SOLUCION DE LA ECUCION DE ONDA POR DIFERENCIAS FINITAS

Considere un medio donde las constante elasticas y la densidad varian en una sola direccion (x). La ecuacion demovimiento para el desplazamiento asociado con ondas planas propagandose en la misma direccion es

(x)2u

t2=

x

[E(x)

u

x

](1)

donde E(x) = (x) + 2(x) para la onda P y E(x) = (x) para la onda S. Para reducir el orden de la ecuaciondiferencial se introducen los conceptos de velocidad de la partcula v y el esfuerzo

v =u

t(2)

= E(x)u

x(3)

estas seran las nuevas varliables, reemplazando simultaneamente en (1) se obtiene:

v

t=

1

(x)

x; (4)

t= E(x)

v

x(5)

A continuacion mostrare la importancia del esquema en diferencias finitas para calcular la solucion a la ecuacion deonda unidireccional, primero una aproximacion de primer orden por diferencias finitas hacia adelante o progresivas.Partiendo de la definicion de derivada tenemos que

f(x, t)

t=f(x, t+ t) f(x, t)

t(6)

pero la espacialf(x, t)

x=f(x+ x, t) f(xx, t)

2x(7)

Para implementar el esquema de diferencias finitas que solucione el sistema (2 , 3) se necesita una malla de puntos(xl, tj) y los pasos de la malla son xyt para x y para t respectivamente, entonces

xl = lx, l = 0, 1, 2, 3, ..., Nx

tj = jt, j = 0, 1, 2, 3, ..., Nt

se obtine entonces una malla de (Nx + 1) (Nt + 1) puntos.Por lo tanto v(xl, tj), (xl, tj) respresentan los valores de v y en la localizacion espacial xl y el tiempo tj Parasimplificar las expresiones escribimos de forma abreviadav(xl, tj) = v

jl , (xl, tj) =

jl . Utilizando (6) y (7) y la notacion anterior el sistema (2 , 3) queda:

vj+1l vjlt

=1

l

jl+1 jl12x

(8)

j+1l jlt

= Elvjl+1 vjl1

2x(9)

Resolver este sistema significa obtener los valores de v y para el tiempo siguiente (j + 1) respecto al tiempoinmediatamente anterior (j), para ello es necesario tener conocimiento de v y en el tiempo inicial j = 0, es decircondiciones iniciales.

1

1 ESTABILIDAD

1. Estabilidad

Definicion: Se dice que un esquema es estable, si el error no crece exponencialmente en cada paso de tiempo.

Reescribiendo el sistema (8 , 9)

vj+1l = vjl +

1

l

[ jl+1 jl1

] (10)

j+1l = jl + El

[vjl+1 vjl1

] (11)

donde = t2x . Se supone una perturbacion de la forma ei(kxt) donde i =

1, por lo que el error tendra lamisma forma:

E( jl ) = Ae(ijt+iklx) (12)

E(vjl ) = Be(ijt+iklx) (13)

las ecuaciones (11) y (12) define los errores de y v en (l, j). Reemplazando en (8 , 9)

vj+1l vjl = Bei(j+1)t+iklx Beijt+iklx (14)= B

[eit 1] eijteiklx (15)

de forma similar j+1l jl = A

[eit 1] eijteiklx (16)

por lo que (10 , 11)

B[eit 1] = A

l

[eikx eikx] (17)

A[eit 1] = ElB [eikx eikx] (18)

el producto de (17) y (18), da com resultado:

(eit 1)2 = El

l

(t

x

)2sin2(kx) (19)

eit = 1Ell

t

xsin(kx) (20)

de acuerdo a (20), el modulo de eit > 1 para cualquier valor de x, t, esto significa que es complejo y porlo tanto, las expresiones para el error (11 y 12) crecen exponencialmente para cada paso del tiempo, lo que significaque el esquema de diferencias finitas es inestable. Pero si aproximamos la derivada temporal utilizando un esquemade diferencias finitas de 2 orden, se obtiene entonces

vj+1l vj1l2t

=1

l

jl+1 jl12x

(21)

j+1l j1l2t

= Elvjl+1 vjl1

2x(22)

utilizando las mismas expresiones para el error (11 y 12)

B[eit eit] = At

lx

[eikx eikx] (23)

A[eit eit] = ElBt

x

[eikx eikx] (24)

El producto de las dos expresiones finales es[eit eit]2 = El

l

(t

x

)2 [eikx eikx]2 (25)

sin(t) = Ell

t

xsin(kx) (26)

2

2 APLICACION

para que (26) tenga sentido

Ell

tx 1, lo que me da un criterio para elegir el paso del tiempo de modo que mi

esquema de diferencias finitas sea estable; donde Cl =

Ell

es la velocidad de propagacion de la onda en el medio,

luego la condicion de estabilidad se puede escribior como

t xCl

(27)

2. Aplicacion

Para hacer uso del esquema de diferencias finitas de 2 orden, es necesario conocer las condiciones iniciales. Primerohse prueba el metodo para un medio con densidad constante = 2700Kg/m3, la velocidad de propagacion delmedio C = 3000m/s el coheficiente E = 2,43 1010Kg/m s2, utilizando la condicion de estabilidad dada, measeguro que el paso del tiempo sea siempre menor al paso de la malla espacial.

2.1. Caso 1

Los valores de X varian desde 0 hasta 1000,el espaciado dx = 50, el rango de tiempo es de t = 0 hasta t = 2 elvalor para x tiempo anterior a cero como condicion inicial lo defino como cero, y para el punto siguiente lo gualo auna funcion. Para la velocidad de la partcula u = cos(pix) , y para el esfuerzo = cos(pix) la grafica obtenida es

Figura 1: El rango del tiempo (0-2) el paso dx=50.

si el paso para x se hace mas pequeno entonces

Figura 2: El tiempo de 0 a 2 segundos, el paso dx=25.

si dejo quieto el valor del paso en X dx = 50 y cambio el rango del tiempo un poco

3

2.1 Caso 1 2 APLICACION

Figura 3: El tiempo de 0 a 5 segundos

Figura 4: El tiempo de 0 a 1 segundos

4