu. Rwnanie iloci ruchu reakcja hydrodynamiczna Zmiana pdu Rwnanie Eulera z II zasady dynamiki Newtona. Byo to tzw. podejcie rniczkowe. Zajmujemy si II zasad dynamiki Newtona, dla cieczy, ale w ujciu cakowym chodzi o zasad zachowania pdu (momentu pdu) pd to wektor v m = HZmiana iloci ruchu (pdu) w czasiedtdH (pewnej masy m) rwna jest sumie si zewntrznych dziaajcych na t mas. ( )iF v mdtddtdE = =H Impuls dH masy dm wynosi: dV v dm v d = = H gdzie: dV element objtoci, przy czym dm= dV Masa pynu w obszarze abcd ma impulsdV v d = H v2dt v1dt h d g c a e f b v1 v2 }= HabcddV v Ten element przemieszcza si w obranym obszarze w czasie t+dt zajmujc nowy obszar efgh. Po czasie dt impuls ma warto: ( )}= + HefghdV v dt t Zmiana pdu po czasie dt wyniesie ( ) ( )(((

+ (((

+ = H + H = H} } } }efcd abef dcgh efcddV v dV v dV v dV v t dt t d jeli dt0, to dla}21v v dcghv v abefi s to prdkoci stae, i wobec tego: dt v A v dV vabef1 11 =} dt v A v dV vabgh2 22 =} Zmiana pdu, reakcja hydrodynamiczna Jeli przepyw nie zmienia si w czasie ( przepyw stacjonarny) to: ( ) ( ) t v dt t v = + , std caki}efcddV v s sobie rwne ( w obu nawiasach kwadratowych) Uwzgldniajc powysze zaoenia upraszczajce zmiana pdu wyniesie: ( )dt v v A v v A d 11 122 2 = HJeliA2v2=A1v1=Q rwnanie cigoci, to ostatecznie uzyskuje si: ( ) ( ) 1 2 1 2 v v m v v Qdtd = =H( ) F v v Qdtd= =H1 2 Reakcjahydrodynamiczna SiaFtosumawszystkichsiktrewystpujwdanymzjawisku.Wnaszymprzypadkutosiymasowe,powierzchniowenormalne (styczneniewystpujbozaoylimycieczidealn),orazreakcjaciannaciecz.Reakcjatanosinazwreakcjihydrodynamicznej. Wszdzie tam gdzie zachodzizmiana pdu wystpuje reakcja hydrodynamiczna.

( )1 2x x xv v Q F = ( )1 2y y yv v Q F = F sia reakcji cian na ciecz Przepyw w przewodzie o zmiennym przekroju i przy zmianie kierunku przepywu 1212 2 2 1 1vAAv A v A v = = ( )2221 1 2 222 121212121v v p p p v p v + = + = + ( ) | | cos cos1 2 2 2 1 1v v Q F A p A p xx = + ( )1sinsin sin1021 1 1vyv v QQv F A p y == = + | | | We wzorach powyej Fx, Fy siy dziaajce na ciecz.Reakcjaprzewodunaprzepywajcaciecz Nas interesuj siy od cieczy, ktre s reakcj przewodu, przegrody na przepywajc ciecz reakcja hydrodynamiczna. Jest to wielkoci Fx, Fy, ale ze znakiem przeciwnym. ( ) | | cos cos1 2 1 1 2 2 1 1v v v A A p A p Fx = | | sin sin21 1 1 1v A A p Fy = Jeli|=t, (A1=A2=C) ( ) 0 22= + =y xF v p A F , lub po pominiciu cinienia zewntrznego: 22 v A Fx =

( ) | cos 12+ = Av F Zasady przy obliczaniu reakcji hydrodynamicznej Przy korzystaniu z zasady zachowania pdu naley pamita o pewnych zasadach: Powierzchnia kontrolna musi otacza obszar przepywu w obrbie ktrego nastpuje zmiana pdu. Cz powierzchni kontrolnej powinna pokrywa si ze sztywn powierzchni ciany, pozostaa cz pokrywa si z lini (powierzchni) prdu Przekroje kontrolne prowadzimy prostopadle do kierunku przepywu. Reakcja hydrodynamiczna wszdzie tam gdzie zmiana pdu strumienia rwna jest pochodnej pdu po czasie i zwrcona przeciwnie do zwrotu geometrycznego przyrostu prdkoci Zasadazachowaniakrtu u=er --prdko unoszenia w--prdko wzgldna c-- prdko bezwzgldna c 2 skadowe-na kierunek prdkoci unoszenia (prostopada do promienia) , cu - rwnolega do promienia, cn Momentu pdu wzgldem osi obrotu jest wynikiem zmiany tylko skadowej prostopadej do promienia. Rami momentu rwne jest wartoci promienia.Momentpdu(krt) Krt jest iloczynem wektorowym pdu i wektora promienia. Wychodzc z tej definicji uzyskujemy: ( )uc Qr dt c Qr dt c Qr dtc r c Qr dt c Q r c m r K2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2cos2sin, sin o ot = =|.|

\|+ == = = ( )uc Qr dt c Qr dt c Qr dtc r c Qr dt c Q r c m r K1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1cos2sin, sin o ot = =|.|

\|+ == = = Momentpdu,wzrEulera dtK KM1 2 = Wzr Eulera ( ) ( )u uc r c r Q c r c r Q M1 1 2 2 2 1 1 2 2 2cos cos = = o o

Moce M N =to w pompie ale w turbinie wirnik przejmuje energi pynu: ( )2 2 2 1 1 1cos cos o o c r c r Q M = W maszynach roboczych pompach moment na wale powiksza krt przepywajcego pynu. Wsilnikach(turbinach)krtpynuzmniejszasi,powodujcpowstaniemomentunawale. Trjkty prdkoci Trjkty prdkoci maj rn posta. Np. dla pompy odrodkowej zachodzi zaleno: c1=c1u, oraz: c2=c2u. Dla pomp osiowych: u1=u2. Wzory Carnota:

222222 2 2 2212121 1 1 1cos 2cos 2w c u c uw c u c u + = + =oo Mocnawalemaszynyprzepywowej Prdkoci unoszenia wynosz odpowiednio: 1 1u r = e2 2u r = ea std: ( ) ( )u u u uc u c u Q c r c r Q M1 1 2 2 1 1 2 21 = =e i dalej moc wynosi: ( )u uc u c u Q M N1 1 2 2 = = e Wykorzystujc wzory Carnota otrzymujemy: ||.|

\|++=2 2 2222121222122w w u u c cQ N Wykorzystujc zwizek midzy gstoci, a ciarem waciwym: =/g, otrzymuje si z ostatniej zalenoci: thQHgw wgu ugc cQ N =||.|

\|++=2 2 2222121222122 w1 c1n c1 w1uu c1u u1 w2 c2n c2 w2uu c2u u2 gdzie:Hth [m] teoretyczna wysoko podnoszenia ||.|

\|gc c22122- dynamiczna wysoko podnoszenia

gw wgu u2 222212122+ - potencjalna wysoko podnoszenia Rwnania dynamiki cieczy newtonowskich Podstawowe zaoenia rwna dynamiki Rwnania z zasady zachowania pdu (iloci ruchu), lub bezporednio z drugiej zasady dynamiki Newtona. Zasada ta mwi, e sia bezwadnoci jest w kadej chwili rwna sumie wszystkich si zewntrznych dziaajcych na dany element pynu. Jest to sformuowanie dAlamberta. Rwnania wyprowadza bdziemy dla elementu pynu. Obowizywa bd one dla caego rozpatrywanego obszaru przepywu. Rwnania te mog mie posta cakow lub rniczkow. Posta cakowa wykorzystywana jest bezporednio do wyprowadzenia zwizkw wynikajcych z zasady zachowania pdu i momentu pdu. Jeli do wyprowadzenia oglnych rwna wychodzi si stosujc sformuowanie dAlamberta, otrzymujemy posta rniczkow rwna ruchu. Na wybrany element pynu dziaaj wszystkie siy, ktre zostay zdefiniowane w czci 1. Te siy to siy masowe, powierzchniowe normalne i styczne, oraz bezwadnoci. Rwnania zostan wyprowadzone przy zaoeniu, e ciecz jest nieciliwa, newtonowska. Analizujemy siy wystpujcy na elemencie o wymiarach dxdydz. Rwnania dynamiki, wyprowadzenie Siy styczneCakowita sia powierzchniowa styczna wynosi: dT = dT1 + dT2 Uwzgldniajc zalenoci dla si stycznych powierzchniowych cieczy newtonowskich otrzymujemy dla elementarnej powierzchni dxdy: z dTdz y x qydxdypdxdz vy dx --dT1 dy dxdy dzzVVzdxdyzVdTyyy||.|

\|cc+cc+cc = q q(1) Po wykonaniu rniczkowania wyraenia w nawiasie po prawej stronie ostatniej zalenoci i uporzdkowaniu cakowita sia styczna wynosi: 22zVdxdydz dTycc=q (2) Rwnania dynamiki Naviera-Stokesa Sumujc wszystkie siy dziaajce na analizowany element pynu uzyskujemy: 22zVdxdydz dxdydz q dxdz dyypp pdxdz dxdydzdtdVyyycc+ +||.|

\|cc+ = q Po wykonaniu mnoenia, uporzdkowaniu i podzieleniu obu stron przez dxdydz otrzymujemy: 221zVqypdtdVyyycc+ +cc =q(3) |||.|

\|cc+cc+cc+cc =cc+cc+cc+cc2222221zVyVxVxpqzVVyVVxVVtVx x xxxzxyxxxv|||.|

\|cc+cc+cc+cc =cc+cc+cc+cc2222221zVyVxVypqzVVyVVxVVtVy y yyyzyyyxyv (4)

|||.|

\|cc+cc+cc+cc =cc+cc+cc+cc2222221zVyVxVzpqzVVyVVxVVtVz z zzzzzyzxzv Wyraenie po lewej stronie przedstawia sum pochodnej lokalnej i konwekcyjnej. W zapisie wektorowym ostatni ukad rwna maposta: ( ) V V p qdtV d div grad31grad12v v+ V + = (5) Ostatni czon po prawej stronie rwnania (5) odnosi si do przepyww pynw ciliwych. Dla pynw nieciliwych, divV=0 i czon ten jestrwnyzero.RwnanieN-Sjestbilansemsidziaajcychwcieczachrzeczywistych.Wanalizieprzepywucieczyrzeczywistych, przyjmujesizzasady,esiymasowesznane.Wobectegowukadzierwna(4)wystpujczteryniewiadome:3skadowepola prdkoci i cinienie. Rwnaniem zamykajcym ten ukad rwna jest znanerwnanie cigoci w postaci: 0 =cc+cc+cczVyVxVzyx Rwnania dynamiki cieczy idealnej, rwnanie Eulera Dlacieczyidealnychv=0,iwwczasrwnanieN-Sprzechodziwznanerwnaniedynamikicieczyidealnych,ktrenosinazwrwnania Eulera. W zapisie wektorowym dla cieczy nieciliwych rwnanie to ma posta: p qdtV dgrad1 = (6) Rwnaniem zamykajcym rwnanie Eulera jest rwnanie cigoci. Rwnania hydrostatyki Jeliterazzaoymy,ecieczjestwspoczynku,tzn.wektorprdkociV=0,otrzymamyrwnaniahydrostatyki.Rwnaniatewzapisie skalarnym maja posta: xpqxcc= 1ypqycc= 1 (7) zpqzcc= 1lub w postaci wektorowej: p q grad1=(8) Zagadnieniami hydrostatyki zajmiemy si bardziej szczegowo w nastpnych czciach tego opracowania. Wwieluzagadnieniach technicznychpomijasiwpywsimasowych.Matomiejscenp.whydraulicesiowej,gdzietesiyspomijalnie maewstosunkudosicinienia.Lewastronaukadurwna(7),przyjmujewwczaswartocizerowe.Zotrzymanychrwna rniczkowych wynika, e cinienie jest stae w caym rozpatrywanym obszarze pynu. Jest to treci znanego prawa Pascala. Wypr, rwnowaga cia pywajcych Wypr Siawyporu Moemy zapisa: } =AzdA n N

} =AzdA n r M ( )z y xN N N N , , y s y yx s x xA z N NA z N Nyx = = = =2 12 1 Skadowe poziome Nx, Ny=0, bo napr zdwch stron, rzutyciaa na odpowiednie paszczyzny s takie same,a wielko naporu zaley od pola rzutu i wsprzdnej rodka geometrycznego pola rzutu. Siawyporuhydrostatycznego 11V zdA Nz = = }gdzie V1 objto supa cieczy nad ciaem 22V zdA Nz = = }gdzieV2 = V1+VciaaS2-rzut taki sam dla czci konturu dolnego i grnego ( )1 22 1V V N N W Nz z z = = = gdzie V2 V1=V V N Wz = = - wypr hydrostatyczny V W =W - rwna si ciarowi cieczy o objtoci wypartej przez to ciao Warunkipywalnoci Na ciao prcz siy wyporu dziaasia cikoci ciaaG Sia wypadkowa W G G =1 - prawo Archimedesa c cV G V W = = Od wartociG1 zale warunki pywania: IG1 = 0; G=W c cV V =V=Vc, =c stan rwnowagi ciao zanurzone na dowolnej gbokoci IIG1>0; G>W c cV V < V Vc > >c - ciao tonie IIIG1zB brak statecznoci zG=zB stateczno chwiejna zG=mmmm W M p obojtna Punkt M metacentrum. Jest to punkt przecicialinii dziaania siy wyporu z paszczyzn symetrii ciaa pywajcego. Odlego tego punktu od wsprzdnej wysokoci rodka cikoci nosi nazw wysokoci metacentrycznej. Gdy kt przechyu zmierza do zera, punktM zmierza do punktu M0. Odlego GM0=m0 nosi nazw wysokoci metacentrycznej. Dla przypadku granicznego, gdy kt przechyu zmierza do 0 wysoko metacentryczna wynosi: Stateczno Wielko momentu wzgldem osi o-x wynikajcego z przesunicia si pooenia rodka wyporu: ( )x B BM z z W = Moment ten jest rwnowaony przez moment klina wynurzonego i zanurzonego MX. Elementarny sia wyporuod klina wynurzonego lub zanurzonego wynosi: VIr z r z GMxo G o B= + =dA y dW A =Siy te s rwne co do wartoci lecz przeciwnie skierowane. Moment od tych si ma posta dA y ydW dMx A = =22 2 Wyraenie y(A)dA jest elementarn objtoci klina wynurzonego lub zanurzonego. Moment cakowity wynosi: x xI dF y M A = A =}22 Kryteriastatecznoci Jeli W=V to wwczas otrzymuje si:VIz z I z z VxB B x B B A = A = IX moment bezwadnoci wodnicy pywania. Wodnicapywania to powierzchnia utworzona z przecicia paszczyzny swobodnej powierzchni wodnej z powierzchni ciaa pywajcego czciowo wynurzonego.Z drugiej strony, dla maych wartoci A w oparciu o rysunek uzyskuje si: ( ) A + = m a z zB B VIm ax= + 0 , 0 , > < < = m a z z aVImB Gx Jeli rodek wyporu jest pooony niej ni rodek cikoci (co ma miejsce w budowie okrtw) tzn : B Gz z>to znaczy: a>0 to aby ciao (statek ) by stateczny musi zachodzi warunek: m>0 i aVIx> Rami prostujce. Zgodnie z rys. zmiana ksztatu powoduje zmian wsprzdnych rodka wyporu (rys. 1), co prowadzi do powstania momentu pary si. Moment ten okrela zaleno: u = u V =usin ) ( ) ( GM W l g M

V [m3] objto zanurzonej czci kaduba statku, l [m] rami pary si dziaajcych na przechylony statek (rys.1). Ze wzoru wynika, e moment prostujcy jest funkcj kta przechyu, a jego warto zaley od wartoci ramienia momentu pary si l(u). Rami to zmienia si wraz ze zmian kta przechyu. Przebieg tej zalenoci od kta przechylenia statku decyduje o bezpieczestwie statku w rzeczywistych warunkach eksploatacji. Dla kadego statku, ktry posiada certyfikat bezpieczestwa, przebieg tej krzywejmusi spenia wymagania instytucji klasyfikacyjnej. Krzywa ramion prostujcych Zwizek midzy krzyw ramion, a wysokoci metacentryczn Istnieje cisa wspzaleno midzy przebiegiem krzywej ramion, a wysokoci metacentryczn. Z rwnaniawynika, e: u = uusin ) ( ) ( GM l

Pochodna krzywej l po kcie przechyu ma posta: u + uu=uuuucos ) ( sin) ( ) (GMdGM dddl Jeli kt przechyu zmierza do zera, punkt GMu zmierza do punktu GM0. Warto tej pochodnej dla kta przechyu u=0, wyniesie wic: 0) 0 (GMddl=u= u Styczna do krzywej ramion przy zerowym kcie przechyu pozwala na okrelenie wysokoci metacentrycznej. Zachodzi rwnie zaleno: u =u= tglrdGM10 Wykorzystuje si j do analiz statecznoci przy maych ktach przechyu Napr hydrostatyczny Napr na ciany paskie Elementarna si naporu dN na element powierzchni dA wynosi: zdA n pdA n N d = =(1) gdzie: n wersor jednostkowy, prostopady do elemantu powierzchni. jeli cinienie na zewntrz jest rwnepb to elementarny napr wynosi (przy pominiciu w dalszych rozwaaniach zapisu wektorowego)( )dA z g p dNb + = (2) lub bez uwzgldnienia cinienia atmosferycznego: zdA g dN = ; (3) Napr cakowity na powierzchni A wynosi: }=AzdA g N (4 Caka: A z zdAs=} okrela moment statyczny powierzchni A, wzgldem osi lecej na powierzchni wody. Mona j zastpi iloczynem pola powierzchni i odlegoci rodka geometrycznego tej powierzchni od paszczyzny wody: A z zdAs=}

Uwzgldniajc powysze mona napisa, e napr (bez uwzgldnienia cinienia atmosferycznego) wynosi: A gz Ns = (5) Napr rwny jest wic ciarowi supa cieczy, ktrego podstaw jest dana cian a wysoko gbokoci rodka geometrycznego od zwierciada cieczy.Napr na ciany paskie, punkt przyoenia siy naporu Punkt przyoenia siy naporu nosi nazw rodka naporu.Poniewa interesuj nas odlego przyoenia siy od osi o-x i o-yto mona zapisa, e: }}=}= AAnANzdAyzdAy yzdA N y ; (8) }}=}= AAnANzdAxzdAx xzdA N x ; (8A) Punkt przyoenia siy naporu Uwzgldniajc zwizek geometryczny midzy wielkociami z i y o sin = y z z rwnania (8), uzyskujemy: A yA y IA yIydAdA yyss ossoxAAN += =}}22sinsinoo czyli ostatecznie otrzymujemy: A yIy ysoss N+ = (9)gdzie s Ny y > ! Podobnie postpujc dla wsprzdnej xN, wykorzystujc rwnanie (8a), otrzymujemy: A yIdA ydA xyxsxyAN= =}}oosinsin gdzieA y x I Is s y x xyo o + = i ostatecznie: A yIx xsy xs No o+ =Ixy biegunowy moment bezwadnoci wzgldem osi xy ox yI0- biegunowy moment bezwadnoci wzgldem osi przechodzcej przez rodek geometryczny figury, rwnolegej do osi xy. Wsprzdna wysokoci punktu przyoenia Wsprzdn wysokoci zN, okrelimy, wykorzystujc zaleno (9). Jeeli: o sinN Ny z = podstawiajc za yN wyraenie (9) mamy: A zIzAzIy zsosssoss Noooo2sinsinsinsin+ =+ = (10) Parcie na dno paska ciana ghA A gz Ns =gdzie : h wysoko supa cieczy. Paradoks hydrostatyczny Jeli pole i wysoko supa jest taka sama to parcie nie zmienia si paradoks hydrostatyczny (parcie nie zaley od iloci wody i ksztatu naczynia). Napr na powierzchnie zakrzywione dA gz dN = x xzdA zdA dN o = = cos z zzdA zdA dN o = = sin Skadowa pozioma rwnolega do osi x: x s xA z N = Skadowa pionowa: V dV zdA NVz z = = = } } - ciar cieczy nad powierzchni krzyw Skadowa pozioma rwnolega do osi y: AA h dAdAdNdN dNdAdA dAx z y s yA z N = Skadowe poziome parcia na powierzchnie zakrzywion s rwne parciu na odpowiadajce im pionowe rzuty tej powierzchni. Skadowa pionowa rwna jest ciarowi cieczy ograniczonej od dou t powierzchnia krzyw. Punkt przyoenia siy naporu Punkt przyoenia skadowej poziomej (wsprzdna pionowa) okrela si tak jak w przypadku parcia na cian pask: z sss NA zIz z+ = gdzie: Is, moment bezwadnoci powierzchni rzutu, wzgldem osi przechodzcej przez rodek geometryczny tej powierzchni rzutu,zs -wsprzdna rodka geometrycznego tej powierzchni rzutu. Skadowa pozioma xN okrela si z rwnania momentw: zzNNxdNx}=a std wynika bezporednio: VxdVxN}= czyli, Nz przechodzi przez p. So, bdcy rodkiem cikoci obszaru cieczy, wywierajcej napr. Napr ujemny W praktyce wystpuje bardzo czsto przypadek tzw. naporu ujemnego. Skadowa pionowa ma wwczas zwrot skierowany do gry. Zachodzi to wwczas, gdy ciecz napiera na cianki naczynia od dou. (dno naczynia ma powierzchni wiksz ni powierzchnia paszczyzny cieczy w tym naczyniu). Skadow pionow tego naporu okrela si tak, jak gdyby ciecz znajdowaa si nad t powierzchni. Skadowe poziome maj znak zawsze dodatni.

Pz Rwnanie cigoci. Zasada zachowania masy Natenie przepywu dA n dA V Vn= = | cos Ilo cieczydQ przepywajcej przez element powierzchni ds. wynosi: dA V dA V dA V dQn= = = | cos Dla caej powierzchni A:}=AndA V Q

Gdzie: Vn rozkad skadowej normalnej prdkoci na powierzchni A. Jeli operujemy prdkoci redni, wwczas objtociowe natenie przepywu moemy wyrazi jako: }= =AndA VAVgdzie A V Q1 Natenie masowe strumie masy( ) t p, =}}}= =AAnndAdA VV dA V M ; Natenie ciarowe }=AndA v g G

Vt V N t vn A P dA ((

((

((

= = =sNGskgMsmQQ g gM G Q M, ,,3 Rwnanie cigoci dxdydzdtxVdydzdt dxxVV dt dydz Vx xx xcc=|.|

\|cc+ Uwzgldniajc pozostae kierunki otrzymujemy: dt dxdydzyVycc dt dxdydzxVxcc (1) Suma tych trzech wielkoci musi by rwna zmianie masy zawartej w objtoci prostopadocianu. Zmiana masy moe by wynikiem tylko zmiany gstoci. dxdydzdtdtd Po przeniesieniu i uproszczeniu przez dx, dy, dz, dt otrzymujemy: 0 =||.|

\|cc+cc+cc+zVyVxVdtdz y x (3) lub w zapisie wektorowym: ( ) 0 div = + Vdtd Wykorzystujc pojcie pochodnej lokalnej i unoszenia, pierwsze wyraenie w ostatniej zalenoci mona zapisa inaczej i wwczas: ( ) 0 div grad = + +ccV Vt jeli =const to mamypyn nieciliwy i wwczas: Vx

y x z Vx dx dz dy dxxVVxxcc+ dt dxdydzzVzcc ( ) 0 div = V Rwnanie cigoci, przepyw jednowymiarowy Dla przepywu jednowymiarowego mona wic zapisa w oparciu o rwnanie (3): 0 =cc+cc+cc+ccsAVsVAsAVtA W ostatniej zalenoci wyraenie sAVcc, wynika z faktu, e przekrj A, jest zaleny od od zmiennej kierunkowej s. W formie skrtowej rwnanie cigoci dla przeplywu jednowymiarowego ma psta: ( )0 =cc+ccsVAtA Jeli=constto wwczas mona napisa: AV=Cczyli e,objtociowenatenie przepywu C V A Q = = gdzie V- prdko rednia Prdko redni mona wyznaczy z zalenoci: }= =AdA A VAVAQV ) (1 Przykadwykorzystania: Jeli mamy przepyw przez rurocig o zmiennym polu przekroju, to z rwnania cigoci bezporednio wana jest zaleno: A1V1=A2V2. Rwnanie Bernoulliego Caka rwnania Eulera Konieczne warunki cakowania rwna dynamiki pynw idealnych (rwna Eulera) 1)Pole si masowych polem potencjalnym

U q grad = ( )z y xq q q q , , 2)Przepyw ustalony 0 =cc=cc=cctvtvtvz y x 3)Pyn nieciliwy (C staa dla linii prdu) ( ) C p, =4)Linie prdu pokrywaj si z torami elementu pynu tzn. analizujemy jedn lini prdu Rwnanie Eulera xpqzVVyVVxVVtVxxzxyxxxcc =cc+cc+cc+cc1 ypqzVVyVVxVVtVyyzyyyxycc =cc+cc+cc+cc1 (4)

zpqzVVyVVxVVtVzzzzyzxzcc =cc+cc+cc+cc1 Wyraenie po lewej stronie przedstawia sum pochodnej lokalnej i konwekcyjnej. W zapisie wektorowym ostatni ukad rwna maposta: p qdtV dgrad1 =

Cakowanie rwna Eulera dxxpqzvvyvvxvvxxzxyxxcc =cc+cc+cc1 dyypqzvvyvvxvvyyzyyyxcc =cc+cc+cc1 dzzpqzvvyvvxvvzzzzyzxcc =cc+cc+cc1dodajc stronami otrzymujemy: ||.|

\|cc+cc+cc + + == |.|

\|+cc+||.|

\|+cc+||.|

\|cc+cc+ccdzzpdyypdxxpdzzq dyyq dxxqdzxzvxv dyxyvxv dxzxvzvyxvyvxxvxv1 Cakowanie rwna Eulera Wykorzystujc rwnanie linii prdu dla przepywu ustalonego: zvdzyvdyxvdx= =; dx v dz vdz v dy vdx v dy vz xy zy x=== wyraenia w nawiasach lewej strony rwnania (1) mona przeksztaci. Dla pierwszego wyraenia w nawiasie si:dxzvvyvvxvvxzxyxx ||.|

\|cc+cc+cc=||.|

\|cc+cc+cc= dxzvdxdzvyvdxdyvxvvxxxxxx ||.|

\|= =||.|

\|cc+cc+cc=22xx xx x xxvd dv v dzzvdyyvdxxvv i odpowiednio dla pozostaych: ||.|

\|22yvd ||.|

\|22zvd Rwnanie Bernoulliego dpdUv v vdz y x =||.|

\| + +22 2 2 2 2 2 2v v v vz y x= + + lub: 022= + ||.|

\|dpdUvd }= + const Udp v 22

jeeli:gz U =, a =const, C gzp v= + + 22 const zpgv= + + 22 C z pv= + + 22 Rwnanie Bernoulliego dla gazw W przypadkugazw mona pomin oddziaywanie si cikoci tj. qx= qy= qz=0 I std rwnanie Bernoulliego ma posta: }= + Cdp v 22(2) lub: Cdp vd = +||.|

\| 22 (2a) W przypadku gazw naley uwzgldni zaleno midzy cinieniem, a gstoci. Jeli zaoymy przepyw z przemian adiabatyczn, to dla tej przemiany zachodzi warunek: const V p = _, lub: Cp=_ Ostatnia posta wynika z rwnania stanu Clapeyrona i uwzgldnieniu zwizku midzy gstoci , a objtoci waciw v. (objto waciwa jest odwrotnoci gstoci v=1/).Dla przemiany adiabatycznej uzyskuje si wic: __p p=00, a std : __ =00pp Obliczajc rniczk ostatniego wyraenia, a nastpnie dzielc przez i cakujc otrzymuje si: CpCpCpdp dp+ = += += = } } ______ _______1 1 11 100 200gdzie: V- objto, wykadnik adiabaty Czyli przy wykorzystaniu zalenoci (2), dla przepywu z przemian adiabatyczn rwnanie Bernoulliego ma posta: Cp v=+ __1 22 Rwnanie Bernoulliego, zasada zachowania energii Rwnanie Bernoulliego, jako zasad zachowania energii mona wyprowadzi w znacznie prostszy sposb. Element cieczy o masie m posiada energikinetyczn0,5mv2, potencjaln mgz i energi potencjaln cinienia pV. Suma tych trzech postaci energii musi by staa: C pV mgzv m= + +22 Jeli V=mv=m/, to wwczas otrzymujemy: Cmp mgzv m= + + 22 Po podzieleniu ostatniej zalenoci przez mas m, otrzymujemy bezporednio rwnanie Bernoulliego:

Cpgzv= + + 22 Rwnanie Bernoulliego,interpretacja Rwnanie Bernoulliego moe by zapisane w trzech rwnowanych sobie postaciach. Wszystkie one wyraaj ta sam zasad zachowania energii, ale ta energiawyraona jest w rnych jednostkach: m2s-2; kg.s-2m-1 (Pa); m. C p zVC p gzV= + + = + + 2;122 2 C zgpgV= + + 22

Jest to suma rnych rodzajw energii (na jednostk masy) poruszajcego si pynu. Mona to te powiedzie, e RB wyraa zasad zachowania energii w odniesieniu do cieczy idealnych, ruchu ustalonym, wystpuj tylko siy cikoci i cinienia. Energia Wysoko gz potencjalnaz pooenia 221V - kinetyczna gV22 - prdkoci p - cinienia (wewntrzna) p - cinienia Zastosowania RB, wypyw przez may otwr Piszc rwnanie Bernoulliego dla wydzielonej powierzchni kontroln strugi otrzymujemy: ( )o ozpgVH zpgV+ + = + + + 323 1212 2

przy czym dla przyjtego modelu zachodzi:p1=p3=pb i V1~0 i wobec tego otrzymuje si ostatecznie zaleno na prdko wypywu cieczy przez may otwr. gH v 23 =

Otrzymana zaleno nosi nazw wzoru Torricellego. Wypyw ze zbiornika,kontrakcja W warunkach rzeczywistych przekrj strugi wypywajcej nie jest rwny przekrojowi otworu, a poza tym rozkad prdkoci w strudze nie jest rozkadem jednorodnym. Aby uwzgldni te zmiany wprowadza si dwa wspczynniki poprawkowe: | wspczynnik kontrakcji 1's =AA| okrelany jest dowiadczalnie lub analitycznie rozpatrujc przepyw trjwymiarowy. Powodem przewenia pola przekroju strugi ssiy bezwadnoci. Siy te wystpuj poniewa mamy gwatowne przypieszenie prdkoci przy wypywie przez may otwr. Zmiana prdkoci i cinienia nie moe odby si w sposb gwatowny. Do zmian potrzebnajest pewna droga. Wspczynnik kontrakcji jest przede wszystkim funkcj ksztatu otworu. |=f(ksztatu)pb A1 H z0 h A3 pb 2 0 0 1 1 Wypyw ze zbiornika, wspczynnik wypywu Poniewa prdko w strudze nie jest prdkoci jednorodn, rzeczywista rednia prdko wypywu jest mniejsza od teoretycznej: VR=Vt. Oczywistym jest, eVR